2-րդ կարգի հավասարման արմատները. Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ. Գծային համասեռի ընդհանուր լուծման կառուցում

Միատարր գծային դիֆերենցիալ հավասարումներերկրորդ կարգի հաստատուն գործակիցներով ունեն ձևը

որտեղ p և q իրական թվեր են: Դիտարկենք օրինակներ, թե ինչպես են լուծվում միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումները հաստատուն գործակիցներով:

Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը կախված է բնորոշ հավասարման արմատներից: Բնութագրական հավասարումը k²+pk+q=0 հավասարումն է։

1) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները տարբեր իրական թվեր են.

ապա հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.

2) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները հավասար իրական թվեր են

(օրինակ՝ զրոյի հավասար դիսկրիմինանտով), ապա միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը.

3) Եթե բնորոշ հավասարման արմատները բարդ թվեր են

(օրինակ՝ բացասական թվին հավասար դիսկրիմինանտով), ապա միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվում է ձևով.

Մշտական ​​գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման օրինակներ

Գտե՛ք երկրորդ կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր լուծումները.

Կազմում ենք բնորոշ հավասարումը` k²-7k+12=0: Դրա դիսկրիմինանտը D=b²-4ac=1>0 է, ուստի արմատները տարբեր իրական թվեր են:

Այսպիսով, այս միատարր 2-րդ կարգի DE-ի ընդհանուր լուծումն է

Կազմենք և լուծենք բնորոշ հավասարումը.

Արմատները իրական են և հստակ: Այսպիսով, մենք ունենք այս միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Այս դեպքում բնորոշ հավասարումը

Արմատները տարբեր են և վավերական։ Հետևաբար, 2-րդ կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն այստեղ է

Բնութագրական հավասարում

Քանի որ արմատները իրական են և հավասար, այս դիֆերենցիալ հավասարման համար ընդհանուր լուծումը գրում ենք որպես

Բնութագրական հավասարումն այստեղ է

Քանի որ խտրականն է բացասական թիվ, բնորոշ հավասարման արմատները բարդ թվեր են։

Այս միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև

Բնութագրական հավասարում

Այստեղից մենք գտնում ենք այս դիֆերենցիալի ընդհանուր լուծումը: հավասարումներ:

Ինքնաթեստավորման օրինակներ.

§ 9. Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

Երկրորդ կարգի LODE-ի սահմանում հաստատուն գործակիցներով

Բնութագրական հավասարում.

Դեպք 1. Զրոյից մեծ տարբերակիչ

Դեպք 2. Խտրականությունը զրո է

Դեպք 3. Զրոյից փոքր տարբերակիչ

Գտնելու ալգորիթմ ընդհանուր լուծումԵրկրորդ կարգի LOD հաստատուն գործակիցներով

§ 10. Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով.

Երկրորդ կարգի LPDE-ի որոշումը հաստատուն գործակիցներով

հաստատունների փոփոխության մեթոդ

LNDDE հատուկ աջ կողմով լուծելու մեթոդ

Թեորեմ LNDE-ի ընդհանուր լուծման կառուցվածքի վերաբերյալ

1. Գործառույթ r (x) – աստիճանի բազմանդամ Տ

2. Գործառույթ r (x) – թվի արտադրյալ ըստ էքսպոնենցիալ ֆունկցիա

3. Գործառույթ r (x) - գումար եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Հատուկ աջ կողմով LPDE-ի ընդհանուր լուծում գտնելու ալգորիթմ

Դիմում

§ 9. Երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

Երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը կոչվում է գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում (LODE) հաստատուն գործակիցներով, եթե այն նման է.

Որտեղ էջԵվ ք

LODE-ի ընդհանուր լուծում գտնելու համար բավական է գտնել դրա երկու տարբեր մասնակի լուծումները և . Այնուհետև LODE-ի ընդհանուր լուծումը կունենա ձև

Որտեղ ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ

Լեոնարդ Էյլերն առաջարկեց ձևով փնտրել LDE-ի որոշակի լուծումներ

Որտեղ կ- որոշակի թիվ.

Այս ֆունկցիան երկու անգամ տարբերակելը և արտահայտությունները փոխարինելը ժամը, y"Եվ y"հավասարման մեջ մենք ստանում ենք.

Ստացված հավասարումը կոչվում է բնորոշ հավասարումԼՈԴՈՒ. Այն կազմելու համար բավական է փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ y", y"Եվ ժամըհամապատասխանաբար կ 2 , կև 1:

Լուծելով բնորոշ հավասարումը, այսինքն. գտնելով արմատները կ 1 և կ 2, մենք նաև հատուկ լուծումներ կգտնենք բնօրինակ LODE-ի համար:

Բնութագրական հավասարումն է քառակուսի հավասարում, նրա արմատները հայտնաբերվում են խտրականի միջոցով

Այս դեպքում հնարավոր են հետևյալ երեք դեպքերը.

Դեպք 1. Զրոյից մեծ տարբերակիչ , հետևաբար, արմատները կ 1 և կ 2 վավեր և հստակ.

կ 1¹ կ 2

Որտեղ ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 – կամայական անկախ հաստատուններ:

Դեպք 2. Խտրականությունը զրո է , հետևաբար, արմատները կ 1 և կ 2 իրական և հավասար.

կ 1 = կ 2 = կ

Այս դեպքում LODE-ի ընդհանուր լուծումն ունի ձև

Որտեղ ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 – կամայական անկախ հաստատուններ:

Դեպք 3. Զրոյից փոքր տարբերակիչ . Այս դեպքում հավասարումը իրական արմատներ չունի.

Արմատներ չկան։

Այս դեպքում LODE-ի ընդհանուր լուծումն ունի ձև

Որտեղ ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2 - կամայական անկախ հաստատուններ,

Այսպիսով, հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LODE-ի ընդհանուր լուծում գտնելը հանգում է բնորոշ հավասարման արմատները գտնելուն և հավասարման ընդհանուր լուծման բանաձևերի օգտագործմանը (առանց ինտեգրալների հաշվարկման):

Մշտական ​​գործակիցներով երկրորդ կարգի LODE-ի ընդհանուր լուծում գտնելու ալգորիթմ:

1. Հավասարումը փոքրացրեք այն ձևով, որտեղ էջԵվ ք- որոշ իրական թվեր:

2. Ստեղծի՛ր բնորոշ հավասարում:

3. Գտի՛ր բնորոշ հավասարման դիսկրիմինանտը:

4. Օգտագործելով բանաձևեր (տե՛ս Աղյուսակ 1), կախված տարբերակիչի նշանից, գրի՛ր ընդհանուր լուծումը:

Աղյուսակ 1

Հնարավոր ընդհանուր լուծումների աղյուսակ

Այս հոդվածում մենք կուսումնասիրենք հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման սկզբունքները, որտեղ p և q կամայական իրական թվեր են։ Նախ, եկեք կենտրոնանանք տեսության վրա, ապա ստացված արդյունքները կիրառենք օրինակների և խնդիրների լուծման մեջ։

Եթե ​​հանդիպեք անծանոթ տերմինների, ապա տեսեք դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության սահմանումների և հասկացությունների բաժինը:

Եկեք ձևակերպենք թեորեմ, որը ցույց է տալիս, թե ինչ ձևով գտնել LOD-ի ընդհանուր լուծումը:

Թեորեմ.

Գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը X ինտեգրման միջակայքի վրա շարունակական գործակիցներով որոշվում է գծային համադրությամբ. , Որտեղ X-ի LDE-ի գծային անկախ մասնակի լուծումներ են և կամայական հաստատուններ են:

Այսպիսով, հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 ձև, որտեղ y 1 և y 2 մասնակի գծային անկախ լուծումներ են, իսկ C 1 իսկ C 2-ը կամայական հաստատուններ են: Մնում է սովորել, թե ինչպես գտնել մասնակի լուծումներ y 1 և y 2:

Էյլերն առաջարկեց հատուկ լուծումներ փնտրել ձևի մեջ:

Եթե ​​վերցնենք երկրորդ կարգի LODE-ի մասնակի լուծումը հաստատուն գործակիցներով, ապա այս լուծումը հավասարման մեջ փոխարինելիս պետք է ստանանք նույնականությունը.

Այսպիսով, մենք ստացանք այսպես կոչված բնորոշ հավասարումհաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում. Այս բնորոշ հավասարման k 1 և k 2 լուծումները որոշում են մեր երկրորդ կարգի LODE-ի մասնակի լուծումները մշտական ​​գործակիցներով:

Կախված p և q գործակիցներից, բնորոշ հավասարման արմատները կարող են լինել.

Առաջին դեպքումՍկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման գծային անկախ մասնակի լուծումներն են և , հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LODE-ի ընդհանուր լուծումը .

Ֆունկցիաները և իսկապես գծային անկախ են, քանի որ Wronski որոշիչը զրոյական չէ ցանկացած իրական x-ի համար:

Երկրորդ դեպքումկոնկրետ լուծումներից մեկը ֆունկցիան է: Որպես երկրորդ կոնկրետ լուծում, մենք ընդունում ենք. Եկեք ցույց տանք, թե որն է իրականում հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի LODE-ի կոնկրետ լուծում և ապացուցենք գծային անկախություն y 1 և y 2.

Քանի որ k 1 = k 0 և k 2 = k 0 բնորոշ հավասարման նույն արմատներն են, այն ունի . Հետևաբար, բնօրինակ գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարումն է: Եկեք փոխարինենք դրան և համոզվենք, որ հավասարումը դառնում է ինքնություն.

Այսպիսով, դա սկզբնական հավասարման մասնակի լուծումն է։

Եկեք ցույց տանք ֆունկցիաների գծային անկախությունը և . Դա անելու համար եկեք հաշվարկենք Wronski որոշիչը և համոզվենք, որ այն տարբերվում է զրոյից։

Եզրակացություն. Երկրորդ կարգի LODE-ների գծային անկախ մասնակի լուծումները հաստատուն գործակիցներով են և, իսկ ընդհանուր լուծումը գոյություն ունի .

Երրորդ դեպքումմենք ունենք LDE-ի մի զույգ բարդ մասնակի լուծումներ և . Ընդհանուր լուծումը կգրվի այսպես . Այս կոնկրետ լուծումները կարող են փոխարինվել երկու իրական գործառույթներով և , իրական և երևակայական մասերին համապատասխան: Սա կարելի է հստակ տեսնել, եթե վերափոխենք ընդհանուր լուծումը , օգտագործելով բանաձևերը բարդ փոփոխականի ֆունկցիայի տեսությունտիպ:


որտեղ C 3 և C 4 կամայական հաստատուններ են:

Այսպիսով, եկեք ամփոփենք տեսությունը:

Մշտական ​​գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելու ալգորիթմ:

Դիտարկենք օրինակներ յուրաքանչյուր դեպքի համար:

Օրինակ.

Գտե՛ք հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը .

2-րդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումը (LDE) ունի հետևյալ ձևը.

որտեղ , , և տրված են գործառույթներ, որոնք շարունակական են այն միջակայքում, որի վրա լուծում է փնտրում: Ենթադրելով, որ a 0 (x) ≠ 0, մենք (2.1) բաժանում ենք և գործակիցների համար նոր նշումներ ներմուծելուց հետո հավասարումը գրում ենք ձևով.

Եկեք առանց ապացույցի ընդունենք, որ (2.2) ունի եզակի լուծում ինչ-որ միջակայքում, որը բավարարում է ցանկացած սկզբնական պայման, եթե դիտարկվող միջակայքում ֆունկցիաները , և շարունակական են։ Եթե ​​, ապա (2.2) հավասարումը կոչվում է միատարր, իսկ (2.2) հավասարումը հակառակ դեպքում՝ անհամասեռ։

Դիտարկենք 2-րդ կարգի լուծումների հատկությունները:

Սահմանում.Գործառույթների գծային համակցություն է արտահայտությունը, որտեղ կան կամայական թվեր:

Թեորեմ.Եթե ​​և – լուծում

ապա դրանց գծային համակցությունը նույնպես կլինի այս հավասարման լուծումը։

Ապացույց.

Եկեք արտահայտությունը դնենք (2.3) և ցույց տանք, որ արդյունքը նույնականությունն է.

Եկեք վերադասավորենք պայմանները.

Քանի որ ֆունկցիաները (2.3) հավասարման լուծումներն են, ապա վերջին հավասարման փակագծերից յուրաքանչյուրը նույնականորեն հավասար է զրոյի, ինչը պետք է ապացուցել:

Եզրակացություն 1.Ապացուցված թեորեմից հետևում է, որ եթե (2.3) հավասարման լուծում է, ապա կա նաև այս հավասարման լուծում:

Եզրակացություն 2.Ենթադրելով, մենք տեսնում ենք, որ Lod-ի երկու լուծումների գումարը նույնպես այս հավասարման լուծումն է:

Մեկնաբանություն.Թեորեմում ապացուցված լուծումների հատկությունը մնում է վավեր ցանկացած կարգի խնդիրների համար։

§3. Վրոնսկու որոշիչ.

Սահմանում.Գործառույթների համակարգը կոչվում է գծային անկախ որոշակի ընդմիջումով, եթե այս ֆունկցիաներից ոչ մեկը չի կարող ներկայացվել որպես բոլոր մյուսների գծային համակցություն:

Երկու ֆունկցիաների դեպքում դա նշանակում է, որ , այսինքն. . Վերջին պայմանը կարող է վերագրվել որպես կամ . Այս արտահայտության համարիչի որոշիչն է կոչվում է Վրոնսկու որոշիչ ֆունկցիաների և . Այսպիսով, երկու գծային անկախ ֆունկցիաների համար Wronski որոշիչը չի կարող նույնականորեն հավասար լինել զրոյի:

Թող Վրոնսկու որոշիչն է գծային անկախ լուծումների և (2.3) հավասարման համար։ Փոխարինման միջոցով համոզվենք, որ ֆունկցիան բավարարում է հավասարումը։ (3.1)

Իսկապես, . Քանի որ ֆունկցիաները և բավարարում են (2.3) հավասարումը, ապա, այսինքն. – (3.1) հավասարման լուծումը. Եկեք գտնենք այս լուծումը. . Որտեղ, . , , .

Այս բանաձևի աջ կողմում դուք պետք է վերցնեք գումարած նշանը, քանի որ միայն այս դեպքում է ստացվում ինքնությունը: Այսպիսով,

(3.2)

Այս բանաձեւը կոչվում է Liouville բանաձեւ: Վերևում ցույց տրվեց, որ գծային անկախ ֆունկցիաների համար Վրոնսկու որոշիչը չի կարող նույնականորեն հավասար լինել զրոյի: Հետևաբար, կա մի կետ, որտեղ (2.3) հավասարման գծային անկախ լուծումների որոշիչը տարբերվում է զրոյից: Այնուհետև Լիուվիլի բանաձևից հետևում է, որ ֆունկցիան զրոյական չի լինի դիտարկվող միջակայքում գտնվող բոլոր արժեքների համար, քանի որ ցանկացած արժեքի համար (3.2) բանաձևի աջ կողմի երկու գործոններն էլ զրո չեն:

§4. 2-րդ կարգի լուծույթի ընդհանուր լուծման կառուցվածքը:

Թեորեմ.Եթե ​​և (2.3) հավասարման գծային անկախ լուծումներ են, ապա դրանց գծային համակցությունը , որտեղ և կամայական հաստատուններ են, կլինի այս հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Ապացույց.

Ինչ (2.3) հավասարման լուծումն է, բխում է 2-րդ կարգի Լոդոյի լուծումների հատկությունների թեորեմից։ Պարզապես պետք է ցույց տալ, որ լուծումը կամք ընդհանուր, այսինքն. անհրաժեշտ է ցույց տալ, որ ցանկացած սկզբնական պայմանների համար կարելի է ընտրել կամայական հաստատուններ այնպես, որ բավարարեն այդ պայմանները: Եկեք գրենք այն նախնական պայմաններըորպես:

Հաստատունները և գծային հանրահաշվական հավասարումների այս համակարգից որոշվում են եզակիորեն, քանի որ այս համակարգի որոշիչը Wronski որոշիչի արժեքն է Lodu-ի գծային անկախ լուծումների համար.

,

իսկ նման որոշիչը, ինչպես տեսանք նախորդ պարբերությունում, զրո չէ: Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ.Ապացուցեք, որ ֆունկցիան , որտեղ և կամայական հաստատուններ են, Lod-ի ընդհանուր լուծումն է:

Լուծում.

Փոխարինման միջոցով հեշտ է ստուգել, ​​որ գործառույթները և բավարարում են այս հավասարումը: Այս ֆունկցիաները գծային անկախ են, քանի որ . Հետևաբար, ընդհանուր լուծման կառուցվածքի թեորեմի համաձայն, 2-րդ կարգի լոդ այս հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

2-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ

§1. Հավասարման կարգի կրճատման մեթոդներ.

2-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումը ունի ձև.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( կամ Differential" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում): Քոշիի խնդիր 2-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">:

Թող 2-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումն ունենա հետևյալ ձևը՝ https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">:

Այսպիսով, 2-րդ կարգի հավասարումը https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">: Լուծելով այն՝ մենք ստանում ենք սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր ինտեգրալը՝ կախված երկու կամայական հաստատուններից՝ DIV_ADBLOCK219">

Օրինակ 1.Լուծեք դիֆերենցիալ հավասարումը https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif" " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">:

Սա դիֆերենցիալ հավասարում է՝ բաժանելի փոփոխականներով՝ https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, այսինքն. 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99 " height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">:

2..gif" width="117" height="25 src=">, այսինքն..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src" =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Լուծում.

IN տրված հավասարումը 2-րդ կարգը ակնհայտորեն չի ներառում անհրաժեշտ գործառույթը https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width="33 " height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, որը գծային հավասարում է..gif" width="109" height="36 src=">.. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> որոշ ֆունկցիաներից..gif" width="25" height="25 src=">.gif" width="25 src=">.gif" = "127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – հավասարման կարգը իջեցված է:

§2. 2-րդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում.

2-րդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումը (LDE) ունի հետևյալ ձևը.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">։ gif" width="42" height="25 src="> և գործակիցների համար նոր նշումներ ներմուծելուց հետո հավասարումը գրում ենք հետևյալ ձևով.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">։ gif" width="30" height="25 src="> շարունակական..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – կամայական թվեր.

Թեորեմ.Եթե ​​https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - լուծումը.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> նույնպես այս հավասարման լուծումը կլինի։

Ապացույց.

Դնենք https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src="> արտահայտությունը։

Եկեք վերադասավորենք պայմանները.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">։ gif" width="94" height="25 src="> նույնպես այս հավասարման լուծումն է։

Եզրակացություն 2.Ենթադրելով՝ https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> նույնպես այս հավասարման լուծումն է։

Մեկնաբանություն.Թեորեմում ապացուցված լուծումների հատկությունը մնում է վավեր ցանկացած կարգի խնդիրների համար։

§3. Վրոնսկու որոշիչ.

Սահմանում.Գործառույթների համակարգ https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> հավասարումներ (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)

Իսկապես, ..gif" width="18" height="25 src="> բավարարում է հավասարումը (2..gif" width="42" height="25 src="> (3.1) հավասարման լուծում է: .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> ստացվում է ինքնությունը: Այսպիսով,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, որտեղ հավասարման գծային անկախ լուծումների որոշիչը (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> (3.2) բանաձևի աջ կողմում գտնվող երկու գործոնները զրոյական չեն:

§4. 2-րդ կարգի լուծույթի ընդհանուր լուծման կառուցվածքը:

Թեորեմ.Եթե ​​https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> հավասարման գծային անկախ լուծումներ են (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">(2.3) հավասարման լուծումը, բխում է 2-րդ կարգի լուծումների հատկությունների թեորեմից: gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Գծային հանրահաշվական հավասարումների այս համակարգից https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> հաստատունները որոշվում են եզակիորեն, քանի որ որոշիչ այս համակարգը https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">։ gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">: Համաձայն նախորդ պարբերության, 2-րդ կարգի Lod-ի ընդհանուր լուծումը հեշտությամբ որոշվում է, եթե հայտնի են այս հավասարման երկու գծային անկախ մասնակի լուծումներ: Պարզ մեթոդ L.Euler..gif" width="25" height="26 src="> առաջարկած հաստատուն գործակիցներով հավասարման մասնակի լուծումներ գտնելու համար մենք ստանում ենք. հանրահաշվական հավասարում, որը կոչվում է բնորոշ.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> (5.1) հավասարման լուծումը կլինի միայն k-ի այդ արժեքների համար: որոնք բնութագրական հավասարման արմատներն են (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> և ընդհանուր լուծումը (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">: Եկեք ստուգենք, որ այս ֆունկցիան բավարարում է (5.1) հավասարումը..gif" width="190" height="26 src=">: Փոխարինելով այս արտահայտությունները հավասարման մեջ (5.1), մենք ստանում ենք

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, քանի որ..gif" width="137" height="26 src= «>.

Հատուկ լուծումները https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> գծայինորեն անկախ են, քանի որ..gif" width="166" բարձրությունը ="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">:

Այս հավասարության ձախ կողմում գտնվող երկու փակագծերը նույնականորեն հավասար են զրոյի: (5.1) հավասարման լուծումը ..gif" width="129" height="25 src="> նման կլինի.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

ներկայացված է որպես ընդհանուր լուծման գումար https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

և ցանկացած կոնկրետ լուծում https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> կլինի (6.1)..gif հավասարման լուծումը: width=" 272" height="25 src="> f(x): Այս հավասարությունը ինքնություն է, քանի որ..gif" width="128" height="25 src="> f(x): Հետեւաբար.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width = ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> այս հավասարման գծային անկախ լուծումներ են: Այսպիսով.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">։ gif" width="51" height="25 src=">, և նման որոշիչը, ինչպես տեսանք վերևում, զրոյական չէ..gif" width="19" height="25 src="> համակարգից։ հավասարումների (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src" =">-ը կլուծի հավասարումը

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> հավասարման մեջ (6.5), ստանում ենք.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

որտեղ https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> հավասարումը (7.1) այն դեպքում, երբ աջ կողմը f(x. ) ունի հատուկ ձև։ Այս մեթոդը կոչվում է անորոշ գործակիցների մեթոդ և բաղկացած է որոշակի լուծում ընտրելուց՝ կախված f(x) աջ կողմի տեսակից։ Դիտարկենք հետևյալ ձևի աջ կողմերը.

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, կարող է լինել զրո: Եկեք նշենք այն ձևը, որով այս դեպքում պետք է կոնկրետ լուծում ընդունվի:

ա) Եթե համարը https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25. src =>>:

Լուծում.

Հավասարման համար https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src" = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= «>.

Երկու մասերն էլ կրճատում ենք https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> հավասարության ձախ և աջ կողմերում:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

Ստացված հավասարումների համակարգից մենք գտնում ենք՝ https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> և ընդհանուր լուծումը. տրված հավասարումըԿա:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

որտեղ https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">:

Լուծում.

Համապատասխան բնութագրիչ հավասարումն ունի ձև.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">։ gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">։ Վերջնական Ընդհանուր լուծման համար ունենք հետևյալ արտահայտությունը.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> գերազանց զրոյից։ Եկեք նշենք այս դեպքում կոնկրետ լուծման տեսակը:

ա) Եթե համարը https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

որտեղ https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> հավասարման համար բնորոշ հավասարման արմատն է (5..gif" width="229 " height="25 src=">,

որտեղ https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">:

Լուծում.

Հավասարման համար բնորոշ հավասարման արմատները https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" բարձրություն ="25 src=">:

Օրինակ 3-ում տրված հավասարման աջ կողմն ունի հատուկ ձև՝ f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">:

Որոշելու համար https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > և այն փոխարինիր տրված հավասարմամբ.

Վկայակոչելով նմանատիպ տերմիններ՝ հավասարեցնելով գործակիցները https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = = "25 src=">:

Տրված հավասարման վերջնական ընդհանուր լուծումն է՝ https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> համապատասխանաբար, և այս բազմանդամներից մեկը կարող է հավասար լինել զրոյի: Եկեք նշենք կոնկրետ լուծման տեսակը այս ընդհանուր դեպքում. .

ա) Եթե համարը https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

որտեղ https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">:

բ) Եթե համարը https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, ապա lndu-ի կոնկրետ լուծումը նման կլինի.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Օրինակ 4.Նշեք հավասարման կոնկրետ լուծման տեսակը

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Lodu-ի ընդհանուր լուծումն ունի հետևյալ ձևը.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">:

Լրացուցիչ գործակիցներ https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > կա որոշակի լուծում f1(x) աջ կողմով հավասարման և կամայական հաստատունների Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">տարբերակներ (Լագրանժի մեթոդ):

Հավասարման որոշակի լուծում ուղղակիորեն գտնելը, բացառությամբ հաստատուն գործակիցներով և հատուկ ազատ անդամներով հավասարման դեպքերի, շատ դժվար է: Հետևաբար, հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելու համար սովորաբար օգտագործվում է կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը, որը միշտ հնարավորություն է տալիս գտնել հավասարման ընդհանուր լուծումը քառակուսիներով, եթե հայտնի է համապատասխան միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը։ . Այս մեթոդը հետևյալն է.

Ըստ վերը նշվածի, գծային միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ոչ թե հաստատուններ, այլ f(x) որոշ, դեռևս անհայտ ֆունկցիաներ։ . պետք է վերցվի միջակայքից: Փաստորեն, այս դեպքում Վրոնսկու որոշիչը զրոյական չէ միջակայքի բոլոր կետերում, այսինքն՝ ամբողջ տարածության մեջ՝ բնորոշ հավասարման բարդ արմատը..gif" width="20" height="25 src="> Ձևի գծային անկախ մասնակի լուծումներ.

Ընդհանուր լուծման բանաձևում այս արմատը համապատասխանում է ձևի արտահայտությանը: