Ինչպես լուծել հավասարումները չորրորդ աստիճանի օրինակներով: Չորրորդ աստիճանի հավասարում. Չորրորդ աստիճանի երկքառակուսի հավասարումների լուծում
Շուտով այն բանից հետո, երբ Կարդանոն հրապարակեց խորանարդային հավասարումների լուծման մեթոդը, նրա ուսանողներն ու հետևորդները գտան չորրորդ աստիճանի ընդհանուր հավասարումը խորանարդի կրճատելու ուղիներ: Ներկայացնենք ամենապարզ մեթոդը, որը պատկանում է L. Ferrari-ին։
Մեթոդը ներկայացնելիս անհրաժեշտ կլինի օգտագործել հետևյալ տարրական լեմման.
Լեմմա. Որպեսզի քառակուսի եռանկյունը լինի գծային երկանդամի քառակուսի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա դիսկրիմինանտը հավասար լինի զրոյի:
Ապացույց. Անհրաժեշտություն. Թող . Ապա Բավարարություն. Թող Հետո
Ներկայացված մեթոդի գաղափարը հավասարման ձախ կողմը ներկայացնելն է որպես երկու քառակուսիների տարբերություն: Այնուհետև այն կարելի է տարրալուծել երկրորդ աստիճանի երկու գործոնի, և հավասարումը լուծելը կհանգեցնի երկու քառակուսի հավասարումների լուծմանը։ Նպատակին հասնելու համար ձախ կողմը պատկերացրեք հետևյալ կերպ.
Այստեղ y-ն օժանդակ անհայտ է, որը պետք է ընտրվի այնպես, որ քառակուսի փակագծերի արտահայտությունը ստացվի գծային երկանդամի քառակուսի։ Լեմմայի ուժով դրա համար անհրաժեշտ և բավարար է պայմանը բավարարելը
Այս պայմանը y-ի նկատմամբ երրորդ աստիճանի հավասարում է: Փակագծերը բացելուց հետո այն վերածվում է ձևի
Թող լինի այս հավասարման արմատներից մեկը: Այդ ժամանակ պայմանը կբավարարվի, ուստի այն պահպանվում է
որոշ k-ի և I-ի համար: Բնօրինակ հավասարումը ստանում է ձև
Գործոններից յուրաքանչյուրը հավասարեցնելով զրոյի, մենք կգտնենք սկզբնական հավասարման չորս արմատները:
Մի նկատառում էլ անենք. Թող լինեն առաջին գործոնի արմատները, իսկ երկրորդի արմատները: Այնուհետև, ավելացնելով այս հավասարությունները, մենք ստանում ենք
Այսպիսով, մենք ստացել ենք օժանդակ խորանարդ հավասարման արմատի արտահայտությունը չորրորդ աստիճանի սկզբնական հավասարման արմատների առումով:
Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը. Համաձայն վերը նկարագրված մեթոդի, մենք վերափոխում ենք ձախ կողմը.
Հիմա դնենք. Կազմավորումներից հետո մենք ստանում ենք հավասարումը
Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարման արմատներից մեկը թիվն է: Փոխարինելով այն սկզբնական հավասարման վերափոխված ձախ կողմում, մենք ստանում ենք.
Գործակիցները հավասարեցնելով զրոյի՝ ստանում ենք
Ինչ վերաբերում է չորրորդ աստիճանից բարձր հավասարումներին, ապա հայտնի էին համեմատաբար որոշակի ձևի հավասարումների որոշ դասեր՝ ընդունելով. հանրահաշվական լուծումներռադիկալներում, այսինքն՝ թվաբանական գործողությունների արդյունքների և արմատը հանելու գործողության տեսքով։ Այնուամենայնիվ, հինգերորդ և ավելի բարձր աստիճանի ընդհանուր հավասարումների լուծումներ տալու փորձերը անհաջող էին մինչև վերջապես 19-րդ դարի սկիզբը։ Ռուֆինին և Աբելը չեն ապացուցել, որ չորրորդ աստիճանից բարձր ընդհանուր հավասարումների համար նման լուծումն անհնար է: Ի վերջո, 1830 թվականին ֆրանսիացի փայլուն մաթեմատիկոս Է. Գալուային հաջողվեց գտնել անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ (որոնք բավականին դժվար է ստուգել) ռադիկալներում լուծելիությունը հատուկ տրված հավասարումը. Միաժամանակ Գալուան ստեղծեց և օգտագործեց փոխակերպման խմբերի տեսությունը, որը նոր էր իր ժամանակի համար։
Ընդհանուր դեպքում չորրորդ աստիճանի հավասարման լուծումն իրականացվում է ավելի բարձր աստիճանների համար հավասարումների լուծման մեթոդների կիրառմամբ, օրինակ՝ Ferrari մեթոդով կամ օգտագործելով Հորների սխեմա։ Բայց որոշ 4-րդ աստիճանի հավասարումներ ավելի պարզ լուծում ունեն։
Կան չորրորդ աստիճանի հավասարումների մի քանի հատուկ տեսակներ, որոնց լուծման մեթոդները դուք կսովորեք ստորև.
- Երկկվադրական հավասարում $ax^4+bx^2+c=0$;
- $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ ձևի փոխադարձ հավասարումներ;
- $ax^4+b=0$ ձևի հավասարումներ։
Չորրորդ աստիճանի երկքառակուսի հավասարումների լուծում
Երկքառակուսի $ax^4+bx^2+c=0$ հավասարումները վերածվում են քառակուսային հավասարումների՝ $x^2$ փոփոխականը փոխարինելով նորով, օրինակ՝ $y$։ Փոխարինումից հետո ստացված նոր հավասարումը լուծվում է, այնուհետև գտնված փոփոխականի արժեքը փոխարինվում է $x^2=y$ հավասարման մեջ: Լուծման արդյունքը կլինի $x^2=y$ հավասարման արմատները։
Օրինակ 1
Լուծե՛ք $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$ հավասարումը:
Ընդարձակենք բազմանդամի փակագծերը.
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
Այս ձևով ակնհայտ է դառնում, որ մենք կարող ենք ընտրել $y=x^2-3x$ արտահայտությունը որպես նոր փոփոխական.
$y\cdot (y+2)=24$
Այժմ լուծենք երկու քառակուսի հավասարումներ $x^2-3x=-4$ և $x^2-3x=-6$։
Առաջին հավասարման արմատներն են $x_1(1,2)=4;-1$, երկրորդը լուծումներ չունի։
4-րդ աստիճանի փոխադարձ հավասարումների լուծում
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ ձևի այս հավասարումները իրենց գործակիցներով կրկնում են ավելի ցածր աստիճան ունեցող բազմանդամների գործակիցները։ Նման հավասարումը լուծելու համար նախ այն բաժանեք $x^2$-ի.
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Այնուհետև $(x+\frac(1)(x))$-ը փոխարինեք նոր փոփոխականով, այնուհետև $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, փոխարինումից հետո մենք ստանում ենք. հետեւյալը քառակուսի հավասարում:
$a(y^2-2)+by+c=0$
Դրանից հետո մենք փնտրում ենք $x+\frac(1)(x)=y_1$ և $x+\frac(1)(x)=y_2$ հավասարումների արմատները:
Նմանատիպ մեթոդ օգտագործվում է $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ ձևի փոխադարձ հավասարումների լուծման համար։
Օրինակ 2
Լուծե՛ք հավասարումը.
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Այս հավասարումը $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ ձևի փոխադարձ հավասարումն է։ Հետևաբար, մենք ամբողջ հավասարումը բաժանում ենք $x^2$-ով.
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Փոխարինենք $x+\frac(2)(x)$ արտահայտությունը՝ $3(y^2-4)-2y-9=0$
Հաշվենք այս հավասարման արմատները, դրանք հավասար են $y_1=3$ և $y_2=-\frac(7)(3)$:
Համապատասխանաբար, այժմ անհրաժեշտ է լուծել $x+\frac(2)(x)=3$ և $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$ երկու հավասարումներ։ Առաջին հավասարման լուծումը $x_1=1 է, x_2=2$, երկրորդ հավասարումը չունի արմատներ։
Հետևաբար, սկզբնական հավասարման արմատներն են $x_1=1, x_2=2$։
$ax^4+b=0$ ձևի հավասարումներ
Այս տիպի հավասարման արմատները հայտնաբերվում են կրճատված բազմապատկման բանաձևերի միջոցով:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Նախ անհրաժեշտ է գտնել մեկ արմատ, օգտագործելով ընտրության մեթոդը: Սովորաբար դա ազատ անդամի բաժանարար է։ Այս դեպքում թվի բաժանարարները 12 են ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12:Սկսենք դրանք հերթով փոխարինել.
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ համարը 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ համարը -1 բազմանդամի արմատ չէ
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ համար 2 բազմանդամի արմատն է
Մենք գտել ենք բազմանդամի արմատներից 1-ը։ Բազմանանդամի արմատն է 2, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական բազմանդամը պետք է բաժանվի x - 2. Բազմանդամների բաժանումը կատարելու համար մենք օգտագործում ենք Հորների սխեման.
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Բնօրինակ բազմանդամի գործակիցները ցուցադրվում են վերևի տողում: Մեր գտած արմատը տեղադրված է երկրորդ շարքի առաջին վանդակում 2. Երկրորդ տողը պարունակում է բաժանման արդյունքում ստացված բազմանդամի գործակիցները: Դրանք հաշվվում են այսպես.
| Երկրորդ շարքի երկրորդ բջիջում մենք գրում ենք համարը 2, պարզապես այն տեղափոխելով առաջին շարքի համապատասխան բջիջից: | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Վերջին թիվը բաժանման մնացորդն է: Եթե դա հավասար է 0-ի, ուրեմն մենք ամեն ինչ ճիշտ ենք հաշվարկել։
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Բայց սա դեռ վերջը չէ։ Նույն կերպ կարելի է փորձել ընդլայնել բազմանդամը 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6:
Կրկին մենք արմատ ենք փնտրում ազատ տերմինի բաժանարարների մեջ։ Թվերի բաժանարարներ -6 են ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ համար 1 բազմանդամի արմատ չէ
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ թիվ -1 բազմանդամի արմատ չէ
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ համար 2 բազմանդամի արմատ չէ
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ համար -2 բազմանդամի արմատն է
Եկեք գրենք գտնված արմատը մեր Horner սխեմայի մեջ և սկսենք լրացնել դատարկ բջիջները.
| Երրորդ շարքի երկրորդ բջիջում գրում ենք համարը 2, պարզապես տեղափոխելով այն երկրորդ շարքի համապատասխան բջիջից: | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Այսպիսով, մենք գործոնավորեցինք սկզբնական բազմանդամը.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2) (x + 2) (2x 2 + 5x - 3)
Բազմանդամ 2x 2 + 5x - 3կարող է նաև ֆակտորիզացվել: Դա անելու համար դուք կարող եք լուծել քառակուսի հավասարումը դիսկրիմինանտի միջոցով, կամ կարող եք արմատը փնտրել թվի բաժանարարների մեջ: -3. Այսպես թե այնպես մենք կգանք այն եզրակացության, որ այս բազմանդամի արմատը թիվն է -3
| Չորրորդ շարքի երկրորդ բջիջում գրում ենք համարը 2, պարզապես այն տեղափոխելով երրորդ շարքի համապատասխան բջիջից: | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Այսպիսով, մենք տարրալուծեցինք սկզբնական բազմանդամը գծային գործակիցների:
Descartes-Euler լուծում
Կատարելով փոխարինում, մենք ստանում ենք հավասարում հետևյալ ձևով (այն կոչվում է «անավարտ»).
y 4 + էջy 2 + քy + r = 0 .Արմատներ y 1 , y 2 , y 3 , yՆման հավասարման 4-ը հավասար են հետևյալ արտահայտություններից մեկին.
որոնցում նիշերի համակցություններն ընտրվում են այնպես, որ բավարարվեն հետևյալ հարաբերությունները.
,
և զ 1 , զ 2 և զ 3-ը խորանարդ հավասարման արմատներն են
Ferrari-ի լուծումը
Հիմնական հոդված: Ferrari մեթոդ
Ներկայացնենք չորրորդ աստիճանի հավասարումը հետևյալ ձևով.
Աx 4 + Բx 3 + Գx 2 + Դx + Ե = 0,Դրա լուծումը կարելի է գտնել հետևյալ արտահայտություններից.
եթե β = 0, լուծում u 4 + α u 2 + γ = 0և կատարելով փոխարինումը 
, գտենք արմատները՝ . 
, (ցանկացած քառակուսի արմատի նշան կստացվի) , (երեք բարդ արմատ, որոնցից մեկը կկատարի) 
Երկու ± վ պետք է ունենան նույն նշանը, ± t - անկախ են: Բոլոր արմատները գտնելու համար պետք է գտնել x նշանավոր համակցությունների համար ± s ,± t = +,+ +,− համար −,+ համար −,− համար: Կրկնակի արմատները կհայտնվեն երկու անգամ, եռակի արմատները՝ երեք անգամ, իսկ չորրորդական արմատները՝ չորս անգամ։ Արմատների հերթականությունը կախված է նրանից, թե որ խորանարդ արմատից Uընտրված. տես նաեւ
- 4-րդ աստիճանի հավասարումների հեշտ լուծվող տեսակներ՝ երկքառակուսի հավասարում, չորրորդ աստիճանի փոխադարձ հավասարում
գրականություն
- Korn G., Korn T. (1974) Մաթեմատիկայի ձեռնարկ.
Հղումներ
- Ferrari-ի որոշումը
Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.
Տեսեք, թե ինչ է «չորրորդ աստիճանի հավասարումը» այլ բառարաններում.
չորրորդ աստիճանի հավասարումը- - [Լ.Գ.Սումենկո. Անգլերեն-ռուսերեն բառարան տեղեկատվական տեխնոլոգիաների վերաբերյալ. M.: Պետական ձեռնարկություն TsNIIS, 2003:] Թեմաներ ինֆորմացիոն տեխնոլոգիաընդհանուր EN քառակուսային հավասարում… Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց
Չորս արմատներով և երեք կրիտիկական կետերով 4-րդ աստիճանի բազմանդամի գրաֆիկ: Մաթեմատիկայի չորրորդ աստիճանի հավասարումը ձևի հանրահաշվական հավասարումն է. Հանրահաշվական հավասարումների չորրորդ աստիճանը ամենաբարձրն է, որում ... ... Վիքիպեդիա
Anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 ձևի հավասարումը կոչվում է փոխադարձ, եթե նրա գործակիցները սիմետրիկ դիրքերում հավասար են, այսինքն՝ եթե an − k = ak, k = 0-ի համար, 1, ..., n. Բովանդակություն 1 Չորրորդ աստիճանի հավասարում ... Վիքիպեդիա
Որում անհայտ տերմինը չորրորդ աստիճանի է: Ռուսերենում գործածված օտար բառերի ամբողջական բառարան: Պոպով Մ., 1907. ԵՐԿԿՎԱԴՐԱՏ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ լատ. bis, կրկնակի, եւ quadratum, քառակուսի. Այն հավասարումը, որում ամենամեծ աստիճանը... ... Ռուսաց լեզվի օտար բառերի բառարան
Թվաբանության հետ մեկտեղ գոյություն ունի թվերի և, թվերի միջոցով, ընդհանրապես մեծությունների գիտությունը։ Առանց որևէ որոշակի, կոնկրետ մեծությունների հատկությունների ուսումնասիրության, այս երկու գիտություններն էլ ուսումնասիրում են վերացական մեծությունների հատկությունները որպես այդպիսին՝ անկախ... ... Հանրագիտարանային բառարանՖ. Բրոքհաուսը և Ի.Ա. Էֆրոն
Կիրառական գիտելիքների մի շարք, որը թույլ է տալիս ավիացիոն ինժեներին սովորել աերոդինամիկայի, ուժի խնդիրների, շարժիչի կառուցման և օդանավերի թռիչքի դինամիկայի (այսինքն՝ տեսության) ոլորտում՝ նոր ինքնաթիռ ստեղծելու կամ կատարելագործելու համար... Collier's Encyclopedia
Ամենահին մաթեմատիկական գործունեությունը հաշվումն էր։ Անասնաբուծությանը հետևելու և առևտուր անելու համար անհրաժեշտ էր հաշիվ ունենալ։ Որոշ պարզունակ ցեղեր հաշվում էին առարկաների քանակը՝ դրանք համապատասխանեցնելով մարմնի տարբեր մասերին, հիմնականում... ... Collier's Encyclopedia
Տեխնոլոգիաների պատմություն ըստ ժամանակաշրջանի և տարածաշրջանի. նեոլիթյան հեղափոխություն Եգիպտոսի հնագույն տեխնոլոգիա Գիտություն և տեխնոլոգիա Հին Հնդկաստանի Գիտություն և տեխնոլոգիա հին ՉինաստանՏեխնոլոգիաներ Հին ՀունաստանՏեխնոլոգիաներ Հին ՀռոմԻսլամական աշխարհի տեխնոլոգիաները... ... Վիքիպեդիա
Հավասարումը մաթեմատիկական հարաբերություն է, որն արտահայտում է երկու հանրահաշվական արտահայտությունների հավասարությունը։ Եթե հավասարությունը ճշմարիտ է դրանում ներառված անհայտների ցանկացած թույլատրելի արժեքի համար, ապա այն կոչվում է ինքնություն. օրինակ՝ ձևի հարաբերակցությունը... ... Collier's Encyclopedia
Աբել Ռուֆինիի թեորեմն ասում է, որ ընդհանուր հավասարումըլիազորությունները չեն լուծվում արմատականների մեջ. Բովանդակություն 1 Մանրամասն... Վիքիպեդիա
Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Մարդը հնագույն ժամանակներում օգտագործում էր հավասարումներ, և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Այս տեսակի հավասարումների լուծումները կարող են իրականացվել ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեմայի համաձայն: Այս տեսակի հավասարումները ունեն լուծումներ արմատականներով՝ շնորհիվ Ferrari մեթոդի, որը թույլ է տալիս լուծումները կրճատել մինչև խորանարդ հավասարման: Այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում, բազմանդամը գործակցելով, դուք կարող եք արագ գտնել հավասարման լուծումը:
Ենթադրենք, մեզ տրված է չորրորդ աստիճանի երկանդամ հավասարում.
Եկեք ֆակտորիզացնենք բազմանդամը.
Մենք որոշում ենք առաջին քառակուսի եռանդամի արմատները.
Մենք որոշում ենք երկրորդ եռանդամի արմատները.
Արդյունքում, սկզբնական հավասարումն ունի չորս բարդ արմատներ.
Որտե՞ղ կարող եմ առցանց լուծել 4-րդ աստիճանի հավասարումները:
Հավասարումը կարող եք լուծել մեր https://site կայքում։ Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարումներ։ Ձեզ անհրաժեշտ է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչում: Կարող եք նաև դիտել վիդեո հրահանգները և պարզել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում, և եթե ունեք հարցեր, կարող եք դրանք ուղղել մեր VKontakte խմբում: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:
