"Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр" сэдэвт лекц. Комплекс тоонуудын тригонометрийн хэлбэр Тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ

3.1. Туйлын координат

Ихэнхдээ онгоцонд ашигладаг туйлын координатын систем . О цэг өгөгдсөн бол энэ нь тодорхойлогддог, гэж нэрлэдэг туйл, ба туйлаас ялгарах туяа (бидний хувьд энэ бол тэнхлэг юм Ox) - туйлын тэнхлэг. M цэгийн байрлалыг хоёр тоогоор тогтооно. радиус (эсвэл радиус вектор) ба туйлын тэнхлэг ба векторын хоорондох өнцөг φ.φ өнцгийг гэж нэрлэдэг туйлын өнцөг; радианаар хэмжиж, туйлын тэнхлэгээс цагийн зүүний эсрэг тоолно.

Туйлын координатын систем дэх цэгийн байрлалыг эрэмбэлэгдсэн хос тоогоор (r; φ) өгнө. Туйл дээр r = 0,ба φ тодорхойлогдоогүй байна. Бусад бүх цэгүүдийн хувьд r > 0,ба φ нь 2π-ийн үржвэр болох гишүүн хүртэл тодорхойлогддог. Энэ тохиолдолд (r; φ) ба (r 1 ; φ 1) хос тоонууд нь ижил цэгтэй холбогдоно.

Тэгш өнцөгт координатын системийн хувьд xOyцэгийн декарт координатууд нь түүгээр амархан илэрхийлэгддэг туйлын координатдараах байдлаар:

3.2. Геометрийн тайлбарнийлмэл тоо

Хавтгай дээрх декартын тэгш өнцөгт координатын системийг авч үзье xOy.

Аливаа комплекс тоо z=(a, b) нь координаттай хавтгай дээрх цэгтэй холбоотой байна ( x, y), Хаана координат x = a, i.e. нийлмэл тооны бодит хэсэг, координат y = bi нь төсөөллийн хэсэг юм.

Цэгүүд нь нийлмэл тоонууд байдаг хавтгай бол цогцолбор хавтгай юм.

Зураг дээр комплекс тоо байна z = (a, b)цэгтэй тохирч байна М(х, у).

Дасгал хийх.Координатын хавтгай дээр нийлмэл тоонуудыг зур.

3.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Хавтгай дээрх комплекс тоо нь цэгийн координаттай байдаг М(x;y). Үүнд:

Комплекс тоо бичих - комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр.

r тоог дууддаг модуль нийлмэл тоо zболон томилогдсон. Модуль нь сөрөг биш бодит тоо юм. Учир нь .

Модуль нь тэг байх тохиолдолд л тэг болно z = 0, өөрөөр хэлбэл. a = b = 0.

φ тоог дууддаг аргумент z болон томилогдсон. Аргумент z нь туйлын координатын систем дэх туйлын өнцөг, тухайлбал 2π-ийн үржвэр хүртэл хоёрдмол утгатай тодорхойлогддог.

Дараа нь бид хүлээн зөвшөөрнө: , энд φ нь аргументийн хамгийн бага утга юм. Энэ нь ойлгомжтой

.

Сэдвийг гүнзгийрүүлэн судалснаар туслах аргументыг φ* оруулав.

Жишээ 1. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ол.

Шийдэл. 1) модулийг авч үзье: ;

2) φ-г хайж байна: ;

3) тригонометрийн хэлбэр:

Жишээ 2.Комплекс тооны алгебрийн хэлбэрийг ол .

Энд утгыг орлуулахад хангалттай тригонометрийн функцуудмөн илэрхийллийг хувиргах:

Жишээ 3.Комплекс тооны модуль ба аргументыг олох;

1) ;

2) ; φ - 4 улиралд:

3.4. Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоотой үйлдлүүд

· Нэмэх ба хасахкомплекс тоогоор гүйцэтгэхэд илүү тохиромжтой алгебрийн хэлбэр:

· Үржүүлэх- энгийн тригонометрийн хувиргалтыг ашиглан үүнийг харуулж болно Үржүүлэх үед тоонуудын модулиудыг үржүүлж, аргументуудыг нэмнэ: ;

2.3. Тригонометрийн хэлбэр нийлмэл тоо

Комплекс хавтгайд векторыг тоогоор тодорхойл.

Эерэг хагас тэнхлэг Ox ба векторын хоорондох өнцгийг φ-ээр тэмдэглэе (хэрэв φ өнцгийг цагийн зүүний эсрэг хэмжвэл эерэг, өөрөөр хэлбэл сөрөг гэж үзнэ).

Векторын уртыг r гэж тэмдэглэе. Дараа нь . Бид бас тэмдэглэдэг

z-ээс бусад нийлмэл тоог маягт дээр бичих

z цогцолбор тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. r тоог z цогцолбор тооны модуль, φ тоог энэ цогцолбор тооны аргумент гэж нэрлээд Arg z гэж тэмдэглэнэ.

Комплекс тоог бичих тригонометрийн хэлбэр - (Эйлерийн томъёо) - комплекс тоог бичих экспоненциал хэлбэр:

Цогцолбор тоо z нь хязгааргүй олон аргументтай: хэрэв φ0 нь z тооны аль нэг аргумент бол бусад бүх тоог томъёог ашиглан олж болно.

Комплекс тооны хувьд аргумент болон тригонометрийн хэлбэр тодорхойлогдоогүй байна.

Тиймээс, тэг биш комплекс тооны аргумент нь тэгшитгэлийн системийн аливаа шийдэл юм.

(3)

Тэгш бус байдлыг хангаж буй z цогцолбор тооны аргументийн φ утгыг үндсэн утга гэж нэрлэх ба arg z гэж тэмдэглэнэ.

Arg z болон arg z аргументууд нь хоорондоо холбоотой

, (4)

Формула (5) нь (3) системийн үр дагавар тул нийлмэл тооны бүх аргументууд (5) тэгшитгэлийг хангадаг боловч (5) тэгшитгэлийн φ бүх шийдэл нь z тооны аргумент биш юм.

Тэг биш комплекс тооны аргументын үндсэн утгыг дараах томъёоны дагуу олно.

Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх, хуваах томъёо нь дараах байдалтай байна.

. (7)

Комплекс тоог натурал зэрэгт хүргэхдээ Мойврын томъёог ашиглана:

Комплекс тооны үндсийг задлахдаа дараах томъёог ашиглана.

, (9)

Энд k=0, 1, 2, …, n-1.

Бодлого 54. Хаана .

Энэ илэрхийллийн шийдлийг төсөөлөөд үз дээ харуулах хэлбэрнийлмэл тоо бичих: .

Хэрэв тийм бол.

Дараа нь, . Тиймээс, тэгвэл Тэгээд , Хаана.

Хариулт: , цагт.

Бодлого 55. Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

A); б) ; V); G); г); д) ; болон).

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр нь .

a) Комплекс тоонд: .

,

Тийм ч учраас

б) , Хаана,

G) , Хаана,

д) .

ба) , А , Тэр.

Тийм ч учраас

Хариулт: ; 4; ; ; ; ; .

Бодлого 56. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ол

.

зөвшөөрөх, .

Дараа нь, , .

Түүнээс хойш ба , , дараа нь, ба

Тиймээс, , тиймээс

Хариулт: , Хаана.

Бодлого 57. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрийг ашиглан дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ: .

Тоонуудыг төсөөлөөд үз дээ тригонометрийн хэлбэрээр.

1), хаана Дараа нь

Үндсэн аргументийн утгыг ол:

Утгыг орлуулж, илэрхийлэлд оруулъя, бид олж авна

2) , тэгээд хаана

Дараа нь

3) Хэмжүүрийг олцгооё

k=0, 1, 2 гэж үзвэл бид хүссэн язгуурын гурван өөр утгыг авна.

Хэрэв бол

хэрэв , тэгвэл

хэрэв , тэгвэл .

Хариулт::

:

: .

Бодлого 58. , , , ялгаатай комплекс тоо ба байг . Үүнийг нотол

тоо хүчинтэй эерэг тоо;

б) тэгш байдал нь:

a) Эдгээр комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр төлөөлүүлье.

Учир нь .

Ингэж жүжиглэе. Дараа нь

.

Сүүлчийн илэрхийлэл нь эерэг тоо, учир нь синусын тэмдэг нь интервалаас авсан тоонуудыг агуулдаг.

тооноос хойш бодит ба эерэг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв a, b нь нийлмэл тоо бөгөөд бодит бөгөөд тэгээс их бол .

Түүнээс гадна,

тиймээс шаардлагатай тэгш байдал нотлогддог.

Бодлого 59. Тоог алгебрийн хэлбэрээр бич .

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр төлөөлж, дараа нь түүний алгебр хэлбэрийг олъё. Бидэнд байгаа . Учир нь Бид системийг авдаг:

Энэ нь тэгш байдлыг илэрхийлнэ: .

Мойврын томъёог хэрэглэх нь: ,

бид авдаг

Өгөгдсөн тооны тригонометрийн хэлбэр олдлоо.

Одоо энэ тоог алгебрийн хэлбэрээр бичье.

.

Хариулт: .

Бодлого 60. , , нийлбэрийг ол.

Хэмжээг нь авч үзье

Мойврын томъёог ашигласнаар бид олдог

Энэ нийлбэр нь n гишүүний нийлбэр юм геометрийн прогрессхуваагчтай болон анхны гишүүн .

Ийм прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийн томъёог ашиглавал бид байна

Сүүлчийн илэрхийлэл дэх төсөөллийн хэсгийг тусгаарлаж, бид олдог

Бодит хэсгийг тусгаарласнаар бид дараахь томъёог олж авна: , , .

Бодлого 61. Нийлбэрийг ол:

A) ; б) .

Ньютоны экспонентацийн томъёоны дагуу бид байна

Moivre-ийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

Үүссэн илэрхийллийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тэгшитгэвэл бид:

Тэгээд .

Эдгээр томъёог дараах байдлаар авсаархан хэлбэрээр бичиж болно.

,

, a тооны бүхэл хэсэг хаана байна.

Бодлого 62. Бүгдийг ол, үүний тулд .

Учир нь , дараа нь томъёог ашиглана

, Үндэсийг задлахын тулд бид авдаг ,

Тиймээс, , ,

, .

Тоонуудыг харгалзах цэгүүд нь төв нь (0;0) цэг дээр 2 радиустай тойрог дотор бичээстэй дөрвөлжингийн оройн хэсэгт байрладаг (Зураг 30).

Хариулт: , ,

, .

Бодлого 63. Тэгшитгэлийг шийд , .

Нөхцөлөөр; Тийм ч учраас өгөгдсөн тэгшитгэлүндэсгүй тул тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн z тоо язгуур байхын тулд уг тоо нь язгуур байх ёстой n-р зэрэг 1-р тооноос.

Эндээс бид анхны тэгшитгэл нь тэгшитгэлээс тодорхойлогддог үндэстэй гэж дүгнэж байна

,

Тиймээс,

,

өөрөөр хэлбэл ,

Хариулт: .

Бодлого 64. Комплекс тооны багц дахь тэгшитгэлийг шийд.

Тоо нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийн хувьд тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

Энэ нь тэгшитгэл юм.

Энэ тэгшитгэлийн бүх язгуурыг томъёоноос олж авна (бодлоос 62-ыг үзнэ үү):

; ; ; ; .

Бодлого 65. Комплекс хавтгай дээр тэгш бус байдлыг хангах цэгүүдийн багцыг зур. . (45-р асуудлыг шийдэх хоёр дахь арга)

Болъё .

Ижил модультай нийлмэл тоонууд нь гарал үүслийн цэг дээр төвлөрсөн тойрог дээр байрлах хавтгайн цэгүүдэд тохирдог тул тэгш бус байдал гарал үүсэл ба радиус дээр нийтлэг төвтэй дугуйгаар хүрээлэгдсэн нээлттэй цагирагийн бүх цэгүүдийг хангах ба (Зураг 31). Цогцолбор хавтгайн зарим цэг w0 тоотой тохирно. Тоо , модуль нь w0 модулиас хэд дахин бага, аргумент, on илүү том аргумент w0. Геометрийн үүднээс авч үзвэл w1-д харгалзах цэгийг гарал үүсэл дээр төвтэй, коэффиценттэй гомотети, мөн эхтэй харьцуулахад цагийн зүүний эсрэг өнцгөөр эргүүлэх замаар олж авч болно. Эдгээр хоёр хувиргалтыг цагирагийн цэгүүдэд хэрэглэсний үр дүнд (Зураг 31) сүүлийнх нь ижил төвтэй, 1 ба 2 радиустай тойргоор хязгаарлагдсан цагираг болон хувирна (Зураг 32).

Хөрвүүлэлт вектор руу параллель шилжүүлгийг ашиглан хэрэгжүүлсэн. Цэг дэх төвтэй цагиргийг заасан вектор руу шилжүүлснээр бид цэг дээрх төвтэй ижил хэмжээтэй цагираг олж авна (Зураг 22).

Онгоцны геометрийн хувиргалтын санааг ашигладаг санал болгож буй арга нь тайлбарлахад тохиромжгүй боловч маш гоёмсог бөгөөд үр дүнтэй байдаг.

Бодлого 66. Хэрвээ олох .

Let, дараа нь ба . Анхны тэгш байдал нь хэлбэрийг авна . Хоёр комплекс тооны тэгш байдлын нөхцлөөс бид , , , үүнээс , . Ийнхүү, .

z тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичье.

, Хаана, . Мойврын томъёоны дагуу бид .

Хариулт: - 64.

Бодлого 67. Комплекс тооны хувьд , ба гэсэн бүх комплекс тоог ол .

Тоог тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье.

. Эндээс, . Бидний олж авсан тооны хувьд , эсвэл -тэй тэнцүү байж болно.

Эхний тохиолдолд , хоёрдугаарт

.

Хариулт: , .

Бодлого 68. гэсэн тоонуудын нийлбэрийг ол. Эдгээр тоонуудын аль нэгийг зааж өгнө үү.

Асуудлыг томьёолсныхоо дараагаар тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэрийг үндсийг нь тооцоолохгүйгээр олж болно гэдгийг ойлгож болно. Үнэн хэрэгтээ, тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан коэффициент (Вьетагийн ерөнхий теорем), i.e.

Оюутнууд, сургуулийн баримт бичиг, эзэмшсэн байдлын талаар дүгнэлт гаргана энэ үзэл баримтлал. Математик сэтгэлгээний онцлог, цогц тооны тухай ойлголтыг бүрдүүлэх үйл явцын судалгааг нэгтгэн дүгнэ. Аргын тодорхойлолт. Оношлогоо: I үе шат. 10-р ангийн алгебр, геометрийн хичээл заадаг математикийн багштай ярилцлаа. Эхнээсээ хэсэг хугацаа өнгөрсний дараа яриа өрнөв...

Резонанс" (!)), үүнд бас үнэлгээ орно өөрийн зан байдал. 4. Нөхцөл байдлын талаарх ойлголтоо шүүмжлэлтэй үнэлэх (эргэлзэх). 5. Эцэст нь, хууль эрх зүйн сэтгэл судлалын зөвлөмжийг ашиглах (хуульч нь мэргэжлийн үйл ажиллагааны сэтгэл зүйн талыг харгалзан үздэг - мэргэжлийн сэтгэлзүйн бэлтгэл). Одоо хууль зүйн баримтуудын сэтгэл зүйн шинжилгээг авч үзье. ...

Тригонометрийн орлуулалтын математик, боловсруулсан сургалтын арга зүйн үр нөлөөг шалгах. Ажлын үе шат: 1. Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангийн сурагчидтай “Тригонометрийн орлуулалтыг алгебрийн бодлого шийдвэрлэхэд ашиглах нь” сэдвээр нэмэлт хичээл боловсруулах. 2. Боловсруулсан сонгон судлах хичээлийг явуулах. 3. Оношлогооны шинжилгээ хийх...

Танин мэдэхүйн даалгавар нь зөвхөн одоо байгаа сургалтын хэрэглэгдэхүүнийг нөхөх зорилготой бөгөөд бүх уламжлалт арга хэрэгсэл, элементүүдтэй зохицсон байх ёстой. боловсролын үйл явц. Сургалтын сургалтын зорилгын ялгаа хүмүүнлэгийн ухааннарийн, математикийн асуудлуудаас зөвхөн түүхэн асуудлуудад томъёо, хатуу алгоритм гэх мэт байдаггүй нь тэдний шийдлийг төвөгтэй болгодог. ...

ЦОГЦОЛБОР ДУГААР XI

§ 256. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Комплекс тоо байг a + bi вектортой тохирч байна О.А.> координаттай ( а, б ) (332-р зургийг үз).

Энэ векторын уртыг дараах байдлаар тэмдэглэе r , мөн тэнхлэгтэй харьцах өнцөг X , дамжуулан φ . Синус ба косинусын тодорхойлолтоор:

а / r = cos φ , б / r = нүгэл φ .

Тийм ч учраас А = r cos φ , б = r нүгэл φ . Гэхдээ энэ тохиолдолд нийлмэл тоо a + bi дараах байдлаар бичиж болно.

a + bi = r cos φ + ir нүгэл φ = r (cos φ + би нүгэл φ ).

Та бүхний мэдэж байгаагаар аливаа векторын уртын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас r 2 = а 2 + б 2, хаанаас r = √a 2 + б 2

Тэгэхээр, дурын комплекс тоо a + bi хэлбэрээр төлөөлж болно :

a + bi = r (cos φ + би нүгэл φ ), (1)

хаана r = √a 2 + б 2 ба өнцөг φ нөхцөлөөр тодорхойлогддог:

Комплекс тоо бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг тригонометр.

Тоо r томъёонд (1) гэж нэрлэдэг модуль, болон өнцөг φ - маргаан, комплекс тоо a + bi .

Хэрэв комплекс тоо бол a + bi тэгтэй тэнцүү биш бол түүний модуль эерэг байна; хэрэв a + bi = 0, тэгвэл a = b = 0, дараа нь r = 0.

Аливаа комплекс тооны модуль нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.

Хэрэв комплекс тоо бол a + bi тэгтэй тэнцүү биш бол түүний аргументыг (2) томъёогоор тодорхойлно. гарцаагүй 2-т хуваагдах өнцөг хүртэл π . Хэрэв a + bi = 0, тэгвэл a = b = 0. Энэ тохиолдолд r = 0. Томъёо (1)-ээс үүнийг аргумент гэж ойлгоход хялбар φ Энэ тохиолдолд та ямар ч өнцгийг сонгож болно: эцсийн эцэст, аль ч өнцгөөр φ

0 (cos φ + би нүгэл φ ) = 0.

Тиймээс тэг аргумент нь тодорхойгүй байна.

Комплекс тооны модуль r заримдаа | гэж тэмдэглэдэг z |, мөн аргумент нь arg байна z . Комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэх цөөн хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ. 1. 1 + би .

Модулийг олъё r болон маргаан φ энэ тоо.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Тиймээс нүгэл үйлд φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, хаанаас φ = π / 4 + 2nπ .

Тиймээс,

1 + би = √ 2 ,

Хаана П - дурын бүхэл тоо. Ихэвчлэн нийлмэл тооны аргументуудын хязгааргүй олон тооны утгуудаас 0-ээс 2-ын хооронд байх нэгийг сонгодог. π . Энэ тохиолдолд энэ утга байна π / 4 . Тийм ч учраас

1 + би = √ 2 (cos π / 4 + би нүгэл π / 4)

Жишээ 2.Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү √ 3 - би . Бидэнд байгаа:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, нүгэл φ = - 1 / 2

Тиймээс 2-т хуваагдах өнцөг хүртэл π , φ = 11 / 6 π ; иймээс,

√ 3 - би = 2(cos 11/6 π + би нүгэл 11/6 π ).

Жишээ 3Комплекс тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичнэ үү би.

Цогцолбор тоо би вектортой тохирч байна О.А.> , тэнхлэгийн А цэгээр төгссөн цагт ординат 1-тэй (Зураг 333). Ийм векторын урт нь 1, х тэнхлэгтэй хийсэн өнцөг нь тэнцүү байна π / 2. Тийм ч учраас

би = cos π / 2 + би нүгэл π / 2 .

Жишээ 4. 3-р цогцолбор тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

Комплекс тоо 3 нь вектортой тохирч байна О.А. > X abscissa 3 (Зураг 334).

Ийм векторын урт нь 3, х тэнхлэгтэй хийх өнцөг нь 0. Тиймээс

3 = 3 (cos 0 + би гэм 0),

Жишээ 5.-5 цогцолбор тоог тригонометрийн хэлбэрээр бич.

Комплекс тоо -5 нь вектортой тохирч байна О.А.> тэнхлэгийн цэг дээр төгсдөг X abscissa -5-тай (Зураг 335). Ийм векторын урт нь 5, х тэнхлэгтэй хийх өнцөг нь тэнцүү байна π . Тийм ч учраас

5 = 5(cos π + би нүгэл π ).

Дасгал

2047. Эдгээр нийлмэл тоог тригонометрийн хэлбэрээр бичиж, тэдгээрийн модуль, аргументуудыг тодорхойл.

1) 2 + 2√3 би , 4) 12би - 5; 7).3би ;

2) √3 + би ; 5) 25; 8) -2би ;

3) 6 - 6би ; 6) - 4; 9) 3би - 4.

2048. Модуль r ба аргументууд φ нь нөхцөлийг хангасан комплекс тоонуудыг төлөөлөх цэгүүдийн багцыг хавтгай дээр заана уу.

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Тоонууд нэгэн зэрэг цогц тооны модуль болж чадах уу? r Тэгээд - r ?

2050. Комплекс тооны аргумент нэгэн зэрэг өнцөг байж чадах уу? φ Тэгээд - φ ?

Эдгээр комплекс тоонуудыг тригонометрийн хэлбэрээр үзүүлж, тэдгээрийн модуль, аргументуудыг тодорхойл.

2051*. 1 + cos α + би нүгэл α . 2054*. 2(20° - би нүгэл 20°).

2052*. нүгэл φ + би cos φ . 2055*. 3(- учир нь 15° - би нүгэл 15°).

Лекц

Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

Төлөвлөгөө

1. Комплекс тооны геометрийн дүрслэл.

2. Комплекс тооны тригонометрийн тэмдэглэгээ.

3. Тригонометрийн хэлбэрийн комплекс тоон дээрх үйлдлүүд.

Комплекс тоонуудын геометрийн дүрслэл.

a) Дараах дүрмийн дагуу нийлмэл тоонуудыг хавтгай дээрх цэгүүдээр илэрхийлнэ. а + би = М ( а ; б ) (Зураг 1).

Зураг 1

б) Комплекс тоог тухайн цэгээс эхэлсэн вектороор илэрхийлж болноТУХАЙ ба өгөгдсөн цэгийн төгсгөл (Зураг 2).

Зураг 2

Жишээ 7. Комплекс тоог илэрхийлэх цэгүүдийг байгуул:1; - би ; - 1 + би ; 2 – 3 би (Зураг 3).

Зураг 3

Комплекс тоонуудын тригонометрийн тэмдэглэгээ.

Цогцолбор тооz = а + би радиус векторыг ашиглан тодорхойлж болно координатуудтай( а ; б ) (Зураг 4).

Зураг 4

Тодорхойлолт . Вектор урт , цогц тоог илэрхийлдэгz , энэ тооны модуль гэж нэрлэгддэг ба тэмдэглэсэн байна эсвэлr .

Аливаа комплекс тооны хувьдz түүний модульr = | z | томъёогоор өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог .

Тодорхойлолт . Бодит тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба векторын хоорондох өнцгийн хэмжээ , нийлмэл тоог төлөөлж, энэ цогцолбор тооны аргумент гэж нэрлэгддэг ба тэмдэглэсэн байнаА rg z эсвэлφ .

Цогцолбор тооны аргументz = 0 тодорхойлогдсон. Цогцолбор тооны аргументz≠ 0 - олон утгатай хэмжигдэхүүн бөгөөд тодорхой хугацааны дотор тодорхойлогддог2πк (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Арг z = arg z + 2πк , Хаанаarg z – интервалд агуулагдах аргументийн үндсэн утга(-π; π] , тэр бол-π < arg z ≤ π (заримдаа интервалд хамаарах утгыг аргументийн үндсэн утга болгон авдаг .

Энэ томъёо нь хэзээr =1 Мойврын томъёог ихэвчлэн нэрлэдэг:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Жишээ 11: Тооцоол(1 + би ) 100 .

Комплекс тоо бичье1 + би тригонометрийн хэлбэрээр.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + би нүгэл үйлддэг )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + би нүгэл үйлддэг ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Комплекс тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах.

Комплекс тооны квадрат язгуурыг авахдааа + би бидэнд хоёр тохиолдол байна:

Хэрэвб >o , Тэр ;