សិប្បកម្ម

និយមន័យដេរីវេទី 1 និងទីពីរ។ ដំណោះស្រាយនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះ៖ និយមន័យ របៀបស្វែងរក ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែរបូល

ដេរីវេដំបូង

(ដេរីវេទីមួយ)អត្រានៃការកើនឡើងតម្លៃនៃអនុគមន៍ នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាកើនឡើងនៅចំណុចណាមួយ ប្រសិនបើមុខងារខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចនេះ។ នៅលើក្រាហ្វ ដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍បង្ហាញពីជម្រាលរបស់វា។ ប្រសិនបើ y=f(x),ដេរីវេដំបូងរបស់វានៅចំណុច x0គឺជាដែនកំណត់ដែលវាមាននិន្នាការ f(x0+а)–f(x0)/аជា កទំនោរទៅរកតម្លៃគ្មានកំណត់។ ដេរីវេទី 1 អាចត្រូវបានសម្គាល់ dy/dxឬ y´(x)។មុខងារ y(x)មានតម្លៃថេរនៅចំណុចមួយ។ x0,ប្រសិនបើ dy/dxនៅចំណុច x0ស្មើសូន្យ។ ដេរីវេទី 1 ស្មើនឹងសូន្យគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ ប៉ុន្តែមិនមានលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់មុខងារដើម្បីឈានដល់អតិបរមា ឬអប្បបរមារបស់វានៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សេដ្ឋកិច្ច។ វចនានុក្រម. - M.: "INFRA-M", គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយ "Ves Mir" ។ J. ខ្មៅ។ និពន្ធនាយក៖ បណ្ឌិតសេដ្ឋកិច្ច Osadchaya I.M.. 2000 .

វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច. 2000 .

សូមមើលអ្វីដែល "FIRST DERIVATIVE" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

- (ដេរីវេ) អត្រាដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍កើនឡើងនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាត្រូវបានបង្កើននៅចំណុចណាមួយ ប្រសិនបើមុខងារខ្លួនឯងត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចនេះ។ នៅលើក្រាហ្វ ដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍បង្ហាញពីជម្រាលរបស់វា។ ប្រសិនបើ y = f(x) ដេរីវេទីមួយរបស់វានៅចំណុច ...... វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើល ដេរីវេ។ រូបភាពនៃគោលគំនិតនៃដេរីវេទីវ័រ ... វិគីភីឌា

ដេរីវេគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលកំណត់លក្ខណៈអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ។ បានកំណត់ថាជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍មួយទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់របស់វា នៅពេលដែលការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ ប្រសិនបើដែនកំណត់បែបនេះ ...... វិគីភីឌា

បញ្ហាតម្លៃព្រំដែននៃប្រភេទពិសេស; មាននៅក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយនៅក្នុងដែននៃ Dvariables x=(x1,...,x n)។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល(1) នៃលំដាប់សូម្បីតែ 2m សម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃដេរីវេទាំងអស់នៃលំដាប់មិនខ្ពស់ជាង m នៅលើព្រំដែន S នៃតំបន់ D (ឬផ្នែករបស់វា) ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

- (ដេរីវេទី 2) ដេរីវេទី 1 នៃដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍។ ដេរីវេទី 1 វាស់ជម្រាលនៃមុខងារ; ដេរីវេទី 2 វាស់វែងពីរបៀបដែលជម្រាលផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់កើនឡើង។ ដេរីវេទីពីរនៃ y = f(x)…… វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច

អត្ថបទ ឬផ្នែកនេះត្រូវការការពិនិត្យឡើងវិញ។ សូមកែលម្អអត្ថបទដោយអនុលោមតាមច្បាប់សម្រាប់ការសរសេរអត្ថបទ។ ប្រភាគអំពី ... វិគីភីឌា

- (ចម្លងផ្នែកដេរីវេ) ឥទ្ធិពលនៃការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់មួយនៃអនុគមន៍មួយពីអថេរពីរ ឬច្រើននៅលើដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់មួយផ្សេងទៀត។ ប្រសិនបើ y = f(x,z) នោះដេរីវេរបស់វា ឬដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍ y ទាក់ទងនឹងអាគុយម៉ង់ x គឺស្មើនឹង ...... វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច

analogue នៃល្បឿនចំណុច- ដេរីវេដំបូងនៃចលនានៃចំណុចមួយតាមបណ្តោយកូអរដោណេទូទៅនៃយន្តការ...

analogue នៃល្បឿនមុំតំណភ្ជាប់- ដេរីវេទី 1 នៃមុំបង្វិលនៃតំណភ្ជាប់ដោយគោរពតាមសំរបសំរួលទូទៅនៃយន្តការ... វចនានុក្រមពន្យល់ពាក្យពហុបច្ចេកទេស

ល្បឿនទូទៅនៃយន្តការ- ដេរីវេទីមួយនៃសំរបសំរួលទូទៅនៃយន្តការទាក់ទងនឹងពេលវេលា ... វចនានុក្រមពន្យល់ពាក្យពហុបច្ចេកទេស

សៀវភៅ

ការប្រមូលបញ្ហាលើធរណីមាត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងតក្កវិជ្ជា Mishchenko A.S.. ការប្រមូលបញ្ហានេះមានគោលបំណងឆ្លុះបញ្ចាំងឱ្យបានច្រើនតាមតែអាចធ្វើទៅបាននូវតម្រូវការដែលមានស្រាប់សម្រាប់វគ្គសិក្សានៅក្នុងធរណីមាត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងសណ្ឋានដី ទាំងពីកម្មវិធីថ្មី និងពីវគ្គសិក្សាផ្សេងៗ...
អត្ថបទវិទ្យាសាស្ត្ររបស់ខ្ញុំ។ សៀវភៅ 3. វិធីសាស្រ្តនៃម៉ាទ្រីសដង់ស៊ីតេនៅក្នុងទ្រឹស្ដីកង់ទិចនៃឡាស៊ែរដែលជាអាតូមបំពាន Bondarev Boris Vladimirovich ។ សៀវភៅនេះពិនិត្យលើអត្ថបទវិទ្យាសាស្ត្រដែលបានបោះពុម្ពដែលក្នុងនោះ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃម៉ាទ្រីសដង់ស៊ីតេ ថ្មី ទ្រឹស្តី Quantumឡាស៊ែរ អាតូមបំពាន និងលំយោល quantum ជាមួយនឹងការធ្វើឱ្យសើម...

យើងបង្ហាញតារាងសង្ខេបសម្រាប់ភាពងាយស្រួល និងភាពច្បាស់លាស់នៅពេលសិក្សាប្រធានបទ។

ថេរy = គ

អនុគមន៍ថាមពល y = x ទំ

(x p) " = p x p − ១

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលy = ពូថៅ

(a x) " = a x ln a

ជាពិសេសនៅពេលដែលa = អ៊ីយើងមាន y = អ៊ី x

(e x) " = e x

មុខងារលោការីត

(log a x) " = 1 x ln a

ជាពិសេសនៅពេលដែលa = អ៊ីយើងមាន y = logx

(ln x) " = 1 x

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = − 1 sin 2 x

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

(a r c sin x) "= 1 1 − x 2 (a r c cos x) " = − 1 1 − x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x)" = − 1 1 + x 2

មុខងារអ៊ីពែរបូល

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

ចូរយើងវិភាគពីរបៀបដែលរូបមន្តនៃតារាងដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានទទួល ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត យើងនឹងបញ្ជាក់ពីការចេញនៃរូបមន្តដេរីវេសម្រាប់ប្រភេទមុខងារនីមួយៗ។

ដេរីវេនៃថេរមួយ។

ភស្តុតាង ១

ដើម្បីទាញយករូបមន្តនេះ យើងយកជាមូលដ្ឋាននៃនិយមន័យនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។ យើងប្រើ x 0 = x, កន្លែងណា xយកតម្លៃនៃចំនួនពិតណាមួយ ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត xគឺជាលេខណាមួយពីដែននៃអនុគមន៍ f (x) = C ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍មួយទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ជា ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C − C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

សូមចំណាំថាកន្សោម 0 ∆ x ស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់។ វាមិនមែនជាភាពមិនប្រាកដប្រជា "សូន្យចែកនឹងសូន្យ" ទេ ព្រោះថាភាគយកមិនមានតម្លៃគ្មានកំណត់ទេ ប៉ុន្តែពិតជាសូន្យ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ការបង្កើនមុខងារថេរគឺតែងតែសូន្យ។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ f (x) = C គឺស្មើនឹងសូន្យទូទាំងដែននៃនិយមន័យទាំងមូល។

ឧទាហរណ៍ ១

មុខងារថេរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4 ។ 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = − 8 7

ដំណោះស្រាយ

ចូរយើងពិពណ៌នាអំពីលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងមុខងារទីមួយ យើងឃើញដេរីវេនៃលេខធម្មជាតិ 3 ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម អ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃ ក, កន្លែងណា ក- ណាមួយ។ ចំនួនពិត. ឧទាហរណ៍ទីបីផ្តល់ឱ្យយើងនូវដេរីវេនៃលេខមិនសមហេតុផល 4 ។ 13 7 22 ទីបួនគឺជាដេរីវេនៃសូន្យ (សូន្យជាចំនួនគត់)។ ទីបំផុតនៅក្នុងករណីទីប្រាំ យើងមានដេរីវេនៃប្រភាគសនិទាន - 8 7 ។

ចម្លើយ៖ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺសូន្យសម្រាប់ពិតណាមួយ។ x(នៅលើតំបន់និយមន័យទាំងមូល)

f 1 "(x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

ដេរីវេនៃមុខងារថាមពល

ចូរបន្តទៅអនុគមន៍ថាមពល និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេរបស់វា ដែលមានទម្រង់៖ (x p) " = p x p − 1 ដែលនិទស្សន្ត ទំគឺជាចំនួនពិតណាមួយ។

ភស្តុតាង ២

ចូរយើងផ្តល់ភស្តុតាងនៃរូបមន្តនៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺ លេខធម្មជាតិ: p = 1, 2, 3, …

យើងពឹងផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ ចូរយើងសរសេរដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ថាមពលមួយទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់៖

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p − x p ∆ x

ដើម្បីសម្រួលកន្សោមក្នុងលេខភាគ យើងប្រើរូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុន៖

(x + ∆ x) p − x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p − 1 · ∆ x + C p 2 · x p − 2 · (∆ x) 2 + ។ . . + + C p p − 1 x (∆ x) p − 1 + C p p (∆ x) p − x p = = C p 1 x p − 1 ∆ x + C p 2 x p − 2 (∆ x) 2 + ។ . . + C p p − 1 x (∆ x) p − 1 + C p p (∆ x) p

ដូចនេះ៖

(x p)" = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p − x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p − 1 ∆ x + C p 2 · x p − 2 · (∆ x) 2 + + C p p − 1 · x · (∆ x) p − 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 x p − 1 + C p 2 x p − 2 ∆ x + ∆ x + . 1 + 0 + ។

ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្ហាញរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល នៅពេលដែលនិទស្សន្តជាលេខធម្មជាតិ។

ភស្តុតាង ៣

ដើម្បីផ្តល់ភស្តុតាងសម្រាប់ករណីនេះ។ ទំ-ចំនួនពិតណាមួយក្រៅពីសូន្យ យើងប្រើដេរីវេលោការីត (នៅទីនេះយើងគួរយល់ពីភាពខុសគ្នាពីដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត)។ ដើម្បីមានការយល់ដឹងកាន់តែពេញលេញ គួរតែសិក្សាពីដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត ហើយស្វែងយល់បន្ថែមអំពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ implicit និងដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

ចូរយើងពិចារណាករណីពីរ៖ ពេលណា xវិជ្ជមាន និងពេលណា xអវិជ្ជមាន។

ដូច្នេះ x > 0 ។ បន្ទាប់មក៖ x p > 0 ។ ចូរយើងគណនាលោការីតសមភាព y = x p ទៅមូលដ្ឋាន e ហើយអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត៖

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

នៅដំណាក់កាលនេះ យើងទទួលបានមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រយោល។ ចូរកំណត់និស្សន្ទវត្ថុរបស់វា៖

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p − 1

ឥឡូវនេះយើងពិចារណាករណីនៅពេលណា x –លេខអវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើសូចនាករ ទំមាន ចំនួនគូបន្ទាប់មកអនុគមន៍ថាមពលត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

បន្ទាប់មក x ទំ< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

ប្រសិនបើ ទំជាលេខសេស បន្ទាប់មកអនុគមន៍ថាមពលត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p − 1 = p x p − 1

ការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយគឺអាចធ្វើទៅបានដោយសារតែការពិតដែលថាប្រសិនបើ ទំនោះគឺជាលេខសេស ទំ - ១ទាំងលេខគូ ឬសូន្យ (សម្រាប់ p = 1) ដូច្នេះសម្រាប់អវិជ្ជមាន xសមភាព (- x) p − 1 = x p − 1 គឺពិត។

ដូច្នេះ យើងបានបង្ហាញរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលសម្រាប់ p ពិតប្រាកដណាមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២

មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 − 1 4 , f 3 (x) = 1 x កំណត់ហេតុ 7 12

កំណត់និស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ

យើងបំប្លែងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយចំនួនទៅជាទម្រង់តារាង y = x p ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ ហើយបន្ទាប់មកប្រើរូបមន្ត៖

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x − 2 3 ⇒ f 1” (x) = − 2 3 x − 2 3 − 1 = − 2 3 x − 5 3 f 2” (x) = x 2 − 1 4 = 2 − 1 4 x 2 − 1 4 − 1 = 2 − 1 4 x 2 − 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x − log 7 12 ⇒ f 3” ( x) = − log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ភស្តុតាង ៤

ចូរយើងទាញយករូបមន្តដេរីវេដោយប្រើនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន៖

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x − a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x − 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x − 1 ∆ x = 0 0

យើងទទួលបានភាពមិនប្រាកដប្រជា។ ដើម្បីពង្រីកវា ចូរយើងសរសេរអថេរថ្មី z = a ∆ x − 1 (z → 0 as ∆ x → 0) ។ ក្នុងករណីនេះ a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយ រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានលោការីតថ្មីត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ចូរយើងជំនួសដែនកំណត់ដើម៖

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x − 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

អនុញ្ញាតឱ្យយើងចងចាំដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

ឧទាហរណ៍ ៣

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ

យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត៖

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 − ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e − 1 = − 1 e x

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត

ភស្តុតាង ៥

ចូរយើងផ្តល់ភស្តុតាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីតសម្រាប់ណាមួយ។ xនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យ និងតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបាននៃគោល a នៃលោការីត។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងទទួលបាន៖

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

ពីខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដែលបានចង្អុលបង្ហាញ វាច្បាស់ណាស់ថាការបំប្លែងគឺផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិរបស់លោការីត។ សមភាព lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e គឺពិតស្របតាមដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ 4

អនុគមន៍លោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនានិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ

តោះអនុវត្តរូបមន្តដែលបានមកពី៖

f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3); f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិគឺមួយចែកដោយ x.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ភស្តុតាង ៦

តោះប្រើខ្លះ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រនិងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងដើម្បីទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយ។

យោងតាមនិយមន័យនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស យើងទទួលបាន៖

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

រូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុសនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តសកម្មភាពដូចខាងក្រោមៈ

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x − x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

ជាចុងក្រោយ យើងប្រើដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងបង្អស់៖

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃមុខងារ sin xនឹង cos x.

យើងក៏នឹងបង្ហាញរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសផងដែរ៖

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 − 2 sin x + ∆ x − x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = − lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = − sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = − sin x

ទាំងនោះ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ cos x នឹងមាន - sin x.

យើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃតង់សង់ និងកូតង់សង់ដោយផ្អែកលើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា៖

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = − sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = − 1 sin 2 x

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

ផ្នែកនៅលើដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាសផ្តល់ព័ត៌មានទូលំទូលាយអំពីភស្តុតាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃ arcsine, arccosine, arctangent និង arccotangent ដូច្នេះយើងនឹងមិនចម្លងសម្ភារៈនៅទីនេះទេ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែរបូល

ភស្តុតាង ៧

យើងអាចទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអ៊ីពែរបូលស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ ដោយប្រើក្បួនភាពខុសគ្នា និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

s h " x = e x − e − x 2 " = 1 2 e x " - e − x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e − x 2 " = 1 2 e x " + e − x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x − s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x − c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x − c h 2 x s h 2 x = − 1 s h 2 x

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ងាយស្រួលចងចាំណាស់។

អញ្ចឹងកុំទៅណាឆ្ងាយ តោះពិចារណាមុខងារបញ្ច្រាស។ តើអនុគមន៍មួយណាជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល? លោការីត៖

ក្នុងករណីរបស់យើង មូលដ្ឋានគឺជាលេខ៖

លោការីតបែបនេះ (នោះគឺជាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន) ត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ហើយយើងប្រើសញ្ញាណពិសេសសម្រាប់វា៖ យើងសរសេរជំនួសវិញ។

តើវាស្មើនឹងអ្វី? ពិតប្រាកដណាស់, ។

ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិគឺសាមញ្ញណាស់៖

ឧទាហរណ៍:

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃមុខងារ?

ចម្លើយ៖ អ្នកតាំងពិព័រណ៍ និង លោការីតធម្មជាតិ- មុខងារគឺសាមញ្ញតែមួយគត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃដេរីវេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត នឹងមានដេរីវេខុសគ្នា ដែលយើងនឹងវិភាគនៅពេលក្រោយ បន្ទាប់ពីយើងឆ្លងកាត់ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា

ច្បាប់អ្វី? វគ្គថ្មីទៀតហើយ!...

ភាពខុសគ្នាគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេ។

អស់ហើយ។ តើមានអ្វីទៀតដែលអ្នកអាចហៅដំណើរការនេះក្នុងពាក្យមួយ? មិនមែនដេរីវេទេ... គណិតវិទូហៅឌីផេរ៉ង់ស្យែលថា ការកើនឡើងដូចគ្នានៃអនុគមន៍នៅ។ ពាក្យនេះមកពីឡាតាំងឌីផេរ៉ង់ស្យែល - ភាពខុសគ្នា។ នៅទីនេះ។

នៅពេលទាញយកច្បាប់ទាំងអស់នេះ យើងនឹងប្រើមុខងារពីរ ឧទាហរណ៍ និង។ យើងក៏នឹងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់ការបង្កើនរបស់ពួកគេផងដែរ៖

សរុបមាន ៥ ច្បាប់។

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ។

ប្រសិនបើ - ចំនួនថេរមួយចំនួន (ថេរ) បន្ទាប់មក។

ជាក់ស្តែង ច្បាប់នេះក៏មានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ភាពខុសគ្នាផងដែរ៖ .

ចូរយើងបញ្ជាក់។ សូមឱ្យវាក្លាយជាឬសាមញ្ញជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

នៅចំណុចមួយ;
នៅចំណុចមួយ;
នៅចំណុចមួយ;
នៅចំណុច។

ដំណោះស្រាយ៖

(ដេរីវេគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ ចាប់តាំងពីនេះ។ មុខងារលីនេអ៊ែរចងចាំ?);

ដេរីវេនៃផលិតផល

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ សូមណែនាំមុខងារថ្មី និងស្វែងរកការបន្ថែមរបស់វា៖

ដេរីវេ៖

ឧទាហរណ៍:

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ និង;
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឥឡូវនេះចំណេះដឹងរបស់អ្នកគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរៀនពីរបៀបដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលណាមួយ ហើយមិនត្រឹមតែនិទស្សន្តទេ (តើអ្នកភ្លេចថាវាជាអ្វីហើយឬនៅ?)

ដូច្នេះតើលេខមួយណា។

យើងដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍រួចហើយ ដូច្នេះសូមព្យាយាមនាំយកមុខងាររបស់យើងទៅកាន់មូលដ្ឋានថ្មីមួយ៖

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងប្រើច្បាប់សាមញ្ញមួយ: . បន្ទាប់មក៖

ជាការប្រសើរណាស់ វាបានដំណើរការ។ ឥឡូវព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេ ហើយកុំភ្លេចថាមុខងារនេះស្មុគស្មាញ។

បានកើតឡើង?

នៅទីនេះ ពិនិត្យខ្លួនអ្នក៖

រូបមន្តបានប្រែទៅជាស្រដៀងទៅនឹងដេរីវេនៃនិទស្សន្តមួយ៖ ដូចដែលវាគឺ វានៅតែដដែល មានតែកត្តាមួយបានលេចចេញមក ដែលគ្រាន់តែជាលេខ ប៉ុន្តែមិនមែនជាអថេរ។

ឧទាហរណ៍:
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

នេះគ្រាន់តែជាលេខដែលមិនអាចគណនាបានដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ ពោលគឺវាមិនអាចសរសេរបានទៀតទេ ក្នុងទម្រង់សាមញ្ញ. ដូច្នេះ យើងទុកវាក្នុងទម្រង់នេះក្នុងចម្លើយ។

សូមចំណាំថា ខាងក្រោមនេះជាគុណតម្លៃនៃអនុគមន៍ពីរ ដូច្នេះយើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដែលត្រូវគ្នា៖

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ផលិតផលនៃមុខងារពីរ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត

វាស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ អ្នកបានដឹងរួចមកហើយនូវដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ៖

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកលោការីតតាមអំពើចិត្តដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍៖

យើងត្រូវកាត់បន្ថយលោការីតនេះទៅមូលដ្ឋាន។ តើអ្នកផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននៃលោការីតដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកចងចាំរូបមន្តនេះ៖

មានតែពេលនេះទេដែលយើងនឹងសរសេរជំនួសវិញ៖

ភាគបែងគឺគ្រាន់តែជាចំនួនថេរ (ចំនួនថេរ ដោយគ្មានអថេរ)។ ដេរីវេគឺទទួលបានយ៉ាងសាមញ្ញ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ស្ទើរតែមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមទេ ប៉ុន្តែវានឹងមិននាំអោយអ្នកស្គាល់ពួកវានោះទេ។

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

តើអ្វីទៅជា "មុខងារស្មុគស្មាញ"? ទេ នេះមិនមែនជាលោការីត និងមិនមែនជាអាកតង់សង់ទេ។ មុខងារទាំងនេះអាចពិបាកយល់ (ទោះបីជាអ្នករកឃើញលោការីតពិបាកក៏ដោយ សូមអានប្រធានបទ "លោការីត" ហើយអ្នកនឹងមិនអីទេ) ប៉ុន្តែតាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា ពាក្យ "ស្មុគស្មាញ" មិនមានន័យថា "ពិបាក" ទេ។

ស្រមៃមើលខ្សែក្រវាត់តូចមួយ៖ មនុស្សពីរនាក់កំពុងអង្គុយ និងធ្វើសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយនឹងវត្ថុមួយចំនួន។ ជាឧទាហរណ៍ ទីមួយរុំរបារសូកូឡានៅក្នុងរុំ ហើយទីពីរចងវាដោយខ្សែបូ។ លទ្ធផលគឺជាវត្ថុផ្សំមួយ៖ របារសូកូឡារុំ និងចងដោយខ្សែបូ។ ដើម្បីញ៉ាំរបារសូកូឡាអ្នកត្រូវធ្វើជំហានបញ្ច្រាសតាមលំដាប់បញ្ច្រាស។

ចូរយើងបង្កើតបំពង់គណិតវិទ្យាស្រដៀងគ្នា៖ ដំបូងយើងនឹងរកឃើញកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ ហើយបន្ទាប់មកធ្វើការការ៉េនៃលេខលទ្ធផល។ ដូច្នេះ យើងត្រូវបានផ្តល់លេខមួយ (សូកូឡា) ខ្ញុំរកឃើញកូស៊ីនុសរបស់វា (រុំ) ហើយបន្ទាប់មកអ្នកដាក់ការ៉េដែលខ្ញុំទទួលបាន (ចងវាដោយខ្សែបូ)។ តើមានអ្វីកើតឡើង? មុខងារ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖ នៅពេល ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា យើងអនុវត្តសកម្មភាពទីមួយដោយផ្ទាល់ជាមួយអថេរ ហើយបន្ទាប់មកសកម្មភាពទីពីរជាមួយនឹងអ្វីដែលជាលទ្ធផលពីដំបូង។

ក្នុងន័យផ្សេងទៀត, អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់គឺជាមុខងារមួយផ្សេងទៀត: .

ឧទាហរណ៍របស់យើង, ។

យើងអាចធ្វើជំហានដូចគ្នាយ៉ាងងាយស្រួលតាមលំដាប់បញ្ច្រាស៖ ដំបូងអ្នកដាក់វាជាការ៉េ ហើយបន្ទាប់មកខ្ញុំរកមើលកូស៊ីនុសនៃលេខលទ្ធផល៖ . វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលទ្ធផលនឹងតែងតែខុសគ្នា។ លក្ខណៈសំខាន់នៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ៖ នៅពេលដែលលំដាប់នៃសកម្មភាពផ្លាស់ប្តូរ មុខងារផ្លាស់ប្តូរ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ (ដូចគ្នា) ។ .

សកម្មភាពដែលយើងធ្វើចុងក្រោយនឹងត្រូវបានហៅ មុខងារ "ខាងក្រៅ"ហើយសកម្មភាពបានអនុវត្តមុនគេ - តាមនោះ។ មុខងារ "ផ្ទៃក្នុង"(ទាំងនេះជាឈ្មោះក្រៅផ្លូវការ ខ្ញុំប្រើវាដើម្បីពន្យល់សម្ភារៈជាភាសាសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ)។

ព្យាយាមកំណត់ដោយខ្លួនឯងថាតើមុខងារខាងក្រៅមួយណា និងខាងក្នុងមួយណា៖

ចម្លើយ៖ការបំបែកមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅគឺស្រដៀងទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ ឧទាហរណ៍ ក្នុងអនុគមន៍មួយ។

តើយើងនឹងធ្វើសកម្មភាពអ្វីមុនគេ? ដំបូងយើងគណនាស៊ីនុស ហើយបានតែគូបវាប៉ុណ្ណោះ។ នេះមានន័យថាវាជាមុខងារខាងក្នុង ប៉ុន្តែជាមុខងារខាងក្រៅ។
ហើយមុខងារដើមគឺសមាសភាពរបស់ពួកគេ៖ .
ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។
ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។
ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។
ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
ការប្រឡង៖ ។

យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងទទួលបានមុខងារមួយ។

ឥឡូវនេះយើងនឹងទាញយករបារសូកូឡារបស់យើងហើយរកមើលដេរីវេ។ នីតិវិធីគឺតែងតែបញ្ច្រាស៖ ដំបូងយើងរកមើលដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ បន្ទាប់មកយើងគុណលទ្ធផលដោយដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង។ ទាក់ទងទៅនឹងឧទាហរណ៍ដើម វាមើលទៅដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

ដូច្នេះ ទីបំផុតយើងនឹងបង្កើតច្បាប់ជាផ្លូវការ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

វាហាក់ដូចជាសាមញ្ញមែនទេ?

តោះពិនិត្យជាមួយឧទាហរណ៍៖

ដំណោះស្រាយ៖

1) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

2) ផ្ទៃក្នុង: ;

(កុំព្យាយាមកាត់វាឥឡូវនេះ! គ្មានអ្វីចេញពីក្រោមកូស៊ីនុសទេ ចាំបានទេ?)

3) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

វាច្បាស់ភ្លាមៗថានេះគឺជាមុខងារស្មុគស្មាញបីកម្រិត៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់នេះគឺជាមុខងារស្មុគ្រស្មាញនៅក្នុងខ្លួនវារួចហើយ ហើយយើងក៏ដកឫសចេញពីវាដែរ ពោលគឺយើងអនុវត្តសកម្មភាពទីបី (ដាក់សូកូឡាក្នុងរុំ និងជាមួយខ្សែបូនៅក្នុងកាបូបយួរដៃ) ។ ប៉ុន្តែមិនមានហេតុផលដែលត្រូវភ័យខ្លាចទេ: យើងនឹងនៅតែ "ស្រាយ" មុខងារនេះតាមលំដាប់ដូចធម្មតា: ចាប់ពីទីបញ្ចប់។

នោះគឺជាដំបូងយើងធ្វើឱ្យខុសគ្នានៃឫស បន្ទាប់មកកូស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកបានតែកន្សោមក្នុងតង្កៀប។ ហើយបន្ទាប់មកយើងគុណវាទាំងអស់។

ក្នុងករណីបែបនេះវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់លេខសកម្មភាព។ នោះគឺ ចូរយើងស្រមៃមើលអ្វីដែលយើងដឹង។ តើយើងនឹងធ្វើសកម្មភាពក្នុងលំដាប់ណាដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនេះ? តោះមើលឧទាហរណ៍៖

នៅពេលក្រោយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្ត "ខាងក្រៅ" កាន់តែច្រើនមុខងារដែលត្រូវគ្នា។ លំដាប់នៃសកម្មភាពគឺដូចពីមុន៖

នៅទីនេះសំបុកជាទូទៅមាន 4 កម្រិត។ ចូរយើងកំណត់លំដាប់នៃសកម្មភាព។

1. ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់។ .

2. ឫស។ .

3. ស៊ីន។ .

4. ការ៉េ។ .

5. ដាក់វាទាំងអស់គ្នា៖

ដេរីវេ។ សង្ខេបអំពីរឿងសំខាន់

ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។- សមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់សម្រាប់ការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់:

និស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន៖

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា៖

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃផលបូក៖

ដេរីវេនៃផលិតផល៖

ដេរីវេនៃកូតា៖

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្នុង" និងស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្រៅ" ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
យើងគុណលទ្ធផលនៃពិន្ទុទីមួយ និងទីពីរ។

អាចយកចេញជាសញ្ញា ដេរីវេ:

(af(x)" = af " (x) ។

ឧទាហរណ៍:

ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតមុខងារជាច្រើន (យកជាលេខថេរ) គឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃពួកវា និស្សន្ទវត្ថុ:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 " (x) + f 2 " (x) − f 3 " (x) ។

ឧទាហរណ៍:

(0.3 x 2 − 2 x + 0.8)" = (0.3 x 2)" - (2 x)" + (0.8)" = 0.6 x − 2 ( ដេរីវេចុងក្រោយ រយៈពេលសមីការគឺសូន្យ)។

ប្រសិនបើ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ g គឺមិនមែនសូន្យទេ បន្ទាប់មកសមាមាត្រ f/g ក៏មានផងដែរ។ ដេរីវេចុងក្រោយ. ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចសរសេរជា៖

អនុញ្ញាតឱ្យ មុខងារ y = f(x) និង y = g(x) មាន និស្សន្ទវត្ថុកំណត់នៅចំណុច x 0 ។ បន្ទាប់មក មុខងារ f ± g និង f g ក៏មាន និស្សន្ទវត្ថុកំណត់ក្នុងនេះ ចំណុច. បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g′ ។

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

អនុញ្ញាតឱ្យ មុខងារ y = f(x) មាន និស្សន្ទវត្ថុកំណត់នៅចំណុចមួយ។ x 0 អនុគមន៍ z = s(y) មានដេរីវេកំណត់នៅចំណុច y 0 = f(x 0) ។

បន្ទាប់មក មុខងារស្មុគស្មាញ z = s (f(x)) ក៏មានដេរីវេកំណត់នៅចំណុចនេះដែរ។ ខាងលើអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់៖

ដេរីវេនៃមុខងារបញ្ច្រាស។

ឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) មាន មុខងារបញ្ច្រាស x = g (y) នៅលើមួយចំនួន ចន្លោះពេល(a, b) ហើយមាន nonzero ដេរីវេចុងក្រោយមុខងារនេះនៅចំណុច x 0 ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ដែននៃនិយមន័យ, i.e. x 0 ∈ (a, b) ។

បន្ទាប់មក មុខងារបញ្ច្រាសវាមាន ដេរីវេនៅចំណុច y 0 = f (x 0):

ដេរីវេនៃមុខងារបង្កប់ន័យ។

ប្រសិនបើ មុខងារ y = f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោល។ សមីការ F(x, y(x)) = 0 បន្ទាប់មករបស់វា។ ដេរីវេត្រូវបានរកឃើញពីស្ថានភាព៖

ពួកគេនិយាយថា មុខងារ y = f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោល។, បើនាង ដូចគ្នាបេះបិទបំពេញទំនាក់ទំនង៖

ដែល F (x, y) គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់ពីរ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ប្រសិនបើ មុខងារ y = f(x) ត្រូវបានបញ្ជាក់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយប្រើការពិចារណា

ការដោះស្រាយបញ្ហារូបវន្ត ឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាគឺមិនអាចទៅរួចទេទាំងស្រុងដោយគ្មានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាវា។ ដេរីវេគឺជាគំនិតសំខាន់បំផុតមួយ។ ការវិភាគគណិតវិទ្យា. យើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះចំពោះប្រធានបទជាមូលដ្ឋាននេះ។ អ្វីទៅជានិស្សន្ទវត្ថុ អ្វីជារូបកាយ និងអ្វី អត្ថន័យធរណីមាត្ររបៀបគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?

ធរណីមាត្រ និងអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ

សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f(x) បានបញ្ជាក់ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។ (a, ខ) . ពិន្ទុ x និង x0 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃរបស់វា។ x-x0 . ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុចពីរ។ និយមន័យនៃដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់នៅពេលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។

បើមិនដូច្នោះទេវាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:

តើអ្វីជាចំណុចនៃការរកឃើញកម្រិតនេះ? ហើយនេះគឺជាអ្វីដែលវា៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អត្ថន័យរាងកាយដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃផ្លូវទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលាគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។

ពិតហើយ តាំងពីថ្ងៃសិក្សា មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវជាក់លាក់មួយ។ x=f(t) និងពេលវេលា t . ល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ៖

ដើម្បីស្វែងយល់ពីល្បឿននៃការធ្វើចលនាក្នុងពេលមួយស្របពេល t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖

ច្បាប់ទីមួយ៖ កំណត់តម្លៃថេរ

ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតនេះត្រូវធ្វើ។ ពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកវាជាក្បួន - ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលកន្សោមបាន សូមប្រាកដថាធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ .

ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាដេរីវេ៖

វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍

ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។

យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ

ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ដំណោះស្រាយ៖

វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការនិយាយអំពីការគណនាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៅទីនេះ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម និងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយគោរពទៅនឹងអថេរឯករាជ្យ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើយើងមកឃើញកន្សោម៖

ក្នុងករណីនេះ អាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ដល់ថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ដំបូងយើងគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ដោយគោរពទៅអថេរឯករាជ្យ។

ច្បាប់ទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖

យើងបានព្យាយាមនិយាយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាហាក់បីដូចជាទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រយ័ត្នពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

ជាមួយនឹងសំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាកម្មសិស្ស។ នៅខាងក្រោយ រយៈពេលខ្លីយើងនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយការធ្វើតេស្តដ៏លំបាកបំផុត និងដោះស្រាយបញ្ហា ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ធ្វើការគណនាដេរីវេពីមុនមកក៏ដោយ។