Արհեստներ

Գծային վեկտորային տարածությունը և նրա աքսիոմային հատկությունները: Գծային վեկտորային տարածություն՝ սահմանում, հատկություններ: Ի՞նչ է վեկտորների գծային համակցությունը:

Նյութը՝ Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Վեկտոր(կամ գծային) տարածություն- մաթեմատիկական կառուցվածք, որը իրենից ներկայացնում է վեկտորներ կոչվող տարրերի մի շարք, որոնց համար սահմանվում են միմյանց հետ գումարման և թվով բազմապատկելու գործողությունները՝ սկալյար։ Այս գործողությունները ենթակա են ութ աքսիոմների: Սկալարները կարող են լինել իրական, բարդ կամ ցանկացած այլ թվային դաշտի տարրեր: Նման տարածության հատուկ դեպք է սովորական եռաչափ Էվկլիդեսյան տարածությունը, որի վեկտորներն օգտագործվում են, օրինակ, ֆիզիկական ուժերը ներկայացնելու համար։ Պետք է նշել, որ վեկտորը, որպես վեկտորային տարածության տարր, պարտադիր չէ, որ նշված լինի ուղղորդված հատվածի տեսքով: «Վեկտոր» հասկացության ընդհանրացումը ցանկացած բնույթի վեկտորային տարածության տարրին ոչ միայն չի առաջացնում տերմինների շփոթություն, այլև հնարավորություն է տալիս հասկանալ կամ նույնիսկ կանխատեսել մի շարք արդյունքներ, որոնք վավեր են կամայական բնույթի տարածությունների համար:

Վեկտորային տարածությունները գծային հանրահաշվի առարկա են: Վեկտորային տարածության հիմնական բնութագրիչներից մեկը դրա չափսն է: Չափը ներկայացնում է տարածության գծային անկախ տարրերի առավելագույն քանակը, այսինքն՝ դիմելով կոպիտ երկրաչափական նկարագրության, ուղղությունների թիվը, որոնք չեն կարող արտահայտվել միմյանց միջոցով միայն սկալյարով գումարման և բազմապատկման գործողությունների միջոցով: Վեկտորային տարածությունը կարող է օժտված լինել լրացուցիչ կառուցվածքներով, ինչպիսիք են նորմը կամ ներքին արտադրանքը: Նման տարածությունները բնականաբար հայտնվում են մաթեմատիկական վերլուծության մեջ, հիմնականում անվերջ չափերի ֆունկցիայի տարածությունների տեսքով ( Անգլերեն), որտեղ գործառույթները . Վերլուծության շատ խնդիրներ պահանջում են պարզել, թե արդյոք վեկտորների հաջորդականությունը համընկնում է տվյալ վեկտորի հետ: Նման հարցերի դիտարկումը հնարավոր է լրացուցիչ կառուցվածք ունեցող վեկտորային տարածություններում, շատ դեպքերում հարմար տոպոլոգիա, որը թույլ է տալիս սահմանել մոտիկություն և շարունակականություն հասկացությունները։ Նման տոպոլոգիական վեկտորային տարածությունները, մասնավորապես Բանախի և Հիլբերտի տարածությունները թույլ են տալիս ավելի խորը ուսումնասիրություն:

Բացի վեկտորներից, գծային հանրահաշիվն ուսումնասիրում է նաև ավելի բարձր աստիճանի տենզորները (սկալարը համարվում է 0 աստիճանի տենզոր, վեկտորը՝ 1 աստիճանի տենզոր)։

Առաջին աշխատանքները, որոնք ակնկալում էին վեկտորային տարածության հայեցակարգի ներդրումը, թվագրվում են 17-րդ դարով։ Հենց այդ ժամանակ սկսեց զարգանալ անալիտիկ երկրաչափությունը, մատրիցների, գծային հավասարումների համակարգերի և էվկլիդեսյան վեկտորների ուսմունքը։

Սահմանում

Գծային, կամ վեկտորային տարածություն $V\ձախ (F\աջ)$ դաշտի վրայով $Ֆ$ - սա պատվիրված չորս է $(V,F,+,\cdot)$ , Որտեղ

$Վ$ - կամայական բնույթի տարրերի ոչ դատարկ հավաքածու, որոնք կոչվում են վեկտորներ;
$Ֆ$ - (հանրահաշվական) դաշտ, որի տարրերը կոչվում են սկալարներ;
Գործողությունը սահմանված է հավելումվեկտորներ $V\ անգամ V\-ից V$ , որը միավորում է տարրերի յուրաքանչյուր զույգ $\mathbf(x), \mathbf(y)$ հավաքածուներ $Վ$ $Վ$ կանչեց նրանց գումարըև նշանակված $\mathbf(x) + \mathbf(y)$ ;
Գործողությունը սահմանված է վեկտորները բազմապատկելով սկալարներով $F\ անգամ V\-ից V$ , համապատասխանեցնելով յուրաքանչյուր տարրին $\լամբդա$ դաշտերը $Ֆ$ և յուրաքանչյուր տարր $\mathbf(x)$ հավաքածուներ $Վ$ հավաքածուի միակ տարրը $Վ$ , նշվում է $\lambda\cdot\mathbf(x)$ կամ $\lambda\mathbf(x)$ ;

Վեկտորային տարածությունները, որոնք սահմանված են տարրերի միևնույն բազմության վրա, բայց տարբեր դաշտերում, կլինեն տարբեր վեկտորային տարածություններ (օրինակ՝ իրական թվերի զույգերի բազմությունը $\mathbb(R)^2$ կարող է լինել երկչափ վեկտորային տարածություն իրական թվերի դաշտի վրա կամ միաչափ՝ բարդ թվերի դաշտի վրա):

Ամենապարզ հատկությունները

Վեկտորային տարածությունը ավելացման տակ գտնվող Աբելյան խումբ է:
Չեզոք տարր $\mathbf(0) \ը Վ$
$0\cdot\mathbf(x) = \mathbf(0)$ որեւէ մեկի համար $\mathbf(x) \ին Վ$ .
Որևէ մեկի համար $\mathbf(x) \ին Վ$ հակառակ տարր $-\mathbf(x)\ Վ$ միակ բանն է, որ բխում է խմբի հատկություններից։
$1\cdot\mathbf(x) = \mathbf(x)$ որեւէ մեկի համար $\mathbf(x) \ին Վ$ .
$(-\ալֆա)\cdot\mathbf(x) = \ալֆա\cdot(-\mathbf(x)) = -(\ալֆա\mathbf(x))$ ցանկացածի համար $\ալֆա \ին Ֆ$ Եվ $\mathbf(x) \ին Վ$ .
$\ալֆա\cdot \mathbf(0) = \mathbf(0)$ որեւէ մեկի համար $\ալֆա \ին Ֆ$ .

Հարակից սահմանումներ և հատկություններ

Ենթատարածություն

Հանրահաշվական սահմանում. Գծային ենթատարածությունկամ վեկտոր ենթատարածություն- ոչ դատարկ ենթաբազմություն $Կ$ գծային տարածություն $Վ$ այնպիսին է, որ $Կ$ ինքնին գծային տարածություն է սահմանվածների նկատմամբ $Վ$ գումարման և բազմապատկման գործողություններ սկալյարով: Բոլոր ենթատարածությունների բազմությունը սովորաբար նշվում է որպես $\mathrm(lat)(V)$ . Որպեսզի ենթաբազմությունը ենթատարածություն լինի, դա անհրաժեշտ և բավարար է

ցանկացած վեկտորի համար $\mathbf(x)\ Կ$ , վեկտոր $\ալֆա\mathbf(x)$ նույնպես պատկանել է $Կ$ , ցանկացածի համար $\ալֆա\ Ֆ$ ;
բոլոր վեկտորների համար $\mathbf(x), \mathbf(y) \ը Կ$ , վեկտոր $\mathbf(x)+\mathbf(y)$ նույնպես պատկանել է $Կ$ .

Վերջին երկու պնդումները համարժեք են հետևյալին.

Բոլոր վեկտորների համար $\mathbf(x), \mathbf(y) \ը Կ$ , վեկտոր $\ալֆա\mathbf(x)+\բետա\mathbf(y)$ նույնպես պատկանել է $Կ$ ցանկացածի համար $\ալֆա, \բետա \ը Ֆ$ .

Մասնավորապես, վեկտորային տարածությունը, որը բաղկացած է միայն մեկ զրոյական վեկտորից, ցանկացած տարածության ենթատարածություն է. յուրաքանչյուր տարածություն ինքնին ենթատարածություն է: Այս երկուսի հետ չհամընկնող ենթատարածությունները կոչվում են սեփականկամ ոչ տրիվիալ.

Ենթատարածությունների հատկությունները

Ենթատարածությունների ցանկացած ընտանիքի հատումը կրկին ենթատարածություն է.
Ենթատարածությունների գումարը $K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N$սահմանվում է որպես մի շարք, որը պարունակում է տարրերի բոլոր հնարավոր գումարները K_i: \sum_(i=1)^N (K_i):= $\mathbf(x)_1 + \mathbf(x)_2 + \ldots + \mathbf(x)_N\quad|\quad \mathbf(x)_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)$.
- Ենթատարածությունների վերջավոր ընտանիքի գումարը կրկին ենթատարածություն է:

Գծային համակցություններ

Ձևի վերջնական գումարը

$\alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n$

Գծային համակցությունը կոչվում է.

Հիմք. Չափս

Վեկտորներ $\mathbf(x)_1, \mathbf(x)_2, \ldots, \mathbf(x)_n$ կոչվում են գծային կախված, եթե կա դրանց ոչ տրիվիալ գծային համակցություն, որը հավասար է զրոյի.

Հակառակ դեպքում այս վեկտորները կոչվում են գծային անկախ.

Այս սահմանումը թույլ է տալիս հետևյալ ընդհանրացումը $Վ$ կանչեց գծային կախված, եթե որոշները գծային կախված են եզրափակիչմի ենթաբազմություն դրա, և գծային անկախ, եթե դրանցից որևէ մեկը եզրափակիչենթաբազմությունը գծային անկախ է:

Հիմքի հատկությունները.

Ցանկացած $n$ գծային անկախ տարրեր $n$ - ծավալային տարածության ձև հիմքայս տարածքը.
Ցանկացած վեկտոր $\mathbf(x) \ին Վ$ կարող է ներկայացվել (եզակի) որպես հիմքի տարրերի վերջավոր գծային համակցություն.

\mathbf(x) = \alpha_1\mathbf(x)_1 + \alpha_2\mathbf(x)_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf(x)_n

Գծային պատյան

Գծային պատյան $\mathcal V(X)$ ենթաբազմություններ $X$ գծային տարածություն $Վ$ - բոլոր ենթատարածությունների խաչմերուկը $Վ$ Պարունակող $X$ .

Գծային տարածությունը ենթատարածություն է $Վ$ .

Գծային կեղևը նույնպես կոչվում է ստեղծվել է ենթատարածություն $X$ . Ասվում է նաև, որ գծային պատյան $\mathcal V(X)$ - տարածություն, ձգվածմի փունջ $X$ .

Գծային պատյան $\mathcal V(X)$ բաղկացած է տարրերի տարբեր վերջավոր ենթահամակարգերի բոլոր հնարավոր գծային համակցություններից $X$ . Մասնավորապես, եթե $X$ վերջավոր բազմություն է, ուրեմն $\mathcal V(X)$ բաղկացած է տարրերի բոլոր գծային համակցություններից $X$ . Այսպիսով, զրոյական վեկտորը միշտ պատկանում է գծային կորպուսին:

Եթե $X$ գծային անկախ բազմություն է, ապա հիմք է $\mathcal V(X)$ և դրանով իսկ որոշում է դրա չափը:

Օրինակներ

Զուր բացատ, որի միակ տարրը զրո է:
Բոլոր գործառույթների տարածքը $X\-ին Ֆ$ վերջավոր հենարանով ձևավորում է կարդինալությանը հավասար չափի վեկտորային տարածություն $X$ .
Իրական թվերի դաշտը կարելի է համարել որպես ռացիոնալ թվերի դաշտի վրա շարունակական-չափային վեկտորային տարածություն։
Ցանկացած դաշտ իր վերևում միաչափ տարածություն է:

Լրացուցիչ կառույցներ

տես նաեւ

Գրեք ակնարկ «Վեկտորային տարածություն» հոդվածի մասին

Նշումներ

գրականություն

Գելֆանդ Ի.Մ.Դասախոսություններ գծային հանրահաշիվ. - 5-րդ. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8։
Գելֆանդ Ի.Մ.Դասախոսություններ գծային հանրահաշիվ. 5-րդ հրատ. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
Կոստրիկին Ա.Ի., Մանին Յու.Ի.Գծային հանրահաշիվ և երկրաչափություն. 2-րդ հրատ. - Մ.: Նաուկա, 1986. - 304 էջ.
Կոստրիկին Ա.Ի.Ներածություն հանրահաշիվին. Մաս 2. Գծային հանրահաշիվ. - 3-րդ. - M.: Nauka., 2004. - 368 p. - (Բուհի դասագիրք):
Մալցև Ա.Ի.Գծային հանրահաշվի հիմունքները. - 3-րդ. - M.: Nauka, 1970. - 400 p.

Պոստնիկով Մ.Մ.Գծային հանրահաշիվ (Երկրաչափության դասախոսություններ. II կիսամյակ). - 2-րդ. - M.: Nauka, 1986. - 400 p.
Սթրենգ Գ.Գծային հանրահաշիվը և դրա կիրառությունները. - Մ.: Միր, 1980. - 454 էջ.
Իլյին Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ.Գծային հանրահաշիվ. 6-րդ հրատ. - M.: Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4 ։
Հալմոս Պ.Վերջավոր-չափային վեկտորային տարածություններ. - M.: Fizmatgiz, 1963. - 263 p.
Ֆադդեև Դ.Կ.Դասախոսություններ հանրահաշիվ. - 5-րդ. - Սանկտ Պետերբուրգ. ՝ Lan, 2007. - 416 p.
Շաֆարևիչ Ի. Ռ., Ռեմիզով Ա.Օ.Գծային հանրահաշիվ և երկրաչափություն. - 1-ին. - M.: Fizmatlit, 2009. - 511 p.
Շրեյեր Օ., Սպերներ Գ.Գծային հանրահաշիվին ներածություն երկրաչափական ներկայացման մեջ = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (թարգմանություն գերմաներենից): - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 p.

Վեկտորներ և մատրիցներ

Վեկտորներ

Հիմնական հասկացություններ

Վեկտորների տեսակները

Գործողություններ վեկտորների վրա

Տարածքների տեսակները

Մատրիցներ

Հիմնական հասկացություններ

Այլ

Վեկտորային տարածությունը բնութագրող հատված

Կուտուզովը քայլում էր շարքերով՝ երբեմն կանգ առնելով և մի քանի բարի խոսք ասելով սպաների, որոնց ճանաչում էր թուրքական պատերազմից, երբեմն էլ՝ զինվորներին։ Կոշիկներին նայելով՝ նա մի քանի անգամ տխուր օրորեց գլուխը և այնպիսի արտահայտությամբ մատնացույց արեց ավստրիացի գեներալին, որ թվում էր, թե նա ոչ մեկին չէր մեղադրում դրա համար, բայց չէր կարող չտեսնել, թե ինչ վատ է։ Ամեն անգամ, երբ գնդի հրամանատարը վազում էր առաջ՝ վախենալով բաց թողնել գնդի վերաբերյալ գլխավոր հրամանատարի խոսքը։ Կուտուզովի հետևում, այնպիսի հեռավորության վրա, որ լսվում էր որևէ թույլ ասված խոսք, քայլում էին մոտ 20 հոգի նրա շքախմբով։ Շքախմբերի պարոնները խոսում էին իրար մեջ և երբեմն ծիծաղում։ Գերագույն գլխավոր հրամանատարին ամենից մոտ քայլեց գեղեցկադեմ ադյուտանտը։ Դա արքայազն Բոլկոնսկին էր։ Նրա կողքին քայլում էր ընկեր Նեսվիցկին՝ բարձրահասակ շտաբի սպա, չափազանց գեր, բարի և ժպտացող գեղեցիկ դեմքով և խոնավ աչքերով. Նեսվիցկին հազիվ էր զսպում իրեն, որ չծիծաղի, հուզված նրա կողքով քայլող սևամորթ հուսար սպանից։ Հուսարի սպան, առանց ժպտալու, չփոխելով իր ֆիքսված աչքերի արտահայտությունը, լուրջ դեմքով նայեց գնդի հրամանատարի թիկունքին և ընդօրինակեց նրա յուրաքանչյուր շարժում։ Ամեն անգամ, երբ գնդի հրամանատարը սլացավ ու կռացավ առաջ, ճիշտ նույն ձևով, ճիշտ նույն ձևով, հուսար սպան կռացավ և կռացավ առաջ։ Նեսվիցկին ծիծաղեց և դրդեց մյուսներին նայել զվարճալի մարդուն։
Կուտուզովը դանդաղ ու դանդաղ քայլում էր հազարավոր աչքերի կողքով, որոնք դուրս էին թռչում վարդակից և հետևում էին իրենց ղեկավարին։ Բռնվելով 3-րդ ընկերության հետ՝ նա հանկարծ կանգ առավ։ Շքախումբը, չսպասելով այս կանգառը, ակամայից շարժվեց դեպի նա։
-Ահ, Տիմոխին։ – ասաց գլխավոր հրամանատարը՝ ճանաչելով կարմիր քթով կապիտանին, ով տառապում էր իր կապույտ վերարկուի համար։
Թվում էր, թե անհնար է ավելի շատ ձգվել, քան ձգվել է Տիմոխինը, մինչդեռ գնդի հրամանատարը նկատողություն է արել նրան։ Բայց այդ պահին գլխավոր հրամանատարը դիմեց նրան, կապիտանը ուղիղ կանգնեց, այնպես, որ թվում էր, թե եթե գլխավոր հրամանատարը մի քիչ էլ նրան նայեր, կապիտանը չէր դիմանա; և, հետևաբար, Կուտուզովը, ըստ երևույթին, հասկանալով իր դիրքը և մաղթելով, ընդհակառակը, ամենայն բարիք կապիտանի համար, շտապ հեռացավ։ Հազիվ նկատելի ժպիտը վազեց Կուտուզովի հաստլիկ, վերքերից այլանդակված դեմքին։
«Իզմայլովոյի ևս մեկ ընկեր», - ասաց նա: -Խիզախ սպա։ Դուք գոհ եք դրանից: – հարցրեց Կուտուզովը գնդի հրամանատարին.
Իսկ գնդի հրամանատարը, հայելու մեջ արտացոլված, իր համար անտեսանելի, հուսարի սպայի մեջ, դողալով, առաջ եկավ և պատասխանեց.
– Շատ գոհ եմ, Ձերդ Գերազանցություն։
«Մենք բոլորս զերծ չենք թուլություններից», - ասաց Կուտուզովը ժպտալով և հեռանալով նրանից: «Նա նվիրվածություն ուներ Բաքոսին։
Գնդի հրամանատարը վախեցավ, որ ինքն է մեղավոր, և ոչինչ չպատասխանեց։ Սպան այդ պահին նկատեց կապիտանի դեմքը՝ կարմիր քթով և կծկված փորով և ընդօրինակեց նրա դեմքն ու կեցվածքն այնքան մոտ, որ Նեսվիցկին չկարողացավ զսպել ծիծաղը։
Կուտուզովը շրջվեց. Պարզ էր, որ սպան կարող էր կառավարել իր դեմքը, ինչպես ուզում էր. այն րոպեին, երբ Կուտուզովը շրջվեց, սպային հաջողվեց ծամածռություն անել, իսկ դրանից հետո ընդունել ամենալուրջ, հարգալից և անմեղ արտահայտությունը։
Երրորդ ընկերությունը վերջինն էր, և Կուտուզովը մտածեց դրա մասին՝ ըստ երևույթին ինչ-որ բան հիշելով։ Արքայազն Անդրեյը դուրս եկավ իր շքախմբից և ֆրանսերենով կամաց ասաց.
– Դուք հրամայեցիք հիշեցնել այս գնդում պաշտոնի իջեցված Դոլոխովի մասին։
-Որտե՞ղ է Դոլոխովը: – հարցրեց Կուտուզովը:
Դոլոխովը, արդեն զինվորի մոխրագույն վերարկու հագած, չսպասեց, որ իրեն կանչեն։ Ճակատից դուրս եկավ շիկահեր զինվորի սլացիկ կազմվածքը՝ թափանցիկ կապույտ աչքերով։ Նա մոտեցել է գերագույն գլխավոր հրամանատարին ու պահակ է դրել։
- Պահանջե՞լ: – թեթևակի խոժոռվելով հարցրեց Կուտուզովը:
«Սա Դոլոխովն է», - ասաց արքայազն Անդրեյը:
- Ա՜ - ասել է Կուտուզովը։ «Հուսով եմ, որ այս դասը կուղղի ձեզ, լավ կծառայի»: Տերը ողորմած է. Եվ ես քեզ չեմ մոռանա, եթե դու դրան արժանի ես։
Կապույտ, պարզ աչքերը նույնքան արհամարհանքով նայեցին գլխավոր հրամանատարին, որքան գնդի հրամանատարին, կարծես իրենց արտահայտությամբ պատռում էին պայմանական վարագույրը, որը մինչ այժմ բաժանում էր գլխավոր հրամանատարին զինվորից։
— Մի բան եմ խնդրում, Ձերդ Գերազանցություն,— ասաց նա իր հնչեղ, ամուր, անշտապ ձայնով։ «Խնդրում եմ, ինձ հնարավորություն տվեք փոխհատուցել իմ մեղքը և ապացուցել իմ նվիրվածությունը կայսրին և Ռուսաստանին»:
Կուտուզովը շրջվեց։ Նրա աչքերում նույն ժպիտը փայլեց նրա դեմքին, ինչպես երբ նա շրջվեց կապիտան Տիմոխինից։ Նա շրջվեց և պտտվեց, կարծես ուզում էր արտահայտել, որ այն ամենը, ինչ Դոլոխովն ասաց իրեն, և այն ամենը, ինչ կարող էր ասել, նա գիտեր վաղուց, երկար ժամանակ, որ այս ամենն արդեն ձանձրացրել էր իրեն, և որ այս ամենը չէ. ընդհանրապես այն, ինչ նրան պետք էր: Նա շրջվեց և ուղղվեց դեպի մանկասայլակը։
Գունդը ցրվեց ընկերություններում և ուղղվեց Բրաունաուից ոչ հեռու գտնվող նշանակված թաղամասեր, որտեղ նրանք հույս ունեին կոշիկներ հագնել, հագնվել և հանգստանալ դժվարին երթերից հետո:
– Դու ինձ չե՞ս պահանջում, Պրոխոր Իգնատիչ։ - ասաց գնդի հրամանատարը՝ շրջելով դեպի տեղանքը շարժվող 3-րդ վաշտը և մոտենալով դիմացից քայլող կապիտան Տիմոխինին։ Գնդի հրամանատարի դեմքը անզուսպ ուրախություն էր արտահայտում ուրախությամբ ավարտված վերանայումից հետո: - Թագավորական ծառայությունը... անհնար է... մեկ ուրիշ անգամ այն կվերջացնես ճակատում... Ես նախ ներողություն կխնդրեմ, դու ինձ ճանաչում ես... Ես քեզ շատ շնորհակալ եմ: -Եվ ձեռքը մեկնեց վաշտի հրամանատարին։
-Հանուն ողորմության, գեներալ, համարձակվե՞մ։ - պատասխանեց նավապետը, քիթը կարմրելով, ժպտալով և ժպտալով բացահայտելով երկու առջևի ատամների բացակայությունը, որոնք թակել էին Իսմայելի տակից հետույքը:
-Այո, ասա պարոն Դոլոխովին, որ ես նրան չեմ մոռանա, որ հանգիստ լինի։ Այո, խնդրում եմ, ասեք, ես անընդհատ ուզում էի հարցնել, թե ինչպես է նա, ինչպես է իրեն պահում: Եվ այսքանը...
«Նա շատ ծառայողական է իր ծառայության մեջ, ձերդ գերազանցություն... բայց կանոնադրողը...», - ասաց Տիմոխինը։
-Ի՞նչ, ի՞նչ կերպար։ – հարցրեց գնդի հրամանատարը:
— Ձերդ գերազանցությունը օրերով հայտնաբերում է, — ասաց նավապետը, — որ նա խելացի է, գիտուն և բարի։ Դա գազան է: Նա Լեհաստանում հրեա է սպանել, եթե կուզեք...
«Դե, այո, լավ», - ասաց գնդի հրամանատարը, - մենք դեռ պետք է խղճանք դժբախտության մեջ գտնվող երիտասարդին: Ի վերջո, հիանալի կապեր... Այսպիսով, դուք...
«Լսում եմ, ձերդ գերազանցություն», - ասաց Տիմոխինը ժպտալով, այնպես անելով, որ նա հասկանում է ղեկավարի ցանկությունները:
- Այո այո.
Գնդի հրամանատարը Դոլոխովին գտավ շարքերում և սանձեց նրա ձին։
«Առաջին առաջադրանքից առաջ՝ էպոլետներ», - ասաց նա:
Դոլոխովը նայեց շուրջը, ոչինչ չասաց և չփոխեց իր ծաղրող ժպտացող բերանի արտահայտությունը։
«Դե, դա լավ է», - շարունակեց գնդի հրամանատարը: «Ժողովուրդը յուրաքանչյուրն ինձնից մի բաժակ օղի ունի»,- ավելացրեց նա, որպեսզի զինվորները լսեն։ - Շնորհակալություն բոլորին! Աստված օրհնի! -Եվ նա, առաջ անցնելով ընկերությունից, մեքենայով մոտեցավ մյուսին։
«Դե, նա իսկապես լավ մարդ է. «Դու կարող ես ծառայել նրա հետ», - ասաց ստորադաս Տիմոխինը իր կողքով քայլող սպային:
«Մի բառ, սրտերի արքա... (գնդի հրամանատարը մականունով էր սրտերի արքա)»,- ծիծաղելով ասաց ենթասպա սպան:
Ստուգատեսից հետո իշխանությունների ուրախ տրամադրությունը տարածվեց զինվորների վրա. Ընկերությունը քայլում էր զվարթ։ Զինվորների ձայները խոսում էին բոլոր կողմերից։
-Ի՞նչ ասացին, ծուռ Կուտուզով, մի աչքի մասին:
- Հակառակ դեպքում՝ ոչ։ Ամբողջովին ծուռ.
-Չէ... ախպեր, նա քեզնից մեծ աչքեր ունի։ Կոշիկներ և կոշիկներ - Ես ամեն ինչին նայեցի...
-Ինչպե՞ս կարող է, ախպերս, ոտքերիս նայի... լավ! Մտածեք…
- Իսկ մյուս ավստրիացին, նրա հետ, կարծես կավիճով քսված լիներ։ Ալյուրի նման՝ սպիտակ։ Ես թեյ, ինչպես են նրանք մաքրում զինամթերքը:
-Ի՞նչ, Ֆեդեշոու... նա ասաց, որ երբ կռիվը սկսվեց, դու ավելի մոտ կանգնեցիր: Նրանք բոլորն ասում էին, որ Բունապարտն ինքը կանգնած է Բրունովոյում։
-Բունապարտը արժե այն: նա սուտ է ասում, հիմար: Այն, ինչ նա չգիտի! Հիմա պրուսացին ապստամբում է։ Ավստրիացին, հետևաբար, խաղաղեցնում է նրան։ Հենց նա հաշտություն կնքի, այն ժամանակ պատերազմ կբացվի Բունապարտի հետ։ Թե չէ, ասում է, Բունապարտը կանգնած է Բրունովոյում։ Հենց դա էլ ցույց է տալիս, որ նա հիմար է։ Լսեք ավելին:
- Նայե՛ք, անիծված կացարանները: Հինգերորդ ընկերությունը, տեսեք, արդեն գյուղ է դառնում, շիլա կեփեն, էլի տեղ չենք հասնի։
-Մի կոտրիչ տուր, անիծյալ:
- Երեկ ինձ ծխախոտ տվեցի՞ր: Վերջ, եղբայր։ Դե, ահա մենք գնում ենք, Աստված ձեզ հետ:
«Գոնե կանգ առան, այլապես հինգ մղոն էլ չենք ուտում»։
– Հաճելի էր, թե ինչպես գերմանացիները մեզ մանկասայլակներ նվիրեցին: Երբ գնում եք, իմացեք. դա կարևոր է:
«Եվ ահա, եղբայր, ժողովուրդը բոլորովին կատաղեց»: Այնտեղ ամեն ինչ կարծես բևեռ լիներ, ամեն ինչ ռուսական թագից էր. և հիմա, եղբայր, նա ամբողջովին գերմանացի է դարձել:
- Երգահաններ առաջ: - լսվեց կապիտանի լացը:
Իսկ ընկերության դիմացի տարբեր շարքերից դուրս վազեցին քսան հոգի։ Թմբկահարը սկսեց երգել և երեսը թեքեց դեպի երգահանները, և ձեռքը թափահարելով սկսեց քաշքշված զինվորի երգը, որը սկսվում էր. «Ուրեմն, եղբայրներ, փառք կլինի մեզ և Կամենսկու հորը...» Այս երգը ստեղծվել է Թուրքիայում և այժմ երգվում է Ավստրիայում, միայն այն փոփոխությամբ, որ «Կամենսկու հայրը» բառերը տեղադրվել են. Կուտուզովի հայրը»։
Զինվորի պես պոկելով այս վերջին բառերը և ձեռքերը թափահարելով, կարծես ինչ-որ բան գետնին գցեր, թմբկահարը, մոտ քառասուն տարեկան չոր ու գեղեցիկ զինվորը, խստորեն նայեց զինվոր երգահաններին և փակեց աչքերը։ Այնուհետև, համոզվելով, որ բոլոր աչքերը հառած են իրեն, նա կարծես երկու ձեռքով զգուշորեն բարձրացրեց գլխի վերևում ինչ-որ անտեսանելի, թանկարժեք իր, մի քանի վայրկյան այդպես պահեց և հանկարծ հուսահատ նետեց այն.
Օ՜, դու, իմ հովանոց, իմ հովանոց:
«Իմ նոր հովանոցը...», արձագանքեցին քսան ձայն, իսկ գդալակալը, չնայած զինամթերքի ծանրությանը, արագ թռավ առաջ ու հետ քայլեց վաշտի դիմաց՝ շարժելով ուսերն ու սպառնալով ինչ-որ մեկին գդալներով։ Զինվորները, ձեռքերը թափահարելով երգի ռիթմի տակ, քայլում էին երկար քայլերով՝ ակամա հարվածելով ոտքերին։ Ընկերության թիկունքից լսվում էին անիվների ձայներ, աղբյուրների ճռճռոց ու ձիերի տրորում։
Կուտուզովը և նրա շքախումբը վերադառնում էին քաղաք։ Գերագույն հրամանատարը նշան տվեց, որ ժողովուրդը շարունակի ազատ քայլել, և երգի հնչյուններից, պարող զինվորին ու զինվորներին տեսնելով նրա դեմքին և նրա շքախմբի բոլոր դեմքերին ուրախություն էր արտահայտվում։ ընկերությունը քայլում է ուրախ և աշխույժ: Երկրորդ շարքում, աջ թևից, որտեղից կառքը վազում էր վաշտերի վրա, ակամայից մեկը գրավեց կապուտաչյա զինվոր Դոլոխովի աչքը, որը հատկապես աշխույժ ու նրբագեղ քայլեց դեպի երգի ռիթմը և նայեց նրանց դեմքերին։ անցնողներն այնպիսի արտահայտությամբ, կարծես խղճում էր բոլորին, ովքեր այս պահին ընկերության հետ չեն գնացել։ Կուտուզովի շքախմբից հուսարական կորնետը, ընդօրինակելով գնդի հրամանատարին, ընկավ կառքի հետևում և շարժվեց դեպի Դոլոխով։
Հուսար Կոռնետ Ժերկովը ժամանակին Սանկտ Պետերբուրգում պատկանում էր Դոլոխովի գլխավորած այդ դաժան հասարակությանը։ Արտերկրում Ժերկովը Դոլոխովի հետ ծանոթացել է որպես զինվոր, սակայն հարկ չի համարել ճանաչել նրան։ Այժմ, Կուտուզովի զրույցից հետո իջեցված տղամարդու հետ, նա դիմեց նրան հին ընկերոջ ուրախությամբ.
- Սիրելի ընկեր, ինչպե՞ս ես։ - ասաց նա երգի ձայնի վրա՝ ձիու քայլը համապատասխանեցնելով ընկերության քայլին։
- Ես նման եմ? - սառը պատասխանեց Դոլոխովը, - ինչպես տեսնում եք:
Աշխույժ երգը առանձնահատուկ նշանակություն տվեց լկտի ուրախության տոնին, որով խոսում էր Ժերկովը, և Դոլոխովի պատասխանների կանխամտածված սառնությանը։
-Լավ, շեֆիդ հետ ինչպե՞ս ես շփվում: – հարցրեց Ժերկովը:
-Ոչինչ, բարի մարդիկ։ Ինչպե՞ս մտաք շտաբ։
- Գործուղված, հերթապահ։
Նրանք լուռ էին։
«Նա աջ թևից բազեն բաց թողեց»,- ասվում էր երգում՝ ակամա առաջացնելով զվարթ, զվարթ զգացում։ Նրանց զրույցը հավանաբար այլ կլիներ, եթե երգի ձայնի տակ չխոսեին։
– Ճի՞շտ է, որ ավստրիացիներին ծեծել են։ - հարցրեց Դոլոխովը:
«Սատանան ճանաչում է նրանց», - ասում են նրանք:
«Ուրախ եմ», - կարճ և հստակ պատասխանեց Դոլոխովը, ինչպես երգն էր պահանջում:
«Դե, երեկոյան արի մեզ մոտ, դու գրավ կդնես փարավոնին», - ասաց Ժերկովը:
- Թե՞ շատ փող ունես:
-Արի։
- Արգելվում է։ Ես ուխտ արեցի. Ես չեմ խմում և չեմ խաղում, քանի դեռ նրանք չեն կարողանում դա անել.
-Դե առաջին բանի մասին...
-Այնտեղ կտեսնենք:
Նորից լռեցին։
«Դուք ներս մտեք, եթե ինչ-որ բանի կարիք ունեք, շտաբում բոլորը կօգնեն...»,- ասաց Ժերկովը:
Դոլոխովը քմծիծաղ տվեց։
- Ավելի լավ է չանհանգստանաս: Ես ոչինչ չեմ խնդրի, ինչ պետք է, ես ինքս կվերցնեմ:
-Դե ես այնքան եմ...
-Դե ես էլ եմ։
- Ցտեսություն.
-Առողջ եղեք…
... և բարձր և հեռու,
Տան կողմում...
Ժերկովը դիպավ ձիուն, որը, ոգևորվելով, երեք անգամ ոտքով հարվածեց, չիմանալով, թե որից սկսել, կարողացավ և ցատկեց՝ առաջ անցնելով վաշտից և հասնելով կառքին, ինչպես նաև երգի զարկի տակ։

Վերադառնալով վերանայումից՝ Կուտուզովը, ավստրիացի գեներալի ուղեկցությամբ, մտավ իր աշխատասենյակ և, կանչելով ադյուտանտին, հրամայեց տալ որոշ թղթեր՝ կապված ժամանող զորքերի վիճակի հետ, ինչպես նաև նամակներ ստացան արքեդքս Ֆերդինանդից, որը ղեկավարում էր առաջադեմ բանակը։ . Արքայազն Անդրեյ Բոլկոնսկին անհրաժեշտ թղթերով մտավ գլխավոր հրամանատարի աշխատասենյակ։ Կուտուզովը և Gofkriegsrat-ի ավստրիացի անդամը նստեցին սեղանի վրա դրված հատակագծի առջև։
«Ահ...», - ասաց Կուտուզովը, հետ նայելով Բոլկոնսկուն, կարծես այս բառով նա հրավիրում էր ադյուտանտին սպասել, և շարունակեց իր սկսած խոսակցությունը ֆրանսերենով։
«Ես ընդամենը մի բան եմ ասում, գեներալ», - ասաց Կուտուզովը արտահայտման և ինտոնացիայի հաճելի նրբագեղությամբ, ինչը ձեզ ստիպեց ուշադիր լսել ամեն մի հանգիստ ասված բառ: Պարզ էր, որ ինքը՝ Կուտուզովը, հաճույք էր ստանում իրեն լսելուց։ «Ես միայն մի բան եմ ասում, գեներալ, որ եթե գործը կախված լիներ իմ անձնական ցանկությունից, ապա Նորին Մեծություն կայսր Ֆրանցի կամքը վաղուց կկատարվեր»։ Ես վաղուց կմիանայի Արքհերցոգին։ Եվ հավատացեք իմ պատվին, անձամբ ինձ համար ուրախություն կլիներ բանակի բարձրագույն հրամանատարությունը հանձնել ինձնից ավելի բանիմաց ու հմուտ գեներալին, որից Ավստրիան այդքան առատ է, և հրաժարվեմ այս ծանր պատասխանատվությունից։ Բայց հանգամանքները մեզնից ուժեղ են, գեներալ։
Եվ Կուտուզովը ժպտաց այնպիսի արտահայտությամբ, ասես ասում էր. «Դու բոլոր իրավունքներն ունես ինձ չհավատալու, և նույնիսկ ինձ ընդհանրապես չի հետաքրքրում՝ դու ինձ հավատում ես, թե ոչ, բայց դու ինձ դա ասելու պատճառ չունես։ Եվ սա է ամբողջ իմաստը»:
Ավստրիացի գեներալը դժգոհ տեսք ուներ, բայց չէր կարող նույն տոնով չպատասխանել Կուտուզովին։
— Ընդհակառակը,— ասաց նա նվաղած ու զայրացած տոնով, այնքան հակառակ իր ասած խոսքերի շողոքորթ իմաստին,— ընդհակառակը, ձերդ գերազանցության մասնակցությունը ընդհանուր գործին բարձր է գնահատում Նորին Մեծությունը. բայց մենք հավատում ենք, որ ներկայիս դանդաղումը ռուսական փառապանծ զորքերին և նրանց գլխավոր հրամանատարներին զրկում է այն դափնիներից, որոնք նրանք սովոր են քաղել մարտերում»,- ավարտեց նա իր ակնհայտորեն պատրաստված արտահայտությունը։
Կուտուզովը խոնարհվեց՝ չփոխելով ժպիտը։
«Եվ ես այնքան համոզված եմ, և, հիմնվելով վերջին նամակի վրա, որով ինձ պատվել է Նորին Մեծություն Արքհերցոգ Ֆերդինանդը, ենթադրում եմ, որ ավստրիական զորքերը, գեներալ Մաքի նման հմուտ օգնականի հրամանատարությամբ, այժմ վճռական հաղթանակ են տարել և այլևս չեն. մեր օգնության կարիքն ունի»,- ասել է Կուտուզովը։
Գեներալը խոժոռվեց։ Թեև ավստրիացիների պարտության մասին ոչ մի դրական լուր չկար, սակայն կային չափազանց շատ հանգամանքներ, որոնք հաստատում էին ընդհանուր անբարենպաստ լուրերը. և, հետևաբար, Կուտուզովի ենթադրությունը ավստրիացիների հաղթանակի մասին շատ նման էր ծաղրի: Բայց Կուտուզովը հեզ ժպտաց, դեռ նույն արտահայտությամբ, որն ասում էր, որ ինքն իրավունք ունի դա ենթադրելու։ Արդարեւ, Մակի բանակէն ստացած վերջին նամակը զինք կը տեղեկացնէր յաղթանակին եւ բանակին ամէնէն շահեկան ռազմավարական դիրքին մասին։
«Այս նամակը տվեք ինձ այստեղ», - ասաց Կուտուզովը ՝ դառնալով արքայազն Անդրեյին: - Եթե խնդրում եմ, տեսեք: - Եվ Կուտուզովը, շրթունքների ծայրերին ծաղրող ժպիտով, ավստրիացի գեներալին գերմաներեն կարդաց Արքհերցոգ Ֆերդինանդի նամակից հետևյալ հատվածը. den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirtewochrelletmiten en. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zubereit»: [Մենք ունենք բավականին կենտրոնացված ուժեր՝ մոտ 70000 մարդ, որպեսզի կարողանանք հարձակվել եւ հաղթել թշնամուն, եթե նա անցնի Լեխը։ Քանի որ մենք արդեն տիրապետում ենք Ուլմին, մենք կարող ենք պահպանել Դանուբի երկու ափերի հրամանատարության առավելությունները, հետևաբար, ամեն րոպե, եթե թշնամին չանցնի Լեխը, անցնի Դանուբը, շտապի դեպի իր հաղորդակցման գիծը և ներքևից հետ անցնի Դանուբը: թշնամուն, եթե նա որոշի իր ողջ զորությունը ուղղել մեր հավատարիմ դաշնակիցների վրա, կանխիր նրա մտադրության իրականացումը։ Այսպիսով, մենք ուրախությամբ կսպասենք այն ժամանակին, երբ կայսերական ռուսական բանակը լիովին պատրաստ կլինի, և այնուհետև միասին հեշտությամբ կգտնենք հնարավորություն թշնամուն պատրաստելու նրան արժանի ճակատագիրը»:

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՏԱՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ, գծային տարածություն K դաշտի վրա, հավելում գրված աբելյան E խումբ է, որում սահմանվում է տարրերի բազմապատկումը սկալարներով, այսինքն՝ քարտեզագրում։

K × E → E: (λ, x) → λx,

բավարարելով հետևյալ աքսիոմները (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K).

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ) x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Վեկտորային տարածության հետևյալ կարևոր հատկությունները (0 ∈ E) հետևում են 1)-4 աքսիոմներից.

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

V. p.-ի տարրեր կոչված. VP կետերը կամ վեկտորները և K դաշտի տարրերը սկալերներ են:

Մաթեմատիկայի և կիրառությունների մեջ ամենամեծ կիրառումը կատարվում է կոմպլեքս թվերի ℂ դաշտում կամ իրական թվերի ℝ դաշտում. նրանք կոչվում են համապատասխանաբար բարդ v. p. կամ իրական v. p.

v-ի աքսիոմները բացահայտում են որոշակի հանրահաշվական. վերլուծության ժամանակ հաճախ հանդիպող ֆունկցիաների բազմաթիվ դասերի հատկությունները: Ուղղահայաց տարածությունների օրինակներից ամենահիմնականն ու ամենավաղը n-չափ էվկլիդյան տարածություններն են։ Գրեթե հավասարապես կարևոր օրինակներ են բազմաթիվ ֆունկցիաների տարածություններ՝ շարունակական ֆունկցիաների տարածություն, չափելի ֆունկցիաների տարածություն, գումարելի ֆունկցիաների տարածություն, վերլուծական ֆունկցիաների տարածություն։ ֆունկցիաներ, սահմանափակ տատանումների ֆունկցիաների տարածություն։

V. տարածության հայեցակարգը օղակի վրա մոդուլ հասկացության հատուկ դեպք է, մասնավորապես, v. տարածությունը դաշտի վրա միասնական մոդուլ է: Կոչվում է նաև միավորային մոդուլը ոչ փոխադարձ շեղված դաշտի վրա: վեկտորային տարածություն մարմնի վրա; Նման ալիքային ձևերի տեսությունը շատ առումներով ավելի բարդ է, քան դաշտի վրա ալիքի ձևերի տեսությունը:

Վեկտորային տարածությունների հետ կապված կարևոր խնդիրներից մեկը վեկտորային տարածությունների երկրաչափության ուսումնասիրությունն է, այսինքն՝ գծերի ուսումնասիրությունը վեկտորային տարածություններում, հարթ և ուռուցիկ բազմությունները վեկտորային տարածություններում, վեկտորային տարածությունների ենթատարածությունները և հիմքերը վեկտորային տարածություններում։ էջ

Վեկտորային ենթատարածություն, կամ պարզապես ենթատարածություն, V. p. E կոչվում է K դաշտի վրա: F ⊂ E ենթաբազմություն փակվել է սկալյարով գումարման և բազմապատկման գործողությունների ներքո: Ենթատարածությունը, որը դիտարկվում է այն պարունակող տարածությունից առանձին, նույն դաշտի վրա տարածություն է:

Երկու x և y կետերով անցնող ուղիղ գիծը կոչվում է B. p. E: z = λx + (1 - λ)y ձևի z ∈ E տարրերի բազմություն, λ ∈ K. G ∈ E բազմությունը կոչվում է: հարթ հավաքածու, եթե ցանկացած երկու կետերի հետ միասին պարունակում է այս կետերով անցնող գիծ: Յուրաքանչյուր հարթ բազմություն ստացվում է որոշակի ենթատարածությունից՝ օգտագործելով հերթափոխ (զուգահեռ թարգմանություն). G = x + F; սա նշանակում է, որ z ∈ G յուրաքանչյուր տարր կարող է եզակի կերպով ներկայացված լինել z = x + y, y ∈ F ձևով, և այս հավասարությունը ապահովում է F-ի և G-ի միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն:

F x = x + F տրված F ենթատարածության բոլոր տեղաշարժերի բազմությունը կազմում է V. տարածություն K-ի վրա, որը կոչվում է. գործոնային տարածություն E/F, եթե գործողությունները սահմանենք հետևյալ կերպ.

F x F y = F x+y ; λF x = F λx, λ ∈ Կ.

Թող M = (x α) α∈A լինի E-ից վեկտորների կամայական բազմություն; կոչվում է x α ∈ E վեկտորների գծային համակցություն. բանաձեւով սահմանված x վեկտորը

x = ∑ α λ α x α, λ α ∈ K,

որոնցում միայն սահմանափակ թվով գործակիցներ են ոչ զրոյական: Տրված M բազմության վեկտորների բոլոր գծային համակցությունների բազմությունը M պարունակող ամենափոքր ենթատարածությունն է և կոչվում է. M բազմության գծային բացվածք. Գծային համակցությունը կոչվում է. չնչին, եթե λ α բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի: M բազմությունը կոչվում է. գծային անկախ բազմություն, եթե M-ից վեկտորների ոչ տրիվիալ գծային համակցությունները զրոյական չեն:

Ցանկացած գծային անկախ բազմություն պարունակվում է որոշակի առավելագույն գծային անկախ բազմության մեջ՝ M0, այսինքն՝ մի բազմության մեջ, որը E-ից որևէ տարր ավելացնելուց հետո դադարում է լինել գծային անկախ:

Յուրաքանչյուր x ∈ E տարր կարող է եզակի կերպով ներկայացվել որպես առավելագույն գծային անկախ բազմության տարրերի գծային համակցություն.

x = ∑ α λ α x α, x α ∈ M 0:

Այս առումով, առավելագույն գծային անկախ բազմությունը կոչվում է. հիմք V. p. (հանրահաշվական հիմք). Տվյալ ՎՊ-ի բոլոր հիմքերն ունեն նույն կարդինալությունը, այսպես կոչված. չափս V. p. Եթե այս հզորությունը վերջավոր է, ապա տարածությունը կոչվում է: վերջավոր ծավալային V. p.; հակառակ դեպքում կոչվում է անսահմանաչափ V. p.

K դաշտը կարելի է համարել որպես միաչափ ուղղահայաց տարածություն K դաշտի վրա; Այս V. կետի հիմքը բաղկացած է մեկ տարրից. այն կարող է լինել ցանկացած տարր, բացի զրոյից: n տարրերի հիմքով վերջավոր չափերի վեկտորը կոչվում է: n-չափ տարածություն.

Իրական և բարդ ուռուցիկ բազմությունների տեսության մեջ կարևոր դեր է խաղում ուռուցիկ բազմությունների տեսությունը։ Իրական V.p-ում M բազմությունը կոչվում է. ուռուցիկ բազմություն է, եթե իր x, y ցանկացած երկու կետերի հետ միասին tx + (1 - t)y, t ∈ հատվածը նույնպես պատկանում է M-ին։

Ուղղահայաց տարածությունների տեսության մեջ մեծ տեղ է զբաղեցնում ուղղահայաց տարածությունների վրա գծային ֆունկցիոնալների տեսությունը և հարակից երկակիության տեսությունը։ Թող E լինի CV K դաշտի վրա: E-ի վրա գծային ֆունկցիոնալը կոչվում է: հավելումային և միատարր քարտեզագրում f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x):

E*-ի բոլոր գծային ֆունկցիոնալների բազմությունը E-ի վրա ստեղծում է ազատ տեղ K դաշտի վրա՝ կապված գործողությունների հետ:

(f 1 + f 2) (x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf) (x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ Ե*.

Սա կոչվում է V.p. զուգակցված (կամ երկակի) տարածություն (դեպի E): Մի շարք երկրաչափական տեսություններ կապված են զուգակցված տարածության հասկացության հետ։ պայմանները. Թող D ⊂ E (համապատասխանաբար Г ⊂ E*); կոչվում է D բազմության ոչնչացնողը կամ D բազմության ուղղանկյուն լրացումը (համապատասխանաբար Г բազմությունը): մի փունջ

D ⊥ = (f ∈ E*: f(x) = 0 բոլոր x ∈ D-ի համար)

(համապատասխանաբար Г ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 բոլոր f ∈ Г)); այստեղ D ⊥ և Г ⊥ համապատասխանաբար E* և E տարածությունների ենթատարածություններն են, եթե f-ը E*-ի ոչ զրոյական տարրն է, ապա (f)-ը E*-ի առավելագույն պատշաճ գծային ենթատարածությունն է, որը կոչվում է: երբեմն հիպերենթատարածություն; նման ենթատարածության տեղաշարժը կոչվում է. հիպերպլան E-ում; յուրաքանչյուր հիպերպլան ունի ձևը

(x: f(x) = λ), որտեղ f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Եթե F-ը B. p. E-ի ենթատարածություն է, ապա F*-ի և միջև կան բնական իզոմորֆիզմներ.

E*/F ⊥ և (E/F)* և F ⊥ միջև:

Գ ⊂ E* ենթաբազմությունը կոչվում է E-ի ընդհանուր ենթաբազմություն, եթե դրա ոչնչացնողը պարունակում է միայն զրոյական տարրը. Г ⊥ = (0):

Յուրաքանչյուր գծային անկախ բազմություն (x α ) α∈A ⊂ E կարող է կապված լինել զուգակցված բազմության հետ (f α ) α∈A ⊂ E*, այսինքն. այնպիսի բազմություն, որ f α (x β) = δ αβ (Kronecker նշան) բոլոր α, β ∈ A. զույգերի բազմությունը (x α, f α) կոչվում է: բիօրթոգոնալ համակարգով։ Եթե (x α) բազմությունը հիմք է E-ում, ապա (f α)-ն ամբողջությամբ E-ից է:

Գծային փոխակերպումների տեսության մեջ զգալի տեղ է գրավում գծային փոխակերպումների գծային փոխակերպումների տեսությունը: Թող E 1 և E 2 լինեն երկու գծային փոխակերպումներ նույն դաշտում K. Գծային քարտեզագրում կամ գծային օպերատոր T, որը քարտեզագրում է գծայինը: փոխակերպում E 1-ում V. p. E 2 (կամ գծային օպերատոր E 1-ից E 2), որը կոչվում է. E 1-ից E 2 տարածության հավելումային և համասեռ քարտեզագրում.

T (x + y) = Tx + Ty; Т(лх) = лТ(х); x, y ∈ E 1.

Այս հայեցակարգի հատուկ դեպքը գծային ֆունկցիոնալն է կամ գծային օպերատորը E 1-ից մինչև K: Գծային քարտեզագրումը, օրինակ, B. p. E-ի բնական քարտեզագրումն է E/F գործակից տարածության վրա, որը ասոցացվում է յուրաքանչյուր տարր x ∈ E հարթ բազմություն F x ∈ E/ F: Բոլոր գծային օպերատորների ℒ(E 1, E 2) բազմությունը՝ T: E 1 → E 2, գործողությունների նկատմամբ կազմում է V. p.

(T 1 + T 2) x = T 1 x + T 2 x; (լТ)х = лТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2):

Երկու V. E 1 և E 2 կետերը կանչեցին. իզոմորֆ են v. տարրերի նկատմամբ, եթե կա գծային օպերատոր («իզոմորֆիզմ»), որն իրականացնում է մեկ առ մեկ համապատասխանություն դրանց տարրերի միջև: E 1 և E 2 իզոմորֆ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց հիմքերն ունեն նույն կարդինալությունը:

Թող T-ն լինի E 1-ից E 2-ին քարտեզագրող գծային օպերատոր: Կոնյուգացիոն գծային օպերատորը կամ երկակի գծային օպերատորը T-ի նկատմամբ կոչվում է։ գծային օպերատոր T* E* 2-ից մինչև E* 1, սահմանված հավասարությամբ

(T*φ)x = φ(Tx) բոլոր x ∈ E 1, φ ∈ E* 2-ի համար:

T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ հարաբերությունները պահպանվում են, ինչը ենթադրում է, որ T*-ը իզոմորֆիզմ է, եթե և միայն եթե T-ն իզոմորֆիզմ է:

Երկգծային քարտեզագրումների և ուղղահայաց տարածությունների բազմգծային քարտեզագրումների տեսությունը սերտորեն կապված է ուղղահայաց տարածությունների գծային քարտեզագրման տեսության հետ։

Գծային քարտեզագրումների տեսության խնդիրների կարևոր խումբ ձևավորվում է գծային քարտեզագրումների շարունակության խնդիրներով։ Թող F լինի V. p. E 1-ի ենթատարածությունը, E 2-ը լինի գծային տարածություն նույն դաշտի վրա, ինչ E 1-ը, իսկ T 0-ը լինի F-ի գծային քարտեզագրումը E 2-ի մեջ; պահանջվում է գտնել T 0 քարտեզի T ընդլայնումը, որը սահմանված է ամբողջ E 1-ի վրա և որը E 1-ից E 2-ի գծային քարտեզն է: Նման շարունակություն միշտ կա, բայց գործառույթների լրացուցիչ սահմանափակումները (կապված VP-ում լրացուցիչ կառուցվածքների հետ, օրինակ՝ տոպոլոգիայի կամ կարգի հարաբերությունների հետ) կարող են խնդիրը անլուծելի դարձնել։ Շարունակության խնդրի լուծման օրինակներ են Հան-Բանախի թեորեմը և կոն ունեցող տարածություններում դրական ֆունկցիոնալների շարունակության թեորեմները։

Վիրտուալ գործողությունների տեսության կարևոր բաժինը վեկտորների վրա գործողությունների տեսությունն է, այսինքն՝ հայտնի վեկտորների կառուցման մեթոդները։ Նման գործողությունների օրինակներ են ենթատարածություն վերցնելու և ենթատարածությունից քվոտային տարածություն կազմելու հայտնի գործողությունները։ Այլ կարևոր գործողություններ են՝ VP-ի ուղղակի գումարի, ուղղակի արտադրյալի և տենզորի արտադրյալի կառուցումը:

Թող (E α) α∈I լինի փոփոխական տարածությունների ընտանիք K դաշտի վրա: E բազմությունը - E α բազմությունների արտադրյալը - կարող է փոխակերպվել K դաշտի վրա ուղղահայաց տարածությունների ընտանիքի՝ ներկայացնելով գործողությունները:

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

ստացել V. p. E զանգահարել. V. p. E α-ի ուղղակի արտադրյալը և նշվում է P α∈I E α-ով: V. p. E-ի ենթատարածությունը, որը բաղկացած է բոլոր այն բազմություններից (x α), որոնցից յուրաքանչյուրի համար (α: x α ≠ 0) բազմությունը վերջավոր է, կոչվում է։ V. p. E α-ի ուղղակի գումարը և նշվում է Σ α E α կամ Σ α + E α; Վերջնական թվով տերմինների համար այս սահմանումները համընկնում են. այս դեպքում օգտագործվում է հետևյալ նշումը.

Թող E 1, E 2 լինեն երկու V դիրքեր K դաշտի վրա; E" 1, E" 2-ը V. p. E* 1, E* 2 և E 1 □ E 2 -B-ի ընդհանուր ենթատարածություններն են: n., որն իր հիմքում ունի E 1 × E 2 տարածության բոլոր տարրերի ամբողջությունը։ Յուրաքանչյուր տարր x □ y ∈ E 1 □ E 2 կապված է երկգծային ֆունկցիայի հետ b = T(x, y) E" 1 × E 2 բանաձևի համաձայն b(f, g) = f(x)g(y): ), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Հիմքի վեկտորների այս քարտեզագրումը x □ y ∈ E 1 □ E 2 կարող է տարածվել գծային քարտեզագրման T B. p. E 1 □ E 2-ից B. p. բոլոր երկգծային ֆունկցիոնալներից E" 1 × E" 2. Թող E 0 = T -1 (0): V. տարածության տենզորի արտադրյալը E 1 և E 2 կոչվում է գործոնային տարածություն E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2)/E 0, x □ y տարրի պատկերը նշվում է x ○ y-ով: E 1 ○ E 2 վեկտորային տարածությունը իզոմորֆ է E 1 × E 2 երկգծային ֆունկցիոնալների վեկտորային տարածության նկատմամբ (տես Տենզորի արտադրյալը վեկտորային տարածություններ):

Լիտ.՝ Բուրբակի Ն., Հանրահաշիվ։ Հանրահաշվական կառուցվածքներ. Գծային և բազմգծային հանրահաշիվ, տրանս. ֆրանսերենից, Մ., 1962; Ռայկով Դ.Ա., Վեկտորային տարածություններ, Մ., 1962; Օր M. M., Նորմալացված գծային տարածություններ, տրանս. անգլերենից, Մ., 1961; , Էդվարդ Ռ., Ֆունկցիոնալ վերլուծություն, թարգմ. անգլերենից, Մ., 1969; Հալմոս Պ., Վերջավոր ծավալային վեկտորային տարածություններ, տրանս. անգլերենից, Մ., 1963; Գլազման Ի.Մ., Լյուբիչ Յու.Ի., Վերջավոր ծավալային գծային վերլուծություն խնդիրներում, Մ., 1969:

Մ.Ի.Կադեց.

Աղբյուրներ:

Մաթեմատիկական հանրագիտարան. T. 1 (A - D). Էդ. խորհուրդ՝ Ի. Մ. Վինոգրադով (գլխավոր խմբագիր) [և ուրիշներ] - Մ., «Սովետական հանրագիտարան», 1977, 1152 թ. illus-ից.

Թող P-ն դաշտ լինի: տարրեր a, b, ... О Ռմենք կկանչենք սկալարներ.

Սահմանում 1.Դասարան Վկամայական բնույթի առարկաները (տարրերը) , , , ... կոչվում են վեկտորային տարածություն P դաշտի վրա, և կոչվում են V դասի տարրեր վեկտորներ, եթե V-ը փակ է «+» գործողության և P-ից սկալարներով բազմապատկման գործողության ներքո (այսինքն՝ ցանկացածի համար, ОV +О Վ;"aО Р aОV), և բավարարված են հետևյալ պայմանները.

A 1: հանրահաշիվ - Աբելյան խումբ;

A 2. ցանկացած a, bОР, ցանկացած ОV-ի համար a(b)=(ab) ընդհանրացված ասոցիատիվ օրենք է.

A 3. ցանկացած a, bОР, ցանկացած ОV, (a+b)= a+ b;

A 4. ցանկացած a-ի համար P-ից, ցանկացածի համար, V-ից, a(+)=a+a (ընդհանրացված բաշխման օրենքներ);

A 5. V-ից որևէ մեկի համար բավարարված է 1 =, որտեղ 1-ը P դաշտի միավորն է՝ միասնության հատկությունը:

Դաշտի տարրերը կանվանենք P սկալերներ, իսկ V բազմության տարրերը՝ վեկտորներ։

Մեկնաբանություն.Վեկտորի բազմապատկումը սկալյարով երկուական գործողություն չէ V բազմության վրա, քանի որ այն քարտեզագրման P´V®V է:

Դիտարկենք վեկտորային տարածությունների օրինակներ:

Օրինակ 1.Զրոյական (զրոյական) վեկտորային տարածություն - V 0 =() տարածություն - բաղկացած մեկ զրոյական վեկտորից:

Իսկ ցանկացած aОР a=. Եկեք ստուգենք վեկտորային տարածության աքսիոմների բավարարությունը:

Նկատի ունեցեք, որ զրոյական վեկտորային տարածությունն ըստ էության կախված է P դաշտից: Այսպիսով, ռացիոնալ թվերի դաշտի և իրական թվերի դաշտի վրայի զրոյական տարածությունները համարվում են տարբեր, թեև դրանք բաղկացած են մեկ զրոյական վեկտորից:

Օրինակ 2. P դաշտն ինքնին վեկտորային տարածություն է P դաշտի վրա: Թող V=P: Եկեք ստուգենք վեկտորային տարածության աքսիոմների բավարարությունը: Քանի որ P-ն դաշտ է, ապա P-ն աբելյան հավելումային խումբ է, և գործում է A 1-ը: P-ում բազմապատկման բավարարվածության պատճառով A2-ը բավարարվում է։ A 3 և A 4 աքսիոմները բավարարվում են գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխվածության P-ում իրագործելիության շնորհիվ: Քանի որ P դաշտում կա միավոր տարր 1, միասնության հատկությունը A 5 բավարարված է: Այսպիսով, P դաշտը վեկտորային տարածություն է P դաշտի վրա:

Օրինակ 3.Թվաբանական n-չափ վեկտորային տարածություն.

Թող P-ն դաշտ լինի: Դիտարկենք V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) բազմությունը ½ a i О P, i=1,…, n): Ներկայացնենք V բազմության վրա վեկտորների գումարման և վեկտորը սկալյարով բազմապատկելու գործողությունները հետևյալ կանոնների համաձայն.

«= (a 1, a 2, …, a n), = (b 1, b 2, …, b n) О V, «aО P += (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n. +bn) (1)

a=(aa 1, aa 2, …, aa n) (2)

Կկանչվեն V բազմության տարրերը n-չափ վեկտորներ. Երկու n-չափ վեկտորները հավասար են, եթե դրանց համապատասխան բաղադրիչները (կոորդինատները) հավասար են: Ցույց տանք, որ V-ն վեկտորային տարածություն է P դաշտի վրա: Վեկտորների գումարման և վեկտորի սկալյարով բազմապատկման գործողությունների սահմանումից հետևում է, որ V-ն այս գործողությունների ներքո փակ է: Քանի որ V-ի տարրերի գումարումը նվազեցնում է P դաշտի տարրերի ավելացմանը, իսկ P-ն աբելյան հավելումային խումբ է, ապա V-ն աբելյան հավելումային խումբ է։ Ավելին, =, որտեղ 0-ը P դաշտի զրոն է, -= (-a 1, -a 2, …, -a n): Այսպիսով, A 1-ը բավարարված է: Քանի որ V-ից տարրը P-ի տարրով բազմապատկելը վերածվում է P դաշտի բազմապատկման, ապա.

A 2-ը բավարարվում է P-ով բազմապատկման ասոցիատիվության շնորհիվ;

A 3 և A 4-ը բավարարվում են P-ով գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխվածության շնորհիվ;

A 5-ը բավարարված է, քանի որ 1 Î P-ը չեզոք տարր է P-ով բազմապատկելու առումով:

Սահմանում 2. V= P n բազմությունը (1) և (2) բանաձևերով սահմանված գործողություններով կոչվում է թվաբանական n-չափ վեկտորային տարածություն P դաշտի վրա։

Դասախոսություն 6. Վեկտորային տարածություն.

Հիմնական հարցեր.

1. Վեկտորային գծային տարածություն.

2. Տարածության հիմքը և չափը.

3. Տիեզերական կողմնորոշում.

4. Վեկտորի տարրալուծում ըստ հիմքերի.

5. Վեկտորային կոորդինատներ.

1. Վեկտորային գծային տարածություն.

Ցանկացած բնույթի տարրերից բաղկացած բազմություն, որտեղ սահմանվում են գծային գործողություններ. երկու տարրի գումարումը և տարրի բազմապատկումը թվով կոչվում են. տարածություններ, և դրանց տարրերն են վեկտորներայս տարածությունը և նշվում են այնպես, ինչպես վեկտորային մեծությունները երկրաչափության մեջ. ՎեկտորներՆման աբստրակտ տարածությունները, որպես կանոն, ոչ մի ընդհանուր բան չունեն սովորական երկրաչափական վեկտորների հետ։ Աբստրակտ տարածությունների տարրերը կարող են լինել ֆունկցիաներ, թվերի համակարգ, մատրիցներ և այլն, իսկ կոնկրետ դեպքում՝ սովորական վեկտորները։ Հետեւաբար, նման տարածքները սովորաբար կոչվում են վեկտորային տարածություններ .

Վեկտորային տարածություններն են՝ Օրինակ, համակողմանի վեկտորների մի շարք, նշվում է Վ1 , համահարթակ վեկտորների բազմություն Վ2 , սովորական (իրական տարածության) վեկտորների հավաքածու Վ3 .

Այս կոնկրետ դեպքի համար մենք կարող ենք տալ վեկտորային տարածության հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում 1.Վեկտորների բազմությունը կոչվում է վեկտորային տարածություն, եթե բազմության որևէ վեկտորի գծային համակցությունը նույնպես այս բազմության վեկտորն է։ Վեկտորներն իրենք են կոչվում տարրերվեկտորային տարածություն.

Թե՛ տեսական, թե՛ կիրառական առումով ավելի կարևոր է վեկտորային տարածության ընդհանուր (վերացական) հայեցակարգը։

Սահմանում 2.Մի փունջ Ռտարրեր, որոնցում գումարը որոշվում է ցանկացած երկու տարրի և ցանկացած տարրի համար https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> կոչ. վեկտոր(կամ գծային) տարածություն, և դրա տարրերը վեկտորներ են, եթե վեկտորների գումարման և վեկտորը թվով բազմապատկելու գործողությունները բավարարում են հետևյալ պայմանները. աքսիոմներ) :

1) հավելումը փոխադարձ է, այսինքն.gif" width="184" height="25">;

3) կա այնպիսի տարր (զրոյական վեկտոր), որը ցանկացած https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;

5) ցանկացած վեկտորների և ցանկացած λ թվի համար հավասարությունը պահպանվում է.

6) ցանկացած վեկտորի և ցանկացած թվի համար λ Եվ µ հավասարությունը ճիշտ է՝ https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> և ցանկացած թվեր λ Եվ µ արդար ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">։

Վեկտորային տարածությունը սահմանող ամենապարզ աքսիոմները հետևյալն են. հետեւանքները :

1. Վեկտորային տարածության մեջ կա միայն մեկ զրո՝ տարրը՝ զրոյական վեկտորը։

2. Վեկտորային տարածության մեջ յուրաքանչյուր վեկտոր ունի մեկ հակադիր վեկտոր:

3. Յուրաքանչյուր տարրի համար հավասարությունը բավարարված է:

4. Ցանկացած իրական թվի համար λ և զրո վեկտոր https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">:

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> հավասարությանը բավարարող վեկտոր է https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">:

Այսպիսով, իրոք, բոլոր երկրաչափական վեկտորների բազմությունը գծային (վեկտոր) տարածություն է, քանի որ այս բազմության տարրերի համար սահմանված են թվով գումարման և բազմապատկման գործողությունները, որոնք բավարարում են ձևակերպված աքսիոմները։

2. Տարածության հիմքը և չափը.

Վեկտորային տարածության էական հասկացությունները հիմք և հարթություն հասկացություններն են:

Սահմանում.Որոշակի հերթականությամբ վերցված գծային անկախ վեկտորների մի շարք, որոնց միջոցով կարող է գծային կերպով արտահայտվել տարածության ցանկացած վեկտոր, կոչվում է. հիմքայս տարածքը. Վեկտորներ. Տարածության հիմքի բաղադրիչները կոչվում են հիմնական .

Վեկտորների մի շարքի հիմքը, որը տեղակայված է կամայական գծի վրա, կարելի է համարել այս գծի մեկ համագիծ վեկտորը:

Հիմքը ինքնաթիռի վրաեկեք այս հարթության վրա անվանենք երկու ոչ սյունակային վեկտոր՝ վերցված որոշակի հերթականությամբ https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">:

Եթե հիմքի վեկտորները զույգերով ուղղահայաց են (ուղղանկյուն), ապա հիմքը կոչվում է ուղղանկյուն, և եթե այս վեկտորները ունեն մեկին հավասար երկարություն, ապա կոչվում է հիմք օրթոնորմալ .

Տիեզերքում գծային անկախ վեկտորների ամենամեծ թիվը կոչվում է հարթությունայս տարածության, այսինքն՝ տարածության չափը համընկնում է այս տարածության բազային վեկտորների թվի հետ։

Այսպիսով, ըստ այս սահմանումների.

1. Միաչափ տարածություն Վ1 ուղիղ գիծ է, իսկ հիմքը բաղկացած է մեկ համագիծվեկտոր https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src=">:

3. Սովորական տարածությունը եռաչափ տարածություն է Վ3 , որի հիմքը բաղկացած է երեք ոչ համահունչվեկտորներ

Այստեղից մենք տեսնում ենք, որ գծի վրա, հարթության վրա, իրական տարածության վրա բազային վեկտորների թիվը համընկնում է այն բանի հետ, ինչը երկրաչափության մեջ սովորաբար կոչվում է գծի, հարթության, տարածության չափերի (չափերի) քանակ։ Ուստի բնական է ավելի ընդհանուր սահմանում ներկայացնելը։

Սահմանում.Վեկտորային տարածություն Ռկանչեց n– ծավալային, եթե չկան ավելին, քան nգծային անկախ վեկտորներ և նշվում է Ռ n. Թիվ nկանչեց հարթությունտարածություն.

Տիեզերքի չափերին համապատասխան բաժանվում են վերջավոր ծավալայինԵվ անսահման-չափ. Զրոյական տարածության չափը ըստ սահմանման համարվում է հավասար զրոյի:

Ծանոթագրություն 1.Յուրաքանչյուր տարածության մեջ կարող եք նշել այնքան հիմքեր, որքան ցանկանում եք, բայց տվյալ տարածության բոլոր հիմքերը բաղկացած են նույն թվով վեկտորներից:

Ծանոթագրություն 2. IN n– ծավալային վեկտորային տարածության մեջ հիմք է հանդիսանում ցանկացած պատվիրված հավաքածու nգծային անկախ վեկտորներ.

3. Տիեզերական կողմնորոշում.

Թող հիմքի վեկտորները տարածության մեջ լինեն Վ3 ունեն ընդհանուր սկիզբԵվ պատվիրել է, այսինքն՝ նշվում է, թե որ վեկտորն է համարվում առաջինը, որը երկրորդը, իսկ որը՝ երրորդը։ Օրինակ՝ հիմքում վեկտորները դասավորված են ըստ ինդեքսավորման։

Դրա համար Տիեզերքը կողմնորոշվելու համար անհրաժեշտ է որոշակի հիմքեր դնել և այն հայտարարել դրական .

Կարելի է ցույց տալ, որ տարածության բոլոր հիմքերի բազմությունը բաժանվում է երկու դասի, այսինքն՝ երկու տարանջատված ենթաբազմությունների։

ա) մեկ ենթաբազմությանը (դասին) պատկանող բոլոր հիմքերն ունեն նույնըկողմնորոշում (նույն անունով հիմքեր);

բ) պատկանող ցանկացած երկու հիմք բազմազանենթաբազմություններ (դասեր), ունեն հակառակըկողմնորոշում, ( տարբեր անուններհիմքեր):

Եթե տարածության հիմքերի երկու դասերից մեկը հայտարարվում է դրական, իսկ մյուսը՝ բացասական, ապա ասում են, որ այս տարածությունը. կողմնորոշված .

Հաճախ, երբ կողմնորոշվում է տարածությունը, որոշ հիմքեր կոչվում են ճիշտ, եւ ուրիշներ - ձախ .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> կոչվում են ճիշտ, եթե երրորդ վեկտորի վերջից դիտարկելիս առաջին վեկտորի ամենակարճ պտույտը https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > իրականացվում է ժամացույցի հակառակ ուղղությամբ(նկ. 1.8, ա):

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Բրինձ. 1.8. Աջ հիմք (ա) և ձախ հիմք (բ)

Սովորաբար տարածության ճիշտ հիմքը հայտարարվում է որպես դրական հիմք

Տիեզերքի աջ (ձախ) հիմքը կարող է որոշվել նաև «աջ» («ձախ») պտուտակի կամ պտուտակի կանոնի միջոցով:

Սրա համեմատությամբ ներմուծվում է աջ և ձախ հասկացությունը եռյակներոչ համահունչ վեկտորներ, որոնք պետք է դասավորվեն (նկ. 1.8):

Այսպիսով, ընդհանուր դեպքում, ոչ համահունչ վեկտորների երկու դասավորված եռյակներ ունեն նույն կողմնորոշումը (նույն անունը) տարածության մեջ. Վ3 եթե նրանք երկուսն էլ աջ են կամ երկուսն էլ ձախ, և - հակառակ կողմնորոշումը (հակառակը), եթե նրանցից մեկը աջ է, իսկ մյուսը ձախ:

Նույնը արվում է տարածության դեպքում Վ2 (Ինքնաթիռ).

4. Վեկտորի տարրալուծում ըստ հիմքերի.

Պատճառաբանության պարզության համար եկեք դիտարկենք այս հարցը՝ օգտագործելով եռաչափ վեկտորային տարածության օրինակը. Ռ3 .

Թող https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> լինի այս տարածության կամայական վեկտորը:

n-չափ վեկտորների մասին հոդվածում մենք հասանք գծային տարածության հայեցակարգին, որը ստեղծվում է n-չափ վեկտորների բազմության կողմից: Այժմ մենք պետք է դիտարկենք ոչ պակաս կարևոր հասկացություններ, ինչպիսիք են վեկտորային տարածության չափը և հիմքը: Դրանք ուղղակիորեն կապված են վեկտորների գծային անկախ համակարգի հայեցակարգի հետ, ուստի լրացուցիչ խորհուրդ է տրվում հիշեցնել ձեզ այս թեմայի հիմունքների մասին:

Ներկայացնենք որոշ սահմանումներ.

Սահմանում 1

Վեկտորային տարածության չափը– այս տարածության մեջ գծային անկախ վեկտորների առավելագույն թվին համապատասխանող թիվ:

Սահմանում 2

Վեկտորային տարածության հիմքը– գծային անկախ վեկտորների մի շարք՝ դասավորված և թվով հավասար տարածության չափմանը:

Դիտարկենք n-վեկտորների որոշակի տարածություն: Դրա չափը համապատասխանաբար հավասար է n-ի: Վերցնենք n-միավոր վեկտորների համակարգ.

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Մենք օգտագործում ենք այս վեկտորները որպես A մատրիցի բաղադրամասեր. այն կլինի միավորի մատրից՝ n-ով n-ով չափսերով: Այս մատրիցայի աստիճանը n է: Ուստի վեկտորային համակարգը e (1) , e (2) , . . . , e(n)-ը գծային անկախ է։ Այս դեպքում անհնար է համակարգին մեկ վեկտոր ավելացնել՝ չխախտելով նրա գծային անկախությունը։

Քանի որ համակարգում վեկտորների թիվը n է, ապա n-չափ վեկտորների տարածության չափը n է, իսկ միավոր վեկտորներն են e (1), e (2), ։ . . , e (n)-ը նշված տարածության հիմքն են:

Ստացված սահմանումից կարող ենք եզրակացնել. n-չափ վեկտորների ցանկացած համակարգ, որտեղ վեկտորների թիվը n-ից փոքր է, տարածության հիմք չէ:

Եթե փոխենք առաջին և երկրորդ վեկտորները, ապա կստանանք e (2) , e (1) , , վեկտորների համակարգ։ . . , e (n) . Դա կլինի նաև n-չափ վեկտորային տարածության հիմքը։ Եկեք ստեղծենք մատրիցա՝ ստացված համակարգի վեկտորները որպես տող վերցնելով։ Մատրիցը կարելի է ձեռք բերել նույնականացման մատրիցից՝ փոխարինելով առաջին երկու տողերը, նրա վարկանիշը կլինի n։ Համակարգ e (2) , e (1) , . . . , e(n)-ը գծային անկախ է և n-չափ վեկտորային տարածության հիմքն է։

Բնօրինակ համակարգում այլ վեկտորներ վերադասավորելով՝ մենք ստանում ենք մեկ այլ հիմք։

Մենք կարող ենք վերցնել ոչ միավոր վեկտորների գծային անկախ համակարգ, և այն կներկայացնի նաև n-չափ վեկտորային տարածության հիմքը։

Սահմանում 3

n հարթություն ունեցող վեկտորային տարածությունն ունի այնքան հիմքեր, որքան կան n թվի n-չափ վեկտորների գծային անկախ համակարգեր։

Ինքնաթիռը երկչափ տարածություն է. դրա հիմքը կլինի ցանկացած երկու ոչ գծային վեկտոր: Եռաչափ տարածության հիմքը կլինի ցանկացած երեք ոչ համաչափ վեկտոր:

Դիտարկենք այս տեսության կիրառությունը՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակներ։

Օրինակ 1

Նախնական տվյալներ.վեկտորներ

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Անհրաժեշտ է որոշել, թե արդյոք նշված վեկտորները հանդիսանում են եռաչափ վեկտորային տարածության հիմքը։

Լուծում

Խնդիրը լուծելու համար ուսումնասիրում ենք գծային կախվածության վեկտորների տրված համակարգը։ Եկեք ստեղծենք մատրիցա, որտեղ տողերը վեկտորների կոորդինատներն են։ Եկեք որոշենք մատրիցայի աստիճանը:

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Հետևաբար, խնդրի պայմանով նշված վեկտորները գծային անկախ են, և դրանց թիվը հավասար է վեկտորային տարածության չափին՝ դրանք վեկտորային տարածության հիմքն են։

Պատասխան.նշված վեկտորները վեկտորային տարածության հիմքն են։

Օրինակ 2

Նախնական տվյալներ.վեկտորներ

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Անհրաժեշտ է որոշել, թե արդյոք վեկտորների նշված համակարգը կարող է լինել եռաչափ տարածության հիմքը։

Լուծում

Խնդրի հայտարարության մեջ նշված վեկտորների համակարգը գծային կախված է, քանի որ գծային անկախ վեկտորների առավելագույն թիվը 3 է։ Այսպիսով, նշված վեկտորների համակարգը չի կարող հիմք ծառայել եռաչափ վեկտորային տարածության համար։ Բայց հարկ է նշել, որ սկզբնական համակարգի ենթահամակարգը a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) հիմք է:

Պատասխան.վեկտորների նշված համակարգը հիմք չէ։

Օրինակ 3

Նախնական տվյալներ.վեկտորներ

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Կարո՞ղ են դրանք լինել քառաչափ տարածության հիմքը:

Լուծում

Տրված վեկտորների կոորդինատները որպես տող ստեղծենք մատրիցա

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Օգտագործելով Գաուսի մեթոդը, մենք որոշում ենք մատրիցայի աստիճանը.

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Հետևաբար, տրված վեկտորների համակարգը գծայինորեն անկախ է և դրանց թիվը հավասար է վեկտորային տարածության չափին. դրանք քառաչափ վեկտորային տարածության հիմքն են։

Պատասխան.տրված վեկտորները քառաչափ տարածության հիմքն են։

Օրինակ 4

Նախնական տվյալներ.վեկտորներ

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Արդյո՞ք դրանք 4-րդ հարթության տարածության հիմքն են կազմում:

Լուծում

Վեկտորների սկզբնական համակարգը գծային անկախ է, բայց դրա մեջ վեկտորների թիվը բավարար չէ քառաչափ տարածության հիմքը դառնալու համար։

Պատասխան.ոչ, նրանք չեն:

Վեկտորի տարրալուծումը հիմքի

Ենթադրենք, որ կամայական վեկտորները e (1) , e (2) , . . . , e (n) n-չափ վեկտորային տարածության հիմքն են։ Դրանց ավելացնենք որոշակի n-չափ վեկտոր x →. ստացված վեկտորների համակարգը կդառնա գծային կախված: Գծային կախվածության հատկությունները ցույց են տալիս, որ նման համակարգի վեկտորներից առնվազն մեկը կարող է գծային կերպով արտահայտվել մյուսների միջոցով: Այս պնդումը վերաձեւակերպելով՝ կարող ենք ասել, որ գծային կախված համակարգի վեկտորներից առնվազն մեկը կարող է ընդլայնվել մնացած վեկտորների մեջ։

Այսպիսով, մենք հասանք ամենակարևոր թեորեմի ձևակերպմանը.

Սահմանում 4

n-չափ վեկտորային տարածության ցանկացած վեկտոր կարող է եզակի կերպով տարրալուծվել հիմքի:

Ապացույց 1

Եկեք ապացուցենք այս թեորեմը.

դնենք n-չափ վեկտորային տարածության հիմքը՝ e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Համակարգը դարձնենք գծային կախված՝ դրան ավելացնելով n-չափ վեկտոր x →։ Այս վեկտորը կարող է գծային կերպով արտահայտվել սկզբնական վեկտորներով e.

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , որտեղ x 1 , x 2 , . . . , x n - որոշ թվեր:

Այժմ մենք ապացուցում ենք, որ նման տարրալուծումը եզակի է։ Ենթադրենք, որ դա այդպես չէ, և կա մեկ այլ նմանատիպ տարրալուծում.

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , որտեղ x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - որոշ թվեր.

Այս հավասարության ձախ և աջ կողմերից, համապատասխանաբար, հանենք x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + հավասարության ձախ և աջ կողմերը: . . + x n · e (n) . Մենք ստանում ենք.

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Հիմքի վեկտորների համակարգ e (1) , e (2) , . . . , e(n)-ը գծային անկախ է. վեկտորների համակարգի գծային անկախության սահմանմամբ վերը նշված հավասարությունը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ բոլոր գործակիցներն են (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2), . . . , (x ~ n - x n) հավասար կլինի զրոյի։ Որից արդար կլինի՝ x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n. Եվ սա ապացուցում է վեկտորը հիմքի քայքայելու միակ տարբերակը։

Այս դեպքում գործակիցները x 1, x 2, . . . , x n կոչվում են x → վեկտորի կոորդինատներ e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Ապացուցված տեսությունը պարզ է դարձնում «տրված է n-չափ վեկտոր x = (x 1, x 2, . . . , x n)» արտահայտությունը. դիտարկվում է վեկտոր x → n-չափ վեկտորային տարածություն, և դրա կոորդինատները նշված են a-ում: որոշակի հիմք. Պարզ է նաև, որ նույն վեկտորը n-չափ տարածության մեկ այլ հիմքում կունենա տարբեր կոորդինատներ։

Դիտարկենք հետևյալ օրինակը. ենթադրենք, որ n-չափ վեկտորային տարածության որոշ հիմքում տրված է n գծային անկախ վեկտորների համակարգ.

և նաև տրված է x = (x 1, x 2, . . . , x n) վեկտորը:

Վեկտորներ e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) այս դեպքում նույնպես այս վեկտորային տարածության հիմքն են։

Ենթադրենք, որ անհրաժեշտ է որոշել x → վեկտորի կոորդինատները e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , նշվում է որպես x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Վեկտոր x → կներկայացվի հետևյալ կերպ.

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Այս արտահայտությունը գրենք կոորդինատային ձևով.

(x 1, x 2, . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . e (2) 2 , ... , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1, e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + .. + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n) , ... (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Ստացված հավասարությունը համարժեք է n գծային հանրահաշվական արտահայտությունների համակարգին՝ n անհայտ գծային փոփոխականներով x ~ 1, x ~ 2, : . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 +. . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 +. . . + x ~ n e n n

Այս համակարգի մատրիցը կունենա հետևյալ ձևը.

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Թող սա լինի A մատրիցա, և դրա սյունակները վեկտորների գծային անկախ համակարգի վեկտորներ են e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Մատրիցայի աստիճանը n է, իսկ որոշիչը՝ ոչ զրոյական։ Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումների համակարգն ունի եզակի լուծում, որը որոշվում է ցանկացած հարմար մեթոդով՝ օրինակ՝ Կրամերի մեթոդով կամ մատրիցային մեթոդով։ Այս կերպ մենք կարող ենք որոշել x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n վեկտոր x → հիմքում e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Դիտարկված տեսությունը կիրառենք կոնկրետ օրինակի վրա։

Օրինակ 6

Նախնական տվյալներ.վեկտորները նշված են եռաչափ տարածության հիման վրա

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Անհրաժեշտ է հաստատել այն փաստը, որ e (1), e (2), e (3) վեկտորների համակարգը նույնպես ծառայում է որպես տվյալ տարածության հիմք, ինչպես նաև որոշել x վեկտորի կոորդինատները տվյալ հիմքում։

Լուծում

e (1), e (2), e (3) վեկտորների համակարգը կլինի եռաչափ տարածության հիմքը, եթե այն գծային անկախ է։ Այս հնարավորությունը պարզենք՝ որոշելով A մատրիցի աստիճանը, որի տողերը տրված e (1), e (2), e (3) վեկտորներն են։

Մենք օգտագործում ենք Գաուսի մեթոդը.

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3: Այսպիսով, e (1), e (2), e (3) վեկտորների համակարգը գծային անկախ է և հանդիսանում է հիմք։

Թող x → վեկտորը հիմքում ունենա x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 կոորդինատներ: Այս կոորդինատների միջև կապը որոշվում է հավասարմամբ.

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Եկեք կիրառենք արժեքները՝ ըստ խնդրի պայմանների.

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Եկեք լուծենք հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով.

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Այսպիսով, e (1), e (2), e (3) հիմքում x → վեկտորն ունի x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 կոորդինատներ:

Պատասխան. x = (1, 1, 1)

Հիմքերի միջև կապը

Ենթադրենք, որ n-չափ վեկտորային տարածության որոշ հիմքում տրված են վեկտորների երկու գծային անկախ համակարգեր.

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1), . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1), . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2), . (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Այս համակարգերը նույնպես տվյալ տարածության հիմքեր են։

Թող c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - c (1) վեկտորի կոորդինատները e (1) , e (2) , . . . , e (3), ապա կոորդինատային հարաբերությունը կտրվի գծային հավասարումների համակարգով.

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Համակարգը կարող է ներկայացվել որպես մատրիցա հետևյալ կերպ.

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1), . . . 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Եկեք նույն գրառումը կատարենք c (2) վեկտորի համար անալոգիայով.

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2), . . . 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n), . . . 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Եկեք միավորենք մատրիցային հավասարությունները մեկ արտահայտության մեջ.

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Այն կորոշի կապը երկու տարբեր հիմքերի վեկտորների միջև։

Նույն սկզբունքով հնարավոր է արտահայտել բոլոր հիմքային վեկտորները e(1), e(2), . . . , e (3) հիմքով c (1) , c (2) , . . . , գ (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Տանք հետևյալ սահմանումները.

Սահմանում 5

Մատրից c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) գ ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) անցումային մատրիցն է e (1) , e (2) , . . . , ե (3)

հիմքի վրա c (1), c (2) , . . . , գ (n) .

Սահմանում 6

Matrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) անցումային մատրիցն է c (1) , c (2) , . . . , c(n)

հիմքում e (1), e (2) , . . . , ե (3) .

Այս հավասարություններից ակնհայտ է, որ

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

դրանք. անցումային մատրիցները փոխադարձ են:

Դիտարկենք տեսությունը՝ օգտագործելով կոնկրետ օրինակ:

Օրինակ 7

Նախնական տվյալներ.անհրաժեշտ է հիմքից գտնել անցումային մատրիցը

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) գ (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Պետք է նշել նաև կամայական վեկտորի x → կոորդինատների փոխհարաբերությունը տրված հիմքերում։

Լուծում

1. Թող T լինի անցումային մատրիցը, ապա հավասարությունը կլինի ճշմարիտ.

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Բազմապատկեք հավասարության երկու կողմերը

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

և մենք ստանում ենք.

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Սահմանեք անցումային մատրիցը.

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Սահմանենք x → վեկտորի կոորդինատների հարաբերությունները.

Ենթադրենք, որ հիմքում c (1) , c (2) , . . . , c (n) վեկտոր x → ունի x 1 , x 2 , x 3 կոորդինատներ, ապա.

x = (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

իսկ հիմքում e (1) , e (2) , . . . , e (3) ունի x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 կոորդինատներ, ապա.

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Որովհետեւ Եթե այս հավասարումների ձախ կողմերը հավասար են, մենք կարող ենք հավասարեցնել նաև աջ կողմերը.

(x 1, x 2, x 3) · 1 2 1 2 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Բազմապատկեք աջ կողմի երկու կողմերը

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

և մենք ստանում ենք.

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Մյուս կողմից

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Վերջին հավասարումները ցույց են տալիս x → վեկտորի կոորդինատների հարաբերությունները երկու հիմքերում:

Պատասխան.անցումային մատրիցա

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

x → վեկտորի կոորդինատները տրված հիմքերում կապված են հարաբերությամբ.

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter