Գծային հավասարումների տատանումների մեթոդ. Բարձր կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում Լագրանժի մեթոդով։ Սոցիալական վերափոխումներ. Պետություն և եկեղեցի

Անհամասեռները լուծելու համար օգտագործվում է կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը դիֆերենցիալ հավասարումներ. Այս դասը նախատեսված է այն ուսանողների համար, ովքեր արդեն քիչ թե շատ լավ տիրապետում են թեմային։ Եթե ​​դուք նոր եք սկսում ծանոթանալ հեռակառավարման վահանակին, այսինքն. Եթե ​​դուք թեյնիկ եք, խորհուրդ եմ տալիս սկսել առաջին դասից. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լուծման օրինակներ. Եվ եթե դուք արդեն ավարտում եք, խնդրում ենք հրաժարվել հնարավոր կանխակալ կարծիքից, որ մեթոդը դժվար է: Քանի որ նա պարզ է:

Ո՞ր դեպքերում է կիրառվում կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը:

1) կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը կարող է օգտագործվել լուծելու համար 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE. Քանի որ հավասարումը առաջին կարգի է, ուրեմն հաստատունը (հաստատուն) նույնպես մեկն է։

2) կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը օգտագործվում է որոշների լուծման համար երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումներ. Այստեղ երկու հաստատուններ (հաստատուններ) տարբերվում են։

Տրամաբանական է ենթադրել, որ դասը բաղկացած կլինի երկու պարբերությունից .... Ես գրեցի այս առաջարկը, և մոտ 10 րոպե ես ցավագին մտածում էի, թե ուրիշ ինչ խելացի խենթություն ավելացնել՝ գործնական օրինակներին սահուն անցման համար։ Բայց, չգիտես ինչու, տոներից հետո մտքեր չկան, թեև կարծես թե ոչինչ չեմ չարաշահել։ Այսպիսով, եկեք անմիջապես անցնենք առաջին պարբերությանը:

Կամայական մշտական ​​տատանումների մեթոդ
գծային անհամասեռ առաջին կարգի հավասարման համար

Նախքան կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդը դիտարկելը, ցանկալի է ծանոթ լինել հոդվածին Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ. Այդ դասին մենք պարապեցինք լուծելու առաջին միջոցը 1-ին կարգի անհամասեռ ԴԵ. Այս առաջին լուծումը, հիշեցնում եմ, կոչվում է փոխարինման մեթոդկամ Բեռնուլիի մեթոդ(չշփոթել դրա հետ Բեռնուլիի հավասարումը!!!)

Այժմ մենք կքննարկենք լուծման երկրորդ ճանապարհը- կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ. Բերեմ ընդամենը երեք օրինակ, և դրանք կվերցնեմ վերը նշված դասից։ Ինչու՞ այդքան քիչ: Որովհետև իրականում երկրորդ եղանակով լուծումը շատ նման կլինի առաջին ձևի լուծմանը։ Բացի այդ, ըստ իմ դիտարկումների, կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը օգտագործվում է ավելի քիչ, քան փոխարինման մեթոդը:

Օրինակ 1

(Տարբերվեք դասի օրինակ 2-ից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE)

Լուծում:Այս հավասարումը գծային անհամասեռ է և ունի ծանոթ ձև.

Առաջին քայլը ավելի պարզ հավասարման լուծումն է.
Այսինքն՝ մենք հիմարաբար վերականգնում ենք աջ կողմը, փոխարենը գրում ենք զրո։
Հավասարումը Ես կզանգեմ օժանդակ հավասարում.

Այս օրինակում դուք պետք է լուծեք հետևյալ օժանդակ հավասարումը.

Մեր առջև բաժանելի հավասարում, որի լուծումը (հուսով եմ) այլևս դժվար չէ ձեզ համար.

Այս կերպ:
օժանդակ հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Երկրորդ քայլին փոխարինելորոշ հաստատուն դեռանհայտ ֆունկցիա, որը կախված է «x»-ից.

Այստեղից էլ առաջացել է մեթոդի անվանումը՝ մենք փոփոխում ենք հաստատունը: Որպես այլընտրանք, հաստատունը կարող է լինել ինչ-որ ֆունկցիա, որը մենք պետք է գտնենք հիմա:

IN օրիգինալանհամասեռ հավասարում Փոխարինենք.

Փոխարինել և հավասարման մեջ :

վերահսկման պահը - ձախ կողմում գտնվող երկու ժամկետները չեղյալ են հայտարարվում. Եթե ​​դա տեղի չունենա, դուք պետք է փնտրեք վերը նշված սխալը:

Փոխարինման արդյունքում ստացվում է բաժանելի փոփոխականներով հավասարում։ Առանձնացնել փոփոխականները և ինտեգրել:

Ի՜նչ օրհնություն, ցուցիչները նույնպես փոքրանում են.

Գտնված ֆունկցիային ավելացնում ենք «նորմալ» հաստատուն.

Վրա եզրափակիչ փուլհիշեք մեր փոխարինումը.

Ֆունկցիան հենց նոր գտա:

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Եթե ​​տպեք երկու լուծումները, հեշտությամբ կնկատեք, որ երկու դեպքում էլ մենք գտել ենք նույն ինտեգրալները։ Տարբերությունը միայն լուծման ալգորիթմի մեջ է։

Հիմա ավելի բարդ բան, ես կմեկնաբանեմ նաև երկրորդ օրինակը.

Օրինակ 2

Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը
(տարբերվել դասի թիվ 8 օրինակից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE)

Լուծում:Մենք հավասարումը բերում ենք ձևի :

Աջ կողմը դրեք զրոյի և լուծեք օժանդակ հավասարումը.

Օժանդակ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Անհամասեռ հավասարման մեջ մենք կկատարենք փոխարինում.

Ըստ արտադրանքի տարբերակման կանոնի.

Փոխարինել և սկզբնական անհամասեռ հավասարման մեջ.

Ձախ կողմի երկու տերմինները չեղարկվում են, ինչը նշանակում է, որ մենք ճիշտ ուղու վրա ենք.

Մենք ինտեգրվում ենք մասերով: Մասերի կողմից ինտեգրվելու բանաձևից համեղ տառ արդեն ներգրավված է լուծման մեջ, ուստի մենք օգտագործում ենք, օրինակ, «ա» և «be» տառերը.

Հիմա եկեք նայենք փոխարինմանը.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Եվ մեկ օրինակ ինքնալուծման համար.

Օրինակ 3

Գտե՛ք տրված սկզբնական պայմանին համապատասխան դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում:

,
(Տարբերվեք դաս 4-ի օրինակից 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE)
Լուծում:
Այս DE-ն գծային անհամասեռ է: Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը: Եկեք լուծենք օժանդակ հավասարումը.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները և ինտեգրում.

Ընդհանուր որոշում.
Անհամասեռ հավասարման մեջ մենք կկատարենք փոխարինում.

Կատարենք փոխարինումը.

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Գտեք տվյալ սկզբնական պայմանին համապատասխան որոշակի լուծում.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Դասի վերջում տրված լուծումը կարող է մոտավոր մոդել ծառայել առաջադրանքն ավարտելու համար։

Կամայական հաստատունների տատանումների մեթոդ
գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարման համար
հաստատուն գործակիցներով

Հաճախ կարելի էր լսել այն կարծիքը, որ երկրորդ կարգի հավասարման համար կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը հեշտ բան չէ: Բայց ես ենթադրում եմ հետևյալը. ամենայն հավանականությամբ, մեթոդը շատերին դժվար է թվում, քանի որ այն այնքան էլ տարածված չէ։ Բայց իրականում առանձնակի դժվարություններ չկան. որոշման ընթացքը պարզ է, թափանցիկ և հասկանալի։ Եվ գեղեցիկ:

Մեթոդին տիրապետելու համար ցանկալի է, որ կարողանանք լուծել երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարումներ՝ ընտրելով որոշակի լուծում՝ ըստ աջ կողմի ձևի։ Այս մեթոդը մանրամասնորեն քննարկվում է հոդվածում: 2-րդ կարգի անհամասեռ ԴԵ. Հիշում ենք, որ հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

Ընտրության մեթոդը, որը դիտարկվել է վերը նշված դասում, գործում է միայն սահմանափակ թվով դեպքերում, երբ աջ կողմում են բազմանդամները, ցուցիչները, սինուսները, կոսինուսները: Բայց ի՞նչ անել, երբ աջ կողմում, օրինակ, կոտորակ, լոգարիթմ, շոշափում: Նման իրավիճակում օգնության է գալիս հաստատունների տատանումների մեթոդը։

Օրինակ 4

Գտե՛ք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը

Լուծում:Այս հավասարման աջ կողմում կա մի կոտորակ, ուստի անմիջապես կարող ենք ասել, որ կոնկրետ լուծում ընտրելու մեթոդը չի գործում: Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը:

Ոչինչ չի ներկայացնում ամպրոպ, լուծման սկիզբը միանգամայն սովորական է.

Եկեք գտնենք ընդհանուր որոշումհամապատասխան միատարրհավասարումներ:

Կազմում և լուծում ենք բնորոշ հավասարումը.


– ստացվում են զուգակցված բարդ արմատներ, ուստի ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Ուշադրություն դարձրեք ընդհանուր լուծման արձանագրությանը, եթե կան փակագծեր, ապա բացեք դրանք:

Այժմ մենք անում ենք գրեթե նույն հնարքը, ինչ առաջին կարգի հավասարման դեպքում. մենք փոփոխում ենք հաստատունները՝ դրանք փոխարինելով անհայտ ֆունկցիաներով: այսինքն. անհամասեռի ընդհանուր լուծումՄենք կփնտրենք հավասարումներ հետևյալ ձևով.

Որտեղ - դեռանհայտ գործառույթներ.

Կարծես աղբանոց լինի, բայց հիմա ամեն ինչ կդասավորենք։

Գործառույթների ածանցյալները գործում են որպես անհայտներ: Մեր նպատակն է գտնել ածանցյալներ, իսկ գտնված ածանցյալները պետք է բավարարեն համակարգի թե՛ առաջին, թե՛ երկրորդ հավասարումները։

Որտեղի՞ց են գալիս «խաղերը»: Արագիլն է բերում նրանց։ Նայում ենք նախկինում ստացված ընդհանուր լուծումը և գրում.

Եկեք գտնենք ածանցյալներ.

Զբաղվել է ձախ կողմում: Ի՞նչ կա աջ կողմում:

սկզբնական հավասարման աջ կողմն է, այս դեպքում՝

Գործակիցը երկրորդ ածանցյալի գործակիցն է.

Գործնականում գրեթե միշտ, և մեր օրինակը բացառություն չէ:

Ամեն ինչ մաքրվեց, այժմ դուք կարող եք ստեղծել համակարգ.

Համակարգը սովորաբար լուծվում է ըստ Քրամերի բանաձեւերիօգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմ: Միակ տարբերությունն այն է, որ թվերի փոխարեն ունենք ֆունկցիաներ։

Գտեք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե ​​մոռացել եք, թե ինչպես է բացահայտվում «երկու-երկու» որոշիչը, դիմեք դասին Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:Հղումը տանում է դեպի ամոթի տախտակ =)

Այսպիսով, համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում:

Մենք գտնում ենք ածանցյալը.

Բայց սա դեռ ամենը չէ, մինչ այժմ մենք գտել ենք միայն ածանցյալը:
Ֆունկցիան ինքնին վերականգնվում է ինտեգրման միջոցով.

Դիտարկենք երկրորդ գործառույթը.

Այստեղ մենք ավելացնում ենք «նորմալ» հաստատուն

Լուծման վերջնական փուլում մենք հիշում ենք, թե ինչ ձևով էինք փնտրում անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը: Նման:

Ձեզ անհրաժեշտ հատկանիշները հենց նոր են գտնվել:

Մնում է կատարել փոխարինումը և գրել պատասխանը.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Սկզբունքորեն պատասխանը կարող էր բացել փակագծերը։

Պատասխանի ամբողջական ստուգումը կատարվում է դասում դիտարկված ստանդարտ սխեմայի համաձայն: 2-րդ կարգի անհամասեռ ԴԵ. Բայց ստուգումը հեշտ չի լինի, քանի որ մենք պետք է գտնենք բավականին ծանր ածանցյալներ և կատարենք ծանր փոխարինում։ Սա տհաճ հատկանիշ է, երբ դուք լուծում եք նման տարբերությունները:

Օրինակ 5

Լուծեք դիֆերենցիալ հավասարումը կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդով

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Իրականում աջ կողմը նույնպես կոտորակ է։ Մենք հիշում ենք եռանկյունաչափական բանաձևը, ի դեպ, այն պետք է կիրառվի ճանապարհին:

Կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը ամենահամընդհանուր մեթոդն է։ Նրանք կարող են լուծել ցանկացած լուծվող հավասարում աջ կողմի ձևի համաձայն որոշակի լուծում ընտրելու մեթոդը. Հարց է ծագում, ինչո՞ւ այնտեղ էլ չկիրառել կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը։ Պատասխանն ակնհայտ է՝ կոնկրետ լուծման ընտրություն, որը դիտարկվել է դասում Երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարումներ, զգալիորեն արագացնում է լուծումը և նվազեցնում նշումը. որոշիչների և ինտեգրալների հետ խառնաշփոթ չկա:

Դիտարկենք երկու օրինակ Կոշի խնդիր.

Օրինակ 6

Գտե՛ք տրված սկզբնական պայմաններին համապատասխան դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում

,

Լուծում:Կրկին կոտորակն ու ցուցանիշը հետաքրքիր տեղում։
Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը:

Եկեք գտնենք ընդհանուր որոշումհամապատասխան միատարրհավասարումներ:



– ստացվում են տարբեր իրական արմատներ, ուստի ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Անհամասեռի ընդհանուր լուծումըմենք փնտրում ենք հավասարումներ ձևով. , որտեղ - դեռանհայտ գործառույթներ.

Եկեք ստեղծենք համակարգ.

Այս դեպքում:
,
Գտնել ածանցյալներ.
,

Այս կերպ:

Մենք լուծում ենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը.
, ուստի համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Մենք վերականգնում ենք գործառույթը ինտեգրման միջոցով.

Օգտագործված է այստեղ ֆունկցիան դիֆերենցիալ նշանի տակ բերելու մեթոդ.

Մենք վերականգնում ենք երկրորդ գործառույթը ինտեգրման միջոցով.

Նման ինտեգրալը լուծված է փոփոխական փոխարինման մեթոդ:

Ինքնին փոխարինումից մենք արտահայտում ենք.

Այս կերպ:

Այս ինտեգրալը կարելի է գտնել լրիվ քառակուսի ընտրության մեթոդ, բայց դիֆուրներով օրինակներում ես նախընտրում եմ ընդլայնել կոտորակը անորոշ գործակիցների մեթոդ:

Երկու գործառույթներն էլ գտնվել են.

Արդյունքում անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Գտեք որոշակի լուծում, որը բավարարում է նախնական պայմանները .

Տեխնիկապես լուծման որոնումն իրականացվում է ստանդարտ եղանակով, որը քննարկվել է հոդվածում։ Անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Սպասիր, հիմա կգտնենք գտնված ընդհանուր լուծման ածանցյալը.

Ահա այսպիսի խայտառակություն. Պետք չէ պարզեցնել այն, ավելի հեշտ է անհապաղ կազմել հավասարումների համակարգ։ Ըստ նախնական պայմանների :

Փոխարինեք հաստատունների գտնված արժեքները ընդհանուր լուծման մեջ.

Պատասխանում լոգարիթմները կարելի է մի փոքր փաթեթավորել։

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Ինչպես տեսնում եք, դժվարություններ կարող են առաջանալ ինտեգրալներում և ածանցյալներում, բայց ոչ կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդի ալգորիթմում։ Ես չէի, որ ձեզ վախեցրել եմ, այս ամենը Կուզնեցովի հավաքածուն է:

Հանգստանալու համար, վերջնական, ավելի պարզ, ինքնալուծվող օրինակ.

Օրինակ 7

Լուծիր Քոշիի խնդիրը

,

Օրինակը պարզ է, բայց ստեղծագործական, երբ համակարգ ես ստեղծում, նախքան որոշելը ուշադիր նայիր դրան ;-),




Արդյունքում, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Գտեք սկզբնական պայմաններին համապատասխան կոնկրետ լուծում .



Մենք հաստատունների գտնված արժեքները փոխարինում ենք ընդհանուր լուծման մեջ.

Պատասխան.մասնավոր լուծում.

Դիտարկենք հիմա գծային անհամասեռ հավասարումը
. (2)
Թող y 1 ,y 2 ,.., y n լինի լուծումների հիմնարար համակարգը և լինի համապատասխան L(y)=0 միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը։ Նմանապես, ինչպես առաջին կարգի հավասարումների դեպքում, մենք կփնտրենք (2) հավասարման լուծումը ձևով.
. (3)
Եկեք ստուգենք, որ այս ձևով լուծում կա: Դա անելու համար մենք ֆունկցիան փոխարինում ենք հավասարման մեջ: Այս ֆունկցիան հավասարման մեջ փոխարինելու համար մենք գտնում ենք դրա ածանցյալները: Առաջին ածանցյալն է
. (4)
Երկրորդ ածանցյալը հաշվարկելիս (4-ի) աջ կողմում հայտնվում է չորս անդամ, երրորդ ածանցյալը հաշվարկելիս՝ ութ անդամ և այլն։ Հետևաբար, հետագա հաշվարկների հարմարության համար (4)-ի առաջին անդամը ենթադրվում է, որ հավասար է զրոյի: Սա հաշվի առնելով՝ երկրորդ ածանցյալը հավասար է
. (5)
Նույն պատճառներով, ինչպես նախկինում, (5)-ում մենք նույնպես առաջին անդամը հավասար ենք զրոյի: Վերջապես, n-րդ ածանցյալն է
. (6)
Ածանցյալների ստացված արժեքները փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ՝ ունենք
. (7)
(7)-ի երկրորդ անդամը հավասար է զրոյի, քանի որ y j , j=1,2,..,n ֆունկցիաները համապատասխան միատարր հավասարման լուծումներ են՝ L(y)=0։ Համակցելով նախորդի հետ՝ մենք ստանում ենք հանրահաշվական հավասարումների համակարգ՝ գտնելու C» j (x) ֆունկցիաները։
(8)
Այս համակարգի որոշիչը համապատասխան միատարր հավասարման y 1 ,y 2 ,..,y n լուծումների հիմնարար համակարգի Վրոնսկու որոշիչն է և հետևաբար հավասար չէ զրոյի։ Հետևաբար, կա համակարգի եզակի լուծում (8): Գտնելով այն՝ մենք ստանում ենք C «j (x), j=1,2,…,n, և, հետևաբար, C j (x), j=1,2,…,n ֆունկցիաները՝ փոխարինելով այս արժեքները (3), մենք ստանում ենք գծային անհամասեռ հավասարման լուծումը:
Նկարագրված մեթոդը կոչվում է կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդ կամ Լագրանժի մեթոդ։

Օրինակ #1. Գտնենք y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x հավասարման ընդհանուր լուծումը: Դիտարկենք համապատասխան միատարր հավասարումը y "" + 4y" + 3y \u003d 0: Դրա բնորոշ հավասարման արմատները r 2 + 4r. + 3 \u003d 0 հավասար են -1 և - 3: Հետևաբար, միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է y 1 = e - x և y 2 = e -3 x ֆունկցիաներից: Մենք փնտրում ենք անհամասեռ հավասարման լուծում y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x ձևով: C " 1 , C" 2 ածանցյալները գտնելու համար մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 e -x -3C′ 2 e -3x =9e -3x
լուծելով որը, գտնում ենք , Ինտեգրելով ստացված ֆունկցիաները՝ ունենք
Վերջապես մենք ստանում ենք

Օրինակ #2. Լուծեք երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդով.

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Լուծում:
Այս դիֆերենցիալ հավասարումը պատկանում է հաստատուն գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ հավասարումների:
Մենք կփնտրենք հավասարման լուծումը y = e rx ձևով: Դա անելու համար մենք կազմում ենք հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման բնորոշ հավասարումը.
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Բնութագրական հավասարման արմատները՝ r 1 = 4, r 2 = 2
Այսպիսով, լուծումների հիմնարար համակարգը ֆունկցիաներն են՝ y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև՝ y =C 1 e 4x +C 2 e 2x.
Որոնել որոշակի լուծում կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդով:
C «i»-ի ածանցյալները գտնելու համար կազմում ենք հավասարումների համակարգ.
C′ 1 e 4x +C′ 2 e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Արտահայտեք C" 1 առաջին հավասարումից.
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
և փոխարինել երկրորդում: Արդյունքում մենք ստանում ենք.
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Մենք ինտեգրում ենք ստացված C ֆունկցիաները» i:
C 1 = 2ln (e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Քանի որ y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x, ապա ստացված արտահայտությունները գրում ենք ձևով.
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Այսպիսով, դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
կամ
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Մենք որոշակի լուծում ենք գտնում հետևյալ պայմանով.
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Փոխարինելով x = 0-ը գտնված հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք.
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Ստացված ընդհանուր լուծման առաջին ածանցյալը գտնում ենք.
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Փոխարինելով x = 0, մենք ստանում ենք.
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Մենք ստանում ենք երկու հավասարումների համակարգ.
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
կամ
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
կամ
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Սկսած՝ C 1 = 0, C * 2 = 2
Հատուկ լուծումը գրվելու է հետևյալ կերպ.
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Դիտարկված է հաստատուն գործակիցներով ավելի բարձր կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեթոդ Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդով։ Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է նաև ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումների լուծման համար, եթե հայտնի է միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը։

Բովանդակություն

Տես նաեւ:

Լագրանժի մեթոդ (հաստատունների փոփոխություն)

Դիտարկենք գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում կամայական n-րդ կարգի հաստատուն գործակիցներով.
(1) .
Մշտական ​​տատանումների մեթոդը, որը մենք դիտարկել ենք առաջին կարգի հավասարման համար, կիրառելի է նաև ավելի բարձր կարգի հավասարումների համար։

Լուծումն իրականացվում է երկու փուլով. Առաջին փուլում մենք հեռացնում ենք աջ կողմը և լուծում ենք միատարր հավասարումը։ Արդյունքում ստանում ենք n կամայական հաստատուն պարունակող լուծում։ Երկրորդ քայլում մենք փոփոխում ենք հաստատունները: Այսինքն՝ մենք համարում ենք, որ այս հաստատունները x անկախ փոփոխականի ֆունկցիաներ են և գտնում ենք այդ ֆունկցիաների ձևը։

Թեև մենք այստեղ դիտարկում ենք հաստատուն գործակիցներով հավասարումներ, բայց Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է նաև ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումների լուծման համար. Դրա համար, սակայն, պետք է հայտնի լինի միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը։

Քայլ 1. Միատարր հավասարման լուծում

Ինչպես առաջին կարգի հավասարումների դեպքում, մենք նախ փնտրում ենք միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը՝ աջ անհամասեռ մասը հավասարեցնելով զրոյի.
(2) .
Նման հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև.
(3) .
Ահա կամայական հաստատուններ. - միատարր (2) հավասարման n գծային անկախ լուծումներ, որոնք կազմում են այս հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը:

Քայլ 2. հաստատունների տատանումներ - հաստատունների փոխարինում ֆունկցիաներով

Երկրորդ քայլում մենք կզբաղվենք հաստատունների փոփոխությամբ: Այլ կերպ ասած, հաստատունները կփոխարինենք x անկախ փոփոխականի ֆունկցիաներով.
.
Այսինքն, մենք փնտրում ենք սկզբնական (1) հավասարման լուծում հետևյալ ձևով.
(4) .

Եթե ​​(4)-ը փոխարինենք (1-ով), ապա կստանանք մեկ դիֆերենցիալ հավասարում n ֆունկցիաների համար: Այս դեպքում մենք կարող ենք կապել այս ֆունկցիաները լրացուցիչ հավասարումներով։ Այնուհետև դուք ստանում եք n հավասարումներ, որոնցից կարող եք որոշել n ֆունկցիա։ Լրացուցիչ հավասարումները կարող են գրվել տարբեր ձևերով: Բայց մենք այնպես կանենք, որ լուծումն ունենա ամենապարզ ձևը։ Դա անելու համար տարբերակելիս անհրաժեշտ է հավասարեցնել ֆունկցիաների ածանցյալներ պարունակող զրոյական անդամներ։ Եկեք ցույց տանք սա.

Առաջարկվող լուծումը (4) փոխարինելու համար սկզբնական (1) հավասարման մեջ, մենք պետք է գտնենք (4) ձևով գրված ֆունկցիայի առաջին n կարգերի ածանցյալները: Տարբերակել (4)՝ կիրառելով գումարը և արտադրյալը տարբերելու կանոնները.
.
Եկեք խմբավորենք անդամներին. Սկզբում մենք դուրս ենք գրում տերմինները ածանցյալներով, իսկ հետո տերմինները ածանցյալներով.

.
Մենք առաջին պայմանը դնում ենք գործառույթների վրա.
(5.1) .
Այնուհետև առաջին ածանցյալի արտահայտությունը կունենա ավելի պարզ ձև.
(6.1) .

Նույն կերպ մենք գտնում ենք երկրորդ ածանցյալը.

.
Գործառույթների վրա դնում ենք երկրորդ պայմանը.
(5.2) .
Հետո
(6.2) .
և այլն: Լրացուցիչ պայմաններում ֆունկցիաների ածանցյալները պարունակող տերմինները հավասարեցնում ենք զրոյի։

Այսպիսով, եթե ընտրենք հետևյալ լրացուցիչ հավասարումները ֆունկցիաների համար.
(5.k) ,
այնուհետև առաջին ածանցյալները կունենան ամենապարզ ձևը.
(6.k) .
Այստեղ .

Մենք գտնում ենք n-րդ ածանցյալը.
(6.n)
.

Մենք փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ (1).
(1) ;






.
Մենք հաշվի ենք առնում, որ բոլոր գործառույթները բավարարում են (2) հավասարումը.
.
Այնուհետև պարունակող տերմինների գումարը տալիս է զրո: Արդյունքում մենք ստանում ենք.
(7) .

Արդյունքում ստացանք ածանցյալների գծային հավասարումների համակարգ.
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք ածանցյալների արտահայտություններ՝ որպես x-ի ֆունկցիաներ: Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք.
.
Ահա հաստատուններ, որոնք այլևս կախված չեն x-ից: Փոխարինելով (4-ով)՝ մենք ստանում ենք սկզբնական հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Նկատի ունեցեք, որ մենք երբեք չենք օգտագործել այն փաստը, որ a i գործակիցները հաստատուն են ածանցյալների արժեքները որոշելու համար: Ահա թե ինչու Լագրանժի մեթոդը կիրառելի է ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարումներ լուծելու համար, եթե հայտնի է միատարր (2) հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը։

Օրինակներ

Հավասարումները լուծել հաստատունների փոփոխության մեթոդով (Լագրանժ):


Օրինակների լուծում > > >

Տես նաեւ: Առաջին կարգի հավասարումների լուծումը հաստատուն տատանումների մեթոդով (Լագրանժ)
Բարձր կարգի հավասարումների լուծում Բեռնուլիի մեթոդով
Գծային անհամասեռ բարձրագույն կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում մշտական ​​գործակիցներով գծային փոխարինմամբ

Դասախոսություն 44. Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումներ. Կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդ. Երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով. (հատուկ աջ կողմ):

Սոցիալական վերափոխումներ. Պետություն և եկեղեցի.

Բոլշևիկների սոցիալական քաղաքականությունը մեծապես թելադրված էր դասակարգային մոտեցմամբ։ 1917 թվականի նոյեմբերի 10-ի հրամանագրով վերացվել է կալվածքային համակարգը, վերացվել են նախահեղափոխական կոչումները, կոչումները և մրցանակները։ Սահմանվել է դատավորների ընտրություն. իրականացվել է քաղաքացիական պետությունների աշխարհիկացումը։ Սահմանել է անվճար կրթություն և բժշկական օգնություն (1918 թ. հոկտեմբերի 31-ի հրամանագիր)։ Կանայք իրավահավասարվեցին տղամարդկանց հետ (1917 թ. դեկտեմբերի 16-ի և 18-ի հրամանագրեր)։ Ամուսնության մասին հրամանագրով մտցվեց քաղաքացիական ամուսնության ինստիտուտը։

Ժողովրդական կոմիսարների խորհրդի 1918 թվականի հունվարի 20-ի հրամանագրով եկեղեցին անջատվել է պետությունից և կրթական համակարգից։ Եկեղեցու ունեցվածքի զգալի մասը բռնագրավվել է: Մոսկվայի և Համայն Ռուսիո պատրիարք Տիխոնը (ընտրվել է 1917 թվականի նոյեմբերի 5-ին) անաթեմատացվել է 1918 թվականի հունվարի 19-ին. Խորհրդային իշխանությունեւ կոչ արեց պայքարել բոլշեւիկների դեմ։

Դիտարկենք գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարումը

Նման հավասարման ընդհանուր լուծման կառուցվածքը որոշվում է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ 1.Անհամասեռ հավասարման (1) ընդհանուր լուծումը ներկայացված է որպես այս հավասարման որոշ որոշակի լուծման գումար և համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում.

Ապացույց. Մենք պետք է ապացուցենք, որ գումարը

(1) հավասարման ընդհանուր լուծումն է։ Նախ ապացուցենք, որ (3) ֆունկցիան (1) հավասարման լուծումն է։

Գումարը փոխարինելով (1) հավասարմամբ ժամը, Կունենա

Քանի որ կա (2) հավասարման լուծում, առաջին փակագծերում արտահայտությունը նույնականորեն հավասար է զրոյի: Քանի որ կա (1) հավասարման լուծում, երկրորդ փակագծերում արտահայտությունը հավասար է f(x). Հետևաբար, հավասարությունը (4) ինքնություն է։ Այսպիսով, թեորեմի առաջին մասը ապացուցված է.

Փաստենք երկրորդ պնդումը՝ (3) արտահայտությունը գեներալ(1) հավասարման լուծում. Մենք պետք է ապացուցենք, որ այս արտահայտության մեջ ներառված կամայական հաստատունները կարող են ընտրվել այնպես, որ նախնական պայմանները բավարարվեն.

ինչ թվեր էլ լինեն x 0, y 0և (եթե միայն x 0վերցվել է այն տարածքից, որտեղ գործում է ա 1, ա 2Եվ f(x)շարունակական):

Նկատելով, որ հնարավոր է ներկայացնել ձևով. Այնուհետև, ելնելով (5) պայմաններից, ունենք

Եկեք լուծենք այս համակարգը և գտնենք 1-իցԵվ 2-ից. Եկեք համակարգը վերաշարադրենք հետևյալ կերպ.

Նկատի ունեցեք, որ այս համակարգի որոշիչը ֆունկցիաների Վրոնսկու որոշիչն է 1Եվ ժամը 2-ինկետում x=x 0. Քանի որ այս ֆունկցիաները ենթադրությամբ գծային անկախ են, Վրոնսկու որոշիչը հավասար չէ զրոյի. հետևաբար (6) համակարգը ունի որոշակի լուծում 1-իցԵվ 2-ից, այսինքն. կան այդպիսի արժեքներ 1-իցԵվ 2-ից, որի համար (3) բանաձևը որոշում է (1) հավասարման լուծումը, որը բավարարում է տրված սկզբնական պայմաններին։ Ք.Ե.Դ.

Եկեք դիմենք անհամասեռ հավասարման առանձին լուծումներ գտնելու ընդհանուր մեթոդին:

Գրենք միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը (2)

Մենք կփնտրենք անհամասեռ (1) հավասարման որոշակի լուծում (7)՝ հաշվի առնելով. 1-իցԵվ 2-իցքանի դեռ անհայտ որոշ հատկանիշներ X.

Եկեք տարբերակենք հավասարությունը (7).

Մենք ընտրում ենք ցանկալի գործառույթները 1-իցԵվ 2-իցորպեսզի հավասարությունը

Եթե ​​այս լրացուցիչ պայմանը հաշվի առնվի, ապա առաջին ածանցյալը ձև է ստանում

Այժմ տարբերակելով այս արտահայտությունը՝ մենք գտնում ենք.

Փոխարինելով (1) հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք

Առաջին երկու փակագծերի արտահայտությունները անհետանում են, քանի որ y 1Եվ y2միատարր հավասարման լուծումներ են։ Հետևաբար, վերջին հավասարությունը ձև է ստանում

Այսպիսով, ֆունկցիան (7) կլինի անհամասեռ (1) հավասարման լուծում, եթե ֆունկցիաները 1-իցԵվ 2-իցբավարարել (8) և (9) հավասարումները: Եկեք (8) և (9) հավասարումներից կազմենք հավասարումների համակարգ։

Քանի որ այս համակարգի որոշիչը Վրոնսկու որոշիչն է գծային անկախ լուծումների համար y 1Եվ y2հավասարումը (2), ապա այն հավասար չէ զրոյի։ Հետևաբար, համակարգը լուծելով, մենք կգտնենք դրա երկու որոշակի գործառույթներ X:

Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք, որտեղից ինտեգրման արդյունքում ստանում ենք. Այնուհետև գտնված ֆունկցիաները փոխարինում ենք բանաձևով, ստանում ենք անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը, որտեղ կան կամայական հաստատուններ: