Վեկտորների գծային կախվածություն և գծային անկախություն:
Վեկտորների հիմքը. Affine կոորդինատային համակարգ

Դահլիճում շոկոլադներով սայլ կա, և յուրաքանչյուր այցելու այսօր կստանա քաղցր զույգ՝ գծային հանրահաշիվով վերլուծական երկրաչափություն: Այս հոդվածը կներառի միանգամից երկու բաժին: բարձրագույն մաթեմատիկա, և մենք կտեսնենք, թե ինչպես են նրանք միմյանց հետ մեկ փաթաթում: Ընդմիջեք, կերեք Twix: ... անիծյալ, ինչ անհեթեթություն: Չնայած, լավ, ես գոլ չեմ խփի, ի վերջո, պետք է դրական վերաբերվել սովորելուն։

Վեկտորների գծային կախվածություն, գծային վեկտորի անկախություն, վեկտորների հիմքըև այլ տերմիններ ունեն ոչ միայն երկրաչափական մեկնաբանություն, բայց, ամենից առաջ, հանրահաշվական իմաստը։ «Վեկտոր» հասկացությունը գծային հանրահաշվի տեսանկյունից միշտ չէ, որ այն «սովորական» վեկտորն է, որը մենք կարող ենք պատկերել հարթության վրա կամ տարածության մեջ: Պետք չէ հեռուն փնտրել ապացույցների համար, փորձեք նկարել հնգչափ տարածության վեկտոր . Կամ եղանակի վեկտորը, որի համար ես հենց նոր գնացի Gismeteo՝ – ջերմաստիճան և Մթնոլորտային ճնշումհամապատասխանաբար. Օրինակը, իհարկե, սխալ է վեկտորային տարածության հատկությունների տեսակետից, բայց, այնուամենայնիվ, ոչ ոք չի արգելում այդ պարամետրերը որպես վեկտոր ձեւակերպել։ Աշնանային շունչ...

Ոչ, ես չեմ պատրաստվում ձանձրացնել ձեզ տեսությամբ, գծային վեկտորային տարածություններով, խնդիրն այն է հասկանալսահմանումներ և թեորեմներ: Նոր տերմինները (գծային կախվածություն, անկախություն, գծային համակցություն, հիմք և այլն) վերաբերում են բոլոր վեկտորներին հանրահաշվական տեսանկյունից, սակայն բերվելու են երկրաչափական օրինակներ։ Այսպիսով, ամեն ինչ պարզ է, մատչելի և պարզ: Բացի վերլուծական երկրաչափության խնդիրներից, մենք կդիտարկենք նաև հանրահաշվի որոշ տիպիկ խնդիրներ: Նյութը յուրացնելու համար խորհուրդ է տրվում ծանոթանալ դասերին Վեկտորներ կեղծամների համարԵվ Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Հարթ վեկտորների գծային կախվածություն և անկախություն:
Հարթության հիմք և աֆինային կոորդինատային համակարգ

Դիտարկենք ձեր համակարգչի գրասեղանի հարթությունը (ընդամենը սեղան, մահճակալի սեղան, հատակ, առաստաղ, ինչ ուզում եք): Առաջադրանքը բաղկացած կլինի հետևյալ գործողություններից.

1) Ընտրեք ինքնաթիռի հիմքը. Կոպիտ ասած, սեղանի սեղանն ունի երկարություն և լայնություն, ուստի ինտուիտիվ է, որ հիմքը կառուցելու համար կպահանջվի երկու վեկտոր: Մեկ վեկտորն ակնհայտորեն բավարար չէ, երեք վեկտորը շատ է:

2) Ընտրված հիմքի հիման վրա սահմանել կոորդինատային համակարգ(կոորդինատների ցանց) սեղանի վրա գտնվող բոլոր օբյեկտներին կոորդինատներ նշանակելու համար:

Մի զարմացեք, սկզբում բացատրությունները մատների վրա կլինեն։ Ավելին, ձեր վրա: Խնդրում ենք տեղադրել ձախ ցուցամատըսեղանի եզրին, որպեսզի նա նայի մոնիտորի վրա: Սա կլինի վեկտոր: Հիմա տեղ փոքր մատը աջ ձեռք սեղանի եզրին նույն կերպ, որպեսզի այն ուղղված լինի մոնիտորի էկրանին: Սա կլինի վեկտոր: Ժպտա, դու հիանալի տեսք ունես: Ի՞նչ կարող ենք ասել վեկտորների մասին: Տվյալների վեկտորներ համագիծ, ինչը նշանակում է գծայինմիմյանց միջոցով արտահայտված.
, լավ, կամ հակառակը՝ , որտեղ ինչ-որ թիվ տարբերվում է զրոյից:

Այս գործողության նկարը կարող եք տեսնել դասարանում: Վեկտորներ կեղծամների համար, որտեղ ես բացատրեցի վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնը։

Արդյո՞ք ձեր մատները հիմք կդնեն համակարգչային սեղանի հարթության վրա: Ակնհայտորեն ոչ: Գոյություն ունեցող վեկտորները շարժվում են ետ ու առաջ միայնակուղղությունը, իսկ ինքնաթիռն ունի երկարություն և լայնություն։

Նման վեկտորները կոչվում են գծային կախված.

Հղում: «Գծային», «գծային» բառերը նշանակում են այն փաստը, որ մաթեմատիկական հավասարումների և արտահայտությունների մեջ չկան քառակուսիներ, խորանարդներ, այլ հզորություններ, լոգարիթմներ, սինուսներ և այլն: Կան միայն գծային (1-ին աստիճանի) արտահայտություններ և կախվածություններ։

Երկու հարթ վեկտոր գծային կախվածեթե և միայն եթե դրանք համակցված են.

Ձեր մատները խաչեք սեղանի վրա այնպես, որ նրանց միջև լինի 0 կամ 180 աստիճանից այլ անկյուն: Երկու հարթ վեկտորգծային Ոչկախված, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համակցված չեն. Այսպիսով, հիմքը ստացված է. Պետք չէ ամաչել, որ հիմքը «շեղված» է տարբեր երկարությունների ոչ ուղղահայաց վեկտորներով։ Շատ շուտով մենք կտեսնենք, որ դրա կառուցման համար հարմար է ոչ միայն 90 աստիճանի անկյունը, և ոչ միայն հավասար երկարության միավոր վեկտորները

Ցանկացածհարթության վեկտոր միակ ելքըընդլայնվում է ըստ հիմքի՝
, որտեղ են իրական թվերը: Թվերը կոչվում են վեկտորի կոորդինատներըայս հիմքում։

Ասվում է նաև, որ վեկտորներկայացված է որպես գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ. Այսինքն՝ արտահայտությունը կոչվում է վեկտորի տարրալուծումհիմքովկամ գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ.

Օրինակ՝ կարող ենք ասել, որ վեկտորը քայքայված է հարթության օրթոնորմալ հիմքի երկայնքով, կամ կարող ենք ասել, որ այն ներկայացված է որպես վեկտորների գծային համակցություն։

Եկեք ձեւակերպենք հիմքի սահմանումպաշտոնապես: Ինքնաթիռի հիմքըկոչվում է գծային անկախ (ոչ սյունաձև) վեկտորների զույգ, , որտեղ ցանկացածհարթ վեկտորը հիմքի վեկտորների գծային համակցություն է:

Սահմանման էական կետը վեկտորների վերցված լինելու փաստն է որոշակի կարգով. Հիմքեր - սրանք երկու բոլորովին տարբեր հիմքեր են: Ինչպես ասում են՝ ձախ ձեռքի փոքրիկ մատը չես կարող փոխարինել աջ ձեռքի փոքր մատի փոխարեն։

Մենք պարզել ենք հիմքը, բայց դա բավարար չէ կոորդինատային ցանց սահմանել և կոորդինատներ նշանակել ձեր համակարգչի սեղանի յուրաքանչյուր կետին: Ինչու դա բավարար չէ: Վեկտորները ազատ են և թափառում են ամբողջ հարթության վրա: Այսպիսով, ինչպե՞ս եք կոորդինատներ հատկացնում սեղանի վրա գտնվող այդ փոքրիկ կեղտոտ կետերին, որոնք մնացել են վայրի հանգստյան օրերից: Անհրաժեշտ է մեկնարկային կետ: Եվ նման ուղենիշը բոլորին ծանոթ կետ է՝ կոորդինատների ծագումը։ Եկեք հասկանանք կոորդինատային համակարգը.

Սկսեմ «դպրոցական» համակարգից։ Արդեն ներածական դասում Վեկտորներ կեղծամների համարԵս ընդգծեցի որոշ տարբերություններ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի և օրթոնորմալ հիմքի միջև: Ահա ստանդարտ նկարը.

Երբ խոսում են այն մասին ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, ապա ամենից հաճախ նկատի ունեն առանցքների երկայնքով ծագումը, կոորդինատային առանցքները և սանդղակը։ Փորձեք որոնողական համակարգում մուտքագրել «ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ», և կտեսնեք, որ շատ աղբյուրներ ձեզ կպատմեն 5-6-րդ դասարաններից ծանոթ կոորդինատային առանցքների և հարթության վրա կետերի գծագրման մասին:

Մյուս կողմից, թվում է, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը կարող է ամբողջությամբ սահմանվել օրթոնորմալ հիմքի տեսանկյունից: Եվ դա գրեթե ճիշտ է: Ձևակերպումը հետևյալն է.

ծագում, Եվ օրթոնորմալհիմքը դրված է Դեկարտյան ուղղանկյուն հարթության կոորդինատային համակարգ . Այսինքն՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը հաստատսահմանվում է մեկ կետով և երկու միավոր ուղղանկյուն վեկտորներով: Ահա թե ինչու դուք տեսնում եք նկարը, որը ես տվել եմ վերևում երկրաչափական խնդիրներՀաճախ (բայց ոչ միշտ) գծվում են և՛ վեկտորները, և՛ կոորդինատային առանցքները:

Կարծում եմ, բոլորը հասկանում են, որ օգտագործելով կետ (ծագում) և օրթոնորմալ հիմք ՑԱՆԿԱՑԱԾ ԿԵՏ ինքնաթիռում և ՑԱՆԿԱՑԱԾ ՎԵԿՏՈՐ ինքնաթիռումկոորդինատները կարող են նշանակվել: Պատկերավոր ասած՝ «ինքնաթիռում ամեն ինչ կարելի է համարակալել»։

Արդյո՞ք կոորդինատների վեկտորները պետք է լինեն միավոր: Ոչ, դրանք կարող են ունենալ կամայական ոչ զրոյական երկարություն: Դիտարկենք կամայական ոչ զրոյական երկարության կետ և երկու ուղղանկյուն վեկտոր.

Նման հիմքը կոչվում է ուղղանկյուն. Վեկտորներով կոորդինատների ծագումը որոշվում է կոորդինատային ցանցով, և հարթության ցանկացած կետ, ցանկացած վեկտոր ունի իր կոորդինատները տվյալ հիմքում: Օրինակ, կամ. Ակնհայտ անհարմարությունն այն է, որ կոորդինատների վեկտորները ընդհանուր առմամբունեն տարբեր երկարություններ, բացի միասնությունից: Եթե ​​երկարությունները հավասար են միասնությանը, ապա ստացվում է սովորական օրթոնորմալ հիմքը։

! Նշում ուղղանկյուն հիմքում, ինչպես նաև ներքևում հարթության և տարածության աֆինային հիմքերում առանցքների երկայնքով միավորներ են համարվում. ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ. Օրինակ, x առանցքի երկայնքով մեկ միավորը պարունակում է 4 սմ, օրդինատների առանցքի մեկ միավորը պարունակում է 2 սմ: Այս տեղեկատվությունը բավարար է անհրաժեշտության դեպքում «ոչ ստանդարտ» կոորդինատները «մեր սովորական սանտիմետրերի» վերածելու համար:

Եվ երկրորդ հարցը, որին փաստացի արդեն տրվել է պատասխան, այն է, թե արդյոք հիմքի վեկտորների միջև անկյունը պետք է հավասար լինի 90 աստիճանի: Ո՛չ։ Ինչպես նշվում է սահմանման մեջ, հիմքի վեկտորները պետք է լինեն միայն ոչ գծային. Համապատասխանաբար, անկյունը կարող է լինել ցանկացած բան, բացի 0-ից և 180 աստիճանից:

Ինքնաթիռի մի կետ կանչեց ծագում, Եվ ոչ գծայինվեկտորներ, , հավաքածու աֆին հարթության կոորդինատային համակարգ :

Երբեմն նման կոորդինատային համակարգ կոչվում է թեքհամակարգ. Որպես օրինակ՝ գծանկարը ցույց է տալիս կետեր և վեկտորներ.

Ինչպես հասկանում եք, աֆինային կոորդինատային համակարգը նույնիսկ ավելի քիչ հարմար է, վեկտորների և հատվածների երկարությունների բանաձևերը, որոնք մենք քննարկել ենք դասի երկրորդ մասում, դրանում չեն աշխատում: Վեկտորներ կեղծամների համար, շատ համեղ բանաձեւեր՝ կապված վեկտորների սկալյար արտադրյալ. Բայց վավեր են վեկտորներ ավելացնելու և վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնները, այս առնչությամբ հատված բաժանելու բանաձևերը, ինչպես նաև որոշ այլ տեսակի խնդիրներ, որոնք մենք շուտով կքննարկենք:

Եվ եզրակացությունն այն է, որ աֆինային կոորդինատային համակարգի ամենահարմար հատուկ դեպքը դեկարտյան ուղղանկյուն համակարգն է։ Դրա համար ամենից հաճախ պետք է նրան տեսնել, սիրելիս: ...Սակայն այս կյանքում ամեն ինչ հարաբերական է. կան բազմաթիվ իրավիճակներ, երբ թեք անկյունը (կամ մեկ այլ, օրինակ. բևեռային) կոորդինատային համակարգ. Եվ մարդանմաններին կարող են դուր գալ նման համակարգերը =)

Անցնենք գործնական մասին։ Այս դասի բոլոր խնդիրները վավեր են ինչպես ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի, այնպես էլ ընդհանուր աֆինական գործի համար: Այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա, ամբողջ նյութը հասանելի է նույնիսկ դպրոցականին։

Ինչպե՞ս որոշել հարթ վեկտորների համակցվածությունը:

Տիպիկ բան. Որպեսզի երկու հարթ վեկտոր եղել են համագիծ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանց համապատասխան կոորդինատները լինեն համաչափԸստ էության, սա ակնհայտ հարաբերությունների կոորդինատ առ կոորդինատային մանրամասնություն է:

Օրինակ 1

ա) Ստուգեք՝ արդյոք վեկտորները համագիծ են .
բ) Արդյո՞ք վեկտորները հիմք են կազմում: ?

Լուծում:
ա) Եկեք պարզենք, արդյոք կա վեկտորների համար համամասնության գործակիցը, որպեսզի հավասարությունները բավարարվեն.

Ես ձեզ անպայման կպատմեմ այս կանոնի կիրառման «անհեթեթ» տարբերակի մասին, որը գործնականում բավականին լավ է աշխատում: Գաղափարն այն է, որ անմիջապես կազմվի համամասնությունը և տեսնել, թե արդյոք դա ճիշտ է.

Վեկտորների համապատասխան կոորդինատների հարաբերություններից կազմենք համամասնություն.

Եկեք կրճատենք.
, հետևաբար, համապատասխան կոորդինատները համաչափ են, հետևաբար,

Հարաբերությունները կարող են լինել հակառակը, սա համարժեք տարբերակ է.

Ինքնաթեստավորման համար կարող եք օգտագործել այն փաստը, որ համագիծ վեկտորները գծային կերպով արտահայտված են միմյանց միջոցով: Այս դեպքում հավասարությունները տեղի են ունենում . Դրանց վավերականությունը հեշտությամբ կարելի է ստուգել վեկտորներով տարրական գործողությունների միջոցով.

բ) Երկու հարթ վեկտորներ հիմք են կազմում, եթե դրանք համագիծ չեն (գծային անկախ): Մենք ուսումնասիրում ենք վեկտորները համակողմանիության համար . Եկեք ստեղծենք համակարգ.

Առաջին հավասարումից հետևում է, որ , երկրորդ հավասարումից հետևում է, որ , ինչը նշանակում է համակարգը անհամապատասխան է(լուծումներ չկան): Այսպիսով, վեկտորների համապատասխան կոորդինատները համաչափ չեն։

ԵզրակացությունՎեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում:

Լուծման պարզեցված տարբերակը հետևյալն է.

Վեկտորների համապատասխան կոորդինատներից համամասնություն կազմենք :
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում։

Սովորաբար այս տարբերակը չի մերժվում վերանայողների կողմից, սակայն խնդիր է առաջանում այն ​​դեպքերում, երբ որոշ կոորդինատներ հավասար են զրոյի։ Սրա նման: . Կամ այսպես. . Կամ այսպես. . Ինչպե՞ս աշխատել այստեղ համամասնության վրա: (իրոք, դուք չեք կարող բաժանել զրոյի): Այդ իսկ պատճառով պարզեցված լուծումը ես անվանեցի «անհեթեթ»:

Պատասխան.ա), բ) ձև.

Մի փոքրիկ ստեղծագործական օրինակ համար անկախ որոշում:

Օրինակ 2

Պարամետրի ինչ արժեքով են վեկտորները դրանք կլինե՞ն համագիծ:

Նմուշի լուծույթում պարամետրը հայտնաբերվում է համամասնության միջոցով:

Գոյություն ունի էլեգանտ հանրահաշվական եղանակ՝ վեկտորները համակողմանիության համար ստուգելու համար: Եկեք համակարգենք մեր գիտելիքները և այն ավելացնենք որպես հինգերորդ կետ.

Երկու հարթ վեկտորների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են:

2) վեկտորները հիմք են կազմում.
3) վեկտորները համակողմանի չեն.

+ 5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը զրո չէ.

Համապատասխանաբար, Հետևյալ հակադիր պնդումները համարժեք են:
1) վեկտորները գծային կախված են.
2) վեկտորները հիմք չեն կազմում.
3) վեկտորները համագիծ են.
4) վեկտորները կարող են գծային արտահայտվել միմյանց միջոցով.
+ 5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի.

Ես իսկապես, իսկապես հուսով եմ, որ մինչ այժմ դուք արդեն հասկանում եք ձեր հանդիպած բոլոր տերմիններն ու հայտարարությունները:

Եկեք մանրամասնորեն նայենք նոր՝ հինգերորդ կետին. երկու հարթ վեկտոր համագիծ են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ տվյալ վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի:. Այս հատկությունը կիրառելու համար, իհարկե, պետք է կարողանալ գտնել որոշիչները.

Եկեք որոշենքՕրինակ 1 երկրորդ ձևով.

ա) Հաշվենք վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը :
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները համագիծ են։

բ) Երկու հարթ վեկտորներ հիմք են կազմում, եթե դրանք համագիծ չեն (գծային անկախ): Հաշվենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը :
, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում։

Պատասխան.ա), բ) ձև.

Այն շատ ավելի կոմպակտ և գեղեցիկ տեսք ունի, քան համամասնություններով լուծումը:

Դիտարկված նյութի օգնությամբ հնարավոր է հաստատել ոչ միայն վեկտորների համագծայինությունը, այլև ապացուցել հատվածների և ուղիղ գծերի զուգահեռությունը։ Դիտարկենք որոշակի երկրաչափական ձևերի հետ կապված մի քանի խնդիր:

Օրինակ 3

Տրված են քառանկյան գագաթները։ Ապացուցեք, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

ԱպացույցԽնդրի մեջ գծանկար ստեղծելու կարիք չկա, քանի որ լուծումը լինելու է զուտ վերլուծական։ Հիշենք զուգահեռագծի սահմանումը.
Զուգահեռագիծ Այն քառանկյունը, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են, կոչվում է:

Այսպիսով, անհրաժեշտ է ապացուցել.
1) հակադիր կողմերի զուգահեռություն և.
2) հակադիր կողմերի զուգահեռությունը և.

Մենք ապացուցում ենք.

1) Գտեք վեկտորները.

2) Գտեք վեկտորները.

Արդյունքը նույն վեկտորն է («ըստ դպրոցի»՝ հավասար վեկտորներ): Կոլինայնությունը միանգամայն ակնհայտ է, բայց ավելի լավ է որոշումը ֆորմալացնել հստակ, դասավորվածությամբ։ Եկեք հաշվարկենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը.
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները համագիծ են, և .

ԵզրակացությունՔառանկյան հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են, ինչը նշանակում է, որ այն ըստ սահմանման զուգահեռագիծ է: Ք.Ե.Դ.

Ավելի լավ և տարբեր թվեր.

Օրինակ 4

Տրված են քառանկյան գագաթները։ Ապացուցեք, որ քառանկյունը trapezoid է:

Ապացույցի ավելի խիստ ձևակերպման համար ավելի լավ է, իհարկե, ստանալ տրապիզոիդի սահմանումը, բայց բավական է պարզապես հիշել, թե ինչ տեսք ունի այն։

Սա ձեզ համար խնդիր է, որը կարող եք ինքնուրույն լուծել: Ամբողջական լուծումդասի վերջում.

Եվ հիմա ժամանակն է ինքնաթիռից դանդաղ շարժվել դեպի տիեզերք.

Ինչպե՞ս որոշել տիեզերական վեկտորների համակցվածությունը:

Կանոնը շատ նման է. Որպեսզի երկու տիեզերական վեկտորները համակողմանի լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանց համապատասխան կոորդինատները լինեն համաչափ..

Օրինակ 5

Պարզեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.

Ա) ;
բ)
V)

Լուծում:
ա) Ստուգենք՝ կա՞ արդյոք համաչափության գործակից վեկտորների համապատասխան կոորդինատների համար.

Համակարգը լուծում չունի, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համակողմանի չեն:

«Պարզեցված»-ը ձևակերպվում է համամասնությունը ստուգելով: Այս դեպքում:
– համապատասխան կոորդինատները համաչափ չեն, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համագիծ չեն:

Պատասխան.վեկտորները համակողմանի չեն:

բ-գ) Սրանք անկախ որոշման կետեր են: Փորձեք այն երկու եղանակով.

Գոյություն ունի երրորդ կարգի որոշիչի միջոցով տարածական վեկտորների համակողմանիությունը ստուգելու մեթոդ, այս մեթոդը ներկայացված է հոդվածում։ Վեկտորների վեկտորային արտադրյալ.

Ինչպես հարթության դեպքում, դիտարկված գործիքները կարող են օգտագործվել տարածական հատվածների և ուղիղ գծերի զուգահեռությունը ուսումնասիրելու համար:

Բարի գալուստ երկրորդ բաժին.

Վեկտորների գծային կախվածություն և անկախություն եռաչափ տարածության մեջ:
Տարածական հիմք և աֆինային կոորդինատային համակարգ

Շատ օրինաչափություններ, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք ինքնաթիռում, վավեր կլինեն տիեզերքի համար: Փորձեցի նվազագույնի հասցնել տեսական նշումները, քանի որ տեղեկատվության առյուծի բաժինն արդեն ծամել է։ Այնուամենայնիվ, խորհուրդ եմ տալիս ուշադիր կարդալ ներածական մասը, քանի որ կհայտնվեն նոր տերմիններ և հասկացություններ:

Այժմ, համակարգչային սեղանի հարթության փոխարեն, մենք ուսումնասիրում ենք եռաչափ տարածությունը: Նախ, եկեք ստեղծենք դրա հիմքը: Ինչ-որ մեկը հիմա ներսում է, ինչ-որ մեկը դրսում, բայց ամեն դեպքում մենք չենք կարող խուսափել երեք չափերից՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն: Հետևաբար, հիմք կառուցելու համար կպահանջվի երեք տարածական վեկտորներ. Մեկ-երկու վեկտորը բավարար չէ, չորրորդն ավելորդ է։

Եվ կրկին մենք տաքանում ենք մեր մատների վրա: Խնդրում եմ բարձրացրեք ձեր ձեռքը և տարածեք այն տարբեր կողմեր բթամատ, ցուցամատ և միջնամատ. Սրանք կլինեն վեկտորներ, նրանք նայում են տարբեր ուղղություններով, ունեն տարբեր երկարություններ և ունեն տարբեր անկյուններ միմյանց միջև: Շնորհավորում ենք, եռաչափ տարածության հիմքը պատրաստ է: Ի դեպ, ուսուցիչներին դա ցույց տալու կարիք չկա, որքան էլ մատներդ պտտես, բայց սահմանումներից փախուստ չկա =)

Հաջորդիվ, եկեք ինքներս մեզ մի կարևոր հարց տանք. արդյո՞ք ցանկացած երեք վեկտոր ստեղծում է եռաչափ տարածության հիմքը? Խնդրում ենք երեք մատները ամուր սեղմել համակարգչի սեղանի վերևի վրա: Ինչ է պատահել? Երեք վեկտորներ գտնվում են նույն հարթության վրա, և, կոպիտ ասած, կորցրել ենք չափերից մեկը՝ բարձրությունը։ Նման վեկտորներն են համակողմանիև միանգամայն ակնհայտ է, որ եռաչափ տարածության հիմքը ստեղծված չէ։

Հարկ է նշել, որ համակողմանի վեկտորները պարտադիր չէ, որ պառկեն նույն հարթության վրա, դրանք կարող են լինել զուգահեռ հարթություններում (պարզապես դա մի արեք ձեր մատներով, միայն Սալվադոր Դալին է դա արել =)):

ՍահմանումՎեկտորները կոչվում են համակողմանի, եթե կա հարթություն, որին զուգահեռ են։ Այստեղ տրամաբանական է ավելացնել, որ եթե նման հարթություն գոյություն չունի, ապա վեկտորները չեն լինի համահավասար։

Երեք համակողմանի վեկտորներ միշտ գծային կախված են, այսինքն՝ գծային կերպով արտահայտվում են միմյանց միջոցով։ Պարզության համար նորից պատկերացնենք, որ նրանք պառկած են նույն հարթության մեջ։ Նախ, վեկտորները ոչ միայն համահավասար են, այլ նաև կարող են լինել համագիծ, այնուհետև ցանկացած վեկտոր կարող է արտահայտվել ցանկացած վեկտորի միջոցով: Երկրորդ դեպքում, եթե, օրինակ, վեկտորները համակողմանի չեն, ապա երրորդ վեկտորը նրանց միջոցով արտահայտվում է յուրովի. (իսկ ինչու հեշտ է կռահել նախորդ բաժնի նյութերից):

Ճիշտ է նաև հակառակը. երեք ոչ համաչափ վեկտորներ միշտ գծային անկախ են, այսինքն՝ ոչ մի կերպ չեն արտահայտվում միմյանց միջոցով։ Եվ, ակնհայտ է, միայն նման վեկտորները կարող են հիմք հանդիսանալ եռաչափ տարածության համար։

Սահմանում: Եռաչափ տարածության հիմքըկոչվում է գծային անկախ (ոչ համահարթակ) վեկտորների եռակի, վերցված որոշակի հերթականությամբ, և տարածության ցանկացած վեկտոր միակ ելքըքայքայվում է տվյալ հիմքի վրա, որտեղ են վեկտորի կոորդինատները այս հիմքում

Հիշեցնեմ, որ կարող ենք ասել նաև, որ վեկտորը ներկայացված է ձևով գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ.

Կոորդինատային համակարգի հայեցակարգը ներկայացվում է ճիշտ այնպես, ինչպես հարթության դեպքում, բավական է մեկ կետ և ցանկացած երեք գծային անկախ վեկտոր.

ծագում, Եվ ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված որոշակի հերթականությամբ, հավաքածու եռաչափ տարածության աֆինային կոորդինատային համակարգ :

Իհարկե, կոորդինատային ցանցը «թեք» է և անհարմար, բայց, այնուամենայնիվ, կառուցված կոորդինատային համակարգը մեզ թույլ է տալիս. հաստատորոշել ցանկացած վեկտորի կոորդինատները և տարածության ցանկացած կետի կոորդինատները: Ինքնաթիռի նման, որոշ բանաձևեր, որոնք ես արդեն նշեցի, չեն աշխատի տարածության աֆինային կոորդինատային համակարգում:

Աֆինային կոորդինատային համակարգի առավել ծանոթ և հարմար հատուկ դեպքը, ինչպես բոլորը կռահում են, այն է ուղղանկյուն տիեզերական կոորդինատային համակարգ:

Տիեզերքում մի կետ կոչվում է ծագում, Եվ օրթոնորմալհիմքը դրված է Դեկարտյան ուղղանկյուն տիեզերական կոորդինատային համակարգ . Ծանոթ նկար.

Նախքան գործնական առաջադրանքներին անցնելը, եկեք նորից համակարգենք տեղեկատվությունը.

Տիեզերական երեք վեկտորների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են:
1) վեկտորները գծային անկախ են.
2) վեկտորները հիմք են կազմում.
3) վեկտորները հավասարաչափ չեն.
4) վեկտորները չեն կարող գծային արտահայտվել միմյանց միջոցով.
5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը տարբերվում է զրոյից:

Հակառակ հայտարարությունները, կարծում եմ, հասկանալի են։

Տիեզերական վեկտորների գծային կախվածությունը/անկախությունը ավանդաբար ստուգվում է որոշիչի միջոցով (կետ 5): Մնացած գործնական առաջադրանքները կլինեն ընդգծված հանրահաշվական բնույթի։ Ժամանակն է կախել երկրաչափական փայտիկը և օգտագործել գծային հանրահաշվի բեյսբոլի մահակը.

Տիեզերքի երեք վեկտորհավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ տվյալ վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի. .

Ես կցանկանայի ձեր ուշադրությունը հրավիրել մի փոքր տեխնիկական նրբերանգի վրա. վեկտորների կոորդինատները կարելի է գրել ոչ միայն սյունակներում, այլև տողերում (որոշիչի արժեքը չի փոխվի դրա պատճառով. տե՛ս որոշիչների հատկությունները): Բայց սյունակներում շատ ավելի լավ է, քանի որ ավելի ձեռնտու է որոշ գործնական խնդիրներ լուծելու համար։

Այն ընթերցողների համար, ովքեր մի փոքր մոռացել են որոշիչները հաշվարկելու մեթոդները, կամ գուցե ընդհանրապես քիչ են հասկանում դրանք, ես խորհուրդ եմ տալիս իմ ամենահին դասերից մեկը. Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Օրինակ 6

Ստուգեք՝ արդյոք հետևյալ վեկտորները կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը.

ԼուծումՓաստորեն, ամբողջ լուծումը հանգում է որոշիչի հաշվարկին:

ա) Հաշվենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը (որոշիչը բացահայտվում է առաջին տողում).

, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են (ոչ համահարթակ) և կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը։

ՊատասխանելԱյս վեկտորները հիմք են կազմում

բ) Սա անկախ որոշման կետ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Կան նաև ստեղծագործական առաջադրանքներ.

Օրինակ 7

Պարամետրի ո՞ր արժեքի դեպքում վեկտորները կլինեն համահավասար:

ԼուծումՎեկտորները համահավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի.

Ըստ էության, դուք պետք է լուծեք հավասարումը որոշիչով: Մենք ցատկում ենք զրոների վրա, ինչպես օդապարիկները jerboas-ի վրա. ավելի լավ է բացել որոշիչը երկրորդ տողում և անմիջապես ազատվել մինուսներից.

Մենք իրականացնում ենք հետագա պարզեցումներ և հարցը հասցնում ենք ամենապարզին գծային հավասարում:

Պատասխանելժամը

Այստեղ հեշտ է ստուգել, ​​դա անելու համար անհրաժեշտ է ստացված արժեքը փոխարինել սկզբնական որոշիչով և համոզվել, որ , նորից բացելով։

Եզրափակելով, եկեք նայենք ևս մեկին բնորոշ առաջադրանք, որն ավելի հանրահաշվական է իր բնույթով և ավանդաբար ներառված է գծային հանրահաշվի կուրսում։ Այն այնքան տարածված է, որ այն արժանի է իր սեփական թեմային.

Ապացուցեք, որ եռաչափ տարածության հիմքը կազմում են 3 վեկտորներ
և այս հիմքում գտե՛ք 4-րդ վեկտորի կոորդինատները

Օրինակ 8

Տրված են վեկտորներ. Ցույց տվեք, որ վեկտորները հիմք են կազմում եռաչափ տարածության մեջ և գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները այս հիմքում:

ԼուծումՆախ, եկեք զբաղվենք պայմանով: Ըստ պայմանի՝ տրվում են չորս վեկտորներ, և, ինչպես տեսնում եք, դրանք արդեն ունեն կոորդինատներ ինչ-որ հիմքով։ Թե ինչ է այս հիմքը, մեզ չի հետաքրքրում։ Եվ հետաքրքիր է հետևյալը. երեք վեկտորները կարող են նոր հիմք ստեղծել։ Եվ առաջին փուլը լիովին համընկնում է Օրինակ 6-ի լուծման հետ, անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք վեկտորները իսկապես գծային անկախ են.

Եկեք հաշվարկենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը.

, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են և կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը։

! Կարևոր Վեկտորային կոորդինատներ Պարտադիրգրի առնել սյունակների մեջորոշիչ, ոչ թե տողերով: Հակառակ դեպքում, հետագա լուծման ալգորիթմում շփոթություն կառաջանա։

Վեկտորների համակարգը կոչվում է գծային կախված, եթե կան թվեր, որոնցից առնվազն մեկը տարբերվում է զրոյից, այնպես, որ հավասարությունը https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= «>.

Եթե ​​այս հավասարությունը բավարարվում է միայն այն դեպքում, երբ բոլորը, ապա կոչվում է վեկտորների համակարգը գծային անկախ.

Թեորեմ.Վեկտորային համակարգը կլինի գծային կախվածեթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա վեկտորներից գոնե մեկը մյուսների գծային համակցությունն է:

Օրինակ 1.Բազմանդամ բազմանդամների գծային համակցություն է https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">: Բազմանդամները կազմում են գծային անկախ համակարգ, քանի որ բազմանդամը https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">:

Օրինակ 2.Մատրիցային համակարգը, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> գծային անկախ է, քանի որ գծային համակցությունը հավասար է զրոյական մատրիցա միայն այն դեպքում, երբ https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> գծային կախված:

Լուծում.

Եկեք այս վեկտորների գծային համակցությունը կազմենք https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height=" 22">։

Հավասարեցնելով հավասար վեկտորների նույն կոորդինատները՝ ստանում ենք https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Վերջապես մենք ստանում ենք

Եվ

Համակարգն ունի եզակի տրիվիալ լուծում, ուստի այս վեկտորների գծային համակցությունը հավասար է զրոյի միայն այն դեպքում, երբ բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի։ Հետևաբար, վեկտորների այս համակարգը գծայինորեն անկախ է:

Օրինակ 4.Վեկտորները գծային անկախ են: Ինչպիսի՞ն կլինեն վեկտորային համակարգերը:

ա).;

բ).?

Լուծում.

ա).Կազմենք գծային համակցություն և հավասարեցնենք այն զրոյի

Օգտագործելով գծային տարածության մեջ վեկտորներով գործողությունների հատկությունները, մենք վերագրում ենք վերջին հավասարությունը ձևով.

Քանի որ վեկտորները գծային անկախ են, ապա գործակիցները պետք է հավասար լինեն զրոյի, այսինքն.gif" width="12" height="23 src=">

Ստացված հավասարումների համակարգը ունի եզակի տրիվիալ լուծում .

Քանի որ հավասարությունը (*) կատարվում է միայն այն դեպքում, երբ https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – գծային անկախ;

բ).Եկեք հավասարություն կազմենք https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Կիրառելով նմանատիպ պատճառաբանություն՝ մենք ստանում ենք

Գաուսի մեթոդով լուծելով հավասարումների համակարգը՝ ստանում ենք

կամ

Վերջին համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src="> Այսպիսով, գոյություն ունի ոչ Գործակիցների զրոյական հավաքածու, որոնց համար հավասար է (**) . Հետեւաբար, վեկտորների համակարգը - գծային կախված:

Օրինակ 5Վեկտորների համակարգը գծային անկախ է, իսկ վեկտորների համակարգը՝ գծային կախված։.gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Հավասարության մեջ (***) . Իրոք, ժամը , համակարգը կլիներ գծային կախված:

Հարաբերությունից (***) մենք ստանում ենք կամ Նշենք .

Մենք ստանում ենք

Անկախ լուծման խնդիրներ (դասարանում)

1. Զրո վեկտոր պարունակող համակարգը գծային կախված է:

2. Մեկ վեկտորից բաղկացած համակարգ Ա, գծային կախված է, եթե և միայն, եթե, a=0.

3. Երկու վեկտորից բաղկացած համակարգը գծային կախված է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորները համաչափ են (այսինքն՝ նրանցից մեկը ստացվում է մյուսից՝ բազմապատկելով թվով)։

4. Եթե ​​գծային կախված համակարգին ավելացնեք վեկտոր, ապա կստանաք գծային կախված համակարգ:

5. Եթե ​​վեկտորը հեռացվում է գծային անկախ համակարգից, ապա ստացված վեկտորների համակարգը գծային անկախ է:

6. Եթե ​​համակարգը Սգծային անկախ է, բայց վեկտոր ավելացնելիս դառնում է գծային կախված բ, ապա վեկտորը բգծային արտահայտված համակարգի վեկտորների միջոցով Ս.

գ).Մատրիցների համակարգ, , երկրորդ կարգի մատրիցների տարածության մեջ։

10. Թող վեկտորների համակարգը ա,բ,գվեկտորային տարածությունը գծային անկախ է: Ապացուցեք հետևյալ վեկտորային համակարգերի գծային անկախությունը.

ա).ա+բ, բ, գ.

բ).ա+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–կամայական համար

գ).ա+բ, ա+գ, բ+գ.

11. Թող ա,բ,գ- հարթության վրա երեք վեկտոր, որոնցից կարող է ձևավորվել եռանկյուն: Արդյո՞ք այս վեկտորները գծային կախված կլինեն:

12. Տրված է երկու վեկտոր a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Գտեք ևս երկու քառաչափ վեկտոր a3 ևա4որպեսզի համակարգը a1,a2,a3,ա4գծային անկախ էր .

Սահմանում 1. Վեկտորների համակարգը կոչվում է գծային կախված, եթե համակարգի վեկտորներից մեկը կարող է ներկայացվել որպես համակարգի մնացած վեկտորների գծային համակցություն, իսկ գծային անկախ՝ հակառակ դեպքում:

Սահմանում 1'. Վեկտորների համակարգը կոչվում է գծային կախված, եթե կան թվեր Հետ 1 , Հետ 2 , …, Հետ k , ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, այնպես որ տրված գործակիցներով վեկտորների գծային համակցությունը հավասար է զրոյական վեկտորին՝ = , հակառակ դեպքում համակարգը կոչվում է գծային անկախ։

Եկեք ցույց տանք, որ այս սահմանումները համարժեք են:

Թող 1 սահմանումը բավարարվի, այսինքն. Համակարգի վեկտորներից մեկը հավասար է մյուսների գծային համակցությանը.

Վեկտորների համակարգի գծային համակցությունը հավասար է զրոյի վեկտորին, և այս համակցության ոչ բոլոր գործակիցներն են հավասար զրոյի, այսինքն. 1' սահմանումը բավարարված է:

Թողեք սահմանում 1-ը: Վեկտորների համակարգի գծային համակցությունը հավասար է , և համակցության ոչ բոլոր գործակիցներն են հավասար զրոյի, օրինակ՝ վեկտորի գործակիցները։

Համակարգի վեկտորներից մեկը ներկայացրինք որպես մյուսների գծային համակցություն, այսինքն. Սահմանում 1-ը բավարարված է:

Սահմանում 2. Միավոր վեկտորը կամ միավոր վեկտորը կոչվում է n-չափ վեկտոր, որ մեկը ես--րդ կոորդինատը հավասար է մեկի, իսկ մնացածները զրո են։

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Թեորեմ 1. Տարբեր միավոր վեկտորներ n-չափային տարածությունը գծային անկախ են:

Ապացույց.Թող կամայական գործակիցներով այս վեկտորների գծային համակցությունը հավասար լինի զրոյական վեկտորի:

Այս հավասարությունից հետևում է, որ բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի։ Մենք հակասություն ստացանք.

Յուրաքանչյուր վեկտոր n- ծավալային տարածություն ā (Ա 1 , Ա 2 , ..., Աժդ) կարող է ներկայացվել որպես միավոր վեկտորների գծային համակցություն՝ վեկտորի կոորդինատներին հավասար գործակիցներով.

Թեորեմ 2. Եթե ​​վեկտորների համակարգը պարունակում է զրոյական վեկտոր, ապա այն գծային կախված է:

Ապացույց.Թող տրվի վեկտորների համակարգ և վեկտորներից մեկը զրո լինի, օրինակ = . Այնուհետև այս համակարգի վեկտորներով կարող եք կատարել զրոյական վեկտորին հավասար գծային համակցություն, և ոչ բոլոր գործակիցները կլինեն զրո.

Հետևաբար, համակարգը գծային կախվածություն ունի:

Թեորեմ 3. Եթե ​​վեկտորների համակարգի որոշ ենթահամակարգ գծային կախված է, ապա ամբողջ համակարգը գծային կախված է:

Ապացույց.Տրված է վեկտորների համակարգ։ Ենթադրենք, որ համակարգը գծային կախված է, այսինքն. կան թվեր Հետ 1 , Հետ 2 , …, Հետ r , ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, այնպես որ = .Հետո

Պարզվեց, որ ամբողջ համակարգի վեկտորների գծային համակցությունը հավասար է , և այս համակցության ոչ բոլոր գործակիցներն են հավասար զրոյի։ Հետևաբար, վեկտորների համակարգը գծային կախվածություն ունի։

Հետևանք.Եթե ​​վեկտորների համակարգը գծային անկախ է, ապա նրա ցանկացած ենթահամակարգ նույնպես գծային անկախ է:

Ապացույց.

Ենթադրենք հակառակը, այսինքն. որոշ ենթահամակարգեր գծային կախվածություն ունեն: Թեորեմից հետևում է, որ ամբողջ համակարգը գծային կախվածություն ունի: Հասել ենք հակասության.

Թեորեմ 4 (Շտայնիցի թեորեմ).Եթե ​​վեկտորներից յուրաքանչյուրը վեկտորների գծային համակցություն է և մ>n, ապա վեկտորների համակարգը գծային կախվածություն ունի։

Հետևանք. n-չափ վեկտորների ցանկացած համակարգում չի կարող լինել n-ից ավելի գծային անկախ վեկտորներ:

Ապացույց.Ամեն n-չափային վեկտորն արտահայտվում է որպես n միավոր վեկտորների գծային համակցություն: Հետեւաբար, եթե համակարգը պարունակում է մվեկտորներ և մ>n, ապա, ըստ թեորեմի, այս համակարգը գծային կախվածություն ունի։

Ձևի արտահայտություն կանչեց վեկտորների գծային համակցություն A 1 , A 2 ,...,A nհավանականություններով λ 1, λ 2 ,..., λ n.

Վեկտորների համակարգի գծային կախվածության որոշում

Վեկտորային համակարգ A 1 , A 2 ,...,A nկանչեց գծային կախված, եթե կա թվերի ոչ զրոյական բազմություն λ 1, λ 2 ,..., λ n, որում վեկտորների գծային համակցությունը λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nհավասար է զրոյական վեկտորի, այսինքն՝ հավասարումների համակարգը. ունի ոչ զրոյական լուծում.
Թվերի հավաքածու λ 1, λ 2 ,..., λ n ոչ զրոյական է, եթե թվերից գոնե մեկը λ 1, λ 2 ,..., λ n տարբերվում է զրոյից:

Վեկտորների համակարգի գծային անկախության որոշում

Վեկտորային համակարգ A 1 , A 2 ,...,A nկանչեց գծային անկախ, եթե այս վեկտորների գծային համակցությունը λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nհավասար է զրոյական վեկտորին միայն զրոյական թվերի համար λ 1, λ 2 ,..., λ n , այսինքն՝ հավասարումների համակարգը. A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θունի եզակի զրոյական լուծում:

Օրինակ 29.1

Ստուգեք, արդյոք վեկտորների համակարգը գծային կախվածության մեջ է

Լուծում:

1. Մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ:

2. Մենք լուծում ենք այն Գաուսի մեթոդով. Համակարգի Jordanano փոխակերպումները տրված են Աղյուսակ 29.1-ում: Հաշվարկելիս համակարգի աջ կողմերը չեն գրվում, քանի որ դրանք հավասար են զրոյի և չեն փոխվում Հորդանանի փոխակերպումների ժամանակ։

3. Աղյուսակի վերջին երեք շարքերից գրեք լուծված համակարգ, որը համարժեք է սկզբնականինհամակարգ:

4. Մենք ստանում ենք ընդհանուր որոշումհամակարգեր:

5. Ձեր հայեցողությամբ սահմանելով x 3 =1 ազատ փոփոխականի արժեքը, մենք ստանում ենք որոշակի ոչ զրոյական լուծում X=(-3,2,1).

Պատասխան. Այսպիսով, ոչ զրոյական թվերի բազմության համար (-3,2,1) վեկտորների գծային համակցությունը հավասար է զրոյական վեկտորի -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ: Հետևաբար, վեկտորային համակարգ գծային կախված.

Վեկտորային համակարգերի հատկությունները

Գույք (1)
Եթե ​​վեկտորների համակարգը գծային կախված է, ապա վեկտորներից առնվազն մեկը ընդլայնվում է մյուսների առումով և, հակառակը, եթե համակարգի վեկտորներից գոնե մեկը ընդլայնվում է մյուսների առումով, ապա վեկտորների համակարգը. գծային կախված է.

Գույք (2)
Եթե ​​վեկտորների ցանկացած ենթահամակարգ գծային կախված է, ապա ամբողջ համակարգը գծային կախված է:

Գույք (3)
Եթե ​​վեկտորների համակարգը գծային անկախ է, ապա դրա ենթահամակարգերից որևէ մեկը գծային անկախ է:

Գույք (4)
Զրո վեկտոր պարունակող վեկտորների ցանկացած համակարգ գծային կախված է:

Գույք (5)
m-չափ վեկտորների համակարգը միշտ գծային կախված է, եթե n վեկտորների թիվը մեծ է դրանց չափից (n>m)

Վեկտորային համակարգի հիմքը

Վեկտորային համակարգի հիմքը A 1 , A 2 ,..., A n նման ենթահամակարգը B 1 , B 2 ,...,B r կոչվում է.(B 1,B 2,...,B r վեկտորներից յուրաքանչյուրը A 1, A 2,..., A n վեկտորներից մեկն է), որը բավարարում է հետևյալ պայմանները.
1. B 1 ,B 2 ,...,B rվեկտորների գծային անկախ համակարգ;
2. ցանկացած վեկտորԱ ժ համակարգ A 1 , A 2 ,..., A n-ը գծային կերպով արտահայտվում է B 1 , B 2 ,..., B r վեկտորների միջոցով։

r- հիմքում ընդգրկված վեկտորների քանակը:

Թեորեմ 29.1 Վեկտորների համակարգի միավորային հիմքի վրա:

Եթե ​​m-չափ վեկտորների համակարգը պարունակում է m տարբեր միավոր վեկտորներ E 1 E 2 ,..., E m , ապա դրանք կազմում են համակարգի հիմքը։

Վեկտորների համակարգի հիմքը գտնելու ալգորիթմ

A 1 ,A 2 ,...,A n վեկտորների համակարգի հիմքը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• Ստեղծեք համապատասխան վեկտորային համակարգ միատարր համակարգհավասարումներ A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Բերեք այս համակարգը

Գծային կախվածություն և վեկտորային անկախություն

Գծային կախված և անկախ վեկտորային համակարգերի սահմանումներ

Սահմանում 22

Եկեք ունենանք n-վեկտորների համակարգ և թվերի բազմություն
, Հետո

(11)

կոչվում է վեկտորների տրված համակարգի գծային համակցություն՝ գործակիցների տրված բազմությամբ։

Սահմանում 23

Վեկտորային համակարգ
կոչվում է գծային կախված, եթե կա գործակիցների նման բազմություն
, որոնցից առնվազն մեկը հավասար չէ զրոյի, որ վեկտորների տվյալ համակարգի գծային համակցությունը գործակիցների այս բազմության հետ հավասար է զրոյական վեկտորի.

Թող
, Հետո

Սահմանում 24 (համակարգի մեկ վեկտորի ներկայացման միջոցով որպես մյուսների գծային համակցություն)

Վեկտորային համակարգ
կոչվում է գծային կախված, եթե այս համակարգի վեկտորներից գոնե մեկը կարող է ներկայացվել որպես այս համակարգի մնացած վեկտորների գծային համակցություն:

Հայտարարություն 3

23 և 24 սահմանումները համարժեք են:

Սահմանում 25(զրոյական գծային համակցության միջոցով)

Վեկտորային համակարգ
կոչվում է գծային անկախ, եթե այս համակարգի զրոյական գծային համակցությունը հնարավոր է միայն բոլորի համար
հավասար է զրոյի:

Սահմանում 26(համակարգի մի վեկտորը որպես մյուսների գծային համակցություն ներկայացնելու անհնարինության պատճառով)

Վեկտորային համակարգ
կոչվում է գծային անկախ, եթե այս համակարգի վեկտորներից ոչ մեկը չի կարող ներկայացվել որպես այս համակարգի այլ վեկտորների գծային համակցություն:

Գծային կախված և անկախ վեկտորային համակարգերի հատկությունները

Թեորեմ 2 (զրոյական վեկտոր վեկտորների համակարգում)

Եթե ​​վեկտորների համակարգն ունի զրոյական վեկտոր, ապա համակարգը գծային կախված է:

 Թող
, Հետո .

Մենք ստանում ենք
, հետևաբար, զրոյական գծային համակցության միջոցով վեկտորների գծային կախված համակարգի սահմանմամբ (12) համակարգը գծային կախվածություն ունի: 

Թեորեմ 3 (կախված ենթահամակարգ վեկտորային համակարգում)

Եթե ​​վեկտորների համակարգն ունի գծային կախված ենթահամակարգ, ապա ամբողջ համակարգը գծային կախված է:

 Թող
- գծային կախված ենթահամակարգ
, որոնցից առնվազն մեկը հավասար չէ զրոյի.

Սա նշանակում է, ըստ սահմանման 23, համակարգը գծային կախված է: 

Թեորեմ 4

Գծային անկախ համակարգի ցանկացած ենթահամակարգ գծային անկախ է:

 Հակառակից. Թող համակարգը լինի գծային անկախ և ունենա գծային կախված ենթահամակարգ: Բայց հետո, համաձայն Թեորեմ 3-ի, ամբողջ համակարգը նույնպես գծային կախված կլինի: Հակասություն. Հետևաբար, գծային անկախ համակարգի ենթահամակարգը չի կարող գծային կախված լինել: 

Վեկտորների համակարգի գծային կախվածության և անկախության երկրաչափական նշանակությունը

Թեորեմ 5

Երկու վեկտոր Եվ գծային կախված են, եթե և միայն եթե
.

 Անհրաժեշտություն.

Եվ - գծային կախված
որ պայմանը բավարարված է
. Հետո
, այսինքն.
.

Համարժեքություն.

Գծային կախված: 

Եզրակացություն 5.1

Զրոյական վեկտորը համագիծ է ցանկացած վեկտորի

Եզրակացություն 5.2

Որպեսզի երկու վեկտորները լինեն գծային անկախ, անհրաժեշտ և բավարար է, որ համակցված չէր .

Թեորեմ 6

Որպեսզի երեք վեկտորներից բաղկացած համակարգը գծային կախված լինի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այդ վեկտորները լինեն համահավասար .

 Անհրաժեշտություն.

- գծային կախված են, հետևաբար, մի վեկտորը կարող է ներկայացվել որպես մյուս երկուսի գծային համակցություն:

, (13)

Որտեղ
Եվ
. Համաձայն զուգահեռագծի կանոնի կա կողմերով զուգահեռագծի անկյունագիծ
, բայց զուգահեռագիծը հարթ պատկեր է
համակողմանի
- նույնպես համակողմանի են:

Համարժեքություն.

- համակողմանի: Եկեք կիրառենք երեք վեկտոր O կետին.

Գ

Բ՝

– գծային կախված 

Եզրակացություն 6.1

Զրոյական վեկտորը հավասարաչափ է վեկտորների ցանկացած զույգի հետ:

Եզրակացություն 6.2

Վեկտորների համար
եղել են գծային անկախ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանք համահավասար չլինեն։

Եզրակացություն 6.3

Հարթության ցանկացած վեկտոր կարող է ներկայացվել որպես նույն հարթության ցանկացած երկու ոչ գծային վեկտորների գծային համակցություն:

Թեորեմ 7

Տիեզերքում ցանկացած չորս վեկտոր գծային կախված է .

 Դիտարկենք 4 դեպք.

Եկեք գծենք հարթություն վեկտորների միջով, այնուհետև հարթություն վեկտորների միջով և հարթություն վեկտորների միջով: Այնուհետև գծում ենք D կետով անցնող հարթություններ՝ զուգահեռ վեկտորների զույգերին. ; համապատասխանաբար. Հարթությունների հատման գծերի երկայնքով զուգահեռ ենք կառուցում Օ.Բ. 1 Դ 1 Գ 1 ABDC.

Եկեք դիտարկենք Օ.Բ. 1 Դ 1 Գ 1 – զուգահեռագիծ ըստ կառուցման՝ ըստ զուգահեռագծի կանոնի
.

Դիտարկենք OADD 1 – զուգահեռագիծ (զուգահեռապատկերի հատկությունից)
, Հետո

EMBED Equation.3.

Թեորեմ 1-ով
այնպիսին է, որ . Հետո
, իսկ ըստ սահմանման 24 վեկտորների համակարգը գծային կախված է։ 

Եզրակացություն 7.1

Տիեզերքում երեք ոչ համահունչ վեկտորների գումարը վեկտոր է, որը համընկնում է այս երեք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի անկյունագծի հետ, որը կիրառվում է ընդհանուր սկզբնաղբյուրի վրա, և գումարի վեկտորի ծագումը համընկնում է այս երեք վեկտորների ընդհանուր սկզբնաղբյուրի հետ։

Եզրակացություն 7.2

Եթե ​​տարածության մեջ վերցնենք 3 ոչ համահավասար վեկտոր, ապա այս տարածության ցանկացած վեկտոր կարող է քայքայվել այս երեք վեկտորների գծային համակցության։