តើអ្នកណាណែនាំនិស្សន្ទវត្ថុ? និយមន័យ និងអត្ថន័យនៃអនុគមន៍ដេរីវេជាអ្វី? អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

បញ្ហា B9 ផ្តល់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ឬដេរីវេពីដែលអ្នកត្រូវកំណត់បរិមាណមួយក្នុងចំណោមបរិមាណខាងក្រោម៖

1. តម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចមួយចំនួន x 0,
2. ពិន្ទុអតិបរមា ឬអប្បបរមា (ពិន្ទុខ្លាំង)
3. ចន្លោះពេលនៃមុខងារបង្កើននិងបន្ថយ (ចន្លោះពេលនៃ monotonicity) ។

មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុដែលបង្ហាញក្នុងបញ្ហានេះតែងតែបន្ត ដែលធ្វើឲ្យដំណោះស្រាយកាន់តែងាយស្រួល។ ទោះបីជាការពិតដែលថាភារកិច្ចជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក ការវិភាគគណិតវិទ្យាវាគឺស្ថិតនៅក្នុងសមត្ថភាពរបស់សិស្សដែលខ្សោយបំផុត ដោយសារគ្មានចំណេះដឹងទ្រឹស្តីស៊ីជម្រៅណាមួយត្រូវបានទាមទារនៅទីនេះ។

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ចំណុចខ្លាំង និងចន្លោះពេល monotonicity មានក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ និងជាសកល - ពួកគេទាំងអស់នឹងត្រូវបានពិភាក្សាខាងក្រោម។

អានលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា B9 ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ដើម្បីជៀសវាងការធ្វើឱ្យមានកំហុសឆោតល្ងង់៖ ពេលខ្លះអ្នកឆ្លងកាត់អត្ថបទវែងៗ ប៉ុន្តែមានលក្ខខណ្ឌសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលប៉ះពាល់ដល់ដំណើរនៃដំណោះស្រាយ។

ការគណនាតម្លៃដេរីវេ។ វិធីសាស្រ្តពីរចំណុច

ប្រសិនបើបញ្ហាត្រូវបានផ្តល់ក្រាហ្វិកនៃអនុគមន៍ f(x) តង់សង់ទៅក្រាហ្វនេះនៅចំណុចមួយចំនួន x 0 ហើយវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចនេះ ក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្ត៖

1. ស្វែងរកចំណុច "គ្រប់គ្រាន់" ពីរនៅលើក្រាហ្វតង់សង់៖ កូអរដោនេរបស់ពួកគេត្រូវតែជាចំនួនគត់។ ចូរសម្គាល់ចំណុចទាំងនេះជា A (x 1 ; y 1) និង B (x 2 ; y 2) ។ សរសេរកូអរដោណេឱ្យបានត្រឹមត្រូវ - នេះគឺជាចំណុចសំខាន់ក្នុងដំណោះស្រាយ ហើយកំហុសណាមួយនៅទីនេះនឹងនាំទៅរកចម្លើយមិនត្រឹមត្រូវ។
2. ដោយដឹងពីកូអរដោណេ វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δx = x 2 − x 1 និងការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ Δy = y 2 − y 1 ។
3. ទីបំផុតយើងរកឃើញតម្លៃនៃដេរីវេ D = Δy/Δx ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតអ្នកត្រូវបែងចែកការបង្កើនមុខងារដោយការបង្កើនអាគុយម៉ង់ - ហើយនេះនឹងជាចម្លើយ។

ចូរយើងកត់សម្គាល់ម្តងទៀត៖ ចំណុច A និង B ត្រូវតែរកមើលយ៉ាងជាក់លាក់នៅលើតង់ហ្សង់ មិនមែននៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x) ដូចដែលវាកើតឡើងញឹកញាប់នោះទេ។ បន្ទាត់តង់សង់នឹងចាំបាច់មានយ៉ាងហោចណាស់ពីរចំណុច - បើមិនដូច្នេះទេបញ្ហានឹងមិនត្រូវបានបង្កើតត្រឹមត្រូវទេ។

ពិចារណាចំណុច A (−3; 2) និង B (−1; 6) ហើយស្វែងរកការបន្ថែម៖
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4 ។

ចូររកតម្លៃនៃដេរីវេ៖ D = Δy/Δx = 4/2 = 2 ។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) និងតង់សង់ទៅវានៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 ។ រកតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x 0 ។

ពិចារណាចំណុច A (0; 3) និង B (3; 0) ស្វែងរកការកើនឡើង៖
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3 ។

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញតម្លៃនៃដេរីវេ៖ D = Δy/Δx = −3/3 = −1 ។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) និងតង់សង់ទៅវានៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 ។ រកតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x 0 ។

ពិចារណាចំណុច A (0; 2) និង B (5; 2) ហើយស្វែងរកការកើនឡើង៖
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0 ។

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃដេរីវេ: D = Δy/Δx = 0/5 = 0 ។

ពីឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ យើងអាចបង្កើតច្បាប់មួយ៖ ប្រសិនបើតង់ហ្សង់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស OX នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនៃតង់សង់គឺសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះអ្នកមិនចាំបាច់រាប់អ្វីទាំងអស់ - គ្រាន់តែមើលក្រាហ្វ។

ការគណនាពិន្ទុអតិបរមានិងអប្បបរមា

ពេលខ្លះជំនួសឱ្យក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ បញ្ហា B9 ផ្តល់ក្រាហ្វនៃដេរីវេ និងទាមទារឱ្យស្វែងរកចំណុចអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ វិធីសាស្ត្រពីរចំណុចគឺគ្មានប្រយោជន៍ទេ ប៉ុន្តែមានវិធីមួយទៀតដែលសូម្បីតែសាមញ្ញជាងនេះ។ ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់និយមន័យពាក្យ៖

1. ចំណុច x 0 ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ f(x) ប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ f(x 0) ≥ f(x) ។
2. ចំណុច x 0 ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f(x) ប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ f(x 0) ≤ f(x) ។

ដើម្បីស្វែងរកពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាពីក្រាហ្វដេរីវេ សូមអនុវត្តតាមជំហានទាំងនេះ៖

1. គូរក្រាហ្វដេរីវេឡើងវិញ ដោយលុបព័ត៌មានដែលមិនចាំបាច់ទាំងអស់។ ដូចដែលការអនុវត្តបង្ហាញ ទិន្នន័យដែលមិនចាំបាច់គ្រាន់តែរំខានដល់ការសម្រេចចិត្តប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ យើងសម្គាល់លេខសូន្យនៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ - ហើយនោះហើយជាវា។
2. រកមើលសញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលរវាងសូន្យ។ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនុចមួយចំនួន x 0 គេដឹងថា f '(x 0) ≠ 0 នោះមានតែជម្រើសពីរប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្វើទៅបាន៖ f'(x 0) ≥ 0 ឬ f'(x 0) ≤ 0 ។ សញ្ញានៃដេរីវេគឺ ងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ពីគំនូរដើម៖ ប្រសិនបើក្រាហ្វដេរីវេស្ថិតនៅពីលើអ័ក្ស OX នោះ f'(x) ≥ 0។ ហើយផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើក្រាហ្វដេរីវេស្ថិតនៅខាងក្រោមអ័ក្ស OX នោះ f'(x) ≤ 0។
3. យើងពិនិត្យមើលលេខសូន្យ និងសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុម្តងទៀត។ កន្លែងដែលសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរពីដកទៅបូកគឺជាចំណុចអប្បបរមា។ ផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីបូកទៅដក នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។ ការរាប់តែងតែធ្វើឡើងពីឆ្វេងទៅស្តាំ។

គ្រោងការណ៍នេះដំណើរការសម្រាប់តែមុខងារបន្តប៉ុណ្ណោះ - មិនមានអ្វីផ្សេងទៀតនៅក្នុងបញ្ហា B9 ទេ។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [−5; ៥]។ ស្វែងរកចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f(x) នៅលើផ្នែកនេះ។

ចូរយើងកម្ចាត់ព័ត៌មានដែលមិនចាំបាច់ ហើយទុកតែព្រំដែន [−5; 5] និងសូន្យនៃដេរីវេ x = −3 និង x = 2.5 ។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរនូវសញ្ញា៖

ជាក់ស្តែងនៅចំណុច x = −3 សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរពីដកទៅបូក។ នេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [−3; ៧]។ ស្វែងរកចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ f(x) នៅលើផ្នែកនេះ។

ចូរគូរក្រាហ្វឡើងវិញ ដោយបន្សល់ទុកតែព្រំដែន [−3; 7] និងលេខសូន្យនៃដេរីវេ x = −1.7 និង x = 5 ។ ចូរយើងកត់សំគាល់សញ្ញានៃដេរីវេនៅលើក្រាហ្វលទ្ធផល។ យើង​មាន:

ជាក់ស្តែងនៅចំណុច x = 5 សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេពីបូកទៅដក - នេះគឺជាចំណុចអតិបរមា។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [−6; ៤]។ ស្វែងរកចំនួនពិន្ទុអតិបរមានៃអនុគមន៍ f(x) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក [−4; ៣]។

ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វាដូចខាងក្រោមថាវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាតែផ្នែកនៃក្រាហ្វដែលកំណត់ដោយផ្នែក [−4; ៣]។ ដូច្នេះ យើង​បង្កើត​ក្រាហ្វ​ថ្មី​ដែល​យើង​សម្គាល់​តែ​ព្រំដែន [−4; 3] និងសូន្យនៃដេរីវេនៅខាងក្នុងវា។ ពោលគឺ ពិន្ទុ x = −3.5 និង x = 2។ យើងទទួលបាន៖

នៅលើក្រាហ្វនេះមានចំណុចអតិបរមា x = 2 តែមួយគត់។ វានៅចំណុចនេះដែលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីបូកទៅដក។

កំណត់ចំណាំតូចមួយអំពីចំណុចដែលមានកូអរដោណេមិនមែនចំនួនគត់។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងបញ្ហាចុងក្រោយ ចំនុច x = −3.5 ត្រូវបានពិចារណា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងភាពជោគជ័យដូចគ្នា យើងអាចយក x = −3.4 ។ ប្រសិនបើបញ្ហាត្រូវបានចងក្រងត្រឹមត្រូវ ការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះមិនគួរប៉ះពាល់ដល់ចម្លើយទេ ព្រោះចំណុច "ដោយគ្មានកន្លែងស្នាក់នៅ" មិនចូលរួមដោយផ្ទាល់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានោះទេ។ ជាការពិតណាស់ ល្បិចនេះនឹងមិនដំណើរការជាមួយចំនួនគត់ទេ។

ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការបង្កើន និងបន្ថយមុខងារ

ក្នុងបញ្ហាបែបនេះ ដូចជាចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមា វាត្រូវបានស្នើឱ្យប្រើក្រាហ្វដេរីវេដើម្បីស្វែងរកតំបន់ដែលមុខងារខ្លួនវាកើនឡើង ឬថយចុះ។ ជាដំបូង ចូរយើងកំណត់ថាតើការកើនឡើង និងថយចុះជាអ្វី៖

1. អនុគមន៍ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​កំពុង​កើន​ឡើង​នៅ​លើ​ផ្នែក​មួយ ប្រសិន​បើ​សម្រាប់​ចំណុច​ពីរ x 1 និង x 2 ពី​ផ្នែក​នេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ខាងក្រោម​គឺ​ពិត៖ x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . ម្យ៉ាងវិញទៀត តម្លៃអាគុយម៉ង់កាន់តែធំ តម្លៃមុខងារកាន់តែធំ។
2. អនុគមន៍ f(x) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ការ​ថយ​ចុះ​នៅ​លើ​ផ្នែក​មួយ ប្រសិន​បើ​សម្រាប់​ចំណុច​ពីរ x 1 និង x 2 ពី​ផ្នែក​នេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ខាងក្រោម​គឺ​ពិត៖ x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) ។ ទាំងនោះ។ តម្លៃអាគុយម៉ង់ធំជាងត្រូវនឹងតម្លៃមុខងារតូចជាង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបង្កើន និងបន្ថយ៖

1. ដើម្បី មុខងារបន្ត f(x) កើនឡើងនៅលើផ្នែក វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលដេរីវេរបស់វានៅខាងក្នុងផ្នែកគឺវិជ្ជមាន ឧ។ f '(x) ≥ 0 ។
2. ដើម្បីឱ្យអនុគមន៍បន្ត f(x) ថយចុះនៅលើផ្នែក វាគ្រប់គ្រាន់ហើយដែលដេរីវេរបស់វានៅខាងក្នុងផ្នែកគឺអវិជ្ជមាន ឧ។ f '(x) ≤ 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលយកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះដោយគ្មានភស្តុតាង។ ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានគ្រោងការណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះ ដែលមានច្រើនវិធីស្រដៀងនឹងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គណនាចំណុចខ្លាំង៖

1. លុបព័ត៌មានដែលមិនចាំបាច់ទាំងអស់។ នៅក្នុងក្រាហ្វដើមនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងចាប់អារម្មណ៍ជាចម្បងលើសូន្យនៃអនុគមន៍ ដូច្នេះយើងនឹងទុកតែពួកវាប៉ុណ្ណោះ។
2. សម្គាល់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលរវាងសូន្យ។ កន្លែងណា f'(x) ≥ 0 មុខងារកើនឡើង ហើយ f'(x) ≤ 0 វាថយចុះ។ ប្រសិនបើបញ្ហាកំណត់ការរឹតបន្តឹងលើអថេរ x យើងក៏សម្គាល់ពួកវានៅលើក្រាហ្វថ្មី។
3. ឥឡូវនេះយើងដឹងពីអាកប្បកិរិយានៃមុខងារនិងឧបសគ្គវានៅតែត្រូវគណនាបរិមាណដែលត្រូវការនៅក្នុងបញ្ហា។

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [−3; ៧.៥]។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការថយចុះនៃអនុគមន៍ f(x)។ នៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក បង្ហាញផលបូកនៃចំនួនគត់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលទាំងនេះ។

ដូចធម្មតា ចូរយើងគូរក្រាហ្វឡើងវិញ ហើយសម្គាល់ព្រំដែន [−3; 7.5] ក៏ដូចជាសូន្យនៃដេរីវេ x = −1.5 និង x = 5.3 ។ បន្ទាប់មកយើងកត់សំគាល់សញ្ញានៃដេរីវេ។ យើង​មាន:

ចាប់តាំងពីដេរីវេគឺអវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេល (− 1.5) នេះគឺជាចន្លោះពេលនៃការថយចុះមុខងារ។ វានៅសល់ដើម្បីបូកសរុបចំនួនគត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេលនេះ៖
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

កិច្ចការ។ តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [−10; ៤]។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ f(x)។ នៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក បង្ហាញពីប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេ។

ចូរយើងកម្ចាត់ព័ត៌មានដែលមិនចាំបាច់។ ចូរយើងទុកតែព្រំដែន [−10; 4] និងលេខសូន្យនៃដេរីវេទីវ័រ ដែលក្នុងនោះមានបួនលើកនេះ៖ x = −8, x = −6, x = −3 និង x = 2 ។ ចូរសម្គាល់សញ្ញានៃដេរីវេទីវ ហើយទទួលបានរូបភាពខាងក្រោម៖

យើងចាប់អារម្មណ៍លើចន្លោះពេលនៃការបង្កើនមុខងារ, i.e. ដែល f'(x) ≥ 0. មានចន្លោះពេលពីរនៅលើក្រាហ្វ៖ (−8; −6) និង (−3; 2)។ ចូរយើងគណនាប្រវែងរបស់ពួកគេ៖
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5 ។

ដោយសារ​យើង​ត្រូវ​រក​ប្រវែង​នៃ​ចន្លោះ​ដែល​ធំ​បំផុត​នោះ យើង​សរសេរ​តម្លៃ l 2 = 5 ជា​ចម្លើយ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចមួយ និងសង្កាត់មួយចំនួនរបស់វា។ ចូរ​ផ្តល់​អាគុយម៉ង់​មួយ​បន្ថែម​ទៀត​ដែល​ចំណុច​ស្ថិត​ក្នុង​ដែន​និយមន័យ​នៃ​អនុគមន៍។ បន្ទាប់មកមុខងារនឹងត្រូវបានបង្កើន។

និយមន័យ។ ដេរីវេនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។ ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់នៅ (ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមាន ហើយមានកំណត់) i.e.

សម្គាល់៖ ,,, ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយនៅខាងស្តាំ (ខាងឆ្វេង) ហៅ

(ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមាន ហើយមានកំណត់)។

កំណត់ដោយ៖ , - ដេរីវេនៅចំណុចខាងស្តាំ,

, គឺជាដេរីវេនៅចំណុចនៅខាងឆ្វេង។

ជាក់ស្តែង ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត។

ទ្រឹស្តីបទ។ អនុគមន៍មួយមានដេរីវេទីវនៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើនៅត្រង់ចំណុចនេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងមាន ហើយស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ជាងនេះ។

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងអត្ថិភាពនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ និងការបន្តនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ)។ ប្រសិនបើអនុគមន៍មានដេរីវេនៅចំនុចមួយ នោះអនុគមន៍នៅចំណុចនោះនឹងបន្ត។

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យវាមាន។ បន្ទាប់មក

,

កន្លែងដែលគ្មានដែនកំណត់។

មតិយោបល់

ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ និងសម្គាល់

ភាពខុសគ្នានៃមុខងារ .

អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបវិទ្យា

1) អត្ថន័យរូបវិទ្យានៃដេរីវេ. ប្រសិនបើមុខងារមួយ និងអាគុយម៉ង់របស់វាមាន បរិមាណរាងកាយបន្ទាប់មក ដេរីវេគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរដែលទាក់ទងទៅនឹងអថេរនៅចំណុចមួយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើចម្ងាយដែលធ្វើដំណើរដោយចំណុចមួយក្នុងពេលវេលា នោះដេរីវេរបស់វាគឺជាល្បឿននៃពេលវេលា។ ប្រសិនបើបរិមាណនៃចរន្តអគ្គិសនីដែលហូរកាត់ផ្នែកឆ្លងកាត់នៃ conductor នៅពេលភ្លាមៗនោះគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណនៃចរន្តអគ្គិសនីនៅពេលភ្លាមៗនោះ i.e. កម្លាំងបច្ចុប្បន្នក្នុងពេលបច្ចុប្បន្ន។

2) អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។

ទុកជាខ្សែកោងខ្លះ ធ្វើជាចំណុចនៅលើខ្សែកោង។

បន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលប្រសព្វគ្នាយ៉ាងហោចណាស់ពីរចំណុចត្រូវបានហៅ សេកាន .

តង់សង់ទៅខ្សែកោងនៅចំណុចមួយ។ ទីតាំងកំណត់នៃសេកានត្រូវបានគេហៅថា ប្រសិនបើចំណុចមានទំនោរទៅ ផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង។

តាមនិយមន័យ វាច្បាស់ណាស់ថា ប្រសិនបើតង់សង់ទៅខ្សែកោងមាននៅចំណុចមួយ នោះវាមានតែមួយ

ពិចារណាខ្សែកោង (ឧទាហរណ៍ក្រាហ្វនៃមុខងារ) ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាមានតង់សង់មិនបញ្ឈរនៅចំណុចមួយ។ សមីការរបស់វា៖ (សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ និងមានមេគុណមុំ)។

តាមនិយមន័យនៃជម្រាល

តើមុំទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅអ័ក្សនៅឯណា។

អនុញ្ញាតឱ្យជាមុំនៃទំនោរនៃ secant ទៅអ័ក្ស, ដែលជាកន្លែងដែល។ ចាប់តាំងពីជាតង់សង់មួយ, បន្ទាប់មកនៅពេលដែល

អាស្រ័យហេតុនេះ

ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលវា។ - មេគុណមុំនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច(អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ) ។ ដូច្នេះសមីការនៃតង់សង់ទៅខ្សែកោងនៅចំណុចមួយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់

មតិយោបល់ . បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹងតង់សង់ដែលទាញទៅខ្សែកោងនៅចំណុចនោះត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតាទៅខ្សែកោងនៅចំណុច . ដោយសារមេគុណមុំនៃបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង សមីការនៃធម្មតាទៅខ្សែកោងនៅចំណុចមួយនឹងមានទម្រង់

, ប្រសិនបើ .

ប្រសិនបើ នោះតង់សង់ទៅខ្សែកោងនៅចំណុចនឹងមានទម្រង់

និងធម្មតា។

TANGENT និងសមីការធម្មតា។

សមីការតង់សង់

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ y=f(x) អ្នកត្រូវសរសេរសមីការ តង់សង់នៅចំណុច x 0. ពីនិយមន័យនៃដេរីវេ៖

y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x

Δ y=f(x+Δ x)−f(x).

សមីការ តង់សង់ទៅក្រាហ្វិកមុខងារ៖ y=kx+ខ (k,ខ=const) ពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ៖ f/(x 0)=tgα= kដោយសារតែ x 0 និង f(x 0)∈ បន្ទាត់ត្រង់ បន្ទាប់មកសមីការ តង់សង់ត្រូវបានសរសេរជា៖ y−f(x 0)=f/(x 0)(x−x 0) ឬ

y=f/(x 0)· x+f(x 0)−f/(x 0)· x 0.

សមីការធម្មតា។

ធម្មតា។- កាត់កែងទៅ តង់សង់(មើលរូបភាព)។ ផ្អែកលើនេះ៖

tgβ= tg(2π−α) = ctgα=1 tgα=1 f/(x 0)

ដោយសារតែ មុំទំនោរនៃធម្មតាគឺមុំ β1 បន្ទាប់មកយើងមាន៖

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 f/(x).

ចំនុច ( x 0,f(x 0))∈ ធម្មតា សមីការមានទម្រង់៖

y−f(x 0)=−1f/(x 0)(x−x 0).

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យវាមាន។ បន្ទាប់មក

,

កន្លែងដែលគ្មានដែនកំណត់។

ប៉ុន្តែនេះមានន័យថាវាបន្តនៅចំណុចមួយ (សូមមើលនិយមន័យធរណីមាត្រនៃការបន្ត)។ ∎

មតិយោបល់ . ការបន្តនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយមិនមែនជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះនៅចំណុចមួយ។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍មួយគឺបន្ត ប៉ុន្តែមិនមានដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ ពិតជា

ដូច្នេះហើយមិនមានទេ។

ជាក់ស្តែង ការឆ្លើយឆ្លងគឺជាមុខងារដែលបានកំណត់លើសំណុំមួយចំនួន។ ពួកគេហៅនាង ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ និងសម្គាល់

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកមុខងារ អនុគមន៍ដេរីវេរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃមុខងារ .

ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) និង g(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេស្គាល់ដល់យើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖

(f + g)' = f ' + g '

(f − g) ' = f ' − g '

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍ (f + g + h)' = f' + g' + h' ។

និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតនៃ "ធាតុអវិជ្ជមាន" ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − g អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f + (−1) g ហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។

ខ្លឹមសារនៃអត្ថបទ

ដេរីវេ- ដេរីវេនៃមុខងារ y = f(x) ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ ( ក, ខ) នៅចំណុច xនៃចន្លោះពេលនេះត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ដែលសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃមុខងារមាននិន្នាការ fនៅចំណុចនេះចំពោះការកើនឡើងដែលត្រូវគ្នានៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលដែលការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ។

និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានបញ្ជាក់ជាធម្មតាដូចខាងក្រោមៈ

ការរចនាផ្សេងទៀតក៏ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយផងដែរ:

ល្បឿនភ្លាមៗ។

សូមឱ្យចំណុច មផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ចម្ងាយ សចំណុចផ្លាស់ទី រាប់ពីទីតាំងដំបូងមួយចំនួន ម 0 , អាស្រ័យលើពេលវេលា t, i.e. សមានមុខងារនៃពេលវេលា t: ស= f(t). អនុញ្ញាតឱ្យនៅចំណុចណាមួយនៅក្នុងពេលវេលា tចំណុចផ្លាស់ទី មគឺនៅចម្ងាយ សពីទីតាំងចាប់ផ្តើម ម 0 ហើយនៅពេលបន្ទាប់ t+ ឃ tបានរកឃើញខ្លួនឯងនៅក្នុងទីតាំងមួយ។ ម 1 - នៅចម្ងាយ ស+ ឃ សពីទីតាំងដំបូង ( មើលរូប.).

ដូច្នេះក្នុងរយៈពេលមួយ D tចម្ងាយ សផ្លាស់ប្តូរដោយចំនួន D ស. ក្នុងករណីនេះពួកគេនិយាយថាក្នុងអំឡុងពេលចន្លោះពេល D tរ៉ិចទ័រ សបានទទួលការបង្កើន D ស.

ល្បឿនជាមធ្យមមិនអាចកំណត់បានត្រឹមត្រូវក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់នៃល្បឿននៃចលនានៃចំណុចមួយ។ មនៅចំណុចមួយក្នុងពេលវេលា t. ប្រសិនបើឧទាហរណ៍រាងកាយនៅដើមនៃចន្លោះពេល D tបានផ្លាស់ទីយ៉ាងលឿន ហើយនៅចុងបញ្ចប់យឺតបំផុត នោះល្បឿនមធ្យមនឹងមិនអាចឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៃចលនារបស់ចំណុចនោះទេ ហើយផ្តល់គំនិតអំពីល្បឿនពិតនៃចលនារបស់វានៅពេលនេះ។ t. ដើម្បីបង្ហាញឱ្យកាន់តែច្បាស់នូវល្បឿនពិតដោយប្រើល្បឿនមធ្យម អ្នកត្រូវចំណាយពេលខ្លីជាង D t. ភាគច្រើនកំណត់យ៉ាងពេញលេញនូវល្បឿននៃចលនានៃចំណុចមួយនៅពេលនេះ tដែនកំណត់ដែលល្បឿនជាមធ្យមមានទំនោរនៅ D t® 0. ដែនកំណត់នេះត្រូវបានគេហៅថាល្បឿនបច្ចុប្បន្ន៖

ដូច្នេះល្បឿននៃចលនានៅពេលណាមួយត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្របង្កើនផ្លូវ D សដល់ការបង្កើនពេលវេលា D tនៅពេលដែលការកើនឡើងពេលវេលាមានទំនោរទៅសូន្យ។ ដោយសារតែ

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ តង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

ការសាងសង់បន្ទាត់តង់សង់គឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនោះដែលនាំឱ្យមានកំណើតនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ការងារដែលបានបោះពុម្ពផ្សាយដំបូងទាក់ទងនឹងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលសរសេរដោយ Leibniz មានចំណងជើង វិធីសាស្រ្តថ្មីនៃ maxima និង minima ក៏ដូចជា tangents ដែលមិនមានប្រភាគ ឬ irrational quantity គឺជាឧបសគ្គ ហើយប្រភេទពិសេសនៃ calculus សម្រាប់ការនេះ.

សូមឱ្យខ្សែកោងជាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y =f(x) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ( សង់​ទី​ម៉ែ​ត. អង្ករ។ )

នៅតម្លៃខ្លះ xមុខងារសំខាន់ y =f(x) តម្លៃទាំងនេះ xនិង yចំណុចនៅលើខ្សែកោងត្រូវគ្នា។ ម 0(x, y) ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ xផ្តល់ឱ្យ បង្កើន D xបន្ទាប់មកតម្លៃថ្មីនៃអាគុយម៉ង់ x+ ឃ xត្រូវនឹងតម្លៃមុខងារថ្មី។ y+ឃ y = f(x + ឃ x) ចំណុចដែលត្រូវគ្នានៃខ្សែកោងនឹងជាចំណុច ម 1(x+ ឃ x,y+ ឃ y) ប្រសិនបើអ្នកគូរឃ្លា ម 0ម 1 និងតំណាងដោយ j មុំដែលបង្កើតឡើងដោយការឆ្លងកាត់ដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស គោពីរូបភាពវាច្បាស់ភ្លាមៗថា .

បើពេលនេះ D xទំនោរទៅសូន្យ បន្ទាប់មកចំណុច ម 1 ផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោងទៅជិតចំណុច ម 0 និងមុំ j ការផ្លាស់ប្តូរជាមួយ D x. នៅ Dx® 0 មុំ j ទំនោរទៅដែនកំណត់ជាក់លាក់ a និងបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច ម 0 និងសមាសធាតុដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស x មុំ a នឹងជាតង់សង់ដែលចង់បាន។ ជម្រាលរបស់វាគឺ៖

អាស្រ័យហេតុនេះ f´( x) = tga

ទាំងនោះ។ តម្លៃដេរីវេ f´( x) សម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ xស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ ម 0(x,y) ជាមួយនឹងទិសដៅអ័ក្សវិជ្ជមាន គោ.

ភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។

និយមន័យ។ ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) មានដេរីវេនៅចំណុច x = x 0 បន្ទាប់មកមុខងារគឺខុសគ្នាត្រង់ចំណុចនេះ។

ការបន្តនៃអនុគមន៍ដែលមានដេរីវេ។ ទ្រឹស្តីបទ។

ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចខ្លះ x = x 0 បន្ទាប់មកវាបន្តនៅចំណុចនេះ។

ដូច្នេះ អនុគមន៍មិនអាចមានដេរីវេនៅចំនុចដាច់ទេ។ ការសន្និដ្ឋានផ្ទុយគឺមិនត្រឹមត្រូវ, i.e. ពីការពិតដែលថានៅចំណុចណាមួយ។ x = x 0 មុខងារ y = f(x) គឺបន្តមិនមានន័យថាវាខុសគ្នាត្រង់ចំណុចនេះទេ។ ឧទាហរណ៍មុខងារ y = |x| បន្តសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា x(–Ґ x x = 0 មិនមានដេរីវេទេ។ នៅចំណុចនេះមិនមានតង់សង់ទៅក្រាហ្វទេ។ មានតង់សង់ខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង ប៉ុន្តែវាមិនស្របគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទខ្លះអំពីមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន។ ទ្រឹស្តីបទលើឫសនៃដេរីវេ (ទ្រឹស្តីបទរ៉ូល)។ប្រសិនបើមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ក,ខ] មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅគ្រប់ចំណុចខាងក្នុងនៃផ្នែកនេះ និងនៅចុងបញ្ចប់ x = កនិង x = ខទៅសូន្យ ( f(ក) = f(ខ) = 0) បន្ទាប់មកនៅខាងក្នុងផ្នែក [ ក,ខ] យ៉ាងហោចណាស់មានចំណុចមួយ។ x= ជាមួយ, ក c b ដែលក្នុងនោះដេរីវេ fў( x) ទៅសូន្យ, i.e. fў( គ) = 0.

ទ្រឹស្តីបទបង្កើនកម្រិតកំណត់ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange) ។ប្រសិនបើមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅចន្លោះពេល [ ក, ខ] និងអាចខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុចខាងក្នុងនៃផ្នែកនេះ បន្ទាប់មកនៅខាងក្នុងផ្នែក [ ក, ខ] យ៉ាងហោចណាស់មានចំណុចមួយ។ ជាមួយ, ក c b នោះ។

f(ខ) – f(ក) = fў( គ)(ខ– ក).

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃមុខងារពីរ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cauchy) ។ប្រសិនបើ f(x) និង g(x) - មុខងារពីរបន្តនៅលើផ្នែក [ក, ខ] និងអាចខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុចខាងក្នុងនៃផ្នែកនេះ និង gў( x) មិនបាត់ទៅណាទេនៅក្នុងផ្នែកនេះ បន្ទាប់មកនៅខាងក្នុងផ្នែក [ ក, ខ] មានចំណុចបែបនេះ x = ជាមួយ, ក c b នោះ។

ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញផ្សេងៗ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y =f(x) មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចន្លោះពេលខ្លះ [ ក, ខ] តម្លៃដេរីវេ f ў( x) និយាយជាទូទៅអាស្រ័យលើ x, i.e. ដេរីវេ f ў( x) គឺជាមុខងារមួយផងដែរ។ x. នៅពេលបែងចែកមុខងារនេះ យើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថាដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ f(x) ដែលតំណាងឱ្យ f ўў ( x).

ដេរីវេ n-លំដាប់នៃមុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា (លំដាប់ទីមួយ) ដេរីវេនៃដេរីវេ n- 1- th និងត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា y(ន) = (y(ន- ១)) ў។

ភាពខុសគ្នានៃការបញ្ជាទិញផ្សេងៗ។

មុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល y = f(x) កន្លែងណា x- អថេរឯករាជ្យ បាទ ឌី = f ў( x)dx, មុខងារមួយចំនួនពី x, ប៉ុន្តែពី xមានតែកត្តាដំបូងប៉ុណ្ណោះដែលអាចពឹងផ្អែកបាន។ f ў( x) កត្តាទីពីរ ( dx) គឺជាការកើនឡើងនៃអថេរឯករាជ្យ xនិងមិនអាស្រ័យលើតម្លៃនៃអថេរនេះទេ។ ដោយសារតែ ឌីមានមុខងារពី xបន្ទាប់មកយើងអាចកំណត់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនេះ។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរ ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍នេះហើយត្រូវបានតាង ឃ 2y:

ឃ(dx) = ឃ 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល n-នៃលំដាប់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីមួយនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល n- 1- លំដាប់៖

d n y = ឃ(ឃ ន–1y) = f(ន)(x)dx(ន).

ដេរីវេដោយផ្នែក។

ប្រសិនបើមុខងារមួយមិនអាស្រ័យលើមួយ ប៉ុន្តែនៅលើអាគុយម៉ង់ជាច្រើន។ x ខ្ញុំ(ខ្ញុំប្រែប្រួលពី 1 ទៅ ន,ខ្ញុំ= 1, 2,… ន),f(x 1,x 2,… x ន) បន្ទាប់មកនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល គោលគំនិតនៃដេរីវេដោយផ្នែកត្រូវបានណែនាំ ដែលកំណត់លក្ខណៈនៃអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារនៃអថេរជាច្រើននៅពេលដែលមានតែអាគុយម៉ង់មួយផ្លាស់ប្តូរឧទាហរណ៍។ x ខ្ញុំ. ដេរីវេដោយផ្នែកនៃលំដាប់ទី 1 ទាក់ទងនឹង x ខ្ញុំត្រូវបានកំណត់ថាជានិស្សន្ទវត្ថុធម្មតា ហើយវាត្រូវបានសន្មត់ថា អាគុយម៉ង់ទាំងអស់ លើកលែងតែ x ខ្ញុំរក្សាតម្លៃថេរ។ សម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក ការសម្គាល់ត្រូវបានណែនាំ

និស្សន្ទវត្ថុភាគនៃលំដាប់ទី 1 ដែលកំណត់តាមវិធីនេះ (ជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ដូចគ្នា) ក៏អាចមាននិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកដែរ ទាំងនេះគឺជានិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកលំដាប់ទីពីរ។ល។ និស្សន្ទវត្ថុបែបនេះបានមកពីអំណះអំណាងផ្សេងៗគ្នាត្រូវបានគេហៅថាចម្រុះ។ និស្សន្ទវត្ថុចម្រុះបន្តគ្នានៃលំដាប់ដូចគ្នាមិនអាស្រ័យលើលំដាប់នៃភាពខុសគ្នា និងស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។

Anna Chugainova

(\large\bf ដេរីវេនៃអនុគមន៍)

ពិចារណាមុខងារ y=f(x)បានបញ្ជាក់នៅលើចន្លោះពេល (a, ខ). អនុញ្ញាតឱ្យ x- ចំណុចថេរណាមួយនៃចន្លោះពេល (a, ខ), ក Δx- ចំនួន​ដែល​បំពាន​ដូច​ជា​តម្លៃ x+Δxក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលដែរ។ (a, ខ). លេខនេះ។ Δxហៅថាការបង្កើនអាគុយម៉ង់។

និយមន័យ. ការបង្កើនមុខងារ y=f(x)នៅចំណុច xដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δxតោះហៅទៅលេខ

Δy = f(x+Δx) - f(x).

យើងជឿថា Δx ≠ 0. ពិចារណានៅចំណុចថេរដែលបានផ្តល់ឱ្យ xសមាមាត្រនៃការកើនឡើងមុខងារនៅចំណុចនេះទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ដែលត្រូវគ្នា។ Δx

យើងនឹងហៅទំនាក់ទំនងនេះថា ទំនាក់ទំនងភាពខុសគ្នា។ ចាប់តាំងពីតម្លៃ xយើងចាត់ទុកថាថេរ សមាមាត្រភាពខុសគ្នាគឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ Δx. មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ទាំងអស់។ Δxជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់តូចមួយគ្រប់គ្រាន់នៃចំណុច Δx=0លើកលែងតែចំណុចខ្លួនឯង Δx=0. ដូច្នេះយើងមានសិទ្ធិពិចារណាសំណួរនៃអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់នៃមុខងារដែលបានបញ្ជាក់នៅ Δx → 0.

និយមន័យ. ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ y=f(x)នៅចំណុចថេរដែលបានផ្តល់ឱ្យ xហៅថាដែនកំណត់ Δx → 0សមាមាត្រភាពខុសគ្នា, នោះគឺ

បានផ្តល់ថាដែនកំណត់នេះមាន។

ការកំណត់. y′(x)ឬ f′(x).

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ f(x)នៅចំណុចនេះ។ xស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស គោនិងតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះនៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា៖

f′(x 0) = \tgα.

អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃផ្លូវដែលទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលាគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear នៃចំណុច:

សមីការនៃតង់សង់ទៅបន្ទាត់មួយ។ y=f(x)នៅចំណុច M 0 (x 0 ,y 0)យកទម្រង់

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

ធម្មតាទៅខ្សែកោងនៅចំណុចខ្លះគឺកាត់កែងទៅតង់ហ្សង់នៅចំណុចដូចគ្នា។ ប្រសិនបើ f′(x 0)≠ 0បន្ទាប់មកសមីការនៃធម្មតាទៅបន្ទាត់ y=f(x)នៅចំណុច M 0 (x 0 ,y 0)ត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

គំនិតនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y=f(x)កំណត់ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។ (a, ខ), x- តម្លៃអាគុយម៉ង់ថេរមួយចំនួនពីចន្លោះពេលនេះ Δx- ការកើនឡើងណាមួយនៃអាគុយម៉ង់ ដូចជាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x+Δx ∈ (a, b).

និយមន័យ. មុខងារ y=f(x)ហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំណុចជាក់លាក់មួយ។ xប្រសិនបើការកើនឡើង Δyមុខងារនេះនៅចំណុច xដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δxអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់

Δy = A Δx +αΔx,

កន្លែងណា ក- លេខមួយចំនួនឯករាជ្យ Δx, ក α - មុខងារអាគុយម៉ង់ Δx, ដែល​គឺ​ជា​ការ​គ្មាន​កំណត់​នៅ​ Δx → 0.

ចាប់តាំងពីផលិតផលនៃមុខងារគ្មានដែនកំណត់ពីរ αΔxគឺ​គ្មាន​ដែន​កំណត់​ច្រើន​ទៀត​ លំដាប់ខ្ពស់។, របៀប Δx(លក្ខណសម្បត្តិនៃមុខងារគ្មានកំណត់ចំនួន ៣) បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរ៖

Δy = A Δx + o(Δx).

ទ្រឹស្តីបទ. ដើម្បីឱ្យមុខងារ y=f(x)មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចជាក់លាក់មួយ។ xវាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាមាននិស្សន្ទវត្ថុកំណត់នៅចំណុចនេះ។ ត្រង់ណា A=f′(x)នោះគឺ

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើមុខងារ y=f(x) xបន្ទាប់មកវាបន្តនៅចំណុចនេះ។

មតិយោបល់. ពីការបន្តនៃមុខងារ y=f(x)នៅចំណុចនេះ។ xនិយាយជាទូទៅ ភាពខុសគ្នានៃមុខងារមិនធ្វើតាមទេ។ f(x)នៅចំណុចនេះ។ ឧទាហរណ៍មុខងារ y=|x|- បន្តនៅចំណុចមួយ។ x=0ប៉ុន្តែមិនមានការចម្លង។

គំនិតនៃមុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល

និយមន័យ. មុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល y=f(x)ផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ និងការកើនឡើងនៃអថេរឯករាជ្យត្រូវបានគេហៅថា x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

សម្រាប់មុខងារ y=xយើង​ទទួល​បាន dy=dx=x′Δx=1· Δx= Δxនោះគឺ dx=Δx- ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរឯករាជ្យគឺស្មើនឹងការកើនឡើងនៃអថេរនេះ។

ដូច្នេះយើងអាចសរសេរបាន។

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឌីនិងបង្កើន Δyមុខងារ y=f(x)នៅចំណុចនេះ។ xទាំងពីរត្រូវគ្នាទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ដូចគ្នា។ Δxនិយាយជាទូទៅគឺមិនស្មើគ្នា។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងការបន្ថែមនៃតង់សង់តង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះ នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបង្កើន Δx.

ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើមុខងារនីមួយៗ u(x)និង v(x)ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចជាក់លាក់មួយ។ xបន្ទាប់មក ផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល និងកូតានៃអនុគមន៍ទាំងនេះ (កូតាបានផ្តល់ឱ្យនោះ។ v(x)≠ 0) ក៏អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចនេះ ហើយរូបមន្តមាន៖

ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញ y=f(φ(x))≡ F(x), កន្លែងណា y=f(u), u=φ(x). ក្នុងករណី​នេះ យូហៅ អាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម, x - អថេរឯករាជ្យ.

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើ y=f(u)និង u=φ(x)គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៃអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ បន្ទាប់មកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។ y=f(φ(x))មាន និងស្មើនឹងផលិតផលនៃអនុគមន៍នេះ ដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម និងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ ពោលគឺឧ។

មតិយោបល់. សម្រាប់អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញដែលជា superposition នៃអនុគមន៍បី y=F(f(φ(x))))ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាមានទម្រង់

y′ x = y′ u′ v v′ x,

តើមុខងារនៅឯណា v=φ(x), u=f(v)និង y=F(u)- មុខងារផ្សេងគ្នានៃអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ។

ទ្រឹស្តីបទ. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y=f(x)កើនឡើង (ឬថយចុះ) និងបន្តនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច x 0. លើសពីនេះ មុខងារនេះអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចដែលបានចង្អុលបង្ហាញ x 0និងដេរីវេរបស់វានៅចំណុចនេះ។ f′(x 0) ≠ 0. បន្ទាប់មកនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ y 0 = f(x 0)បញ្ច្រាសត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ y=f(x)មុខងារ x=f −1 (y)ហើយមុខងារបញ្ច្រាសដែលបានបង្ហាញគឺអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចដែលត្រូវគ្នា។ y 0 = f(x 0)និងសម្រាប់ដេរីវេរបស់វានៅចំណុចនេះ។ yរូបមន្តមានសុពលភាព

តារាងដេរីវេ

ភាពខុសគ្នានៃទម្រង់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីមួយ

ចូរយើងពិចារណាពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ប្រសិនបើ y=f(x), x=φ(t)- អនុគមន៍​នៃ​អាគុយម៉ង់​របស់​វា​គឺ​អាច​ខុស​គ្នា បន្ទាប់​មក​ដេរីវេនៃ​អនុគមន៍ y=f(φ(t))បង្ហាញដោយរូបមន្ត

y′ t = y′ x x′ t.

A-priory dy=y′ t dtបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ឲ្យ​ឃើញ

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពមិនប្រែប្រួលនៃទម្រង់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលដំបូងនៃមុខងារមួយ។: ដូចនៅក្នុងករណីនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ xគឺជាអថេរឯករាជ្យ ហើយក្នុងករណីដែលអាគុយម៉ង់ xខ្លួនវាគឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៃអថេរថ្មី ឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឌីមុខងារ y=f(x)គឺស្មើនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ គុណនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ dx.

ការអនុវត្តឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែល

យើងបានបង្ហាញថាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឌីមុខងារ y=f(x)និយាយជាទូទៅគឺមិនស្មើនឹងការបង្កើន Δyមុខងារនេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវរហូតដល់គ្មានកំណត់ មុខងារតូចលំដាប់ខ្ពស់នៃភាពតូចជាង Δxសមភាពប្រហាក់ប្រហែលមានសុពលភាព

Δy ≈ ឌី.

សមាមាត្រត្រូវបានគេហៅថាកំហុសទាក់ទងនៃសមភាពនៃសមភាពនេះ។ ដោយសារតែ Δy-dy=o(Δx)បន្ទាប់មក កំហុសដែលទាក់ទងនៃសមភាពនេះក្លាយជាតូចតាមដែលចង់បានជាមួយនឹងការថយចុះ |Δх|.

ពិចារណា Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, យើង​ទទួល​បាន f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxឬ

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

សមភាពប្រហាក់ប្រហែលនេះអនុញ្ញាតឱ្យមានកំហុស o(Δx)ជំនួសមុខងារ f(x)នៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយនៃចំណុច x(ឧទាហរណ៍សម្រាប់តម្លៃតូច Δx) មុខងារលីនេអ៊ែរអាគុយម៉ង់ Δx, ឈរនៅខាងស្តាំ។

និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង

និយមន័យ. ដេរីវេទី ២ (ឬដេរីវេទី ២) នៃអនុគមន៍ y=f(x)ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃដេរីវេទី 1 របស់វា។

សញ្ញាណសម្រាប់ដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ y=f(x):

អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេទី ២. ប្រសិនបើមុខងារ y=f(x)ពិពណ៌នាអំពីច្បាប់នៃចលនានៃចំណុចសម្ភារៈនៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ បន្ទាប់មកដេរីវេទីពីរ f″(x)ស្មើនឹងការបង្កើនល្បឿននៃចំណុចរំកិលមួយនៅពេលនៃពេលវេលា x.

ដេរីវេទី ៣ និងទី ៤ ត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។

និយមន័យ. ន th derivative (ឬដេរីវេ ន- លំដាប់) មុខងារ y=f(x)ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេរបស់វា។ n-1ដេរីវេទី:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

ការរចនា៖ y″', y IV, y Vល។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ

និយមន័យតង់សង់ទៅខ្សែកោង តង់សង់ទៅខ្សែកោង y=ƒ(x)នៅចំណុច មត្រូវបានគេហៅថាទីតាំងកំណត់នៃ secant ដែលទាញតាមរយៈចំណុចមួយ។ មនិងចំណុចនៅជាប់នឹងវា។ ម ១ខ្សែកោង, បានផ្តល់ថាចំណុច ម ១ខិតជិតមិនកំណត់តាមខ្សែកោងទៅចំណុច ម. អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ y=ƒ(x)នៅចំណុច X 0 ជាលេខស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំទំនោរទៅអ័ក្ស អូតង់សង់ទៅខ្សែកោង y=ƒ(x)នៅចំណុច M (x 0; ƒ(x 0)) ។

បំរែបំរួល DOTIC ទៅកោង ចំនុចទៅខ្សែកោង y=ƒ(x)យ៉ាង​ពិតប្រាកដ មត្រូវបានគេហៅថាទីតាំងព្រំដែននៃបន្ទាត់ដែលគូសតាមចំនុច មនិងចំណុចបន្ទាប់ជាមួយនាង ម ១ច្របូកច្របល់, ហួសពីចិត្ត, អ្វីដែលជាចំណុចមួយ។ ម ១ខ្សែកោងគឺជៀសមិនរួចទៅជិតចំណុច ម. ភូគព្ភសាស្ត្រ ZMIST POKHIDNOI មុខងារស្រដៀងគ្នា y=ƒ(x)យ៉ាង​ពិតប្រាកដ x 0ជាលេខស្មើនឹងតង់សង់នៃជម្រាលទៅអ័ក្ស អូ dotic, អនុវត្តទៅខ្សែកោង y=ƒ(x)យ៉ាង​ពិតប្រាកដ M (x 0; ƒ(x 0)) ។

អត្ថន័យជាក់ស្តែងនៃដេរីវេ

ចូរយើងពិចារណាថាតើបរិមាណដែលយើងបានរកឃើញថាជាដេរីវេនៃមុខងារជាក់លាក់មានន័យដូចម្តេច។

ជា​ដំបូងបង្អស់, ដេរីវេ- នេះគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល កំណត់លក្ខណៈអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

តើ "អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរ" គឺជាអ្វី? តោះស្រមៃមើលមុខងារ f(x) = ៥. ដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ (x) តម្លៃរបស់វាមិនផ្លាស់ប្តូរតាមវិធីណាមួយឡើយ។ នោះគឺអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូររបស់វាគឺសូន្យ។

ឥឡូវពិចារណាមុខងារ f (x) = x. ដេរីវេនៃ x គឺស្មើនឹងមួយ។ ជាការពិតណាស់ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការកត់សំគាល់ថា សម្រាប់រាល់ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ (x) ដោយមួយ តម្លៃនៃអនុគមន៍ក៏កើនឡើងមួយផងដែរ។

ពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃព័ត៌មានដែលទទួលបានឥឡូវនេះសូមមើលតារាងនៃដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ។ ដោយផ្អែកលើរឿងនេះវាច្បាស់ភ្លាមៗ អត្ថន័យរាងកាយការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។ ការយល់ដឹងនេះគួរតែធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។

ដូច្នោះហើយ ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុបង្ហាញអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារមួយ នោះដេរីវេពីរបង្ហាញពីការបង្កើនល្បឿន។

2080.1947