ការវិភាគគណិតវិទ្យា។

សិក្ខាសាលា។

សម្រាប់និស្សិតសាកលវិទ្យាល័យឯកទេស៖

"រដ្ឋបាលរដ្ឋ និងក្រុង"

T.Z. ប៉ាវឡូវ៉ា

Kolpashevo ឆ្នាំ ២០០៨

ជំពូកទី 1. ការណែនាំអំពីការវិភាគ

1.1 មុខងារ។ លក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅ

1.2 ទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់

1.3 ការបន្តនៃមុខងារ

2.1 និយមន័យនៃដេរីវេ

2.4 ការរុករកមុខងារ

2.4.1 ផែនការសិក្សាមុខងារពេញលេញ

2.4.2 អនុគមន៍សិក្សាឧទាហរណ៍

២.៤.៣. តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ។

2.5 ច្បាប់របស់ L'Hôpital

3.1 អាំងតេក្រាលមិនកំណត់

3.1.1 និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិ

3.1.2 តារាងអាំងតេក្រាល។

3.1.3 វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋាននៃការរួមបញ្ចូល

3.2 អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

3.2.2 វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

ជំពូកទី 4. មុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

4.1 គំនិតជាមូលដ្ឋាន

4.2 ដែនកំណត់និងភាពបន្តនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

4.3.3 ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប និងកម្មវិធីរបស់វាចំពោះការគណនាប្រហាក់ប្រហែល

ជំពូកទី 5. វិធីសាស្រ្តបង្កើនប្រសិទ្ធភាពបុរាណ

6.1 មុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់។

6.2 បន្ទាត់នៃភាពព្រងើយកន្តើយ

6.3 សំណុំថវិកា

កិច្ចការផ្ទះ

1.1 មុខងារ។ លក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅ

អនុគមន៍លេខត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំ D នៃចំនួនពិត ប្រសិនបើតម្លៃនីមួយៗនៃអថេរត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងតម្លៃពិតដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អនៃអថេរ y ដែល D ជាដែននៃអនុគមន៍។

តំណាងវិភាគនៃមុខងារ៖

ច្បាស់៖;

ដោយប្រយោល៖;

ក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

រូបមន្តផ្សេងគ្នានៅក្នុងវាលនៃនិយមន័យ:

ទ្រព្យសម្បត្តិ។

មុខងារសូម្បីតែ: ។ ឧទាហរណ៍មុខងារគឺសូម្បីតែ, ចាប់តាំងពី ...

មុខងារ​ចម្លែក៖ ... ឧទាហរណ៍ មុខងារគឺសេស ចាប់តាំងពី ...

មុខងារតាមកាលកំណត់៖ ដែល T គឺជារយៈពេលនៃអនុគមន៍។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

មុខងារ Monotonic ។ ប្រសិនបើសម្រាប់ដែនណាមួយនៃនិយមន័យ - មុខងារកំពុងកើនឡើង - ថយចុះ។ ឧទាហរណ៍ - កើនឡើង និង - ថយចុះ។

មុខងារមានកំណត់។ បើ​មាន​លេខ M អ៊ីចឹង។ ឧទាហរណ៍មុខងារនិងចាប់តាំងពី .

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារ។

+ 2 – 3 +

1.2 ទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់

និយមន័យ ១... ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅគឺជាលេខ b ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ (- ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត) វាអាចរកឃើញតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដោយចាប់ផ្តើមពីវិសមភាពដែលពេញចិត្ត។

ការកំណត់:។

និយមន័យ ២... ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅគឺជាលេខ b ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ (ជាចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត) មានលេខវិជ្ជមានដែលសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ដែលបំពេញវិសមភាពដែលវិសមភាពមាន។

ការកំណត់:។

និយមន័យ ៣.មុខងារត្រូវបានគេហៅថា infinitesimal សម្រាប់ ឬ ប្រសិនបើ ឬ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ។

1. ផលបូកពិជគណិតនៃចំនួនកំណត់នៃបរិមាណ infinitesimal គឺជាបរិមាណគ្មានកំណត់។

2. ផលិតផលនៃបរិមាណតិចតួចគ្មានកំណត់ដោយអនុគមន៍ព្រំដែនមួយ (ថេរ បរិមាណតូចមិនកំណត់មួយទៀត) គឺជាបរិមាណតិចតួចបំផុត។

3. កូតានៃការបែងចែកបរិមាណតិចតួចគ្មានកំណត់ដោយអនុគមន៍ដែលដែនកំណត់គឺមិនមែនសូន្យគឺជាបរិមាណតិចតួចគ្មានកំណត់។

និយមន័យ ៤.មុខងារត្រូវបានគេហៅថាធំគ្មានកំណត់នៅ, if ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ។

1. ផលិតផលនៃបរិមាណដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់ដោយមុខងារមួយ ដែនកំណត់ដែលមិនមែនជាសូន្យ គឺជាបរិមាណដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់។

2. ផលបូកនៃតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់ និងអនុគមន៍ដែលមានព្រំដែនគឺជាតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់។

3. កូតានៃការបែងចែកបរិមាណដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់ដោយមុខងារដែលមានដែនកំណត់គឺជាបរិមាណដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់។

ទ្រឹស្តីបទ។(ទំនាក់ទំនងរវាងបរិមាណតូចគ្មានកំណត់ និងបរិមាណដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់។ ហើយផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើអនុគមន៍មានទំហំធំគ្មានកំណត់នៅ () នោះមុខងារគឺតូចគ្មានកំណត់នៅ ()។

ទ្រឹស្តីបទកំណត់។

1. មុខងារមួយមិនអាចមានដែនកំណត់លើសពីមួយ។

2. ដែនកំណត់នៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍ជាច្រើនគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ៖

3. ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃមុខងារជាច្រើនគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់នៃមុខងារទាំងនេះ៖

4. កម្រិតដឺក្រេស្មើនឹងកម្រិតនៃដែនកំណត់៖

5. កម្រិតកូតាគឺស្មើនឹងកូតានៃដែនកំណត់ ប្រសិនបើដែនកំណត់ចែកមាន៖

.

6. ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង។

ផលវិបាក៖

7. ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ:

ផលវិបាក៖

តម្លៃគ្មានកំណត់សមមូលសម្រាប់៖

ការគណនាដែនកំណត់។

នៅពេលគណនាដែនកំណត់ ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានលើដែនកំណត់ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍បន្ត និងច្បាប់ដែលកើតចេញពីទ្រឹស្តីបទ និងលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់។

វិធាន 1 ។ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់នៅចំណុចនៃអនុគមន៍ដែលបន្តនៅចំណុចនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសតម្លៃដែនកំណត់របស់វានៅក្នុងអនុគមន៍ក្រោមសញ្ញាកំណត់ជំនួសឱ្យអាគុយម៉ង់ x ។

ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរក

ក្បួនទី 2 ។ប្រសិនបើនៅពេលរកឃើញដែនកំណត់នៃប្រភាគ ដែនកំណត់នៃភាគបែងគឺសូន្យ ហើយដែនកំណត់នៃភាគយកគឺមិនសូន្យ នោះដែនកំណត់នៃអនុគមន៍បែបនេះគឺ។

ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងរក

ក្បួនទី 3 ។ប្រសិនបើនៅពេលរកឃើញដែនកំណត់នៃប្រភាគ ដែនកំណត់នៃភាគបែងគឺស្មើគ្នា ហើយដែនកំណត់នៃភាគយកខុសពីសូន្យ នោះដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នេះគឺសូន្យ។

ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរក

ជាញឹកញយ ការជំនួសតម្លៃកំណត់សម្រាប់អាគុយម៉ង់ នាំឱ្យកន្សោមដែលមិនបានកំណត់ដូចជា

.

ការស្វែងរកដែនកំណត់នៃមុខងារនៅក្នុងករណីទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាការបង្ហាញមិនច្បាស់លាស់។ ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ ចាំបាច់ត្រូវបំប្លែងកន្សោមនេះ មុននឹងឈានដល់កម្រិតកំណត់។ បច្ចេកទេសផ្សេងៗត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់។

ក្បួនទី 4... ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទត្រូវបានបង្ហាញដោយការបំប្លែងអនុគមន៍អនុលីមីត ដូច្នេះដើម្បីជ្រើសរើសកត្តាក្នុងភាគយក និងភាគបែង ដែនកំណត់ដែលជាសូន្យ ហើយដោយកាត់បន្ថយប្រភាគដោយវា ស្វែងរកដែនកំណត់នៃកូតា។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ភាគយក និងភាគបែងត្រូវបានគុណ ឬគុណដោយកន្សោមដែលភ្ជាប់ជាមួយភាគបែង និងភាគបែង។

ក្បួនទី 5 ។ប្រសិនបើកន្សោម sublimit មានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ នោះដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូងត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទសត្វ។

.

ក្បួនទី 6... ដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់នៅ ភាគបែង និងភាគបែងនៃប្រភាគដែនកំណត់រងត្រូវតែបែងចែកដោយកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៃអាគុយម៉ង់ ហើយបន្ទាប់មកដែនកំណត់នៃកូតាត្រូវតែត្រូវបានរកឃើញ។

លទ្ធផលដែលអាចកើតមាន៖

1) ដែនកំណត់ដែលចង់បានគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណដែលមានអំណាចខ្ពស់បំផុតនៃអាគុយម៉ង់នៃភាគយកនិងភាគបែងប្រសិនបើដឺក្រេទាំងនេះដូចគ្នា;

2) ដែនកំណត់ស្មើនឹងគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើកម្រិតនៃអាគុយម៉ង់នៃភាគយកគឺខ្ពស់ជាងកម្រិតនៃអាគុយម៉ង់នៃភាគបែង។

3) ដែនកំណត់គឺសូន្យ ប្រសិនបើកម្រិតនៃអាគុយម៉ង់នៃភាគយកគឺទាបជាងកម្រិតនៃអាគុយម៉ង់នៃភាគបែង។

ក)

ចាប់តាំងពី

ដឺក្រេគឺស្មើគ្នាដែលមានន័យថាដែនកំណត់គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណនៅដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ i.e. ...

ខ)

កម្រិតនៃភាគយកភាគបែងគឺ 1 ដែលមានន័យថាដែនកំណត់គឺ

v)

ដឺក្រេនៃភាគយកគឺ 1 ដឺក្រេនៃភាគបែងគឺ ដូច្នេះដែនកំណត់គឺ 0 ។

ក្បួនទី 7... ដើម្បីបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគអនុដែនកំណត់ត្រូវតែគុណនឹងកន្សោមរួម។

ឧទាហរណ៍ 10 ។

វិធាន ៨... ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ និងផលវិបាករបស់វាត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទសត្វ។

វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ថា

ឧទាហរណ៍ 11 ។

ឧទាហរណ៍ 12 ។

ឧទាហរណ៍ 13 ។

ក្បួនទី 9... នៅពេលដែលបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់ មុខងារ subliminal ដែលផ្ទុកនូវ infinitesimal នោះ ចាំបាច់ត្រូវជំនួសដែនកំណត់នៃ infinite ទាំងនេះ។ នៅលើដែនកំណត់នៃធាតុ infinitesimal ដែលស្មើនឹងពួកគេ។

ឧទាហរណ៍ 14 ។

ឧទាហរណ៍ ១៥.

វិធាន 10. ច្បាប់របស់ L'Hôpital (សូមមើល 2.6) ។

1.3 ការបន្តនៃមុខងារ

អនុគមន៍​មួយ​គឺ​បន្ត​នៅ​ចំណុច​មួយ​ប្រសិន​បើ​ដែនកំណត់​នៃ​អនុគមន៍​ដូច​ជា​អាគុយម៉ង់​មាន​ទំនោរ​ទៅ​ a, មាន​ហើយ​ស្មើ​នឹង​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​នៅ​ចំណុច​នេះ។

លក្ខខណ្ឌសមមូល៖

1. ;

3.

ការបែងចែកចំណុចបំបែក៖

ការបំបែកនៃប្រភេទទីមួយ

ដែលអាចចោលបាន - ដែនកំណត់ម្ខាងមាន និងស្មើគ្នា។

Fatal (លោត) - ដែនកំណត់ម្ខាងមិនស្មើគ្នា;

ភាពមិនដំណើរការនៃប្រភេទទីពីរ៖ ដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចមួយមិនមានទេ។

ឧទាហរណ៍ 16. បង្កើតលក្ខណៈនៃភាពមិនបន្តនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ឬបញ្ជាក់ពីភាពបន្តនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។

សម្រាប់មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់ ដូច្នេះវាមិនបន្តនៅចំណុចនេះទេ។ ដោយសារតែ និង​ត្រូវ​គ្នា​, នោះគឺជាចំណុចនៃភាពដាច់ដែលអាចដកចេញបាននៃប្រភេទទីមួយ។

ខ)

នៅក្នុងការប្រៀបធៀបជាមួយភារកិច្ច (a) មុខងារត្រូវបានពង្រីកនៅចំណុចមួយដូច្នេះ ដូច្នេះមុខងារនេះគឺបន្តនៅចំណុចនេះ។

នៅពេលដែលមុខងារមិនត្រូវបានកំណត់;

.

ដោយសារតែ ដែនកំណត់ម្ខាងគឺគ្មានដែនកំណត់ បន្ទាប់មកវាគឺជាចំណុចបំបែកនៃប្រភេទទីពីរ។

ជំពូកទី 2. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល

2.1 និយមន័យនៃដេរីវេ

និយមន័យដេរីវេ

ឬដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងមុខងារទៅនឹងការកើនឡើងអាគុយម៉ង់ដែលត្រូវគ្នា នៅពេលដែលការបង្កើនអាគុយម៉ង់មានទំនោរទៅសូន្យ៖

ឬ .

អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេគឺជាតង់សង់នៃមុំទំនោរនៃតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍៖

2.2 ច្បាប់ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ភាពខុសគ្នា

ឈ្មោះ	មុខងារ	ដេរីវេ
គុណនឹងកត្តាថេរ
ផលបូកពិជគណិតនៃមុខងារពីរ
ផលិតផលនៃមុខងារពីរ
មុខងារឯកជនពីរ
មុខងារស្មុគស្មាញ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម

P/p No.	ឈ្មោះមុខងារ	មុខងារនិងដេរីវេរបស់វា។
1	ថេរ
2	មុខងារថាមពល ករណីពិសេស
3	អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ករណីពិសេស
4	មុខងារលោការីត ករណីពិសេស
5	អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
6	បញ្ច្រាស ត្រីកោណមាត្រ

ខ)

2.3 និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង

ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍

ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរនៃមុខងារ៖

ឧទាហរណ៍ 18 ។

ក) ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយជាមុនសិន .

ចូរ​យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ​លំដាប់​ទីមួយ។

ឧទាហរណ៍ 19. ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីបីនៃអនុគមន៍។

2.4 ការរុករកមុខងារ

2.4.1 ផែនការសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារពេញលេញ៖

ផែនការសិក្សាមុខងារពេញលេញ៖

1. ការស្រាវជ្រាវបឋម៖

ស្វែងរកដែន និងជួរនៃតម្លៃ;

ស្វែងយល់ពីលក្ខណៈទូទៅ៖ ភាពស្មើគ្នា (ភាពចម្លែក), ភាពទៀងទាត់;

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ;

កំណត់តំបន់នៃភាពស្ថិតស្ថេរ។

2. រោគសញ្ញា៖

ស្វែងរក asymtotes បញ្ឈរប្រសិនបើ;

ស្វែងរក asymtotes oblique: ។

ប្រសិនបើលេខណាមួយបន្ទាប់មក - asymptotes ផ្ដេក។

3. ការស្រាវជ្រាវដោយប្រើ៖

ស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗ។ ចំណុចដែលឬមិនមាន;

កំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង, ទាំងនោះ។ ចន្លោះពេល, ដែលនិងការថយចុះមុខងារ -;

កំណត់ចំណុចខ្លាំង៖ ចំណុចនៅពេលឆ្លងកាត់ដែលវាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "+" ទៅ "-" គឺជាចំណុចអតិបរមាពី "-" ទៅ "+" - អប្បបរមា។

4. ការស្រាវជ្រាវដោយប្រើ៖

ស្វែងរកចំណុចដែលឬមិនមាន;

ស្វែងរកតំបន់ប៉ោង, i.e. ចន្លោះពេលដែល concavities គឺ;

ស្វែងរកចំណុចបញ្ឆេះ, i.e. ចំណុចនៅពេលឆ្លងកាត់សញ្ញាផ្លាស់ប្តូរ។

1. ធាតុបុគ្គលនៃការសិក្សាត្រូវបានគ្រោងនៅលើក្រាហ្វបន្តិចម្តងៗ ដូចដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញ។

2. ប្រសិនបើមានការលំបាកក្នុងការសាងសង់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នោះតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវបានរកឃើញនៅចំណុចបន្ថែមមួយចំនួន។

3. គោលបំណងនៃការសិក្សាគឺដើម្បីពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈនៃអាកប្បកិរិយានៃមុខងារ។ ដូច្នេះ មិនមែនជាក្រាហ្វពិតប្រាកដមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង ប៉ុន្តែការប៉ាន់ស្មានរបស់វា ដែលធាតុដែលបានរកឃើញ (extrema, inflection point, asymptotes ។ល។) ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់។

4. វាមិនចាំបាច់ក្នុងការប្រកាន់ខ្ជាប់យ៉ាងតឹងរឹងទៅនឹងផែនការខាងលើ; វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវមើលរំលងធាតុលក្ខណៈនៃឥរិយាបថរបស់មុខងារ។

2.4.2 ឧទាហរណ៍នៃការសិក្សាមុខងារ៖

1)

2) មុខងារគឺសេស៖

.

3) រោគសញ្ញា។

- asymtotes បញ្ឈរ, ដោយសារតែ

Oblique asymptote ។

5)

- ចំណុចឆ្លង។

2) មុខងារគឺសេស៖

៣) Asymptotes៖ មិនមាន asymptotes បញ្ឈរទេ។

ទំនោរ៖

- រោគសញ្ញា oblique

4) - មុខងារកើនឡើង។

- ចំណុចឆ្លង។

ដ្យាក្រាមគ្រោងការណ៍នៃមុខងារនេះ៖

2) មុខងារទូទៅ

3) រោគសញ្ញា

- គ្មាន asymtotes oblique

- asymptote ផ្ដេកនៅ

- ចំណុចឆ្លង

ដ្យាក្រាមគ្រោងការណ៍នៃមុខងារនេះ៖

2) រោគសញ្ញា។

- asymptote បញ្ឈរ, ដោយសារតែ

- គ្មាន asymtotes oblique

, - asymptote ផ្ដេក

ដ្យាក្រាមគ្រោងការណ៍នៃមុខងារនេះ៖

2) រោគសញ្ញា

- asymptote បញ្ឈរនៅ, ចាប់តាំងពី

- គ្មាន asymtotes oblique

, - asymptote ផ្ដេក

3) - មុខងារថយចុះនៅចន្លោះពេលនីមួយៗ។

ដ្យាក្រាមគ្រោងការណ៍នៃមុខងារនេះ៖

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ អ្នកអាចប្រើដ្យាក្រាម៖

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។

2. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ ដែលនៅ ឬមិនមាន។

3. ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចសំខាន់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងនៅចុងបញ្ចប់របស់វា ហើយជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេ។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

25. នៅក្នុង​ចន្លោះ

2) - ចំណុចសំខាន់

26. នៅចន្លោះ។

ដេរីវេមិនមាននៅទេ ប៉ុន្តែ 1 មិនមែនជារបស់ចន្លោះនេះទេ។ មុខងារមានការថយចុះក្នុងចន្លោះពេល ដែលមានន័យថាមិនមានតម្លៃធំបំផុត ប៉ុន្តែតម្លៃតូចបំផុត។

2.5 ច្បាប់របស់ L'Hôpital

ទ្រឹស្តីបទ។ ដែនកំណត់នៃអនុបាតនៃអនុគមន៍ចំនួនពីរដែលមិនមានកំណត់ ឬធំគ្មានកំណត់គឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា (មានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់) ប្រសិនបើមុខងារក្រោយមាននៅក្នុងន័យដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

ទាំងនោះ។ នៅពេលបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ ឬអ្នកអាចប្រើរូបមន្ត៖

.

27.

ជំពូកទី 3. ការគណនាអាំងតេក្រាល

3.1 អាំងតេក្រាលមិនកំណត់

3.1.1 និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិ

និយមន័យ 1. អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា antiderivative for if ។

និយមន័យ 2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ f (x) គឺជាការប្រមូលផ្ដុំនៃសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេទាំងអស់សម្រាប់មុខងារនេះ។

ការកំណត់: ដែលជាកន្លែងដែល c គឺជាថេរដែលបំពាន។

លក្ខណៈសម្បត្តិអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

1. ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

2. ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

3. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

4. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរ៖

5. ការផ្លាស់ទីកត្តាថេរលើសពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

3.1.2 តារាងអាំងតេក្រាល។

.1.3 វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋាននៃការរួមបញ្ចូល

1. ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ឧទាហរណ៍ 29 ។

2. នៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ឧទាហរណ៍ 30 ។

3. វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ៖

ក) ការជំនួសនៅក្នុងអាំងតេក្រាល។

កន្លែងណា - មុខងារដែលងាយស្រួលដាក់បញ្ចូលជាងមុខងារដើម។ - មុខងារបញ្ច្រាសទៅមុខងារ; គឺជាអង់ទីករនៃមុខងារ។

ឧទាហរណ៍ 31 ។

ខ) ការជំនួសនៅក្នុងអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់៖

ឧទាហរណ៍ 32 ។

ឧទាហរណ៍ 33 ។

4. វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នាតាមផ្នែក៖

ឧទាហរណ៍ 34 ។

ឧទាហរណ៍ 35 ។

ចូរយើងយកអាំងតេក្រាលដាច់ដោយឡែក

ចូរយើងត្រលប់ទៅអាំងតេក្រាលរបស់យើងវិញ៖

3.2 អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

3.2.1 គំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

និយមន័យ។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារបន្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅចន្លោះពេលមួយចំនួន។ តោះបង្កើតក្រាហ្វរបស់នាង។

តួរលេខដែលចងខាងលើដោយខ្សែកោងមួយ ទៅឆ្វេង និងទៅស្តាំដោយបន្ទាត់ត្រង់ និងពីខាងក្រោមដោយផ្នែកនៃអ័ក្ស abscissa រវាងចំនុច a និង b ត្រូវបានគេហៅថា trapezoid កោង។

S - តំបន់ - រាងចតុកោណកោង។

បែងចែកចន្លោះពេលជាមួយចំនុច ហើយទទួលបាន៖

ផលបូកអាំងតេក្រាល៖

និយមន័យ។ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាល។

កំណត់លក្ខណៈសម្បត្តិអាំងតេក្រាល៖

1. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖

2. អាំងតេក្រាលនៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ៖

3. ប្រសិនបើផ្នែកនៃសមាហរណកម្មត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែក នោះអាំងតេក្រាលលើផ្នែកទាំងមូលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាលសម្រាប់ផ្នែកនីមួយៗដែលបានកើតឡើង នោះគឺ សម្រាប់ a, b, c:

4. ប្រសិនបើនៅលើផ្នែកមួយបន្ទាប់មក

5. ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរខណៈពេលដែលសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរអាំងតេក្រាល:

6.

7. អាំងតេក្រាលនៅចំណុចគឺស្មើនឹង 0:

8.

9. ("អំពីមធ្យម") សូមអោយ y = f (x) ជាអនុគមន៍ដែលអាចបញ្ចូលបាន។ បន្ទាប់មក ដែលជាកន្លែងដែល f (c) គឺជាតម្លៃមធ្យមនៃ f (x) នៅលើ៖

10. រូបមន្ត Newton-Leibniz

,

ដែល F (x) គឺជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ f (x) ។

3.2.2 វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

1. ការរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់

ឧទាហរណ៍ 35 ។

ក)

ខ)

v)

អ៊ី)

2. ការផ្លាស់ប្តូរអថេរនៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ .

ឧទាហរណ៍ 36 ។

2. ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកនៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ .

ឧទាហរណ៍ ៣៧.

ក)

ខ)

អ៊ី)

3.2.3 កម្មវិធីនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

លក្ខណៈ	ប្រភេទមុខងារ	រូបមន្ត
	នៅក្នុងកូអរដោនេ Cartesian
តំបន់ផ្នែកកោង	នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។
តំបន់ trapezoid កោង	នៅក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ប្រវែងធ្នូ	នៅក្នុងកូអរដោនេ Cartesian
ប្រវែងធ្នូ	នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។
ប្រវែងធ្នូ	នៅក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
បរិមាណរាងកាយ ការបង្វិល	នៅក្នុងកូអរដោនេ Cartesian
បរិមាណរាងកាយជាមួយនឹងការឆ្លងកាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផ្នែកឆ្លងកាត់

ឧទាហរណ៍ 38. គណនាផ្ទៃនៃរាងដែលចងដោយបន្ទាត់៖ និង .

ដំណោះស្រាយ៖ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងធ្វើសមកាលកម្មមុខងារនិងដោះស្រាយសមីការ

ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វ និង។

យើងរកឃើញផ្ទៃនៃតួលេខដោយប្រើរូបមន្ត

.

ក្នុងករណីរបស់យើង។

ចម្លើយ៖ ផ្ទៃដីស្មើនឹង (ឯកតាការ៉េ)។

4.1 គំនិតជាមូលដ្ឋាន

និយមន័យ។ ប្រសិនបើយោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួនតម្លៃមួយឬច្រើននៃអថេរ z ត្រូវបានកំណត់ទៅគូនីមួយៗនៃលេខឯករាជ្យពីសំណុំជាក់លាក់មួយ បន្ទាប់មកអថេរ z ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារនៃអថេរពីរ។

និយមន័យ។ ដែននៃអនុគមន៍ z គឺជាសំណុំនៃគូដែលមុខងារ z មាន។

ដែន​នៃ​អនុគមន៍​នៃ​អថេរ​ពីរ​គឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​ចំណុច​នៅ​លើ​យន្តហោះ​កូអរដោណេ Oxy ។ z-coordinate ត្រូវបានគេហៅថា applicate ហើយបន្ទាប់មកមុខងារខ្លួនវាត្រូវបានបង្ហាញជាផ្ទៃមួយចំនួននៅក្នុងចន្លោះ E 3។ ឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ 39. ស្វែងរកដែននៃអនុគមន៍មួយ។

ក)

កន្សោម​ខាង​ស្ដាំ​មាន​ន័យ​សម្រាប់​តែ​ប៉ុណ្ណោះ។ នេះមានន័យថាដែននៃអនុគមន៍នេះគឺជាការប្រមូលផ្តុំនៃចំណុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅខាងក្នុង និងនៅលើព្រំប្រទល់នៃរង្វង់កាំ R ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម។

ដែននៃអនុគមន៍នេះគឺជាចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ លើកលែងតែចំណុចនៃបន្ទាត់ត្រង់ i.e. សំរបសំរួលអ័ក្ស។

និយមន័យ។ បន្ទាត់កម្រិតអនុគមន៍គឺជាគ្រួសារនៃខ្សែកោងនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការនៃទម្រង់។

ឧទាហរណ៍ 40. ស្វែងរកបន្ទាត់កម្រិតមុខងារ .

ដំណោះស្រាយ។ បន្ទាត់កម្រិតនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាគ្រួសារនៃខ្សែកោងនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានពិពណ៌នាដោយសមីការ

សមីការចុងក្រោយពិពណ៌នាអំពីគ្រួសារនៃរង្វង់ដែលស្ថិតនៅកណ្តាលចំណុច O 1 (1, 1) នៃកាំ។ ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ (paraboloid) ដែលពិពណ៌នាដោយមុខងារនេះក្លាយជា "ចោតជាង" នៅពេលដែលវាផ្លាស់ទីឆ្ងាយពីអ័ក្សដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ x = 1, y = 1 ។ (រូបភាព 4)

4.2 ដែនកំណត់និងភាពបន្តនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

1. ដែនកំណត់។

និយមន័យ។ លេខ A ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ដោយសារចំនុចមួយទំនោរទៅចំនុចមួយ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនតូចតាមអំពើចិត្តនីមួយៗ មានលេខដែលលក្ខខណ្ឌគឺពិតសម្រាប់ចំណុចណាមួយ ហើយលក្ខខណ្ឌ ... ពួកគេសរសេរ៖ .

ឧទាហរណ៍ 41. ស្វែងរកដែនកំណត់៖

ទាំងនោះ។ ដែនកំណត់អាស្រ័យលើ ហើយដូច្នេះវាមិនមានទេ។

2. ការបន្ត។

និយមន័យ។ ទុកអោយចំនុចជាកម្មសិទ្ធិនៃដែននិយមន័យនៃអនុគមន៍។ បន្ទាប់មកមុខងារមួយត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅចំណុចមួយ if

(1)

ជាងនេះទៅទៀត ចំនុចមានទំនោរទៅរកចំណុចក្នុងវិធីបំពាន។

ប្រសិនបើនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌចំណុចណាមួយ (1) មិនពេញចិត្ត នោះចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចនៃការឈប់ដំណើរការនៃមុខងារ។ នេះអាចជាករណីដូចខាងក្រោមៈ

1) មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចនោះទេ។

2) គ្មានដែនកំណត់។

៣) ដែនកំណត់នេះមាន ប៉ុន្តែវាមិនស្មើគ្នាទេ។

ឧទាហរណ៍ 42. កំណត់ថាតើអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺបន្តនៅចំណុច, if ។

យល់ ដូច្នេះមុខងារនេះគឺបន្តនៅចំណុច។

ដែនកំណត់អាស្រ័យលើ k, i.e. វាមិនមាននៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ ដែលមានន័យថាមុខងារមានការឈប់ដំណើរការនៅចំណុចនេះ។

4.3 ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

4.3.1 ដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ

ដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍មួយទាក់ទងនឹងអាគុយម៉ង់ x គឺជាដេរីវេធម្មតានៃអនុគមន៍នៃអថេរ x សម្រាប់តម្លៃថេរនៃអថេរ y ហើយត្រូវបានតំណាងថាៈ

ដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍មួយទាក់ទងនឹងអាគុយម៉ង់ y គឺជាដេរីវេធម្មតានៃអនុគមន៍នៃអថេរមួយ y នៅតម្លៃថេរនៃអថេរ x ហើយត្រូវបានតំណាងថាៈ

ឧទាហរណ៍ 43. ស្វែងរកដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍។

4.3.2 ដេរីវេដោយផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ

ដេរីវេដោយផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ គឺជាដេរីវេភាគនៃ ដេរីវេដោយផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ។ សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរនៃទម្រង់ បួនប្រភេទនៃដេរីវេភាគនៃលំដាប់ទីពីរគឺអាចធ្វើទៅបាន៖

និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ ដែលភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្តដោយគោរពតាមអថេរផ្សេងៗត្រូវបានគេហៅថា និស្សន្ទវត្ថុចម្រុះ។ និស្សន្ទវត្ថុចម្រុះនៃលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍ដែលអាចបែងចែកបានពីរដងគឺស្មើគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 44. ស្វែងរកដេរីវេភាគនៃលំដាប់ទីពីរ។

4.3.3 ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប និងកម្មវិធីរបស់វាចំពោះការគណនាប្រហាក់ប្រហែល។

និយមន័យ។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទីមួយនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

.

ឧទាហរណ៍ 45. ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបសម្រាប់អនុគមន៍មួយ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក៖

.

សម្រាប់ការកើនឡើងតិចតួចនៃអាគុយម៉ង់ x និង y មុខងារទទួលបានការកើនឡើងប្រហែលស្មើនឹង dz, i.e. ...

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើតម្លៃពិតប្រាកដរបស់វានៅចំណុចមួយត្រូវបានគេដឹង៖

ឧទាហរណ៍ 46. រក .

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ,

បន្ទាប់មកយើងប្រើរូបមន្ត

ចម្លើយ។ .

ឧទាហរណ៍ 47. គណនាប្រមាណ។

ដំណោះស្រាយ។ តោះពិចារណាមុខងារមួយ។ យើង​មាន

ឧទាហរណ៍ 48. គណនាប្រមាណ។

ដំណោះស្រាយ។ ពិចារណាមុខងារ ... យើង​ទទួល​បាន:

ចម្លើយ។ .

4.3.4 ភាពខុសគ្នានៃមុខងារមិនច្បាស់លាស់

និយមន័យ។ អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា implicit ប្រសិនបើវាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាក់ទងនឹង z ។

ដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារបែបនេះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ 49. ស្វែងរកដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍ z ដែលផ្តល់ដោយសមីការ .

ដំណោះស្រាយ។

និយមន័យ។ អនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា implicit ប្រសិនបើវាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាក់ទងនឹង y ។

ដេរីវេនៃមុខងារបែបនេះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

.

ឧទាហរណ៍ 50. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

5.1 Local extremum នៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

និយមន័យ 1. អនុគមន៍មួយមានអតិបរមានៅចំណុចមួយ if

និយមន័យ 2. អនុគមន៍មួយមានអប្បរមានៅចំណុចមួយ if សម្រាប់ចំណុចទាំងអស់ គ្រប់គ្រាន់នៅជិតចំណុច និងខុសគ្នាពីវា។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការជ្រុល។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ឈានដល់កម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចមួយ នោះដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារនឹងរលាយបាត់ ឬមិនមាននៅចំណុចនេះ។

ចំនុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុភាគបាត់ ឬមិនមាន ត្រូវបានគេហៅថា សំខាន់។

សញ្ញាគ្រប់គ្រាន់នៃភាពជ្រុលនិយម។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចសំខាន់ ហើយមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកលំដាប់ទីពីរបន្តនៅចំណុចនេះ

1) មានអតិបរិមាក្នុងស្រុកនៅចំណុចប្រសិនបើ និង;

2) មានអប្បបរមាក្នុងស្រុកនៅចំណុចប្រសិនបើ និង;

3) មិនមានជ្រុលក្នុងស្រុកនៅចំណុចប្រសិនបើ;

គ្រោងការណ៍នៃការសិក្សាសម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរពីរ។

1. ស្វែងរកដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍៖ និង។

2. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ និងស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍។

3. ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ គណនាតម្លៃរបស់វានៅចំណុចសំខាន់ ហើយដោយប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ ធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីវត្តមានរបស់ extrema ។

4. ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ឧទាហរណ៍ 51. ស្វែងរក extrema នៃអនុគមន៍មួយ។ .

1) ស្វែងរកដេរីវេដោយផ្នែក។

2) ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

4) ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ និងតម្លៃរបស់វានៅចំណុចសំខាន់ : ។ នៅចំណុចយើងទទួលបាន៖

ដូច្នេះ​ហើយ​មិន​មាន​ចំណុច​ខ្លាំង​ណា​មួយ​ទេ។ នៅចំណុចយើងទទួលបាន៖

ដូច្នេះនៅចំណុចនេះមានអប្បបរមា។

5.2 Global extremum (តម្លៃខ្ពស់បំផុត និងទាបបំផុតនៃមុខងារ)

តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន បន្តនៅលើសំណុំបិទមួយចំនួនត្រូវបានសម្រេចនៅចំនុចខ្លាំង ឬនៅលើព្រំដែននៃសំណុំ។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃខ្ពស់បំផុតនិងទាបបំផុត។

1) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់ដែលស្ថិតនៅក្នុងតំបន់ គណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះ។

2) រុករកមុខងារនៅលើព្រំដែននៃតំបន់នេះ; ប្រសិនបើព្រំដែនមានបន្ទាត់ផ្សេងគ្នាជាច្រើន នោះការសិក្សាត្រូវតែធ្វើឡើងសម្រាប់កន្លែងនីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នា។

3) ប្រៀបធៀបតម្លៃដែលទទួលបាននៃមុខងារ ហើយជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។

ឧទាហរណ៍ 52. ស្វែងរកតម្លៃអនុគមន៍ធំបំផុត និងតូចបំផុតក្នុងចតុកោណកែង។

ដំណោះស្រាយ។ 1) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ សម្រាប់ការនេះ យើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែក៖ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

បានទទួលចំណុចសំខាន់ A. ចំណុចលទ្ធផលស្ថិតនៅខាងក្នុងតំបន់ដែលបានបញ្ជាក់។

ព្រំដែន​តំបន់​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ជា​បួន​ផ្នែក៖ និង។ ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកនីមួយៗ។

៤) ប្រៀបធៀប​លទ្ធផល​ដែល​ទទួល​បាន​ហើយ​រក​ឃើញ​ចំណុច​នោះ។ .

ជំពូកទី 6. គំរូជម្រើសអ្នកប្រើប្រាស់

យើងនឹងសន្មត់ថាមានទំនិញខុសៗគ្នា។ បន្ទាប់មកសំណុំទំនិញជាក់លាក់មួយនឹងត្រូវបានតាងដោយវ៉ិចទ័រ n-dimensional តើបរិមាណផលិតផល i-th នៅឯណា។ សំណុំនៃសំណុំទាំងអស់នៃទំនិញ X ត្រូវបានគេហៅថាលំហ។

ជម្រើសរបស់អ្នកប្រើប្រាស់ម្នាក់ៗត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយទំនាក់ទំនងចំណូលចិត្ត៖ វាត្រូវបានគេជឿថាអ្នកប្រើប្រាស់អាចនិយាយអំពីឈុតពីរណាដែលគួរឱ្យចង់បានជាង ឬគាត់មិនឃើញភាពខុសគ្នារវាងពួកគេ។ ទំនាក់ទំនងចំណូលចិត្តគឺអន្តរកាល៖ ប្រសិនបើសំណុំមួយគឺពេញចិត្តចំពោះសំណុំ ហើយសំណុំមួយគឺពេញចិត្តចំពោះសំណុំ នោះសំណុំគឺល្អជាងសម្រាប់សំណុំ។ យើងនឹងសន្មត់ថាអាកប្បកិរិយារបស់អ្នកប្រើប្រាស់ត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងពេញលេញដោយ axiom នៃអ្នកប្រើប្រាស់ម្នាក់ៗ៖ អ្នកប្រើប្រាស់ម្នាក់ៗធ្វើការសម្រេចចិត្តអំពីការប្រើប្រាស់ ការទិញជាដើម ដោយផ្អែកលើប្រព័ន្ធចំណូលចិត្តរបស់គាត់។

6.1 មុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់

នៅលើសំណុំអតិថិជនកំណត់ X មុខងារត្រូវបានកំណត់ តម្លៃដែលនៅលើសំណុំអ្នកប្រើប្រាស់គឺស្មើនឹងការប៉ាន់ប្រមាណរបស់អ្នកប្រើប្រាស់នៃបុគ្គលសម្រាប់សំណុំនេះ។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថាមុខងារប្រើប្រាស់របស់អតិថិជន ឬមុខងារចំណូលចិត្តរបស់អ្នកប្រើប្រាស់។ ទាំងនោះ។ អ្នកប្រើប្រាស់នីមួយៗមានមុខងារប្រើប្រាស់ផ្ទាល់ខ្លួន។ ប៉ុន្តែសំណុំទាំងមូលនៃអ្នកប្រើប្រាស់អាចត្រូវបានបែងចែកជាក្រុមអ្នកប្រើប្រាស់មួយចំនួន (តាមអាយុ ស្ថានភាពអចលនទ្រព្យ។

ដូច្នេះ មុខងារគឺជាការប៉ាន់ប្រមាណរបស់អ្នកប្រើប្រាស់ ឬកម្រិតនៃការពេញចិត្តនៃតម្រូវការរបស់បុគ្គលម្នាក់នៅពេលទិញឈុតដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើសំណុំមួយគឺពេញចិត្តចំពោះឈុតសម្រាប់បុគ្គលដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ

មុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់។

1.

ដេរីវេនៃផ្នែកដំបូងនៃមុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់ត្រូវបានគេហៅថាឧបករណ៍ប្រើប្រាស់រឹមនៃផលិតផល។ វាធ្វើតាមពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះដែលថាការកើនឡើងនៃការប្រើប្រាស់ផលិតផលមួយខណៈពេលដែលការប្រើប្រាស់ផលិតផលផ្សេងទៀតនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរនាំឱ្យមានការកើនឡើងនៃការវាយតម្លៃអ្នកប្រើប្រាស់។ វ៉ិចទ័រ គឺជាជម្រាលនៃមុខងារ វាបង្ហាញពីទិសដៅនៃការលូតលាស់ដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃមុខងារ។ សម្រាប់មុខងារមួយ ជម្រាលរបស់វាគឺជាវ៉ិចទ័រនៃការប្រើប្រាស់រឹមនៃផលិតផល។

2.

ទាំងនោះ។ ឧបករណ៍ប្រើប្រាស់តិចតួចនៃទំនិញណាមួយថយចុះជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃការប្រើប្រាស់។

3.

ទាំងនោះ។ ការប្រើប្រាស់រឹមនៃផលិតផលនីមួយៗកើនឡើងជាមួយនឹងបរិមាណនៃផលិតផលផ្សេងទៀត។

ប្រភេទមួយចំនួននៃមុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់។

1) Neoclassical: ។

2) បួនជ្រុង៖ ដែលជាកន្លែងដែលម៉ាទ្រីសគឺអវិជ្ជមានច្បាស់លាស់និង សម្រាប់។

៣) អនុគមន៍លោការីត៖ ។

6.2 បន្ទាត់នៃភាពព្រងើយកន្តើយ

នៅក្នុងបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត និងគំរូនៃជម្រើសអ្នកប្រើប្រាស់ ករណីជាក់លាក់មួយនៃសំណុំនៃទំនិញពីរត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ ពោលគឺឧ។ នៅពេលដែលមុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់អាស្រ័យលើអថេរពីរ។ បន្ទាត់នៃការព្រងើយកន្តើយគឺជាបន្ទាត់តភ្ជាប់សំណុំអ្នកប្រើប្រាស់ដែលមានកម្រិតដូចគ្នានៃការពេញចិត្តនៃតម្រូវការរបស់បុគ្គល។ នៅក្នុងខ្លឹមសារ បន្ទាត់នៃភាពព្រងើយកន្តើយ គឺជាបន្ទាត់នៃកម្រិតមុខងារ។ សមីការបន្ទាត់ព្រងើយកណ្តើយ៖ .

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃបន្ទាត់ព្រងើយកណ្តើយ។

1. បន្ទាត់នៃការព្រងើយកណ្តើយ, ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងកម្រិតផ្សេងគ្នានៃការពេញចិត្តនៃតម្រូវការ, មិនប៉ះឬប្រសព្វ។

2. បន្ទាត់នៃភាពព្រងើយកន្តើយថយចុះ។

3. បន្ទាត់នៃភាពព្រងើយកន្តើយគឺប៉ោងចុះក្រោម។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 2 បង្កប់ន័យសមភាពប្រហាក់ប្រហែលដ៏សំខាន់មួយ។

សមាមាត្រនេះបង្ហាញពីចំនួនដែលបុគ្គលគួរបង្កើន (បន្ថយ) ការប្រើប្រាស់ផលិតផលទីពីរ ខណៈពេលដែលកាត់បន្ថយ (បង្កើន) ការប្រើប្រាស់ផលិតផលទីមួយដោយឯកតាមួយដោយមិនផ្លាស់ប្តូរកម្រិតនៃការពេញចិត្តនៃតម្រូវការរបស់គាត់។ សមាមាត្រត្រូវបានគេហៅថាអត្រានៃការជំនួសផលិតផលទីមួយដោយទីពីរ ហើយតម្លៃត្រូវបានគេហៅថាអត្រារឹមនៃការជំនួសផលិតផលទីមួយដោយទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ 53. ប្រសិនបើអត្ថប្រយោជន៏រឹមនៃរបស់ល្អទីមួយគឺ 6 ហើយទីពីរ - 2 បន្ទាប់មកជាមួយនឹងការថយចុះនៃការប្រើប្រាស់របស់ល្អទីមួយដោយមួយឯកតា អ្នកត្រូវបង្កើនការប្រើប្រាស់របស់ល្អទីពីរដោយ 3 គ្រឿងជាមួយនឹង កម្រិតនៃការពេញចិត្តដូចគ្នា។

6.3 សំណុំថវិកា

អនុញ្ញាតឱ្យ - វ៉ិចទ័រនៃតម្លៃសម្រាប់សំណុំនៃផលិតផល n; ខ្ញុំ - ប្រាក់ចំណូលរបស់បុគ្គលម្នាក់ដែលគាត់សុខចិត្តចំណាយលើការទិញផលិតផលមួយឈុត។ សំណុំនៃសំណុំនៃទំនិញដែលមានតម្លៃមិនលើសពី I ក្នុងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាសំណុំថវិកា B ។ លើសពីនេះ សំណុំនៃទំនិញដែលមានតម្លៃ I ត្រូវបានគេហៅថាព្រំដែន G នៃសំណុំថវិកា B ។ សំណុំ B ត្រូវបានកំណត់ដោយព្រំដែន G និងការរឹតបន្តឹងធម្មជាតិ។

សំណុំថវិកាត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រព័ន្ធវិសមភាព៖

ចំពោះករណីនៃសំណុំទំនិញពីរ កញ្ចប់ថវិកា B (រូបភាពទី 1) គឺជាត្រីកោណមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ដែលចងភ្ជាប់ដោយអ័ក្សកូអរដោនេ និងបន្ទាត់ត្រង់។

៦.៤ ទ្រឹស្តីតម្រូវការអ្នកប្រើប្រាស់

តាមទ្រឹស្ដីនៃការប្រើប្រាស់ វាត្រូវបានសន្មត់ថាអ្នកប្រើប្រាស់តែងតែខិតខំបង្កើនការប្រើប្រាស់របស់គាត់ ហើយការដាក់កំហិតតែមួយគត់សម្រាប់គាត់គឺប្រាក់ចំណូលមានកំណត់ I ដែលគាត់អាចចំណាយលើការទិញទំនិញមួយឈុត។ ជាទូទៅ បញ្ហាជម្រើសអ្នកប្រើប្រាស់ (បញ្ហានៃអាកប្បកិរិយាអ្នកប្រើប្រាស់សមហេតុផលនៅក្នុងទីផ្សារ) ត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម៖ ស្វែងរកសំណុំអ្នកប្រើប្រាស់ ដែលបង្កើនមុខងារប្រើប្រាស់របស់វាសម្រាប់កម្រិតថវិកាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ គំរូគណិតវិទ្យានៃបញ្ហានេះ៖

នៅក្នុងករណីនៃសំណុំនៃផលិតផលពីរ:

តាមធរណីមាត្រដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានេះគឺជាចំណុចនៃទំនាក់ទំនងរវាងព្រំដែននៃសំណុំថវិកា G និងបន្ទាត់នៃការព្រងើយកណ្តើយ។

ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​បញ្ហា​នេះ​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​ទៅ​ជា​ការ​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​សមីការ៖

(1)

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាជម្រើសអ្នកប្រើប្រាស់។

ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាជម្រើសអ្នកប្រើប្រាស់ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចតម្រូវការ។ ចំណុចតំរូវការនេះអាស្រ័យទៅលើតម្លៃ និងចំណូល I. នោះគឺ។ ចំណុចតម្រូវការគឺជាមុខងារនៃតម្រូវការ។ នៅក្នុងវេន អនុគមន៍តម្រូវការគឺជាសំណុំនៃអនុគមន៍ n ដែលនីមួយៗអាស្រ័យលើអាគុយម៉ង់៖

មុខងារទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាមុខងារតម្រូវការនៃទំនិញដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 54. សម្រាប់សំណុំនៃទំនិញពីរនៅលើទីផ្សារ តម្លៃដែលគេស្គាល់សម្រាប់ពួកវា និងប្រាក់ចំណូល I ស្វែងរកមុខងារតម្រូវការ ប្រសិនបើមុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់មានទម្រង់ .

ដំណោះស្រាយ។ ចូរបែងចែកមុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់៖

.

ជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានក្នុង (1) និងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

ក្នុងករណីនេះការចំណាយសម្រាប់ផលិតផលនីមួយៗនឹងស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃប្រាក់ចំណូលរបស់អ្នកប្រើប្រាស់ ហើយបរិមាណនៃផលិតផលដែលបានទិញគឺស្មើនឹងចំនួនដែលបានចំណាយលើវា ដោយបែងចែកដោយតម្លៃនៃផលិតផល។

ឧទាហរណ៍ 55. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់សម្រាប់ល្អទីមួយ ទីពីរ។

តម្លៃនៃផលិតផលទីមួយតម្លៃទីពីរ។ ចំណូល។ តើ​អតិថិជន​គួរ​ទិញ​ប៉ុន្មាន​ដើម្បី​បង្កើន​ប្រយោជន៍​?

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារឧបករណ៍ប្រើប្រាស់ ជំនួសវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធ (1) ហើយដោះស្រាយវា៖

សំណុំនៃទំនិញនេះគឺល្អបំផុតសម្រាប់អ្នកប្រើប្រាស់ទាក់ទងនឹងការប្រើប្រាស់អតិបរមា។

ការធ្វើតេស្តគួរតែត្រូវបានអនុវត្តដោយអនុលោមតាមជម្រើសដែលបានជ្រើសរើសដោយខ្ទង់ចុងក្រោយនៃលេខសៀវភៅកំណត់ត្រានៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រាដាច់ដោយឡែកមួយ។ បញ្ហានីមួយៗគួរតែមានលក្ខខណ្ឌ ដំណោះស្រាយលម្អិត និងការសន្និដ្ឋាន។

1. ការណែនាំអំពីការគណនា

កិច្ចការ 1. ស្វែងរកដែននៃមុខងារ។

5.

បញ្ហា 2. ស្វែងរកដែនកំណត់នៃមុខងារ។

.

កិច្ចការ 3. ស្វែងរកចំណុចបំបែកនៃមុខងារ និងកំណត់ប្រភេទរបស់វា។

1. 2. 3.

ជំពូកទី 2. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍នៃអថេរមួយ។

កិច្ចការ 4. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះ។

1.a); ខ) គ) y =;

ឃ) y = x 6 + + + 5; e) y = x tg x + ln sin x + e 3x;

f) y = 2 x − arcsin x ។

2.a) ; ខ) y =; គ) y =; d) y = x 2 − + 3; e) y = e cos; f) y = ។

3.a) y = lnx; ខ) y =; គ) y = ln;

4. ក) y = ; b) y = (e 5 x − 1) 6; គ) y =; ឃ) y =; e) y = x 8++ + 5; f) y = 3 x − arcsin x ។

5.a) y = 2x 3 − + e x; ខ) y =; គ) y =;

ឃ) y =; e) y = 2 cos; f) y = ។

6.a) y = lnx; ខ) y =; គ) y = ln;

ឃ) y =; e) y = x 7 + + 1; f) y = 2 ។

៧.ក) ; ខ) y =; គ) y =; d) y = x 2 + xsinx + ; e) y = e cos; f) y = ។

8. ក) y = ; b) y = (3 x − 4) 6; គ) y = sintg;

d) y = 3x 4 − − 9+ 9; e) y =;

f) y = x 2 + arcsin x − x ។

9.a); ខ) ; គ) y =; d) y = 5 sin 3 x; e) y = x 3 − − 6+ 3; f) y = 4x 4 + ln ។

10.a) ខ) y =; គ) y = (3 x − 4) 6; ឃ) y =; e) y = x 2 − x; f) y = e sin 3 x + 2 ។

កិច្ចការ 5. ស៊ើបអង្កេតមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។

1. ក) ខ) គ) ។

2.a) ខ) v) ។

3.a) ខ) v) ។

៤.ខ) v)

5.a) ខ) v) ។

6.a) ខ) v) ។

7. ក) ខ) គ) ។

8. ក) ខ) គ) ។

9.a) ខ) គ) ។

10. ក) ខ) v) ។

កិច្ចការ 6. ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

ជំពូកទី 3. ការគណនាអាំងតេក្រាល

បញ្ហា 7. ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

1.a) ខ);

2.a) ; ខ) គ) ឃ) ។

4. ឆ)

5.a) ; ខ); v); ឆ).

៦.ក) ; ខ); v); ឆ)

៧.ក) ; ខ) ; v); ឆ)

៨.ក) ; ខ); v) ; ឆ)។

9.a) ; ខ) គ); ឆ).

10.a) ខ) v); ឆ)។

បញ្ហា 8. គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

បញ្ហា 9. ស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្ហាញថាវាខុសគ្នា។

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

បញ្ហា 10. ស្វែងរកតំបន់នៃតំបន់ដែលចងដោយខ្សែកោង

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

ជំពូកទី 4. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន។

កិច្ចការ 11. ស្វែងរកដែននៃអនុគមន៍ (បង្ហាញក្នុងគំនូរ)។

បញ្ហា 12. ស៊ើបអង្កេតការបន្តនៃមុខងារសម្រាប់

បញ្ហា 13. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់ដោយប្រយោល។

បញ្ហា 14. គណនាប្រមាណ

1.a); b) ; v)

2.a) ; ខ); v) .

3.a) ; ខ) ; v) ។

៤.ក) ; ខ) ; v) ។

5. ក); ខ) ; v) ។

6. ក); ខ); v) ។

7. ក); ខ) ; v) ។

8.a); ខ) ; v)

9.a) ; ខ); v) .

10. ក) ខ) ; v)

បញ្ហា 15. ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ extrema ។

7. .

8. .

9. .

10. .

បញ្ហា 16. ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅក្នុងតំបន់បិទជិតដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

1. នៅក្នុងចតុកោណ

2.

3. នៅក្នុងចតុកោណ

4. នៅក្នុងតំបន់ដែលជាប់នឹងប៉ារ៉ាបូឡា

និង abscissa ។

5. ការ៉េ

6. ក្នុង​ត្រីកោណ​ដែល​ចង​ដោយ​អ័ក្ស​កូអរដោណេ និង​បន្ទាត់​ត្រង់

7. នៅក្នុងត្រីកោណដែលចងដោយអ័ក្សកូអរដោនេ និងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

8. នៅ​ក្នុង​ត្រីកោណ​ដែល​ចង​ដោយ​អ័ក្ស​កូអរដោណេ និង​បន្ទាត់​ត្រង់

9. ក្នុងតំបន់ដែលជាប់នឹងប៉ារ៉ាបូឡា

និង abscissa ។

10. ក្នុងតំបន់ដែលជាប់នឹងប៉ារ៉ាបូឡា

និង abscissa ។

សំខាន់

1. M.S. Crassus, B.P. Chuprynov ។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា និងការអនុវត្តន៍របស់វាក្នុងការអប់រំសេដ្ឋកិច្ច៖ សៀវភៅសិក្សា។ - ទី 4 ed ។ , Isp ។ - អិមៈ ដេឡូ ឆ្នាំ ២០០៣។

2. M.S. Crassus, B.P. Chuprynov ។ គណិតវិទ្យាសម្រាប់ឯកទេសសេដ្ឋកិច្ច៖ សៀវភៅសិក្សា។ - ទី 4 ed ។ , Isp ។ - អិមៈ ដេឡូ ឆ្នាំ ២០០៣។

3. M.S. Crassus, B.P. Chuprynov ។ គណិតវិទ្យាសម្រាប់ថ្នាក់បរិញ្ញាបត្រផ្នែកសេដ្ឋកិច្ច។ សៀវភៅសិក្សា។ - ទី 4 ed ។ , Isp ។ - អិមៈ ដេឡូ ឆ្នាំ ២០០៥។

4. គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់សម្រាប់អ្នកសេដ្ឋកិច្ច។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សាកលវិទ្យាល័យ / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. ហ្វ្រីដមែន; អេដ។ សាស្រ្តាចារ្យ N.Sh. Kremer, - បោះពុម្ពលើកទី 2, កែប្រែ។ និងបន្ថែម។ - M: UNITY, 2003 ។

5. Kremer N.Sh, Putko BA, Trishin IM, Fridman MN គណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់សម្រាប់ឯកទេសសេដ្ឋកិច្ច។ សៀវភៅសិក្សា និងសិក្ខាសាលា (ផ្នែក I និង II) / Ed ។ សាស្រ្តាចារ្យ N.Sh. Kremer, - បោះពុម្ពលើកទី 2, កែប្រែ។ និងបន្ថែម។ - M: ឧត្តមសិក្សាឆ្នាំ 2007 ។ - 893 ទំ។ - (មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃវិទ្យាសាស្ត្រ)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. គណិតវិទ្យាខ្ពស់ក្នុងលំហាត់ និងបញ្ហា។ M. វិទ្យាល័យ។ ឆ្នាំ 1999 ។

បន្ថែម

1. I.I. បាវរិន, V.L. នាវិក។ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។ "មជ្ឈមណ្ឌលបោះពុម្ពមនុស្សធម៌ Vlados", ឆ្នាំ 2002 ។

2. I.A. Zaitsev ។ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។ "វិទ្យាល័យ" ឆ្នាំ 1998 ។

3. A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. សាន់ដ្រា។ គណិតវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច / ជាពីរផ្នែក / ។ M. ហិរញ្ញវត្ថុ និងស្ថិតិ។ ឆ្នាំ 1999 ។

សម្រាប់សិស្ស ពេទ្យកុមារ ពេទ្យធ្មេញ

និងមហាវិទ្យាល័យវេជ្ជសាស្ត្របង្ការ

ទៅការងារមន្ទីរពិសោធន៍

"គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា"

1. ការបញ្ជាក់បែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិធីសាស្រ្តនៃប្រធានបទ៖

គំនិតដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុគឺចាំបាច់នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា (ការស្វែងរកល្បឿន ការបង្កើនល្បឿន សម្ពាធ។ល។)។ សារៈសំខាន់នៃគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ជាពិសេសត្រូវបានកំណត់ដោយការពិតដែលថាដេរីវេនៃអនុគមន៍កំណត់អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារនេះនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាផ្លាស់ប្តូរ។

ការប្រើប្រាស់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការគណនាប្រហាក់ប្រហែលក៏ដូចជាការប៉ាន់ប្រមាណកំហុស។

វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ និងកម្មវិធីរបស់ពួកគេបង្កើតបានជាបញ្ហាចម្បងនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ តម្រូវការសម្រាប់គំនិតនៃដេរីវេកើតឡើងទាក់ទងនឹងការបង្កើតបញ្ហានៃការគណនាល្បឿននៃចលនា និងការស្វែងរកមុំនៃតង់សង់ទៅខ្សែកោង។ បញ្ហាបញ្ច្រាសក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ៖ កំណត់ចម្ងាយធ្វើដំណើរដោយល្បឿន ហើយស្វែងរកមុខងារដែលត្រូវគ្នាដោយតង់សង់នៃជម្រាលតង់សង់។ បញ្ហាបញ្ច្រាសនេះនាំឱ្យគំនិតនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

គោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួន ជាពិសេសនៅក្នុងបញ្ហានៃការគណនាតំបន់នៃតួលេខយន្តហោះ ការគណនាការងារដែលធ្វើដោយកម្លាំងអថេរ និងការស្វែងរកតម្លៃមធ្យមនៃមុខងារ។

នៅក្នុងការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យានៃដំណើរការរូបវិទ្យា គីមី ជីវសាស្រ្ត និងបាតុភូតផ្សេងៗ សមីការត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដែលមិនត្រឹមតែមានបរិមាណដែលកំពុងសិក្សាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានដេរីវេនៃលំដាប់ផ្សេងៗនៃបរិមាណទាំងនេះផងដែរ។ ជាឧទាហរណ៍ យោងទៅតាមកំណែសាមញ្ញបំផុតនៃច្បាប់នៃគុណនៃបាក់តេរី អត្រានៃការបន្តពូជគឺសមាមាត្រទៅនឹងចំនួនបាក់តេរីនៅពេលកំណត់។ ប្រសិនបើបរិមាណនេះត្រូវបានតាងដោយ N (t) បន្ទាប់មកយោងទៅតាមអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ អត្រានៃការបន្តពូជនៃបាក់តេរីគឺជាដេរីវេនៃ N (t) ហើយផ្អែកលើច្បាប់ខាងលើ យើងអាចសរសេរ សមាមាត្រ N "(t) = k ∙ N ដែល k > 0 - មេគុណនៃសមាមាត្រ សមីការលទ្ធផលមិនមែនជាពិជគណិតទេ ព្រោះវាមិនត្រឹមតែមានមុខងារមិនស្គាល់ N (t) ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានដេរីវេលំដាប់ទីមួយរបស់វាផងដែរ។

២.ទ្រឹស្តីសង្ខេប៖

1. បញ្ហាដែលនាំទៅដល់គោលគំនិតនៃដេរីវេ

1. បញ្ហានៃការស្វែងរកល្បឿន v នៃចំណុចសម្ភារៈ... អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចសម្ភារៈមួយចំនួនអនុវត្តចលនា rectilinear ។ ក្នុងពេលមួយស្របក់ t 1 ចំណុចគឺស្ថិតនៅទីតាំង ម 1. ក្នុងពេលមួយស្របក់ t 2 មានផ្ទៃពោះ ម 2 . ចូរយើងសម្គាល់ចន្លោះពេល ម 1 , ម 2 នៅទូទាំង ΔS; t 2 - ត 1 = Δt... តម្លៃត្រូវបានគេហៅថាល្បឿនមធ្យមនៃចលនា។ ដើម្បីស្វែងរកល្បឿនភ្លាមៗនៃចំណុចនៅទីតាំងមួយ។ ម 1 ចាំបាច់ Δtទំនោរទៅសូន្យ។ គណិតវិទ្យា នេះមានន័យថា

, (1)

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកល្បឿនភ្លាមៗនៃចំណុចសម្ភារៈ ចាំបាច់ត្រូវគណនាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការបង្កើនមុខងារ។ ΔSដល់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δt បានផ្តល់ថា Δt → 0 ។

2. បញ្ហានៃការស្វែងរកមុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។.

រូប ១

ពិចារណាក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួន y = f (x) ។តើអ្វីទៅជាមុំទំនោរ
តង់សង់នៅចំណុច ម 1 ? នៅចំណុច ម 1 គូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។ ជ្រើសរើសចំណុចបំពាននៅលើក្រាហ្វ ម 2 ហើយគូរឃ្លា។ នាងត្រូវបានផ្អៀងទៅអ័ក្ស អូនៅមុំមួយ។ α 1 ... ពិចារណា ΔM 1 ម 2 ក៖

, (2)

ប្រសិនបើចំណុច ម 1 ជួសជុល, និងចំណុច ម 2 ផ្លាស់ទីទៅជិត ម 1 បន្ទាប់មក សិត ម 1 ម 2 នឹងទៅតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច ម 1 ហើយអ្នកអាចសរសេរ៖

, (3)

ដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងមុខងារទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ ប្រសិនបើការបង្កើនអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ។

ដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើង Δy នៃអនុគមន៍ y = f (x) ទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δx នៅចំណុច x 0 ដូចដែល Δx ទំនោរទៅសូន្យ ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

កំណត់សម្គាល់ដេរីវេ៖ y ", f" (x), ... តាម​និយមន័យ

, (4)

ដែល Δx = x 2 -x 1 គឺជាការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ (ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃជិតស្និទ្ធពីរជាបន្តបន្ទាប់នៃអាគុយម៉ង់) Δy = y 2 -y 1 គឺជាការបង្កើនមុខងារ (ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃ នៃមុខងារដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃទាំងនេះនៃអាគុយម៉ង់) ។

ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ភាពខុសគ្នា... ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍បឋមត្រូវបានអនុវត្តតាមរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច (សូមមើលតារាង) ក៏ដូចជាការប្រើប្រាស់ ច្បាប់:

ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិត អនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ៖

(យូ+ υ )"= យូ" + υ "

2. ដេរីវេនៃផលនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃអនុគមន៍ទីពីរដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីមួយនិងអនុគមន៍ទីមួយដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីពីរ:

(u ∙υ ) "= យូ"υ + យូυ "

3. ដេរីវេនៃកូតា នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងប្រភាគ ភាគយកដែលជាភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃភាគបែងដោយដេរីវេនៃភាគបែង និងភាគយកដោយដេរីវេនៃភាគបែង ហើយភាគបែងគឺជាការ៉េនៃភាគបែង៖

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ. ការប្រៀបធៀបនៃ (4) និង (1) មានន័យថាល្បឿនភ្លាមៗនៃចលនា rectilinear នៃចំណុចសម្ភារៈគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃការពឹងផ្អែកនៃកូអរដោនេរបស់វាទាន់ពេលវេលា។

អត្ថន័យទូទៅនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ គឺវាកំណត់លក្ខណៈ អត្រា (ល្បឿន) នៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ល្បឿននៃដំណើរការរាងកាយ គីមី និងផ្សេងទៀត ឧទាហរណ៍ អត្រានៃការត្រជាក់រាងកាយ អត្រានៃប្រតិកម្មគីមី អត្រានៃការបន្តពូជរបស់បាក់តេរី ជាដើម ក៏ត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើដេរីវេ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ទំហំនៃតង់សង់នៃមុំទំនោរនៃតង់សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថានៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជម្រាលនៃតង់សង់។

ចំណោទនៃតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលអាចបែងចែកបាននៅចំណុចមួយចំនួនគឺស្មើលេខទៅនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថា អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។

ខ្លឹមសារនៃអត្ថបទ

ការវិភាគគណិតវិទ្យា,សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលផ្តល់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការសិក្សាបរិមាណនៃដំណើរការផ្សេងៗនៃការផ្លាស់ប្តូរ; ទាក់ទងនឹងការសិក្សាអំពីអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរ (ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល) និងការកំណត់ប្រវែងនៃខ្សែកោង តំបន់ និងបរិមាណនៃតួលេខដែលកំណត់ដោយវណ្ឌវង្ក និងផ្ទៃកោង (ការគណនាអាំងតេក្រាល)។ ចំពោះបញ្ហានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា វាជាលក្ខណៈដែលដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតនៃដែនកំណត់មួយ។

ការវិភាគគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្តួចផ្តើមឡើងនៅឆ្នាំ 1665 ដោយ I. Newton និង (ប្រហែល 1675) ដោយឯករាជ្យដោយ G. Leibniz ទោះបីជាការងាររៀបចំសំខាន់ៗត្រូវបានអនុវត្តដោយ I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Ferma (1601–1665), J. Wallis (1616–1703) និង I. Barrow (1630–1677)។

ដើម្បីធ្វើឱ្យបទបង្ហាញកាន់តែរស់រវើក យើងនឹងងាកទៅរកភាសានៃក្រាហ្វ។ ដូច្នេះ មិត្តអ្នកអានអាចយល់បានថា វាមានសារៈប្រយោជន៍ក្នុងការមើលអត្ថបទ វិភាគធរណីមាត្រ មុននឹងអានអត្ថបទនេះ។

ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល

តង់សង់។

នៅក្នុងរូបភព។ 1 បង្ហាញពីបំណែកនៃខ្សែកោង y = 2x – x 2, បញ្ចប់រវាង x= –1 និង x= 3. ផ្នែកតូចៗនៃខ្សែកោងនេះមើលទៅត្រង់។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតប្រសិនបើ រគឺជាចំណុចបំពាននៃខ្សែកោងនេះ បន្ទាប់មកមានបន្ទាត់ត្រង់ខ្លះឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ និងជាចំនុចប្រហាក់ប្រហែលនៃខ្សែកោងនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយនៃចំណុច។ រហើយសង្កាត់កាន់តែតូច ការប៉ាន់ស្មានកាន់តែល្អ។ បន្ទាត់ត្រង់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាតង់សង់ទៅខ្សែកោងនៅចំណុច រ... ភារកិច្ចចម្បងនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺបង្កើតវិធីសាស្ត្រទូទៅដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកទិសដៅនៃតង់សង់នៅចំណុចណាមួយនៅលើខ្សែកោងដែលតង់ហ្សង់មាន។ វាមិនពិបាកក្នុងការស្រមៃមើលខ្សែកោងជាមួយនឹងការបំបែកមុតស្រួចទេ (រូបភាពទី 2) ។ ប្រសិនបើ រ- កំពូលនៃការសម្រាកបែបនេះ បន្ទាប់មកអ្នកអាចបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ប្រហាក់ប្រហែល ភី.ធី 1 - ទៅខាងស្តាំនៃចំណុច រនិងបន្ទាត់ប្រហាក់ប្រហែលផ្សេងទៀត។ RT 2 - ទៅខាងឆ្វេងនៃចំណុច រ... ប៉ុន្តែ​មិន​មាន​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​មួយ​ទេ។ រដែល​ខិត​ជិត​ខ្សែ​កោង​នៅ​ជិត​ចំណុច ទំទាំងទៅស្តាំ និងទៅឆ្វេង ដូច្នេះតង់ហ្សង់នៅចំណុច ទំមិន​មាន។

នៅក្នុងរូបភព។ 1 តង់សង់ ពីគូរតាមរយៈប្រភពដើម អូ= (0,0) ។ ជម្រាលនៃបន្ទាត់នេះគឺ 2, i.e. នៅពេលដែល abscissa ផ្លាស់ប្តូរដោយ 1, ordinate កើនឡើងដោយ 2. ប្រសិនបើ xនិង y- កូអរដោនេនៃចំណុចបំពានលើ ពីបន្ទាប់មកផ្លាស់ទីឆ្ងាយពី អូនៅចម្ងាយ Xឯកតាទៅខាងស្តាំយើងផ្លាស់ទីឆ្ងាយពី អូនៅថ្ងៃទី 2 yឯកតាឡើង។ អាស្រ័យហេតុនេះ y/x= 2, ឬ y = 2x... នេះគឺជាសមីការតង់សង់ ពីទៅខ្សែកោង y = 2x – x 2 នៅចំណុច អូ.

ឥឡូវនេះវាចាំបាច់ដើម្បីពន្យល់ពីមូលហេតុពីសំណុំនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច អូវាគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវបានជ្រើសរើស ពី... តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាល 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ផ្សេងទៀត? មានចម្លើយសាមញ្ញមួយ ហើយយើងពិបាកនឹងទប់ទល់នឹងការល្បួងឱ្យប្រើភាពស្រដៀងគ្នានៃតង់សង់ទៅរង្វង់៖ តង់សង់ ពីមានចំណុចតែមួយដូចគ្នាជាមួយខ្សែកោង ចំណែកបន្ទាត់ត្រង់ដែលមិនបញ្ឈរផ្សេងទៀតឆ្លងកាត់ចំណុច អូ, កាត់ខ្សែកោងពីរដង។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដូចខាងក្រោម។

ចាប់តាំងពីការបញ្ចេញមតិ y = 2x – x 2 អាចទទួលបានដោយការដក X 2 នៃ y = 2x(សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ ពី) បន្ទាប់មកតម្លៃ yមានចំណេះដឹងតិចសម្រាប់ក្រាហ្វ yសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់នៅគ្រប់ចំណុច លើកលែងតែចំណុចមួយ។ x= 0. ដូច្នេះ ក្រាហ្វគឺនៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែចំណុច អូដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រោម ពីហើយបន្ទាត់នេះ និងក្រាហ្វមានចំណុចដូចគ្នាតែមួយ។ លើសពីនេះទៅទៀតប្រសិនបើ y = mx- សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ផ្សេងទៀតឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ អូបន្ទាប់មកប្រាកដជាមានចំនុចប្រសព្វពីរ។ ពិតជា mx = 2x – x 2 មិនត្រឹមតែសម្រាប់ x= 0 ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់ x = 2 – ម... ហើយមានតែនៅពេលដែល ម= 2 ចំនុចប្រសព្វទាំងពីរស្របគ្នា។ នៅក្នុងរូបភព។ 3 បង្ហាញករណីនៅពេលដែល មតិចជាង 2 ដូច្នេះនៅខាងស្តាំ អូមានចំណុចប្រសព្វទីពីរ។

អ្វី ពី- បន្ទាត់ត្រង់មិនបញ្ឈរតែមួយគត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ អូហើយមានចំណុចតែមួយដូចគ្នាជាមួយក្រាហ្វ មិនមែនជាទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់បំផុតរបស់វានោះទេ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើយើងងាកទៅរកក្រាហ្វផ្សេងទៀត វានឹងកាន់តែច្បាស់ថា ទ្រព្យសម្បត្តិនៃតង់សង់ដែលយើងបានកត់សម្គាល់នៅក្នុងករណីទូទៅមិនត្រូវបានបំពេញ។ ឧទាហរណ៍ពីរូបភព។ 4 វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅជិតចំណុច (1,1) ក្រាហ្វនៃខ្សែកោង y = x 3 ត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណយ៉ាងល្អដោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ RTដែលទោះជាយ៉ាងណា មានចំណុចរួមច្រើនជាងមួយជាមួយវា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយយើងចង់ពិចារណា RTតង់សង់ទៅក្រាហ្វនេះនៅចំណុច រ... ដូច្នេះហើយ ចាំបាច់ត្រូវរកវិធីផ្សេងទៀតដើម្បីរំលេចតង់សង់ជាងវិធីដែលបម្រើយើងបានយ៉ាងល្អក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូង។

ឧបមាថាតាមរយៈចំណុច អូនិងចំណុចបំពាន សំណួរ = (ម៉ោង,k) នៅលើក្រាហ្វនៃខ្សែកោង y = 2x – x 2 (រូបទី 5) បន្ទាត់ត្រង់មួយ (ហៅថា សេកុង) ត្រូវបានគូរ។ ការជំនួសទៅក្នុងសមីការនៃខ្សែកោងតម្លៃ x = ម៉ោងនិង y = k, យើងទទួលបាននោះ។ k = 2ម៉ោង – ម៉ោង 2, ដូច្នេះ, ជម្រាលនៃ secant គឺ

ជាមួយតូចណាស់។ ម៉ោងអត្ថន័យ មជិតដល់ 2. លើសពីនេះទៅទៀត ការជ្រើសរើស ម៉ោងជិតដល់ 0 យើងអាចធ្វើបាន មតាមអំពើចិត្តនៅជិត 2. យើងអាចនិយាយបានថា ម"ទំនោរដល់ដែនកំណត់" ស្មើនឹង 2 នៅពេល ម៉ោងទំនោរទៅសូន្យ ឬកម្រិតណាក៏ដោយ។ មស្មើនឹង 2 សម្រាប់ ម៉ោងទំនោរទៅសូន្យ។ នេះត្រូវបានសរសេរជានិមិត្តសញ្ញាដូចខាងក្រោមៈ

បន្ទាប់មកតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៅចំណុច អូកំណត់ជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ អូដោយមានជម្រាលស្មើនឹងដែនកំណត់នេះ។ និយមន័យនៃតង់សង់នេះ ជាទូទៅអាចអនុវត្តបាន។

ចូរបង្ហាញពីគុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយទៀត៖ ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃខ្សែកោង y = 2x – x 2 នៅចំណុចបំពាន ទំ = (x,y), មិនកំណត់ខ្លួនយើងទៅនឹងករណីសាមញ្ញបំផុតនៅពេលដែល ទំ = (0,0).

អនុញ្ញាតឱ្យ សំណួរ = (x + ម៉ោង, y + k) - ចំណុចទីពីរនៅលើគំនូសតាងដែលមានទីតាំងនៅចម្ងាយ ម៉ោងនៅខាងស្តាំ រ(រូប ៦)។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកជម្រាល k/ម៉ោងវិនាទី PQ... ចំណុច សំណួរគឺនៅចម្ងាយ

ខាងលើអ័ក្ស X.

ការពង្រីកតង្កៀបយើងរកឃើញ៖

ដកពីសមីការនេះ។ y = 2x – x 2, យើងរកឃើញចម្ងាយបញ្ឈរពីចំណុច រដល់ចំណុច សំណួរ:

ដូច្នេះជម្រាល មវិនាទី PQគឺស្មើនឹង

ឥឡូវនេះ ម៉ោងទំនោរទៅសូន្យ, មទំនោរទៅ 2 - 2 x; យើងនឹងយកតម្លៃចុងក្រោយជាជម្រាលនៃតង់សង់ ភី.ធី... (លទ្ធផលដូចគ្នានឹងត្រូវបានទទួលប្រសិនបើ ម៉ោងយកតម្លៃអវិជ្ជមានដែលត្រូវនឹងជម្រើសនៃចំណុច សំណួរនៅខាងឆ្វេង ទំ.) ចំណាំថាសម្រាប់ x= 0 លទ្ធផលគឺដូចគ្នានឹងលទ្ធផលមុន។

កន្សោម 2 - 2 xត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃ 2 x – x២. នៅសម័យបុរាណ និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេហៅថា "សមាមាត្រឌីផេរ៉ង់ស្យែល" និង "មេគុណឌីផេរ៉ង់ស្យែល" ។ បើកន្សោម ២ x – x 2 កំណត់ f(x), i.e.

បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុអាចត្រូវបានសម្គាល់

ដើម្បីស្វែងយល់ពីជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅចំណុចខ្លះ ត្រូវតែជំនួស fў ( x) តម្លៃដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចនេះ។ X... ដូច្នេះជម្រាល fў (0) = 2 សម្រាប់ X = 0, fў (0) = 0 សម្រាប់ X= 1 និង fў (2) = –2 សម្រាប់ X = 2.

ដេរីវេក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរ។ នៅў , ឌី/dx, ឃ x yនិង ឌូ.

ការពិតដែលថាខ្សែកោង y = 2x – x 2 នៅជិតចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺមិនអាចបែងចែកបានពីតង់សង់របស់វានៅចំណុចនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយអំពីជម្រាលនៃតង់សង់ជា "ជម្រាលនៃខ្សែកោង" នៅចំណុចនៃតង់សង់។ ដូច្នេះយើងអាចអះអាងបានថា ចំណោទនៃខ្សែកោងដែលកំពុងពិចារណាមានជម្រាល 2 នៅចំណុច (0,0) ។ x= 0 អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរ yទាក់ទង xគឺ 2. នៅចំណុច (2,0) ជម្រាលនៃតង់សង់ (និងខ្សែកោង) គឺ –2 ។ (សញ្ញាដកមានន័យថាដូច xអថេរ yថយចុះ។) នៅចំណុច (1,1) តង់សង់គឺផ្ដេក។ យើងនិយាយថាខ្សែកោង y = 2x – x 2 មានតម្លៃថេរនៅចំណុចនេះ។

ខ្ពស់និងទាប។

យើងទើបតែបង្ហាញថាខ្សែកោង f(x) = 2x – x 2 គឺនៅស្ថានីនៅចំណុច (1,1) ។ ដោយសារតែ fў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x) វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ xតិចជាង 1, fў ( x) គឺវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះ yកើនឡើង; នៅ x, ធំ 1, fў ( x) គឺអវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះ yថយចុះ។ ដូច្នេះនៅតំបន់ជុំវិញចំណុច (1,1) ដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ៦ សំបុត្រ ម, អត្ថន័យ នៅលូតលាស់ដល់ចំណុចមួយ។ ម, ស្ថានីនៅចំណុច មនិងថយចុះបន្ទាប់ពីចំណុច ម... ចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថា "អតិបរមា" ពីព្រោះតម្លៃ នៅនៅចំណុចនេះលើសពីតម្លៃណាមួយរបស់វានៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយគ្រប់គ្រាន់របស់វា។ ដូចគ្នានេះដែរ "អប្បបរមា" ត្រូវបានកំណត់ជាចំណុចមួយនៅក្នុងតំបន់ជុំវិញដែលតម្លៃទាំងអស់ yលេខលើស នៅនៅចំណុចនេះ។ វាក៏អាចកើតឡើងផងដែរដែលថាទោះបីជាដេរីវេនៃ f(x) នៅចំណុចខ្លះហើយបាត់ទៅវិញ សញ្ញារបស់វាមិនផ្លាស់ប្តូរនៅតំបន់ជុំវិញចំណុចនេះទេ។ ចំណុចបែបនេះ ដែលមិនមែនជាអតិបរមា ឬអប្បរមា ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបញ្ឆេះ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចស្ថានីនៃខ្សែកោង

ដេរីវេនៃមុខងារនេះគឺ

ហើយបាត់នៅ x = 0, X= 1 និង X= –1; ទាំងនោះ។ នៅចំណុច (0,0), (1, –2/15) និង (–1, 2/15) ។ ប្រសិនបើ Xតិចជាង -1 បន្តិចបន្ទាប់មក fў ( x) អវិជ្ជមាន; ប្រសិនបើ Xលើសពី -1 បន្តិច fў ( x) គឺវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះចំនុច (–1, 2/15) គឺជាអតិបរមា។ ដូចគ្នានេះដែរ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាចំណុច (1, –2/15) គឺជាអប្បបរមា។ ប៉ុន្តែដេរីវេ fў ( x) គឺអវិជ្ជមានទាំងមុន និងក្រោយចំនុច (0,0)។ ដូច្នេះ (0,0) គឺជាចំណុចបញ្ឆេះ។

ការសិក្សាដែលបានធ្វើឡើងនៃរូបរាងនៃខ្សែកោងក៏ដូចជាការពិតដែលថាខ្សែកោងកាត់អ័ក្ស Xនៅ f(x) = 0 (ឧ X= 0 ឬ) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកតំណាងឱ្យក្រាហ្វរបស់វាប្រហែលដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ៧.

ជាទូទៅ ប្រសិនបើយើងមិនរាប់បញ្ចូលករណីមិនធម្មតា (ខ្សែកោងដែលមានផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ ឬចំនួនពត់មិនកំណត់) មានជម្រើសបួនសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃខ្សែកោង និងតង់ហ្សង់នៅក្នុងបរិវេណនៃចំណុចតង់សង់ រ. (សង់​ទី​ម៉ែ​ត... អង្ករ។ 8 ដែលតង់សង់មានជម្រាលវិជ្ជមាន។)

1) នៅលើភាគីទាំងពីរនៃចំណុច រខ្សែកោងស្ថិតនៅពីលើតង់សង់ (រូបភាពទី 8, ក) ក្នុងករណីនេះពួកគេនិយាយថាខ្សែកោងនៅចំណុច រប៉ោងចុះក្រោម ឬប៉ោង។

2) នៅលើភាគីទាំងពីរនៃចំណុច រខ្សែកោងមានទីតាំងនៅខាងក្រោមតង់សង់ (រូបភាពទី 8, ខ) ក្នុង​ករណី​នេះ ខ្សែ​កោង​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ជា​ប៉ោង​ឡើង​លើ ឬ​ធម្មតា​ប៉ោង។

3) និង 4) ខ្សែកោងមានទីតាំងនៅខាងលើតង់សង់នៅផ្នែកម្ខាងនៃចំណុច រនិងខាងក្រោម - នៅលើផ្សេងទៀត។ ក្នុងករណី​នេះ រ- ចំណុចឆ្លង។

ការប្រៀបធៀបតម្លៃ fў ( x) ទាំងសងខាង រជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វានៅចំណុច រវាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ថាតើករណីណាមួយក្នុងចំណោមករណីទាំងបួននេះដែលត្រូវដោះស្រាយនៅក្នុងបញ្ហាជាក់លាក់មួយ។

កម្មវិធី។

ទាំងអស់ខាងលើរកឃើញកម្មវិធីសំខាន់ៗក្នុងវិស័យផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើរាងកាយត្រូវបានបោះបញ្ឈរឡើងលើក្នុងល្បឿនដំបូង 200 ហ្វីតក្នុងមួយវិនាទី នោះកម្ពស់ សដែលពួកគេនឹងមានទីតាំងនៅ tវិនាទីធៀបនឹងចំណុចចាប់ផ្តើមនឹងមាន

ការប្រព្រឹត្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ដែលយើងបានពិចារណា យើងរកឃើញ

តម្លៃនេះបាត់នៅ គ. ដេរីវេ fў ( x) គឺវិជ្ជមានរហូតដល់តម្លៃនៃ c និងអវិជ្ជមានបន្ទាប់ពីពេលនេះ។ អាស្រ័យហេតុនេះ សកើនឡើង ហើយបន្ទាប់មកក្លាយជាស្ថានី ហើយបន្ទាប់មកថយចុះ។ នេះគឺជាការពិពណ៌នាទូទៅនៃចលនារបស់រាងកាយដែលបោះឡើងលើ។ ពីវាយើងដឹងថានៅពេលដែលរាងកាយឈានដល់ចំណុចខ្ពស់បំផុតរបស់វា។ លើសពីនេះទៀតការជំនួស t= 25/4 អ៊ិន្ឈ៍ f(t) យើងទទួលបាន 625 ហ្វីត ដែលជាការលើកអតិបរមា។ ក្នុងកិច្ចការនេះ។ fў ( t) មានអត្ថន័យរាងកាយ។ ដេរីវេនេះបង្ហាញពីល្បឿនដែលរាងកាយកំពុងធ្វើចលនានៅពេលបច្ចុប្បន្ន t.

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ពិចារណា​អំពី​ប្រភេទ​កម្មវិធី​មួយ​ផ្សេង​ទៀត (រូបភាព 9)។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីធ្វើប្រអប់មួយដែលមានបាតការ៉េពីសន្លឹកក្រដាសកាតុងធ្វើកេសដែលមានផ្ទៃដី 75 សង់ទីម៉ែត្រ 2 ។ តើប្រអប់នេះត្រូវមានទំហំប៉ុនណា ទើបវាមានបរិមាណអតិបរមា? ប្រសិនបើ X- ផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃប្រអប់និង ម៉ោង- កម្ពស់របស់វាបន្ទាប់មកបរិមាណនៃប្រអប់គឺ វ = x 2 ម៉ោងហើយផ្ទៃដីគឺ 75 = x 2 + 4xh... ការបំប្លែងសមីការ យើងទទួលបាន៖

បានមកពី វប្រែថាស្មើគ្នា

ហើយបាត់នៅ X= 5. បន្ទាប់មក

និង វ= 125/2 ។ ក្រាហ្វមុខងារ វ = (75x – x 3) / 4 ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ 10 (តម្លៃអវិជ្ជមាន Xលុប​ចោល​ថា​គ្មាន​ន័យ​រូបវន្ត​ក្នុង​បញ្ហា​នេះ)។

និស្សន្ទវត្ថុ។

ភារកិច្ចសំខាន់នៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺការបង្កើតវិធីសាស្រ្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងងាយស្រួល។ ឧទាហរណ៍វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាវា។

(ជាការពិតណាស់ ដេរីវេនៃថេរគឺសូន្យ។

កន្លែងណា ន- ចំនួនគត់ ឬប្រភាគ។ ឧ.

(ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីរបៀបដែលនិទស្សន្តប្រភាគមានប្រយោជន៍។ )

នេះគឺជារូបមន្តសំខាន់ៗមួយចំនួន៖

វាក៏មានច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ 1) ប្រសិនបើមុខងារនីមួយៗនៃមុខងារទាំងពីរ g(x) និង f(x) មាននិស្សន្ទវត្ថុ បន្ទាប់មក ដេរីវេនៃផលបូករបស់វាស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ ហើយដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃនិស្សន្ទវត្ថុ i.e.

2) ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

3) ដេរីវេនៃសមាមាត្រនៃអនុគមន៍ទាំងពីរមានទម្រង់

4) ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលគុណនឹងថេរគឺស្មើនឹងថេរដែលគុណដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ i.e.

វាជារឿយៗកើតឡើងដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍មួយត្រូវគណនាជាដំណាក់កាល។ ឧទាហរណ៍ដើម្បីគណនាអំពើបាប x 2, ដំបូងយើងត្រូវស្វែងរក យូ = x 2 ហើយបន្ទាប់មកគណនាស៊ីនុសនៃចំនួន យូ... យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញបែបនេះដោយប្រើអ្វីដែលគេហៅថា "ក្បួនខ្សែសង្វាក់"៖

នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ f(យូ) = បាប យូ, fў ( យូ) = ខូស យូដូចនេះ

ទាំងនេះ និងច្បាប់ស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀតអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់សរសេរភ្លាមៗនូវដេរីវេនៃមុខងារជាច្រើន។

ការប៉ាន់ស្មានលីនេអ៊ែរ។

ការពិតដែលថាដោយដឹងពីនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចជំនួសក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅជិតចំណុចមួយចំនួននៃតង់សង់របស់វានៅចំណុចនេះ គឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ត្រង់គឺងាយស្រួលធ្វើការជាមួយ។

គំនិតនេះរកឃើញកម្មវិធីដោយផ្ទាល់ក្នុងការគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃមុខងារ។ ជាឧទាហរណ៍ វាពិបាកក្នុងការគណនាតម្លៃនៅពេល x= 1.033 ។ ប៉ុន្តែអ្នកអាចទាញយកប្រយោជន៍ពីការពិតដែលថាលេខ 1.033 គឺនៅជិតលេខ 1 ហើយនោះ។ បិទ x= 1 យើង​អាច​ជំនួស​ក្រាហ្វ​នៃ​ខ្សែកោង​តង់សង់​ដោយ​មិន​មាន​កំហុស​ធ្ងន់ធ្ងរ​ណាមួយ​ឡើយ។ ជម្រាលនៃតង់សង់គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃដេរីវេ ( x 1/3) ў = (1/3) x–2/3 នៅ x = 1 ឧ ១/៣. ដោយសារចំនុច (1,1) ស្ថិតនៅលើខ្សែកោង ហើយចំណោទនៃតង់សង់ទៅខ្សែកោងនៅចំណុចនេះគឺ 1/3 សមីការនៃតង់សង់មានទម្រង់

នៅលើបន្ទាត់នេះនៅ X = 1,033

តម្លៃលទ្ធផល yគួរតែនៅជិតតម្លៃពិត y; ហើយជាការពិត វាមានត្រឹមតែ 0.00012 ច្រើនជាងការពិត។ នៅក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា វិធីសាស្រ្តត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីកែលម្អភាពត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទនៃប្រហាក់ប្រហែលលីនេអ៊ែរនេះ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះធានានូវភាពជឿជាក់នៃការគណនាប្រហាក់ប្រហែលរបស់យើង។

នីតិវិធី​ដែល​ទើប​តែ​បាន​ពិពណ៌នា​បង្ហាញ​ពី​ការ​កត់​សម្គាល់​ដ៏​មាន​ប្រយោជន៍។ អនុញ្ញាតឱ្យ ទំ- ចំណុចដែលត្រូវគ្នានៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ fអថេរ Xនិងអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) គឺអាចខុសគ្នា។ ជំនួសក្រាហ្វនៃខ្សែកោងនៅជិតចំណុច រតង់សង់ទៅវា គូរនៅចំណុចនេះ។ ប្រសិនបើ Xផ្លាស់ប្តូរតាមចំនួន ម៉ោងបន្ទាប់មក លំដាប់នៃតង់សង់នឹងផ្លាស់ប្តូរដោយតម្លៃ ម៉ោងហ f ў ( x) ប្រសិនបើ ម៉ោងគឺតូចណាស់ បន្ទាប់មកតម្លៃចុងក្រោយគឺជាការប្រហាក់ប្រហែលដ៏ល្អចំពោះការផ្លាស់ប្តូរពិតនៅក្នុងលំដាប់ yក្រាហ្វិក។ ប្រសិនបើជំនួសឱ្យ ម៉ោងយើងនឹងសរសេរនិមិត្តសញ្ញា dx(នេះ​មិន​មែន​ជា​ផលិតផល​ទេ!) ប៉ុន្តែ​ជា​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ក្នុង​ការ​ចាត់តាំង yសម្គាល់ ឌីបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន ឌី = f ў ( x)dx, ឬ ឌី/dx = f ў ( x) (សង់​ទី​ម៉ែ​ត... អង្ករ។ ដប់មួយ) ។ ដូច្នេះជំនួសឱ្យ ឌីឬ f ў ( x) និមិត្តសញ្ញានេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសម្គាល់ដេរីវេ ឌី/dx... ភាពងាយស្រួលនៃសញ្ញាណនេះពឹងផ្អែកជាចម្បងទៅលើរូបរាងច្បាស់លាស់នៃច្បាប់ខ្សែសង្វាក់ (ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ); នៅក្នុងសញ្ញាណថ្មី រូបមន្តនេះមើលទៅដូចនេះ៖

កន្លែងដែលវាត្រូវបានបញ្ជាក់ នៅអាស្រ័យ​លើ យូ, ក យូនៅក្នុងវេនអាស្រ័យលើ X.

រង្វាស់ ឌីហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែល នៅ; តាមពិតវាអាស្រ័យលើ ពីរអថេរ​គឺ​: ពី​ Xនិងការកើនឡើង dx... នៅពេលដែលការកើនឡើង dxតូច​ណាស់​ទំហំ​ធំ​ ឌីគឺនៅជិតនឹងការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។ y... ប៉ុន្តែសន្មតថាការកើនឡើង dxតិចតួច មិនចាំបាច់ទេ។

មុខងារដេរីវេ y = f(x) យើងសម្គាល់ f ў ( x) ឬ ឌី/dx... រឿយៗអាចយកនិស្សន្ទវត្ថុនៃដេរីវេ។ លទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេទីពីរនៃ f (x) និង​តំណាង​ឱ្យ​ f ўў ( x) ឬ ឃ 2 y/dx២. ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ f(x) = x 3 – 3x 2 បន្ទាប់មក f ў ( x) = 3x 2 – 6xនិង f ўў ( x) = 6x- 6. ការរចនាស្រដៀងគ្នាត្រូវបានប្រើសម្រាប់ដេរីវេលំដាប់ខ្ពស់ជាង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីជៀសវាងចំនួនសញ្ញាដាច់ ៗ ជាច្រើន (ស្មើនឹងលំដាប់នៃដេរីវេ) ដេរីវេទីបួន (ឧទាហរណ៍) អាចត្រូវបានសរសេរជា f (4) (x) និងដេរីវេ ន- លំដាប់ដូច f (ន) (x).

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាខ្សែកោងនៅចំណុចមួយគឺប៉ោងចុះក្រោម ប្រសិនបើដេរីវេទី 2 គឺវិជ្ជមាន ហើយប៉ោងឡើងលើ ប្រសិនបើដេរីវេទី 2 គឺអវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើអនុគមន៍មានដេរីវេទី 2 នោះការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណ yដែលត្រូវគ្នានឹងការកើនឡើង dxអថេរ Xអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ការប៉ាន់ប្រមាណនេះជាទូទៅល្អជាងអ្វីដែលផ្តល់ដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែល fў ( x)dx... វាត្រូវគ្នានឹងការជំនួសផ្នែកមួយនៃខ្សែកោងដោយប៉ារ៉ាបូឡាជាជាងបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រសិនបើមុខងារ f(x) មានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង

នៅសល់គឺ

កន្លែងណា x- ចំនួនមួយចំនួនរវាង xនិង x + dx... លទ្ធផលខាងលើត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Taylor ដែលនៅសល់។ ប្រសិនបើ f(x) មានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទាំងអស់ បន្ទាប់មកជាធម្មតា R ន® 0 សម្រាប់ ន ® Ґ .

ការគណនាអាំងតេក្រាល

ការ៉េ។

នៅពេលសិក្សាផ្នែកនៃតួយន្តហោះ curvilinear ទិដ្ឋភាពថ្មីនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្ហាញ។ សូម្បីតែជនជាតិក្រិចបុរាណបានព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដែលការប្តេជ្ញាចិត្តឧទាហរណ៍នៃតំបន់នៃរង្វង់គឺជាកិច្ចការដ៏លំបាកបំផុតមួយ។ Archimedes ទទួលបានភាពជោគជ័យដ៏អស្ចារ្យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះ ដែលបានគ្រប់គ្រងផងដែរដើម្បីស្វែងរកតំបន់នៃផ្នែក parabolic (រូបភាព 12) ។ ដោយមានជំនួយពីការវែកញែកដ៏ស្មុគស្មាញ Archimedes បានបង្ហាញថាតំបន់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាបូលគឺ 2/3 នៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលបានពិពណ៌នា ហើយដូច្នេះក្នុងករណីនេះគឺស្មើនឹង (2/3) (16) ។ = 32/3 ។ ដូចដែលយើងនឹងឃើញនៅពេលក្រោយ លទ្ធផលនេះអាចទទួលបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយវិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

អ្នកកាន់តំណែងមុនរបស់ Newton និង Leibniz ដែលភាគច្រើនជា Kepler និង Cavalieri បានដោះស្រាយបញ្ហានៃការគណនាតំបន់នៃតួរលេខ curvilinear ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដែលស្ទើរតែមិនអាចហៅថាឡូជីខល ប៉ុន្តែវាបានប្រែក្លាយទៅជាផ្លែផ្កាយ៉ាងខ្លាំង។ នៅពេលដែល Wallis ក្នុងឆ្នាំ 1655 រួមបញ្ចូលគ្នានូវវិធីសាស្រ្តរបស់ Kepler និង Cavalieri ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តរបស់ Descartes (ធរណីមាត្រវិភាគ) ហើយបានប្រើពិជគណិតដែលទើបនឹងកើត ដំណាក់កាលសម្រាប់រូបរាងរបស់ Newton ត្រូវបានរៀបចំទាំងស្រុង។

វ៉ាលីសបានបែងចែកតួរលេខ ផ្ទៃដែលត្រូវគណនាជាច្រូតតូចចង្អៀត ដែលនីមួយៗត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចតុកោណ។ បន្ទាប់មកគាត់បានបន្ថែមតំបន់នៃចតុកោណកែងប្រហាក់ប្រហែល ហើយក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត ទទួលបានតម្លៃដែលផលបូកនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងមាននិន្នាការនៅពេលដែលចំនួនឆ្នូតមានទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់។ នៅក្នុងរូបភព។ 13 បង្ហាញចតុកោណកែងដែលត្រូវគ្នានឹងការបែងចែកមួយចំនួនទៅជាច្រូតនៃផ្ទៃក្រោមខ្សែកោង y = x 2 .

ទ្រឹស្តីបទចម្បង។

ការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យរបស់ Newton និង Leibniz បានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដកចេញនូវដំណើរការដ៏លំបាកនៃការឈានទៅដល់ដែនកំណត់នៃផលបូកនៃតំបន់។ នេះ​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ឡើង​ដោយ​សារ​តែ​រូបរាង​ថ្មី​នៅ​លើ​គោល​គំនិត​នៃ​ការ៉េ។ ចំនុចនោះគឺថាយើងត្រូវស្រមៃមើលតំបន់ដែលស្ថិតនៅក្រោមខ្សែកោងដែលបង្កើតឡើងដោយការចាត់តាំងផ្លាស់ទីពីឆ្វេងទៅស្តាំ ហើយសួរថាតើតំបន់នោះបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងលឿនដោយរបៀបណា។ យើងនឹងទទួលបានគន្លឹះនៃចម្លើយចំពោះសំណួរនេះ ប្រសិនបើយើងពិចារណាករណីពិសេសចំនួនពីរដែលតំបន់នេះត្រូវបានគេដឹងជាមុន។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងផ្ទៃក្រោមក្រាហ្វនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ y = 1 + xព្រោះក្នុងករណីនេះ ផ្ទៃអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើធរណីមាត្របឋម។

អនុញ្ញាតឱ្យ ក(x) គឺជាផ្នែកនៃយន្តហោះដែលរុំព័ទ្ធរវាងបន្ទាត់ត្រង់ y = 1 + xនិងផ្នែកមួយ។ OQ(រូបភព ១៤)។ ពេលបើកបរ QPតំបន់ខាងស្តាំ ក(x) កើនឡើង។ លឿន​ប៉ុណ្ណា? វាមិនពិបាកក្នុងការឆ្លើយសំណួរនេះទេព្រោះយើងដឹងថាតំបន់នៃ trapezoid គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកម្ពស់របស់វាដោយផលបូកពាក់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋានរបស់វា។ អាស្រ័យហេតុនេះ

អត្រាផ្លាស់ប្តូរតំបន់ ក(x) ត្រូវបានកំណត់ដោយដេរីវេរបស់វា។

យើងឃើញនោះ។ កў ( x) ស្របគ្នានឹងការចាត់តាំង នៅពិន្ទុ រ... តើនេះជាការចៃដន្យទេ? តោះព្យាយាមពិនិត្យមើលប៉ារ៉ាបូឡាដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ 15. ការ៉េ ក (x) នៅក្រោមប៉ារ៉ាបូឡា នៅ = X 2 ក្នុងចន្លោះពី 0 ដល់ Xគឺស្មើនឹង ក(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x៣/៣. អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃតំបន់នេះត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម

ដែលពិតជាស្របគ្នានឹងការចាត់តាំង នៅចំណុចផ្លាស់ទី រ.

ប្រសិនបើយើងសន្មតថាច្បាប់នេះត្រូវបានបំពេញជាទូទៅតាមរបៀបនោះ។

គឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃផ្ទៃក្រោមក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f(x) បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការគណនា និងផ្នែកផ្សេងទៀត។ តាមពិតសមាមាត្រ កў ( x) = f(x) បង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាន ដែលអាចបង្កើតបានដូចខាងក្រោមៈ ដេរីវេ ឬអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតំបន់ជាមុខងារនៃ X, គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ f (x) នៅចំណុច X.

ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃក្រោមក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។ y = x 3 ពី 0 ទៅ X(រូបភាពទី 16) យើងដាក់

ចម្លើយដែលអាចមានគឺ៖

ចាប់តាំងពីដេរីវេនៃ X 4/4 គឺពិតជាស្មើនឹង X៣. លើសពីនេះទៅទៀត ក(x) គឺស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់ X= 0 ដូចដែលវាគួរតែជាប្រសិនបើ ក(x) ពិតជាតំបន់មួយ។

ការវិភាគគណិតវិទ្យាបង្ហាញថាចម្លើយមួយទៀតក្រៅពីកន្សោមខាងលើសម្រាប់ ក(x), មិន​មាន។ ចូរយើងបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺអាចជឿទុកចិត្តបានដោយប្រើហេតុផលបែប heuristic (មិនម៉ត់ចត់) ខាងក្រោម។ ឧបមាថាមានដំណោះស្រាយទីពីរ វ(x) ប្រសិនបើ ក(x) និង វ(x) "ចាប់ផ្តើម" ក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីតម្លៃសូន្យនៅ X= 0 ហើយគ្រប់ពេលវេលាផ្លាស់ប្តូរក្នុងអត្រាដូចគ្នា បន្ទាប់មកតម្លៃរបស់ពួកគេនៅទេ។ Xមិនអាចប្រែជាខុសគ្នាទេ។ ពួកគេត្រូវតែដូចគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែង; ដូច្នេះ មានតែដំណោះស្រាយមួយប៉ុណ្ណោះ។

តើសមាមាត្រអាចត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតដោយរបៀបណា? កў ( x) = f(x) ជាទូទៅ? សំណួរនេះអាចឆ្លើយបានតែដោយសិក្សាពីអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតំបន់ដែលជាមុខងារនៃ Xជាទូទៅ។ អនុញ្ញាតឱ្យ ម- តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ f (x) នៅក្នុងជួរពី Xមុន ( x + ម៉ោង) ក ម- តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារនេះក្នុងចន្លោះពេលដូចគ្នា។ បន្ទាប់មកការកើនឡើងនៃតំបន់បន្តពី Xទៅ ( x + ម៉ោង) ត្រូវតែត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាងតំបន់នៃចតុកោណកែងពីរ (រូបភាព 17) ។ មូលដ្ឋាននៃចតុកោណទាំងពីរគឺស្មើគ្នា ម៉ោង... ចតុកោណកែងតូចជាងមានកម្ពស់ មនិងតំបន់ mhធំជាង, រៀងគ្នា, មនិង ម... នៅលើគ្រោងនៃតំបន់ធៀបនឹង X(រូបភព 18) វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅពេលដែល abscissa ផ្លាស់ប្តូរដោយ ម៉ោងតម្លៃនៃការចាត់តាំង (ឧ. តំបន់) ត្រូវបានកើនឡើងដោយចំនួនដែលព័ទ្ធជុំវិញរវាង mhនិង ម... ជម្រាល secant នៅក្នុងក្រាហ្វនេះគឺនៅចន្លោះ មនិង ម... តើមានអ្វីកើតឡើងនៅពេល ម៉ោងទំនោរទៅសូន្យ? ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃមុខងារ y = f(x) គឺបន្ត (ឧ. មិនមានការផ្តាច់), បន្ទាប់មក ម, និង មទំនោរទៅ f(x) ដូច្នេះជម្រាល កў ( x) គ្រោងនៃតំបន់ជាមុខងារនៃ Xគឺស្មើនឹង f(x) វាច្បាស់ណាស់ចំពោះការសន្និដ្ឋានបែបនេះដែលមនុស្សម្នាក់ត្រូវតែមក។

Leibniz បានស្នើសម្រាប់តំបន់ដែលស្ថិតនៅក្រោមខ្សែកោង y = f(x) ពី ០ ដល់ កការកំណត់

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តយ៉ាងម៉ត់ចត់ អ្វីដែលគេហៅថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នេះត្រូវតែកំណត់ថាជាដែនកំណត់នៃផលបូកជាក់លាក់ក្នុងលក្ខណៈរបស់ Wallis ។ ដោយទទួលបានលទ្ធផលខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ថាអាំងតេក្រាលនេះត្រូវបានគណនាដោយផ្តល់ឱ្យថាយើងអាចរកឃើញមុខងារបែបនេះ ក(x) ដែលបាត់នៅ X= 0 និងមានដេរីវេ កў ( x) ស្មើនឹង f (x) ការស្វែងរកមុខងារបែបនេះជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូល ទោះបីជាវាសមស្របជាងក្នុងការហៅប្រតិបត្តិការនេះថា antidifferentiation មានន័យថាវាផ្ទុយទៅនឹងភាពខុសគ្នា។ ក្នុងករណីពហុនាម ការរួមបញ្ចូលគឺត្រង់។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ

ដែលងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយការបែងចែក ក(x).

ដើម្បីគណនាផ្ទៃដី ក 1 នៅក្រោមខ្សែកោង y = 1 + x + x 2/2, រុំព័ទ្ធរវាង 0 និង 1, យើងគ្រាន់តែសរសេរ

និងការជំនួស X= 1 យើងទទួលបាន ក 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3 ។ ការ៉េ ក(x) ពី 0 ទៅ 2 គឺស្មើនឹង ក 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3 ។ ដូចដែលបានឃើញពីរូបភព។ 19, តំបន់រវាងការចាត់តាំងទី 1 និងទី 2 គឺ ក 2 – ក 1 = 11/3 ។ ជាធម្មតាវាត្រូវបានសរសេរជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

បរិមាណ។

ហេតុផលស្រដៀងគ្នានេះធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលក្នុងការគណនាបរិមាណនៃបដិវត្តន៍។ ចូរយើងបង្ហាញរឿងនេះដោយឧទាហរណ៍នៃការគណនាបរិមាណបាល់ដែលជាបញ្ហាបុរាណមួយទៀតដែលជនជាតិក្រិចបុរាណដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដែលគេស្គាល់បានដោះស្រាយដោយការលំបាកយ៉ាងខ្លាំង។

បង្វិលផ្នែកនៃយន្តហោះដែលរុំព័ទ្ធក្នុងរង្វង់មួយភាគបួននៃរង្វង់កាំ rនៅមុំ 360 °ជុំវិញអ័ក្ស X... ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានអឌ្ឍគោលមួយ (រូបភាពទី 20) ដែលជាបរិមាណដែលយើងសម្គាល់ វ(x) វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់អត្រាដែល វ(x) ជាមួយនឹងការកើនឡើង x... បន្តពី Xទៅ X + ម៉ោងវាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាការបង្កើនបរិមាណគឺតិចជាងកម្រិតសំឡេង ទំ(r 2 – x 2)ម៉ោងកាំស៊ីឡាំងរាងជារង្វង់ និងកម្ពស់ ម៉ោងនិងច្រើនជាងបរិមាណ ទំ[r 2 – (x + ម៉ោង) 2 ]ម៉ោងកាំស៊ីឡាំង និងកម្ពស់ ម៉ោង... ដូច្នេះនៅលើក្រាហ្វនៃមុខងារ វ(x) ចំណោទនៃផ្នែកគឺនៅចន្លោះ ទំ(r 2 – x 2) និង ទំ[r 2 – (x + ម៉ោង) ២]. ពេលណា​ ម៉ោងទំនោរទៅសូន្យ ជម្រាលមានទំនោរទៅ

នៅ x = rយើង​ទទួល​បាន

សម្រាប់បរិមាណនៃអឌ្ឍគោល ហើយដូច្នេះ 4 ទំ r 3/3 សម្រាប់បរិមាណបាល់ទាំងមូល។

វិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នានេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រវែងនៃខ្សែកោងនិងតំបន់នៃផ្ទៃកោង។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ ក(x) - ប្រវែងធ្នូ PRនៅក្នុងរូបភព។ 21 បន្ទាប់មកភារកិច្ចរបស់យើងគឺគណនា កў( x) នៅកម្រិត heuristic យើងប្រើល្បិចមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងមិនងាកទៅរកការអនុម័តធម្មតាទៅដែនកំណត់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ភស្តុតាងយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃលទ្ធផល។ ឧបមាថាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ ក(x) នៅចំណុច រគឺដូចគ្នាទៅនឹងប្រសិនបើខ្សែកោងត្រូវបានជំនួសដោយតង់សង់របស់វា។ ភី.ធីនៅចំណុច ទំ... ប៉ុន្តែពីរូបភព។ 21 អាចមើលឃើញដោយផ្ទាល់នៅពេលបោះជំហាន ម៉ោងទៅខាងស្តាំឬខាងឆ្វេងនៃចំណុច Xតាម RTអត្ថន័យ ក(x) ផ្លាស់ប្តូរទៅ

ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ ក(x) គឺ

ដើម្បីស្វែងរកមុខងារដោយខ្លួនឯង។ ក(x) វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ក្នុងការរួមបញ្ចូលការបញ្ចេញមតិនៅខាងស្តាំដៃនៃសមភាព។ វាប្រែថាមុខងារភាគច្រើនពិបាកក្នុងការរួមបញ្ចូល។ ដូច្នេះ​ការ​អភិវឌ្ឍ​វិធីសាស្ត្រ​គណនា​អាំងតេក្រាល​បង្កើត​ជា​ផ្នែក​ធំ​នៃ​ការ​វិភាគ​គណិតវិទ្យា។

ថ្នាំប្រឆាំងការចម្លង។

អនុគមន៍នីមួយៗដែលដេរីវេគឺស្មើនឹងអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative (ឬ primitive) សម្រាប់ f(x) ឧ. X 3/3 គឺជាអង់ទីករសម្រាប់មុខងារ X 2, ចាប់តាំងពី ( x៣/៣) ў = x២. ពិតប្រាកដ​ណាស់ X 3/3 មិនមែនជាការប្រឆាំងតែមួយគត់នៃមុខងារទេ។ X 2 ចាប់តាំងពី x 3 /3 + គក៏ជាដេរីវេសម្រាប់ X 2 សម្រាប់ថេរណាមួយ។ ជាមួយ... ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងយល់ព្រមលុបចោលថេរបន្ថែមបែបនេះ។ ជាទូទៅ

កន្លែងណា នជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន ចាប់តាំងពី ( x ន + 1/(ន+ 1)) ў = x ន... ទំនាក់ទំនង (1) កាន់ក្នុងន័យទូទៅជាងប្រសិនបើ នជំនួសដោយលេខសមហេតុផលណាមួយ។ kលើកលែងតែ -1 ។

អនុគមន៍ antiderivative បំពានសម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃ f(x) ហើយសម្គាល់វាជា

ឧទាហរណ៍ចាប់តាំងពី (អំពើបាប x) ў = cos x, រូបមន្តមានសុពលភាព

ក្នុងករណីជាច្រើន នៅពេលដែលមានរូបមន្តសម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងតារាងដែលបានបោះពុម្ពផ្សាយយ៉ាងទូលំទូលាយជាច្រើននៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បឋមគឺជាតារាង (ទាំងនេះរួមមានអំណាច លោការីត អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស ក៏ដូចជាបន្សំកំណត់របស់ពួកគេដែលទទួលបានដោយប្រើប្រតិបត្តិការបូក ដក គុណ និងចែក)។ ដោយប្រើអាំងតេក្រាលតារាង អ្នកអាចគណនាអាំងតេក្រាលនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាង។ មានវិធីជាច្រើនដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់; ទូទៅបំផុតគឺវិធីសាស្ត្រជំនួសឬជំនួសអថេរ។ វាមាននៅក្នុងការពិតដែលថាប្រសិនបើយើងចង់ជំនួសនៅក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (2) xលើមុខងារផ្សេងគ្នាមួយចំនួន x = g(យូ) ដូច្នេះ​ថា​អាំងតេក្រាល​មិន​ផ្លាស់​ប្តូរ​ទេ វា​ជា​ការ​ចាំបាច់ xជំនួសដោយ gў ( យូ)ឌូ... និយាយម្យ៉ាងទៀតសមភាព

(ការជំនួស ២ x = យូមកពីណា ២ dx = ឌូ).

នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តសមាហរណកម្មមួយផ្សេងទៀត - វិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ វាត្រូវបានផ្អែកលើរូបមន្តដែលគេស្គាល់រួចហើយ

ដោយបានរួមបញ្ចូលផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ ហើយយកទៅក្នុងគណនីនោះ។

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។

ឧទាហរណ៍ 2. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរក។ ចាប់តាំងពី cos x= (បាប x) ў យើងអាចសរសេរវាបាន

ពី (5) ការកំណត់ យូ = xនិង v= បាប x, យើង​ទទួល​បាន

ហើយចាប់តាំងពី (-cos x) ў = បាប xយើងរកឃើញថានិង

វាគួរតែត្រូវបានសង្កត់ធ្ងន់ថា យើងបានកំណត់ខ្លួនយើងត្រឹមតែការណែនាំខ្លីៗអំពីប្រធានបទដ៏ទូលំទូលាយមួយប៉ុណ្ណោះ ដែលនៅក្នុងនោះ បច្ចេកទេសវៃឆ្លាតជាច្រើនត្រូវបានប្រមូលផ្តុំ។

មុខងារនៃអថេរពីរ។

ដោយសារតែខ្សែកោង y = f(x) យើងបានពិចារណាកិច្ចការពីរ។

1) ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅខ្សែកោងនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយការគណនាតម្លៃនៃដេរីវេ fў ( x) នៅចំណុចជាក់លាក់។

2) ស្វែងរកតំបន់នៅក្រោមខ្សែកោងខាងលើផ្នែកអ័ក្ស Xកំណត់ដោយបន្ទាត់បញ្ឈរ X = កនិង X = ខ... បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

បញ្ហាទាំងនេះនីមួយៗមានអាណាឡូកនៅក្នុងករណីនៃផ្ទៃ z = f(x,y).

1) ស្វែងរកយន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

2) ស្វែងរកបរិមាណខាងក្រោមផ្ទៃខាងលើផ្នែកនៃយន្តហោះ ហ៊កំណត់ដោយខ្សែកោង ជាមួយនិងពីចំហៀង - កាត់កែងទៅយន្តហោះ xyឆ្លងកាត់ចំណុចនៃខ្សែកោងព្រំដែន ជាមួយ (សង់​ទី​ម៉ែ​ត... អង្ករ។ ២២).

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមបង្ហាញពីរបៀបដែលកិច្ចការទាំងនេះត្រូវបានសម្រេច។

ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកយន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃ

នៅចំណុច (0,0,2) ។

យន្តហោះត្រូវបានកំណត់ប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ មួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ទាំងនេះ ( លីត្រ 1) យើងឡើងយន្តហោះ xz (នៅ= 0), ទីពីរ ( លីត្រ 2) - នៅក្នុងយន្តហោះ yz (x = 0) (សង់​ទី​ម៉ែ​ត... អង្ករ។ ២៣).

ជាដំបូងនៃការទាំងអស់ប្រសិនបើ នៅ= 0 បន្ទាប់មក z = f(x,0) = 2 – 2x – 3x២. ដេរីវេដោយគោរព Xតំណាងដោយ fў x(x,0) = –2 – 6x, នៅ X= 0 មានតម្លៃ −2 ។ ត្រង់ លីត្រ 1 ផ្តល់ដោយសមីការ z = 2 – 2x, នៅ= 0 - តង់សង់ទៅ ជាមួយ 1, បន្ទាត់ប្រសព្វនៃផ្ទៃជាមួយនឹងយន្តហោះ នៅ= 0. ដូចគ្នានេះដែរប្រសិនបើ X= 0 បន្ទាប់មក f(0,y) = 2 – y – y 2, និងដេរីវេដោយគោរពទៅ នៅមានទម្រង់

ដោយសារតែ fў y(0,0) = –1, ខ្សែកោង ជាមួយ 2 - បន្ទាត់ប្រសព្វនៃផ្ទៃជាមួយនឹងយន្តហោះ yz- មានតង់សង់ លីត្រ 2 ផ្តល់ដោយសមីការ z = 2 – y, X= 0. យន្តហោះតង់សង់ដែលចង់បានមានទាំងបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រ 1 និង លីត្រ 2 និងត្រូវបានសរសេរដោយសមីការ

នេះគឺជាសមីការនៃយន្តហោះ។ លើសពីនេះទៀតយើងទទួលបានបន្ទាត់ត្រង់ លីត្រ 1 និង លីត្រ 2, ការកំណត់, រៀងគ្នា, នៅ= 0 និង X = 0.

ការពិតដែលថាសមីការ (7) ពិតជាកំណត់ប្លង់តង់សង់អាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់នៅកម្រិត heuristic ប្រសិនបើយើងកត់សំគាល់ថាសមីការនេះមានពាក្យលំដាប់ទីមួយរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការ (6) ហើយពាក្យលំដាប់ទីពីរអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុង ទម្រង់ - ។ ដោយសារកន្សោមនេះគឺអវិជ្ជមានសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ Xនិង នៅ, ក្រៅពីនេះ។ X = នៅ= 0, ផ្ទៃ (6) ស្ថិតនៅគ្រប់ទីកន្លែងខាងក្រោមយន្តហោះ (7) លើកលែងតែចំណុច រ= (0,0,0) ។ យើងអាចនិយាយបានថាផ្ទៃ (6) គឺប៉ោងឡើងលើនៅចំណុច រ.

ឧទាហរណ៍ 5. ស្វែងរកយន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃ z = f(x,y) = x 2 – y 2 នៅដើម 0 ។

លើផ្ទៃ នៅ= 0 យើងមាន៖ z = f(x,0) = x 2 និង fў x(x,0) = 2x... នៅ​លើ ជាមួយ 1​, បន្ទាត់​ប្រសព្វ​, z = x២. នៅចំណុច អូជម្រាលគឺ fў x(0,0) = 0. នៅលើយន្តហោះ X= 0 យើងមាន៖ z = f(0,y) = –y 2 និង fў y(0,y) = –2y... នៅ​លើ ជាមួយ 2​, បន្ទាត់​ប្រសព្វ​, z = –y២. នៅចំណុច អូជម្រាលនៃខ្សែកោង ជាមួយ 2 គឺស្មើគ្នា fў y(0,0) = 0. ចាប់តាំងពីតង់សង់ទៅ ជាមួយ 1 និង ជាមួយ 2 គឺជាអ័ក្ស Xនិង នៅយន្តហោះតង់សង់ដែលមានពួកវាគឺជាយន្តហោះ z = 0.

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅតំបន់ជុំវិញនៃប្រភពដើម ផ្ទៃរបស់យើងមិនស្ថិតនៅម្ខាងនៃយន្តហោះតង់សង់នោះទេ។ ជាការពិតខ្សែកោង ជាមួយ 1 នៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែចំណុច 0 ស្ថិតនៅពីលើយន្តហោះតង់សង់ និងខ្សែកោង ជាមួយ 2 - រៀងគ្នានៅខាងក្រោមវា។ ផ្ទៃប្រសព្វរវាងយន្តហោះតង់ហ្សង់ z= 0 នៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ នៅ = Xនិង នៅ = –X... ផ្ទៃបែបនេះត្រូវបានគេនិយាយថាមានចំណុចកនៅប្រភពដើម (រូបភាព 24) ។

និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ពីមុន យើងបានប្រើដេរីវេពី f (x,y) លើ Xនិងដោយ នៅ... ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ពិចារណា​អំពី​និស្សន្ទវត្ថុ​បែប​នេះ​ជា​ទូទៅ​ជាង។ ប្រសិនបើយើងមានមុខងារនៃអថេរពីរឧទាហរណ៍ ច(x,y) = x 2 – xyបន្ទាប់មកយើងអាចកំណត់នៅចំណុចនីមួយៗនៃ "ដេរីវេដោយផ្នែក" ចំនួនពីររបស់វា ដោយមួយដោយបែងចែកមុខងារដោយឡែកពីគ្នា។ Xនិងជួសជុល នៅមួយទៀតដោយការបែងចែកដោយគោរព នៅនិងជួសជុល X... ទីមួយនៃនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះត្រូវបានតំណាងថាជា fў x(x,y) ឬ ¶ f/¶ x; ទីពីរ - របៀប f f ў y... ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះទាំងពីរ (ដោយ Xនិង នៅលើ នៅនិង X) បន្តបន្ទាប់ ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ ២ f/¶ y¶ x; នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ¶ 2 f/¶ x¶ y= ¶ ២ f/¶ y¶ x = –1.

ដេរីវេដោយផ្នែក fў x(x,y) បង្ហាញពីអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ fនៅចំណុច ( x,y) ក្នុងទិសដៅកើនឡើង X, ក fў y(x,y) គឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ fទិសដៅកើនឡើង នៅ... អត្រាផ្លាស់ប្តូរមុខងារ fនៅចំណុច ( X,នៅ) ក្នុងទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់បង្កើតមុំមួយ។ qជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស Xត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃមុខងារ fឆ្ពោះទៅរក; តម្លៃរបស់វាគឺការរួមបញ្ចូលគ្នានៃដេរីវេផ្នែកពីរនៃអនុគមន៍ f នៅក្នុងយន្តហោះតង់សង់គឺស្ទើរតែស្មើគ្នា (សម្រាប់តូច dxនិង ឌី) ការផ្លាស់ប្តូរពិតប្រាកដ zនៅលើផ្ទៃ ប៉ុន្តែការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាធម្មតាងាយស្រួលជាង។

រូបមន្តដែលយើងបានពិចារណារួចហើយពីវិធីសាស្ត្រផ្លាស់ប្តូរអថេរ ដែលគេស្គាល់ថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ ឬក្បួនខ្សែសង្វាក់ ក្នុងករណីមួយវិមាត្រនៅពេលដែល នៅអាស្រ័យ​លើ X, ក Xអាស្រ័យ​លើ tមានទម្រង់៖

សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ រូបមន្តស្រដៀងគ្នាគឺ៖

វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើឱ្យទូទៅនូវគំនិត និងការរចនានៃភាពខុសគ្នាដោយផ្នែកទៅវិមាត្រខ្ពស់ជាងនេះ។ ជាពិសេសប្រសិនបើផ្ទៃត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោលដោយសមីការ f(x,y,z) = 0 សមីការនៃយន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃអាចត្រូវបានផ្តល់ទម្រង់ស៊ីមេទ្រីបន្ថែមទៀត៖ សមីការនៃយន្តហោះតង់សង់នៅចំណុច ( x (x 2/4)] បន្ទាប់មកវាត្រូវបានរួមបញ្ចូល X 0 ទល់នឹង 1 លទ្ធផលចុងក្រោយគឺ 3/4 ។

រូបមន្ត (១០) ក៏អាចត្រូវបានបកស្រាយថាជា អាំងតេក្រាលទ្វេ ពោលគឺឧ។ ជាដែនកំណត់នៃផលបូកនៃបរិមាណនៃ "កោសិកា" បឋម។ កោសិកានីមួយៗមានមូលដ្ឋាន D xឃ yនិងកម្ពស់ស្មើនឹងកម្ពស់នៃផ្ទៃខាងលើចំណុចមួយចំនួននៃមូលដ្ឋានចតុកោណ ( សង់​ទី​ម៉ែ​ត... អង្ករ។ ២៦). វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាចំណុចទាំងពីរនៃទិដ្ឋភាពនៅលើរូបមន្ត (10) គឺសមមូល។ អាំងតេក្រាលទ្វេត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកចំណុចកណ្តាលនៃទំនាញ និងពេលវេលាជាច្រើនដែលរកឃើញនៅក្នុងមេកានិច។

ការបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់បន្ថែមទៀតនៃបរិធានគណិតវិទ្យា។

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានបង្ហាញគោលគំនិត និងវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាលើកម្រិតវិចារណញាណ ហើយមិនស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការងាកទៅរករាងធរណីមាត្រទេ។ វានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីពិចារណាដោយសង្ខេបអំពីវិធីសាស្រ្តដ៏តឹងរឹងជាងនេះដែលបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងសតវត្សទី 19 និងទី 20 ។

នៅដើមសតវត្សទី 19 នៅពេលដែលយុគសម័យនៃការវាយលុកនិងការវាយប្រហារនៅក្នុង "ការបង្កើតការវិភាគគណិតវិទ្យា" បានបញ្ចប់ សំណួរនៃយុត្តិកម្មរបស់វាបានលេចចេញមក។ នៅក្នុងស្នាដៃរបស់ Abel, Cauchy និងគណិតវិទូឆ្នើមមួយចំនួនទៀត គោលគំនិតនៃ "ដែនកំណត់", "មុខងារបន្ត", "ស៊េរីរួម" ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់។ នេះគឺចាំបាច់ដើម្បីនាំយកលំដាប់ឡូជីខលទៅកាន់មូលដ្ឋាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ដើម្បីធ្វើឱ្យវាជាឧបករណ៍ស្រាវជ្រាវដែលអាចទុកចិត្តបាន។ តម្រូវការសម្រាប់យុត្តិកម្មហ្មត់ចត់កាន់តែច្បាស់បន្ទាប់ពីការរកឃើញនៅឆ្នាំ 1872 ដោយ Weierstrass គ្រប់ទីកន្លែងជាបន្តបន្ទាប់ ប៉ុន្តែគ្មានមុខងារដែលអាចបែងចែកបានឡើយ (ក្រាហ្វនៃមុខងារបែបនេះមានការសម្រាកនៅចំណុចនីមួយៗ)។ លទ្ធផលនេះបានធ្វើឱ្យមានការចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំងចំពោះគណិតវិទូ ព្រោះវាផ្ទុយយ៉ាងច្បាស់ពីវិចារណញាណធរណីមាត្ររបស់ពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយបន្ថែមទៀតនៃភាពមិនគួរឱ្យទុកចិត្តនៃវិចារណញាណធរណីមាត្រគឺជាខ្សែកោងបន្តដែលសាងសង់ដោយ D. Peano ដែលបំពេញទាំងស្រុងការ៉េជាក់លាក់មួយពោលគឺឧ។ ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងអស់របស់វា។ របកគំហើញទាំងនេះ និងការរកឃើញផ្សេងទៀតបានបង្កឱ្យមានកម្មវិធី "នព្វន្ធ" នៃគណិតវិទ្យា ពោលគឺឧ។ ធ្វើឱ្យវាកាន់តែអាចទុកចិត្តបានដោយការបញ្ជាក់គោលគំនិតគណិតវិទ្យាទាំងអស់ដោយប្រើគោលគំនិតនៃចំនួន។ ការបដិសេធស្ទើរតែមិនបរិសុទ្ធពីភាពច្បាស់លាស់នៅក្នុងស្នាដៃលើមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាមានហេតុផលជាប្រវត្តិសាស្ត្ររបស់វា។

យោងទៅតាម Canons សម័យទំនើបនៃភាពតឹងរ៉ឹងឡូជីខលវាមិនអាចទទួលយកបានទេក្នុងការនិយាយអំពីតំបន់ដែលស្ថិតនៅក្រោមខ្សែកោង។ y = f(x) និងខាងលើផ្នែកអ័ក្ស Xសូម្បីតែ f- មុខងារបន្ត ដោយមិនកំណត់អត្ថន័យពិតប្រាកដនៃពាក្យ "តំបន់" ជាមុនសិន និងមិនកំណត់ថាតំបន់ដែលបានកំណត់តាមវិធីនេះពិតជាមាន។ បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយជោគជ័យនៅឆ្នាំ 1854 ដោយ B. Riemann ដែលបានផ្តល់និយមន័យច្បាស់លាស់នៃគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក គំនិតនៃការបូកសរុបនៅពីក្រោយសញ្ញាណនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មួយ គឺជាកម្មវត្ថុនៃការសិក្សាស៊ីជម្រៅ និងការធ្វើទូទៅជាច្រើន។ ជាលទ្ធផល សព្វថ្ងៃនេះ គេអាចផ្តល់អត្ថន័យដល់អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ទោះបីជាអាំងតេក្រាលមិនបន្តនៅគ្រប់ទីកន្លែងក៏ដោយ។ គំនិតថ្មីនៃការធ្វើសមាហរណកម្មទៅនឹងការបង្កើតដែល A. Lebesgue (1875–1941) និងគណិតវិទូផ្សេងទៀតបានរួមចំណែកយ៉ាងធំធេង បង្កើនថាមពល និងភាពស្រស់ស្អាតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។

វាស្ទើរតែជាការសមរម្យក្នុងការចូលទៅក្នុងសេចក្តីលម្អិតនៃគំនិតទាំងអស់នេះ និងគំនិតផ្សេងទៀត។ យើងនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងតែប៉ុណ្ណោះក្នុងការផ្តល់និយមន័យយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃដែនកំណត់ និងកំណត់អាំងតេក្រាលជាក់លាក់។

សរុបសេចក្តីមក ចូរយើងនិយាយថា ការវិភាគគណិតវិទ្យា ដែលជាឧបករណ៍ដ៏មានតម្លៃបំផុតនៅក្នុងដៃរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស្វករ សូម្បីតែសព្វថ្ងៃនេះក៏ទាក់ទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកគណិតវិទ្យាជាប្រភពនៃគំនិតប្រកបដោយផ្លែផ្កាដែរ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ ការអភិវឌ្ឍន៍ទំនើបហាក់ដូចជាបង្ហាញថា ការវិភាគគណិតវិទ្យាត្រូវបានស្រូបយកកាន់តែខ្លាំងឡើងដោយភាពលេចធ្លោបែបនេះនៅក្នុងសតវត្សទី 20 ។ សាខានៃគណិតវិទ្យាដូចជា ពិជគណិតអរូបី និងតូប៉ូឡូញ។

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហារូបវន្ត ឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាដោយមិនមានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាវា។ ដេរីវេគឺជាគំនិតសំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ យើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះចំពោះប្រធានបទជាមូលដ្ឋាននេះ។ តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ តើអ្វីជាអត្ថន័យរូបវន្ត និងធរណីមាត្ររបស់វា របៀបគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?

ធរណីមាត្រ និងអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ

សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f (x) ផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួន (a, ខ) ... ពិន្ទុ х និង х0 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃរបស់វា។ x-x0 ... ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នានៃតម្លៃនៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុចពីរ។ និយមន័យដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលដែលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។

បើមិនដូច្នោះទេ វាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

តើអ្វីជាចំណុចក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់បែបនេះ? ហើយនេះជាអ្វី៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃផ្លូវទាក់ទងទៅនឹងពេលវេលាគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។

ជាការពិតណាស់ តាំងពីនៅរៀនមក មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវឯកជន។ x = f (t) និងពេលវេលា t ... ល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលមួយ៖

ដើម្បីដឹងពីល្បឿននៃចលនាក្នុងពេលតែមួយ t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖

ច្បាប់ទីមួយ៖ ដកចំនួនថេរ

ថេរអាចត្រូវបានផ្លាស់ទីនៅខាងក្រៅសញ្ញានៃដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាត្រូវតែធ្វើ។ នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកជាក្បួន ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលការបញ្ចេញមតិ ត្រូវប្រាកដថាធ្វើឱ្យសាមញ្ញ .

ឧទាហរណ៍។ ចូរយើងគណនាដេរីវេ៖

វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍

ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។

យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ

ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ដំណោះស្រាយ៖

វាចាំបាច់ក្នុងការនិយាយនៅទីនេះអំពីការគណនានៃដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងជួបកន្សោម៖

ក្នុងករណីនេះ អាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ដល់ថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ទីមួយយើងគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពតាមអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមភ្លាមៗដោយគោរពតាមអថេរឯករាជ្យ។

ច្បាប់ទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖

យើងបានព្យាយាមប្រាប់អ្នកអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាស្តាប់ទៅនោះទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រយ័ត្នពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

សម្រាប់សំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាសិស្ស។ ក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លី យើងនឹងជួយអ្នកក្នុងការដោះស្រាយការធ្វើតេស្តដ៏លំបាកបំផុត និងដោះស្រាយកិច្ចការនានា ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ធ្វើការគណនានិស្សន្ទវត្ថុពីមុនមកក៏ដោយ។

ដែលយើងបានធ្វើការវិភាគលើនិស្សន្ទវត្ថុសាមញ្ញបំផុត ហើយក៏បានស្គាល់ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងបច្ចេកទេសមួយចំនួនសម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុផងដែរ។ ដូចនេះ ប្រសិនបើអ្នកមិនសូវជាមាននិស្សន្ទវត្ថុនៃមុខងារ ឬចំណុចខ្លះនៃអត្ថបទនេះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងនោះ សូមអានមេរៀនខាងលើជាមុនសិន។ សូមស្តាប់តាមអារម្មណ៍ដ៏ធ្ងន់ធ្ងរ - សម្ភារៈមិនមែនជាការងាយស្រួលនោះទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនៅតែព្យាយាមបង្ហាញវាតាមរបៀបសាមញ្ញ និងអាចចូលប្រើប្រាស់បាន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត អ្នកត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយនឹងដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាញឹកញាប់ ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា នៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

យើងមើលក្នុងតារាងនៅច្បាប់ (លេខ ៥) សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ការយល់ដឹង។ ជាដំបូងសូមយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការថត។ នៅទីនេះយើងមានមុខងារពីរ - ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មុខងារដែលនិយាយក្នុងន័យធៀបគឺត្រូវបានបង្កប់នៅក្នុងមុខងារ។ មុខងារនៃប្រភេទនេះ (នៅពេលដែលមុខងារមួយត្រូវបានដាក់នៅក្នុងមួយផ្សេងទៀត) ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារស្មុគស្មាញ។

ខ្ញុំនឹងហៅមុខងារ មុខងារខាងក្រៅនិងមុខងារ - មុខងារខាងក្នុង (ឬសំបុក).

! និយមន័យទាំងនេះមិនមែនជាទ្រឹស្តីទេ ហើយមិនគួរបង្ហាញនៅក្នុងការរចនាចុងក្រោយនៃកិច្ចការនោះទេ។ ខ្ញុំប្រើកន្សោមក្រៅផ្លូវការ "មុខងារខាងក្រៅ" មុខងារ "ខាងក្នុង" តែប៉ុណ្ណោះដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការយល់អំពីសម្ភារៈ។

ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីស្ថានភាព សូមពិចារណា៖

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅក្រោមស៊ីនុស យើងមិនត្រឹមតែមានអក្សរ "X" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែមានកន្សោមចំនួនគត់ ដូច្នេះវាមិនអាចស្វែងរកដេរីវេពីតារាងភ្លាមៗបានទេ។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តច្បាប់ទាំងបួនដំបូងនៅទីនេះ វាហាក់ដូចជាមានភាពខុសប្លែកគ្នា ប៉ុន្តែការពិតគឺថាអ្នកមិនអាច "បំបែក" ស៊ីនុសមួយបានទេ៖

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ពីការពន្យល់របស់ខ្ញុំរួចហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា អនុគមន៍គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយពហុនាមគឺជាមុខងារខាងក្នុង (ការចាត់តាំង) និងមុខងារខាងក្រៅ។

ជំហាន​ដំបូងដែលត្រូវតែអនុវត្តនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញគឺនោះ។ ស្វែងយល់ថាតើមុខងារមួយណាជាខាងក្នុង និងមួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ.

ក្នុង​ករណី​ឧទាហរណ៍​សាមញ្ញ វា​ហាក់​ដូច​ជា​ច្បាស់​ណាស់​ថា​ពហុធា​ត្រូវ​បាន​ដាក់​នៅ​ក្រោម​ស៊ីនុស។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើអ្វីៗមិនច្បាស់? របៀបកំណត់ឱ្យច្បាស់ថា មួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ និងមួយណាជាផ្ទៃក្នុង? ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំស្នើឱ្យប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្លូវចិត្តឬលើសេចក្តីព្រាង។

ស្រមៃថាយើងត្រូវការគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ (ជំនួសឱ្យលេខមួយអាចមានលេខណាមួយ) ។

តើយើងនឹងគណនាអ្វីមុនគេ? ជា​ដំបូងបង្អស់អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពខាងក្រោម៖ ដូច្នេះពហុធានឹងជាមុខងារខាងក្នុង៖

ទីពីរនឹងត្រូវរកឃើញ ដូច្នេះស៊ីនុសនឹងជាមុខងារខាងក្រៅ៖

បន្ទាប់ពីយើង គិតចេញជាមួយនឹងមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅ វាដល់ពេលដែលត្រូវអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។ .

យើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។ ពីមេរៀន តើខ្ញុំស្វែងរកដេរីវេដោយរបៀបណា?យើងចាំថាការរចនានៃដំណោះស្រាយនៃនិស្សន្ទវត្ថុណាមួយតែងតែចាប់ផ្តើមដូចនេះ - យើងបិទកន្សោមក្នុងវង់ក្រចក ហើយដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្តាំខាងលើ៖

ទីមួយស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ (ស៊ីនុស) រកមើលតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម ហើយកត់សំគាល់វា។ រូបមន្តតារាងទាំងអស់អាចអនុវត្តបាន ទោះបីជា "x" ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមស្មុគស្មាញក៏ដោយ។, ក្នុងករណី​នេះ:

ចំណាំថាមុខងារខាងក្នុង មិន​បាន​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​, យើង​មិន​ប៉ះ​វា​.

មែនហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា

លទ្ធផលនៃការអនុវត្តរូបមន្ត នៅក្នុងការរចនាចុងក្រោយវាមើលទៅដូចនេះ:

កត្តាថេរជាធម្មតាត្រូវបានដាក់នៅដើមកន្សោម៖

ប្រសិនបើមានការភ័ន្តច្រឡំ សូមសរសេរដំណោះស្រាយចុះ ហើយអានការពន្យល់ម្តងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចរាល់ដង យើងសរសេរចុះ៖

ចូរយើងស្វែងយល់ពីកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្រៅ និងកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្នុង។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬលើសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើមុនគេ? ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាអ្វីដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹង៖ ដែលមានន័យថាពហុធាគឺជាមុខងារខាងក្នុង៖

ហើយមានតែនៅពេលនោះនិទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត ដូច្នេះមុខងារថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ៖

យោងតាមរូបមន្ត ជាដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ ក្នុងករណីនេះដឺក្រេ។ យើងកំពុងស្វែងរករូបមន្តដែលត្រូវការនៅក្នុងតារាង៖ ។ យើងនិយាយម្តងទៀត៖ រូបមន្តតារាងណាមួយមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់ "x" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់កន្សោមស្មុគស្មាញផងដែរ។... ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។ បន្ទាប់៖

ខ្ញុំបញ្ជាក់ម្តងទៀតថា នៅពេលយើងយកដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ មុខងារខាងក្នុងមិនផ្លាស់ប្តូរសម្រាប់យើងទេ៖

ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារខាងក្នុងនិង "សិតសក់" លទ្ធផលបន្តិច:

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃការបង្រៀន)។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមការយល់ដឹងអំពីដេរីវេនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍ដោយគ្មានយោបល់ ព្យាយាមស្វែងយល់ដោយខ្លួនឯង ស្មានថាផ្នែកខាងក្រៅនៅឯណា និងមុខងារខាងក្នុងនៅឯណា ហេតុអ្វីបានជាកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបនេះ?

ឧទាហរណ៍ ៥

ក) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ខ) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះយើងមានឫសមួយ ហើយដើម្បីសម្គាល់ឫសគល់ខុសគ្នា វាត្រូវតែតំណាងជាសញ្ញាប័ត្រ។ ដូច្នេះដំបូងយើងនាំយកមុខងារទៅជាទម្រង់ដែលសមរម្យសម្រាប់ភាពខុសគ្នា៖

ការវិភាគមុខងារ យើងសន្និដ្ឋានថាផលបូកនៃពាក្យទាំងបីគឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយនិទស្សន្តគឺជាអនុគមន៍ខាងក្រៅ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។ :

សញ្ញាប័ត្រត្រូវបានតំណាងម្តងទៀតជារ៉ាឌីកាល់ (ឫស) ហើយសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង យើងអនុវត្តច្បាប់សាមញ្ញមួយសម្រាប់ការបែងចែកផលបូក៖

រួចរាល់។ អ្នកក៏អាចនាំយកកន្សោមទៅជាភាគបែងធម្មតាក្នុងតង្កៀប ហើយសរសេរអ្វីគ្រប់យ៉ាងចុះក្នុងប្រភាគមួយ។ ជាការប្រសើរណាស់ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលទទួលបាននិស្សន្ទវត្ថុវែងឆ្ងាយ វាជាការប្រសើរជាងកុំធ្វើបែបនេះ (វាងាយយល់ច្រលំ ធ្វើខុសដែលមិនចាំបាច់ ហើយវានឹងមានការរអាក់រអួលសម្រាប់គ្រូក្នុងការត្រួតពិនិត្យ)។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃការបង្រៀន)។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាជួនកាលជំនួសឱ្យច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ មនុស្សម្នាក់អាចប្រើច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយបែបនេះនឹងមើលទៅមិនធម្មតាដូចជាការបង្វែរ។ នេះជាឧទាហរណ៍ធម្មតា៖

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចប្រើច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា ប៉ុន្តែ វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការស្វែងរកដេរីវេតាមរយៈច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

យើងរៀបចំមុខងារសម្រាប់ភាពខុសគ្នា - យើងផ្លាស់ទីដកនៅខាងក្រៅសញ្ញានៃដេរីវេ ហើយលើកកូស៊ីនុសទៅភាគយក៖

កូស៊ីនុស គឺជាមុខងារខាងក្នុង និទស្សន្តគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។
យើងប្រើច្បាប់របស់យើង។ :

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្នុង កំណត់កូស៊ីនុសឡើងវិញចុះក្រោម៖

រួចរាល់។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាវាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញា។ ដោយវិធីនេះព្យាយាមដោះស្រាយវាជាមួយនឹងច្បាប់ , ចម្លើយត្រូវតែផ្គូផ្គង។

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃការបង្រៀន)។

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានពិនិត្យមើលករណីដែលយើងមានឯកសារភ្ជាប់តែមួយនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ។ នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង ជាញឹកញាប់អ្នកអាចរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលដូចជាសំបុកតុក្កតា មួយនៅខាងក្នុងផ្សេងទៀត មុខងារ 3 ឬសូម្បីតែ 4-5 ត្រូវបានដាក់សំបុកក្នុងពេលតែមួយ។

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ចូរយើងយល់ពីឯកសារភ្ជាប់នៃមុខងារនេះ។ ព្យាយាមវាយតម្លៃកន្សោមដោយប្រើតម្លៃសាកល្បង។ តើយើងនឹងពឹងផ្អែកលើម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយរបៀបណា?

ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក ដែលមានន័យថា អាកស៊ីន គឺជាសំបុកជ្រៅបំផុត៖

បន្ទាប់មក arcsine នៃមួយគួរតែមានរាងការ៉េ:

ហើយចុងក្រោយ លើក ៧ ទៅជាថាមពល៖

នោះគឺក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានមុខងារបីផ្សេងគ្នា និងឯកសារភ្ជាប់ពីរ ខណៈពេលដែលមុខងារខាងក្នុងបំផុតគឺ arcsine ហើយមុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

យើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយ

យោងតាមច្បាប់ ដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ។ យើងមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាជំនួសឱ្យ "x" យើងមានកន្សោមស្មុគស្មាញដែលមិនបដិសេធសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះទេ។ ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។ បន្ទាប់។