Դիֆերենցիալ հավասարումներ. Հերթական տարբերակման մեթոդ

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ կոչվում են այնպիսի հավասարումներ, որոնք պարունակում են y=y(x) ցանկալի ֆունկցիայի մեկ կամ մի քանի ածանցյալներ:

F(x,y,y 1,…,y (n)) = 0, որտեղ x-ը անկախ փոփոխականն է:

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը մի ֆունկցիա է, որը այն հավասարման մեջ փոխարինելուց հետո այն վերածում է հաղթանակի։

Լուծման որոշ մեթոդներ հայտնի են դիֆերենցիալ հավասարումների ընթացքում: Առաջին կարգի մի շարք հավասարումների համար (բաժանելի փոփոխականներով, միատարր, գծային և այլն) վերլուծական փոխակերպումներով հնարավոր է լուծում ստանալ բանաձևերի տեսքով։

Շատ դեպքերում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար օգտագործվում են մոտավոր մեթոդներ, որոնք կարելի է բաժանել երկու խմբի.

1) անալիտիկ մեթոդներ, որոնք լուծում են տալիս վերլուծական արտահայտության տեսքով.

2) թվային մեթոդներ, որոնք մոտավոր լուծում են տալիս աղյուսակի տեսքով.

Դիտարկենք այս մեթոդները հետևյալ օրինակների տեսքով.

8.1 Հաջորդական տարբերակման մեթոդ.

Դիտարկենք հավասարումը.

սկզբնական պայմաններով, որտեղ տրվում են թվեր.

Ենթադրենք, որ y=f(x) ցանկալի լուծումը կարելի է լուծել Թեյլորի շարքում տարբերության հզորություններով (x-x 0).

2 n+….

Սկզբնական պայմանները (8.2) մեզ տալիս են y (k) (x 0) արժեքները k=0,1,2,..., (n-1) համար: Մենք գտնում ենք y (n) (x 0) արժեքները (8.1) հավասարումից, փոխարինելով (x-x 0) և օգտագործելով սկզբնական պայմանները (8.2).

y (n) (x 0) = f(x 0,y 0,y "0,...,y 0 (n-1))

y (n+1) (x 0), y (n+2) (x 0)... արժեքները հաջորդաբար որոշվում են տարբերակելով (8.1) հավասարումը և փոխարինելով x=x 0, y (k) (x): 0)=y 0k (k - 0.1.2):

ՕՐԻՆԱԿ:Գտե՛ք y "" +0.1(y ") 2 +(1+0.1x)y=0 y(0)= սկզբնական պայմաններով y=y(x) լուծման y=y(x) լուծման առաջին յոթ անդամները. 1; y "(0)=2.

ԼՈՒԾՈՒՄ:Մենք փնտրում ենք հավասարման լուծումը շարքի տեսքով.

y(x)=y(0)+y"(0)x/1!+y""(0)x 2 /2!+...+y (n) (0)x n /n!...

Սկզբնական պայմաններից ունենք y(0)=1, y " (0) = 2: y "" (0) որոշելու համար լուծում ենք y""-ի այս հավասարումը.

y""(0)= - 0.1(y") 2 - (1+0.1x)y (8.3)

Օգտագործելով նախնական պայմանները, մենք ստանում ենք

y""(0)= -0.1*4 - 1*1= -1.4

Տարբերակելով x-ի նկատմամբ հավասարման ձախ և աջ կողմերը (8.3)

y"""= - 0.2y"y"" - 0.1(xy"+y) - y",

y (4) = - 0.2 (y"y"""+y"" 2) - 0.1 (xy""+2y") - y"",

y (5) = - 0.2 (y"y (4) +3y"""y""") - 0.1 (xy"""" +3y"") - y""",

y (6) \u003d - 0.2 (y "y (5) + 4y" "y (4) + 3y """ 2) - 0.1 (xy (4) + 4y """ - y (4) )

Փոխարինելով սկզբնական պայմանները և y""(0) արժեքը՝ գտնում ենք y"""(0)= – 1.54;

y (4) (0)= – 1.224; y (5) (0) = 0,1768; y (6) (0)= – 0,7308. Այսպիսով, ցանկալի մոտավոր լուծումը կգրվի այսպես՝ y(x) ≈ 1 + 2x - 0.7x 2 - 0.2567x 3 + 0.051x 4 + 0.00147x 5 - 0.00101x 6:

8.2 Էյլերի մեթոդ

Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման թվային մեթոդներից ամենապարզը Էյլերի մեթոդն է, որը հիմնված է ցանկալի ֆունկցիան առաջին աստիճանի բազմանդամով փոխարինելու վրա, այսինքն. գծային էքստրապոլացիա. Մենք խոսում ենք ֆունկցիայի արժեքները x փաստարկի հարակից կետերում, ոչ թե դրանց միջև:

Մենք ընտրում ենք h քայլը փոքր այնպես, որ բոլոր x-երի միջև x 0 և x 1 =x 0 +h y ֆունկցիայի արժեքը քիչ է տարբերվում գծային ֆունկցիայից: Այնուհետև նշված միջակայքում y = y 0 + (x – x 0)y" = y 0 + (x –

Շարունակելով նույն կերպ որոշել ֆունկցիայի արժեքները, մենք համոզվում ենք, որ Էյլերի մեթոդը ներկայացված է որպես բանաձևերի հաջորդական կատարում.

∆y k = y" k h

y k+1 = y k + ∆y k

ՕՐԻՆԱԿ

Մենք լուծում ենք Էյլերի հավասարումները y "= x - y նախնական պայմանով x 0 = 0, y 0 = 0 h = 0.1 քայլ ունեցող հատվածի վրա:

Հաշվարկները ներկայացված են աղյուսակում:

1-ին և 2-րդ սյունակներում առաջին տողը լրացվում է ըստ նախնական տվյալների: Այնուհետև y»-ը հաշվարկվում է ըստ տրված հավասարումը(4-րդ սյունակում), ապա ∆y \u003d y "h - սյունակում (4):

Սյունակ (5) պարունակում է արժեքների աղյուսակ տվյալ հավասարման ճշգրիտ լուծման համար:

Աղյուսակը ցույց է տալիս, որ x=1 դեպքում Էյլերի մեթոդի հարաբերական սխալն է δ=0.37 - 0.35/0.37*100%≈5.4%

ՆՐԱՑՎԱԾ ԷՅԼԵՐԻ ՄԵԹՈԴ

Նույն քանակությամբ հաշվողական աշխատանքով այն ավելի բարձր ճշգրտություն է տալիս:

Նախկինում մենք ինտեգրանդը համարում էինք հաստատուն, որը հավասար է նրա f(x k ,y k) արժեքին բաժնի ձախ ծայրում։ Ավելի ճշգրիտ արժեք կստացվի, եթե f(x,y(x))-ը հավասար է գծապատկերի կենտրոնում գտնվող արժեքին: Դա անելու համար հարկավոր է կրկնակի հատված վերցնել (x k-1, x k+1)՝ փոխարինելով բանաձևը.

y k+1 =y k +∆y k y k+1 =y k-1 +2hy» k (8.5)

Այս բանաձևը արտահայտում է Էյլերի նուրբ մեթոդը։ Բայց այս դեպքում դուք պետք է հետևեք գործողությունների հետևյալ հաջորդականությանը.

ՕՐԻՆԱԿՀամեմատության համար դիտարկենք նույն հավասարումը y "= x - y սկզբնական պայմաններով x 0 = 0, y 0 = 0: Զտված մեթոդը, ինչպես երևում է աղյուսակից, տալիս է ավելի բարձր ճշգրտության հարաբերական սխալ x=1 դեպքում, y=0.370, իսկ y հենց 0.368:

Եթե ​​հավասարումը ունի ձև Մենք ունենք տարբերություն Թեյլորի շարքում, մենք ուսումնասիրում ենք ստացված շարքի կոնվերգենցիան, որում փոխարինում ենք սկզբնական պայմանները: Շարքը կարող է օգտագործվել հանրահաշվական հավասարումներ լուծելու համար: Վիդա. Նման հավասարումների լուծումն իրականացվում է անորոշ գործակցի մեթոդով և տարբերակումից հետո։

51. Պարբերական ֆունկցիաներ. Եռանկյունաչափական. Գործակիցների որոշում Էյլեր-Ֆուրիեի մեթոդով.

2P պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիան, որը բավարարում է Դիրիխլեի պայմանները միջակայքում (-P, P) կարող է ներկայացվել Ֆուրիեի շարքով.

Որի գործակիցները գտնվում են բանաձևերով

f(x) ֆունկցիայի շարունակականության կետերում Ֆուրիեի շարքը զուգակցվում է f(-ին), իսկ անշարժության կետերում՝ . F(x) պարբերական ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի ընդլայնումը 2l պարբերությամբ ունի այն ձևը, որտեղ

53 Ֆունկցիաների ուղղանկյուն համակարգեր. Ֆուրյեի շարքը ֆունկցիաների կամայական ուղղանկյուն համակարգի նկատմամբ:Սահմանում 1. f 1 (x), f 2 (x)..f n (x) (1) ֆունկցիաների անսահման համակարգը կոչվում է ուղղանկյուն [a, b] միջակայքում, եթե որևէ n≠k-ի համար հավասար է (x) ϕ k ( x)dx=0(2) Ենթադրվում է, որ dx≠0 գործում է [a, b]-ում՝ f(x)=(x) (6): Եկեք որոշենք գործակիցները n-ով: Ենթադրենք, որ (6) շարքը ցանկացած ϕ k (x)-ով բազմապատկելուց հետո ստացված շարքը թույլ է տալիս տերմին առ անդամ ինտեգրում: Եկեք (6) հավասարության երկու մասերը բազմապատկենք ϕ k (x)-ով և ինտեգրենք a-ից b-ին: Հաշվի առնելով (2) հավասարությունները՝ ստանում ենք (x)ϕ k (x)dx=c k, որտեղից (7) (7) բանաձևով հաշվարկված k գործակիցները կոչվում են f (x) ֆունկցիայի 5 Ֆուրիեի գործակիցներ՝ ըստ. ուղղանկյուն ֆունկցիաների համակարգը (1). Շարքը (6) կոչվում է Ֆուրիեի շարք՝ ըստ ֆունկցիաների համակարգի (1):

54. Դիրիխլեի պայմանները. Ֆուրյեի շարքում ֆունկցիան ներկայացնելու բավարար պայման: f(x) ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է x արժեքների որոշակի տիրույթում, կոչվում է չնվազող (չաճող), եթե x 2 >x 1 պայմանից; f (x 2) ≥ f (x 1) - չնվազող f (x 2) ≤ f (x 1) - չաճող ֆունկցիա f (x) կոչվում է հատվածի միապաղաղ, եթե այս հատվածը կարելի է բաժանել մի հատվածի. վերջավոր թվով կետեր x 1, x 2 , x 3 ... .. x n -1 ընդմիջումներով այնպես, որ ինտերվալներից յուրաքանչյուրի վրա ֆունկցիան միատոն լինի, այսինքն՝ կամ չի նվազում, կամ չի մեծանում, հետևում է. եթե f (x) ֆունկցիան մաս-մաս միատոն է և սահմանափակվում է հատվածներով, ապա այն կարող է ունենալ 1-ին տեսակի անջատման կետեր: x \u003d c \u003d f (c-0) \u003d f (c + 0); f (c-0) f (c + 0): T. Dirichlet. միջակայքը x [-π; π], ապա Ֆուրիեն Այս ֆունկցիայի վրա կառուցված շարքը համընկնում է բոլոր կետերում, ստացված S(x) շարքի գումարը հավասար է f(x) արժեքին այս ֆունկցիայի շարունակականության կետերում, f(x ֆունկցիայի միջին թվաբանական սահմանը) աջ և ձախ S(c)=(f(c-0)+f(c+0))/2 Այս թեորեմի պայմանները կոչվում են Դիրիխլեի պայմաններ։

55. Զույգ/կենտ ֆունկցիաների տարրալուծումը Ֆուրիեի շարքում:

Զույգ և կենտ ֆունկցիայի սահմանումից հետևում է, որ եթե ψ(х) զույգ ֆունկցիա է, ապա Իրոք.

Քանի որ ըստ զույգ ֆունկցիայի ψ(-x)= ψ(x):

Նմանապես, կարելի է ապացուցել, որ եթե φ(x)-ը կենտ ֆունկցիա է, ապա եթե f(x) կենտ ֆունկցիան ընդլայնվում է Ֆուրիեի շարքում, ապա f(x)cos(kx) արտադրյալը նույնպես կենտ ֆունկցիա է, և f(x)sin(kx) -զույգ; հետևաբար, այսինքն՝ կենտ ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է «միայն սինուսներ»

Եթե ​​զույգ ֆունկցիան ընդլայնվում է Ֆուրիեի շարքի մեջ, ապա f(x)sin(kx) արտադրյալը կենտ ֆունկցիա է, իսկ f(x)cos(kx) զույգ ֆունկցիան, հետևաբար.

Այսինքն՝ զույգ ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը պարունակում է «միայն կոսինուսներ»։ Ստացված բանաձևերը հնարավորություն են տալիս պարզեցնել հաշվարկները Ֆուրիեի գործակիցները փնտրելիս այն դեպքերում, երբ տվյալ ֆունկցիան զույգ է կամ կենտ։ Ակնհայտ է, որ ամեն պարբերական ֆունկցիա չէ, որ զույգ է կամ կենտ:

Իզվեստիա

ՀՈԿՏԵՄԲԵՐՅԱՆ ՀԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅԱՆ ՏՈՄՍԿԻ ՇՔԱՆԵՐԻ ԵՎ Ս.

ՀԵՐԹԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴԻ ԿԻՐԱՌՈՒՄԸ

ԷԼԵԿՏՐԱՄԵԽԱՆԱԿԱՆ ԱՂԲՅՈՒՐՆԵՐԻ ԱՆՑՈՒՄԱՅԻՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐԻ ՀԱՇՎԱՐԿՄԱՆ ԴԻՖԵՐԵՆՑՈՒՄԸ.

Իմպուլսներ

A. V. LOOS

(Ներկայացվում է էլեկտրական մեքենաների և ընդհանուր էլեկտրատեխնիկայի բաժինների գիտական ​​սեմինարով)

Իմպուլսների էլեկտրամեքենայական աղբյուրների անցողիկ գործընթացները, օրինակ՝ միաֆազ հարվածային գեներատորները, փականային իմպուլսային գեներատորները և այլն, նկարագրվում են պարբերական գործակիցներով դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերով, որոնք հնարավոր չէ վերացնել որևէ փոխակերպմամբ: Էլեկտրական մեքենաների անցողիկ պրոցեսների ուսումնասիրությունները ընդհանուր անհամաչափության դեպքում հիմնված են մշտական ​​հոսքի կապի սկզբունքի կիրառման, ինտեգրալ հավասարումների, լուծման մոտավոր մեթոդների և այլնի վրա։ դ..

Որոշ դեպքերում էլեկտրական մեքենաների իմպուլսային էներգիայի աղբյուրների անցողիկ գործընթացների հավասարումները կարող են կրճատվել հաստատուն գործակիցներով հավասարումների, սակայն ռոտորի վրա երկու կամ ավելի ոլորուն համակարգերի դեպքը դիտարկելու անհրաժեշտությունը պահանջում է խորանարդ հավասարման կամ բնորոշ հավասարումների լուծում։ ավելի բարձր աստիճանների բարդ գործակիցներով, ինչը անհնար է հանրահաշվական ձևով: Մագնիսական շղթայի հագեցվածությունը և ռոտորի պտտման արագության փոփոխությունը հաշվի առնելու անհրաժեշտությունը ավելի է բարդացնում նման խնդիրների լուծումը։ Այս դեպքերում ամենաընդունելին մոտավոր լուծման վերլուծական մեթոդների կիրառումն է։

Դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերի մոտավոր ինտեգրման վերլուծական մեթոդների շարքում շատ տարածված է ինտեգրումը ուժային շարքերի միջոցով հաջորդական տարբերակման մեթոդով։ Այս մեթոդը կիրառելի է ինչպես հաստատուն և փոփոխական գործակիցներով գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգերի, այնպես էլ ոչ գծային խնդիրների լուծման համար։ Ցանկալի կոնկրետ լուծումը ներկայացված է որպես ընդլայնում Թեյլորի շարքում: Մեթոդի կիրառման արդյունավետությունը մեծապես կախված է հետազոտողի կարողությունից՝ օգտագործելու մասին առաջիորի տեղեկատվություն. ֆիզիկական բնույթխնդիրը լուծվում է.

Իսկապես, եթե իմպուլսների էլեկտրամեքենայական աղբյուրի համար կազմենք դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ՝ հոսանքները ընդունելով որպես անհայտ ֆունկցիաներ, ապա նախապես հայտնի է, որ լուծումները կներկայացնեն արագ տատանվող ֆունկցիաներ։ Ակնհայտ է, որ դրանք Թեյլորի շարքի տեսքով ներկայացնելու համար մեզ անհրաժեշտ է մեծ թիվանդամներ, այսինքն՝ լուծումը չափազանց ծանր է լինելու: Դիֆերենցիալ հավասարումներԱվելի ձեռնտու է անցողիկ գործընթացներ կազմել ոչ թե հոսանքների, այլ հոսքային կապերի համար: Դա պայմանավորված է նրանով, որ ոլորունների հոսքային կապը փոխվում է

ժամանակային առումով շատ ավելի փոքր են, քանի որ դրանք, որպես կանոն, միապաղաղ փոփոխվող ֆունկցիաներ են, որոնց բավականաչափ ճշգրիտ ներկայացման համար Թեյլորի շարքի ընդլայնման տեսքով պահանջվում են ընդամենը մի քանի տերմիններ։ Հոսքային կապերը որոշելուց հետո հոսանքները հայտնաբերվում են սովորական հանրահաշվական հավասարումների լուծման միջոցով։

Որպես օրինակ, դիտարկենք հաջորդական տարբերակման մեթոդի կիրառումը փականի իմպուլսային գեներատորի անցողիկները հաշվարկելու համար:

Փականների գեներատորի բեռնվածքի հոսանքի հաշվարկը կարող է իրականացվել, սակայն, ըստ ֆազային հոսանքների ծրարի կորի, որը ստացվում է, երբ համաժամանակյա գեներատորը հանկարծ միացված է սիմետրիկ եռաֆազ ակտիվ բեռի: Համարժեք սիմետրիկ ակտիվ բեռի արժեքը որոշվում է R3 - 2/sRh հարաբերակցությամբ: Այսպիսով, բեռնվածքի հոսանքի և փուլային հոսանքների կորը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է լուծել համաժամանակյա գեներատորի դիֆերենցիալ հավասարումների ամբողջական համակարգը, երբ միացված է սիմետրիկ ակտիվ բեռին:

Արմատուրային հոսանքը որոշելիս արտաքին ակտիվ դիմադրությունը կարող է ավելացվել ստատորի ակտիվ դիմադրության r = R3 + rc: Սինխրոն գեներատորի անցողիկ գործընթացների հավասարումները d, q առանցքներում ունեն ձև.

pYd= - Ud - (ü^q -rld, (1)

р - - Uq + с W6 riq, (2)

P^f = Uf - rfif, (3)

P^Dd - - rodidcb (4)

PXVD:( = - rDq ioq, (5)

XfXDd - X2ag| m Xad(XDd-XaH) Tf. xad (Xj - Хпн) w

D "d ri" d Tßd 9

,* _ x°q w „xaq /7)

q ~ "Ä7™ q q"

XdXDd ~~ x"ad ig xad (xDd "~"xad) m Xad(xd Xad) -CG f ^ -D- 1 ~~ "-~D- d " ---- d" * "

XdXf X2ad yy xad (xf ~~ xari) m xad (xd ~ xad) w /n\ iDd = -~d- ^ Dd--D- Td --d--M" w)

D - XdXfXDd ^ 2x3ad - x2ad(xd + xr -f X[)d) , (11)

A" = XqXDq - X2aq: (12)

Ընդհանուր ձևով (1-^12) հավասարումների համակարգի վերլուծական լուծում չկա։ Սինխրոն գեներատորի հոսանքների համար նախագծային հարաբերակցություններ ձեռք բերելու փորձ է արվել ստատորի միացումում ակտիվ դիմադրությունների առկայության դեպքում: Այնուամենայնիվ, հեղինակը սխալ է թույլ տվել, որը ֆիզիկապես կապված է պտտվող մեքենայի մեջ երկայնական և լայնակի առանցքների երկայնքով հոսքային կապերի կայունության ենթադրության անթույլատրելիության հետ՝ ստատորի միացումում ակտիվ դիմադրության առկայության դեպքում: Այս սխալը մատնանշվել է , որտեղ ճշգրիտ լուծում է ստացվել ռոտորի վրա մեկ ոլորուն համակարգի դեպքում և ցույց է տրվել լուծման սովորական մեթոդների կիրառման անհնարինությունը ռոտորի վրա երկու կամ ավելի ոլորուն համակարգեր դիտարկելիս: Հետևաբար, այստեղ դիտարկված օրինակը զգալի հետաքրքրություն է ներկայացնում:

Փոխարինելով (6-10) (1-5)-ով և հաշվի առնելով, որ Ud = Uq=:0, մենք ստանում ենք անցողիկ գործընթացների հավասարումները, որոնք գրված են հոսքային կապերի նկատմամբ նորմալ Kosh ձևով և.

[(x(x1)c1 - x.^x^ - xa(1(x0(1 - x^x^ _

3 q7~ (x00(x^ x,1(] x^)

P^ = bmr - ^ [(xc]x0c1 - x2aa) X*( - Xa(1 (XO(1 - xa<1№

Հա<1 (хс! - Х^Ч^] ,

P \u003d--- X2a (1) ¥ 141 - hi (x ( - x ^ H ^

Hayo(Xc1 - xac1)¥(] ,

p ChTs = ^ -¿g (xh Ch^ - xach Ch^) .

Ենթադրենք, որ նախքան բեռի վրա միանալը, համաժամանակյա գեներատորը պարապ էր աշխատում գրգռման հոսանքի հետ, ապա սկզբնական պայմանները 1 = 0 են:

N ^ o \u003d * Gohas \u003d Mb ^ H "o \u003d 1 Goha (b ChTs0 - O, ¥C (0 \u003d 0.

Ընդունված սկզբնական պայմաններում tf, tb, t, t, t լուծումը կարող է ներկայացվել որպես ընդլայնում Maclaurin շարքում:

Նմանապես հոսքային կապերի համար Ch^, Ch^, Tsh, Ch^: Հոսքային կապերի ածանցյալների սկզբնական արժեքները (18) ձևի հավասարումների մեջ հեշտ է գտնել հայտնի սկզբնական պայմաններում՝ հավասարումների հաջորդական տարբերակմամբ (13-17): Հոսքային կապերի և դրանց ածանցյալների սկզբնական արժեքները (18) ձևի հավասարումների մեջ փոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք.

(3 = 1Գոհաս1

XrX^ - x^ \

^ = Cho xac1 Հ

1 GHop «+2 1 ^ - 4 G---7- W X

2 A "(x2ochg + x2achGoch)

x? 1 գ (xaN (Hoa - Chls1) ®2

sho ~ 1goal(1

1__GR(1 хас1 (х( - хас!) с°2

L Х2ad Տարի

(20) (21) (22) (23)

Ch"d, Ch^, Ch"w, Chbh լուծումների կոնվերգենցիան կարող է որոշվել Maclaurin շարքի ընդլայնումների մնացորդային պայմաններն ուսումնասիրելով (19-23)

Kn(n) = -^m P(n+1) ^ (U), (24)

որտեղ 0

Նմանապես «Rva»-ի համար, ըստ հոսքի շղթայի հայտնաբերված արժեքների

Օգտագործելով (6-10) հավասարումները, դժվար չէ գտնել 1r «a հոսքերը: Գծային փոխակերպումների բանաձևերի համաձայն մենք որոշում ենք փուլային հոսանքները.

1a = ¡c) coe co 1 - ¡d at co 1(25) 1b = 1-ին իրադարձություն 1--- 1h e1p ^--> (26)

«-c \u003d - 1a -\u003e b- (27)

Փականի իմպուլսային գեներատորի բեռնվածքի հոսանքը հայտնաբերվում է որպես նույն նշանի 1a, 1b, ¡c փուլային հոսանքների ակնթարթային արժեքների գումար:

Համաձայն դիտարկվող մեթոդի՝ փականի իմպուլսային գեներատորի անցողիկ գործընթացների հաշվարկը կատարվել է հետևյալ պարամետրերով.

X(1 = = Xos! = xvh = 1.05; x(1 = xac, = 1; x( = 1.2; gs = g.-!! = goa = = 0.02; Yn = 0.05:

Նկ. 1-ը ցույց է տալիս փուլային հոսանքների \b, ¡s և բեռի հոսանքի հաշվարկված կորերը ¡c: Անալիտիկ հաշվարկների համեմատությունը AVM MN-14-ի վրա ստացված արդյունքների հետ հավասարումների ամբողջական համակարգի օգտագործմամբ ուսումնասիրության արդյունքում տալիս է.

Բրինձ. 1. Գնահատված tokos կորեր առանց գեներատորի և բեռի

լավ կոնվերգենցիա. Լուծման կոնվերգենցիայի գնահատումը` ուսումնասիրելով Maclaurin-ի ընդլայնման մնացորդային տերմինը (24), նույնպես ցույց է տալիս, որ առավելագույն հաշվարկային սխալը չի ​​գերազանցում 5-7%-ը:

Հաջորդական տարբերակման մեթոդը կարող է կիրառվել իմպուլսների էլեկտրամեքենայական աղբյուրների անցողիկ գործընթացների վերլուծության համար, որոնց հավասարումները պարունակում են փոփոխական գործակիցներ։ Ոչ գծային դիֆերենցիալ հավասարումներով նկարագրված անցողիկ գործընթացների ուսումնասիրությունը նույնպես հիմնարար դժվարությունների չի հանդիպում այս մեթոդի կիրառման ժամանակ, սակայն դրա կիրառումն այս դեպքում կարող է հանգեցնել ծանր արտահայտությունների: Դիֆերենցիալ հավասարումների սկզբնական համակարգի տեսակի ճիշտ ընտրության համար բոլոր դեպքերում անհրաժեշտ է օգտագործել պրոցեսների ֆիզիկական պատկերի մասին ապրիորի տեղեկատվություն, ինչը մեծապես հեշտացնում է լուծումը։

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. I. I. Treshchev. Մեքենաների հետազոտության մեթոդներ փոփոխական հոսանք. «Էներգիա», 1969 թ.

2. A. I. In agio v. Սինխրոն մեքենայի անցողիկ գործընթացների տեսության հիմունքները. Gosenergoizdat, 1960 թ.

3. Չ Կ ո ն կ ո ր դ ի ա. համաժամանակյա մեքենաներ. Gosenergoizdat, 1959 թ.

4. E. Ya. Kazovskii. Անցումային գործընթացներ փոփոխական հոսանքի էլեկտրական մեքենաներում. ՀԽՍՀ ԳԱ հրատարակչություն, 1962 թ.

5. L. E. Elsgolts. Դիֆերենցիալ հավասարումներ և փոփոխական հաշվարկ. «Գիտություն», 1969։

6. Գ.Ա.Սիպաիլով, Ա.Վ.Լոս և Յու.Ի.Ռյաբչիկով: Փականային իմպուլսային գեներատորի անցողիկ պրոցեսների ուսումնասիրություն. Իզվ. TPI. Իրական հավաքածու.

Թեորեմ.

Տրված է.

Եթե ​​DE-ի աջ կողմը, այսինքն. ֆունկցիան , իր արգումենտների վերլուծական ֆունկցիան է կետի որոշ հարեւանությամբ , ապա բավականաչափ մոտ արժեքների համար կա Քոշիի խնդրի եզակի լուծում, որը կարող է ներկայացվել որպես հզորության շարք (Թեյլորի շարք):

Դիտարկենք Քոշիի վերը նշված խնդիրը: Մենք կփնտրենք Քոշիի խնդրի լուծումը n-րդ կարգի DE-ի համար՝ կետի մոտակայքում գտնվող ուժերով Թեյլորի շարքի տեսքով:

Շարքի գործակիցները կետում հաշվարկված ֆունկցիայի ածանցյալներն են:

Եկեք գտնենք դրանք.

1) Սկզբնական պայմաններից մենք որոշում ենք առաջին n ընդլայնման գործակիցները.

;

2) (n + 1)-րդ գործակցի արժեքը որոշվում է DE-ում արժեքները փոխարինելով.

3) Բոլոր հետագա գործակիցները գտնելու համար մենք հաջորդաբար կտարբերակենք սկզբնական DE-ի ձախ և աջ մասերը և կհաշվարկենք գործակիցների արժեքները՝ օգտագործելով նախնական պայմանները և արդեն ստացված բոլոր գործակիցները:

Մեկնաբանություն.Եթե ​​գոյության թեորեմի և լուծման եզակիության պայմանները բավարարված են, ապա ստացված Թեյլորի շարքի մասնակի գումարը կլինի նշված Քոշիի խնդրի մոտավոր լուծումը։

Հաջորդական տարբերակման մեթոդի ալգորիթմ

1. y(x) լուծումը գրե՛ք որպես անվերջ հզորության շարք՝

, որտեղ

2. Որոշեք առաջին n գործակիցների արժեքները (այստեղ n-ը սկզբնական հավասարման կարգն է)՝ օգտագործելով նախնական պայմանները:

3. Արտահայտե՛ք DE-ից ամենաբարձր ածանցյալը: Հաշվեք դրա արժեքը սկզբնական կետում՝ օգտագործելով նախնական պայմանները: Հաշվարկել գործակիցը.

4. Տարբերակելով x-ի նկատմամբ 3-րդ կետից ամենաբարձր ածանցյալի արտահայտությունը՝ գտե՛ք n + 1 ֆունկցիայի ածանցյալը: Հաշվեք դրա արժեքը սկզբնական կետում՝ օգտագործելով սկզբնական պայմանները և 3-րդ քայլում հաշվարկված ամենաբարձր ածանցյալի արժեքը: Հաշվեք գործակիցը:

5. Մնացած գործակիցները հաշվարկվում են 4-րդ կետում նկարագրված ընթացակարգի նման: