Պուասոնի բաշխում. Հազվագյուտ իրադարձությունների օրենքը. Դիսկրետ պատահական փոփոխականի Պուասոնի բաշխում Պուասոնի բաշխման հավանականությունը
Տարբեր տեսակի հավանականությունների բաշխման ամենատարածված դեպքը երկանդամ բաշխումն է։ Եկեք օգտագործենք դրա բազմակողմանիությունը՝ որոշելու գործնականում հանդիպող բաշխումների առավել տարածված առանձնահատուկ տեսակները:
Երկանդամ բաշխում
Թող լինի ինչ-որ իրադարձություն Ա. Իրադարձության A-ի առաջացման հավանականությունը հավասար է էջ, Ա իրադարձության չառաջանալու հավանականությունը 1 է էջ, երբեմն այն նշանակվում է որպես ք. Թող nթեստերի քանակը, մՍրանցում Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը nթեստեր.
Հայտնի է, որ արդյունքների բոլոր հնարավոր համակցությունների ընդհանուր հավանականությունը հավասար է մեկի, այսինքն.
1 = էջ n + n · էջ n 1 (1 էջ) + Գ n n 2 · էջ n 2 (1 էջ) 2 + + Գ n մ · էջ մ· (1 էջ) n մ+ + (1 էջ) n .
|
էջ nհավանականությունը, որ ներս nnմեկ անգամ; n · էջ n 1 (1 էջ) հավանականությունը, որ ներս nn 1) մեկ անգամ և չի լինի 1 անգամ. Գ n n 2 · էջ n 2 (1 էջ) 2 հավանականությունը, որ ներս nթեստեր, տեղի կունենա իրադարձություն A ( n 2) անգամ և չի պատահի 2 անգամ. Պ մ = Գ n մ · էջ մ· (1 էջ) n մ հավանականությունը, որ ներս nթեստեր, տեղի կունենա A իրադարձություն մերբեք չի լինի ( n մ) մեկ անգամ; (1 էջ) nհավանականությունը, որ ներս nՓորձարկումների ժամանակ A իրադարձությունը չի պատահի նույնիսկ մեկ անգամ. -ի համակցությունների քանակը nԸստ մ . |
Ակնկալվող արժեքը Մերկանդամ բաշխումը հավասար է.
Մ = n · էջ ,
Որտեղ nթեստերի քանակը, էջիրադարձության առաջացման հավանականությունը Ա.
Ստանդարտ շեղում σ :
σ = sqrt( n · էջ· (1 էջ)) .
Օրինակ 1. Հաշվեք հավանականությունը, որ իրադարձությունը ունի հավանականություն էջ= 0,5, դյույմ n= 10 փորձություն տեղի կունենա մ= 1 անգամ: Մենք ունենք: Գ 10 1 = 10 և ավելին. Պ 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Ինչպես տեսնում ենք, այս իրադարձության հավանականությունը բավականին ցածր է։ Սա բացատրվում է նախ նրանով, որ բացարձակապես պարզ չէ՝ դեպքը տեղի կունենա, թե ոչ, քանի որ հավանականությունը 0,5 է, իսկ շանսերն այստեղ՝ «50-ից 50»-ը. և երկրորդ՝ պահանջվում է հաշվարկել, որ իրադարձությունը տեղի է ունենալու տասից ուղիղ մեկ անգամ (ոչ ավել և ոչ պակաս)։
Օրինակ 2. Հաշվեք հավանականությունը, որ իրադարձությունը ունի հավանականություն էջ= 0,5, դյույմ n= 10 փորձություն տեղի կունենա մ= 2 անգամ: Մենք ունենք: Գ 10 2 = 45, և հետագայում. Պ 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Այս իրադարձության հավանականությունը մեծացել է:
Օրինակ 3. Եկեք մեծացնենք հենց իրադարձության հավանականությունը: Եկեք ավելի հավանական դարձնենք: Հաշվեք հավանականությունը, որ իրադարձությունը ունի հավանականություն էջ= 0,8, դյույմ n= 10 փորձություն տեղի կունենա մ= 1 անգամ: Մենք ունենք: Գ 10 1 = 10 և ավելին. Պ 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Հավանականությունն ավելի քիչ է դարձել, քան առաջին օրինակում։ Պատասխանն առաջին հայացքից տարօրինակ է թվում, բայց քանի որ իրադարձությունը բավականին մեծ հավանականություն ունի, դժվար թե դա տեղի ունենա միայն մեկ անգամ։ Ավելի հավանական է, որ դա տեղի ունենա մեկից ավելի անգամ։ Իսկապես, հաշվում Պ 0 , Պ 1 , Պ 2 , Պ 3, , Պ 10 (հավանականություն, որ իրադարձությունը տեղի է ունենում n= 10 փորձարկումները տեղի կունենան 0, 1, 2, 3, , 10 անգամ), մենք կտեսնենք.
Գ 10 0 = 1
,
Գ 10 1 = 10
,
Գ 10 2 = 45
,
Գ 10 3 = 120
,
Գ 10 4 = 210
,
Գ 10 5 = 252
,
Գ 10 6 = 210
,
Գ 10 7 = 120
,
Գ 10 8 = 45
,
Գ 10 9 = 10
,
Գ 10 10 = 1
;
Պ 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
Պ 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
Պ 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 8 = 0,0000;
Պ 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
Պ 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
Պ 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264;
Պ 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
Պ 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013 թ.;
Պ 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(ամենաբարձր հավանականությունը!);
Պ 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
Պ 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074
Իհարկե Պ 0 + Պ 1 + Պ 2 + Պ 3 + Պ 4 + Պ 5 + Պ 6 + Պ 7 + Պ 8 + Պ 9 + Պ 10 = 1 .
Նորմալ բաշխում
Եթե պատկերենք քանակները Պ 0 , Պ 1 , Պ 2 , Պ 3, , Պ 10, որը մենք հաշվարկել ենք օրինակ 3-ում, գրաֆիկի վրա, պարզվում է, որ դրանց բաշխումն ունի նորմալ բաշխման օրենքին մոտ ձև (տե՛ս նկ. 27.1) (տես դասախոսություն 25. Նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականների մոդելավորում):
հավանականությունները տարբեր մ-ի համար p = 0,8, n = 10
Երկանդամի օրենքը դառնում է նորմալ, եթե A-ի առաջացման և չկատարման հավանականությունները մոտավորապես նույնն են, այսինքն՝ պայմանականորեն կարող ենք գրել. էջ≈ (1 էջ) . Օրինակ՝ վերցնենք n= 10 և էջ= 0,5 (այսինքն էջ= 1 էջ = 0.5 ).
Նման խնդրին իմաստալից կգանք, եթե, օրինակ, տեսականորեն ուզենանք հաշվարկել, թե նույն օրը ծննդատանը ծնված 10 երեխայից քանի տղա և քանի աղջիկ կլինի։ Ավելի ճիշտ՝ կհաշվենք ոչ թե տղաներին ու աղջիկներին, այլ հավանականությունը, որ միայն տղաներ կծնվեն, 1 տղա և 9 աղջիկ կծնվեն, 2 տղա և 8 աղջիկ կծնվեն և այլն։ Պարզության համար ենթադրենք, որ տղա և աղջիկ ունենալու հավանականությունը նույնն է և հավասար է 0,5-ի (բայց իրականում, ճիշտն ասած, դա այդպես չէ, տե՛ս «Արհեստական ինտելեկտի համակարգերի մոդելավորում» դասընթացը):
Պարզ է, որ բաշխումը լինելու է սիմետրիկ, քանի որ 3 տղա և 7 աղջիկ ունենալու հավանականությունը հավասար է 7 տղա և 3 աղջիկ ունենալու հավանականությանը։ Ծնվելու ամենամեծ հավանականությունը կլինի 5 տղա և 5 աղջիկ: Այս հավանականությունը հավասար է 0,25-ի, ի դեպ, բացարձակ արժեքով այնքան էլ մեծ չէ։ Ավելին, հավանականությունը, որ միանգամից 10 կամ 9 տղա կծնվի, շատ ավելի քիչ է, քան 10 երեխայից 5 ± 1 տղա ծնվելու հավանականությունը։ Երկանդամ բաշխումը կօգնի մեզ կատարել այս հաշվարկը: Այսպիսով.
Գ 10 0 = 1
,
Գ 10 1 = 10
,
Գ 10 2 = 45
,
Գ 10 3 = 120
,
Գ 10 4 = 210
,
Գ 10 5 = 252
,
Գ 10 6 = 210
,
Գ 10 7 = 120
,
Գ 10 8 = 45
,
Գ 10 9 = 10
,
Գ 10 10 = 1
;
Պ 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977;
Պ 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
Պ 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
Պ 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
Պ 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
Պ 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
Պ 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
Պ 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
Պ 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
Պ 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
Պ 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977
Իհարկե Պ 0 + Պ 1 + Պ 2 + Պ 3 + Պ 4 + Պ 5 + Պ 6 + Պ 7 + Պ 8 + Պ 9 + Պ 10 = 1 .
Եկեք ցուցադրենք մեծությունները գրաֆիկի վրա Պ 0 , Պ 1 , Պ 2 , Պ 3, , Պ 10 (տես նկ. 27.2):
p = 0,5 և n = 10, այն ավելի մոտեցնելով նորմալ օրենքին
Այսպիսով, պայմաններով մ ≈ n/2 և էջ≈ 1 էջկամ էջ≈ 0.5 երկանդամ բաշխման փոխարեն, կարող եք օգտագործել նորմալը: Մեծ արժեքների համար nգրաֆիկը տեղափոխվում է աջ և դառնում ավելի ու ավելի հարթ, քանի որ մաթեմատիկական ակնկալիքներն ու շեղումները աճում են n : Մ = n · էջ , Դ = n · էջ· (1 էջ) .
Ի դեպ, երկանդամ օրենքը հակված է դեպի նորմալ և աճող n, ինչը միանգամայն բնական է՝ ըստ կենտրոնական սահմանային թեորեմի (տես դասախոսություն 34. Վիճակագրական արդյունքների գրանցում և մշակում)։
Այժմ դիտարկենք, թե ինչպես է փոխվում երկանդամ օրենքը այն դեպքում, երբ էջ ≠ ք, այն է էջ> 0. Այս դեպքում նորմալ բաշխման վարկածը չի կարող կիրառվել, և երկանդամ բաշխումը դառնում է Պուասոնի բաշխում։
Պուասոնի բաշխում
Պուասոնի բաշխումը երկանդամ բաշխման հատուկ դեպք է (հետ n>> 0 և ժամը էջ>0 (հազվադեպ իրադարձություններ)):
Մաթեմատիկայից հայտնի է մի բանաձև, որը թույլ է տալիս մոտավորապես հաշվարկել երկանդամ բաշխման ցանկացած անդամի արժեքը.
Որտեղ ա = n · էջ Պուասոնի պարամետր (մաթեմատիկական ակնկալիք), իսկ շեղումը հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին։ Ներկայացնենք մաթեմատիկական հաշվարկներ, որոնք բացատրում են այս անցումը։ Երկանդամ բաշխման օրենքը
Պ մ = Գ n մ · էջ մ· (1 էջ) n մ
կարելի է գրել, եթե դնես էջ = ա/n , ինչպես
Որովհետեւ էջշատ փոքր է, ապա պետք է հաշվի առնել միայն թվերը մ, փոքր համեմատ n. Աշխատանք
շատ մոտ է միասնությանը. Նույնը վերաբերում է չափերին
Մեծություն
շատ մոտ ե ա. Այստեղից մենք ստանում ենք բանաձևը.
Օրինակ. Տուփը պարունակում է n= 100 մաս, և՛ որակյալ, և՛ թերի։ Թերի արտադրանք ստանալու հավանականությունը էջ= 0.01. Ասենք՝ ապրանքը հանում ենք, որոշում ենք՝ թերի է, թե ոչ, հետ ենք դնում։ Դրանով պարզվեց, որ մեր անցած 100 ապրանքներից երկուսը թերի են։ Որքա՞ն է սրա հավանականությունը։
Երկանդամ բաշխումից մենք ստանում ենք.
Պուասոնի բաշխումից մենք ստանում ենք.
Ինչպես տեսնում եք, արժեքները մոտ են, ուստի հազվագյուտ իրադարձությունների դեպքում միանգամայն ընդունելի է կիրառել Պուասոնի օրենքը, հատկապես, որ այն պահանջում է ավելի քիչ հաշվողական ջանք:
Եկեք գրաֆիկորեն ցույց տանք Պուասոնի օրենքի ձևը։ Որպես օրինակ վերցնենք պարամետրերը էջ = 0.05 , n= 10. Ապա.
Գ 10 0 = 1
,
Գ 10 1 = 10
,
Գ 10 2 = 45
,
Գ 10 3 = 120
,
Գ 10 4 = 210
,
Գ 10 5 = 252
,
Գ 10 6 = 210
,
Գ 10 7 = 120
,
Գ 10 8 = 45
,
Գ 10 9 = 10
,
Գ 10 10 = 1
;
Պ 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987;
Պ 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151;
Պ 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746;
Պ 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105;
Պ 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096;
Պ 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006;
Պ 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
Պ 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000;
Պ 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
Պ 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
Պ 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000
Իհարկե Պ 0 + Պ 1 + Պ 2 + Պ 3 + Պ 4 + Պ 5 + Պ 6 + Պ 7 + Պ 8 + Պ 9 + Պ 10 = 1 .
ժամը n> ∞ Պուասոնի բաշխումը վերածվում է նորմալ օրենքի՝ համաձայն կենտրոնական սահմանային թեորեմի (տես.
Ներածություն
Հավանականությունների տեսությունը մաթեմատիկական գիտություն է, որն ուսումնասիրում է պատահական երևույթների օրինաչափությունները։ Այսօր դա գործնական մեծ նշանակություն ունեցող լիարժեք գիտություն է։
Հավանականությունների տեսության պատմությունը սկսվում է 17-րդ դարից, երբ առաջին փորձերն արվեցին համակարգված ուսումնասիրել զանգվածային պատահական երեւույթների հետ կապված խնդիրները, և հայտնվեց համապատասխան մաթեմատիկական ապարատը։ Այդ ժամանակից ի վեր շատ հիմնարար հիմքեր են մշակվել և խորացել ընթացիկ հասկացությունների վրա, և հայտնաբերվել են այլ կարևոր օրենքներ և օրինաչափություններ: Շատ գիտնականներ աշխատել և աշխատում են հավանականությունների տեսության խնդիրների վրա:
Դրանցից չի կարելի ուշադրություն չդարձնել Սիմեոն Դենիս Պուասոնի ((1781–1840) - ֆրանսիացի մաթեմատիկոս) աշխատանքներին, ով ապացուցեց մեծ թվերի օրենքի ավելի ընդհանուր ձև, քան Յակոբ Բեռնուլին, ինչպես նաև առաջին անգամ կիրառեց. նկարահանման խնդիրների հավանականության տեսությունը: Պուասոնի անունը կապված է բաշխման օրենքներից մեկի հետ, որը կարևոր դեր է խաղում հավանականությունների տեսության և դրա կիրառման մեջ։
Որոշակի պատահական իրադարձության դեպքերի քանակը ժամանակի միավորի վրա, երբ տվյալ փորձի մեջ այս իրադարձության առաջացման փաստը կախված չէ նրանից, թե քանի անգամ և ժամանակի որ կետերում է այն տեղի ունեցել անցյալում, և չի ազդում. ապագան. Եվ թեստերն իրականացվում են ստացիոնար պայմաններում, ապա Պուասոնի օրենքը սովորաբար օգտագործվում է նման պատահական փոփոխականի բաշխումը նկարագրելու համար (այս բաշխումն առաջին անգամ առաջարկվել և հրապարակվել է այս գիտնականի կողմից 1837 թվականին):
Այս օրենքը կարող է նկարագրվել նաև որպես երկանդամ բաշխման սահմանափակող դեպք, երբ մեկ փորձի մեջ մեզ հետաքրքրող իրադարձության p-ի հավանականությունը շատ փոքր է, բայց միավոր ժամանակում կատարված m փորձերի քանակը բավականին մեծ է։ , մասնավորապես, այնպիսին, որ գործընթացում պ
0 և m, MP արտադրանքը ձգտում է որոշակի դրական հաստատուն արժեքի (այսինքն mp):Ուստի Պուասոնի օրենքը հաճախ անվանում են նաև հազվագյուտ իրադարձությունների օրենք։
Պուասոնի բաշխումը հավանականությունների տեսության մեջ
Գործառույթների և բաշխման շարքեր
Պուասոնի բաշխումը երկանդամ բաշխման հատուկ դեպք է (հետ n>> 0 և ժամը էջ–> 0 (հազվադեպ իրադարձություններ)):
Մաթեմատիկայից հայտնի է մի բանաձև, որը թույլ է տալիս մոտավորապես հաշվարկել երկանդամ բաշխման ցանկացած անդամի արժեքը.
Որտեղ ա = n · էջՊուասոնի պարամետրն է (մաթեմատիկական ակնկալիք), իսկ շեղումը հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին։ Ներկայացնենք մաթեմատիկական հաշվարկներ, որոնք բացատրում են այս անցումը։ Երկանդամ բաշխման օրենքը
Ժամ = C n մ · p m· (1 - էջ)n – մ
կարելի է գրել, եթե դնես էջ = ա/n, ինչպես
Որովհետեւ էջշատ փոքր է, ապա պետք է հաշվի առնել միայն թվերը մ, փոքր համեմատ n. Աշխատանք
շատ մոտ է միասնությանը. Նույնը վերաբերում է չափերին
շատ մոտ ե –ա. Այստեղից մենք ստանում ենք բանաձևը.
Էյլերի համարը (2.71...): ,Գեներացնող ֆունկցիայի համար
մենք ունենք քանակներ.Հավանականությունների բաշխման կուտակային ֆունկցիան հավասար է
Պուասոնի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի դասական օրինակ է ճանապարհի որոշակի հատվածով որոշակի ժամանակահատվածում անցնող մեքենաների թիվը: Կարող եք նաև նշել այնպիսի օրինակներ, ինչպիսիք են աստղերի թիվը երկնքի որոշակի չափի հատվածում, տվյալ երկարության տեքստի սխալների թիվը, զանգերի կենտրոնում հեռախոսազանգերի քանակը կամ զանգերի քանակը։ վեբ սերվեր որոշակի ժամանակահատվածում:
X պատահական փոփոխականի բաշխման շարքը, որը բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն, ունի հետևյալ տեսքը.
| x մ | 0 | 1 | 2 | … | մ | … |
| Ժամ | ե-ա | … | … |
Նկ. 1-ը ցույց է տալիս պատահական փոփոխական բաշխման բազմանկյունները Xըստ Պուասոնի օրենքի, որը համապատասխանում է պարամետրի տարբեր արժեքներին Ա.
Նախ, եկեք համոզվենք, որ հավանականությունների հաջորդականությունը կարող է լինել բաշխման շարք, այսինքն. որ բոլոր հավանականությունների գումարը Ռմմեկին հավասար.
Մենք օգտագործում ենք ֆունկցիայի ընդլայնում e x Maclaurin շարքում.
Հայտնի է, որ այս շարքը համընկնում է ցանկացած արժեքի համար X, հետևաբար, վերցնելով x=a, ստանում ենք
հետևաբար
Պուասոնի բաշխման դիրքի թվային բնութագրերը
Դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը նրա բոլոր հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների արտադրյալների գումարն է:
Ըստ սահմանման, երբ դիսկրետ պատահական փոփոխականը վերցնում է արժեքների հաշվելի շարք.
Գումարի առաջին ժամկետը (համապատասխան մ=0 ) հավասար է զրոյի, հետևաբար, գումարումը կարող է սկսվել մ=1 :
Այսպիսով, պարամետրը Աոչ այլ ինչ է, քան պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք X.
Ի հավելումն մաթեմատիկական ակնկալիքների, պատահական փոփոխականի դիրքը բնութագրվում է նրա ռեժիմով և մեդիանայով:
Պատահական փոփոխականի ռեժիմը նրա ամենահավանական արժեքն է:
Շարունակական մեծության համար ռեժիմը կոչվում է հավանականության խտության ֆունկցիայի տեղական առավելագույնի կետ։ Եթե բազմանկյունը կամ բաշխման կորը ունի մեկ առավելագույն (նկ. 2 ա), ապա բաշխումը կոչվում է միամոդալ, եթե կա մեկից ավելի առավելագույնը, ապա այն բազմամոդալ է (մասնավորապես, երկու եղանակով բաշխումը կոչվում է երկմոդալ)։ Բաշխումը, որն ունի նվազագույնը, կոչվում է հակամոդալ (նկ. 2 բ)
x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x
Պատահական փոփոխականի ամենահավանական արժեքը այն ռեժիմն է, որն ապահովում է գլոբալ առավելագույն հավանականությունը դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար կամ բաշխման խտությունը շարունակական պատահական փոփոխականի համար։
Միջինը x l-ի արժեքն է, որը կիսում է հավանականության խտության գրաֆիկի տակ գտնվող տարածքը, այսինքն. Միջինը հավասարման ցանկացած արմատ է: Մաթեմատիկական ակնկալիքը կարող է գոյություն չունենալ, բայց մեդիանը միշտ կա և կարող է ոչ միանշանակ սահմանվել:
Պատահական փոփոխականի միջինը
դրա արժեքը = x med կոչվում է այնպես, որ P (< x med) = Р ( >x med) = .Ցրման թվային բնութագրերը
X պատահական փոփոխականի շեղումը պատահական փոփոխականի քառակուսի շեղման մաթեմատիկական ակնկալիքն է իր մաթեմատիկական ակնկալիքից:
Այնտեղ, որտեղ λ-ն հավասար է նույնական անկախ փորձարկումներում իրադարձությունների դեպքերի միջին թվին, այսինքն. λ = n × p, որտեղ p-ն իրադարձության հավանականությունն է մեկ փորձության ժամանակ, e = 2,71828:
Պուասոնի օրենքի բաշխման շարքը ունի հետևյալ ձևը.
Ծառայության նպատակը. Առցանց հաշվիչը օգտագործվում է Poisson-ի բաշխումը կառուցելու և շարքի բոլոր բնութագրերը հաշվարկելու համար՝ մաթեմատիկական ակնկալիք, շեղում և ստանդարտ շեղում: Որոշմամբ հաշվետվությունը կազմվում է Word ձևաչափով։
Այն դեպքում, երբ n-ը մեծ է և λ = p n > 10, Պուասոնի բանաձևը տալիս է շատ կոպիտ մոտարկում, և P n (m) հաշվարկելու համար օգտագործվում են Moivre-Laplace-ի տեղական և ինտեգրալ թեորեմները։
X պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը
Պուասոնի բաշխման ակնկալիքըM[X] = λ
Պուասոնի բաշխման տատանումները
D[X] = λ
Օրինակ թիվ 1. Սերմերը պարունակում են 0,1% մոլախոտեր։ Ո՞րն է 5 մոլախոտի սերմ գտնելու հավանականությունը, եթե պատահականորեն ընտրեք 2000 սերմ:
Լուծում.
p հավանականությունը փոքր է, բայց n թիվը մեծ է։ np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Ակնկալվող արժեքը M[X] = λ = 2
Ցրվածություն D[X] = λ = 2
Օրինակ թիվ 2. Տարեկանի սերմերից կա 0,4% մոլախոտի սերմեր։ Կազմե՛ք մոլախոտերի քանակի բաշխման օրենք 5000 սերմի պատահական ընտրությամբ: Գտեք այս պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը:
Լուծում. Մաթեմատիկական ակնկալիք՝ M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Ցրվածություն՝ D[X] = λ = 20
Բաշխման օրենք.
| X | 0 | 1 | 2 | … | մ | … |
| Պ | e -20 | 20e -20 | 200e -20 | … | 20 մ ե -20 /մ! | … |
Օրինակ թիվ 3. Հեռախոսակայանում սխալ միացում է տեղի ունենում 1/200 հավանականությամբ։ Գտեք հավանականությունը, որ 200 միացումների մեջ տեղի կունենա հետևյալը.
ա) ճիշտ մեկ սխալ կապ.
բ) երեքից պակաս սխալ միացումներ.
գ) երկուից ավելի սխալ միացումներ:
Լուծում.Ըստ խնդրի պայմանների՝ իրադարձության հավանականությունը փոքր է, ուստի օգտագործում ենք Պուասոնի բանաձևը (15)։
ա) Տրված է՝ n = 200, p = 1/200, k = 1: Գտնենք P 200 (1):
Մենք ստանում ենք. 
. Այնուհետեւ P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679:
բ) Տրված է՝ n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Մենք ունենք՝ a = 1: 
գ) Տրված է՝ n = 200, p = 1/200, k > 2. Գտե՛ք P 200 (k > 2):
Այս խնդիրը կարելի է լուծել ավելի պարզ՝ գտնել հակառակ իրադարձության հավանականությունը, քանի որ այս դեպքում պետք է ավելի քիչ տերմիններ հաշվարկել։ Նախորդ դեպքը հաշվի առնելով՝ ունենք
Դիտարկենք այն դեպքը, երբ n-ը բավականաչափ մեծ է, իսկ p-ն՝ բավական փոքր; դնենք np = a, որտեղ a-ն ինչ-որ թիվ է: Այս դեպքում ցանկալի հավանականությունը որոշվում է Poisson բանաձևով.
t ժամանակի ընթացքում k իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը կարելի է գտնել նաև Պուասոնի բանաձևի միջոցով.
որտեղ λ-ն իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունն է, այսինքն՝ իրադարձությունների միջին թիվը, որոնք ի հայտ են գալիս մեկ միավորի ժամանակ:
Օրինակ թիվ 4. Մասի թերի լինելու հավանականությունը 0,005 է։ Ստուգված է 400 մաս։ Ներկայացրե՛ք 3-ից ավելի մասերի թերի լինելու հավանականությունը հաշվարկելու բանաձև:
Օրինակ թիվ 5. Զանգվածային արտադրության ժամանակ թերի մասերի առաջանալու հավանականությունը պ. որոշել այն հավանականությունը, որ N մասերի խմբաքանակը պարունակում է ա) ճիշտ երեք մաս. բ) ոչ ավելի, քան երեք թերի մասեր.
p=0.001; N = 4500
Լուծում.
p հավանականությունը փոքր է, բայց n թիվը մեծ է։ np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
X պատահական փոփոխականն ունի արժեքների տիրույթ (0,1,2,...,m): Այս արժեքների հավանականությունը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը.
Գտնենք X-ի բաշխման շարքը։
Այստեղ λ = np = 4500 * 0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999 
Այնուհետև հավանականությունը, որ N մասերի խմբաքանակը պարունակում է ճիշտ երեք մաս, հավասար է. 
Այնուհետև հավանականությունը, որ N մասերի խմբաքանակը պարունակում է ոչ ավելի, քան երեք թերի մասեր.
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736
Օրինակ թիվ 6. Ավտոմատ հեռախոսակայանը ժամում միջինը N զանգ է ստանում: Որոշեք հավանականությունը, որ տվյալ րոպեի ընթացքում նա կստանա՝ ա) ուղիղ երկու զանգ. բ) ավելի քան երկու զանգ.
N=18
Լուծում.
Մեկ րոպեի ընթացքում ավտոմատ հեռախոսակայանը ստանում է միջինը λ = 18/60 րոպե: = 0.3
Ենթադրելով, որ մեկ րոպեում PBX-ում ստացված զանգերի պատահական X թիվը,
հնազանդվում է Պուասոնի օրենքին, բանաձևի միջոցով կգտնենք ցանկալի հավանականությունը
Գտնենք X-ի բաշխման շարքը։
Այստեղ λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222 
Հավանականությունը, որ նա կստանա ուղիղ երկու զանգ տվյալ րոպեի ընթացքում, հետևյալն է.
P (2) = 0.03334
Հավանականությունը, որ նա կստանա ավելի քան երկու զանգ տվյալ րոպեի ընթացքում, հետևյալն է.
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366
Օրինակ թիվ 7. Դիտարկվում են միմյանցից անկախ գործող երկու տարրեր: Անբավարար գործողության տևողությունը ունի էքսպոնենցիալ բաշխում λ1 = 0,02 պարամետրով առաջին տարրի համար և λ2 = 0,05 երկրորդ տարրի համար: Գտեք հավանականությունը, որ 10 ժամում. ա) երկու տարրերն էլ կաշխատեն առանց ձախողման. բ) միայն հավանականությունը, որ թիվ 1 տարրը 10 ժամում չի խափանվի.
Որոշում.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0.8187
Հավանականությունը, որ թիվ 2 տարրը չի ձախողվի 10 ժամվա ընթացքում.
P 2 (0) = e -λ2 * t = e -0.05 * 10 = 0.6065
ա) երկու տարրերն էլ անթերի կաշխատեն.
P (2) = P 1 (0) * P 2 (0) = 0,8187 * 0,6065 = 0,4966
բ) միայն մեկ տարր կխափանվի:
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321
Օրինակ թիվ 7. Արտադրությունն առաջացնում է 1% թերություն։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հետազոտության վերցված 1100 ապրանքներից 17-ից ոչ ավելին մերժվի։
Նշումքանի որ այստեղ n*p =1100*0.01=11 > 10, անհրաժեշտ է օգտագործել
Երբ հաշվի ենք առնում ցածր հավանականության իրադարձությունները, որոնք տեղի են ունենում անկախ փորձարկումների մեծ շարքում որոշակի (վերջավոր) թվով անգամներ, այդ իրադարձությունների առաջացման հավանականությունները ենթարկվում են Պուասոնի օրենքին կամ հազվագյուտ իրադարձությունների օրենքին, որտեղ λ հավասար է միջին թվին: իրադարձությունների դեպքեր նույնական անկախ փորձարկումներում, այսինքն. λ = n × p, որտեղ p-ը մեկ փորձության ընթացքում իրադարձության հավանականությունն է, e = 2,71828, m-ը այս իրադարձության հաճախականությունն է, մաթեմատիկական ակնկալիքը M[X] հավասար է λ-ի:
Պուասոնի օրենքի բաշխման շարքը ունի հետևյալ ձևը.
X պատահական փոփոխականի թվային բնութագրերը
Պուասոնի բաշխման ակնկալիքըM[X] = λ
Պուասոնի բաշխման տատանումները
D[X] = λ
Պուասոնի օրենքըկարող է օգտագործվել այն պոպուլյացիաների համար, որոնք բավականաչափ մեծ են ծավալով (n > 100) և ունեն այս հատկանիշն ունեցող միավորների բավական փոքր մասնաբաժինը (p< 0,1).
Այս դեպքում Պուասոնի բաշխումը կարող է կիրառվել, երբ հայտնի չէ ոչ միայն n-ի արժեքը՝ հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը, այլև երբ հայտնի չէ վերջնական թիվը, որը կարող է ներկայացնել n-ը։ Այնտեղ, որտեղ կա իրադարձության դեպքերի միջին թիվը, իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը նկարագրվում է ընդլայնման պայմաններով.
.
Հետևաբար, համապատասխան հավանականությունները հետևյալն են. 
Հետևաբար, եթե երկրաշարժերի միջին թիվը ամսական մեկ է, ապա m = 1, իսկ ամսական պատահարների հավանականությունը կլինի հետևյալը՝ հաշվարկված e - m = 0,3679 մոտավոր արժեքից.
Օրինակ. Միանման ապրանքների 1000 խմբաքանակի ստուգման արդյունքում ստացվել է խմբաքանակում թերի արտադրանքի թվի հետևյալ բաշխումը.
Եկեք որոշենք թերի արտադրանքի միջին քանակը խմբաքանակում.
.
Մենք գտնում ենք Պուասոնի օրենքի տեսական հաճախականությունները. 
Էմպիրիկորեն և տեսականորեն հայտնաբերված Պուասոնի բաշխումը.
| 604 | 306 | 77 | 12 | 1 |
| 606 | 303 | 76 | 13 | 2 |
Համեմատությունը ցույց է տալիս, որ էմպիրիկ բաշխումը համապատասխանում է Պուասոնի բաշխմանը:
Օրինակ թիվ 2. Տեխնիկական հսկողության բաժինը ստուգել է համանման արտադրանքի n խմբաքանակ և պարզել է, որ մեկ խմբաքանակում ոչ ստանդարտ արտադրանքի X թիվը ունի աղյուսակում ներկայացված էմպիրիկ բաշխում, որի մեկ տողում նշվում է ոչ ստանդարտ արտադրանքի x i թիվը մեկ խմբաքանակում, իսկ մյուս տողում նշվում է x i ոչ ստանդարտ արտադրանք պարունակող n i խմբաքանակի քանակը: Պահանջվում է ստուգել այն վարկածը նշանակալիության մակարդակով α=0,05, որ պատահական X փոփոխականը (ոչ ստանդարտ արտադրանքների քանակը մեկ խմբաքանակում) բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն.
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| n i | 370 | 360 | 190 | 63 | 14 | 3 |
Եկեք ստուգենք այն վարկածը, որ X-ը բաշխված է Պուասոնի օրենքըԾառայությունից օգտվելով՝ վիճակագրական վարկածների փորձարկում։
որտեղ p i-ը պատահական փոփոխականի հավանականությունն է, որը բաշխված է ըստ հիպոթետիկ օրենքի, որը ընկնում է i-րդ միջակայքում. λ = x միջին.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17 = 14 + 3
i = 6: 18,39 = 15,33 + 3,07
| ես | Դիտարկված հաճախականությունը n i | p i | Ակնկալվող հաճախականությունը np i | |
| 0 | 370 | 0.37 | 367.88 | 0.0122 |
| 1 | 360 | 0.37 | 367.88 | 0.17 |
| 2 | 190 | 0.18 | 183.94 | 0.2 |
| 3 | 63 | 0.0613 | 61.31 | 0.0464 |
| 4 | 17 | 0.0153 | 18.39 | 0.11 |
| 1000 | 0.53 |
Եկեք որոշենք կրիտիկական շրջանի սահմանը: Քանի որ Պիրսոնի վիճակագրությունը չափում է էմպիրիկ և տեսական բաշխումների տարբերությունը, որքան մեծ է դրա դիտարկված արժեքը K obs, այնքան ավելի ուժեղ է փաստարկը հիմնական վարկածի դեմ:
Հետևաբար, այս վիճակագրության համար կրիտիկական շրջանը միշտ աջլիկ է :)
