Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm cu oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, în procedurile judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În acest articol veți găsi proprietăți ale bisectoarei și medianei unui triunghi care vă pot fi utile în rezolvarea problemelor.

Bisectoare.

1. Punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului înscris al triunghiului.

Dovada.

Într-adevăr, punctele situate pe bisectoarea unui unghi sunt echidistante de laturile unghiului. În consecință, punctul de intersecție al bisectoarelor este echidistant de toate laturile triunghiului, adică este centrul cercului înscris.

2. Bisectoarea unui triunghi împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile adiacente:

Dovada.

Să facem construcții suplimentare. Să tragem o dreaptă paralelă cu punctul

Punct de intersecție al unei drepte și al unei drepte:

∠1=∠2, deoarece - bisectoare ∠

∠2=∠3 culcat transversal, ca prin construcție.

Prin urmare, ∠1=∠3 și triunghiul este isoscel și .

prin urmare,

3. Lungimea bisectoarei se calculează folosind următoarele formule:

Să demonstrăm a doua formulă.

Să introducem următoarea notație:

Să echivalăm expresiile pentru aria triunghiului:

4. Fie O centrul cercului și bisectoarea unghiului triunghiului:

Atunci relația este valabilă:

Dovada:

Luați în considerare un triunghi:

Bisectoarea unui unghi, prin urmare, prin proprietatea bisectoarei unui triunghi

Să fie atunci

Să o exprimăm. Conform proprietății bisectoarei unui triunghi:

De aici

În unele probleme, este convenabil să se extindă bisectoarea unui triunghi până la intersecția cu cercul circumscris.

Lema despre trifoil.

Dat un triunghi. Punct - punctul de intersecție al bisectoarei unghiului cu cercul circumferitor al triunghiului. Fie centrul cercului înscris în triunghi. Apoi

Dovada.

Unghiurile înscrise care subtind arcuri egale sunt egale. Observați unghiurile înscrise egale:

De aici.

Prin urmare, centrul cercului este bisectoarea unghiului .

Din triunghi

Apoi din triunghi

A primit .

Adică triunghiul este isoscel.

De aici.

A dovedit că

Să demonstrăm formula (1) de la punctul 3:

Dovada:

Să continuăm bisectoarea până când se intersectează cu cercul circumferitor. Luați în considerare triunghiuri și . Să marchem unghiuri egale:

Un triunghi este similar cu un triunghi la două unghiuri. De aici:

Prin proprietatea segmentelor de coarde care se intersectează

Să înlocuim (3) în (2) și să folosim (4):

Să exprimăm lungimile segmentelor în care bisectoarea împarte latura triunghiului în funcție de lungimile laturilor triunghiului. Să introducem următoarea notație:

Obținem sistemul:

Medianele.

1. Medianele unui triunghi sunt împărțite la punctul de intersecție într-un raport de 2:1, numărând de la vârf:

2. Fie un punct în interiorul triunghiului astfel încât să fie valabilă următoarea relație: , atunci este punctul de intersecție al medianelor triunghiului.

Dovada.

Să demonstrăm o teoremă auxiliară.

Lema.

Pentru un punct arbitrar din interiorul unui triunghi, este valabilă următoarea relație:

Să coborâm de la punctele și perpendicularele la :

Din asemănarea triunghiurilor obținem:

Dacă luăm în considerare triunghiuri cu bază comună , atunci obținem relația:

În mod similar, obținem

Adăugând aceste egalități obținem:

Folosim această lemă pentru a demonstra afirmația 2.

Dacă egalitatea este valabilă (1) , apoi egalitatea (2) iar din lemă rezultă că în egalitatea (2) fiecare fracție este egală cu .

Să demonstrăm că în acest caz segmentele sunt mediane.

Dacă , apoi primim . Să trasăm drepte paralele cu și prin punct și să luăm în considerare două perechi de triunghiuri similare: și:

De aici ajungem

Din asemănarea triunghiurilor obținem, adică punctul este mijlocul segmentului. De aici.

Prin urmare, este mediana triunghiului.

3. Medianele unui triunghi, intersectându-se, îl împart în 6 triunghiuri egale.

Dovada.

Să demonstrăm asta

deoarece ,

deoarece ,

Prin urmare,

Înălțimi.

1. Liniile care conțin altitudinile triunghiului se intersectează într-un punct. În cazul unui triunghi ascuțit, altitudinile înseși se intersectează într-un punct.

2. Punctul de intersecție al altitudinilor unui triunghi are următoarea proprietate: suma pătratului distanței de la vârful triunghiului și pătratul laturii opuse este aceeași pentru orice vârf:

Dovada.

Să demonstrăm prima parte a egalității:

Să-l rescriem sub forma:

Conform teoremei lui Pitagora: (din triunghiuri și)

(din triunghi)

(din triunghi)

Înlocuind aceste expresii în (1), obținem:

Să deschidem parantezele și să obținem:

Avem o identitate. A doua parte a egalității este dovedită într-un mod similar.

3. Dacă descriem un cerc în jurul unui triunghi și extindem altitudinile triunghiului până când se intersectează cu acest cerc,

atunci, pentru orice înălțime a unui triunghi, distanța de la baza înălțimii până la punctul de intersecție al continuării înălțimii cu cercul este egală cu distanța de la baza înălțimii până la punctul de intersecție al înălțimii:

Sau cam asa: Punctele simetrice față de punctul de intersecție al altitudinilor triunghiului față de laturile triunghiului se află pe cercul circumferitor al triunghiului.

Dovada.

Să demonstrăm că.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare triunghiurile și , și demonstrați că :

Să folosim semnul că triunghiurile sunt egale de-a lungul unei laturi și a două unghiuri adiacente. - partea generală. Să demonstrăm egalitatea a două unghiuri.

Să demonstrăm că ∠ ∠

Fie ∠, atunci din triunghi obținem că

∠. Prin urmare, din triunghi obținem asta

Dar ∠ și ∠ se sprijină pe același arc, deci ∠ ∠ ∠

În mod similar, aflăm că ∠ ∠

4. Într-un triunghi, punctele și sunt bazele altitudinilor trase din vârfuri și. Demonstrați că un triunghi este similar cu un triunghi și coeficientul de asemănare este egal cu .

Dovada:

Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se află în mijlocul ipotenuzei . Ideea stă pe acest cerc pentru că - ipotenuza unui triunghi dreptunghic:

Ca unghiurile înscrise bazate pe un arc.

din triunghi:

De aici. Unghiul este unghiul comun al triunghiurilor și. Prin urmare, un triunghi este similar cu un triunghi. Coeficientul de similitudine este egal cu raportul laturilor similare, adică laturile care se află opuse unghiurilor egale:

teorema lui Ceva

Lăsați un triunghi

Segmentele se intersectează într-un punct dacă și numai dacă

Dovada.

Să demonstrăm că dacă segmentele se intersectează într-un punct, atunci relația (1) este îndeplinită.

Este ușor să verificați dacă , atunci este valabil

Să aplicăm această proprietate a proporției:

De asemenea:

Teorema lui Ceva poate fi scrisă după cum urmează:

Dacă segmentele se intersectează într-un punct, atunci este valabilă următoarea relație:

A dovedi Teorema lui Ceva sub formă de sinusuri, este suficient să înlocuiți în a doua parte a egalității (2) în loc de ariile triunghiurilor pentru aria fiecărui triunghi formula .

Din prelegerile lui Agakhanov Nazar Khangeldyevich și Vladimir Viktorovich Trushkov, KPK MIPT.

Un triunghi este un poligon cu trei laturi, sau o linie întreruptă închisă cu trei verigi sau o figură formată din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă (vezi Fig. 1).

Elementele de bază ale triunghiului abc

Vârfurile – punctele A, B și C;

Petreceri – segmentele a = BC, b = AC și c = AB care leagă vârfurile;

Unghiuri – α, β, γ formate din trei perechi de laturi. Unghiurile sunt adesea desemnate în același mod ca vârfurile, cu literele A, B și C.

Unghiul format de laturile unui triunghi și situat în zona sa interioară se numește unghi interior, iar cel adiacent acestuia este unghiul adiacent al triunghiului (2, p. 534).

Înălțimile, medianele, bisectoarele și liniile mediane ale unui triunghi

Pe lângă elementele principale dintr-un triunghi, sunt luate în considerare și alte segmente cu proprietăți interesante: înălțimi, mediane, bisectoare și linii mediane.

Înălţime

Înălțimile triunghiului- acestea sunt perpendiculare aruncate de la vârfurile triunghiului spre laturile opuse.

Pentru a reprezenta înălțimea, trebuie să efectuați următorii pași:

1) trageți o linie dreaptă care conține una dintre laturile triunghiului (dacă înălțimea este trasată de la vârful unui unghi ascuțit dintr-un triunghi obtuz);

2) de la vârful aflat opus liniei trasate, trageți un segment din punct până la această linie, făcând cu el un unghi de 90 de grade.

Se numește punctul în care altitudinea intersectează latura triunghiului baza de inaltime (vezi fig. 2).

Proprietățile altitudinilor triunghiului

Într-un triunghi dreptunghic, altitudinea trasată de la vârful unghiului drept îl împarte în două triunghiuri similare cu triunghiul original.

Într-un triunghi ascuțit, cele două altitudini ale sale decupează triunghiuri similare de el.

Dacă triunghiul este acut, atunci toate bazele altitudinilor aparțin laturilor triunghiului, iar într-un triunghi obtuz, două altitudini cad pe continuarea laturilor.

Trei altitudini dintr-un triunghi ascuțit se intersectează într-un punct și acest punct se numește ortocentru triunghi.

Median

Medianele(din latină mediana – „mijloc”) - acestea sunt segmente care leagă vârfurile triunghiului cu punctele mijlocii ale laturilor opuse (vezi Fig. 3).

Pentru a construi mediana, trebuie să efectuați următorii pași:

1) găsiți mijlocul laturii;

2) conectați punctul care este mijlocul laturii triunghiului cu vârful opus cu un segment.

Proprietățile medianelor triunghiulare

Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de suprafață egală.

Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate triunghi.

Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.

Bisectoare

Bisectoare(din latinescul bis - de două ori și seko - cut) sunt segmentele de linie dreaptă închise în interiorul unui triunghi care traversează unghiurile acestuia (vezi Fig. 4).

Pentru a construi o bisectoare, trebuie să efectuați următorii pași:

1) construiește o rază care iese din vârful unghiului și o împarte în două părți egale (bisectoarea unghiului);

2) găsiți punctul de intersecție al bisectoarei unghiului triunghiului cu latura opusă;

3) selectați un segment care leagă vârful triunghiului cu punctul de intersecție din partea opusă.

Proprietățile bisectoarelor triunghiului

Bisectoarea unui unghi al unui triunghi împarte latura opusă într-un raport egal cu raportul celor două laturi adiacente.

Bisectoarele unghiurilor interioare ale unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct se numește centrul cercului înscris.

Bisectoarele unghiurilor interne și externe sunt perpendiculare.

Dacă bisectoarea unui unghi exterior al unui triunghi intersectează extensia laturii opuse, atunci ADBD=ACBC.

Bisectoarele unui unghi intern și a două unghiuri externe ale unui triunghi se intersectează într-un punct. Acest punct este centrul unuia dintre cele trei cercuri ale acestui triunghi.

Bazele bisectoarelor a două unghiuri interior și unul exterior ale unui triunghi se află pe aceeași linie dreaptă dacă bisectoarea unghiului exterior nu este paralelă cu latura opusă a triunghiului.

Dacă bisectoarele unghiurilor externe ale unui triunghi nu sunt paralele cu laturile opuse, atunci bazele lor se află pe aceeași linie dreaptă.

Când studiezi orice subiect într-un curs școlar, poți selecta un anumit minim de probleme și, stăpânind metodele de rezolvare a acestora, studenții vor putea rezolva orice problemă la nivelul cerințelor programului pe tema studiată. Vă propun să luați în considerare probleme care vă vor permite să vedeți interrelațiile dintre subiectele individuale din cursul de matematică din școală. Prin urmare, sistemul compilat de sarcini este un mijloc eficient de repetare, generalizare și sistematizare a materialului educațional în cursul pregătirii elevilor pentru examen.

Pentru a promova examenul, va fi util să aveți informații suplimentare despre unele dintre elementele triunghiului. Să luăm în considerare proprietățile medianei unui triunghi și problemele de rezolvare a căror proprietăți pot fi utilizate. Sarcinile propuse implementează principiul diferențierii de nivel. Toate sarcinile sunt împărțite condiționat în niveluri (nivelul este indicat în paranteze după fiecare sarcină).

Să ne amintim câteva proprietăți ale medianei unui triunghi

Proprietatea 1. Demonstrați că mediana unui triunghi ABC, desenat din vârf A, mai puțin de jumătate din suma laturilor ABȘi A.C..

Dovada

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Proprietatea 2. Mediana taie triunghiul în două zone egale.

Dovada

Să desenăm din vârful B al triunghiului ABC mediana BD și înălțimea BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Deoarece segmentul BD este mediana, atunci

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Proprietatea 4. Medianele unui triunghi împart triunghiul în 6 triunghiuri egale.

Dovada

Să demonstrăm că aria fiecăruia dintre cele șase triunghiuri în care medianele împart triunghiul ABC este egală cu aria triunghiului ABC. Pentru a face acest lucru, luați în considerare, de exemplu, triunghiul AOF și aruncați o perpendiculară AK de la vârful A la linia BF.

Datorită proprietății 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Proprietatea 6. Mediana dintr-un triunghi dreptunghic tras de la vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză.

Dovada

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Consecințe:1. Centrul unui cerc circumscris unui triunghi dreptunghic se află la mijlocul ipotenuzei.

2. Dacă într-un triunghi lungimea medianei este egală cu jumătate din lungimea laturii pe care este trasată, atunci acest triunghi este dreptunghic.

SARCINI

La rezolvarea fiecărei probleme ulterioare, se folosesc proprietăți dovedite.

№1 Subiecte: Dublarea mediei. Dificultate: 2+

Semne și proprietăți ale unui paralelogram Note: 8,9

Condiție

Pe continuarea mediei A.M. triunghi ABC pe punct M segment amânat M.D., egal A.M.. Demonstrați că patrulaterul ABDC- paralelogram.

Soluţie

Să folosim unul dintre semnele paralelogramului. Diagonalele unui patrulater ABDC se intersectează într-un punct Mși împărțiți-l în jumătate, deci patrulaterul ABDC- paralelogram.

Există o teoremă care Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, iar acest punct împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1, unde 2 corespunde segmentului de la vârful de la care mediana este trasă până la punctul de intersecție al medianelor, iar 1 corespunde segmentului de la punctul de intersecție al medianelor până la mijlocul laturii în care este trasată mediana.

Pentru a demonstra această teoremă, luăm în considerare triunghiul ABC cu medianele AE, BF, CD. Adică punctele D, E, F bisectează laturile AB, BC, respectiv CA.
Nu știm dacă toate medianele se intersectează la un moment dat (acest lucru mai trebuie demonstrat). Cu toate acestea, oricare două mediane se vor intersecta într-un punct, deoarece nu pot fi paralele. Fie că medianele AE și BF se intersectează în punctul O.

BF mediană împarte AE mediană în două segmente AO și EO. Să tragem o dreaptă paralelă cu BF prin punctul E. Această dreaptă va intersecta latura AC într-un anumit punct L. De asemenea, vom trasa o altă dreaptă paralelă cu BF prin mijlocul segmentului AB (punctul D). Acesta va intersecta AC în punctul K.

Conform teoremei lui Thales, dacă pe o parte a unghiului de la vârful său așezăm segmente egale succesiv și trasăm linii paralele prin capetele acestor segmente care intersectează cealaltă parte a unghiului, atunci aceste linii paralele vor tăia și segmente egale. pe a doua parte a unghiului.

Să ne uităm la unghiul BCA al acestui triunghi. Segmentele BE și EC sunt egale între ele, liniile BF și EL sunt paralele între ele. Apoi, conform teoremei lui Thales, CL = LF.
Dacă ne uităm la unghiul BAC, deoarece AD ​​​​= BD și DK || BF, apoi AK = KF.

Deoarece segmentele AF și CF sunt egale între ele (deoarece sunt formate din mediană) și fiecare dintre ele este împărțit în două segmente egale, atunci toate cele patru segmente ale laturii AC sunt egale între ele: AK = KF = FL = LC.

Luați în considerare unghiul EAC. Prin capetele a trei segmente egale ale laturii AC sunt trasate linii paralele. În consecință, au tăiat segmente egale pe partea AE. Segmentul AO conține două astfel de segmente, iar EO doar unul. Astfel, am demonstrat că cel puțin o mediană a unui triunghi, în punctul de intersecție cu o altă mediană, este împărțită în două segmente, ale căror lungimi sunt legate ca 2: 1.

Acum luați în considerare intersecția medianei AE cu mediana CD. Lasă-le să se intersecteze în punctul P.

Similar cu cea precedentă, se demonstrează că liniile paralele FM, CD, EN împart latura AB în segmente egale. La rândul lor, ei împart AE în trei segmente egale. Mai mult, de la vârful A până la intersecția medianelor există două astfel de segmente, iar după aceea există unul.

Unul și același segment nu poate fi împărțit în trei părți egale, astfel încât cu o opțiune de divizare au aceeași dimensiune, iar cu alta - una diferită. Prin urmare, punctele O și P trebuie să coincidă. Aceasta înseamnă că toate cele trei mediane ale triunghiurilor se intersectează într-un punct.

Pentru a demonstra că celelalte două mediane sunt împărțite la punctul de intersecție în raportul 2: 1, puteți, în mod similar cu cea precedentă, să trasați linii paralele la laturile AB și BC.