ISTORINĖ NUORODOS

Sudėtiniai skaičiai buvo įtraukti į matematiką, kad būtų galima paimti bet kurio realaus skaičiaus kvadratinę šaknį. Tačiau tai nėra pakankama priežastis į matematiką įtraukti naujus skaičius. Paaiškėjo, kad jei atliksite skaičiavimus pagal įprastas taisykles pagal išraiškas, kuriose kvadratinė šaknis neigiamas skaičius, tada galite pasiekti rezultatą, kuriame nebėra neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies. XVI amžiuje Cardano rado formulę, kaip išspręsti kubinę lygtį. Paaiškėjo, kad kai kubinėje lygtyje yra trys tikrosios šaknys, Cardano formulėje yra neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis. Todėl neigiamų skaičių kvadratinės šaknys buvo pradėtos naudoti matematikoje ir buvo vadinamos įsivaizduojamais skaičiais - taip jie tarsi įgijo teisę į neteisėtą egzistavimą. Gaussas suteikė visas pilietines teises įsivaizduojamiems skaičiams, kurie juos pavadino kompleksiniais skaičiais geometrinė interpretacija ir įrodė pagrindinę algebros teoremą, teigiančią, kad kiekvienas daugianomas turi bent vieną realiąją šaknį.

1. KOMPLEKSINIO SKAIČIŲ SAMPRATA

Daugelio matematikos ir fizikos problemų sprendimas priklauso nuo algebrinių lygčių sprendimo. Todėl algebrinių lygčių tyrimas yra vienas iš svarbiausių matematikos klausimų. Noras, kad lygtys būtų išsprendžiamos, yra viena iš pagrindinių skaičiaus sampratos išplėtimo priežasčių.

Taigi, norint išspręsti X+A=B formos lygtis, teigiamų skaičių neužtenka. Pavyzdžiui, lygtis X+5=2 neturi teigiamų šaknų. Todėl turite įvesti neigiamus skaičius ir nulį.

Filmavimo aikštelėje racionalūs numeriai pirmojo laipsnio algebrinės lygtys yra sprendžiamos, t.y. A· X+B=0 (A0) formos lygtys. Tačiau aukštesnio laipsnio algebrinės lygtys nei pirmoji gali neturėti racionalių šaknų. Pavyzdžiui, tai lygtys X 2 =2, X 3 =5. Poreikis išspręsti tokias lygtis buvo viena iš neracionaliųjų skaičių įvedimo priežasčių. Racionalieji ir iracionalieji skaičiai sudaro realiųjų skaičių aibę.

Tačiau realiųjų skaičių neužtenka bet kuriai algebrinei lygčiai išspręsti. Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis su realiais koeficientais ir neigiamas diskriminantas neturi realių šaknų. Paprasčiausia iš jų yra lygtis X 2 +1=0. Todėl turime išplėsti realiųjų skaičių aibę, įtraukdami į ją naujų skaičių. Šie nauji skaičiai kartu su tikraisiais skaičiais sudaro aibę, kuri vadinama aibe kompleksiniai skaičiai.

Pirmiausia išsiaiškinkime, kokio tipo jie turėtų būti kompleksiniai skaičiai. Darysime prielaidą, kad lygtis X 2 +1=0 turi šaknį kompleksinių skaičių aibėje. Pažymėkime šią šaknį raide i Taigi, i yra kompleksinis skaičius, toks i 2 = –1.

Kalbant apie realiuosius skaičius, būtina įvesti kompleksinių skaičių sudėties ir daugybos operacijas, kad jų suma ir sandauga būtų kompleksiniai skaičiai. Tada, visų pirma, bet kokiems realiesiems skaičiams A ir B išraiška A+B+ i gali būti laikomas kompleksinio skaičiaus atvaizdu bendra forma. Pavadinimas „kompleksas“ kilęs iš žodžio „sudėtinis“: pagal išraiškos formą A+B· i .

Sudėtingi skaičiai vadinamos A+B formos išraiškomis i , kur A ir B yra tikrieji skaičiai ir i – kažkoks toks simbolis i 2 = –1 ir žymimas raide Z.

Skaičius A vadinamas realiąja kompleksinio skaičiaus A+B dalimi i, o skaičius B yra jo įsivaizduojama dalis. Skaičius i vadinamas įsivaizduojamu vienetu.

Pavyzdžiui, kompleksinio skaičiaus 2+3 realioji dalis i yra lygus 2, o įsivaizduojamas lygus 3.

Norint griežtai apibrėžti kompleksinį skaičių, būtina įvesti šių skaičių lygybės sąvoką.

Du kompleksiniai skaičiai A+B· i ir C+D i yra vadinami lygus tada ir tik tada, kai A=C ir B=D, t.y. kai jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios.

2. KOMPLEKSINIO SKAIČIŲ GEOMETRINIS AIŠKINIMAS

Tikrieji skaičiai geometriškai pavaizduoti skaičių linijos taškais. Kompleksinis skaičius A+B· i gali būti laikoma realiųjų skaičių pora (A;B). Todėl natūralu kompleksinį skaičių pavaizduoti taškais plokštumoje. Stačiakampėje koordinačių sistemoje kompleksinis skaičius Z=A+B· i yra pavaizduotas tašku plokštumoje su koordinatėmis (A;B), o šis taškas žymimas ta pačia raide Z (1 pav.). Akivaizdu, kad susirašinėjimas yra vienas su vienu. Tai leidžia interpretuoti kompleksinius skaičius kaip plokštumos, kurioje pasirinkta koordinačių sistema, taškus. Ši koordinačių plokštuma vadinama sudėtinga plokštuma . Abscisių ašis vadinama tikroji ašis , nes jame yra taškai, atitinkantys realiuosius skaičius. Y ašis vadinama įsivaizduojama ašis – jame yra taškai, atitinkantys įsivaizduojamus kompleksinius skaičius.

Ne mažiau svarbus ir patogus kompleksinio skaičiaus A+B· interpretavimas i kaip vektorius, t.y. vektorius su pradžios tašku

O(0;0) ir su galu taške M(A;B) (2 pav.).

Atitiktis, nustatyta tarp kompleksinių skaičių aibės, viena vertus, ir plokštumos taškų arba vektorių rinkinių, kita vertus, leidžia kompleksiniams skaičiams būti taškais arba vektoriais.

3. KOMPLEKSINIS SKAIČIŲ MODULIS

Tegu pateiktas kompleksinis skaičius Z=A+B· i . Konjugatas Su Z vadinamas kompleksiniu skaičiumi A – B i , kuris žymimas, t.y.

A – B i .

Atkreipkite dėmesį, kad = A+B· i , todėl bet kuriam kompleksiniam skaičiui Z galioja lygybė =Z.

Modulis kompleksinis skaičius Z=A+B· i paskambino numerį ir žymimas , t.y.

Iš (1) formulės išplaukia, kad bet kuriam kompleksiniam skaičiui Z ir =0 tada ir tik tada, kai Z=0, t.y. kai A=0 ir B=0. Įrodykime, kad bet kuriam kompleksiniam skaičiui Z galioja šios formulės:

4. SUDĖTIS IR DAIDINGAS SUDĖTIS SKAIČIUS

Suma du kompleksiniai skaičiai A+B i ir C+D i vadinamas kompleksiniu skaičiumi (A+C ) + ( B+D) i , t.y. ( A+B i) + ( C+D i)=( A+C) + (B+D) i

Darbas du kompleksiniai skaičiai A+B i ir C+D i vadinamas kompleksiniu skaičiumi (A· C – B· D)+(A· D+B· C) · i , t.y.

(A + B i ) (C + D) i )=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)· i

Iš formulių matyti, kad sudėtis ir daugyba gali būti atliekama pagal operacijų su daugianariais taisykles, atsižvelgiant į i 2 = –1. Kompleksinių skaičių sudėties ir daugybos operacijos turi realiųjų skaičių savybes. Pagrindinės savybės:

Poslinkio savybė:

Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1, Z 1 · Z 2 = Z 2 · Z 1

Atitinkama nuosavybė:

(Z 1 + Z 2) + Z 3 = Z 1 + (Z 2 + Z 3), (Z 1 Z 2) Z 3 = Z 1 (Z 2 Z 3)

Platinimo turtas:

Z 1 (Z 2 + Z 3) = Z 1 Z 2 + Z 1 Z 3

Geometrinis kompleksinių skaičių sumos vaizdavimas

Pagal dviejų kompleksinių skaičių sudėjimo apibrėžimą tikroji sumos dalis yra lygi dėmenų realiųjų dalių sumai, menamoji sumos dalis – tariamų terminų dalių sumai. Vektorių sumos koordinatės nustatomos tokiu pačiu būdu:

Dviejų vektorių su koordinatėmis (A 1 ;B 1) ir (A 2 ;B 2) suma yra vektorius su koordinatėmis (A 1 +A 2 ;B 1 +B 2). Todėl norint rasti vektorių, atitinkantį kompleksinių skaičių Z 1 ir Z 2 sumą, reikia pridėti vektorius, atitinkančius kompleksinius skaičius Z 1 ir Z 2.

1 pavyzdys: Raskite kompleksinių skaičių Z 1 =2 – 3× sumą ir sandaugą i Ir

Z 2 = –7 + 8× i .

Z 1 + Z 2 = 2 – 7 + (–3 + 8) × aš = - 5+5× i

Z 1 × Z 2 = (2–3 × i )× (–7 + 8× i ) = –14 + 16× i + 21× i + 24 = 10 + 37 × i

5.ATĖMĖS IR DALYKITE SUDĖLINIUS SKAIČIUS

Kompleksinių skaičių atėmimas yra atvirkštinė sudėjimo operacija: bet kokiems kompleksiniams skaičiams Z 1 ir Z 2 yra skaičius Z ir tik vienas, kad:

Jei prie abiejų lygybės pusių pridėsime (–Z 2) priešingą skaičių Z 2:

Z+Z 2 +(–Z 2)=Z 1 +(–Z 2), iš kur

Vadinamas skaičius Z=Z 1 +Z 2 skaičių skirtumas Z 1 ir Z 2.

Dalyba įvedama kaip atvirkštinė daugybos operacija:

Z × Z 2 = Z 1

Abi puses padalijus iš Z 2 gauname:

Iš šios lygties aišku, kad Z 2 0

Geometrinis kompleksinių skaičių skirtumo vaizdavimas

Kompleksinių skaičių Z 1 ir Z 2 skirtumas Z 2 – Z 1 atitinka vektorių, atitinkančių skaičius Z 1 ir Z 2, skirtumą. Skirtumo tarp dviejų kompleksinių skaičių Z 2 ir Z 1 modulis pagal modulio apibrėžimą yra vektoriaus Z 2 – Z 1 ilgis. Sukonstruokime šį vektorių kaip vektorių Z 2 ir (–Z 1) sumą (4 pav.). Taigi dviejų kompleksinių skaičių skirtumo modulis yra atstumas tarp kompleksinės plokštumos taškų, atitinkančių šiuos skaičius.

Šis svarbus geometrinis dviejų kompleksinių skaičių skirtumo modulio aiškinimas daro paprastus geometrinius faktus naudingus.

2 pavyzdys: Duoti kompleksiniai skaičiai Z 1 = 4 + 5 i ir Z2 = 3 + 4 i . Raskite skirtumą Z 2 – Z 1 ir koeficientą

Z 2 – Z 1 = (3 + 4 i) – (4 + 5· i) = –1 – i

==

6. TRIGONOMETRINĖ KOMPLEKSINIO SKAIČIŲ FORMA

Kompleksinio skaičiaus Z rašymas kaip A+B· i paskambino algebrinė forma kompleksinis skaičius. Be to algebrinė forma Taip pat naudojamos kitos sudėtingų skaičių rašymo formos.

Pasvarstykime trigonometrinė forma parašyti kompleksinį skaičių. Kompleksinio skaičiaus tikroji ir menamoji dalys Z=A+B· i yra išreiškiami per jo modulį = r ir argumentą j taip:

A= r cosj ; B= r sinj .

Skaičius Z gali būti parašytas taip:

Z= r cosj + i sinj = r (cosj + i sinj)

Z = r (cosj + i sinj) (2)

Šis įrašas vadinamas kompleksinio skaičiaus trigonometrinė forma .

r =– kompleksinio skaičiaus modulis.

Skaičius j vadinamas kompleksinio skaičiaus argumentas.

Kompleksinio skaičiaus Z0 argumentas yra kampo tarp teigiamos tikrosios ašies krypties ir vektoriaus Z dydis, o kampas laikomas teigiamu, jei skaičiuojama prieš laikrodžio rodyklę, ir neigiamu, jei skaičiuojama pagal laikrodžio rodyklę.

Skaičiui Z=0 argumentas neapibrėžiamas ir tik šiuo atveju skaičius nurodomas tik jo moduliu.

Kaip minėta aukščiau = r =, lygybė (2) gali būti parašyta forma

A+B i =· cosj + i · sinj, iš kur, sulyginę tikrąją ir įsivaizduojamą dalis, gauname:

cosj =, sinj = (3)

Jeigu sinj padalinti iš cosj mes gauname:

tgj= (4)

Šią formulę patogiau naudoti ieškant argumento j nei formulę (3). Tačiau ne visos j reikšmės, atitinkančios lygybę (4), yra skaičiaus A + B argumentai i . Todėl ieškant argumento reikia atsižvelgti, kuriame ketvirtyje yra taškas A+B i .

7. MODULIO SAVYBĖS IR KOMPLEKSINIO SKAIČIŲ ARGUMENTAS

Naudojant trigonometrinę formą patogu rasti kompleksinių skaičių sandaugą ir dalinį.

Tegu Z 1 = r 1 ( cosj 1 +i sinj 1), Z 2 = r 2 ( cosj 2 +i sinj 2). Tada:

Z 1 Z 2 = r 1 · r 2 =

= r 1 r 2 .

Taigi trigonometrine forma parašytų kompleksinių skaičių sandaugą galima rasti naudojant formulę:

Z 1 Z 2 = r 1 · r 2 (5)

Iš (5) formulės išplaukia, kad Dauginant kompleksinius skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami.

Jei Z 1 = Z 2, tada gauname:

Z2 = 2 = r 2 (cos2j +i sin2j)

Z 3 = Z 2 Z = r 2 ( cos2j +i sin2j ) r (cosj + i sinj )=

= r 3 ( cos3j +i sin3j)

Apskritai, bet kuriam kompleksiniam skaičiui Z=r (cosj + i sinj )0 ir bet kuris natūralusis skaičius n formulėje galioja:

Zn=[ r (cosj + i sinj )] n = r n (cosnj + i sinnj),(6)

kuri vadinama Moivre’o formule.

Dviejų kompleksinių skaičių, parašytų trigonometrine forma, koeficientą galima rasti naudojant formulę:

[cos(j 1 – j 2) + i sin(j 1 – j 2)].(7)

= = cos(–j 2) + i sin (–j 2)

Naudojant 5 formulę

(kaina 1+ i sinj 1)× (cos(–j 2) + i sin(–j 2)) =

cos(j 1 – j 2) + i sin(j 1 – j 2).

3 pavyzdys:

Rašome skaičių –8 trigonometrine forma

8 = 8 (cos(p + 2p k ) + i·sin(p + 2p k )), k О Z

Tegu Z = r×(cosj + i×

r 3× (cos3j + i× sin3j ) = 8 (cos(p + 2p k ) + i·sin(p + 2p k )), k О Z

Tada 3j =p + 2p k , k О Z

j= , k О Z

Taigi:

Z = 2 (cos() + i·sin()), k О Z

k = 0,1,2...

k = 0

Z 1 = 2 (cos + i nuodėmė) = 2 ( i) = 1+× i

k = 1

Z2 = 2 (cos(+)+ i sin( + )) = 2 (cosp + i sinp ) = –2

k = 2

Z3 = 2 (cos(+)+ i sin( + )) = 2 (cos + i sin) = 1–× i

Atsakymas: Z 13 = ; Z2 = –2

4 pavyzdys:

Rašome skaičių 1 trigonometrine forma

1 = 1· (cos(2p k ) + i·sin(2p k )), k О Z

Tegu Z = r×(cosj + i× sinj), tada duota lygtis bus parašyta tokia forma:

r 4× (cos4j + i× sin4j ) = cos(2p k ) + i·sin(2p k )), k О Z

4j = 2p k , k О Z

j = , k О Z

Z = cos+ i× nuodėmė

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z 1 = cos0+ i× sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z 2 = cos+ i× nuodėmė = 0 + i = i

k = 2

Z 3 = cosp + i sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z 4 = cos+ i× nuodėmė

Atsakymas: Z 13 = 1

Z 24 = i

8. PAKELIMAS Į GALIĄ IR ŠAKNĖS IŠKAVIMAS

Iš 6 formulės aišku, kad kompleksinio skaičiaus didinimas r· (cosj + i sinj ) iki teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio su natūraliuoju laipsniu, jo modulis pakeliamas iki laipsnio su tuo pačiu laipsniu, o argumentas padauginamas iš laipsnio.

[ r (cosj + i sinj )] n = r n (cos nj + i sinnj)

Skaičius Z paskambino laipsnio šaknis n iš skaičiaus w (žymimas), jei Z n =w.

Iš šis apibrėžimas iš to seka, kad kiekvienas lygties sprendinys Zn=w yra laipsnio šaknis n nuo numerio w. Kitaip tariant, siekiant išgauti galios šaknį n iš skaičiaus w pakanka išspręsti lygtį Z n =w. Jei w = 0, tada bet kuriai n lygtis Zn=w turi tik vieną sprendimą Z= 0. Jei w 0, tada Z0 , todėl Z ir w gali būti pavaizduoti trigonometrine forma

Z = r (cosj + i sinj ), w = p (jaukus + i nuodėmingas)

Lygtis Z n = w bus tokia:

r n (cos nj + i sin nj ) = p (jaukus + i nuodėmingas)

Du kompleksiniai skaičiai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų moduliai yra lygūs, o argumentai skiriasi terminais, kurie yra 2p kartotiniai. Todėl r n = p ir nj = y + 2p k , kur kО Z arba r = ir j= , kur kО Z .

Taigi, visi sprendimai gali būti parašyti taip:

Z K =, kО Z (8)

Formulė 8 vadinama Antroji Moivre formulė.

Taigi, jei w 0, tai iš skaičiaus w yra lygiai n n laipsnio šaknų: jos visos yra 8 formulėje. Visos laipsnio šaknys n iš skaičiaus w turi tą patį modulį , bet skirtingus argumentus, besiskiriančius terminu, kuris yra skaičiaus kartotinis. Iš to išplaukia, kad kompleksiniai skaičiai, kurie yra n laipsnio šaknys iš kompleksinio skaičiaus w, atitinka kompleksinės plokštumos taškus, esančius taisyklingo n-kampio, įrašyto į spindulio apskritimą, kurio centras yra taškas, viršūnėse. Z = 0.

Simbolis neturi aiškios reikšmės. Todėl naudodami jį turėtumėte aiškiai suprasti, ką reiškia šis simbolis. Pavyzdžiui, kai naudojate užrašą , turėtumėte aiškiai nurodyti, ar šis simbolis reiškia kompleksinių skaičių porą i Ir –i , arba vienas dalykas, kuris tiksliai.

Aukštesnių laipsnių lygtys

8 formulė nustato visas n laipsnio dvinario lygties šaknis. Bendrojo atveju situacija yra nepamatuojamai sudėtingesnė algebrinė lygtis n laipsnis:

a n × Z n+ a n–1× Z n–1 +...+ a 1× Z 1 + a 0 = 0(9)

Kur a n ,..., a 0 yra pateikti kompleksiniai skaičiai.

Aukštosios matematikos eigoje įrodyta Gauso teorema: kiekviena algebrinė lygtis turi bent vieną šaknį kompleksinių skaičių aibėje. Šią teoremą įrodė vokiečių matematikas Carlas Gaussas 1779 m.

Remdamiesi Gauso teorema, galime įrodyti, kad kairiąją 9 lygties pusę visada galima pavaizduoti kaip sandaugą:

,

Kur Z 1, Z 2,..., Z K yra skirtingi kompleksiniai skaičiai,

ir a 1 , a 2 ,..., a k yra natūralūs skaičiai ir:

a 1 + a 2 + ... + a k = n

Iš to išplaukia, kad skaičiai Z 1, Z 2,..., Z K yra lygties 9 šaknys. Šiuo atveju jie sako, kad Z 1 yra daugybos šaknis a 1, Z 2 yra daugybos a 2 šaknis, ir taip toliau.

Gauso teorema ir ką tik išdėstyta teorema pateikia šaknų egzistavimo sprendimus, bet nieko nepasako apie tai, kaip šias šaknis rasti. Jei pirmojo ir antrojo laipsnių šaknis galima lengvai rasti, tai trečiojo ir ketvirtojo laipsnio lygtims formulės yra sudėtingos, o laipsnio lygtims, viršijančioms ketvirtą, tokių formulių iš viso nėra. Nebuvimas bendras metodas Nepakenks surasti visas lygties šaknis. Norint išspręsti lygtį su sveikųjų skaičių koeficientais, dažnai naudinga tokia teorema: bet kurios algebrinės lygties su sveikaisiais koeficientais sveikosios šaknys yra laisvojo nario dalikliai.

Įrodykime šią teoremą:

Tegul Z = k yra lygties sveikoji šaknis

a n × Z n + a n–1 × Z n–1 +...+ a 1 × Z 1 + a 0 = 0

su sveikaisiais koeficientais. Tada

a n× k n + a n–1× k n–1 +...+ a 1× k 1 + a 0 = 0

a 0 = – k(a n× k n–1 + a n–1× k n–2 +...+ a 1)

Skaičius skliausteliuose, remiantis padarytomis prielaidomis, akivaizdžiai yra sveikasis skaičius, o tai reiškia, kad k yra skaičiaus a 0 daliklis.

9. KVADRATĖ LYGTIS SU KOMPLEKSINIU NEŽINOMU

Apsvarstykite lygtį Z 2 = a, kur a yra tikrasis skaičius, Z yra nežinomas skaičius.

Tai lygtis:

Parašykime skaičių a forma a = (– 1)× (– a) = i 2× = i 2× () 2 . Tada lygtis Z 2 = a bus parašyta tokia forma: Z 2 – i 2× () 2 = 0

tie. (Z – i× )(Z+ i× ) = 0

Todėl lygtis turi dvi šaknis: Z 1.2 = i×

Įvesta neigiamo skaičiaus šaknies samprata leidžia užrašyti bet kurios kvadratinės lygties šaknis realiaisiais koeficientais

a× Z 2 + b× Z + c = 0

Pagal gerai žinomą bendrą formulę

Z 1,2 = (10)

Taigi bet kuriai realiai a(a0), b, c lygties šaknis galima rasti naudojant formulę 10. Be to, jei diskriminantas, t.y. radikali išraiška 10 formulėje

D = b 2 – 4× a× c

yra teigiamas, tada lygtis a× Z 2 + b× Z + c = 0 yra dvi realios skirtingos šaknys. Jei D = 0, tai lygtis a× Z 2 + b× Z + c = 0 turi vieną šaknį. Jeigu D< 0, то уравнение a× Z 2 + b× Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Sudėtingos kvadratinės lygties šaknys turi tokias pačias savybes kaip ir žinomos tikrosios šaknų savybės.

Suformuluosime pagrindinius:

Tegul Z 1 ,Z 2 yra kvadratinės lygties a× Z 2 + b× Z + c = 0, a0 šaknys. Tada galioja šios savybės:

Z 1 × Z 2 =

1. Formulė galioja visiems kompleksiniams Z

a× Z 2 + b× Z + c = a× (Z – Z 1)× (Z – Z 2)

5 pavyzdys:

Z 2 – 6 Z + 10 = 0

D = b 2 – 4 a c

D = 6 2 – 4 10 = – 4

– 4 = i 2 ·4

Z 1,2 =

Atsakymas: Z 1 = Z 2 = 3 + i

6 pavyzdys:

3 · Z 2 +2 · Z + 1 = 0

D = b 2 – 4 a c

D = 4 – 12 = – 8

D = –1 · 8 = 8 · i 2

Z 1,2 = =

Atsakymas: Z 1 = Z 2 = –

7 pavyzdys:

Z 4 – 8 Z 2 – 9 = 0

t 2 – 8 t – 9 = 0

D = b 2 – 4 a c = 64 + 36 = 100

t 1 = 9 t 2 = – 1

Z 2 = 9 Z 2 = – 1

Z 3,4 = i

Atsakymas: Z 1,2 = 3, Z 3,4 = i

8 pavyzdys:

Z 4 + 2 Z 2 - 15 = 0

t 2 + 2 t – 15 = 0

D = b 2 – 4 a c = 4 + 60 = 64

t 1,2 = = = –14

t 1 = – 5 t 2 = 3

Z 2 = – 5 Z 2 = 3

Z 2 = – 1,5 Z 3,4 =

Z 2 = i 2 ·5

Z 1,2 = i

Atsakymas: Z 1,2 = i , Z 3,4 =

9 pavyzdys:

Z 2 = 24 10 i

Tegul Z = X + Y i

(X + Y i ) 2 = X 2 + 2 · X · Y · i – Y2

X 2 + 2 X Y i – Y 2 = 24 10 i

(X 2 Y 2) + 2 · X · Y · i = 24 10· i

padauginkite iš X 2 0

X 4 – 24 X 2 – 25 = 0

t 2 – 24 t – 25 = 0

t 1 t 2 = – 25

t 1 = 25 t 2 = – 1

X 2 = 25 X 2 = – 1 – sprendinių nėra

X 1 = 5 X 2 = – 5

Y 1 = – Y 2 =

Y 1 = – 1 Y 2 = 1

Z 1,2 =(5 – i )

Atsakymas: Z 1,2 =(5 – i )

UŽDUOTYS:

(2 – Y) 2 + 3 (2 – Y) Y + Y 2 = 6

4 – 4 · Y + Y 2 + 6 · Y – 3 · Y 2 + Y 2 = 6

–Y 2 + 2Y – 2 = 0 / –1

Y 2 – 2Y + 2 = 0

D = b 2 – 4 a c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1 · 4 = 4 · i 2

Y 1,2 = = = 1 i

Y 1 = 1– i Y 2 = 1 + i

X 1 = 1 + i X 2 = 1– i

Atsakymas: (1 + i ; 1–i }

{1–i ; 1 + i }

Padėkime kvadratu

Jei reikia įvardyti atstumą tarp dviejų miestų, galite pateikti atsakymą, sudarytą iš vieno skaičiaus myliomis, kilometrais arba kitais linijinio atstumo vienetais. Tačiau jei turite aprašyti, kaip patekti iš vieno miesto į kitą, turite pateikti daugiau informacijos nei tik atstumas tarp dviejų taškų žemėlapyje. Tokiu atveju verta pasikalbėti apie kryptį, kuria reikia judėti ir apie.

Informacijos tipas, išreiškiantis vienmatį matavimą, moksle vadinamas skaliariniu dydžiu. Skaliarai yra skaičiai, naudojami daugumoje matematinių skaičiavimų. Pavyzdžiui, objekto masė ir greitis yra skaliariniai dydžiai.

Norint sėkmingai analizuoti natūralus fenomenas, turime dirbti su abstrakčiais objektais ir metodais, kurie gali atvaizduoti daugiamačius dydžius. Čia reikia atsisakyti skaliarinių skaičių, o ne sudėtingus. Jie leidžia išreikšti du matmenis vienu metu.

Sudėtingus skaičius lengviau suprasti, kai jie pavaizduoti grafiškai. Jei linija turi tam tikrą ilgį ir kryptį, tai taip ir bus grafinis vaizdavimas. Jis taip pat plačiai žinomas kaip vektorius.

Skirtumai tarp kompleksinių ir skaliarinių dydžių

Tokie skaičių tipai, kaip sveikieji skaičiai, racionalieji ir realieji skaičiai, yra žinomi vaikams nuo mokyklos laikų. Visi jie turi vienmatę kokybę. Skaičių linijos tiesumas tai iliustruoja grafiškai. Galite judėti aukštyn arba žemyn, bet visas „judėjimas“ išilgai tos linijos bus apribotas horizontalia ašimi. Objektų skaičiui skaičiuoti, svoriui išreikšti ar akumuliatoriaus nuolatinei įtampai išmatuoti pakanka vienmačių skaliarinių skaičių. Tačiau jie negali reikšti nieko sudėtingesnio. Neįmanoma vienu metu išreikšti atstumo ir krypties tarp dviejų miestų arba amplitudės su faze naudojant skalierius. Šių tipų skaičiai turi būti pateikiami daugiamačio verčių diapazono forma. Kitaip tariant, mums reikia vektorinių dydžių, kurie gali turėti ne tik dydį, bet ir sklidimo kryptį.

Išvada

Skaliarinis skaičius yra matematinio objekto tipas, kurį žmonės yra įpratę naudoti Kasdienybė- tai temperatūra, ilgis, svoris ir kt. Kompleksinis skaičius yra reikšmė, apimanti dviejų tipų duomenis.

Vektorius yra grafinis kompleksinio skaičiaus vaizdas. Tai atrodo kaip rodyklė su pradžios tašku, tam tikru ilgiu ir kryptimi. Kartais žodis „vektorius“ vartojamas radijo inžinerijoje, kur jis išreiškia fazės poslinkį tarp signalų.

Tiriant kvadratinės lygties savybes, buvo nustatytas apribojimas – diskriminantui, mažesniam už nulį, sprendimo nėra. Iš karto buvo nurodyta, kad kalbame apie realiųjų skaičių aibę. Smalsus matematiko protas domėsis, kokia paslaptis slypi punkte apie tikrąsias vertybes?

Laikui bėgant matematikai įvedė kompleksinių skaičių sąvoką, kai sąlyginė antrosios šaknies iš minus vieneto reikšmė laikoma vienetu.

Istorinė nuoroda

Matematinė teorija vystosi nuosekliai, nuo paprastos iki sudėtingos. Išsiaiškinkime, kaip atsirado sąvoka „sudėtingas skaičius“ ir kodėl ji reikalinga.

Nuo neatmenamų laikų matematikos pagrindas buvo įprastas skaičiavimas. Tyrėjai žinojo tik natūralią vertybių rinkinį. Sudėjimas ir atėmimas buvo atlikti paprastai. Ekonominiams santykiams sudėtingėjant, vietoj identiškų verčių pridėjimo imta naudoti dauginimą. Atsirado atvirkštinė daugybos operacija – dalyba.

Natūralaus skaičiaus sąvoka apribojo aritmetinių operacijų naudojimą. Neįmanoma išspręsti visų padalijimo problemų sveikųjų skaičių reikšmių rinkinyje. iš pradžių atvedė prie racionalių vertybių sampratos, o paskui prie iracionalių vertybių. Jei racionaliajam galima nurodyti tikslią taško vietą tiesėje, tai iracionaliajam tokio taško nurodyti neįmanoma. Galite tik apytiksliai nurodyti vietos intervalą. Racionaliųjų ir neracionalių skaičių derinys sudarė realią aibę, kurią galima pavaizduoti kaip tam tikrą tiesę su tam tikra skale. Kiekvienas žingsnis palei liniją yra natūralusis skaičius, o tarp jų yra racionalios ir neracionalios vertybės.

Prasidėjo teorinės matematikos era. Astronomijos, mechanikos ir fizikos raida reikalavo spręsti vis sudėtingesnes lygtis. Bendroje formoje buvo rastos kvadratinės lygties šaknys. Spręsdami sudėtingesnį kubinį daugianarį, mokslininkai susidūrė su prieštaravimu. Neigiamos kubo šaknies sąvoka yra prasminga, tačiau kvadratinei šaknims tai sukelia neapibrėžtumą. Šiuo atveju kvadratinė lygtis yra tik ypatinga byla kub.

1545 metais italas G. Cardano pasiūlė įvesti įsivaizduojamo skaičiaus sąvoką.

Šis skaičius tapo antrąja minuso šaknimi. Kompleksinio skaičiaus terminas galutinai susiformavo tik po trijų šimtų metų, darbuose garsus matematikas Gausas. Jis pasiūlė visus algebros dėsnius formaliai išplėsti iki menamo skaičiaus. Tikroji linija išsiplėtė iki plokštumos. Pasaulis tapo didesnis.

Pagrindinės sąvokos

Prisiminkime keletą funkcijų, kurios turi apribojimų realiam rinkiniui:

• y = arcsin (x), apibrėžta verčių diapazone tarp neigiamos ir teigiamos vienybės.
• y = ln(x), prasminga teigiamiems argumentams.
• kvadratinė šaknis y = √x, skaičiuojama tik tada, kai x ≥ 0.

Pažymėdami i = √(-1), tokią sąvoką įvedame kaip įsivaizduojamą skaičių, tai leis pašalinti visus apribojimus iš minėtų funkcijų apibrėžimo srities. Tokios išraiškos kaip y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) įgauna reikšmę tam tikroje kompleksinių skaičių erdvėje.

Algebrinė forma gali būti parašyta kaip z = x + i × y realiųjų reikšmių x ir y aibėje, o i 2 = -1.

Naujoji koncepcija panaikina visus bet kokios algebrinės funkcijos naudojimo apribojimus, o jos išvaizda primena tiesios linijos grafiką realių ir įsivaizduojamų reikšmių koordinatėse.

Sudėtinga plokštuma

Geometrinė forma kompleksiniai skaičiai leidžia vizualizuoti daugelį jų savybių. Išilgai ašies Re(z) pažymime tikrąsias x reikšmes, išilgai Im(z) - įsivaizduojamas y reikšmes, tada taške z plokštumoje bus rodoma reikiama kompleksinė reikšmė.

Apibrėžimai:

• Re(z) – tikroji ašis.
• Im(z) – reiškia įsivaizduojamą ašį.
• z yra kompleksinio skaičiaus sąlyginis taškas.
• Skaitinė vektoriaus ilgio reikšmė nuo nulinio taško iki z vadinama moduliu.
• Tikroji ir įsivaizduojama ašys padalija plokštumą į ketvirčius. Su teigiama koordinačių reikšme – I ketvirtis. Kai tikrosios ašies argumentas mažesnis už 0, o įsivaizduojama ašis didesnė už 0 – antrasis ketvirtis. Kai koordinatės neigiamos – III ketvirtis. Paskutiniame, IV ketvirtyje yra daug teigiamų realių verčių ir neigiamų įsivaizduojamų verčių.

Taigi plokštumoje su koordinatėmis x ir y visada galite vizualiai pavaizduoti kompleksinio skaičiaus tašką. Simbolis i įvedamas siekiant atskirti tikrąją dalį nuo įsivaizduojamos.

Savybės

1. Turėdami nulinę įsivaizduojamo argumento reikšmę, mes tiesiog gauname skaičių (z = x), kuris yra tikrojoje ašyje ir priklauso tikrajai aibei.
2. Ypatingas atvejis, kai tikrojo argumento reikšmė tampa nuliu, išraiška z = i×y atitinka taško vietą įsivaizduojamoje ašyje.
3. Bendroji forma z = x + i × y bus nulinėms argumentų reikšmėms. Nurodo kompleksinį skaičių apibūdinančio taško vietą viename iš ketvirčių.

Trigonometrinis žymėjimas

Prisiminkime polinę koordinačių sistemą ir sin bei cos apibrėžimą. Akivaizdu, kad naudodami šias funkcijas galite apibūdinti bet kurio plokštumos taško vietą. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti poliarinio spindulio ilgį ir pasvirimo kampą į tikrąją ašį.

Apibrėžimas. Formos ∣z ∣ žymėjimas, padaugintas iš trigonometrinių funkcijų cos(ϴ) ir įsivaizduojamosios dalies i ×sin(ϴ) sumos, vadinamas trigonometriniu kompleksiniu skaičiumi. Čia mes naudojame pasvirimo kampą į tikrąją ašį

ϴ = arg(z) ir r = ∣z∣, pluošto ilgis.

Iš trigonometrinių funkcijų apibrėžimo ir savybių išplaukia labai svarbi Moivre formulė:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Naudojant šią formulę patogu išspręsti daugelį lygčių sistemų, kuriose yra trigonometrinės funkcijos. Ypač kai iškyla eksponencijos problema.

Modulis ir fazė

Norėdami užbaigti sudėtingo rinkinio aprašymą, siūlome du svarbius apibrėžimus.

Žinant Pitagoro teoremą, nesunku apskaičiuoti spindulio ilgį poliarinėje koordinačių sistemoje.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), toks žymėjimas kompleksinėje erdvėje vadinamas „moduliu“ ir apibūdina atstumą nuo 0 iki taško plokštumoje.

Kompleksinio spindulio pasvirimo kampas į tikrąją tiesę ϴ paprastai vadinamas faze.

Iš apibrėžimo aišku, kad tikroji ir menama dalys aprašomos naudojant ciklines funkcijas. Būtent:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

Priešingai, fazė yra susijusi su algebrinėmis reikšmėmis per formulę:

ϴ = arctan(x / y) + µ, pataisa µ įvedama siekiant atsižvelgti į periodiškumą geometrines funkcijas.

Eulerio formulė

Matematikai dažnai naudoja eksponentinę formą. Kompleksinės plokštumos skaičiai užrašomi kaip išraiška

z = r × e i × ϴ, kas išplaukia iš Eilerio formulės.

Šis žymėjimas tapo plačiai paplitęs atliekant praktinius skaičiavimus. fiziniai dydžiai. Atvaizdavimo forma eksponentinių kompleksinių skaičių forma ypač patogi inžineriniams skaičiavimams, kai reikia skaičiuoti grandines su sinusoidinėmis srovėmis ir reikia žinoti funkcijų integralų su duotu periodu reikšmę. Patys skaičiavimai naudojami kaip įvairių mašinų ir mechanizmų projektavimo įrankis.

Operacijų apibrėžimas

Kaip jau minėta, visi algebriniai darbo su pagrindinėmis matematinėmis funkcijomis dėsniai taikomi kompleksiniams skaičiams.

Sumos operacija

Pridedant sudėtingas vertes, jų tikroji ir įsivaizduojama dalys taip pat sumuojasi.

z = z 1 + z 2, kur z 1 ir z 2 yra kompleksiniai skaičiai bendras vaizdas. Transformavus išraišką, atvėrę skliaustus ir supaprastinus užrašymą, gauname tikrąjį argumentą x = (x 1 + x 2), įsivaizduojamą argumentą y = (y 1 + y 2).

Grafike tai atrodo kaip dviejų vektorių pridėjimas pagal gerai žinomą lygiagretainio taisyklę.

Atimties operacija

Tai laikomas ypatingu sudėjimo atveju, kai vienas skaičius yra teigiamas, kitas – neigiamas, tai yra, yra veidrodiniame kvartale. Algebrinis žymėjimas atrodo kaip skirtumas tarp tikrosios ir įsivaizduojamos dalių.

z = z 1 - z 2 arba, atsižvelgiant į argumentų reikšmes, panašiai kaip sudėjimo operacija, gauname tikrosioms reikšmėms x = (x 1 - x 2) ir įsivaizduojamoms reikšmėms y = (y 1 - y 2).

Daugyba kompleksinėje plokštumoje

Naudodamiesi darbo su daugianariais taisyklėmis išvesime kompleksinių skaičių sprendimo formulę.

Vadovaudamiesi bendromis algebrinėmis taisyklėmis z=z 1 ×z 2 aprašome kiekvieną argumentą ir pateikiame panašius. Tikroji ir įsivaizduojama dalys gali būti parašytos taip:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Atrodo gražiau, jei naudojame eksponentinį kompleksinį skaičių.

Išraiška atrodo taip: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Padalinys

Laikydami dalybos operaciją atvirkštine daugybos operacija, eksponentiniu žymėjimu gauname paprastą išraišką. z 1 reikšmės padalijimas iš z 2 yra jų modulių ir fazių skirtumo padalijimo rezultatas. Formaliai, naudojant kompleksinių skaičių eksponentinę formą, tai atrodo taip:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2).

Algebrinio žymėjimo forma skaičių padalijimo operacija sudėtingoje plokštumoje parašyta šiek tiek sudėtingiau:

Aprašant argumentus ir atliekant daugianario transformacijas, nesunku gauti reikšmes x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2, atitinkamai y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , aprašytos erdvės rėmuose ši išraiška turi prasmę, jei z 2 ≠ 0.

Šaknies ištraukimas

Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gali būti naudojama sudėtingesnėms algebrinėms funkcijoms apibrėžti – kėlimas į bet kokią laipsnį ir atvirkštinis – šaknies išskyrimas.

Naudodamiesi bendra didinimo iki laipsnio n samprata, gauname apibrėžimą:

z n = (r × e i ϴ) n .

Naudodami bendrąsias savybes, perrašome į formą:

z n = r n × e i ϴ n .

Gavome paprastą formulę, kaip kompleksinį skaičių pakelti į laipsnį.

Iš laipsnio apibrėžimo gauname labai svarbią išvadą. Lyginė įsivaizduojamo vieneto galia visada lygi 1. Bet kokia nelyginė įsivaizduojamo vieneto galia visada lygi -1.

Dabar panagrinėkime atvirkštinę funkciją – šaknies ištraukimą.

Žymėjimo paprastumui imame n = 2. Kvadratinė šaknis w iš kompleksinės reikšmės z kompleksinėje plokštumoje C paprastai laikoma išraiška z = ±, galiojančia bet kuriam realiam argumentui, didesniam arba lygus nuliui. Jei w ≤ 0, sprendimo nėra.

Pažiūrėkime į paprasčiausią kvadratinę lygtį z 2 = 1. Naudodami kompleksinių skaičių formules perrašome r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Iš įrašo aišku, kad r 2 = 1 ir ϴ = 0, todėl turime unikalų sprendimą, lygų 1. Tačiau tai prieštarauja sampratai, kad z = -1, taip pat atitinka kvadratinės šaknies apibrėžimą.

Išsiaiškinkime, į ką neatsižvelgiame. Jei prisiminsime trigonometrinį žymėjimą, atkursime teiginį – periodiškai keičiant fazę ϴ, kompleksinis skaičius nekinta. Laikotarpio reikšmę pažymėkime simboliu p, tada teisinga: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), iš kurio 2ϴ = 0 + p, arba ϴ = p / 2. Todėl e i 0 = 1 ir e i p /2 = -1 . Gavome antrąjį sprendimą, kuris atitinka bendrą kvadratinės šaknies supratimą.

Taigi, norėdami rasti savavališką kompleksinio skaičiaus šaknį, atliksime procedūrą.

• Parašykime eksponentinę formą w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k yra savavališkas sveikasis skaičius.
• Taip pat galime pavaizduoti reikiamą skaičių naudodami Eulerio formą z = r × e i ϴ .
• Pasinaudokime bendruoju šaknies išskyrimo funkcijos apibrėžimu r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Iš bendrųjų modulių ir argumentų lygybės savybių rašome r n = ∣w∣ ir nϴ = arg (w) + p×k.
• Galutinis kompleksinio skaičiaus šaknies žymėjimas apibūdinamas formule z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• komentuoti. Reikšmė ∣w∣ pagal apibrėžimą yra teigiamas tikrasis skaičius, o tai reiškia, kad bet kurios galios šaknis turi prasmę.

Laukas ir draugas

Apibendrinant, pateikiame du svarbius apibrėžimus, kurie turi mažai reikšmės sprendimui taikomų problemų su kompleksiniais skaičiais, bet yra reikšmingi tolimesnis vystymas matematinė teorija.

Teigiama, kad sudėties ir daugybos išraiškos sudaro lauką, jei jos tenkina bet kurių kompleksinės plokštumos z elementų aksiomas:

1. Pakeitus sudėtinių terminų vietas, kompleksinė suma nekeičiama.
2. Teiginys teisingas – kompleksinėje išraiškoje bet kurią dviejų skaičių sumą galima pakeisti jų reikšme.
3. Yra neutrali reikšmė 0, kuriai z + 0 = 0 + z = z yra teisinga.
4. Bet kuriam z yra priešingybė – z, kurią pridėjus gaunamas nulis.
5. Keičiant kompleksinių veiksnių vietas, kompleksinis produktas nesikeičia.
6. Bet kurių dviejų skaičių padauginimas gali būti pakeistas jų verte.
7. Yra neutrali reikšmė 1, iš kurios padauginus kompleksinis skaičius nekeičiamas.
8. Kiekvienam z ≠ 0 yra atvirkštinė reikšmė z -1, padauginus iš kurios gaunamas 1.
9. Dviejų skaičių sumos padauginimas iš trečdalio prilygsta operacijai, kai kiekvieną iš jų padauginama iš šio skaičiaus ir sudedant rezultatus.
10. 0 ≠ 1.

Skaičiai z 1 = x + i×y ir z 2 = x - i×y vadinami konjugatiniais.

Teorema. Kalbant apie poravimą, teisingas šis teiginys:

• Sumos konjugatas yra lygus konjuguotų elementų sumai.
• Produkto konjugatas yra lygus konjugatų sandaugai.
• lygus pačiam skaičiui.

Bendrojoje algebroje tokios savybės dažniausiai vadinamos lauko automorfizmais.

Pavyzdžiai

Vadovaudamiesi pateiktomis kompleksinių skaičių taisyklėmis ir formulėmis, galite lengvai su jais dirbti.

Pažvelkime į paprasčiausius pavyzdžius.

1 užduotis. Naudodami lygtį 3y +5 x i= 15 - 7i, nustatykite x ir y.

Sprendimas. Prisiminkime kompleksinių lygybių apibrėžimą, tada 3y = 15, 5x = -7. Todėl x = -7 / 5, y = 5.

2 užduotis. Apskaičiuokite 2 + i 28 ir 1 + i 135 reikšmes.

Sprendimas. Aišku 28- lyginis skaičius, nuo kompleksinio skaičiaus apibrėžimo pasekmės iki laipsnio, kurį turime i 28 = 1, o tai reiškia, kad išraiška yra 2 + i 28 = 3. Antroji reikšmė, i 135 = -1, tada 1 + i 135 = 0 .

3 užduotis. Apskaičiuokite reikšmių 2 + 5i ir 4 + 3i sandaugą.

Sprendimas. Iš bendrųjų kompleksinių skaičių daugybos savybių gauname (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Nauja vertė bus -7 + 26i.

4 užduotis. Apskaičiuokite lygties z 3 = -i šaknis.

Sprendimas. Kompleksiniam skaičiui rasti gali būti keletas variantų. Panagrinėkime vieną iš galimų. Pagal apibrėžimą ∣ - i∣ = 1, fazė -i yra -p / 4. Pradinė lygtis gali būti perrašyta kaip r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, iš kur z = e - p / 12 + pk /3 , bet kuriam sveikajam skaičiui k.

Sprendimų aibė turi formą (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Kodėl reikalingi kompleksiniai skaičiai?

Istorija žino daugybę pavyzdžių, kai mokslininkai, dirbdami ties teorija, net nesusimąsto apie praktinį savo rezultatų pritaikymą. Matematika – tai visų pirma proto žaidimas, griežtas priežasties-pasekmės santykių laikymasis. Beveik visos matematinės konstrukcijos sprendžiamos integralų ir diferencialines lygtis, o tie, savo ruožtu, su tam tikru aproksimavimu, išsprendžiami ieškant daugianario šaknų. Čia pirmiausia susiduriame su įsivaizduojamų skaičių paradoksu.

Mokslininkai, gamtininkai, sprendžia visiškai praktines problemas, pasitelkdami įvairių lygčių sprendimus, atraskite matematinius paradoksus. Šių paradoksų aiškinimas veda prie visiškai nuostabių atradimų. Dvigubas elektromagnetinių bangų pobūdis yra vienas iš tokių pavyzdžių. Sudėtingi skaičiai vaidina lemiamą vaidmenį suvokiant jų savybes.

Tai, savo ruožtu, nustatyta praktinis naudojimas optikos, radijo elektronikos, energetikos ir daugelyje kitų technologijų sričių. Kitas pavyzdys, daug sunkiau suprantamas fizikiniai reiškiniai. Ant rašiklio galiuko buvo numatyta antimedžiaga. Ir tik po daugelio metų prasideda bandymai jį fiziškai susintetinti.

Nereikėtų manyti, kad tokios situacijos egzistuoja tik fizikoje. Ne mažiau įdomūs atradimai daromi ir gyvojoje gamtoje, ir makromolekulių sintezės metu, ir tiriant dirbtinį intelektą. Ir visa tai dėka mūsų sąmonės išsiplėtimo, tolstant nuo paprasto natūralių dydžių sudėjimo ir atėmimo.

TemaSudėtiniai skaičiai ir daugianariai

Paskaita 22

§1. Sudėtiniai skaičiai: pagrindiniai apibrėžimai

Simbolis įvedamas santykis
ir vadinamas įsivaizduojamu vienetu. Kitaip tariant,
.

Apibrėžimas. Formos išraiška
, Kur
, vadinamas kompleksiniu skaičiumi, o skaičiumi vadinama tikrąja kompleksinio skaičiaus dalimi ir žymėti
, numeris – įsivaizduojama dalis ir žymėti
.

Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad realieji skaičiai yra tie kompleksiniai skaičiai, kurių įsivaizduojama dalis lygi nuliui.

Kompleksinius skaičius patogu pavaizduoti plokštumos taškais, kuriuose nurodyta Dekarto stačiakampių koordinačių sistema, būtent: kompleksinis skaičius
atitinka tašką
ir atvirkščiai. Ant ašies
pavaizduoti tikrieji skaičiai ir ji vadinama tikrąja ašimi. Sudėtiniai formos skaičiai

yra vadinami grynai įsivaizduojamais. Jie pavaizduoti taškais ašyje
, kuri vadinama įsivaizduojama ašimi. Ši plokštuma, skirta kompleksiniams skaičiams pavaizduoti, vadinama kompleksine plokštuma. Kompleksinis skaičius, kuris nėra tikras, t.y. toks kad
, kartais vadinamas įsivaizduojamu.

Sakoma, kad du kompleksiniai skaičiai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų tikroji ir menamoji dalys yra vienodos.

Kompleksinių skaičių sudėjimas, atėmimas ir daugyba atliekami pagal įprastas daugianario algebros taisykles, atsižvelgiant į tai, kad

. Dalybos operaciją galima apibrėžti kaip atvirkštinę daugybos operaciją ir įrodyti rezultato unikalumą (jei daliklis yra ne nulis). Tačiau praktikoje naudojamas kitoks požiūris.

Sudėtingi skaičiai
Ir
kompleksinėje plokštumoje vadinami konjuguotais taškais, kurie yra simetriški tikrosios ašies atžvilgiu. Akivaizdu, kad:

1)

;

2)
;

3)
.

Dabar padalintas įjungta galima atlikti taip:

.

Tai nesunku parodyti

,

kur simbolis reiškia bet kokią aritmetinę operaciją.

Leisti
koks nors įsivaizduojamas skaičius ir – tikrasis kintamasis. Dviejų dvejetainių sandauga

yra kvadratinis trinaris su realiaisiais koeficientais.

Dabar, turėdami kompleksinius skaičius, galime išspręsti bet kurią kvadratinę lygtį
.Jei tada

ir lygtis turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis

.

Jeigu
, tada lygtis turi dvi skirtingas realiąsias šaknis. Jeigu
, tada lygtis turi dvi vienodas šaknis.

§2. Trigonometrinė kompleksinio skaičiaus forma

Kaip minėta aukščiau, kompleksinis skaičius
patogu pavaizduoti kaip tašką
. Šį skaičių taip pat galima identifikuoti su šio taško spindulio vektoriumi
. Taikant šį aiškinimą, kompleksinių skaičių sudėjimas ir atėmimas atliekamas pagal vektorių sudėties ir atėmimo taisykles. Kompleksiniams skaičiams dauginti ir dalyti patogesnė kita forma.

Supažindinkime su kompleksine plokštuma
poliarinė koordinačių sistema. Tada kur
,
ir kompleksinis skaičius
gali būti parašytas taip:

Ši žymėjimo forma vadinama trigonometrine (priešingai nei algebrinė forma
). Šioje formoje numeris vadinamas moduliu ir – kompleksinio skaičiaus argumentas . Jie yra pažymėti:
,

. Moduliui turime formulę

Skaičiaus argumentas nėra apibrėžtas vienareikšmiškai, o iki termino
,
. Nelygybes tenkinančio argumento vertė
, vadinamas pagrindiniu ir žymimas
. Tada
. Norėdami gauti pagrindinę argumento reikšmę, galite gauti šias išraiškas:

,

skaičiaus argumentas
laikomas neapibrėžtu.

Dviejų kompleksinių skaičių lygybės trigonometrine forma sąlyga yra tokia: skaičių moduliai yra lygūs, o argumentai skiriasi kartotiniu
.

Raskime dviejų kompleksinių skaičių sandaugą trigonometrine forma:

Taigi, padauginus skaičius, jų moduliai dauginami ir jų argumentai pridedami.

Panašiu būdu galime nustatyti, kad dalijant skaičių moduliai dalijami ir argumentai atimami.

Suprasdami eksponentiškumą kaip kartotinį dauginimą, galime gauti formulę, kaip kompleksinį skaičių pakelti į laipsnį:

Išveskime formulę
– šaknis - kompleksinio skaičiaus laipsnis (nepainioti su aritmetine tikrojo skaičiaus šaknimi!). Šaknies išskyrimo operacija yra atvirkštinė eksponencijos operacija. Štai kodėl
yra kompleksinis skaičius toks kad
.

Leisti
yra žinoma, bet
reikia surasti. Tada

Iš dviejų kompleksinių skaičių lygybės trigonometrine forma išplaukia, kad

,
,
.

Iš čia
(tai aritmetinė šaknis!),

,
.

Tai lengva patikrinti gali tik priimti iš esmės skirtingos vertybės, pavyzdžiui, kada
. Galiausiai turime formulę:

,
.

Taigi šaknis kompleksinio skaičiaus laipsnis turi skirtingos reikšmės. Kompleksinėje plokštumoje šios vertės yra teisingai išdėstytos viršūnėse - į spindulio apskritimą įbrėžtas trikampis
su centru ištakoje. „Pirmoji“ šaknis turi argumentą
, dviejų „gretimų“ šaknų argumentai skiriasi
.

Pavyzdys. Paimkime įsivaizduojamo vieneto kubinę šaknį:
,
,
. Tada:

,

§1. Sudėtingi skaičiai

1°. Apibrėžimas. Algebrinis žymėjimas.

1 apibrėžimas. Sudėtingi skaičiai vadinamos sutvarkytos realiųjų skaičių poros Ir , jei jiems apibrėžiama lygybės sąvoka, sudėjimo ir daugybos operacijos, tenkinančios šias aksiomas:

1) Du skaičiai
Ir
lygus tada ir tik tada
,
, t.y.

 , .

2) Kompleksinių skaičių suma
Ir

ir lygus
, t.y.

+ = .

3) Kompleksinių skaičių sandauga
Ir
yra skaičius, pažymėtas
ir lygus, t.y.

∙=.

Pažymima kompleksinių skaičių aibė C.

Formulės (2), (3) formos skaičiams
paimk formą

iš kur išplaukia, kad formos skaičių sudėties ir daugybos operacijos
sutampa su realiųjų skaičių sudėtimi ir daugyba  formos kompleksinis skaičius
tapatinamas su tikru skaičiumi .

Sudėtingas skaičius
paskambino įsivaizduojamas vienetas ir yra paskirtas , t.y.
Tada nuo (3) 

Iš (2), (3)  o tai reiškia

Išraiška (4) vadinama algebrinis žymėjimas kompleksinis skaičius.

Algebriniame žymėjime sudėjimo ir daugybos operacijos yra tokios formos:

Kompleksinis skaičius žymimas
, - tikroji dalis, – įsivaizduojama dalis, yra grynai įsivaizduojamas skaičius. Pavadinimas:
,
.

2 apibrėžimas. Sudėtingas skaičius
paskambino konjugatas su kompleksiniu skaičiumi
.

Sudėtingos konjugacijos savybės.

1)

2)
.

3) Jei
, Tai
.

4)
.

5)
- tikras numeris.

Įrodymas atliekamas tiesioginiu skaičiavimu.

3 apibrėžimas. Skaičius
paskambino modulis kompleksinis skaičius
ir yra paskirtas
.

Tai akivaizdu
, ir


. Formulės taip pat akivaizdžios:
Ir
.

2°. Sudėjimo ir daugybos operacijų savybės.

1) Komutatyvumas:
,
.

2) Asociatyvumas:,
.

3) Paskirstymas: .

Įrodymas 1) – 3) atliekamas tiesioginiais skaičiavimais, remiantis panašiomis realiųjų skaičių savybėmis.

4)
,
.

5) , C ! , tenkinantis lygtį
. Tai

6) ,C, 0, ! :
. Tai randama lygtį padauginus iš



.

Pavyzdys. Įsivaizduokime kompleksinį skaičių
algebrine forma. Norėdami tai padaryti, padauginkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio konjuguoto skaičiaus. Mes turime:

3°. Geometrinis kompleksinių skaičių aiškinimas. Trigonometrinė ir eksponentinė kompleksinio skaičiaus rašymo forma.

Tegu plokštumoje nurodoma stačiakampė koordinačių sistema. Tada
C galite suderinti tašką plokštumoje su koordinatėmis
.(žr. 1 pav.). Akivaizdu, kad toks susirašinėjimas yra vienas su vienu. Šiuo atveju tikrieji skaičiai guli ant abscisių ašies, o grynai įsivaizduojami skaičiai – ordinačių ašyje. Todėl abscisių ašis vadinama tikroji ašis, o ordinačių ašis − įsivaizduojama ašis. Vadinama plokštuma, kurioje yra kompleksiniai skaičiai sudėtinga plokštuma.

Prisimink tai Ir
yra simetriški kilmei ir Ir simetriškas Ox atžvilgiu.

Kiekvienas kompleksinis skaičius (t. y. kiekvienas plokštumos taškas) gali būti susietas su vektoriumi, kurio pradžia yra taške O, o pabaiga – taške
. Atitiktis tarp vektorių ir kompleksinių skaičių yra vienas su vienu. Todėl vektorius, atitinkantis kompleksinį skaičių , žymimas ta pačia raide

D vektoriaus linija
atitinkantis kompleksinį skaičių
, yra lygus
, ir
,
.

Naudojant vektorinę interpretaciją, matome, kad vektorius
− vektorių suma Ir , A
− vektorių suma Ir
.(žr. 2 pav.). Todėl galioja šios nelygybės: ,

Kartu su ilgiu vektorius pristatykime kampą tarp vektoriaus ir Ox ašis, skaičiuojama nuo teigiamos Ox ašies krypties: jei skaičiuojama prieš laikrodžio rodyklę, tai kampo ženklas laikomas teigiamu, jei pagal laikrodžio rodyklę, tai neigiamas. Šis kampas vadinamas kompleksinio skaičiaus argumentas ir yra paskirtas
. Kampas nustatomas ne vienareikšmiškai, o tiksliai
… . Dėl
argumentas neapibrėžtas.

Formulės (6) apibrėžia vadinamąją trigonometrinis žymėjimas kompleksinis skaičius.

Iš (5) išplaukia, kad jeigu
Ir
Tai

, .

Nuo (5)
kaip apie Ir kompleksinis skaičius nustatomas vienareikšmiškai. Netiesa priešingai: būtent per kompleksinį skaičių jo modulis yra unikaliai rastas, ir argumentas , remiantis (7), − tikslumu
. Iš 7 punkto taip pat matyti, kad argumentas galima rasti kaip lygties sprendimą

Tačiau ne visi šios lygties sprendiniai yra (7) sprendiniai.

Tarp visų kompleksinio skaičiaus argumento reikšmių pasirenkama viena, kuri vadinama pagrindine argumento reikšme ir žymima
. Paprastai pagrindinė argumento reikšmė pasirenkama arba diapazone
, arba intervale

Daugybos ir dalybos operacijas patogu atlikti trigonometrine forma.

1 teorema. Kompleksinių skaičių sandaugos modulis Ir yra lygus modulių sandaugai, o argumentas yra argumentų suma, t.y.

, A.

taip pat

,

Įrodymas. Leisti , . Tada tiesiogiai dauginant gauname:

taip pat

.■

Pasekmė(Moivre'o formulė). Dėl
Moivre formulė galioja

P pavyzdys. Raskime geometrinę taško vietą
. Iš 1 teoremos išplaukia, kad .

Todėl norėdami jį sukurti, pirmiausia turite sukurti tašką , tai yra inversija vienetinio apskritimo atžvilgiu ir tada suraskite jam simetrišką tašką Ox ašies atžvilgiu.

Leisti
, t.y.
Sudėtingas skaičius
žymimas
, t.y. R Eulerio formulė galioja

Nes
, Tai
,
. Iš 1 teoremos
kas yra su funkcija
galite dirbti kaip su įprasta eksponentine funkcija, t.y. galioja lygybės

,
,
.

Nuo (8)
parodomasis užrašymas kompleksinis skaičius

, Kur
,

Pavyzdys. .

4°. Šaknys - kompleksinio skaičiaus laipsnis.

Apsvarstykite lygtį

, SU , N .

Leisti
, o (9) lygties sprendinio ieškoma formoje
. Tada (9) įgauna formą
, iš kur mes tai randame
,
, t.y.

,
,
.

Taigi (9) lygtis turi šaknis

, .

Parodykime, kad tarp (10) yra tiksliai skirtingos šaknys. tikrai,

yra skirtingi, nes jų argumentai skiriasi ir skiriasi mažiau nei
. Toliau,
, nes
. taip pat
.

Taigi, lygtis (9) ties
turi tiksliai šaknys
, esantis dėsningumo viršūnėse - į spindulio apskritimą įbrėžtas trikampis kurio centras yra taške O.

Taip įrodyta

2 teorema.Šaknų ištraukimas - kompleksinio skaičiaus laipsnis
Visada įmanoma. Visos šaknies reikšmės laipsnis esančios teisingo viršūnėse -gon įbrėžtas į apskritimą, kurio centras yra nulis ir spindulys
. kur,

Pasekmė.Šaknys 1 laipsnis išreiškiamas formule

.

Dviejų 1 šaknų sandauga yra šaknis, 1 yra šaknis - vienybės galia, šaknis
:
.