Жасау

Модульмен теңсіздіктерді шешу. Сыныптан тыс сабақ – сандық модуль Оң және теріс сандар

ШМО басшысы
математика мұғалімдері _______Калашникова Ж.Ю.Қалалық бюджеттік білім беру мекемесі
«Орташа жалпы білім беретін мектеп№ 89"
6-сыныптарға арналған математикадан тақырыптық бақылау жұмыстары
оқулығы бойынша И.И. Зубарева және А.Г. Мордкович
Құрастырған: математика мұғалімдері:
Калашникова Жанна Юрьевна
Столбова Людмила Антоновна
ЗАТО Северск
2016
Мазмұны
Тест № 1……………………………………………………………………………………………………………….3-6
Тест №2……………………………………………………………………………………….7-10
Тест №3…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… № № № 3 тест.11-14
Жауаптар…………………………………………………………………………………………………..15
Тест No1 «Оң және теріс сандар»
1 нұсқа
Теріс бөлшек санды енгізіңіз:
-165
38
-7.92
67 «Координаталық сәуледе -5,5 саны белгіленген» оқиғасын сипаттаңыз.
Сенімді
Мүмкін емес
Кездейсоқ

Төрт санның қайсысы ең үлкен?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Қандай нүкте координаталық түзуде О (0) нүктесінің оң жағында орналасқан?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1,2)
Түнде ауа температурасы -5°C болды. Күндізгі уақытта термометр +3 °C болды. Ауа температурасы қалай өзгерді?
8o өсті
2o азайған
2o өсті
8o төмендеді
Х(-2) нүктесі координаталық түзуде – симметрия центрінде белгіленген. Осы түзуде орналасқан нүктелердің координаталарын х нүктесіне симметриялы түрде көрсетіңіз.

(-1) және (1)
(-1) және (1)
(3) және (-3)
(0) және (-4)
Координаталық түзудің қай нүктелері басына қатысты симметриялы емес - О нүктесі (0).
B(-5) және C(5)
D(0,5) және E(-0,5)
M(-3) және K(13)
A(18) және X(-18)
0,316+0,4 сандарының қосындысы неге тең?
0,356
0,716
4,316
0,32
0,4 санының 25%-ын есептеңіз.
0,1
0,001
10
100
9100 мен 0,03 айырмасын есептеңдер
0,05
0,6
9,03
3502-нұсқа
Теріс бөлшек санды енгізіңіз.
8,63
-1045
913-0,2
«Координаталық сәуледе 7 саны белгіленген» оқиғасын сипаттаңыз.
Кездейсоқ
Мүмкін емес
Сенімді
Қай сан ең кіші?
15,49
154,9
1,549
1549
Нүктелердің қайсысы координаталық түзуде О(0) нүктесінің сол жағында орналасқан.
A(-0,5)
6)
M(0,5)
K(38)
Күндіз термометр +5°C, кешке -2°C көрсетті. Ауа температурасы қалай өзгерді?
3o өсті
7o төмендеді
3o төмендеді
7o-ға өсті
Симметрия центрі координаталық түзуде – А(-3) нүктесінде белгіленген. Осы түзуде орналасқан нүктелердің координаталарын А нүктесіне симметриялы түрде көрсетіңіз.

(-2) және (2)
(0) және (-5)
(-6) және (1)
(-1) және (-5)
Координаталық түзудің қай нүктелері басына қатысты симметриялы емес – О(0) нүктесі.
A(6) және B(-6)
C(12) және D(-2)
M(-1) және K(1)
X (-9) және Y (9)
0,237 және 0,3 сандарының қосындысы неге тең?
0,24
3,237
0,537
0,267
0,5-тің 20%-ын есептеңіз
10
0,1
0,2
0,01
0,07 мен 31001250,5 айырмасын есептеңдер
1
425Тест No 2. Санның абсолютті мәні. Қарама-қарсы сандар.
1 нұсқа
Берілген сандардың қайсысының модулі ең кіші
-11
1013-4,196
-4,2
Дұрыс емес теңдеуді көрсетіңіз
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Модуль жоқ теріс санболып табылады теріс емес сан. Бұл мәлімдеме рас па?
Иә
Жоқ
Осы сандардың қайсысы -34 санына қарама-қарсы?43-43-3434 m = -15 болса -(-m) өрнектің мәні неге тең?
+15
-15
Өрнектің мәнін есептеңдер: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Теңдеуді шешіңіз: x=40-40
40
40 немесе -40
2,75 және 3,9 сандарының арасындағы координаталық түзуде қандай бүтін сандар орналасқан?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
-30>-50 теңсіздігі дұрыс па?
Жоқ
x≤30, 1, 2 болса, барлық х бүтін сандарын тізіп көрсетіңіз
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
2-нұсқа
Қай санның модулі ең үлкен?
-0,6
-50,603
493550,530
Дұрыс емес теңдеуді көрсетіңіз
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Теріс санның модулі теріс сан бола ала ма?
Иә
Жоқ

Осы сандардың қайсысы 124 санына қарама-қарсы сан?
-24
24
-124124К = -9 болса, –(-k) өрнектің мәні неге тең
-9
+9
Өрнектің мәнін есептеңдер: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
x=100100 теңдеуін шешіңіз
-100
100 немесе -100
1 және - 4.5 сандарының арасындағы координаталық түзуде қандай бүтін сандар орналасқан
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
-25 теңсіздігі дұрыс па?<-10?
Иә
Жоқ
Барлық бүтін x сандарын көрсетіңіз, егер x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Тест №3. Сандарды салыстыру
1 нұсқа
Теңсіздіктердің қайсысы жалған?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
0 саны кез келген теріс саннан үлкен екені рас па?
Иә
Жоқ
a саны теріс емес. Бұл мәлімдемені теңсіздік ретінде қалай жазуға болады?
а<0a≤0a≥0a>0Берілген сандардың ең үлкенін көрсетіңіз.
0,16
-3018-0,4
0,01
х-тің қандай табиғи мәндері үшін x≤44, 3, 2 теңсіздігі дұрыс болады?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
y-тің қандай бүтін мәндері үшін y теңсіздігі ақиқат болады?<-2?0
-1
0, -1, 1
Мұндай құндылықтар жоқ
Сандар -6; -3,8; -115; 0,8 орналасқан:
Азайту ретімен
Көбейту ретімен
Тәртіпсіз
Радиодан ауа райы болжамы берілді: ауа температурасы -20 °C дейін төмендейді деп күтілуде. Бұл оқиғаны сипаттаңыз:
Мүмкін емес
Сенімді
Кездейсоқ
2-нұсқа
Теңсіздіктердің қайсысы дұрыс?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Теңсіздік ақиқат болу үшін осы бөлшектердің арасына қандай таңба жазу керек?
-1315 -715<
>
=
0 саны кез келген теріс саннан кіші екені рас па?
Иә
Жоқ
х саны нөлден үлкен емес. Бұл мәлімдемені теңсіздік ретінде қалай жазуға болады?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35А-ның қандай табиғи мәндері үшін a≤3 теңсіздігі дұрыс?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
m-тің қандай бүтін мәндері үшін m теңсіздігі дұрыс болады?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Мұндай құндылықтар жоқ
1,2 сандары; -1,2; -427; -100 орналасқан:
Тәртіпсіз
Көбейту ретімен
Азайту ретімен
Координаталық түзуде А(5) нүктесі белгіленген. Бұл түзуде басқа В нүктесі кездейсоқ белгіленді. Оның координаты 5-ке қарама-қарсы сан болып шықты. Осы оқиғаны сипаттаңыз.
Кездейсоқ
Сенімді
Мүмкін емес
Жауаптар
Тест No1 Тест No2
No 1-нұсқа 2-нұсқа
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
No 1-нұсқа 2-нұсқа
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Тест №3
No 1-нұсқа 2-нұсқа
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3

Оң (натурал) сандар, теріс сандар және нөлден тұрады.

Барлық теріс сандар және тек олар нөлден кіші. Сан түзуінде теріс сандар нөлдің сол жағында орналасқан. Олар үшін, оң сандар сияқты, бір бүтін санды екіншісімен салыстыруға мүмкіндік беретін реттік қатынас анықталады.

Әрбір натурал сан үшін nдеп белгіленген бір ғана теріс сан бар -n, ол толықтырады nнөлге дейін: n + (− n) = 0 . Екі нөмір де шақырылады қарама-қарсыбір-біріне. Бүтін санды алу аоны қарама-қарсысымен қосуға тең: -а.

Теріс сандардың қасиеттері

Теріс сандар натурал сандар сияқты дерлік ережелерді сақтайды, бірақ кейбір ерекше белгілері бар.

Тарихи эскиз

Әдебиет

Выгодский М.Я.Бастауыш математика анықтамалығы. - М.: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Глейзер Г.И.Мектептегі математиканың тарихы. – М.: Білім, 1964. – 376 б.

Сілтемелер

Викимедиа қоры. 2010.

Абайсызда зиян келтіру
Неотропты заттар

Басқа сөздіктерде «теріс емес сан» деген не екенін қараңыз:

Нақты сан- Нақты немесе нақты сан - қоршаған дүниенің геометриялық және физикалық шамаларын өлшеу, сонымен қатар түбірлерді алу, логарифмдерді есептеу, шешу... ... ... Википедия

әдетте шағын теріс емес бүтін сан- Шектеусіз теріс емес бүтін санның мәндерін білдіретін, бірақ шағын мәндер жиірек болатын кодтаудың бөлігі (ITU T X.691). Тақырыптар...... Техникалық аудармашыға арналған нұсқаулық

НАҚТЫ САН- нақты сан, оң сан, теріс сан немесе нөл. Сан ұғымы рационал сан ұғымын кеңейту арқылы пайда болды. Бұл кеңейтудің қажеттілігі математиканы өрнектеуде практикалық қолданумен де байланысты ... ... Математикалық энциклопедия

жай сан- Жай сан - бұл нақты екі натурал бөлгіші бар натурал сан: бір және өзі. Біреуден басқа барлық басқа натурал сандар құрама деп аталады. Сонымен, барлық натурал сандар бірден үлкен... ... Wikipedia

натурал сан- ▲ бүтін өрнек, нақты, сандық натурал сан теріс емес бүтін сан; жеке бүтін объектілердің санын немен көрсетеді l. агрегаттар; нақты бүтін объектілердің санын белгілеу; сандарды білдіру. төрт... Орыс тілінің идеографиялық сөздігі

Ондық- Ондық бөлшек - бұл бөлшектің таңбасы: не, немесе, бүтін сан мен санның бөлшек бөлігінің арасында бөлгіш қызметін атқаратын ондық нүкте болатын пішінде нақты сандарды көрсету тәсілі болып табылатын бөлшек түрі. .. ... Wikipedia Wikipedia

Арнайы сан ретінде оның белгісі жоқ.

Сандарды жазуға мысалдар: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.)Соңғы санның таңбасы жоқ, сондықтан оң.

Айта кету керек, плюс және минус сандар үшін таңбаны көрсетеді, бірақ әріптік айнымалылар немесе алгебралық өрнектер үшін емес. Мысалы, формулаларда − t ; a+b; − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))))Плюс және минус таңбалары олардың алдында тұрған өрнектің белгісін емес, арифметикалық операцияның белгісін көрсетеді, сондықтан нәтиженің таңбасы кез келген нәрсе болуы мүмкін, ол өрнек бағаланғаннан кейін ғана анықталады;

Арифметикадан басқа, белгі ұғымы математиканың басқа салаларында, соның ішінде сандық емес математикалық объектілер үшін де қолданылады (төменде қараңыз). Физикалық шамалар шартты түрде оң және теріс деп аталатын екі класқа бөлінетін физика салаларында да белгі ұғымының маңызы зор - мысалы, электр зарядтары, оң және теріс кері байланыс, әртүрлі тартылыс және тебілу күштері.

Сан белгісі

Оң және теріс сандар

Нөлге ешқандай белгі берілмейді, яғни + 0 (\displaystyle +0)Және − 0 (\displaystyle -0)- бұл арифметикадағы бірдей сан. Математикалық талдауда таңбалардың мағынасы + 0 (\displaystyle +0)Және − 0 (\displaystyle -0)әртүрлі болуы мүмкін, бұл туралы Теріс және оң нөлді қараңыз; информатикада екі нөлдің компьютерлік кодталуы (бүтін сан түрі) әртүрлі болуы мүмкін, Тікелей кодты қараңыз.

Жоғарыда айтылғандарға байланысты тағы бірнеше пайдалы терминдер енгізілді:

Сан теріс емес, егер ол нөлден үлкен немесе тең болса.
Сан теріс, егер ол нөлден кіші немесе тең болса.
Нөлсіз оң сандар және нөлсіз теріс сандар кейде (олардың нөл емес екенін атап өту үшін) сәйкесінше «қатаң оң» және «қатаң теріс» деп аталады.

Бірдей терминология кейде нақты функциялар үшін де қолданылады. Мысалы, функция шақырылады оң, егер оның барлық мәндері оң болса, теріс емес, егер оның барлық мәндері теріс емес болса және т.б. Олар функцияның оның анықтамасының берілген интервалында оң/теріс екенін айтады.

Функцияны пайдалану мысалы үшін Шаршы түбір#Күрделі сандар мақаласын қараңыз.

Санның модулі (абсолюттік мәні).

Егер нөмір x (\displaystyle x)белгіні алып тастаңыз, нәтижесінде алынған мән шақырылады модульнемесе абсолютті мәнсандар x (\displaystyle x), ол белгіленген | x | . (\displaystyle |x |.)Мысалдар: | 3 | = 3 ; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Кез келген нақты сандар үшін a , b (\displaystyle a,b)келесі қасиеттер сақталады.

Сандық емес нысандар үшін белгі

Бұрыш белгісі

Жазықтықтағы бұрыштың мәні, егер ол сағат тіліне қарсы өлшенсе, оң, әйтпесе теріс деп есептеледі. Айналудың екі жағдайы ұқсас жіктеледі:

жазықтықта айналу - мысалы, (–90°) айналу сағат тілімен жүреді;
Бағдарланған ось айналасындағы кеңістіктегі айналу, әдетте, егер «гимлет ережесі» орындалса, оң деп саналады, әйтпесе ол теріс болып саналады.

Бағыт белгісі

Аналитикалық геометрия мен физикада берілген түзу немесе қисық бойындағы ілгерілеушіліктер көбінесе шартты түрде оң және теріс болып бөлінеді. Мұндай бөлу есептің тұжырымына немесе таңдалған координаттар жүйесіне байланысты болуы мүмкін. Мысалы, қисық сызықтың доғасының ұзындығын есептегенде, бұл ұзындыққа екі мүмкін бағыттың бірінде минус белгісін тағайындау жиі ыңғайлы.

Есептеуге кіру

ең маңызды бит
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Бүтін санның белгісін көрсету үшін көптеген компьютерлер пайдаланады

Бұл сабақта нақты санның модулі түсінігі қарастырылады және оның кейбір негізгі анықтамаларымен таныстырылады, содан кейін осы анықтамалардың әртүрлі қолданылуын көрсететін мысалдар келтіріледі.

Тақырыбы:Нақты сандар

Сабақ:Нақты санның модулі

1. Модуль анықтамалары

Нақты санның модулі сияқты ұғымды қарастырайық, оның бірнеше анықтамалары бар;

Анықтама 1. Координаталық түзудегі нүктеден нөлге дейінгі қашықтық деп аталады модуль саны, бұл нүктенің координатасы (1-сурет).

1-мысал. . Қарама-қарсы сандардың модульдері тең және теріс емес екенін ескеріңіз, өйткені бұл қашықтық, бірақ ол теріс болуы мүмкін емес және симметриялы сандардан нөлге жуық нүктеге дейінгі қашықтық тең.

Анықтама 2. .

Мысал 2. Енгізілген анықтамалардың баламалылығын көрсету үшін алдыңғы мысалда қойылған есептердің бірін қарастырайық. , көріп отырғанымыздай, модуль таңбасының астындағы теріс санмен оның алдына тағы бір минус қосу модуль анықтамасынан төмендегідей теріс емес нәтиже береді.

Салдары. Координаталық түзудегі координаталары бар екі нүктенің арақашықтығын төмендегідей табуға болады нүктелердің өзара орналасуына қарамастан (2-сурет).

2. Модульдің негізгі қасиеттері

1. Кез келген санның модулі теріс емес

2. Өнімнің модулі модульдердің көбейтіндісі болып табылады

3. Бөлім модулі модульдер бөлімі болып табылады

3. Мәселені шешу

Мысал 3. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Екінші модуль анықтамасын қолданайық: және модульді ашудың әртүрлі нұсқалары үшін теңдеулер жүйесі түрінде теңдемізді жазыңыз.

Мысал 4. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Алдыңғы мысалдың шешіміне ұқсас, біз мынаны аламыз.

Мысал 5. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Модульдің бірінші анықтамасынан қорытынды арқылы шешейік: . Қажетті түбір 3-ші нүктеден 2 қашықтықта болатынын ескере отырып, мұны сандар осінде бейнелейік (3-сурет).

Суретке сүйене отырып, теңдеудің түбірін аламыз: , өйткені мұндай координаталары бар нүктелер теңдеуде талап етілетіндей 3 нүктеден 2 қашықтықта орналасқан.

Жауап. .

Мысал 6. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Алдыңғы есеппен салыстырғанда бір ғана күрделілік бар – бұл координат осіндегі сандар арасындағы қашықтық туралы қорытынды тұжырыммен толық ұқсастық жоқ, өйткені модуль белгісінің астында минус емес, қосу белгісі бар. белгісі. Бірақ оны қажетті пішінге келтіру қиын емес, біз мұны істейміз:

Мұны алдыңғы шешімге ұқсас сандар осінде бейнелеп көрейік (4-сурет).

Теңдеудің түбірлері .

Жауап. .

Мысал 7. Теңдеуді шешіңіз.

Шешім. Бұл теңдеу алдыңғыға қарағанда біршама күрделірек, өйткені белгісіз екінші орында және минус таңбасы бар, сонымен қатар оның сандық көбейткіші де бар. Бірінші мәселені шешу үшін модуль қасиеттерінің бірін қолданып, мынаны аламыз:

Екінші есепті шешу үшін айнымалыларды өзгертуді орындайық: , ол бізді ең қарапайым теңдеуге әкеледі. Модульдің екінші анықтамасы бойынша . Осы түбірлерді алмастыру теңдеуіне қойып, екі сызықтық теңдеу алыңыз:

Жауап. .

4. Шаршы түбір және модуль

Көбінесе түбірлік мәселелерді шешу кезінде модульдер пайда болады және сіз олар туындаған жағдайларға назар аударуыңыз керек.

Бұл сәйкестікке бір қарағанда, «неге модуль бар?» Деген сұрақтар туындауы мүмкін. және «неліктен сәйкестік жалған?» Екінші сұраққа қарапайым қарсы мысал келтіруге болатыны белгілі болды: егер бұл дұрыс болуы керек болса, бұл эквивалентті, бірақ бұл жалған сәйкестік.

Осыдан кейін сұрақ туындауы мүмкін: «мұндай сәйкестік мәселені шешпей ме?», бірақ бұл ұсынысқа қарсы мысал да бар. Егер бұл дұрыс болса, бұл баламалы, бірақ бұл жалған сәйкестік.

Тиісінше, егер теріс емес санның квадрат түбірі теріс емес сан, ал модуль мәні теріс емес екенін еске түсірсек, жоғарыда айтылған тұжырымның неліктен дұрыс екені белгілі болады:

Мысал 8. Өрнектің мәнін есептеңіз.

Шешім. Мұндай тапсырмаларда түбірден ойланбай бірден құтылмай, жоғарыда аталған тұлғаны пайдалану маңызды, өйткені .

Бүгін, достар, бұл жерде тоқырау немесе сентименталдылық болмайды. Оның орнына мен сізді 8-9 сыныптардағы алгебра курсындағы ең қорқынышты қарсыластардың бірімен шайқасқа жіберемін, ешқандай сұрақ қойылмады.

Иә, сіз бәрін дұрыс түсіндіңіз: біз модулі бар теңсіздіктер туралы айтып отырмыз. Біз төрт негізгі әдісті қарастырамыз, олардың көмегімен сіз осындай есептердің шамамен 90% шешуге үйренесіз. Қалған 10% ше? Ал, біз олар туралы бөлек сабақта сөйлесеміз. :)

Дегенмен, кез келген әдістерді талдамас бұрын, мен сізге бұрыннан білуіңіз керек екі фактіні еске салғым келеді. Әйтпесе, бүгінгі сабақтың материалын мүлде түсінбеу қаупі бар.

Сіз нені білуіңіз керек

Капитан Айқындық теңсіздіктерді модульмен шешу үшін екі нәрсені білу керек екенін көрсетеді:

Теңсіздіктер қалай шешіледі;
Модуль дегеніміз не?

Екінші тармақтан бастайық.

Модуль анықтамасы

Мұнда бәрі қарапайым. Екі анықтамасы бар: алгебралық және графикалық. Бастау үшін - алгебралық:

Анықтама. $x$ санының модулі не ол теріс емес болса, сол санның өзі немесе бастапқы $x$ әлі теріс болса, оған қарама-қарсы сан болады.

Ол былай жазылған:

\[\сол| x \right|=\left\( \бастау(туралау) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\соңы(туралау) \оңға.\]

Қарапайым тілмен айтқанда, модуль «минуссыз сан». Дәл осы дуализмде (кейбір жерлерде бастапқы нөмірмен ештеңе істеудің қажеті жоқ, ал басқаларында қандай да бір минусты алып тастау керек) жаңадан бастаған студенттер үшін барлық қиындық осында.

Сондай-ақ геометриялық анықтама бар. Білу де пайдалы, бірақ біз оған тек күрделі және кейбір ерекше жағдайларда ғана жүгінеміз, мұнда геометриялық тәсіл алгебралық тәсілге қарағанда ыңғайлы (спойлер: бүгін емес).

Анықтама. Сан жолында $a$ нүктесі белгіленсін. Содан кейін $\left| модулі x-a \right|$ — осы түзудің $x$ нүктесінен $a$ нүктесіне дейінгі қашықтық.

Егер сіз сурет салсаңыз, сіз келесідей нәрсені аласыз:

Графикалық модуль анықтамасы

Қалай болғанда да, модуль анықтамасынан оның негізгі қасиеті бірден шығады: санның модулі әрқашан теріс емес шама. Бұл факт біздің бүгінгі әңгімемізде қызыл жіп болады.

Теңсіздіктерді шешу. Интервал әдісі

Енді теңсіздіктерді қарастырайық. Олардың көпшілігі бар, бірақ біздің ендігі міндетіміз олардың ең қарапайымын шеше білу. Сызықтық теңсіздіктерге, сонымен қатар интервал әдісіне келтіретіндер.

Менің осы тақырып бойынша екі үлкен сабағым бар (айтпақшы, өте пайдалы - мен оларды оқуды ұсынамын):

Теңсіздіктер үшін интервал әдісі (әсіресе бейнені қараңыз);
Бөлшек рационал теңсіздіктер - бұл өте кең сабақ, бірақ одан кейін сізде ешқандай сұрақтар болмайды.

Егер сіз мұның бәрін білсеңіз, егер «теңсіздіктен теңдеуге көшейік» деген сөз өзіңізді қабырғаға соғуға деген күдік тудырмаса, сіз дайынсыз: сабақтың негізгі тақырыбына қош келдіңіз :).

1. «Модуль функциядан кіші» түріндегі теңсіздіктер

Бұл модульдермен жиі кездесетін мәселелердің бірі. Пішіннің теңсіздігін шешу үшін қажет:

\[\сол| f\right| \ltg\]

$f$ және $g$ функциялары кез келген нәрсе болуы мүмкін, бірақ әдетте олар көпмүшелер. Мұндай теңсіздіктердің мысалдары:

Олардың барлығын келесі схема бойынша бір жолда сөзбе-сөз шешуге болады:

\[\сол| f\right| \lt g\Оң жақ көрсеткі -g \lt f \lt g\quad \сол(\Оң жақ көрсеткі \сол\( \бастау(туралау) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\соңы(туралау) \right.\right)\]

Модульден құтылғанымызды байқау қиын емес, бірақ оның орнына қосарлы теңсіздікті аламыз (немесе, бұл бірдей нәрсе, екі теңсіздік жүйесі). Бірақ бұл көшу барлық ықтимал мәселелерді ескереді: егер модуль астындағы сан оң болса, әдіс жұмыс істейді; теріс болса, ол әлі де жұмыс істейді; және $f$ немесе $g$ орнына ең жеткіліксіз функция болса да, әдіс жұмыс істей береді.

Әрине, сұрақ туындайды: бұл қарапайым болуы мүмкін емес пе? Өкінішке орай, бұл мүмкін емес. Бұл модульдің барлық мәні.

Дегенмен, философиямен айналысу жеткілікті. Бір-екі мәселені шешейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| 2x+3 \оңға| \lt x+7\]

Шешім. Сонымен, біздің алдымызда «модуль аз» түріндегі классикалық теңсіздік бар - тіпті өзгертетін ештеңе жоқ. Біз алгоритм бойынша жұмыс істейміз:

\[\бастау(туралау) & \left| f\right| \lt g\Оң жақ көрсеткі -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \оңға| \lt x+7\Оң жақ көрсеткі -\сол(x+7 \оң) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\соңы(туралау)\]

Алдында «минус» бар жақшаларды ашуға асықпаңыз: сіз асығыс қателесуіңіз мүмкін.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

Мәселе екі элементарлық теңсіздікке дейін қысқарды. Олардың параллель сандар түзулеріндегі шешімдерін белгілейік:
Көптің қиылысы
Осы жиындардың қиылысы жауап болады.

Жауабы: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Шешім. Бұл тапсырма сәл қиынырақ. Біріншіден, екінші терминді оңға жылжыту арқылы модульді оқшаулаймыз:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \lt -3\сол(x+1 \оң)\]

Әлбетте, бізде қайтадан «модуль кішірек» пішінінің теңсіздігі бар, сондықтан біз бұрыннан белгілі алгоритмді пайдаланып модульден құтыламыз:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \оң)\]

Енді назар аударыңыз: біреу мені осы жақшалардың барлығымен аздап бұзық деп айтады. Бірақ біздің басты мақсатымыз екенін тағы бір рет еске сала кетейін теңсіздікті дұрыс шешіп, жауабын алады. Кейінірек, сіз осы сабақта сипатталғанның бәрін жақсы меңгерген кезде, оны өзіңіз қалағаныңызша бұрмалауға болады: жақшаларды ашыңыз, минустарды қосыңыз және т.б.

Бастау үшін біз сол жақтағы қос минустан құтыламыз:

\[-\сол(-3\сол(x+1 \оң) \оң)=\сол(-1 \оң)\cdot \left(-3 \оң)\cdot \сол(x+1 \оң) =3\сол(x+1 \оң)\]

Енді қос теңсіздіктегі барлық жақшаларды ашайық:

Қос теңсіздікке көшейік. Бұл жолы есептеулер маңыздырақ болады:

\[\left\( \бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \соңы(туралау) \оңға.\]

\[\left\( \begin(туралау) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( туралау)\оңға.\]

Екі теңсіздік те квадраттық және интервал әдісімен шешуге болады (сол себепті мен айтамын: егер бұл не екенін білмесеңіз, әлі модульдерді қабылдамағаныңыз жөн). Бірінші теңсіздіктегі теңдеуге көшейік:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\соңы(туралау)\]

Көріп отырғаныңыздай, шығыс толық емес квадрат теңдеу болып табылады, оны элементар жолмен шешуге болады. Енді жүйенің екінші теңсіздігін қарастырайық. Онда сізге Виет теоремасын қолдану керек:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\соңы(туралау)\]

Алынған сандарды екі параллель түзуде белгілейміз (бірінші теңсіздік үшін бөлек, екіншісі үшін бөлек):
Тағы да, біз теңсіздіктер жүйесін шешіп жатқандықтан, бізді көлеңкеленген жиындардың қиылысуы қызықтырады: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Бұл жауап.
Жауабы: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Менің ойымша, бұл мысалдардан кейін шешім схемасы өте анық:

Барлық басқа мүшелерді теңсіздіктің қарама-қарсы жағына жылжыту арқылы модульді оқшаулаңыз. Осылайша $\left| түріндегі теңсіздікті аламыз f\right| \ltg$.
Жоғарыда сипатталған схема бойынша модульден құтылу арқылы осы теңсіздікті шешіңіз. Бір сәтте қос теңсіздіктен екі тәуелсіз өрнектер жүйесіне көшу қажет болады, олардың әрқайсысы жеке шешілуі мүмкін.
Ақырында, осы екі тәуелсіз өрнектің шешімдерін қиылысу ғана қалады - және біз түпкілікті жауапты аламыз.

Ұқсас алгоритм модуль функциядан үлкен болғанда келесі түрдегі теңсіздіктер үшін бар. Дегенмен, бірнеше маңызды «бірақ» бар. Біз қазір осы «бірақ» туралы сөйлесетін боламыз.

2. «Модуль функциядан үлкен» түріндегі теңсіздіктер

Олар келесідей көрінеді:

\[\сол| f\right| \gtg\]

Алдыңғыға ұқсас па? Сияқты. Ал мұндай мәселелер мүлде басқа жолмен шешіледі. Ресми түрде схема келесідей:

\[\сол| f\right| \gt g\Оң жақ көрсеткі \left[ \begin(туралау) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(туралау) \оңға.\]

Басқаша айтқанда, біз екі жағдайды қарастырамыз:

Біріншіден, біз жай ғана модульді елемей, әдеттегі теңсіздікті шешеміз;
Содан кейін, мәні бойынша, біз минус таңбасы бар модульді кеңейтеміз, содан кейін теңсіздіктің екі жағын -1-ге көбейтеміз, ал менде таңбасы бар.

Бұл жағдайда опциялар төртбұрышты жақшамен біріктіріледі, яғни. Біздің алдымызда екі талаптың жиынтығы тұр.

Тағы да назар аударыңыз: бұл жүйе емес, тұтастық жауапта жиындар қиылысудан гөрі біріктірілген. Бұл алдыңғы тармақтан түбегейлі айырмашылық!

Тұтастай алғанда, көптеген студенттер кәсіподақтар мен қиылыстармен толығымен шатастырылады, сондықтан бұл мәселені біржола шешіп көрейік:

«∪» – одақ белгісі. Шын мәнінде, бұл ағылшын тілінен бізге келген стильдендірілген «U» әрпі және «Union» аббревиатурасы, яғни. «Ассоциациялар».
"∩" - қиылысу белгісі. Бұл сұмдық еш жерден шыққан жоқ, жай ғана «∪» дегенге қарсы нүкте ретінде пайда болды.

Есте сақтауды жеңілдету үшін көзілдірік жасау үшін мына белгілерге аяқтарды тартыңыз (енді мені нашақорлық пен алкоголизмді насихаттады деп айыптамаңыз: егер сіз бұл сабақты шындап оқып жатсаңыз, онда сіз есірткіге тәуелдісіз):

Жиындардың қиылысуы мен бірігуінің айырмашылығы

Орыс тіліне аударғанда бұл мынаны білдіреді: одақ (тоталь) екі жиынның элементтерін қамтиды, сондықтан ол олардың әрқайсысынан кем емес; бірақ қиылысу (жүйе) бірінші жиында да, екіншісінде де бір мезгілде болатын элементтерді ғана қамтиды. Сондықтан жиындардың қиылысы ешқашан бастапқы жиындардан үлкен болмайды.

Сонда ол түсінікті болды ма? Міне керемет. Жаттығуға көшейік.

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| 3x+1 \оңға| \gt 5-4x\]

Шешім. Біз схемаға сәйкес әрекет етеміз:

\[\сол| 3x+1 \оңға| \gt 5-4x\Оң жақ көрсеткі \left[ \бастау(туралау) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \оң) \\\соңы(туралау) \ дұрыс.\]

Популяциядағы әрбір теңсіздікті шешеміз:

\[\left[ \begin(туралау) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(туралау) \оңға.\]

\[\left[ \begin(туралау) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(туралау) \оңға.\]

\[\left[ \begin(туралау) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(туралау) \оңға.\]

Әрбір нәтиже жиынын сандар жолында белгілеп, содан кейін оларды біріктіреміз:
Жиындар одағы
Жауап $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ болатыны анық.

Жауабы: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \gt x\]

Шешім. Енді не? Ештеңе - бәрі бірдей. Біз модулі бар теңсіздіктен екі теңсіздіктер жиынына көшеміз:

\[\сол| ((x)^(2))+2x-3 \оң| \gt x\Оң жақ көрсеткі \left[ \begin(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\соңы(туралау) \оңға.\]

Біз әрбір теңсіздікті шешеміз. Өкінішке орай, тамырлар онша жақсы болмайды:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\соңы(туралау)\]

Екінші теңсіздік те аздап жабайы:

\[\бастау(туралау) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\соңы(туралау)\]

Енді бұл сандарды екі осьте белгілеу керек - әрбір теңсіздік үшін бір ось. Дегенмен, нүктелерді дұрыс ретпен белгілеу керек: сан неғұрлым көп болса, нүкте соғұрлым оңға жылжиды.

Міне, бізді орнату күтіп тұр. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ сандарымен бәрі түсінікті болса (бірінші алымдағы терминдер бөлшек екіншінің алымындағы мүшелерден аз, сондықтан қосынды да аз), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) сандарымен (21))(2)$ сонымен қатар қиындықтар болмайды (оң сан терісрақ), содан кейін соңғы жұппен бәрі анық емес. Қайсысы үлкен: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ немесе $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Сандық сызықтардағы нүктелердің орналасуы және шын мәнінде, жауап осы сұрақтың жауабына байланысты болады.

Ендеше салыстырайық:

\[\бастау(матрица) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\соңы(матрица)\]

Біз түбірді бөліп алдық, теңсіздіктің екі жағында да теріс емес сандарды алдық, сондықтан екі жағын да шаршылауға құқығымыз бар:

\[\begin(матрица) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\соңы(матрица)\]

Менің ойымша, бұл $4\sqrt(13) \gt 3$, сондықтан $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, осьтердегі соңғы нүктелер келесідей орналастырылады:
Ұсқынсыз тамырлардың оқиғасы
Еске сала кетейін, біз жиынды шешіп жатырмыз, сондықтан жауап көлеңкелі жиындардың қиылысы емес, одақ болады.

Жауабы: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \right)$

Көріп отырғаныңыздай, біздің схема қарапайым және өте қиын мәселелерде жақсы жұмыс істейді. Бұл тәсілдің жалғыз «әлсіз жері» - иррационал сандарды дұрыс салыстыру керек (және маған сеніңіз: бұл тек тамырлар ғана емес). Бірақ бөлек (және өте маңызды) сабақ салыстыру мәселелеріне арналады. Ал біз әрі қарай жүреміз.

3. Теріс емес «құйрықтары» бар теңсіздіктер

Енді біз ең қызықты бөлікке жетеміз. Бұл пішіннің теңсіздіктері:

\[\сол| f\right| \gt \left| g\right|\]

Жалпы айтқанда, біз қазір айтатын алгоритм тек модуль үшін дұрыс. Ол сол және оң жақта кепілдік берілген теріс емес өрнектер бар барлық теңсіздіктерде жұмыс істейді:

Бұл тапсырмалармен не істеу керек? Тек есте сақтаңыз:

Теріс емес «құйрықтары» бар теңсіздіктерде екі жағы да кез келген табиғи күшке көтерілуі мүмкін. Қосымша шектеулер болмайды.

Ең алдымен, бізді квадраттау қызықтырады - ол модульдер мен түбірлерді күйдіреді:

\[\бастау(туралау) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\соңы(туралау)\]

Мұны шаршының түбірін алумен шатастырмаңыз:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\сол| f \right|\ne f\]

Студент модуль орнатуды ұмытып кеткенде сансыз қателіктер жіберілді! Бірақ бұл мүлдем басқа әңгіме (бұл иррационал теңдеулер сияқты), сондықтан біз қазір бұл туралы айтпаймыз. Бірнеше мәселені жақсырақ шешейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \оңға|\]

Шешім. Бірден екі нәрсеге назар аударайық:

Бұл қатаң теңсіздік емес. Сан сызығындағы нүктелер тесіледі.

Теңсіздіктің екі жағы да теріс емес екені анық (бұл модульдің қасиеті: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Демек, модульден құтылу үшін теңсіздіктің екі жағын да квадраттай аламыз және мәселені әдеттегі интервал әдісімен шеше аламыз:

\[\бастау(туралау) & ((\сол(\сол| x+2 \оң| \оң))^(2))\ge ((\left(\сол| 1-2x \оң| \оң)) )^(2)); \\ & ((\сол(x+2 \оң))^(2))\ge ((\left(2x-1 \оң))^(2)). \\\соңы(туралау)\]

Соңғы қадамда мен аздап алдадым: модульдің біркелкілігін пайдаланып, терминдер тізбегін өзгерттім (шын мәнінде мен $1-2x$ өрнегін −1-ге көбейттім).

\[\бастау(туралау) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ right)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(туралау)\]

Интервал әдісі арқылы шешеміз. Теңсіздіктен теңдеуге көшейік:

\[\бастау(туралау) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\соңы(туралау)\]

Табылған түбірлерді сан сызығына белгілейміз. Тағы да: барлық нүктелер көлеңкеленген, себебі бастапқы теңсіздік қатаң емес!
Модуль белгісінен құтылу
Ерекше қыңырлар үшін еске сала кетейін: біз белгілерді теңдеуге көшпес бұрын жазылған соңғы теңсіздіктен аламыз. Және сол теңсіздікте қажетті аумақтарды бояймыз. Біздің жағдайда бұл $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Сонымен бітті. Мәселе шешілді.

Жауабы: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \оңға|\]

Шешім. Біз бәрін бірдей жасаймыз. Мен түсініктеме бермеймін - тек әрекеттер тізбегін қараңыз.

Шаршы:

\[\бастау(туралау) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \оң| \оң))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \оң))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \оң))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ оң жақ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\соңы(туралау)\]

Интервал әдісі:

\[\бастау(туралау) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Оң жақ көрсеткі x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Оң жақ көрсеткі D=16-40 \lt 0\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Сан түзуінде бір ғана түбір бар:
Жауап тұтас интервал
Жауабы: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Соңғы тапсырма туралы шағын ескерту. Менің студенттерімнің бірі дәл атап өткендей, бұл теңсіздіктегі екі субмодульдік өрнектің де оң екені анық, сондықтан денсаулыққа зиян келтірместен модуль белгісін алып тастауға болады.

Бірақ бұл мүлдем басқа ойлау деңгейі және басқа көзқарас - оны шартты түрде салдар әдісі деп атауға болады. Бұл туралы - бөлек сабақта. Енді бүгінгі сабақтың соңғы бөлігіне өтіп, әрқашан жұмыс істейтін әмбебап алгоритмді қарастырайық. Бұрынғы барлық тәсілдер күшсіз болған кезде де. :)

4. Опцияларды санамалау әдісі

Бұл әдістердің барлығы көмектеспесе ше? Егер теңсіздікті теріс емес құйрықтарға келтіру мүмкін болмаса, модульді оқшаулау мүмкін болмаса, жалпы ауырсыну, қайғы, меланхолия бар ма?

Содан кейін сахнаға барлық математиканың «ауыр артиллериясы» шығады - дөрекі күш әдісі. Модульі бар теңсіздіктерге қатысты келесідей болады:

Барлық субмодульдік өрнектерді жазып, оларды нөлге теңестіріңіз;
Алынған теңдеулерді шешіп, бір сан түзуінде табылған түбірлерді белгіле;
Түзу сызық бірнеше бөліктерге бөлінеді, олардың ішінде әрбір модульдің бекітілген белгісі бар, сондықтан бірегей түрде ашылады;
Әрбір осындай бөлім бойынша теңсіздікті шешіңіз (сенімділік үшін 2-қадамда алынған түбір-шектерді бөлек қарастыруға болады). Нәтижелерді біріктіріңіз - бұл жауап болады. :)

Қалай? Әлсіз бе? Оңай! Тек ұзақ уақытқа. Іс жүзінде көрейік:

Тапсырма. Теңсіздікті шеш:

\[\сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Шешім. Бұл ақымақтық $\left| сияқты теңсіздіктерге әкелмейді f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ немесе $\left| f\right| \lt \сол| g \right|$, сондықтан біз алға қарай әрекет етеміз.

Біз субмодульдік өрнектерді жазамыз, оларды нөлге теңеп, түбірін табамыз:

\[\бастау(туралау) & x+2=0\Оң жақ көрсеткі x=-2; \\ & x-1=0\Оң жақ көрсеткі x=1. \\\соңы(туралау)\]

Барлығы бізде сан сызығын үш бөлікке бөлетін екі түбір бар, олардың ішінде әрбір модуль бірегей түрде ашылады:
Сандық жолды субмодульдік функциялардың нөлдеріне бөлу
Әр бөлімді бөлек қарастырайық.

1. $x \lt -2$ болсын. Сонда субмодульдік өрнектердің екеуі де теріс болады және бастапқы теңсіздік келесідей қайта жазылады:

\[\бастау(туралау) & -\сол(x+2 \оң) \lt -\сол(x-1 \оң)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\соңы(туралау)\]

Бізде қарапайым шектеулер бар. Оны $x \lt -2$ болатын бастапқы жорамалмен қиып көрейік:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\ \varnothing \]

$x$ айнымалысы бір уақытта −2-ден кіші және 1,5-тен үлкен бола алмайтыны анық. Бұл салада шешімдер жоқ.

1.1. Шекаралық жағдайды бөлек қарастырайық: $x=-2$. Осы санды бастапқы теңсіздікке қойып, тексерейік: бұл рас па?

\[\бастау(туралау) & ((\сол. \сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \оң|+x-1,5 \оң|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \сол| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \лт 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Есептер тізбегі бізді дұрыс емес теңсіздікке әкелгені анық. Демек, бастапқы теңсіздік те жалған және $x=-2$ жауапқа қосылмайды.

2. Енді $-2 \lt x \lt 1$ болсын. Сол жақ модуль «плюс» белгісімен ашылады, бірақ оң жақтағы модуль әлі де «минуспен» ашылады. Бізде бар:

\[\бастау(туралау) & x+2 \lt -\сол(x-1 \оң)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\соңы(туралау)\]

Біз қайтадан бастапқы талаппен қиылысамыз:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\ \varештеңеде \]

Тағы да, шешімдер жиыны бос, өйткені −2,5-тен кіші және −2-ден үлкен сандар жоқ.

2.1. Тағы да ерекше жағдай: $x=1$. Бастапқы теңсіздікті ауыстырамыз:

\[\бастау(туралау) & ((\сол. \сол| x+2 \оң| \lt \сол| x-1 \оң|+x-1,5 \оң|)_(x=1)) \\ & \left| 3\оңға| \lt \сол| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \лт -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Оң жақ көрсеткі \varnothing . \\\соңы(туралау)\]

Алдыңғы «ерекше жағдай» сияқты, $x=1$ саны жауапта анық емес.

3. Жолдың соңғы бөлігі: $x \gt 1$. Мұнда барлық модульдер плюс белгісімен ашылады:

\[\бастау(туралау) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \соңында(туралау)\ ]

Біз қайтадан табылған жиынды бастапқы шектеумен қиылысамыз:

\[\сол\( \бастау(туралау) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\соңы(туралау) \оңға.\Оң жақ көрсеткі x\сол жақ(4,5;+\infty \оңға)\ ]

Әйтеуір! Біз жауап болатын интервалды таптық.

Жауабы: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Соңында, нақты мәселелерді шешу кезінде сізді ақымақ қателіктерден құтқаратын бір ескерту:

Модульдері бар теңсіздіктерді шешу әдетте сандар түзуіндегі үзіліссіз жиындарды – интервалдар мен кесінділерді көрсетеді. Оқшауланған нүктелер әлдеқайда сирек кездеседі. Және одан да сирек, шешімнің шекарасы (сегменттің соңы) қарастырылатын диапазонның шекарасымен сәйкес келеді.

Демек, егер жауапқа шекаралар (бірдей «ерекше жағдайлар») қосылмаса, онда бұл шекаралардың сол және оң жағындағы аймақтар жауапқа қосылмайды. Және керісінше: шекара жауапқа кірді, яғни оның айналасындағы кейбір аймақтар да жауаптар болады.

Шешімдерді қарап шығу кезінде осыны есте сақтаңыз.