សិស្សសាលា

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។ ទ្រឹស្តីលម្អិតជាមួយឧទាហរណ៍ (២០២០) វិធីសាស្រ្ត។ វិធីសាស្រ្តវ៉ិចទ័រ

បញ្ហា C2 នៃការប្រឡងស្ថានភាពឯកសណ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យាដើម្បីរកចម្ងាយពីចំណុចទៅយន្តហោះ

Kulikova Anastasia Yurievna

និស្សិតឆ្នាំទី៥ ផ្នែកគណិតវិទ្យា។ ការវិភាគពិជគណិត និងធរណីមាត្រ EI KFU សហព័ន្ធរុស្ស៊ី សាធារណរដ្ឋតាតាស្តង់ អេឡាប៊ូហ្គា

Ganeeva Aigul Rifovna

អ្នកគ្រប់គ្រងវិទ្យាសាស្រ្ត, Ph.D. ped ។ វិទ្យាសាស្រ្ត, សាស្រ្តាចារ្យរង EI KFU, សហព័ន្ធរុស្ស៊ី, សាធារណរដ្ឋតាតាស្តង់, Elabuga

ក្នុងប៉ុន្មានឆ្នាំថ្មីៗនេះ ភារកិច្ចលើការគណនាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះមួយបានលេចចេញជារូបរាងនៅក្នុងកិច្ចការប្រឡង Unified State ក្នុងគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ ដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាមួយ វិធីសាស្ត្រផ្សេងៗសម្រាប់ការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះត្រូវបានពិចារណា។ វិធីសាស្រ្តសមស្របបំផុតអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។ ដោយបានដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើវិធីសាស្រ្តមួយ អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រមួយផ្សេងទៀត។

និយមន័យ។ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះដែលមិនមានចំណុចនេះគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកកាត់កែងដែលដកចេញពីចំណុចនេះទៅយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

កិច្ចការ។បានផ្តល់ឱ្យរាងចតុកោណ parallelepiped កខជាមួយD.A. 1 ខ 1 គ 1 ឃ 1 ជាមួយភាគី AB=2, B.C.=4, A.A.១=៦. ស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុច ឃទៅយន្តហោះ ACឃ 1 .

1 វិធី. ការប្រើប្រាស់ និយមន័យ. រកចម្ងាយ r ( ឃ, ACឃ 1) ពីចំណុច ឃទៅយន្តហោះ ACឃ 1 (រូបទី 1) ។

រូបភាពទី 1. វិធីសាស្រ្តដំបូង

ចូរយើងអនុវត្ត D.H.⊥ACដូច្នេះ ដោយទ្រឹស្តីបទនៃកាត់កែងបី ឃ 1 ហ⊥ACនិង (DD 1 ហ)⊥AC. ចូរយើងអនុវត្ត ផ្ទាល់ D.T.កាត់កែង ឃ 1 ហ. ត្រង់ D.T.ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ DD 1 ហដូច្នេះ D.T.⊥A.C.. អាស្រ័យហេតុនេះ D.T.⊥ACឃ 1.

កឌី.ស៊ីចូរយើងស្វែងរកអ៊ីប៉ូតេនុស ACនិងកម្ពស់ D.H.

ពីត្រីកោណកែង ឃ 1 D.H. ចូរយើងស្វែងរកអ៊ីប៉ូតេនុស ឃ 1 ហនិងកម្ពស់ D.T.

ចម្លើយ៖ ។

វិធីសាស្រ្ត 2 ។វិធីសាស្រ្តកម្រិតសំឡេង (ការប្រើប្រាស់ពីរ៉ាមីតជំនួយ). បញ្ហានៃប្រភេទនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបញ្ហានៃការគណនាកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីតដែលកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីតគឺជាចម្ងាយដែលត្រូវការពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះមួយ។ បង្ហាញថាកម្ពស់នេះគឺជាចម្ងាយដែលត្រូវការ; ស្វែងរកបរិមាណនៃពីរ៉ាមីតនេះតាមពីរវិធី និងបង្ហាញពីកម្ពស់នេះ។

ចំណាំថាជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះមិនចាំបាច់សាងសង់កាត់កែងពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

cuboid គឺជា parallelepiped ដែលមុខទាំងអស់របស់វាមានរាងចតុកោណ។

AB=ស៊ីឌី=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

ចម្ងាយដែលត្រូវការនឹងជាកម្ពស់ hពីរ៉ាមីត ACD 1 ឃ, ធ្លាក់ចុះពីកំពូល ឃនៅលើមូលដ្ឋាន ACD 1 (រូបទី 2) ។

ចូរយើងគណនាបរិមាណនៃពីរ៉ាមីត ACD 1 ឃវិធីពីរ។

នៅពេលគណនាតាមវិធីដំបូង យើងយក ∆ ជាមូលដ្ឋាន ACD 1 បន្ទាប់មក

នៅពេលគណនាតាមវិធីទីពីរ យើងយក ∆ ជាគោល ACD, បន្ទាប់មក

ចូរយើងធ្វើសមភាពផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពទាំងពីរចុងក្រោយ ហើយទទួលបាន

រូបភាពទី 2. វិធីសាស្រ្តទីពីរ

ពីត្រីកោណកែង ACឃ, បន្ថែម 1 , CDD 1 ស្វែងរកអ៊ីប៉ូតេនុសដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ

ACD

គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ACឃ 1 ដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Heron

ចម្លើយ៖ ។

3 វិធី។ វិធីសាស្រ្តសម្របសម្រួល។

សូមឱ្យចំណុចមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ម(x 0 ,y 0 ,z 0) និងយន្តហោះ α ផ្តល់ដោយសមីការ ពូថៅ+ដោយ+cz+ឃ=0 ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេរាងចតុកោណ។ ចម្ងាយពីចំណុច មទៅយន្តហោះ α អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖

សូមណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (រូបភាពទី 3) ។ ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេនៅចំណុចមួយ។ IN;

ត្រង់ AB- អ័ក្ស X, ត្រង់ ព្រះអាទិត្យ- អ័ក្ស y, ត្រង់ ប៊ី.ប៊ី 1 - អ័ក្ស z.

រូបភាពទី 3. វិធីសាស្រ្តទីបី

ខ(0,0,0), ក(2,0,0), ជាមួយ(0,4,0), ឃ(2,4,0), ឃ 1 (2,4,6).

អនុញ្ញាតឱ្យ កx+ដោយ+ cz+ ឃ=0 – សមីការយន្តហោះ ACD១. ការជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចចូលទៅក្នុងវា។ ក, គ, ឃ 1 យើងទទួលបាន:

សមីការយន្តហោះ ACD 1 នឹងយកទម្រង់

ចម្លើយ៖ ។

4 វិធី។ វិធីសាស្រ្តវ៉ិចទ័រ។

ចូរយើងណែនាំមូលដ្ឋាន (រូបភាពទី 4) , .

រូបភាពទី 4. វិធីសាស្រ្តទី 4

, ការប្រកួតប្រជែង "បទបង្ហាញសម្រាប់មេរៀន"

ថ្នាក់៖ 11

បទបង្ហាញសម្រាប់មេរៀន

ថយក្រោយ

យកចិត្តទុកដាក់! ការមើលជាមុនស្លាយគឺសម្រាប់គោលបំណងផ្តល់ព័ត៌មានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រហែលជាមិនតំណាងឱ្យលក្ខណៈពិសេសទាំងអស់នៃបទបង្ហាញនោះទេ។ ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍លើការងារនេះ សូមទាញយកកំណែពេញលេញ។

គោលដៅ៖

ទូទៅ និងការរៀបចំប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹង និងជំនាញរបស់សិស្ស;
ការអភិវឌ្ឍជំនាញក្នុងការវិភាគ ប្រៀបធៀប ទាញការសន្និដ្ឋាន។

ឧបករណ៍៖

ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំងពហុព័ត៌មាន;
កុំព្យូទ័រ;
សន្លឹកដែលមានអត្ថបទបញ្ហា

វឌ្ឍនភាពនៃថ្នាក់

I. ពេលរៀបចំ

II. ដំណាក់កាលធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង(ស្លាយ 2)

យើងនិយាយឡើងវិញពីរបៀបដែលចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះត្រូវបានកំណត់

III. ការបង្រៀន(ស្លាយ ៣-១៥)

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលវិធីផ្សេងៗដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។

វិធីសាស្រ្តដំបូង៖ ការគណនាតាមលំដាប់លំដោយ

ចម្ងាយពីចំណុច M ទៅយន្តហោះ α៖
- ស្មើនឹងចម្ងាយទៅយន្តហោះ α ពីចំណុចបំពាន P ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ a ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M និងស្របទៅនឹងយន្តហោះ α;
- គឺស្មើនឹងចម្ងាយទៅយន្តហោះ α ពីចំណុចបំពាន P ដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះ β ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M និងស្របទៅនឹងយន្តហោះ α ។

យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាដូចខាងក្រោមៈ

№1. ក្នុងគូប A...D 1 រកចំងាយពីចំណុច C 1 ទៅយន្តហោះ AB 1 C ។

វានៅសល់ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃប្រវែងនៃផ្នែក O 1 N ។

№2. នៅក្នុងព្រីសរាងប្រាំជ្រុងធម្មតា A...F 1 គែមទាំងអស់ដែលស្មើនឹង 1 រកចំងាយពីចំណុច A ដល់យន្តហោះ DEA 1។

វិធីសាស្រ្តបន្ទាប់៖ វិធីសាស្រ្តកម្រិតសំឡេង.

ប្រសិនបើបរិមាណនៃពីរ៉ាមីត ABCM ស្មើនឹង V នោះចម្ងាយពីចំណុច M ទៅយន្តហោះ α ដែលមាន ∆ABC ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា យើងប្រើសមភាពនៃបរិមាណនៃតួលេខមួយ ដែលបង្ហាញតាមវិធីពីរផ្សេងគ្នា។

តោះដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម៖

№3. គែម AD នៃពីរ៉ាមីត DABC កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះមូលដ្ឋាន ABC ។ រកចំងាយពី A ទៅយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំនុចកណ្តាលនៃគែម AB, AC និង AD, if ។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា វិធីសាស្រ្តសំរបសំរួលចម្ងាយពីចំណុច M ទៅយន្តហោះ α អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត ρ(M; α) = ដែលជាកន្លែងដែល M(x 0; y 0; z 0) ហើយយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ ax + ដោយ + cz + d = 0

តោះដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម៖

№4. ក្នុងឯកតាគូប A...D 1 រកចម្ងាយពីចំណុច A 1 ទៅយន្តហោះ BDC 1 ។

សូមណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលមានប្រភពដើមនៅចំណុច A អ័ក្ស y នឹងរត់តាមគែម AB អ័ក្ស x តាមគែម AD និងអ័ក្ស z តាមគែម AA 1។ បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំណុច B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
ចូរបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច B, D, C 1 ។

បន្ទាប់មក – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1 = 0 ។ ដូច្នេះ ρ =

វិធីសាស្រ្តខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះគឺ វិធីសាស្រ្តនៃបញ្ហានៃការគាំទ្រ។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះមាននៅក្នុងការប្រើប្រាស់បញ្ហាយោងដែលគេស្គាល់ ដែលត្រូវបានបង្កើតជាទ្រឹស្តីបទ។

តោះដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោម៖

№5. ក្នុងគូបឯកតា A...D 1 រកចម្ងាយពីចំណុច D 1 ទៅយន្តហោះ AB 1 C ។

តោះពិចារណាកម្មវិធី វិធីសាស្រ្តវ៉ិចទ័រ។

№6. ក្នុងគូបឯកតា A...D 1 រកចម្ងាយពីចំណុច A 1 ទៅយន្តហោះ BDC 1 ។

ដូច្នេះ យើងបានពិនិត្យមើលវិធីសាស្ត្រផ្សេងៗដែលអាចប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាប្រភេទនេះ។ ជម្រើសនៃវិធីសាស្រ្តមួយឬមួយផ្សេងទៀតអាស្រ័យលើភារកិច្ចជាក់លាក់និងចំណូលចិត្តរបស់អ្នក។

IV. ការងារជាក្រុម

ព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាតាមវិធីផ្សេងៗ។

№1. គែមនៃគូប A...D 1 គឺស្មើនឹង . រកចំងាយពីចំនុចកំពូល C ទៅយន្តហោះ BDC ១.

№2. នៅក្នុង tetrahedron ABCD ធម្មតាដែលមានគែមមួយ រកចំងាយពីចំណុច A ទៅយន្តហោះ BDC

№3. ក្នុងព្រីសរាងត្រីកោណធម្មតា ABCA 1 B 1 C 1 គែមទាំងអស់ដែលស្មើនឹង 1 រកចម្ងាយពី A ទៅយន្តហោះ BCA 1 ។

№4. នៅក្នុងសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុងធម្មតា SABCD គែមទាំងអស់ដែលស្មើនឹង 1 រកចម្ងាយពី A ទៅយន្តហោះ SCD ។

V. ការសង្ខេបមេរៀន កិច្ចការផ្ទះ ការឆ្លុះបញ្ចាំង

ការរក្សាភាពឯកជនរបស់អ្នកគឺសំខាន់សម្រាប់ពួកយើង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងបានបង្កើតគោលការណ៍ឯកជនភាពដែលពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ និងរក្សាទុកព័ត៌មានរបស់អ្នក។ សូមពិនិត្យមើលការអនុវត្តឯកជនភាពរបស់យើង ហើយប្រាប់យើងឱ្យដឹង ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ។

ការប្រមូល និងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសំដៅលើទិន្នន័យដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណ ឬទាក់ទងបុគ្គលជាក់លាក់។

អ្នកអាចត្រូវបានស្នើសុំឱ្យផ្តល់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកគ្រប់ពេលនៅពេលអ្នកទាក់ទងមកយើង។

ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃប្រភេទព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងអាចប្រមូលបាន និងរបៀបដែលយើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានទាំងនោះ។

តើយើងប្រមូលព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនអ្វីខ្លះ៖

នៅពេលអ្នកដាក់ពាក្យស្នើសុំនៅលើគេហទំព័រ យើងអាចប្រមូលព័ត៌មានផ្សេងៗ រួមទាំងឈ្មោះ លេខទូរស័ព្ទ អាសយដ្ឋានអ៊ីមែល។ល។

របៀបដែលយើងប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលបានអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាក់ទងអ្នកជាមួយនឹងការផ្តល់ជូនពិសេស ការផ្សព្វផ្សាយ និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត និងព្រឹត្តិការណ៍នាពេលខាងមុខ។
ពីពេលមួយទៅពេលមួយ យើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក ដើម្បីផ្ញើការជូនដំណឹង និងទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗ។
យើងក៏អាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់គោលបំណងផ្ទៃក្នុងផងដែរ ដូចជាការធ្វើសវនកម្ម ការវិភាគទិន្នន័យ និងការស្រាវជ្រាវផ្សេងៗ ដើម្បីកែលម្អសេវាកម្មដែលយើងផ្តល់ និងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវការណែនាំទាក់ទងនឹងសេវាកម្មរបស់យើង។
ប្រសិនបើអ្នកចូលរួមក្នុងការចាប់រង្វាន់ ការប្រកួតប្រជែង ឬការផ្សព្វផ្សាយស្រដៀងគ្នា យើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានដែលអ្នកផ្តល់ដើម្បីគ្រប់គ្រងកម្មវិធីបែបនេះ។

ការបង្ហាញព័ត៌មានដល់ភាគីទីបី

យើងមិនបង្ហាញព័ត៌មានដែលទទួលបានពីអ្នកទៅភាគីទីបីទេ។

ករណីលើកលែង៖

ប្រសិនបើចាំបាច់ - ស្របតាមច្បាប់ នីតិវិធីតុលាការ ក្នុងដំណើរការផ្លូវច្បាប់ និង/ឬផ្អែកលើសំណើសាធារណៈ ឬសំណើពីអាជ្ញាធររដ្ឋាភិបាលនៅលើទឹកដីនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី - ដើម្បីបង្ហាញព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ យើងក៏អាចបង្ហាញព័ត៌មានអំពីអ្នកផងដែរ ប្រសិនបើយើងកំណត់ថាការបង្ហាញបែបនេះគឺចាំបាច់ ឬសមរម្យសម្រាប់សន្តិសុខ ការអនុវត្តច្បាប់ ឬគោលបំណងសំខាន់សាធារណៈផ្សេងទៀត។
នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការរៀបចំឡើងវិញ ការរួមបញ្ចូលគ្នា ឬការលក់ យើងអាចផ្ទេរព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលទៅឱ្យភាគីទីបីស្នងតំណែង។

ការការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

យើងមានការប្រុងប្រយ័ត្ន - រួមទាំងរដ្ឋបាល បច្ចេកទេស និងរូបវន្ត - ដើម្បីការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកពីការបាត់បង់ ការលួច និងការប្រើប្រាស់ខុស ក៏ដូចជាការចូលប្រើប្រាស់ ការលាតត្រដាង ការផ្លាស់ប្តូរ និងការបំផ្លិចបំផ្លាញដោយគ្មានការអនុញ្ញាត។

គោរពឯកជនភាពរបស់អ្នកនៅកម្រិតក្រុមហ៊ុន

ដើម្បីធានាថាព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកមានសុវត្ថិភាព យើងទំនាក់ទំនងឯកជនភាព និងស្តង់ដារសុវត្ថិភាពដល់បុគ្គលិករបស់យើង និងអនុវត្តការអនុវត្តឯកជនភាពយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

ចូរយើងពិចារណាលើយន្តហោះជាក់លាក់មួយπ និងចំណុចបំពាន M 0 នៅក្នុងលំហ។ តោះជ្រើសរើសយន្តហោះ ឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតា។ n ជាមួយ ការចាប់ផ្ដើមនៅចំណុចខ្លះ M 1 ∈ π ហើយទុក p(M 0 ,π) ជាចំងាយពីចំនុច M 0 ទៅប្លង់π។ បន្ទាប់មក (រូបភាព ៥.៥)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

តាំងពី |n| = ១.

ប្រសិនបើយន្តហោះ π ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណជាមួយនឹងសមីការទូទៅរបស់វា។អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0 បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វាគឺវ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេ (A; B; C) ហើយយើងអាចជ្រើសរើស

អនុញ្ញាតឱ្យ (x 0 ; y 0 ; z 0) និង (x 1 ; y 1 ; z 1) ជាកូអរដោនេនៃចំនុច M 0 និង M 1 ។ បន្ទាប់មកសមភាព Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 រក្សា ចាប់តាំងពីចំនុច M 1 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ ហើយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ M 1 M 0 អាចរកបាន៖ M 1 M 0 = (x 0 - x 1; y 0 -y 1 ; ការថត ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន nM 1 M 0 ក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ និងបំប្លែង (5.8) យើងទទួលបាន

ចាប់តាំងពី Ax 1 + ដោយ 1 + Cz 1 = - D. ដូច្នេះដើម្បីគណនាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ អ្នកត្រូវជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទៅក្នុងសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ ហើយបន្ទាប់មកបែងចែកតម្លៃដាច់ខាតនៃ លទ្ធផលដោយកត្តាធម្មតាស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាដែលត្រូវគ្នា។