Санамсаргүй, боломжгүй хоёр үйл явдлыг бодож ол. Найдвартай, санамсаргүй, боломжгүй хоёр үйл явдлыг бодож олоорой. Шинэ материал сурах

Хичээлийн сэдэв: "Санамсаргүй, найдвартай, боломжгүй үйл явдлууд"

Хичээлийн хөтөлбөрт заасан газар: "Комбинаторик. Санамсаргүй үйл явдал” хичээл 5/8

Хичээлийн төрөл: Шинэ мэдлэгийг бий болгох хичээл

Хичээлийн зорилго:

Боловсролын:

o санамсаргүй, тодорхой, боломжгүй үйл явдлын тодорхойлолтыг танилцуулах;

o бодит нөхцөл байдлын явцад магадлалын онолын нэр томъёог тодорхойлохыг заах: найдвартай, боломжгүй, тэнцүү магадлалтай үйл явдлууд;

Хөгжиж байна:

o логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх,

o оюутнуудын танин мэдэхүйн сонирхол,

o харьцуулах, дүн шинжилгээ хийх чадвар,

Боловсролын:

o Математик судлах сонирхлыг нэмэгдүүлэх,

o оюутнуудын ертөнцийг үзэх үзлийг хөгжүүлэх.

o оюуны чадвар, сэтгэцийн үйл ажиллагаа эзэмшсэн байх;

Сургалтын аргууд:тайлбар-зураглал, нөхөн үржихүйн, математикийн диктант.

UMC:Математик: 6 эсийн сурах бичиг. редакцийн дор "Гэгээрэл" хэвлэлийн газар, 2008 он, Математик, 5-6: ном. багшийн хувьд / [, [ , ]. - М.: Боловсрол, 2006.

Дидактик материал: самбарын зурагт хуудас.

Уран зохиол:

1. Математик: сурах бичиг. 6 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд/ гэх мэт]; ed. , ; Рос. акад. Шинжлэх ухаан, Рос. акад. боловсрол, "Гэгээрэл" хэвлэлийн газар. - 10 дахь хэвлэл. - М.: Гэгээрэл, 2008.-302 х.: өвчтэй. - (Академик сургуулийн сурах бичиг).

2. Математик, 5-б: ном. багшийн хувьд / [, ]. - М.: Боловсрол, 2006. - 191 х. : өвчтэй.

4. Статистик, комбинаторик, магадлалын онолын асуудлуудыг шийдвэрлэх. 7-9 анги. / auth.- comp. . Эд. 2-р, илч. - Волгоград: Багш, 2006. -428 х.

5. Мэдээллийн технологи ашиглан математикийн хичээл. 5-10 анги. Арга зүй - цахим хэрэглээ бүхий гарын авлага / болон бусад. 2-р хэвлэл, хэвшмэл ойлголт. - М .: Глобус хэвлэлийн газар, 2010. - 266 х. (Орчин үеийн сургууль).

6. Математикийн хичээл заах орчин үеийн сургууль. Удирдамж. Владивосток: PIPPCRO хэвлэлийн газар, 2003 он.

ХИЧЭЭЛИЙН ТӨЛӨВЛӨГӨӨ

I. Зохион байгуулалтын мөч.

II. аман ажил.

III. Шинэ материал сурах.

IV. Ур чадвар, чадварыг бүрдүүлэх.

V. Хичээлийн үр дүн.

V. Гэрийн даалгавар.

ХИЧЭЭЛИЙН ҮЕД

1. Зохион байгуулах мөч

2. Мэдлэгийг шинэчлэх

15*(-100)

Аман ажил:

3. Шинэ материалын тайлбар

Багш: Бидний амьдрал ихэвчлэн ослоос бүрддэг. "Магадлалын онол" гэдэг ийм шинжлэх ухаан байдаг. Түүний хэлээр олон үзэгдэл, нөхцөл байдлыг дүрсэлж болно.

Александр Македонский эсвэл Дмитрий Донской зэрэг эртний командлагчид тулалдаанд бэлтгэж байхдаа дайчдын эр зориг, ур чадварт төдийгүй санамсаргүй байдалд найдаж байв.

Олон хүмүүс математикт дуртай мөнхийн үнэнүүдхоёрыг хоёр үржүүлбэл үргэлж дөрөв, тэгш тоонуудын нийлбэр тэгш, тэгш өнцөгтийн талбай нь түүний зэргэлдээ талуудын үржвэртэй тэнцүү гэх мэт.Таны шийдвэрлэсэн аливаа асуудалд бүгд ижил хариултыг авдаг - чи зүгээр л шийдэлд алдаа гаргах шаардлагагүй.

Бодит амьдрал тийм ч энгийн бөгөөд хоёрдмол утгатай биш юм. Олон үйл явдлын үр дүнг урьдчилан таамаглах боломжгүй юм. Тухайлбал, шидсэн зоос аль тал руугаа орох, ирэх жилийн анхны цас хэзээ орох, хотын хэдэн хүн ойрын нэг цагийн дотор утсаар ярихыг хүсэхийг яг таг хэлэх боломжгүй. Ийм урьдчилан таамаглах боломжгүй үйл явдлуудыг нэрлэдэг Санамсаргүй .

Гэсэн хэдий ч энэ хэрэг нь өөрийн гэсэн хуультай бөгөөд санамсаргүй үзэгдлүүдийг олон дахин давтсаар илэрч эхэлдэг. Хэрэв та зоосыг 1000 удаа шидэх юм бол "бүргэд" бараг тал хувь нь унах болно, үүнийг хоёр, бүр арван шидэлт гэж хэлж болохгүй. "Ойролцоогоор" гэдэг нь хагас гэсэн үг биш юм. Дүрмээр бол энэ нь байж болно, үгүй ​​ч байж болно. Хуульд ерөнхийдөө тодорхой зүйл заагаагүй ч санамсаргүй үйл явдал тохиолдох болно гэдгийг тодорхой хэмжээгээр баталгаажуулдаг.

Ийм зүй тогтлыг математикийн тусгай салбар судалдаг. Магадлалын онол . Үүний тусламжтайгаар та анхны цас орсон огноо, утасны дуудлагын тоог хоёуланг нь илүү итгэлтэйгээр (гэхдээ тийм ч тодорхой биш) таамаглаж чадна.

Магадлалын онол манайхтай салшгүй холбоотой өдөр тутмын амьдрал. Энэ нь бидэнд магадлалын олон хууль тогтоох сайхан боломжийг олгож байна эмпирик байдлаарсанамсаргүй туршилтыг олон удаа давтах замаар. Эдгээр туршилтын материал нь ихэвчлэн энгийн зоос, шоо, даалууны багц, backgammon, рулет, тэр ч байтугай хөзрийн тавцан байх болно. Эдгээр зүйл бүр нь ямар нэгэн байдлаар тоглоомтой холбоотой байдаг. Баримт нь энд тохиолдол хамгийн их тохиолддог хэлбэрээр гарч ирдэг. Эхний магадлалын даалгавар нь тоглогчдын ялах боломжийг үнэлэхтэй холбоотой байв.

Орчин үеийн магадлалын онол нь мөрийтэй тоглоомоос холдсон боловч тэдгээрийн тулгуур нь боломжийн хамгийн энгийн бөгөөд найдвартай эх сурвалж хэвээр байна. Рулет болон үхэртэй дасгал хийснээр та бодит амьдрал дээр санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг хэрхэн тооцоолох талаар сурах болно. амьдралын нөхцөл байдал, энэ нь танд амжилтанд хүрэх боломжоо үнэлэх, таамаглалыг шалгах, зөвхөн тоглоом, сугалаанд төдийгүй оновчтой шийдвэр гаргах боломжийг олгоно.

Магадлалын асуудлыг шийдвэрлэхдээ маш болгоомжтой байгаарай, алхам бүрийг зөвтгөхийг хичээ, учир нь математикийн өөр ямар ч салбарт ийм олон тооны парадокс байдаггүй. Магадлалын онол шиг. Үүний гол тайлбар нь бидний амьдарч буй бодит ертөнцтэй холбоотой байж магадгүй юм.

Олон тоглоомд тал тус бүрдээ 1-6 оноотой өөр өөр оноотой үхрийг ашигладаг.Тоглогч талийгаачийг өнхрүүлэн хэдэн цэг унасныг (дээд талд байрлах талд) харж, тохирох тоог гаргадаг. нүүдлийн тоо: 1,2,3 ,4,5, эсвэл 6. Үзүүр шидэх нь туршлага, туршилт, сорилт, гарсан үр дүнг үйл явдал гэж үзэж болно. Хүмүүс ихэвчлэн үйл явдлын эхлэлийг таах, түүний үр дүнг урьдчилан таамаглах сонирхолтой байдаг. Шоо шидэхэд тэд ямар таамаг дэвшүүлж чадах вэ?

Эхний таамаглал: 1,2,3,4,5,6 гэсэн тоонуудын аль нэг нь унана.Таны таамагласан үйл явдал ирнэ гэж бодож байна уу, үгүй ​​юу? Мэдээжийн хэрэг гарах нь гарцаагүй.

Тухайн туршлагад гарцаагүй тохиолдох үйл явдлыг дуудна жинхэнэүйл явдал.

Хоёр дахь таамаглал : 7 тоо унана.Таны таамагласан үйл явдал ирнэ гэж бодож байна уу, үгүй ​​юу? Энэ нь мэдээжийн хэрэг болохгүй, энэ нь зүгээр л боломжгүй юм.

Тухайн туршилтанд тохиолдох боломжгүй үйл явдлыг дуудна боломжгүйүйл явдал.

Гурав дахь таамаглал : 1-ийн тоо унана.Таны таамагласан үйл явдал ирнэ гэж бодож байна уу, үгүй ​​юу? Урьдчилан таамагласан үйл явдал тохиолдож магадгүй, үгүй ​​ч байж магадгүй тул бид энэ асуултад бүрэн итгэлтэй хариулж чадахгүй.

Ижил нөхцөлд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй үйл явдлуудыг дууддаг Санамсаргүй.

Жишээ. Хайрцагт цэнхэр өнгийн савлагаатай 5 шоколад, цагаан өнгийн нэг шоколад байна. Хайрцаг руу харалгүйгээр тэд санамсаргүй байдлаар нэг чихэр гаргаж авдаг. Энэ нь ямар өнгөтэй болохыг урьдчилан хэлэх боломжтой юу?

Дасгал хийх : доорх даалгаварт хэлэлцсэн үйл явдлуудыг тайлбарлана уу. Тодорхой, боломжгүй эсвэл санамсаргүй байдлаар.

1. Зоос эргүүл. Төрийн сүлд гарч ирэв. (Санамсаргүй)

2. Анчин чоно руу буудаж, цохив. (Санамсаргүй)

3. Сургуулийн сурагч орой болгон зугаалдаг. Даваа гаригт зугаалж явахдаа гурван танилтайгаа уулзсан. (Санамсаргүй)

4. Дараах туршилтыг оюун ухаанаараа хийцгээе: аягатай усыг доош нь эргүүл. Хэрэв энэ туршилтыг сансарт биш, харин гэртээ эсвэл ангид хийвэл ус асгарах болно. (жинхэнэ)

5. Бай руу гурван удаа буудсан.” Таван хит болсон." (боломжгүй)

6. Чулууг дээш шид. Чулуу нь агаарт дүүжлэгдсэн хэвээр байна. (боломжгүй)

ЖишээПетя жирэмсэлсэн натурал тоо. Үйл явдал дараах байдалтай байна.

а) тэгш тоо үүссэн; (Санамсаргүй)

б) сондгой тоо гарсан; (Санамсаргүй)

в) тэгш, сондгой ч биш тоо гарсан; (боломжгүй)

г) тэгш эсвэл сондгой тоо гарч ирнэ. (жинхэнэ)

Өгөгдсөн нөхцөлд ижил боломж бүхий үйл явдлуудыг дуудна тэнцүү магадлалтай.

Тэнцүү боломж бүхий санамсаргүй үйл явдлуудыг дууддаг адил боломжтой эсвэл тэнцүү магадлалтай .

Зурагт хуудсыг самбар дээр тавь.

Аман шалгалтанд оюутан өмнө нь тавьсан тасалбаруудын аль нэгийг авдаг. Шалгалтын тасалбарын аль нэгийг авах боломж тэнцүү байна. Шоо шидэх үед 1-6 хүртэлх тооны оноо, зоос шидэх үед толгой эсвэл сүүл алдах магадлалтай.

Гэхдээ бүх үйл явдал тийм биш юм адил боломжтой. Сэрүүлгийн цаг дуугарахгүй, чийдэн нь шатаж, автобус эвдэрч магадгүй, гэхдээ ердийн нөхцөлд ийм үйл явдал гардаг. магадлал багатай. Сэрүүлэг дуугарч, гэрэл асч, автобус явах магадлал өндөр байна.

Зарим үйл явдал боломжилүү их тохиолддог, энэ нь тэд илүү магадлалтай гэсэн үг юм - найдвартай ойр. Мөн бусад нь боломж багатай, магадлал багатай - боломжгүй юм.

Боломжгүй үйл явдлууд тохиолдох боломж байдаггүй, зарим үйл явдал тохиолдох бүрэн боломжтой, тодорхой нөхцөлд тэд гарцаагүй тохиолдох болно.

ЖишээПетя, Коля хоёр төрсөн өдрөө харьцуулдаг. Үйл явдал дараах байдалтай байна.

a) тэдний төрсөн өдөр таарахгүй байна; (Санамсаргүй)

б) тэдний төрсөн өдөр ижил байна; (Санамсаргүй)

г) төрсөн өдөр хоёулаа амралтын өдрүүдэд таардаг - Шинэ он(1-р сарын 1) ба Оросын тусгаар тогтнолын өдөр (6-р сарын 12). (Санамсаргүй)

3. Ур чадвар, чадварыг бүрдүүлэх

Сурах бичгийн 000-р даалгавар. Дараах тохиолдлын аль нь найдвартай, боломжтой вэ?

а) яст мэлхий ярьж сурах болно;

б) зуухны данх дахь ус буцалгана;

г) сугалаанд оролцож хожих;

д) хожсон сугалаанд оролцсоноор хожихгүй;

е) та шатрын тоглолтонд хожигдох болно;

g) та маргааш харь гарагийн хүнтэй уулзах болно;

з) ирэх долоо хоногт цаг агаар муудна; i) та хонх дарсан боловч дуугарсангүй; и) өнөөдөр - Пүрэв гараг;

к) Пүрэв гарагаас хойш Баасан гараг болно; м) Баасан гарагаас хойш пүрэв гараг байх уу?

Хайрцагт 2 улаан, 1 шар, 4 ногоон бөмбөг байна. Хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар гурван бөмбөг сугалж авдаг. Дараах үйл явдлуудын аль нь боломжгүй, санамсаргүй, тодорхой вэ?

Х: Гурван ногоон бөмбөг сугалж авна;

Б: Гурван улаан бөмбөг сугалах болно;

C: хоёр өнгийн бөмбөг зурах болно;

D: ижил өнгийн бөмбөгийг зурах болно;

E: зурсан бөмбөгнүүдийн дунд цэнхэр өнгөтэй байна;

F: зурсан хүмүүсийн дунд гурван өнгийн бөмбөг байдаг;

Г: Сугалсан бөмбөгнүүдийн дунд хоёр шар бөмбөг байна уу?

Өөрийгөө шалга. (математикийн диктант)

1) Дараах үйл явдлуудын аль нь боломжгүй, аль нь тодорхой, аль нь санамсаргүй болохыг заана уу.

"Спартак" - "Динамо" багуудын хөлбөмбөгийн тоглолт тэнцээгээр өндөрлөнө (Санамсаргүй)

Та хожсон сугалаанд оролцсоноор хожих болно ( жинхэнэ)

Шөнө дунд цас орж, 24 цагийн дараа нар тусна (боломжгүй)

· Маргааш математикийн шалгалттай. (Санамсаргүй)

· Та АНУ-ын Ерөнхийлөгчөөр сонгогдоно. (боломжгүй)

· Та ОХУ-ын ерөнхийлөгчөөр сонгогдоно. (Санамсаргүй)

2) Та дэлгүүрт телевизор худалдаж авсан бөгөөд үйлдвэрлэгч нь хоёр жилийн баталгаа өгдөг. Дараах үйл явдлуудын аль нь боломжгүй, аль нь санамсаргүй, аль нь тодорхой вэ?

· Зурагт нэг жилийн дотор эвдэрдэггүй. (Санамсаргүй)

Хоёр жилийн дотор зурагт эвдэрдэггүй . (Санамсаргүй)

· Хоёр жилийн дотор та зурагт засварын төлбөр төлөх шаардлагагүй болно. (жинхэнэ)

Гурав дахь жилдээ зурагт эвдэрнэ. (Санамсаргүй)

3) 15 зорчигч тээвэрлэх автобус 10 зогсох ёстой. Дараах үйл явдлуудын аль нь боломжгүй, аль нь санамсаргүй, аль нь тодорхой вэ?

· Бүх зорчигчид өөр өөр зогсоол дээр автобуснаас бууна. (боломжгүй)

Бүх зорчигчид нэг буудал дээр бууна. (Санамсаргүй)

Зогсоол болгонд ядаж хэн нэгэн буух болно. (Санамсаргүй)

Хэн ч буухгүй зогсоол байх болно. (Санамсаргүй)

Бүх зогсоол дээр тэгш тооны зорчигч бууна. (боломжгүй)

Бүх зогсоол дээр сондгой тооны зорчигч бууна. (боломжгүй)

Хичээлийн хураангуй

Оюутнуудад зориулсан асуултууд:

Ямар үйл явдлыг санамсаргүй гэж нэрлэдэг вэ?

Ямар үйл явдлыг тэнцүү магадлалтай гэж нэрлэдэг вэ?

Ямар үйл явдлыг найдвартай гэж үздэг вэ? боломжгүй юу?

Аль үйл явдал илүү магадлалтай гэж үздэг вэ? магадлал бага байна уу?

Гэрийн даалгавар : 9.3-р зүйл

Үгүй 000. Тодорхой, боломжгүй үйл явдлууд, мөн заавал тохиолдох гэж хэлж болохгүй үйл явдлуудын гурван жишээг бод.

902. Хайрцагт 10 улаан, 1 ногоон, 2 цэнхэр үзэг байна. Хайрцагнаас санамсаргүй байдлаар хоёр үзэг гаргаж авдаг. Дараах үйл явдлуудын аль нь боломжгүй вэ, тодорхой:

Х: Хоёр улаан бариулыг гаргаж авна; Б: Хоёр ногоон бариулыг сугалж авна; C: хоёр цэнхэр бариулыг сугалж авна; D: Янз бүрийн өнгийн хоёр бариул гаргана;

Э: Хоёр харандаа гаргах уу? 03. Егор, Данила хоёр тохиролцсон: хэрвээ эргэдэг сум (зураг 205) цагаан талбайд зогсвол Егор хашааг, хэрэв цэнхэр талбайд бол Данила будна. Аль хүү хашаа будах нь илүү вэ?

Хичээлийн зорилго:

1. Тодорхой, боломжгүй, санамсаргүй үйл явдлын тухай ойлголтыг танилцуулах.
2. Үйл явдлын төрлийг тодорхойлох мэдлэг, чадварыг бий болгох.
3. Хөгжүүлэх: тооцоолох чадвар; Анхаар; дүн шинжилгээ хийх, үндэслэл гаргах, дүгнэлт гаргах чадвар; бүлгийн ажлын ур чадвар.

Хичээлийн үеэр

1) Зохион байгуулалтын мөч.

Интерактив дасгал: хүүхдүүд жишээг шийдэж, үгсийг тайлж, үр дүнгийн дагуу бүлгүүдэд (найдвартай, боломжгүй, санамсаргүй) хуваагдаж, хичээлийн сэдвийг тодорхойлно.

1 карт.

0,5	1,6	12,6	5,2	7,5	8	5,2	2,08	0,5	9,54	1,6

2 карт

0,5	2,1	14,5	1,9	2,1	20,4	14	1,6	5,08	8,94	14

3 карт

5	2,4	6,7	4,7	8,1	18	40	9,54	0,78

2) Судалсан мэдлэгээ бодит болгох.

"Алга ташилт" тоглоом: тэгш тоо - алга ташилт, сондгой тоо - бос.

Даалгавар: өгөгдсөн цуврал тооноос 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... тэгш, сондгойг тодорхойл.

3) Шинэ сэдэв сурах.

Таны ширээн дээр шоо байна. Тэднийг илүү нарийвчлан авч үзье. Чи юу харж байна?

Шоог хаана хэрэглэдэг вэ? Хэрхэн?

Бүлгийн ажил.

Туршилт хийж байна.

Шоо шидэхэд ямар таамаг дэвшүүлж болох вэ?

Эхний таамаглал: 1,2,3,4,5 эсвэл 6 гэсэн тоонуудын аль нэг нь унах болно.

Тухайн туршлагад гарцаагүй тохиолдох үйл явдлыг дуудна жинхэнэ.

Хоёр дахь таамаглал: 7 тоо гарч ирнэ.

Урьдчилан таамагласан үйл явдал болох болов уу, үгүй ​​гэж бодож байна уу?

Энэ нь боломжгүй зүйл!

Тухайн туршилтанд тохиолдох боломжгүй үйл явдлыг дуудна боломжгүй.

Гурав дахь таамаглал: 1-ийн тоо гарч ирнэ.

Энэ үйл явдал болох уу?

Тухайн туршлагад тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болох үйл явдлыг дуудна Санамсаргүй.

4) Судалсан материалыг нэгтгэх.

I. Үйл явдлын төрлийг тодорхойлох

-Маргааш улаан өнгөтэй цас орно.

Маргааш их хэмжээний цас орно.

Маргааш хэдийгээр долдугаар сар болсон ч цас орно.

Маргааш хэдийгээр долдугаар сар болсон ч цас орохгүй.

Маргааш цас орж, цасан шуурга шуурна.

II. Үйл явдал боломжгүй болохуйц байдлаар энэ өгүүлбэрт үг нэм.

Коля түүхэнд А үнэлгээ авсан.

Саша шалгалтанд нэг ч даалгавар биелүүлээгүй.

Оксана Михайловна (түүхийн багш) шинэ сэдвийг тайлбарлах болно.

III. Боломжгүй, санамсаргүй, тодорхой үйл явдлын жишээг өг.

IV. Сурах бичгийн дагуу ажиллах (бүлэгт).

Доорх даалгавруудад хэлэлцсэн үйл явдлуудыг тодорхой, боломжгүй эсвэл санамсаргүй гэж тайлбарла.

№ 959. Петя натурал тоог бодож олжээ. Үйл явдал дараах байдалтай байна.

а) тэгш тоо үүссэн;

б) сондгой тоо гарсан;

в) тэгш, сондгой ч биш тоо гарсан;

г) тэгш эсвэл сондгой тоо гарч ирнэ.

№ 960. Та энэ сурах бичгийг дурын хуудсан дээр нээж, хамгийн түрүүнд таарсан нэр үгийг сонгосон. Үйл явдал дараах байдалтай байна.

а) сонгогдсон үгийн зөв бичгийн дүрэмд эгшиг байгаа;

б) сонгосон үгийн зөв бичгийн дүрмээр "o" үсэг байна;

в) сонгосон үгийн зөв бичгийн дүрэмд эгшиг байхгүй;

г) сонгогдсон үгийн зөв бичихэд зөөлөн тэмдэг байна.

#961, #964-ийг шийд.

Шийдвэрлэсэн ажлуудын талаар ярилцах.

5) Тусгал.

1. Хичээл дээр ямар үйл явдлуудтай танилцсан бэ?

2. Дараах үйл явдлуудын аль нь тодорхой, аль нь боломжгүй, аль нь санамсаргүй болохыг заана уу.

a) зуны амралт байхгүй болно;

б) сэндвич нь цөцгийн тос доошоо унах болно;

в) хичээлийн жил хэзээ нэгэн цагт дуусна.

6) Гэрийн даалгавар:

Найдвартай, санамсаргүй, боломжгүй хоёр үйл явдлыг бодож олоорой.

Тэдгээрийн аль нэгийг нь зур.

Математикийн аль ч салбарын нэгэн адил магадлалын онол нь тодорхой хүрээний ойлголттой ажилладаг. Магадлалын онолын ихэнх ойлголтыг тодорхойлсон боловч заримыг нь геометрийн хувьд цэг, шулуун, хавтгай гэх мэт тодорхойлогддоггүй анхдагч гэж авдаг. Магадлалын онолын үндсэн ойлголт бол үйл явдал юм. Үйл явдал гэдэг нь тодорхой цаг хугацааны дараа хоёрын зөвхөн нэгийг нь хэлж болох зүйлийг хэлнэ.

• · Тийм ээ, болсон.
• · Үгүй, тийм зүйл болоогүй.

Жишээлбэл, би сугалааны тасалбартай. Сугалааны тохирлын үр дүнг нийтэлсний дараа миний сонирхлыг татсан үйл явдал - мянган рубль хожих нь тохиолдох эсвэл тохиолддоггүй. Туршилтын (эсвэл туршлагын) үр дүнд аливаа үйл явдал тохиолддог. Туршилтын (эсвэл туршлага) дагуу үйл явдал тохиолдсон нөхцөл байдлыг ойлгох. Жишээлбэл, зоос шидэх нь сорилт, дээр нь "сүлд" харагдах нь үйл явдал юм. Үйл явдлыг ихэвчлэн латин том үсгээр тэмдэглэдэг: A, B, C, .... Материаллаг ертөнц дэх үйл явдлуудыг тодорхой, боломжгүй, санамсаргүй гэсэн гурван төрөлд хувааж болно.

Тодорхой үйл явдал бол болох нь урьдчилан мэдэгдэж байгаа үйл явдал юм. Үүнийг W үсгээр тэмдэглэдэг. Иймээс энгийн шоо шидэх үед 6-аас илүүгүй оноо найдвартай, зөвхөн цагаан бөмбөг агуулсан савнаас сугалахад цагаан бөмбөг харагдах гэх мэт.

Боломжгүй үйл явдал бол болохгүй нь урьдаас мэдэгдэж байсан үйл явдал юм. Үүнийг Е үсгээр тэмдэглэв. Боломжгүй үйл явдлын жишээ бол энгийн хөзрийн тавцангаас дөрвөөс дээш хөзрийн дүрс зурах, зөвхөн цагаан, хар бөмбөг агуулсан савнаас улаан бөмбөг гарч ирэх гэх мэт.

Туршилтын үр дүнд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болох үйл явдлыг санамсаргүй үзэгдэл гэнэ. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдох боломжийг үгүйсгэж байвал А ба В үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Тиймээс үхэл шидэх үед аль ч боломжит тооны оноо гарч ирэх нь (А үйл явдал) өөр тооны харагдахтай (B үйл явдал) нийцэхгүй байна. Тэгш тооны оноо өнхрүүлэх нь сондгой тоог өнхрүүлэхтэй нийцэхгүй. Үүний эсрэгээр, тэгш тоо (А үйл явдал) болон гуравт хуваагдах олон тооны цэгүүд (В үйл явдал) хоорондоо үл нийцэхгүй, учир нь зургаан оноо алдах нь А үйл явдал, В үйл явдал хоёулаа тохиолдохыг хэлдэг тул нэг нь тохиолдох болно. тэдгээрийн нэг нь нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй. Үйл явдал дээр үйл ажиллагаа явуулж болно. Хоёр үйл явдлын нэгдэл C=AUB нь эдгээр А ба В үзэгдлүүдийн ядаж нэг нь тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог С үйл явдал юм.Хоёр үйл явдлын огтлолцол D=A?? B нь зөвхөн А ба В хоёр үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд л тохиолддог үйл явдал юм.

Бидний ажиглаж буй үйл явдлуудыг (үзэгдэл) найдвартай, боломжгүй, санамсаргүй гэсэн гурван төрөлд хувааж болно.

найдвартайТодорхой нөхцөл S хэрэгжсэн тохиолдолд гарцаагүй тохиолдох үйл явдлыг нэрлэнэ.Жишээ нь, хөлөг онгоцонд атмосферийн хэвийн даралт, 20 хэмийн температуртай ус агуулагдаж байвал “сав дахь ус шингэн төлөвт байна ” гэдэгт итгэлтэй байна. Энэ жишээнд заасан атмосферийн даралт ба усны температур нь S нөхцлийн багцыг бүрдүүлдэг.

Боломжгүй S нөхцлийн багц хэрэгжвэл гарцаагүй тохиолдохгүй үйл явдал гэж нэрлэнэ.Жишээ нь, өмнөх жишээний багц нөхцлүүдийг хэрэгжүүлбэл “сав дахь ус хатуу төлөвт байна” үйл явдал мэдээж тохиолдохгүй.

СанамсаргүйҮйл явдлыг S нөхцлийн багцын хэрэгжилтийн дор тохиолдож болох эсвэл болохгүй үйл явдал гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, зоос шидвэл дээр нь сүлд эсвэл бичээс байхаар унаж болно. Тиймээс “Зоос шидэх үед “сүлд” унасан тохиолдол санамсаргүй тохиолддог. Санамсаргүй үйл явдал бүр, ялангуяа "сүлд" уналт нь маш олон санамсаргүй шалтгааны үйл ажиллагааны үр дүн юм (бидний жишээнд: зоос шидсэн хүч, зоосны хэлбэр болон бусад олон зүйл. ). Эдгээр бүх шалтгааны үр дүнд үзүүлэх нөлөөг харгалзан үзэх боломжгүй, учир нь тэдгээрийн тоо маш их бөгөөд тэдгээрийн үйл ажиллагааны хууль тогтоомж нь тодорхойгүй байна. Тиймээс магадлалын онол нь нэг үйл явдал болох эсэхийг урьдчилан таамаглах үүрэг даалгавар өгдөггүй - энэ нь зүгээр л үүнийг хийж чадахгүй.

Хэрэв бид ижил нөхцөлд дахин дахин ажиглагдаж болох санамсаргүй үйл явдлуудыг авч үзэх юм бол нөхцөл байдал өөр байна. Энэ нь хангалттай харагдаж байна том тоонэгэн төрлийн санамсаргүй үйл явдлууд нь тодорхой шинж чанараас үл хамааран тодорхой хуулиудад, тухайлбал магадлалын хуулиудад захирагддаг. Эдгээр зүй тогтлыг бий болгох асуудал нь магадлалын онол юм.

Иймд магадлалын онолын сэдэв нь нэгэн төрлийн нэгэн төрлийн санамсаргүй үйл явдлын магадлалын зүй тогтлыг судлах явдал юм.

Магадлалын онолын аргууд нь байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Магадлалын онол нь мөн математик болон хэрэглээний статистикийг батлахад үйлчилдэг.

Санамсаргүй үйл явдлын төрлүүд. Үйл явдал гэж нэрлэдэг нийцэхгүйхэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь ижил шүүх хуралдаанд бусад үйл явдал тохиолдохыг үгүйсгэж байвал.

Жишээ. Зоос шидэж байна. "Сүлд"-ийн дүр төрх нь бичээсийн харагдах байдлыг үгүйсгэдэг. "Сүлд үзэгдэв", "Бичээс гарч ирэв" гэсэн үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байна.

Хэд хэдэн үйл явдал үүсдэг бүтэн бүлэг, хэрэв тэдгээрийн дор хаяж нэг нь туршилтын үр дүнд гарч ирвэл. Ялангуяа, хэрэв бүрэн бүлгийг бүрдүүлж буй үйл явдлууд нь хосоороо нийцэхгүй бол эдгээр үйл явдлын нэг бөгөөд зөвхөн нэг нь туршилтын үр дүнд гарч ирнэ. Энэ нь бидний хувьд хамгийн их сонирхол татаж байгаа тул үүнийг доор ашиглах болно.

Жишээ 2. Бэлэн мөнгө, хувцасны сугалааны хоёр тасалбар худалдаж авсан. Дараах үйл явдлуудын нэг бөгөөд зөвхөн нэг нь заавал тохиолдох болно: "хожил эхний тасалбар дээр унасан бөгөөд хоёр дахь тасалбар дээр унасангүй", "хожил эхний тасалбар дээр унасангүй, хоёрдугаарт унасан", "хожил унасан" хоёр тасалбар дээр", "хожлол хоёр тасалбар дээр хожсонгүй". унав." Эдгээр үйл явдлууд нь хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Жишээ 3. Буудагч бай руу буудсан. Дараах хоёр үйл явдлын нэг нь тохиолдох нь гарцаагүй: цохих, мисс. Эдгээр хоёр салангид үйл явдал нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг адил боломжтойаль нь ч нөгөөгөөсөө илүү боломжгүй гэж үзэх үндэслэл байгаа бол.

Жишээ 4. Зоос шидэх үед “Сүлд” гарч ирэх, бичээс харагдах нь адил боломжтой үйл явдал юм. Үнэн хэрэгтээ, зоос нь нэгэн төрлийн материалаар хийгдсэн, ердийн цилиндр хэлбэртэй, зоосны мөнгө байгаа нь зоосны нэг эсвэл өөр талыг алдахад нөлөөлдөггүй гэж үздэг.

Латин цагаан толгойн том үсгээр өөрийгөө тодорхойлох: A, B, C, .. A 1, A 2 ..

Эсрэг талуудыг 2 өвөрмөц боломжтой би гэж нэрлэдэг бөгөөд бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг. Хоёрын аль нэг нь эсрэгээрээ байвал үйл явдлуудыг A гэж тэмдэглэвэл бусад тэмдэглэгээг A` гэж тэмдэглэнэ.

Жишээ 5. Бай руу буудах үед онох, алдах - эсрэг хүйстэн. эзэмшдэг.

1.1. Комбинаторикийн зарим мэдээлэл

1.1.1. Байр байр

Тодорхой объектын сонголт, байршилтай холбоотой хамгийн энгийн ойлголтуудыг авч үзье.
Магадлалын асуудлыг шийдвэрлэх үед эдгээр үйлдлүүдийг гүйцэтгэх арга замуудын тоог тоолох нь ихэвчлэн хийгддэг.
Тодорхойлолт. -аас байр nэлементүүд к (к ≤n) нь ямар ч эрэмбэлэгдсэн дэд олонлог юм к-аас бүрдэх олонлогийн элементүүд nянз бүрийн элементүүд.
Жишээ.Дараах тоонуудын дараалал нь олонлогийн 3 элементээс (1;2;3) 2 элементийн зохион байгуулалт юм: 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Байршлуулалт нь тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн дараалал, тэдгээрийн найрлагад өөр өөр байдаг гэдгийг анхаарна уу. 12 ба 21-р байршилд ижил тоо орсон боловч дараалал нь өөр байна. Тиймээс эдгээр байршлыг өөр өөр гэж үздэг.
-аас өөр өөр байршлын тоо nэлементүүд ктомъёогоор тэмдэглэж, тооцоолно:
,
хаана n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(унших" nхүчин зүйл).
Тоо хоёр оронтой тоо, 1, 2, 3 тооноос бүрдэх боломжтой бөгөөд нэг оронтой тоо давтагдахгүй бол: .

1.1.2. Сэлгээ

Тодорхойлолт. Оруулсан өөрчлөлтүүд nэлементүүдийг ийм байршуулалт гэж нэрлэдэг nзөвхөн элементүүдийн зохион байгуулалтаар ялгаатай элементүүд.
-аас солих тоо nэлементүүд П нтомъёогоор тооцоолно: П н=n!
Жишээ. 5 хүн хэдэн янзаар жагсах вэ? Аргын тоо нь 5 элементийн сэлгэцийн тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
П 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Тодорхойлолт. Хэрэв дунд нь nэлементүүд кижил, дараа нь эдгээрийн орлуулах nэлементүүдийг давталттай солих гэж нэрлэдэг.
Жишээ. 6 номын 2 нь ижил байна гэж бодъё. Тавиур дээрх бүх номны ямар ч зохицуулалт нь давталттай солигдол юм.
Давталттай өөр өөр сэлгэлтийн тоо ( nэлементүүд, тэдгээрийн дотор кижил) томъёогоор тооцоолно: .
Бидний жишээнд номыг тавиур дээр байрлуулах хэд хэдэн арга байна: .

1.1.3. Хослолууд

Тодорхойлолт. -аас хослолууд nэлементүүд кийм байршуулалт гэж нэрлэдэг nэлементүүд к, бие биенээсээ дор хаяж нэг элементээр ялгаатай.
Төрөл бүрийн хослолуудын тоо nэлементүүд ктомъёогоор тэмдэглэж, тооцоолно: .
Тодорхойлолтоор 0!=1.
Хослолууд нь дараахь шинж чанартай байдаг.
1.
2.
3.
4.
Жишээ.Янз бүрийн өнгөтэй 5 цэцэг байдаг. Нэг баглааны хувьд 3 цэцэг сонгосон. 5 цэцгийн 3 цэцгийн баглааны тоо нь: .

1.2. санамсаргүй үйл явдал

1.2.1. Үйл явдал

Байгалийн шинжлэх ухаанд бодит байдлын танин мэдэхүй нь туршилтын (туршилт, ажиглалт, туршлага) үр дүнд үүсдэг.
тест эсвэл туршлага гэдэг нь дур зоргоороо олон удаа давтаж болох тодорхой нөхцөлүүдийн хэрэгжилт юм.
Санамсаргүй ямар нэг туршилт (туршлага)-ын үр дүнд тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болзошгүй үйл явдал гэж нэрлэдэг.
Тиймээс үйл явдлыг туршилтын үр дүн гэж үздэг.
Жишээ.Зоос шидэх нь шалгалт юм. Бүргэд шидэх үед гарч ирэх нь үйл явдал юм.
Бидний ажиглаж буй үйл явдлууд нь тохиолдох боломжийн зэрэг, харилцааны шинж чанараараа ялгаатай байдаг.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг жинхэнэ хэрэв энэ нь туршилтын үр дүнд гарах нь гарцаагүй.
Жишээ.Шалгалтанд эерэг эсвэл сөрөг үнэлгээ авсан оюутан шалгалт ердийн журмын дагуу явагдах тохиолдолд тодорхой үйл явдал болно.
Үйл явдал гэж нэрлэдэг боломжгүй хэрэв энэ туршилтын үр дүнд тохиолдох боломжгүй бол.
Жишээ.Зөвхөн өнгөт (цагаан биш) бөмбөг агуулсан савнаас цагаан бөмбөг гаргаж авах нь боломжгүй зүйл юм. Туршилтын бусад нөхцөлд цагаан бөмбөг харагдахыг үгүйсгэхгүй гэдгийг анхаарна уу; Иймээс энэ үйл явдал зөвхөн бидний туршлагын нөхцөлд л боломжгүй юм.
Цаашид санамсаргүй үйл явдлуудыг том латинаар тэмдэглэнэ A,B,C үсэг... Баттай үйл явдлыг Ω үсгээр, боломжгүй үйл явдлыг Ø үсгээр тэмдэглэнэ.
Хоёр ба түүнээс дээш үйл явдал дуудагдана адил боломжтой Хэрэв эдгээр үйл явдлын аль нь ч бусдаас илүү эсвэл бага магадлалтай гэж үзэх үндэслэл байгаа бол тухайн шалгалтанд.
Жишээ.Нэг шоо шидэхэд 1, 2, 3, 4, 5, 6 оноотой болох нь бүгд адилхан боломжтой үйл явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, хэвийг нэгэн төрлийн материалаар хийсэн бөгөөд ердийн хэлбэртэй байна гэж таамаглаж байна.
Хоёр үйл явдлыг нэрлэдэг нийцэхгүй тухайн шүүх хуралдаанд, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэж байвал, мөн хамтарсан өөрөөр.
Жишээ.Хайрцаг нь стандарт болон стандарт бус хэсгүүдийг агуулдаг. Нэг нарийн ширийн зүйлийг авч үзье. Стандарт хэсгийн харагдах байдал нь стандарт бус хэсгийн харагдах байдлыг үгүйсгэдэг. Эдгээр үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байна.
Хэд хэдэн үйл явдал үүсдэг үйл явдлын бүрэн бүлэг Хэрэв энэ туршилтын үр дүнд дор хаяж нэг нь заавал тохиолдвол энэ туршилтанд.
Жишээ.Жишээн дэх үйл явдлууд нь адилхан боломжтой, хосоороо үл нийцэх үйл явдлуудын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.
Тухайн туршилтын үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг хоёр салангид үйл явдлыг гэж нэрлэдэг эсрэг үйл явдлууд.
Хэрэв тэдгээрийн аль нэгийг нь тэмдэглэсэн бол А, дараа нь нөгөөг нь ихэвчлэн дамжуулан тэмдэглэдэг (үүнийг "үгүй А»).
Жишээ.Байгаа нэг сумаар онох, алдах нь эсрэг тэсрэг үйл явдлууд юм.

1.2.2. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Үйл явдлын магадлал үүсэх боломжийн тоон хэмжүүр юм.
Үйл явдал ГЭХДЭЭдуудсан таатай үйл явдал ATхэрэв ямар нэгэн үйл явдал тохиолдох бүрт ГЭХДЭЭ, үйл явдал тохиолддог AT.
Үйл явдал ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , ..., ГЭХДЭЭnхэлбэр хэргийн диаграм , Хэрэв тэд:
1) адил боломжтой;
2) хосоороо үл нийцэх;
3) бүрэн бүлэг байгуулах.
Тохиолдлын схемд (зөвхөн энэ схемд) магадлалын сонгодог тодорхойлолт явагдана П(А) үйл явдал ГЭХДЭЭ. Энд адил боломжтой, хосоор үл нийцэх үйл явдлуудын сонгосон бүрэн бүлэгт хамаарах үйл явдал бүрийг кейс гэнэ.
Хэрвээ nнь схемийн бүх тохиолдлын тоо бөгөөд м- үйл явдалд таатай тохиолдлын тоо ГЭХДЭЭ, дараа нь үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭтэгш эрхээр тодорхойлогддог:

Магадлалын тодорхойлолтоос дараахь шинж чанарууд гарч ирнэ.
1. Магадлал гарцаагүй үйл явдалнэгтэй тэнцүү байна.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв ямар нэгэн үйл явдал тодорхой бол тохиолдлын схем дэх бүх тохиолдол нь тухайн үйл явдлыг илүүд үздэг. Энэ тохиолдолд м = nмөн иймээс

2. Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0 байна.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв үйл явдал боломжгүй бол хэргийн схемийн аль нь ч үйл явдлыг илүүд үздэггүй. Тэгэхээр м=0, тиймээс,

Санамсаргүй үйл явдлын магадлал нь тэгээс нэг хүртэлх эерэг тоо юм.
Үнэн хэрэгтээ санамсаргүй үйл явдлыг зөвхөн нэг хэсэг нь илүүд үздэг нийт тоотохиолдлын диаграмм дахь тохиолдлууд. Тиймээс 0<м<n, энэ нь 0 гэсэн үг<м/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Тиймээс аливаа үйл явдлын магадлал нь тэгш бус байдлыг хангадаг
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Одоогийн байдлаар магадлалын шинж чанарууд нь A.N-ийн томъёолсон аксиом хэлбэрээр тодорхойлогддог. Колмогоров.
Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын гол давуу талуудын нэг нь үйл явдлын магадлалыг шууд тооцоолох чадвар юм, i.e. логик үндэслэлээр солигдсон туршилтыг ашиглахгүйгээр.

Магадлалыг шууд тооцоолох асуудал

Даалгавар 1.1. Нэг өнхрөх талбарт тэгш тооны оноо (А үйл явдал) авах магадлал хэд вэ?
Шийдвэр. Үйл явдлыг авч үзье ГЭХДЭЭби- орхиосон бионоо, би= 1, 2, …, 6. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр үйл явдал тохиолдлын хэв маягийг бүрдүүлдэг. Дараа нь бүх тохиолдлын тоо n= 6. Тохиолдолд тэгш тооны оноог илүүд үздэг ГЭХДЭЭ 2 , ГЭХДЭЭ 4 , ГЭХДЭЭ 6, i.e. м= 3. Дараа нь .
Даалгавар 1.2. Нэг саванд 5 цагаан, 10 хар бөмбөг байдаг. Бөмбөлөгүүдийг сайтар хольж, дараа нь 1 бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг. Тассан бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдвэр. Нийтдээ 15 тохиолдол байгаа нь хэргийн хэв маягийг бүрдүүлдэг. Мөн хүлээгдэж буй үйл явдал ГЭХДЭЭ- цагаан бөмбөг харагдахыг тэдний 5 нь илүүд үздэг .
Даалгавар 1.3. Хүүхэд цагаан толгойн зургаан үсгээр тоглодог: A, A, E, K, P, T. ТЭЭВЭР гэдэг үгийг санамсаргүй байдлаар нэмж болох магадлалыг ол (А үйл явдал).
Шийдвэр. Үсгүүдийн дунд ижил буюу "А" гэсэн хоёр үсэг байгаа тул шийдвэр нь төвөгтэй юм. Тиймээс, энэ туршилтын бүх боломжит тохиолдлын тоо нь 6 үсгийн давталттай солих тоотой тэнцүү байна.
.
Эдгээр тохиолдлууд нь адилхан боломжтой, хосоороо үл нийцдэг бөгөөд үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг, i.e. тохиолдлын диаграммыг бүрдүүлэх. Зөвхөн нэг боломж нь үйл явдлыг илүүд үздэг ГЭХДЭЭ. Тэгэхээр
.
Даалгавар 1.4. Таня, Ваня хоёр шинэ жилийг 10 хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй тэмдэглэхээр тохиролцов. Тэр хоёр бие биенийхээ хажууд суухыг үнэхээр их хүсч байсан. Найз нөхөддөө сугалаагаар газар хуваарилдаг заншилтай бол тэдний хүсэл биелэх магадлал хэд вэ?
Шийдвэр. -ээр тэмдэглээрэй ГЭХДЭЭ"Таня, Ваня хоёрын хүслийг биелүүлэх" үйл явдал. 10 хүний ​​ширээнд 10 хүн сууж болно! янз бүрийн арга замууд. Энэ хэд нь n= 10! Таня, Ваня хоёрт адилхан боломжит аргууд байдаг уу? Таня, Ваня хоёр зэрэгцэн сууж байхдаа 20 янзын байрлалыг авах боломжтой. Үүний зэрэгцээ тэдний найман найз 8-р ширээнд сууж болно! янз бүрийн арга, тиймээс м= 20∙8!. Тиймээс,
.
Даалгавар 1.5. 5 эмэгтэй, 20 эрэгтэй хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй баг гурван төлөөлөгчийг сонгодог. Оролцсон хүмүүс тус бүрийг сонгох магадлал тэнцүү гэж үзвэл хоёр эмэгтэй, нэг эрэгтэй сонгогдох магадлалыг ол.
Шийдвэр. Туршилтын ижил магадлалтай үр дүнгийн нийт тоо нь 25 хүнээс гурван төлөөлөгчийг сонгож болох арга замын тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. . Одоо таатай тохиолдлын тоог тооцоолъё, өөрөөр хэлбэл. сонирхсон үйл явдал тохиолдох тоо. Эрэгтэй төлөөлөгчийг хорин янзаар сонгож болно. Үүний зэрэгцээ үлдсэн хоёр төлөөлөгч эмэгтэй байх ёстой бөгөөд та таван эмэгтэйгээс хоёр эмэгтэйг сонгож болно. Тиймээс, . Тэгэхээр
.
Асуудал 1.6.Дөрвөн бөмбөгийг дөрвөн нүхэнд санамсаргүй байдлаар тарааж, бөмбөг тус бүр ижил магадлалтай, бусдаас үл хамааран нэг эсвэл өөр нүхэнд унадаг (нэг нүхэнд хэд хэдэн бөмбөг оруулахад ямар ч саад бэрхшээл байхгүй). Нэг нүхэнд гурван бөмбөлөг, нөгөөд нь гурван бөмбөг байх, нөгөө хоёр нүхэнд бөмбөг байхгүй байх магадлалыг ол.
Шийдвэр. Нийт тохиолдлын тоо n=4 4 . Гурван бөмбөлөг байх нэг нүхийг сонгох арга замын тоо, . Нэг бөмбөг байх нүхийг сонгох арга замуудын тоо, . Дөрвөн бөмбөгнөөс гурван бөмбөг сонгож эхний нүхэнд оруулах арга замын тоо, . Нийт таатай тохиолдлын тоо. Үйл явдлын магадлал:
Асуудал 1.7.Хайрцагт 1, 2, ..., 10 гэсэн тоогоор тэмдэглэгдсэн 10 ижил бөмбөг байна. Азын төлөө зургаан бөмбөг сугалж байна. Гаргасан бөмбөлгүүдийн дунд байх магадлалыг ол: a) бөмбөг №1; б) №1 ба 2-р бөмбөг.
Шийдвэр. a) Туршилтын боломжит үндсэн үр дүнгийн нийт тоо нь араваас зургаан бөмбөг татах аргын тоотой тэнцүү байна.
Бидний сонирхож буй үйл явдлын үр дүнгийн тоог олцгооё: сонгосон зургаан бөмбөгний дунд №1 бөмбөг байгаа бөгөөд үүний дагуу үлдсэн таван бөмбөг өөр өөр тоотой байна. Ийм үр дүнгийн тоо нь үлдсэн есөн бөмбөгөөс таван бөмбөгийг сонгож болох аргуудын тоотой тэнцүү байх нь ойлгомжтой.
Хүссэн магадлал нь авч үзэж буй үйл явдлыг дэмжсэн үр дүнгийн тоог боломжит үндсэн үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.
б) Бидний сонирхсон үйл явдлын үр дүнгийн тоо (сонгосон бөмбөлгүүдийн дунд №1 ба №2 бөмбөг байдаг тул дөрвөн бөмбөг өөр өөр дугаартай) дөрвөн бөмбөг хийх аргын тоотой тэнцүү байна. үлдсэн наймаас гаргаж авсан, i.e. Хүссэн магадлал

1.2.3. Статистикийн магадлал

Магадлалын статистик тодорхойлолтыг туршилтын үр дүн ижил магадлал багатай тохиолдолд ашигладаг.
Үйл явдлын харьцангуй давтамж ГЭХДЭЭтэгш эрхээр тодорхойлогддог:
,
хаана мнь тухайн үйл явдал болох туршилтын тоо юм ГЭХДЭЭирлээ nхийсэн туршилтын нийт тоо юм.
Туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлснээр үйл явдлын харьцангуй давтамж нь зарим тогтмол тооноос бараг дур зоргоороо ялгаатай болохыг Ж.Бернулли нотолсон. Энэ тогтмол тоо нь үйл явдал болох магадлал болох нь тогтоогдсон. Тиймээс, мэдээжийн хэрэг, хангалттай олон тооны туршилт бүхий үйл явдлын харьцангуй давтамжийг өмнө нь танилцуулсан магадлалаас ялгаатай нь статистик магадлал гэж нэрлэдэг.
Жишээ 1.8. Нуур дахь загасны тоог хэрхэн ойролцоогоор тооцоолох вэ?
Нууранд оруул Xзагас. Бид сүлжээгээ шидэж, дотроос нь олдог гэж хэлье nзагас. Бид тус бүрийг тэмдэглээд буцааж суллана. Хэдэн өдрийн дараа ижил цаг агаарт, ижил газарт бид ижил тор шидсэн. Бид дотроос m загас оллоо гэж бодъё кшошготой. Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭ- "Барьсан загасыг шошготой." Дараа нь харьцангуй давтамжийн тодорхойлолтоор .
Гэхдээ нууранд байгаа бол Xзагас, бид үүнийг гаргасан nшошготой, дараа нь .
гэх мэт Р * (ГЭХДЭЭ) » Р(ГЭХДЭЭ), дараа нь.

1.2.4. Үйл явдал дээрх үйл ажиллагаа. Нэмэх теорем

нийлбэр, эсвэл хэд хэдэн үйл явдлын нэгдэл нь эдгээр үйл явдлуудын дор хаяж нэг нь (нэг туршилтанд) тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдал юм.
нийлбэр ГЭХДЭЭ 1 + ГЭХДЭЭ 2 + … + ГЭХДЭЭnингэж тэмдэглэсэн:
эсвэл .
Жишээ. Хоёр шоо шидэв. Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭ 1 үхэх дээр 4 оноо өнхрүүлэх, үйл явдлаас бүрдэнэ AT- өөр үхэл дээр 5 оноотой өнхрөх. Үйл явдал ГЭХДЭЭболон ATхамтарсан. Тиймээс үйл явдал ГЭХДЭЭ +ATЭхний дамжлага дээр 4 оноо, хоёр дахь өлгүүрт 5 оноо, эсвэл эхний дамжлага дээр 4 оноо, хоёр дахь өлгүүрт 5 оноо зэрэг өнхрөхөөс бүрдэнэ.
Жишээ.Үйл явдал ГЭХДЭЭ– 1 зээлээр ялах, үйл явдал AT- 2 зээлээр ялах. Дараа нь үйл явдал A+B- дор хаяж нэг зээл (нэг зэрэг хоёр) хожсон.
ажилэсвэл хэд хэдэн үйл явдлын огтлолцол нь эдгээр бүх үйл явдлуудын хамтарсан тохиолдлоос бүрдэх үйл явдал юм (нэг туршилтанд).
Ажил ATүйл явдал ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 , …, ГЭХДЭЭnингэж тэмдэглэсэн:
.
Жишээ.Үйл явдал ГЭХДЭЭболон ATинститутэд элссэний дараа I ба II шатыг амжилттай давсанаас бүрдэнэ. Дараа нь үйл явдал ГЭХДЭЭ×Бхоёр үе шатыг амжилттай дуусгахаас бүрдэнэ.
Үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн тухай ойлголтууд нь тодорхой геометрийн тайлбартай байдаг. Үйл явдал болъё ГЭХДЭЭталбай дээр нэг цэгийн цохилт байна ГЭХДЭЭ, мөн үйл явдал AT- талбайн цэгийг цохих AT. Дараа нь үйл явдал A+BЭдгээр газруудын нэгдэлд цэгийн цохилт байдаг (Зураг 2.1), үйл явдал ГЭХДЭЭATэдгээр талбайн огтлолцол дээр цэгийн цохилт байна (Зураг 2.2).

Цагаан будаа. 2.1 Зураг. 2.2
Теорем. Хэрэв үйл явдлууд Ай(би = 1, 2, …, n) нь хосоороо нийцэхгүй бол үйл явдлын нийлбэрийн магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.
.
Байцгаая ГЭХДЭЭболон Ā - эсрэг үйл явдлууд, жишээлбэл. A + a= Ω, энд Ω нь тодорхой үйл явдал юм. Нэмэх теоремоос ийм зүйл гарч ирнэ
P(Ω) = Р(ГЭХДЭЭ) + Р(Ā ) = 1, тиймээс
Р(Ā ) = 1 – Р(ГЭХДЭЭ).
Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭ 1 ба ГЭХДЭЭ 2 нь хамтарсан бол хоёр хамтарсан үйл явдлын нийлбэрийн магадлал дараахтай тэнцүү байна.
Р(ГЭХДЭЭ 1 + ГЭХДЭЭ 2) = Р(ГЭХДЭЭ 1) + Р(ГЭХДЭЭ 2) – P( ГЭХДЭЭ 1× ГЭХДЭЭ 2).
Магадлалыг нэмэх теоремууд нь магадлалын шууд тооцооноос нарийн төвөгтэй үйл явдлууд үүсэх магадлалыг тодорхойлоход шилжих боломжийг олгодог.
Даалгавар 1.8. Буудагч бай руу нэг удаа бууддаг. 10 оноо авах магадлал (үйл явдал ГЭХДЭЭ), 9 оноо (үйл явдал AT) ба 8 оноо (үйл явдал -тай) 0.11-тэй тэнцүү байна; 0.23; 0.17. Нэг сумаар мэргэн бууч 8-аас бага оноо авах магадлалыг ол (үйл явдал Д).
Шийдвэр. Эсрэг үйл явдал руу шилжье - нэг цохилтоор мэргэн бууч дор хаяж 8 оноо авах болно. Хэрэв үйл явдал тохиолдоно ГЭХДЭЭэсвэл AT, эсвэл -тай, өөрөөр хэлбэл . Үйл явдлуудаас хойш А, Б, -тайхосоороо нийцэхгүй байгаа бол нэмэх теоремоор,
, хаана.
Даалгавар 1.9. Тус бригадын багаас эрэгтэй 6, эмэгтэй 4 хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй 2 хүн үйлдвэрчний эвлэлийн хуралд сонгогддог. Сонгогдсон хүмүүсийн дунд дор хаяж нэг эмэгтэй байх магадлал хэд вэ (үйл явдал ГЭХДЭЭ).
Шийдвэр. Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал тохиолдвол ГЭХДЭЭ, дараа нь дараах үл нийцэх үйл явдлуудын аль нэг нь зайлшгүй тохиолдох болно: AT- "эрэгтэй, эмэгтэй хүнийг сонгосон"; -тай"Хоёр эмэгтэй сонгогдсон." Тиймээс бид дараахь зүйлийг бичиж болно. A=B+C. Үйл явдлын магадлалыг ол ATболон -тай. 10 хүнээс хоёр хүнийг янз бүрээр сонгож болно. 4 эмэгтэйгээс хоёрыг нь янз бүрийн аргаар сонгож болно. Эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийг 6×4 хэлбэрээр сонгох боломжтой. Дараа нь . Үйл явдлуудаас хойш ATболон -тайнийцэхгүй байвал нэмэх теоремоор,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C).) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Асуудал 1.10.Номын сангийн тавиур дээр санамсаргүй байдлаар байрлуулсан 15 сурах бичиг байдгаас тав нь хавтастай. Номын санч санамсаргүй байдлаар гурван сурах бичгийг авдаг. Авсан сурах бичгүүдийн ядаж нэг нь хавтастай байх магадлалыг ол (үйл явдал ГЭХДЭЭ).
Шийдвэр. Эхний арга. Дараах гурван үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдвол авсан гурван сурах бичгийн дор хаяж нэг нь тавигдах шаардлагыг хангана. AT- 1 хавтастай сурах бичиг -тай- хоёр хавтастай сурах бичиг Д- Гурван хавтастай сурах бичиг.
Бидний сонирхож буй үйл явдал ГЭХДЭЭүйл явдлын нийлбэр байдлаар төлөөлж болно: A=B+C+D. Нэмэлт теоремоор,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Үйл явдлын магадлалыг ол B, Cболон Д(комбинаторын схемийг үзнэ үү):

Эдгээр магадлалыг тэгш байдлаар (2.1) төлөөлүүлэн бид эцэст нь олж авна
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Хоёр дахь арга. Үйл явдал ГЭХДЭЭ(авсан гурван сурах бичгийн дор хаяж нэг нь заавал байх ёстой) ба Ā (авсан сурах бичгүүдийн аль нь ч албагүй) эсрэгээрээ байна P(A) + P(Ā) = 1 (эсрэг хоёр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү). Эндээс П(А) = 1 – P(a).Үйл явдал болох магадлал Ā (авсан сурах бичгүүдийн аль нь ч хавтасгүй)
Хүссэн магадлал
П(А) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Нөхцөлт магадлал. Магадлалын үржүүлэх теорем

Нөхцөлт магадлал П(Б/ГЭХДЭЭ) нь А үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцсон В үйл явдлын магадлал юм.
Теорем. Хоёр үйл явдлын хамтдаа тохиолдох магадлал нь эхний үйл явдал аль хэдийн болсон гэсэн таамаглалаар тооцсон тэдгээрийн аль нэгнийх нь магадлалын нөгөөгийн нөхцөлт магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна.
П(А∙B) = P (A)∙P( AT/ГЭХДЭЭ). (2.2)
Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдох нь нөгөө нь тохиолдох магадлалыг өөрчлөхгүй бол хоёр үйл явдлыг бие даасан гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.
P(A) = P(A/B) эсвэл П(Б) = П(Б/ГЭХДЭЭ). (2.3)
Хэрэв үйл явдлууд ГЭХДЭЭболон ATбие даасан байна, дараа нь (2.2) ба (2.3) томъёог илэрхийлнэ
П(А∙B) = P (A)∙П(Б). (2.4)
Эсрэг заалт нь бас үнэн юм, i.e. хэрэв тэгш байдал (2.4) хоёр үйл явдалд тохирч байвал эдгээр үйл явдал нь бие даасан байна. Үнэн хэрэгтээ (2.4) ба (2.2) томъёонууд нь гэсэн үг юм
П(А∙B) = P (A)∙П(Б) = П(А) × П(Б/ГЭХДЭЭ), хаана П(А) = П(Б/ГЭХДЭЭ).
Формула (2.2)-ыг хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын тохиолдлоор ерөнхийлж болно ГЭХДЭЭ 1 , ГЭХДЭЭ 2 ,…,А н:
П(А 1 ∙ГЭХДЭЭ 2 ∙…∙А н)=П(А 1)∙П(А 2 /ГЭХДЭЭ 1)∙П(А 3 /ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2)∙…∙П(А н/ГЭХДЭЭ 1 ГЭХДЭЭ 2 …А н -1).
Даалгавар 1.11. 5 цагаан, 10 хар бөмбөлөг агуулсан савнаас хоёр бөмбөгийг дараалан зурав. Хоёр бөмбөг хоёулаа цагаан байх магадлалыг ол (үйл явдал ГЭХДЭЭ).
Шийдвэр. Үйл явдлыг авч үзье: AT- эхний зурсан бөмбөг цагаан; -тай– хоёр дахь зурсан бөмбөг цагаан байна. Дараа нь A = BC.
Туршлагыг хоёр аргаар хийж болно:
1) буцах: өнгийг зассаны дараа зурсан бөмбөгийг саванд буцааж өгнө. Энэ тохиолдолд үйл явдлууд ATболон -тайбие даасан:
P(A) = P(B)∙P(C) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) солихгүйгээр: татсан бөмбөгийг хойш нь тавьдаг. Энэ тохиолдолд үйл явдал ATболон -тайхамааралтай:
P(A) = P(B)∙P(C/AT).
Үйл явдлын хувьд ATнөхцөл ижил байна, болон -тайбайдал өөрчлөгдсөн. Болсон AT, тэгэхээр саванд 14 бөмбөг үлдсэн бөгөөд 4 нь цагаан байна.
Тэгэхээр, .
Даалгавар 1.12. 50 гэрлийн чийдэнгийн 3 нь стандартын бус байна. Хоёр чийдэнг нэгэн зэрэг авсан стандарт бус байх магадлалыг ол.
Шийдвэр. Үйл явдлыг авч үзье: ГЭХДЭЭ- эхний чийдэн нь стандарт бус, AT- хоёр дахь чийдэн нь стандарт бус, -тай- хоёр чийдэн нь стандарт бус байна. Энэ нь ойлгомжтой C = A∙AT. үйл явдал ГЭХДЭЭБоломжит 50 тохиолдлоос 3 тохиолдлыг дэмжинэ, өөрөөр хэлбэл. П(А) = 3/50. Хэрэв үйл явдал ГЭХДЭЭаль хэдийн болсон, үйл явдал ATболомжтой 49 тохиолдлоос хоёр тохиолдлыг дэмжинэ, өөрөөр хэлбэл. П(Б/ГЭХДЭЭ) = 2/49. Тиймээс,
.
Даалгавар 1.13. Хоёр тамирчин бие даан нэг бай руу бууддаг. Эхний тамирчны бай онох магадлал 0.7, хоёр дахь нь 0.8 байна. Байгаа онох магадлал хэд вэ?
Шийдвэр. Эхний шидэгч, эсвэл хоёр дахь нь эсвэл хоёулаа оносон бол бай онох болно, өөрөөр хэлбэл. үйл явдал болно A+B, үйл явдал хаана ГЭХДЭЭЭхний тамирчин, үйл явдал нь бай онох бүрдэнэ AT- хоёрдугаарт. Дараа нь
П(А+AT)=П(А)+П(Б)–П(А∙AT)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Асуудал 1.14.Уншлагын танхимд магадлалын онолын зургаан сурах бичиг байгаагийн гурав нь хавтастай. Номын санч санамсаргүй байдлаар хоёр сурах бичгийг авав. Хоёр сурах бичиг хавсаргах магадлалыг ол.
Шийдвэр. Үйл явдлын тэмдэглэгээг танилцуулъя :А- анхны авсан сурах бичиг нь заавал байх ёстой; AT-Хоёр дахь сурах бичиг нь хавтастай. Эхний сурах бичиг заавал байх магадлал,
П(А) = 3/6 = 1/2.
Эхний авсан ном нь хавтастай байсан тул хоёр дахь сурах бичгийг хавсаргах магадлал, i.e. үйл явдлын нөхцөлт магадлал AT, энэ нь: П(Б/ГЭХДЭЭ) = 2/5.
Үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу сурах бичгүүд хоёуланд нь заавал байх ёстой гэсэн хүссэн магадлал нь тэнцүү байна.
P(AB) = П(А) ∙ П(Б/ГЭХДЭЭ)= 1/2 ∙ 2/5 = 0.2.
Асуудал 1.15.Тус дэлгүүрт 7 эрэгтэй, 3 эмэгтэй ажилладаг. Боловсон хүчний тоогоор санамсаргүй байдлаар гурван хүнийг сонгосон. Сонгогдсон хүмүүс бүгд эрэгтэй байх магадлалыг ол.
Шийдвэр. Үйл явдлын тэмдэглэгээг танилцуулъя: А- эхлээд эрэгтэй сонгогдоно AT- хоёр дахь сонгогдсон хүн, ХАМТ -гурав дахь сонгогдсон хүн. Эхлээд эрэгтэй хүн сонгогдох магадлал П(А) = 7/10.
Эрэгтэй хүн түрүүлж сонгогдсон тохиолдолд хоёрдугаарт эрэгтэй сонгогдох магадлал, өөрөөр хэлбэл. үйл явдлын нөхцөлт магадлал ATдараачийн : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Хоёр эрэгтэй аль хэдийн сонгогдсон тохиолдолд эрэгтэй хүн гуравдугаарт сонгогдох магадлал, өөрөөр хэлбэл. үйл явдлын нөхцөлт магадлал -тайнь: P(C/AB) = 5/8.
Сонгогдсон гурван хүн бүгд эрэгтэй байх магадлал, P(ABC) = P(A) П(Б/ГЭХДЭЭ) P(C/AB) = 7/10 2/3 5/8 = 7/24.

1.2.6. Нийт магадлалын томъёо ба Бэйсийн томъёо

Байцгаая Б 1 , Б 2 ,…, Б нхосоор үл нийцэх үйл явдлууд (таамаглал) ба ГЭХДЭЭ- зөвхөн аль нэгтэй нь хамт тохиолдож болох үйл явдал.
Бидэнд бас мэдэгдээрэй Р(B i) ба П(А/B i) (би = 1, 2, …, n).
Эдгээр нөхцөлд томъёонууд хүчинтэй байна:
(2.5)
(2.6)
Формула (2.5) гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо . Энэ нь үйл явдлын магадлалыг тооцдог ГЭХДЭЭ(бүрэн магадлал).
Формула (2.6) гэж нэрлэдэг Бэйсийн томъёо . Энэ нь үйл явдал тохиолдсон тохиолдолд таамаглалын магадлалыг дахин тооцоолох боломжийг танд олгоно ГЭХДЭЭболсон.
Жишээ эмхэтгэхдээ таамаглалууд нь бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлдэг гэж үзэх нь тохиромжтой.
Даалгавар 1.16. Сагсанд ижил төрлийн дөрвөн модны алим байдаг. Эхнийхээс - бүх алимны 15%, хоёр дахь нь - 35%, гурав дахь нь - 20%, дөрөв дэх нь - 30%. Боловсорч гүйцсэн алим нь 99%, 97%, 98%, 95% байна.
a) Санамсаргүй сонгосон алим боловсорч гүйцсэн байх магадлал хэд вэ? ГЭХДЭЭ).
б) Санамсаргүй байдлаар авсан алим боловсорч гүйцсэн бол эхний модноос байх магадлалыг тооцоол.
Шийдвэр. a) Бидэнд 4 таамаглал байна:
B 1 - санамсаргүй байдлаар авсан алимыг 1-р модноос авсан;
B 2 - санамсаргүй байдлаар авсан алимыг 2-р модноос авсан;
B 3 - санамсаргүй байдлаар авсан алимыг 3-р модноос авсан;
B 4 - санамсаргүй байдлаар авсан алимыг 4-р модноос авдаг.
Нөхцөл байдлын дагуу тэдний магадлал: П(Б 1) = 0,15; П(Б 2) = 0,35; П(Б 3) = 0,2; П(Б 4) = 0,3.
Нөхцөлт үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭ:
П(А/Б 1) = 0,99; П(А/Б 2) = 0,97; П(А/Б 3) = 0,98; П(А/Б 4) = 0,95.
Санамсаргүй байдлаар сонгосон алим боловсорч гүйцсэн байх магадлалыг нийт магадлалын томъёогоор олно.
П(А)=П(Б 1)∙П(А/Б 1)+П(Б 2)∙П(А/Б 2)+П(Б 3)∙П(А/Б 3)+П(Б 4)∙П(А/Б 4)=0,969.
б) Манай тохиолдлын Бэйсийн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Асуудал 1.17.Цагаан бөмбөгийг хоёр бөмбөг агуулсан саванд хийж, дараа нь нэг бөмбөгийг санамсаргүй байдлаар зурдаг. Бөмбөлгүүдийн анхны найрлагын талаархи бүх таамаглал (өнгөтөөр) адил боломжтой бол зурсан бөмбөг цагаан өнгөтэй байх магадлалыг ол.
Шийдвэр. -ээр тэмдэглээрэй ГЭХДЭЭүйл явдал - цагаан бөмбөг зурсан. Бөмбөлгүүдийн анхны найрлагын талаархи дараахь таамаглал (таамаглал) боломжтой. B1цагаан бөмбөг байхгүй ДАХЬ 2- нэг цагаан бөмбөг ДАХЬ 3- хоёр цагаан бөмбөг.
Нийтдээ гурван таамаглал байгаа бөгөөд таамаглалын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү (тэдгээр нь үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул) таамаглал тус бүрийн магадлал 1/3-тай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
П(Б 1) = П(Б 2)= P(Б 3) = 1/3.
Анхны саванд цагаан бөмбөг байхгүй байсан тул цагаан бөмбөг зурах нөхцөлт магадлал, П(А/Б 1)=1/3. Уг саванд нэг цагаан бөмбөг байсан тул цагаан бөмбөг зурах нөхцөлт магадлал, П(А/Б 2)=2/3. Уг саванд анх хоёр цагаан бөмбөлөг байсан тул цагаан бөмбөг зурах нөхцөлт магадлал. П(А/Б 3)=3/ 3=1.
Цагаан бөмбөг зурахыг хүссэн магадлалыг нийт магадлалын томъёогоор олно.
Р(ГЭХДЭЭ)=П(Б 1)∙П(А/Б 1)+П(Б 2)∙П(А/Б 2)+П(Б 3)∙П(А/Б 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Даалгавар 1.18. Хоёр машин нь нийтлэг конвейерт нийлүүлдэг ижил хэсгүүдийг үйлдвэрлэдэг. Эхний машины гүйцэтгэл хоёр дахь машинаас хоёр дахин их байна. Эхний машин нь маш сайн чанарын эд ангиудын дунджаар 60%, хоёр дахь нь 84% -ийг үйлдвэрлэдэг. Угсрах шугамаас санамсаргүй байдлаар авсан хэсэг нь маш сайн чанартай болсон. Энэ зүйлийг анхны машин үйлдвэрлэсэн байх магадлалыг ол.
Шийдвэр. -ээр тэмдэглээрэй ГЭХДЭЭүйл явдал бол маш сайн чанарын зүйл юм. Хоёр таамаглал дэвшүүлж болно: B1- энэ хэсгийг эхний машин үйлдвэрлэдэг ба (эхний машин хоёр дахь машинаас хоёр дахин их эд анги үйлдвэрлэдэг тул) П(А/Б 1) = 2/3; Б 2 - хэсгийг хоёр дахь машинаар үйлдвэрлэсэн, мөн П(Б 2) = 1/3.
Эхний машинаар үйлдвэрлэсэн эд анги нь маш сайн чанартай байх нөхцөлт магадлал, П(А/Б 1)=0,6.
Хэрэв эд анги нь хоёр дахь машинаар хийгдсэн бол маш сайн чанартай байх нөхцөлт магадлал, П(А/Б 1)=0,84.
Нийт магадлалын томъёоны дагуу санамсаргүй байдлаар сонгосон хэсэг нь маш сайн чанартай байх магадлал нь тэнцүү байна.
П(А)=П(Б 1) ∙П(А/Б 1)+П(Б 2) ∙П(А/Б 2)=2/3 0,6+1/3 0,84 = 0,68.
Байесийн томъёоны дагуу авсан маш сайн хэсгийг эхний автоматаар үйлдвэрлэх хүссэн магадлал нь тэнцүү байна.

Даалгавар 1.19. Тус бүр нь 20 хэсэг бүхий гурван багц эд анги байдаг. Нэг, хоёр, гурав дахь багцын стандарт хэсгүүдийн тоо 20, 15, 10 байна. Сонгосон багцаас стандарт болсон хэсгийг санамсаргүй байдлаар гаргаж авсан. Эд ангиудыг багцад буцааж, нэг хэсгийг хоёр дахь удаагаа нэг багцаас санамсаргүй байдлаар гаргаж авдаг бөгөөд энэ нь бас стандарт болж хувирдаг. Гурав дахь багцаас эд ангиудыг авсан байх магадлалыг ол.
Шийдвэр. -ээр тэмдэглээрэй ГЭХДЭЭүйл явдал - хоёр туршилт (буцах хамт) бүрт стандарт хэсгийг олж авсан. Гурван таамаг дэвшүүлж болно: Б 1 - хэсгүүдийг эхний багцаас хассан, AT 2 - эд ангиудыг хоёр дахь багцаас авдаг; AT 3 - хэсгүүдийг гурав дахь багцаас хасна.
Дэлгэрэнгүй мэдээллийг авсан багцаас санамсаргүй байдлаар авсан тул таамаглалын магадлал ижил байна. П(Б 1) = П(Б 2) = П(Б 3) = 1/3.
Нөхцөлт магадлалыг ол П(А/Б 1), өөрөөр хэлбэл. Эхний багцаас хоёр стандарт хэсгийг дараалан татах магадлал. Энэ үйл явдал найдвартай, учир нь. Эхний багцад бүх эд анги нь стандарт, тиймээс П(А/Б 1) = 1.
Нөхцөлт магадлалыг ол П(А/Б 2), өөрөөр хэлбэл. Хоёр дахь багцаас хоёр стандарт хэсгийг дараалан (буцах хамт) гаргаж авах магадлал: П(А/Б 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Нөхцөлт магадлалыг ол П(А/Б 3), өөрөөр хэлбэл. Гурав дахь багцаас хоёр стандарт хэсгийг дараалан (буцах замаар) хасах магадлал: П(А/Б 3) = 10/20 10/20 = 1/4.
Бэйсийн томъёоны дагуу олборлосон стандарт хэсгийг хоёуланг нь гурав дахь багцаас авахыг хүссэн магадлал нь тэнцүү байна.

1.2.7. Дахин шалгалт хийдэг

Хэрэв хэд хэдэн туршилт хийгдсэн бол үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭшүүх хурал бүр нь бусад туршилтын үр дүнгээс хамаардаггүй тул ийм туршилтыг дууддаг А үйл явдлын хувьд бие даасан.Өөр өөр бие даасан шүүх хуралдаанд, үйл явдал ГЭХДЭЭөөр өөр магадлалтай эсвэл ижил магадлалтай байж болно. Бид цаашид зөвхөн ийм бие даасан туршилтыг авч үзэх болно ГЭХДЭЭижил магадлалтай.
Үүнийг үйлдвэрлэе Пбие даасан туршилт, тус бүр нь үйл явдал ГЭХДЭЭгарч болно, харагдахгүй байж болно. Үйл явдлын магадлал гэж үзье ГЭХДЭЭтест бүрт ижил, тухайлбал тэнцүү байна Р.Тиймээс үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал ГЭХДЭЭТуршилт бүрт тогтмол бөгөөд 1-тэй тэнцүү байна. Р.Ийм магадлалын схемийг нэрлэдэг Бернулли схем. Үүний магадлалыг тооцоолох даалгаврыг өөртөө тавьцгаая ПБернуллигийн үйл явдлын туршилт ГЭХДЭЭяг биелэх болно кнэг удаа ( к- амжилтын тоо) тул хэрэгжихгүй P-нэг удаа. Энэ үйл явдал нь заавал байх албагүй гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй ГЭХДЭЭяг давтлаа ктодорхой дарааллаар. Хүссэн магадлалыг тэмдэглэ R p (k). Жишээлбэл, тэмдэг Р 5 (3) гэдэг нь таван туршилтын үед тухайн үйл явдал яг 3 удаа гарч ирэх, тиймээс 2 удаа тохиолдохгүй байх магадлалыг хэлнэ.
Асуудлыг гэж нэрлэгддэг зүйлийг ашиглан шийдэж болно Бернулли томъёо,Энэ нь:
.
Асуудал 1.20.Нэг өдрийн дотор цахилгаан эрчим хүчний хэрэглээ тогтоосон нормоос хэтрэхгүй байх магадлал нь тэнцүү байна. Р=0.75. Дараагийн 6 хоногт 4 хоногийн цахилгааны хэрэглээ нормоос хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.
Шийдвэр. 6 хоног бүрийн туршид цахилгаан эрчим хүчний хэвийн хэрэглээний магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна Р=0.75. Тиймээс өдөр бүр цахилгаан эрчим хүчийг хэт их зарцуулах магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна q= 1–Р=1–0,75=0,25.
Бернулли томъёоны дагуу хүссэн магадлал нь тэнцүү байна
.
Даалгавар 1.21. Хоёр тэнцүү шатарчин шатар тоглодог. Аль нь илүү магадлалтай вэ: зургаагаас дөрөв эсвэл гурван тоглолтоос хоёр хожих (сугалаа тооцохгүй)?
Шийдвэр. Тэнцүү шатарчид тоглож байгаа тул хожих магадлал өндөр байна Р= 1/2, тиймээс ялагдах магадлал qмөн 1/2-тэй тэнцүү байна. Учир нь Бүх тоглоомд хожих магадлал тогтмол бөгөөд ямар дарааллаар ялах нь хамаагүй, дараа нь Бернуллигийн томъёог хэрэглэнэ.
Дөрвөн тоглолтоос хоёр нь хожих магадлалыг ол.

Зургаан тоглолтоос гурав нь хожих магадлалыг ол.

Учир нь П 4 (2) > П 6 (3), зургаагаас гурваас дөрвөөс хоёр хожих магадлал өндөр.
Гэсэн хэдий ч Бернулли томьёог том утгын хувьд ашиглах нь харагдаж байна nЭнэ нь маш хэцүү, учир нь томьёо нь асар их тоон дээр үйлдлүүдийг гүйцэтгэхийг шаарддаг тул тооцооллын явцад алдаа хуримтлагддаг; Үүний үр дүнд эцсийн үр дүн нь бодит үр дүнгээс эрс ялгаатай байж болно.
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд олон тооны туршилтын тохиолдлуудад ашигладаг хэд хэдэн хязгаарын теоремууд байдаг.
1. Пуассоны теорем
Бернулли схемийн дагуу олон тооны туршилт хийх үед (хамт n=> ∞) ба цөөн тооны таатай үр дүнтэй к(амжилтанд хүрэх магадлалыг тооцвол хжижиг), Бернулли томъёо нь Пуассоны томъёонд ойртдог
.
Жишээ 1.22.Аж ахуйн нэгжийн үйлдвэрлэлийн нэгж үйлдвэрлэхэд гэрлэх магадлал тэнцүү байна х=0.001. 5000 ширхэг бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд 4-өөс бага гэмтэлтэй байх магадлал хэд вэ (үйл явдал ГЭХДЭЭ Шийдвэр. Учир нь nтом бол бид орон нутгийн Лаплас теоремыг ашигладаг:

Тооцоолох х:
Чиг үүрэг тэгш байна, тиймээс φ(–1.67) = φ(1.67).
Хавсралт A.1-ийн хүснэгтийн дагуу бид φ(1.67) = 0.0989-ийг олно.
Хүссэн магадлал П 2400 (1400) = 0,0989.
3. Лапласын интеграл теорем
Хэрэв магадлал бол Рүйл явдал тохиолдох АБернулли схемийн дагуу туршилт бүрт тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай, дараа нь олон тооны туршилтууд байдаг. n, магадлал R p (k 1 , к 2) үйл явдал тохиолдох Аэдгээр туршилтуудад к 1-ээс к 2 дахин ойролцоогоор тэнцүү байна
R p(к 1 , к 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), хаана
Лаплас функц нь

Лапласын функц дэх тодорхой интегралыг аналитик функцүүдийн ангилалд тооцдоггүй тул үүнийг тооцоолохдоо Хүснэгт 1-ийг ашиглана. 2-р зүйлийг хавсралтад өгсөн болно.
Жишээ 1.24.Зуун бие даасан туршилт бүрт тохиолдох үйл явдлын магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна х= 0.8. Үйл явдал болох магадлалыг ол: а) 75-аас доошгүй удаа, хамгийн ихдээ 90 удаа; б) 75-аас доошгүй удаа; в) 74 дахин ихгүй байна.
Шийдвэр. Лапласын интеграл теоремыг ашиглая:
R p(к 1 , к 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), энд Ф( х) нь Лаплас функц,

a) Нөхцөлөөр n = 100, х = 0,8, q = 0,2, к 1 = 75, к 2 = 90. Тооцоол x""болон x" :


Лаплас функц нь сондгой, өөрөөр хэлбэл. F(- х) = – F( х), бид авдаг
П 100 (75; 90) \u003d F (2.5) - F (-1.25) \u003d F (2.5) + F (1.25).
Хүснэгтийн дагуу P.2. програм хайх:
F(2.5) = 0.4938; Ф(1.25) = 0.3944.
Хүссэн магадлал
П 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Үйл явдал 75-аас доошгүй удаа тохиолдох гэсэн шаардлага нь тухайн үйл явдлын тохиолдлын тоо 75, эсвэл 76, ..., эсвэл 100-тай тэнцүү байж болно гэсэн үг юм. Тиймээс авч үзэж буй тохиолдолд дараахь зүйлийг авах хэрэгтэй. к 1 = 75, к 2 = 100. Дараа нь

.
Хүснэгтийн дагуу P.2. програмууд, бид Ф (1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0.5.
Хүссэн магадлал
П 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Үйл явдал - " ГЭХДЭЭдор хаяж 75 удаа гарч ирсэн" ба " ГЭХДЭЭ 74-өөс илүүгүй удаа гарч ирсэн” нь эсрэгээрээ байгаа тул эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1. Тиймээс хүссэн магадлал
П 100 (0;74) = 1 – П 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.