ទ្រឹស្តីបទកំណត់ចំណុច។ ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass ។ ផ្នែកបន្ថែមទៅករណីនៃទំហំវិមាត្របំពាន

និយមន័យ v.7 ។ ចំណុច x € R នៅលើបន្ទាត់លេខត្រូវបានគេហៅថាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (xn) ប្រសិនបើសម្រាប់សង្កាត់ណាមួយ U (x) និងលេខធម្មជាតិណាមួយ N វាអាចរកឃើញធាតុ xn ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់នេះដែលមានលេខធំជាង LG, ឧ. x 6 R - ចំណុចកំណត់ប្រសិនបើ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំនុច x នឹងក្លាយជាចំណុចកំណត់សម្រាប់ (xn) ប្រសិនបើសង្កាត់ណាមួយរបស់វាមានធាតុនៃលំដាប់នេះជាមួយនឹងចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត ទោះបីជាប្រហែលជាមិនមែនធាតុទាំងអស់ដែលមានលេខ n > N។ ដូច្នេះហើយ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺច្បាស់ណាស់ . សេចក្តីថ្លែងការណ៍ b.b. ប្រសិនបើ lim(xn) = 6 6 R នោះ b គឺជាចំណុចកំណត់តែមួយគត់នៃលំដាប់ (xn)។ ជាការពិតណាស់ ដោយសារនិយមន័យ 6.3 នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ធាតុទាំងអស់របស់វា ចាប់ផ្តើមពីចំនួនជាក់លាក់ណាមួយ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុច 6 ហើយដូច្នេះធាតុដែលមានចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត មិនអាចធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចផ្សេងទៀតណាមួយឡើយ។ . អាស្រ័យហេតុនេះ លក្ខខណ្ឌនៃនិយមន័យ 6.7 គឺពេញចិត្តសម្រាប់តែចំណុចមួយ 6។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនគ្រប់ចំណុចកំណត់ (ជួនកាលគេហៅថា ចំណុចបង្រួមស្តើង) នៃលំដាប់គឺជាដែនកំណត់របស់វា។ ដូច្នេះ លំដាប់ (b.b) មិនមានដែនកំណត់ទេ (សូមមើលឧទាហរណ៍ 6.5) ប៉ុន្តែមានចំនុចកំណត់ពីរ x = 1 និង x = − 1 ។ លំដាប់ ((-1)pp) មានចំនុចគ្មានកំណត់ពីរ +oo និងជាចំនុចកំណត់ - ជាមួយ​នឹង​បន្ទាត់​លេខ​ដែល​បាន​បន្ថែម សហជីព​ដែល​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​និមិត្តសញ្ញា​មួយ oo ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងអាចសន្មត់ថាចំណុចដែនកំណត់គ្មានដែនកំណត់ស្របគ្នា ហើយចំណុចគ្មានកំណត់ oo យោងតាម ​​(6.29) គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នេះ។ កំណត់ចំណុចនៃបន្ទាត់លេខលំដាប់។ សូមឱ្យលំដាប់ (jn) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយអនុញ្ញាតឱ្យលេខ k បង្កើតជាលំដាប់កើនឡើងនៃចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក លំដាប់ (Vnb ដែល yn = xkn> ត្រូវបានគេហៅថាជាបន្តបន្ទាប់នៃលំដាប់ដើម។ ជាក់ស្តែង ប្រសិនបើ (i„) មានលេខ 6 ជាដែនកំណត់ នោះណាមួយនៃជាបន្តបន្ទាប់របស់វាមានដែនកំណត់ដូចគ្នា ចាប់តាំងពីចាប់ផ្តើមពីចំនួនជាក់លាក់។ ធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់ដើម និងភាគបន្តបន្ទាប់របស់វាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយដែលបានជ្រើសរើសនៃចំណុច 6. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ ចំណុចកំណត់ណាមួយនៃលំដាប់បន្តបន្ទាប់ក៏ជាចំណុចកំណត់សម្រាប់ទ្រឹស្តីបទ 9. ពីលំដាប់ណាមួយដែលមាន a limit point មួយ​អាច​ជ្រើស​រើស​បន្តបន្ទាប់​ដែល​មាន limit point នេះ​ជា limit របស់​វា សូម​អោយ b ជា limit point នៃ sequence (xn)។ ចំណុចកំណត់ 7 សម្រាប់ n នីមួយៗមានធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់ U (6, 1/n) នៃចំណុច b នៃកាំ 1/n ។ លំដាប់បន្តបន្ទាប់ផ្សំឡើងដោយពិន្ទុ ijtj, ...1 ... ដែល zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, មានដែនកំណត់នៅចំណុច 6។ ជាការពិតសម្រាប់ e> 0 បំពាន មនុស្សម្នាក់អាចជ្រើសរើស N បែបនោះ។ បន្ទាប់មកធាតុទាំងអស់នៃបន្តបន្ទាប់ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខ km នឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុង ^-neighborhood U(6, e) នៃចំនុច 6 ដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌ 6.3 នៃនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់។ ទ្រឹស្តីបទសន្ទនាក៏ពិតដែរ។ កំណត់ចំណុចនៃបន្ទាត់លេខលំដាប់។ ទ្រឹស្តីបទ ៨.១០។ ប្រសិនបើលំដាប់ខ្លះមានជាបន្តបន្ទាប់ដែលមានដែនកំណត់ 6 នោះ b គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់នេះ។ ពីនិយមន័យ 6.3 នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ វាធ្វើតាមថា ដោយចាប់ផ្តើមពីចំនួនជាក់លាក់មួយ ធាតុទាំងអស់នៃជាបន្តបន្ទាប់ដែលមានដែនកំណត់ b ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់មួយ U(b,​​e) នៃកាំបំពាន e ចាប់តាំងពីធាតុនៃជាបន្តបន្ទាប់ ជាធាតុនៃលំដាប់ (xn) ក្នុងពេលដំណាលគ្នា > ធាតុ xn ធ្លាក់ក្នុងសង្កាត់នេះជាមួយនឹងចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត ហើយនេះដោយគុណធម៌នៃនិយមន័យ 6.7 មានន័យថា b គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (n) ។ ចំណាំ 0.2 ។ ទ្រឹស្ដី 6.9 និង 6.10 ក៏មានសុពលភាពផងដែរក្នុងករណីដែលចំណុចកំណត់គឺគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើនៅពេលបញ្ជាក់ពីសង្កាត់ merto នៃ U(6, 1 /n) យើងពិចារណាពីសង្កាត់ (ឬសង្កាត់) អាចត្រូវបានញែកចេញពីលំដាប់មួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម 6.11 (Bolzano - Weierstrass) រាល់លំដាប់ដែលមានព្រំដែនមានជាបន្តបន្ទាប់ដែលបង្រួបបង្រួមដល់ដែនកំណត់កំណត់ អនុញ្ញាតឱ្យធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់ (an) មាននៅចន្លោះលេខ a និង 6 ។ i.e. xn € [a, b] Vn € N. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកផ្នែក [a] , b] ជាពាក់កណ្តាល បន្ទាប់មកយ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកមួយនៃផ្នែករបស់វានឹងមានចំនួនធាតុមិនកំណត់នៃលំដាប់ ពីព្រោះបើមិនដូច្នេះទេ ផ្នែកទាំងមូល។ [a, b] នឹង​មាន​ចំនួន​កំណត់​នៃ​ពួក​វា ដែល​មិន​អាច​ទៅ​រួច សូម​ឱ្យ ] ជា​ផ្នែក​មួយ​នៃ​ផ្នែក [a], 6] ដែល​មាន​សំណុំ​ធាតុ​គ្មាន​កំណត់​នៃ​លំដាប់ (zn) (ឬ ប្រសិនបើពាក់កណ្តាលទាំងពីរគឺបែបនោះ ណាមួយនៃពួកគេ) ស្រដៀងគ្នាដែរ ពីផ្នែកដែលមានសំណុំធាតុគ្មានកំណត់នៃលំដាប់។ល។ បន្តដំណើរការនេះ យើងនឹងសាងសង់ប្រព័ន្ធនៃផ្នែកដែលជាប់គាំងជាមួយ bn - an = (6- a)/2P ។ យោងទៅតាមគោលការណ៍នៃផ្នែកដែលជាប់គាំង មានចំនុច x ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកទាំងអស់នេះ។ ចំណុចនេះនឹងក្លាយជាចំណុចកំណត់សម្រាប់លំដាប់ (xn) - តាមពិតសម្រាប់សង្កាត់ អ៊ី U(x, e) = (xx + e) ​​​​ចំណុច x មានផ្នែក C U(x, e) (វា វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការជ្រើសរើស n ពីវិសមភាព (ដែលមានចំនួនគ្មានកំណត់នៃធាតុនៃលំដាប់ (sn) ។ យោងតាមនិយមន័យ 6.7 x គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់នេះ។ បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទ 6.9 មានការបំប្លែងជាបន្តបន្ទាប់ទៅចំនុច x ។ វិធីសាស្រ្តនៃហេតុផលដែលប្រើក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះ (ជួនកាលវាត្រូវបានគេហៅថា Bolzano-Weyer-Strass lemma) ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងផ្នែកបន្តបន្ទាប់គ្នានៃផ្នែកដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាវិធីសាស្ត្រ Bolzano ។ ទ្រឹស្តីបទនេះជួយសម្រួលដល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទស្មុគស្មាញជាច្រើន។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទសំខាន់ៗមួយចំនួនតាមវិធីផ្សេងគ្នា (ជួនកាលសាមញ្ញជាង)។ ឧបសម្ព័ន្ធ 6.2 ។ ភស្តុតាងនៃការធ្វើតេស្ត Weierstrass និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy ជាដំបូងយើងបង្ហាញសេចក្តីថ្លែងការណ៍ 6.1 (ការធ្វើតេស្ត Weierstrass សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ monotonic ដែលមានព្រំដែន) ។ ចូរយើងសន្មត់ថាលំដាប់ (jn) មិនថយចុះទេ។ បន្ទាប់មកសំណុំនៃតម្លៃរបស់វាត្រូវបានចងនៅខាងលើ ហើយតាមទ្រឹស្តីបទ 2.1 មានកំពូលដែលយើងកំណត់ដោយ sup(xn) ជា R. ដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកំពូល (សូមមើល 2.7) ចំនុចកំណត់នៃលំដាប់គឺជាចំនួន បន្ទាត់ភស្តុតាងនៃការធ្វើតេស្ត Weierstrass និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy ។ យោងតាមនិយមន័យ 6.1 សម្រាប់លំដាប់មិនថយចុះដែលយើងមាន ឬបន្ទាប់មក > នី ហើយពិចារណា (6.34) យើងទទួលបានដែលទាក់ទងទៅនឹងនិយមន័យ 6.3 នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ពោលគឺឧ។ 31im(sn) និង lim(xn) = 66R។ ប្រសិនបើលំដាប់ (xn) មិនកើនឡើង នោះវគ្គនៃភស្តុតាងគឺស្រដៀងគ្នា។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅការបញ្ជាក់ពីភាពគ្រប់គ្រាន់នៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Kochia សម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃលំដាប់មួយ (សូមមើលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ 6.3) ដោយហេតុថាភាពចាំបាច់នៃលក្ខខណ្ឌលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យបានមកពីទ្រឹស្តីបទ 6.7 ។ សូមឱ្យលំដាប់ (jn) ជាមូលដ្ឋាន។ យោងតាមនិយមន័យ 6.4 ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមអំពើចិត្ត €> 0 មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញលេខ N(s) ដូចជា m^N និង n^N បង្កប់ន័យ។ បន្ទាប់មកយក m - N សម្រាប់ Vn > N យើងទទួលបាន€ £ ចាប់តាំងពីលំដាប់ដែលកំពុងពិចារណាមានចំនួនកំណត់នៃធាតុដែលមានលេខមិនលើសពី N វាធ្វើតាមពី (6.35) ដែលលំដាប់មូលដ្ឋានត្រូវបានចង (សម្រាប់ការប្រៀបធៀប សូមមើល។ ភ័ស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៦.២ ស្តីពីព្រំដែននៃលំដាប់រួមមួយ) ។ សម្រាប់​សំណុំ​តម្លៃ​នៃ​លំដាប់​ដែល​មាន​ព្រំដែន មាន​ព្រំដែន​អប្បរមា និង​កំពូល (មើល​ទ្រឹស្តីបទ ២.១)។ សម្រាប់​សំណុំ​តម្លៃ​ធាតុ​សម្រាប់ n > N យើង​សម្គាល់​មុខ​ទាំង​នេះ a = inf xn និង bjy = sup xn រៀង​គ្នា។ នៅពេលដែល N កើនឡើង ភាពអសកម្មពិតប្រាកដមិនថយចុះទេ ហើយកំពូលពិតប្រាកដមិនកើនឡើង ពោលគឺឧ។ . តើខ្ញុំទទួលបានប្រព័ន្ធម៉ាស៊ីនត្រជាក់ទេ? segments យោងទៅតាមគោលការណ៍នៃ nested segments មានចំនុចរួមមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ segments ទាំងអស់។ ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ ខ។ ដូច្នេះ ជាមួយនឹងការប្រៀបធៀប (៦. 36) និង (6.37) ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដែលត្រូវនឹងនិយមន័យ 6.3 នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ពោលគឺឧ។ 31im(x„) និង lim(sn) = 6 6 R. Bolzano បានចាប់ផ្តើមសិក្សាលំដាប់មូលដ្ឋាន។ ប៉ុន្តែគាត់មិនមានទ្រឹស្ដីតឹងរ៉ឹងនៃចំនួនពិតទេ ដូច្នេះហើយគាត់មិនអាចបញ្ជាក់ពីការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់មូលដ្ឋានបានទេ។ Cauchy បានធ្វើរឿងនេះដោយទទួលយកគោលការណ៍នៃផ្នែកដែលជាប់គាំងដែល Cantor ក្រោយមកបានអះអាង។ មិនត្រឹមតែជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឈ្មោះ Cauchy ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែលំដាប់ជាមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់ Cauchy ហើយគោលការណ៍នៃផ្នែកដែលជាប់គ្នាត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម Cantor ។ សំណួរ និងកិច្ចការ ៨.១. បញ្ជាក់៖ ៦.២. ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់មិនបញ្ចូលគ្នាជាមួយនឹងធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ Q ​​និង R\Q ។ ០.៣. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌណាដែលលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការនព្វន្ធ និងធរណីមាត្របង្កើតជាការថយចុះ និងបង្កើនលំដាប់? ៦.៤. បញ្ជាក់ទំនាក់ទំនងដែលតាមពីតារាង។ ៦.១. ៦.៥. បង្កើតឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ដែលមានទំនោរទៅរកចំណុចគ្មានកំណត់ +oo, -oo, oo និងឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ដែលបង្រួបបង្រួមទៅចំណុច 6 € R. c.v. តើ​លំដាប់​គ្មាន​ព្រំដែន​មិន​អាច​ជា b.b.? ប្រសិនបើបាទ/ចាស ចូរលើកឧទាហរណ៍មួយ។ នៅម៉ោង 7 ។ បង្កើតឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ផ្សេងគ្នាដែលមានធាតុផ្សំវិជ្ជមានដែលមិនមានដែនកំណត់ ឬគ្មានដែនកំណត់។ ៦.៨. បញ្ជាក់ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ (jn) ដែលផ្តល់ដោយរូបមន្តដដែលៗ sn+i = sin(xn/2) ក្រោមលក្ខខណ្ឌ “1 = 1. 6.9. បញ្ជាក់ថា lim(xn)=09 ប្រសិនបើ sn+i/xn-»g€ .

បែងចែកផ្នែក [ ក 0 ,ខ 0 ] ពាក់កណ្តាលជាពីរផ្នែកស្មើគ្នា។ យ៉ាងហោចណាស់ផ្នែកលទ្ធផលមួយមានចំនួនគ្មានកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់។ ចូរយើងសម្គាល់វា [ ក 1 ,ខ 1 ] .

នៅជំហានបន្ទាប់ យើងនឹងធ្វើបែបបទម្តងទៀតជាមួយនឹងផ្នែក [ ក 1 ,ខ 1 ]៖ ចែកវាជាពីរផ្នែកស្មើៗគ្នា ហើយជ្រើសរើសពីពួកវាមួយ ដែលចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យនៃលំដាប់កុហក។ ចូរយើងសម្គាល់វា [ ក 2 ,ខ 2 ] .

ការបន្តដំណើរការយើងទទួលបានលំដាប់នៃផ្នែកដែលជាប់គាំង

ក្នុង​នោះ​មួយ​បន្ទាប់​គ្នា​គឺ​ពាក់​ក​ណ្តា​ល​នៃ​មួយ​មុន​និង​មាន​ចំនួន​គ្មាន​កំណត់​នៃ​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​លំដាប់ ( x k } .

ប្រវែងនៃផ្នែកមានទំនោរទៅសូន្យ៖

ដោយគុណធម៌នៃគោលការណ៍ Cauchy-Cantor នៃផ្នែកដែលជាប់គាំង មានចំណុចមួយξដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកទាំងអស់៖

ដោយការសាងសង់លើផ្នែកនីមួយៗ [ក ម ,ខ ម ] មានចំនួនគ្មានកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់។ ចូរយើងជ្រើសរើសតាមលំដាប់លំដោយ

ខណៈពេលដែលសង្កេតមើលស្ថានភាពនៃចំនួនកើនឡើង:

បនា្ទាប់មក បនា្ទាប់មកប៉ះចំណុច ξ ។ នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាចម្ងាយពីទៅξមិនលើសពីប្រវែងនៃផ្នែកដែលមានពួកវា [ក ម ,ខ ម ] កន្លែងណា

ផ្នែកបន្ថែមទៅករណីនៃទំហំវិមាត្របំពាន

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass ងាយយល់ជាទូទៅចំពោះករណីនៃទំហំវិមាត្របំពាន។

សូមឱ្យលំដាប់នៃពិន្ទុក្នុងលំហត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

(សន្ទស្សន៍ខាងក្រោមគឺជាលេខសមាជិកលំដាប់ សន្ទស្សន៍ខាងលើគឺជាលេខសំរបសំរួល)។ ប្រសិនបើលំដាប់នៃចំនុចក្នុងលំហមានកំណត់ នោះលេខរៀងនៃកូអរដោណេនីមួយៗ៖

មានកំណត់ផងដែរ ( - លេខសំរបសំរួល) ។

ដោយគុណធម៌នៃកំណែមួយវិមាត្រនៃទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weirstrass ពីលំដាប់ ( x k) យើង​អាច​ជ្រើស​រើស​បន្តបន្ទាប់​នៃ​ចំណុច​ដែល​កូអរដោនេ​ដំបូង​បង្កើត​ជា​លំដាប់​រួម​មួយ។ ពីលទ្ធផលបន្តបន្ទាប់គ្នាម្តងទៀត យើងជ្រើសរើសបន្តបន្ទាប់ដែលបញ្ចូលគ្នាតាមកូអរដោនេទីពីរ។ ក្នុងករណីនេះ ការបង្រួបបង្រួមនៅតាមបណ្តោយកូអរដោណេទីមួយនឹងត្រូវបានរក្សាទុកដោយសារតែការពិតដែលថារាល់លំដាប់បន្តបន្ទាប់គ្នាក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ល​ល។

បន្ទាប់ពី នយើងទទួលបានលំដាប់ជាក់លាក់នៃជំហាន

ដែល​ជា​លទ្ធផល​បន្តបន្ទាប់​គ្នា​នៃ , និង​រួម​គ្នា​តាម​កូអរដោណេ​នីមួយៗ។ វា​បន្ទាប់​មក​ថា​ប​ណ្តា​ញ​នេះ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​។

រឿង

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass (សម្រាប់ករណី ន= 1) ត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលើកដំបូងដោយគណិតវិទូជនជាតិឆេក Bolzano ក្នុងឆ្នាំ 1817 ។ នៅក្នុងការងាររបស់ Bolzano វាបានដើរតួជា lemma នៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទស្តីពីតម្លៃមធ្យមនៃមុខងារបន្ត ដែលឥឡូវនេះគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Cauchy ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លទ្ធផលទាំងនេះ និងលទ្ធផលផ្សេងទៀត ដែលបង្ហាញឱ្យឃើញដោយ Bolzano ជាយូរមកហើយ មុនពេល Cauchy និង Weierstrass មិនបានកត់សម្គាល់ឡើយ។

ត្រឹមតែកន្លះសតវត្សក្រោយមក Weierstrass ឯករាជ្យពី Bolzano បានរកឃើញឡើងវិញ និងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះ។ ដើមឡើយត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Weierstrass មុនពេលការងាររបស់ Bolzano ត្រូវបានគេស្គាល់ និងទទួលយក។

សព្វថ្ងៃនេះទ្រឹស្តីបទនេះមានឈ្មោះ Bolzano និង Weierstrass ។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ Bolzano-Weierstrass លេម៉ានិងពេលខ្លះ ចំណុចកំណត់ lemma.

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass និងគំនិតនៃការបង្រួម

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass បង្កើតទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដូចខាងក្រោមនៃសំណុំព្រំដែន: គ្រប់លំដាប់នៃចំណុច មមាន​ការ​បញ្ចូល​គ្នា​ជា​បន្តបន្ទាប់។

នៅពេលបង្ហាញសំណើផ្សេងៗក្នុងការវិភាគ ពួកគេតែងតែងាកទៅរកបច្ចេកទេសខាងក្រោម៖ ពួកគេកំណត់លំដាប់នៃចំណុចដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិដែលចង់បាន ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសបន្តបន្ទាប់ពីវាដែលមានវាផងដែរ ប៉ុន្តែត្រូវបានបញ្ចូលគ្នារួចហើយ។ ជាឧទាហរណ៍ នេះជារបៀបដែលទ្រឹស្តីបទរបស់ Weierstrass ត្រូវបានបង្ហាញថាមុខងារបន្តនៅចន្លោះពេលមួយត្រូវបានកំណត់ ហើយយកតម្លៃធំបំផុត និងតិចបំផុត។

ប្រសិទ្ធភាពនៃបច្ចេកទេសបែបនេះជាទូទៅ ក៏ដូចជាការចង់ពង្រីកទ្រឹស្តីបទរបស់ Weierstrass ទៅកាន់លំហរង្វាស់តាមអំពើចិត្ត បានជំរុញឱ្យគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Maurice Fréchet ណែនាំគំនិតនៅឆ្នាំ 1906 ។ ការបង្រួម. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃសំណុំជាប់ព្រំដែន ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass គឺជាការនិយាយក្នុងន័យធៀបថា ចំណុចនៃសំណុំគឺស្ថិតនៅ "យ៉ាងជិតស្និទ្ធ" ឬ "បង្រួម"៖ ដោយបានធ្វើចំនួនជំហានគ្មានកំណត់តាមឈុតនេះ យើងនឹង ពិត​ជា​មក​ជិត​ដូច​ដែល​យើង​ចូល​ចិត្ត​ដល់​ចំណុច​ខ្លះ​ក្នុង​លំហ។

Frechet ណែនាំនិយមន័យដូចខាងក្រោមៈ set មហៅ បង្រួម, ឬ បង្រួមប្រសិនបើគ្រប់លំដាប់នៃចំណុចរបស់វាមានជាបន្តបន្ទាប់ដែលបំប្លែងទៅចំណុចមួយចំនួននៃសំណុំនេះ។ សន្មតថានៅលើឈុត មម៉ែត្រត្រូវបានកំណត់ នោះគឺវាគឺជា

និយមន័យ ១.ចំណុច x នៃបន្ទាត់គ្មានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (x n) ប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់ e-neighborhood ណាមួយនៃចំណុចនេះមានធាតុជាច្រើននៃលំដាប់ (x n)។

លេម៉ា ១.ប្រសិនបើ x គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (x k) បន្ទាប់មកពីលំដាប់នេះ យើងអាចជ្រើសរើសបន្ទាប់បន្សំ (x n k) បម្លែងទៅជាលេខ x ។

មតិយោបល់។សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយក៏ពិតដែរ។ ប្រសិនបើពីលំដាប់ (x k) អាចជ្រើសរើសបន្តបន្ទាប់ដែលបំប្លែងទៅលេខ x នោះលេខ x គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (x k)។ ពិតហើយ នៅក្នុងសង្កាត់ e-neighborhood ណាមួយនៃចំនុច x មានធាតុជាច្រើននៃភាគបន្តបន្ទាប់គ្នា ហើយដូច្នេះនៃលំដាប់ខ្លួនវា (x k)។

ពី Lemma 1 វាដូចខាងក្រោមដែលយើងអាចផ្តល់និយមន័យមួយផ្សេងទៀតនៃចំណុចកំណត់នៃលំដាប់មួយ ស្មើនឹងនិយមន័យ 1 ។

និយមន័យ ២.ចំណុច x នៃបន្ទាត់គ្មានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (x k) ប្រសិនបើពីលំដាប់នេះ គេអាចជ្រើសរើសបន្តបន្ទាប់ដែលបម្លែងទៅជា x ។

លេម៉ា ២.រាល់​លំដាប់​រួម​មាន​ចំណុច​កំណត់​មួយ​គត់ ដែល​ស្រប​នឹង​កម្រិត​នៃ​លំដាប់​នោះ។

មតិយោបល់។ប្រសិនបើលំដាប់បង្រួបបង្រួម នោះដោយលេមម៉ា 2 វាមានចំណុចកំណត់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើ (xn) មិនបញ្ចូលគ្នា នោះវាអាចមានចំណុចកំណត់ជាច្រើន (ហើយជាទូទៅ ចំណុចកំណត់ជាច្រើនគ្មានកំណត់)។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបង្ហាញថា (1+(-1) n ) មានចំនុចកំណត់ពីរ។

ពិតហើយ (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... មានពីរចំនុចកំណត់ 0 និង 2 ពីព្រោះ លំដាប់បន្តបន្ទាប់ (0)=0,0,0,... និង (2)=2,2,2,... នៃលំដាប់នេះមានដែនកំណត់នៃលេខ 0 និង 2 រៀងគ្នា លំដាប់នេះមិនមានចំណុចកំណត់ផ្សេងទៀតទេ។ ពិតហើយ សូមអោយ x ជាចំនុចណាមួយនៅលើអ័ក្សលេខក្រៅពីចំនុច 0 និង 2។ ចូរយើងយក e >0 ដូច្នេះ

តូចដូច្នេះថា អ៊ី - សង្កាត់នៃចំណុច 0, x និង 2 មិនប្រសព្វគ្នា។ e-neighborhood នៃចំណុច 0 និង 2 មានធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់ ដូច្នេះហើយ e-neighborhood នៃចំនុច x មិនអាចមានធាតុជាច្រើនគ្មានកំណត់ (1+(-1) n) ដូច្នេះហើយមិនមែនជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់នេះទេ។

ទ្រឹស្តីបទ។គ្រប់លំដាប់ដែលមានព្រំដែនមានចំណុចកំណត់យ៉ាងតិចមួយ។

មតិយោបល់។គ្មានលេខ x លើសទេ គឺជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (x n) i.e. - ចំណុចកំណត់ធំបំផុតនៃលំដាប់ (x n) ។

សូមឱ្យ x ជាលេខណាមួយធំជាង។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើស e> 0 តូចដូច្នេះ

និង x 1 О(x) នៅខាងស្តាំ x 1 មានចំនួនកំណត់នៃធាតុនៃលំដាប់ (x n) ឬមិនមានអ្វីទាំងអស់ ពោលគឺឧ។ x មិនមែនជាចំណុចកំណត់នៃលំដាប់ (x n) ទេ។

និយមន័យ។ចំណុចកំណត់ធំបំផុតនៃលំដាប់ (x n) ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ខាងលើនៃលំដាប់ ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា។ វាធ្វើតាមការកត់សម្គាល់ដែលគ្រប់លំដាប់ព្រំដែនមានដែនកំណត់ខាងលើ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ គំនិតនៃដែនកំណត់ទាបត្រូវបានណែនាំ (ជាចំណុចកំណត់តូចបំផុតនៃលំដាប់ (x n ))។

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម។ រាល់លំដាប់ដែលមានព្រំដែនមានដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោម។

ចូរយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមដោយគ្មានភស្តុតាង។

ទ្រឹស្តីបទ។ដើម្បីឱ្យលំដាប់ (x n) បញ្ចូលគ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាត្រូវបានចង ហើយដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមរបស់វាស្របគ្នា។

លទ្ធផលនៃផ្នែកនេះនាំទៅដល់ទ្រឹស្តីបទសំខាន់ខាងក្រោមនៃ Bolzano-Weierstrass ។

ទ្រឹស្តីបទ Bolzano-Weierstrass ។ពី​លំដាប់​ដែល​មាន​ព្រំដែន​ណា​មួយ​ដែល​គេ​អាច​ជ្រើស​រើស​បន្ទាប់​បន្សំ។

ភស្តុតាង។ដោយសារ​លំដាប់ (x n) ត្រូវ​បាន​កំណត់ វា​មាន​ចំណុច​កំណត់ x យ៉ាងតិច​មួយ។ បន្ទាប់​មក​ពី​លំដាប់​នេះ យើង​អាច​ជ្រើស​បន្តបន្ទាប់​គ្នា​ទៅ​ចំណុច x (តាម​ពី​និយមន័យ 2 នៃ​ចំណុច​កំណត់)។

មតិយោបល់។ពី​លំដាប់​ដែល​មាន​ព្រំដែន​ណា​មួយ​អាច​ញែក​ដាច់​ពី​គ្នា​នូវ​លំដាប់​បំប្លែង monotonic ។