Kaip išspręsti lygtis su ketvirtojo laipsnio pavyzdžiais. Ketvirtojo laipsnio lygtis. Ketvirtojo laipsnio bikvadratinių lygčių sprendimas
Netrukus po to, kai Cardano paskelbė kubinių lygčių sprendimo metodą, jo mokiniai ir pasekėjai rado būdų, kaip sumažinti bendrą ketvirtojo laipsnio lygtį į kubinę lygtį. Pateikiame paprasčiausią metodą, kuris priklauso L. Ferrari.
Pateikdami metodą turėsite naudoti šią elementarią lemą.
Lemma. Kad kvadratinis trinaris būtų tiesinio dvejetainio kvadratas, būtina ir pakanka, kad jo diskriminantas būtų lygus nuliui.
Įrodymas. Būtinybė. Leisti . Tada Pakankamumas. Leisk Tada
Pateikto metodo idėja yra pateikti kairę lygties pusę kaip dviejų kvadratų skirtumą. Tada jį galima išskaidyti į du antrojo laipsnio veiksnius, o išsprendus lygtį bus išspręstos dvi kvadratinės lygtys. Norėdami pasiekti tikslą, įsivaizduokite kairę pusę taip:
Čia y yra pagalbinis nežinomasis, kurį reikia pasirinkti taip, kad laužtiniuose skliaustuose esanti išraiška būtų tiesinio dvejetainio kvadratas. Pagal lemą tai būtina ir pakanka sąlygai patenkinti
Ši sąlyga yra trečiojo laipsnio lygtis y atžvilgiu. Atidarius skliaustus, jis konvertuojamas į formą
Leiskite būti viena iš šios lygties šaknų. Tada sąlyga bus patenkinta, taigi ji galioja
kai kuriems k ir I. Pradinė lygtis įgauna formą
Kiekvieną veiksnį prilyginę nuliui, rasime keturias pradinės lygties šaknis.
Padarykime dar vieną pastabą. Tegul yra pirmojo veiksnio šaknys, o antrojo – šaknys. Tada, pridėję šias lygybes, gauname tai
Taigi, mes gavome pagalbinės kubinės lygties šaknies išraišką pagal pradinės ketvirtojo laipsnio lygties šaknis.
Pavyzdys. Išspręskite lygtį. Pagal aukščiau aprašytą metodą mes transformuojame kairę pusę:
Dabar įdėkime. Po darinių gauname lygtį
Nesunku suprasti, kad viena iš šios lygties šaknų yra skaičius . Pakeitę jį į transformuotą kairę pradinės lygties pusę, gauname:
Prilyginę veiksnius nuliui, gauname
Kalbant apie lygtis, aukštesnes nei ketvirtasis laipsnis, buvo žinomos kai kurios palyginti konkrečios formos lygčių klasės. algebriniai sprendimai radikaluose, t.y. aritmetinių operacijų rezultatų ir šaknies ištraukimo veiksmo pavidalu. Tačiau bandymai pateikti penktojo ir aukštesnio laipsnio bendrųjų lygčių sprendimus buvo nesėkmingi, kol galiausiai XIX a. Ruffini ir Abelis neįrodė, kad tokio tipo bendrųjų lygčių, viršijančių ketvirtąjį laipsnį, sprendimas yra neįmanomas. Galiausiai 1830 m. genialus prancūzų matematikas E. Galois sugebėjo rasti būtinas ir pakankamas sąlygas (kurias gana sunku patikrinti) sprendžiamumui radikaluose, specialiai duota lygtis. Tuo pačiu metu Galois sukūrė ir panaudojo permutacijų grupių teoriją, kuri buvo nauja jo laikui.
Bendruoju atveju ketvirtojo laipsnio lygties sprendimas atliekamas naudojant aukštesnių laipsnių lygčių sprendimo būdus, pavyzdžiui, Ferrari metodą arba Hornerio schemą. Tačiau kai kurios 4-ojo laipsnio lygtys turi paprastesnį sprendimą.
Yra keletas specialių ketvirtojo laipsnio lygčių tipų, kurių sprendimo būdus sužinosite toliau:
- Bikvadratinė lygtis $ax^4+bx^2+c=0$;
- $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ formos abipusės lygtys;
- Formos $ax^4+b=0$ lygtys.
Ketvirtojo laipsnio bikvadratinių lygčių sprendimas
Bikvadratinės lygtys $ax^4+bx^2+c=0$ sumažinamos iki kvadratinių lygčių, pakeičiant kintamąjį $x^2$ nauju, pavyzdžiui, $y$. Po pakeitimo išsprendžiama nauja gauta lygtis, o tada rasto kintamojo reikšmė pakeičiama į lygtį $x^2=y$. Sprendimo rezultatas bus lygties $x^2=y$ šaknys.
1 pavyzdys
Išspręskite lygtį $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Išplėskime daugianario skliaustus:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
Šioje formoje tampa akivaizdu, kad kaip naują kintamąjį galime pasirinkti išraišką $y=x^2-3x$;
$y\cdot (y+2)=24$
Dabar išspręskime dvi kvadratines lygtis $x^2-3x=-4$ ir $x^2-3x=-6$.
Pirmosios lygties šaknys yra $x_1(1,2)=4;-1$, antroji neturi sprendinių.
4 laipsnio abipusių lygčių sprendimas
Šios formos $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ lygtys su savo koeficientais pakartoja žemesnės eilės terminų koeficientus aukštesnio laipsnio daugianariams. Norėdami išspręsti tokią lygtį, pirmiausia padalykite ją iš $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Tada pakeiskite $(x+\frac(1)(x))$ nauju kintamuoju, tada $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, pakeitę gausime Sekantis kvadratinė lygtis:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Po to ieškome lygčių $x+\frac(1)(x)=y_1$ ir $x+\frac(1)(x)=y_2$ šaknų.
Panašus metodas naudojamas sprendžiant abipuses lygtis, kurių forma yra $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
2 pavyzdys
Išspręskite lygtį:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Ši lygtis yra $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ formos abipusė lygtis. Todėl visą lygtį padaliname iš $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Pakeiskime išraišką $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Apskaičiuokime šios lygties šaknis, jos lygios $y_1=3$ ir $y_2=-\frac(7)(3)$.
Atitinkamai dabar reikia išspręsti dvi lygtis $x+\frac(2)(x)=3$ ir $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Pirmosios lygties sprendimas yra $x_1=1, x_2=2$, antroji lygtis neturi šaknų.
Todėl pradinės lygties šaknys yra $x_1=1, x_2=2$.
Formos $ax^4+b=0$ lygtys
Šio tipo lygties šaknys randamos naudojant sutrumpintas daugybos formules.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Pirmiausia turite rasti vieną šaknį naudodami atrankos metodą. Paprastai tai yra laisvojo termino daliklis. Šiuo atveju skaičiaus dalikliai 12 yra ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Pradėkime juos keisti po vieną:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ skaičius 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ skaičius -1 nėra daugianario šaknis
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ skaičius 2 yra daugianario šaknis
Mes radome 1 iš daugianario šaknų. Dauginamo šaknis yra 2, o tai reiškia, kad pradinis daugianomas turi dalytis iš x - 2. Norėdami atlikti daugianario padalijimą, naudojame Hornerio schemą:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Viršutinėje eilutėje rodomi pradinio daugianario koeficientai. Šaknis, kurį radome, dedama į pirmąją antros eilės langelį 2. Antroje eilutėje yra daugianario koeficientai, gaunami dalijant. Jie skaičiuojami taip:
| Antroje antrosios eilutės langelyje rašome skaičių 2, tiesiog perkeliant jį iš atitinkamo pirmosios eilutės langelio. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Paskutinis skaičius yra likusi dalis. Jeigu jis lygus 0, vadinasi, viską apskaičiavome teisingai.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Tačiau tai dar ne pabaiga. Taip pat galite pabandyti išplėsti daugianarį 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Vėlgi ieškome šaknies tarp laisvojo termino daliklių. Skaičių dalikliai -6 yra ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ skaičius 1 nėra daugianario šaknis
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ skaičius -1 nėra daugianario šaknis
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ skaičius 2 nėra daugianario šaknis
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ skaičius -2 yra daugianario šaknis
Raštą šaknį įrašykime į Hornerio schemą ir pradėkime pildyti tuščius langelius:
| Trečiosios eilutės antrame langelyje rašome skaičių 2, tiesiog perkeliant jį iš atitinkamo antrosios eilutės langelio. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Taigi, mes faktorinavome pradinį daugianarį:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (2x 2 + 5x - 3)
Polinomas 2x 2 + 5x - 3 taip pat gali būti faktorizuotas. Norėdami tai padaryti, galite išspręsti kvadratinę lygtį per diskriminantą arba galite ieškoti šaknies tarp skaičiaus daliklių -3. Vienaip ar kitaip padarysime išvadą, kad šio daugianario šaknis yra skaičius -3
| Ketvirtosios eilutės antrame langelyje rašome skaičių 2, tiesiog perkeldami jį iš atitinkamo langelio trečioje eilutėje. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Taigi pradinį daugianarį išskaidėme į tiesinius veiksnius.
Dekarto-Eulerio sprendimas
Atlikę pakeitimą, gauname tokios formos lygtį (ji vadinama „neužbaigta“):
y 4 + py 2 + qy + r = 0 .Šaknys y 1 , y 2 , y 3 , y 4 tokios lygties yra lygūs vienai iš šių išraiškų:
kuriame simbolių deriniai parenkami taip, kad būtų patenkintas toks ryšys:
,
ir z 1 , z 2 ir z 3 yra kubinės lygties šaknys
„Ferrari“ sprendimas
Pagrindinis straipsnis: Ferrari metodas
Ketvirtojo laipsnio lygtį pavaizduokime tokia forma:
Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,Jo sprendimą galima rasti iš šių posakių:
jei β = 0, sprendžiant u 4 + α u 2 + γ = 0 ir pakeitimas 
, suraskime šaknis: . 
, (tiks bet koks kvadratinės šaknies ženklas) , (trys sudėtingos šaknys, iš kurių tiks viena) 
Du ± s turi turėti tą patį ženklą, ± t – yra nepriklausomi. Norint rasti visas šaknis, reikia rasti x ženklų deriniams ± s ,± t = +,+, kai +,− už −,+ už −,−. Dvigubos šaknys atsiras du kartus, trigubos šaknys tris kartus, o ketvirtinės – keturis kartus. Šaknų tvarka priklauso nuo to, kuri kubo šaknis U pasirinkta. taip pat žr
- Lengvai išsprendžiami 4-ojo laipsnio lygčių tipai: dvikvadratinė lygtis, ketvirtojo laipsnio abipusė lygtis
Literatūra
- Korn G., Korn T. (1974) Matematikos vadovas.
Nuorodos
- „Ferrari“ sprendimas
Wikimedia fondas. 2010 m.
Pažiūrėkite, kas yra „ketvirtojo laipsnio lygtis“ kituose žodynuose:
ketvirtojo laipsnio lygtis- - [L.G. Sumenko. Anglų-rusų informacinių technologijų žodynas. M.: Valstybės įmonė TsNIIS, 2003.] Temos Informacinės technologijos bendra EN kvartinė lygtis… Techninis vertėjo vadovas
4 laipsnio daugianario grafikas su keturiomis šaknimis ir trimis kritiniais taškais. Ketvirtojo laipsnio lygtis matematikoje yra tokios formos algebrinė lygtis: Ketvirtasis algebrinių lygčių laipsnis yra aukščiausias, kuriame ... ... Vikipedija
Formos lygtis: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 vadinama abipuse, jei jos koeficientai simetrinėse padėtyse yra lygūs, tai yra, jei an − k = ak, kai k = 0, 1, ..., n. Turinys 1 Ketvirtojo laipsnio lygtis ... Vikipedija
Kuriame nežinomas terminas yra į ketvirtą laipsnį. Pilnas užsienio žodžių, pradėtų vartoti rusų kalba, žodynas. Popovas M., 1907. BIKVADRATINĖ LYGTIS iš lat. bis, du kartus ir kvadratas, kvadratas. Lygtis, kurioje didžiausias laipsnis ... ... Rusų kalbos svetimžodžių žodynas
Kartu su aritmetika yra skaičių mokslas, o per skaičius ir dydžius apskritai. Netirdami jokių apibrėžtų, konkrečių dydžių savybių, abu šie mokslai tiria abstrakčių dydžių savybes kaip tokias, nepaisant... ... enciklopedinis žodynas F. Brockhausas ir I.A. Efronas
Taikomųjų žinių rinkinys, leidžiantis aviacijos inžinieriams studijuoti aerodinamikos, stiprumo problemų, variklių gamybos ir orlaivių skrydžio dinamikos srityse (t.y. teorija), siekiant sukurti naują orlaivį ar tobulinti... ... Collier enciklopedija
Seniausia matematinė veikla buvo skaičiavimas. Sąskaita buvo būtina norint stebėti gyvulius ir vykdyti prekybą. Kai kurios primityvios gentys objektų skaičių skaičiuodavo derindamos juos su įvairiomis kūno dalimis, daugiausia... ... Collier enciklopedija
Technologijos istorija pagal laikotarpį ir regioną: Neolito revoliucija Senovės Egipto technologijos Mokslas ir Senovės Indijos technologijos Mokslas ir technologijos senovės Kinija Technologijos Senovės Graikija Technologijos Senovės Roma Islamo pasaulio technologijos... ... Vikipedija
Lygtis yra matematinis ryšys, išreiškiantis dviejų algebrinių išraiškų lygybę. Jei lygybė yra teisinga bet kurioms leistinoms į ją įtrauktoms nežinomųjų reikšmėms, tada ji vadinama tapatybe; pavyzdžiui, formos santykis ... ... Collier enciklopedija
Abelio Ruffini teorema teigia, kad bendroji lygtis galios at nėra išsprendžiamos radikaluose. Turinys 1 Informacija... Vikipedija
Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis, o nuo to laiko jų vartojimas tik išaugo. Šio tipo lygčių sprendimai gali būti atliekami pagal bendrąją aukštesnio laipsnio lygčių sprendimo schemą. Šių tipų lygtys turi radikalų sprendinius dėl Ferrari metodo, kuris leidžia sumažinti sprendinius iki kubinės lygties. Tačiau daugeliu atvejų, įvertinę daugianarį, galite greitai rasti lygties sprendimą.
Tarkime, kad mums duota ketvirto laipsnio binominė lygtis:
Išskaidykime daugianarį faktoriais:
Mes nustatome pirmojo kvadratinio trinalio šaknis:
Mes nustatome antrojo trinalio šaknis:
Dėl to pradinė lygtis turi keturias sudėtingas šaknis:
Kur galiu išspręsti 4-ojo laipsnio lygtis internete?
Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https://site. Nemokamas internetinis sprendimas leis jums per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetines lygtis. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite žiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. O jei turite klausimų, galite užduoti juos mūsų „VKontakte“ grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.
