पहले अनुपात 1 3 है. अनुपात. अनुपात की गणना कैसे करें

अनुपात सूत्र

अनुपात दो अनुपातों की समानता है जब a:b=c:d

संबंध 1 : 10 अनुपात 7 के बराबर है : 70, जिसे भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है: 1 10 = 7 70 पढ़ता है: "एक से दस, जैसे सात से सत्तर"

अनुपात के मूल गुण

चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है (क्रॉसवाइज): यदि a:b=c:d , तो a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

अनुपात का व्युत्क्रम: यदि a:b=c:d तो b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

मध्य पदों की पुनर्व्यवस्था: यदि a:b=c:d तो a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

चरम पदों की पुनर्व्यवस्था: यदि a:b=c:d तो d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

एक अज्ञात के साथ अनुपात को हल करना | समीकरण

1 : 10 = एक्स : 70 या 1 10 = एक्स 70

x ज्ञात करने के लिए, आपको दो ज्ञात संख्याओं को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा और विपरीत मान से विभाजित करना होगा

एक्स = 1 ⋅ 70 10 = 7

अनुपात की गणना कैसे करें

काम:आपको प्रति 10 किलोग्राम वजन पर सक्रिय कार्बन की 1 गोली पीने की ज़रूरत है। यदि किसी व्यक्ति का वजन 70 किलोग्राम है तो आपको कितनी गोलियाँ लेनी चाहिए?

आइए एक अनुपात बनाएं: 1 टैबलेट - 10 किलो एक्सगोलियाँ - 70 किलो एक्स खोजने के लिए, आपको दो ज्ञात संख्याओं को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा और विपरीत मान से विभाजित करना होगा: 1 गोली एक्सगोलियाँ✕ 10 किग्रा 70 किग्रा एक्स = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 उत्तर: 7 गोलियाँ

काम:पाँच घंटे में वास्या ने दो लेख लिखे। वह 20 घंटे में कितने लेख लिखेगा?

आइए एक अनुपात बनाएं: 2 लेख - 5 घंटे एक्सलेख - 20 घंटे एक्स = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 उत्तर: 8 लेख

मैं भविष्य के स्कूल स्नातकों को बता सकता हूं कि अनुपात बनाने की क्षमता मेरे लिए चित्रों को आनुपातिक रूप से कम करने, इंटरनेट पेज के HTML लेआउट और रोजमर्रा की स्थितियों दोनों में उपयोगी थी।

अनुपात (गणित में) एक ही प्रकार की दो या दो से अधिक संख्याओं के बीच का संबंध है। अनुपात पूर्ण मात्रा या संपूर्ण के भागों की तुलना करते हैं। अनुपातों की गणना और लेखन अलग-अलग तरीकों से किया जाता है, लेकिन मूल सिद्धांत सभी अनुपातों के लिए समान हैं।

कदम

भाग ---- पहला

अनुपात की परिभाषा

अनुपातों का उपयोग करना.अनुपातों का उपयोग विज्ञान और विज्ञान दोनों में किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगीमूल्यों की तुलना करने के लिए. सबसे सरल रिश्ते केवल दो संख्याओं को जोड़ते हैं, लेकिन ऐसे रिश्ते भी होते हैं जो तीन या अधिक मूल्यों की तुलना करते हैं। किसी भी स्थिति में जहां एक से अधिक मात्रा मौजूद हो, एक संबंध लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, कुछ मूल्यों को जोड़कर, अनुपात यह सुझाव दे सकता है कि किसी नुस्खा में सामग्री या रासायनिक प्रतिक्रिया में पदार्थों की मात्रा कैसे बढ़ाई जाए।

1. अनुपात की परिभाषा.अनुपात एक ही प्रकार के दो (या अधिक) मानों के बीच का संबंध है। उदाहरण के लिए, यदि आपको केक बनाने के लिए 2 कप आटा और 1 कप चीनी की आवश्यकता है, तो आटे और चीनी का अनुपात 2:1 है।

   • अनुपातों का उपयोग उन मामलों में भी किया जा सकता है जहां दो मात्राएं एक-दूसरे से संबंधित नहीं हैं (जैसा कि केक उदाहरण में है)। उदाहरण के लिए, यदि किसी कक्षा में 5 लड़कियाँ और 10 लड़के हैं, तो लड़कियों का लड़कों से अनुपात 5 से 10 है। ये मान (लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या) एक दूसरे से स्वतंत्र हैं, अर्थात्, यदि कोई कक्षा छोड़ देगा या कोई नया छात्र कक्षा में आ जाएगा तो उनके मूल्य बदल जाएंगे। अनुपात केवल मात्राओं के मानों की तुलना करते हैं।

2. पर ध्यान दें विभिन्न तरीकेअनुपातों की प्रस्तुति.रिश्तों को शब्दों में या गणितीय प्रतीकों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।

   • अक्सर रिश्तों को शब्दों में व्यक्त किया जाता है (जैसा कि ऊपर दिखाया गया है)। रिश्तों का प्रतिनिधित्व करने का यह रूप विशेष रूप से विज्ञान से दूर, रोजमर्रा की जिंदगी में उपयोग किया जाता है।
   • रिश्तों को कोलन का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है। किसी अनुपात में दो संख्याओं की तुलना करते समय, आप एक एकल कोलन का उपयोग करेंगे (उदाहरण के लिए, 7:13); तीन या अधिक मानों की तुलना करते समय, संख्याओं के प्रत्येक जोड़े के बीच एक कोलन रखें (उदाहरण के लिए, 10:2:23)। हमारी कक्षा के उदाहरण में, आप लड़कियों और लड़कों के अनुपात को 5 लड़कियों: 10 लड़कों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। या इस तरह: 5:10.
   • आमतौर पर रिश्तों को स्लैश का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। कक्षा उदाहरण में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 5/10। फिर भी, यह भिन्न नहीं है और ऐसे अनुपात को भिन्न के रूप में नहीं पढ़ा जाता है; इसके अलावा, याद रखें कि अनुपात में, संख्याएँ संपूर्ण के भाग का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं।

   भाग 2

   अनुपातों का उपयोग करना

   1. अनुपात को सरल कीजिये.अनुपात के प्रत्येक पद (संख्या) को विभाजित करके अनुपात को सरल बनाया जा सकता है (अंशों के समान)। हालाँकि, मूल अनुपात मानों को नज़रअंदाज़ न करें।

      • हमारे उदाहरण में, कक्षा में 5 लड़कियाँ और 10 लड़के हैं; अनुपात 5:10 है. विशालतम सामान्य भाजकअनुपात की शर्तें 5 के बराबर हैं (क्योंकि 5 और 10 दोनों 5 से विभाज्य हैं)। 1 लड़की और 2 लड़कों (या 1:2) का अनुपात प्राप्त करने के लिए प्रत्येक अनुपात संख्या को 5 से विभाजित करें। हालाँकि, अनुपात को सरल बनाते समय मूल मूल्यों को ध्यान में रखें। हमारे उदाहरण में, कक्षा में 3 नहीं, बल्कि 15 छात्र हैं। एक सरलीकृत अनुपात लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या की तुलना करता है। अर्थात्, प्रत्येक लड़की के लिए 2 लड़के हैं, लेकिन कक्षा में 2 लड़के और 1 लड़की नहीं हैं।
      • कुछ रिश्तों को सरल नहीं बनाया जा सकता. उदाहरण के लिए, अनुपात 3:56 सरल नहीं है क्योंकि इन संख्याओं में कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है (3 एक अभाज्य संख्या है, और 56, 3 से विभाज्य नहीं है)।

   2. किसी अनुपात को बढ़ाने या घटाने के लिए गुणा या भाग का उपयोग करें।सामान्य समस्याओं में दो मानों को बढ़ाना या घटाना शामिल होता है जो एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। यदि आपको एक अनुपात दिया गया है और आपको संबंधित बड़ा या छोटा अनुपात खोजने की आवश्यकता है, तो मूल अनुपात को किसी दिए गए संख्या से गुणा या विभाजित करें।

      • उदाहरण के लिए, एक बेकर को रेसिपी में दी गई सामग्री की मात्रा को तीन गुना करने की आवश्यकता होती है। यदि किसी रेसिपी में आटा और चीनी का अनुपात 2 से 1 (2:1) की आवश्यकता है, तो बेकर 6:3 (6 कप आटा और 3 कप चीनी) का अनुपात प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पद को 3 से गुणा करेगा।
      • दूसरी ओर, यदि बेकर को किसी रेसिपी में दी गई सामग्री की मात्रा आधी करने की आवश्यकता है, तो बेकर अनुपात के प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करेगा और 1:½ का अनुपात प्राप्त करेगा (1 कप आटा और 1/2 कप चीनी ).

   3. दो समतुल्य अनुपात दिए जाने पर अज्ञात मान ज्ञात करना।यह एक ऐसी समस्या है जिसमें आपको दूसरे संबंध का उपयोग करके एक संबंध में एक अज्ञात चर ढूंढना होगा जो पहले के बराबर है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग करें। प्रत्येक अनुपात को एक उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में लिखें, उनके बीच एक समान चिह्न लगाएं और उनके पदों को क्रॉसवाइज गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, छात्रों का एक समूह दिया गया है जिसमें 2 लड़के और 5 लड़कियाँ हैं। यदि लड़कियों की संख्या बढ़ाकर 20 कर दी जाए (अनुपात वही रहे) तो लड़कों की संख्या क्या होगी? सबसे पहले, दो अनुपात लिखिए - 2 लड़के: 5 लड़कियाँ और एक्सलड़के: 20 लड़कियाँ। अब इन अनुपातों को भिन्नों के रूप में लिखें: 2/5 और x/20। भिन्नों के पदों को आड़े-तिरछे गुणा करें और 5x = 40 प्राप्त करें; इसलिए x = 40/5 = 8.

   भाग 3

   सामान्य गलतियां

   1. अनुपात शब्द समस्याओं में जोड़ और घटाव से बचें।कई शब्द समस्याएं कुछ इस तरह दिखती हैं: “नुस्खे में 4 आलू कंद और 5 गाजर की जड़ों की आवश्यकता होती है। यदि आप 8 आलू जोड़ना चाहते हैं, तो अनुपात समान रखने के लिए आपको कितनी गाजर की आवश्यकता होगी? इस तरह की समस्याओं को हल करते समय, छात्र अक्सर मूल संख्या में समान संख्या में सामग्री जोड़ने की गलती करते हैं। हालाँकि, अनुपात बनाए रखने के लिए, आपको गुणन का उपयोग करने की आवश्यकता है। यहां सही और गलत समाधानों के उदाहरण दिए गए हैं:

      • ग़लत: “8 - 4 = 4 - इसलिए हमने 4 आलू कंद जोड़े। इसका मतलब है कि आपको 5 गाजर की जड़ें लेनी होंगी और उनमें 4 और मिलानी होंगी... रुकें! अनुपातों की गणना इस प्रकार नहीं की जाती. यह फिर से प्रयास करने लायक है।"
      • सही: "8 ÷ 4 = 2 - जिसका अर्थ है कि हमने आलू की मात्रा को 2 से गुणा किया है। तदनुसार, 5 गाजर की जड़ों को भी 2 से गुणा करने की आवश्यकता है। 5 x 2 = 10 - आपको नुस्खा में 10 गाजर की जड़ों को जोड़ने की आवश्यकता है। ”
      प्रत्येक मान के बाद माप की इकाइयाँ लिखें। शब्द समस्याओं में, यदि आप प्रत्येक मान के बाद माप की इकाइयाँ लिखते हैं तो त्रुटियों को पहचानना बहुत आसान हो जाता है। याद रखें कि अंश और हर में समान इकाइयों वाली मात्राएँ रद्द हो जाती हैं। अभिव्यक्ति को छोटा करने से आपको सही उत्तर मिल जाएगा।
      • उदाहरण: 6 डिब्बे दिए गए हैं, हर तीसरे डिब्बे में 9 गेंदें हैं। कुल कितनी गेंदें हैं?
      • गलत: 6 डिब्बे x 3 डिब्बे/9 गेंदें =... रुकिए, आप कुछ भी नहीं काट सकते। उत्तर होगा "बक्से x बक्से/गेंदें।" इसका कोई मतलब नहीं है.
      • सही: 6 बक्से x 9 गेंदें/3 बक्से = 6 बक्से * 3 गेंदें/1 बक्सा = 6 बक्से * 3 गेंदें/1 बक्सा = 6 * 3 गेंदें/1 = 18 गेंदें।

गणित की अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए हाई स्कूलअनुपात बनाने का ज्ञान आवश्यक है। यह सरल कौशल आपको न केवल पाठ्यपुस्तक से जटिल अभ्यास करने में मदद करेगा, बल्कि गणितीय विज्ञान के सार को भी समझने में मदद करेगा। अनुपात कैसे बनाएं? आइए अब इसका पता लगाएं।

सबसे सरल उदाहरणएक समस्या है जहां तीन पैरामीटर ज्ञात हैं, और चौथे को खोजने की जरूरत है। बेशक, अनुपात अलग-अलग हैं, लेकिन अक्सर आपको प्रतिशत का उपयोग करके कुछ संख्या खोजने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, लड़के के पास कुल दस सेब थे। उसने चौथा भाग अपनी माँ को दे दिया। लड़के के पास कितने सेब बचे हैं? यह सबसे सरल उदाहरण है जो आपको अनुपात बनाने की अनुमति देगा। मुख्य बात यह करना है. प्रारंभ में दस सेब थे। इसे 100% होने दें। हमने उसके सभी सेबों को चिह्नित किया। उसने एक चौथाई दे दिया. 1/4=25/100. इसका मतलब है कि उसने छोड़ दिया है: 100% (यह मूल रूप से था) - 25% (उसने दिया) = 75%। यह आंकड़ा प्रारंभ में उपलब्ध मात्रा की तुलना में शेष फल की मात्रा का प्रतिशत दर्शाता है। अब हमारे पास तीन संख्याएँ हैं जिनके द्वारा हम पहले से ही अनुपात को हल कर सकते हैं। 10 सेब - 100%, एक्ससेब - 75%, जहां x फल की आवश्यक मात्रा है। अनुपात कैसे बनाएं? आपको यह समझने की आवश्यकता है कि यह क्या है। गणितीय रूप से यह इस तरह दिखता है। आपकी समझ के लिए बराबर का चिन्ह लगाया गया है।

10 सेब = 100%;

x सेब = 75%।

यह पता चला कि 10/x = 100%/75। यह अनुपात का मुख्य गुण है। आख़िरकार, x जितना बड़ा होगा, मूल से इस संख्या का प्रतिशत उतना ही अधिक होगा। हम इस अनुपात को हल करते हैं और पाते हैं कि x = 7.5 सेब। हमें नहीं पता कि लड़के ने आंशिक राशि देने का फैसला क्यों किया। अब आप जानते हैं कि अनुपात कैसे बनाया जाता है। मुख्य बात दो रिश्तों को ढूंढना है, जिनमें से एक में अज्ञात अज्ञात शामिल है।

किसी अनुपात को हल करने पर अक्सर साधारण गुणन और फिर भाग करना पड़ता है। स्कूल बच्चों को यह नहीं समझाते कि ऐसा क्यों है। यद्यपि यह समझना महत्वपूर्ण है कि आनुपातिक संबंध गणितीय क्लासिक्स हैं, विज्ञान का सार हैं। अनुपातों को हल करने के लिए, आपको भिन्नों को संभालने में सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आपको अक्सर प्रतिशत को भिन्न में बदलने की आवश्यकता होती है। यानी 95% रिकॉर्डिंग से काम नहीं चलेगा. और यदि आप तुरंत 95/100 लिखते हैं, तो आप मुख्य गणना शुरू किए बिना महत्वपूर्ण कटौती कर सकते हैं। यह तुरंत कहने लायक है कि यदि आपका अनुपात दो अज्ञात के साथ हो जाता है, तो इसे हल नहीं किया जा सकता है। यहां कोई प्रोफेसर आपकी मदद नहीं करेगा. और आपके कार्य में सही कार्यों के लिए अधिक जटिल एल्गोरिदम होने की संभावना है।

आइए एक और उदाहरण देखें जहां कोई प्रतिशत नहीं है। एक मोटर यात्री ने 150 रूबल में 5 लीटर गैसोलीन खरीदा। उसने सोचा कि वह 30 लीटर ईंधन के लिए कितना भुगतान करेगा। इस समस्या को हल करने के लिए, आइए आवश्यक धनराशि को x से निरूपित करें। आप इस समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं और फिर उत्तर की जांच कर सकते हैं। यदि आप अभी तक नहीं समझ पाए हैं कि अनुपात कैसे बनाया जाता है, तो एक बार देख लें। 5 लीटर गैसोलीन की कीमत 150 रूबल है। पहले उदाहरण की तरह, हम 5l - 150r लिखते हैं। अब तीसरा नंबर ढूंढते हैं. बेशक, यह 30 लीटर है। सहमत हूं कि 30 एल-एक्स रूबल की एक जोड़ी इस स्थिति में उपयुक्त है। चलिए गणितीय भाषा की ओर बढ़ते हैं।

5 लीटर - 150 रूबल;

30 लीटर - x रूबल;

आइए इस अनुपात को हल करें:

एक्स = 900 रूबल।

तो हमने फैसला किया. अपने कार्य में उत्तर की पर्याप्तता की जाँच करना न भूलें। ऐसा होता है कि गलत निर्णय के साथ, कारें 5000 किलोमीटर प्रति घंटे की अवास्तविक गति तक पहुंच जाती हैं, इत्यादि। अब आप जानते हैं कि अनुपात कैसे बनाया जाता है। आप भी इसका समाधान कर सकते हैं. जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है।

आधारगणितीय शोध कुछ मात्राओं की अन्य मात्राओं से तुलना करके उनके बारे में ज्ञान प्राप्त करने की क्षमता है बराबर, या अधिकया कमउनसे भी जो शोध का विषय हैं। यह आमतौर पर एक श्रृंखला का उपयोग करके किया जाता है समीकरणऔर अनुपात. जब हम समीकरणों का उपयोग करते हैं, तो हम जिस मात्रा की तलाश कर रहे हैं उसे ढूंढकर निर्धारित करते हैं समानताकिसी अन्य पहले से ही परिचित मात्रा या मात्रा के साथ।

हालाँकि, अक्सर ऐसा होता है कि हम किसी अज्ञात मात्रा की तुलना दूसरों से करते हैं सम नहीउसे, लेकिन उससे कम या ज़्यादा। इसके लिए डेटा प्रोसेसिंग के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हमें यह जानने की आवश्यकता हो सकती है, उदाहरण के लिए, कितनी देर के लिएएक मात्रा दूसरे से अधिक है, या कितनी बारएक में दूसरा शामिल है. इन सवालों का जवाब ढूंढने के लिए हम जानेंगे कि ये क्या है अनुपातदो आकार. एक अनुपात कहा जाता है अंकगणित, और दूसरा ज्यामितिक. हालाँकि यह ध्यान देने योग्य है कि इन दोनों शर्तों को संयोग से या केवल विशिष्टता के उद्देश्य से नहीं अपनाया गया था। अंकगणित और ज्यामितीय दोनों संबंध अंकगणित और ज्यामिति दोनों पर लागू होते हैं।

एक व्यापक और महत्वपूर्ण विषय के एक घटक के रूप में, अनुपात अनुपात पर निर्भर करता है, इसलिए इन अवधारणाओं की स्पष्ट और पूर्ण समझ आवश्यक है।

338. अंकगणित संबंध यह अंतरदो मात्राओं या मात्राओं की श्रृंखला के बीच. मात्राएँ स्वयं कहलाती हैं सदस्योंरिश्ते, यानी वे शब्द जिनके बीच कोई रिश्ता होता है। इस प्रकार, 2, 5 और 3 का अंकगणितीय अनुपात है। इसे दो मानों, यानी 5 - 3 के बीच ऋण चिह्न लगाकर व्यक्त किया जाता है। बेशक, अंकगणितीय अनुपात शब्द और इसका बिंदु दर बिंदु विवरण व्यावहारिक रूप से बेकार है, क्योंकि केवल एक शब्द बदल दिया गया है अंतरअभिव्यक्ति में ऋण चिह्न द्वारा.

339. यदि अंकगणितीय संबंध के दोनों पद गुणाया विभाजित करनातो फिर उसी राशि से अनुपात,अंततः इस राशि से गुणा या भाग दिया जाएगा।
इस प्रकार, यदि हमारे पास a - b = r है
फिर दोनों पक्षों को h, (Ax. 3.) ha - hb = hr से गुणा करें
और h से विभाजित करना, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. यदि किसी अंकगणितीय संबंध के पदों को दूसरे के संगत पदों में जोड़ा या घटाया जाए, तो योग या अंतर का अनुपात दोनों अनुपातों के योग या अंतर के बराबर होगा।
यदि ए - बी
और डी - एच,
दो रिश्ते हैं,
फिर (ए + डी) - (बी + एच) = (ए - बी) + (डी - एच)। जो प्रत्येक स्थिति में = a + d - b - h.
और (ए - डी) - (बी - एच) = (ए - बी) - (डी - एच)। जो प्रत्येक स्थिति में = a - d - b + h.
इस प्रकार अंकगणितीय अनुपात 11 - 4, 7 के बराबर है
और अंकगणितीय संबंध 5 - 2 3 है
पदों 16 - 6 के योग का अनुपात 10 है, - अनुपातों का योग।
पदों 6 - 2 के अंतर का अनुपात 4 है, - अनुपातों का अंतर।

341. ज्यामितीय अनुपात - मात्राओं के बीच का संबंध है, जिसे व्यक्त किया जाता है निजी, यदि एक मात्रा को दूसरे से विभाजित किया जाता है।
इस प्रकार, 8 से 4 का अनुपात 8/4 या 2 के रूप में लिखा जा सकता है। यानी, 8 के भागफल को 4 से विभाजित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, यह दर्शाता है कि 8 में 4 कितनी बार समाहित है।

उसी तरह, किसी भी मात्रा का दूसरे से अनुपात निर्धारित किया जा सकता है, पहले को दूसरे से विभाजित करके या, जो, सिद्धांत रूप में, एक ही बात है, पहले को भिन्न का अंश और दूसरे को हर बनाकर निर्धारित किया जा सकता है।
तो a से b का अनुपात $\frac(a)(b)$ है
d + h से b + c का अनुपात $\frac(d+h)(b+c)$ है।

342. तुलना की जा रही मात्राओं के बीच दो बिंदुओं को एक के ऊपर एक रखकर एक ज्यामितीय संबंध भी लिखा जाता है।
इस प्रकार a:b, a से b का अनुपात है, और 12:4, 12 से 4 का अनुपात है। दोनों मात्राएँ मिलकर बनती हैं एक जोड़ी, जिसमें पहला पद कहलाता है पूर्वपद, और एक पिछे - अहम.

343. बिंदीदार रूप में यह अंकन और भिन्नात्मक रूप में दूसरा अंकन आवश्यकतानुसार विनिमेय हैं, पूर्ववर्ती भिन्न का अंश बन जाता है और परिणामी हर।
तो 10:5, $\frac(10)(5)$ के समान है और b:d, $\frac(b)(d)$ के समान है।

344. यदि पूर्ववर्ती, परिणामी और अनुपात इन तीन अर्थों में से कोई भी दिया गया हो दो, तो तीसरा पाया जा सकता है।

माना a= पूर्ववर्ती, c= परिणामी, r= अनुपात।
परिभाषा के अनुसार, $r=\frac(a)(c)$, यानी, अनुपात पूर्ववर्ती से विभाजित परिणाम के बराबर है।
C से गुणा करने पर, a = cr, अर्थात पूर्ववर्ती परिणामी गुणे के अनुपात के बराबर होता है।
आइए r से विभाजित करें, $c=\frac(a)(r)$, अर्थात, परिणाम अनुपात द्वारा विभाजित पूर्ववर्ती के बराबर है।

सम्मान. 1. यदि दो जोड़ियों के पूर्ववृत्त और परिणाम समान हों, तो उनका अनुपात भी समान होता है।

सम्मान. 2. यदि दो जोड़ियों में समान अनुपात और पूर्ववृत्त हैं, तो परिणाम समान हैं, और यदि अनुपात और परिणाम समान हैं, तो पूर्ववृत्त समान हैं।

345. यदि दो मात्राओं की तुलना की जा रही है बराबर, तो उनका अनुपात एक या समानता अनुपात के बराबर है। अनुपात 3*6:18 एक के बराबर है, क्योंकि किसी भी मात्रा का भागफल स्वयं से विभाजित करने पर 1 के बराबर होता है।

यदि जोड़ी का पूर्ववृत्त अधिक,परिणामी से, तो अनुपात एक से अधिक है। चूँकि लाभांश भाजक से बड़ा है, भागफल एक से बड़ा है। अतः अनुपात 18:6 3 है। इसे अनुपात कहा जाता है अधिक असमानता.

दूसरी ओर, यदि पूर्ववृत्त कमपरिणामी से, तो अनुपात इकाई से कम है और इसे अनुपात कहा जाता है कम असमानता. अतः अनुपात 2:3 एक से कम है क्योंकि लाभांश भाजक से कम है।

346. रिवर्सअनुपात दो व्युत्क्रमों का अनुपात है।
अत: व्युत्क्रम अनुपात 6 से 3 है, अर्थात्:।
a से b का सीधा संबंध $\frac(a)(b)$ है, अर्थात पूर्ववर्ती को परिणामी से विभाजित किया जाता है।
उलटा संबंध $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ या $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) है (ए)$.
अर्थात्, परिणामी b को पूर्ववर्ती a से विभाजित किया जाता है।

अत: व्युत्क्रम संबंध व्यक्त किया जाता है भिन्न को उल्टा करके, जो सीधा संबंध प्रदर्शित करता है, या, जब रिकॉर्डिंग बिंदुओं का उपयोग करके की जाती है, सदस्यों को लिखने के क्रम को उलटना.
इस प्रकार a, b से ठीक उसी तरह विपरीत है जैसे b, a से है।

347. जटिल अनुपातयह अनुपात है काम करता हैदो या दो से अधिक सरल संबंधों वाले संगत पद।
तो अनुपात 6:3 है, 2 के बराबर
और अनुपात 12:4 3 के बराबर है
इनसे बना अनुपात 72:12 = 6 है.

यहां दो पूर्ववृत्तों और साधारण संबंधों के दो परिणामों को गुणा करने पर एक जटिल संबंध प्राप्त होता है।
तो अनुपात निकाला जाता है
अनुपात a:b से
और सी:डी अनुपात
और h:y अनुपात
यह संबंध $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$ है।
जटिल रिश्ता भी इससे अलग नहीं है प्रकृतिकिसी अन्य अनुपात से. इस शब्द का प्रयोग कुछ मामलों में किसी रिश्ते की उत्पत्ति को दर्शाने के लिए किया जाता है।

सम्मान. एक सम्मिश्र अनुपात सरल अनुपातों के गुणनफल के बराबर होता है।
अनुपात a:b $\frac(a)(b)$ के बराबर है
अनुपात c:d $\frac(c)(d)$ के बराबर है
अनुपात h:y $\frac(h)(y)$ के बराबर है
और इन तीनों से जोड़ा गया अनुपात ach/bdy होगा, जो कि सरल अनुपातों को व्यक्त करने वाले भिन्नों का गुणनफल है।

348. यदि प्रत्येक पिछली जोड़ी में संबंधों के क्रम में परिणामी अगली जोड़ी में पूर्ववर्ती है, तो प्रथम पूर्ववर्ती और अंतिम परिणामी का अनुपात मध्यवर्ती अनुपात से प्राप्त अनुपात के बराबर है।
तो कई अनुपात में
ए:बी
बी:सी
सी:डी
डी:एच
अनुपात a:h, अनुपात a:b, और b:c, और c:d, और d:h से जोड़े गए अनुपात के बराबर है। तो अंतिम लेख में जटिल अनुपात $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, या a:h है।

इसी तरह, सभी मात्राएँ जो पूर्ववर्ती और परिणामी दोनों हैं गायब हो जाएगा, जब भिन्नों के गुणनफल को उसके निचले पदों तक सरलीकृत किया जाएगा और जटिल संबंध का शेष भाग पहले पूर्ववर्ती और अंतिम परिणामी द्वारा व्यक्त किया जाएगा।

349. किसी साधारण संबंध को इससे गुणा करने पर जटिल संबंधों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है अपने आप कोया दूसरे को बराबरअनुपात। ये रिश्ते कहलाते हैं दोहरा, ट्रिपल, चौगुनी, और इसी तरह, गुणन संक्रियाओं की संख्या के अनुसार।

एक अनुपात से बना है दोसमान अनुपात, अर्थात्, वर्ग दोहराअनुपात।

की रचना तीन, वह है, घनक्षेत्रसरल संबंध कहलाता है ट्रिपल, और इसी तरह।

समान अनुपात वर्गमूलदो मात्राओं को अनुपात कहा जाता है वर्गमूल, और अनुपात घन जड़ें- अनुपात क्युब जड़, और इसी तरह।
तो a से b का सरल अनुपात a:b है
ए से बी का दोहरा अनुपात 2:बी 2 है
ए से बी का त्रिगुण अनुपात 3:बी 3 है
a और b के वर्गमूल का अनुपात √a :√b है
a और b के घनमूल का अनुपात 3 √a : 3 √b है, इत्यादि।
शर्तें दोहरा, ट्रिपल, इत्यादि को मिश्रित करने की आवश्यकता नहीं है दोगुनी, तीन गुना, और इसी तरह।
6 से 2 का अनुपात 6:2 = 3 है
हम इस अनुपात को दोगुना करते हैं, यानी अनुपात को दोगुना करते हैं, तो हमें 12:2 = 6 मिलता है
इस अनुपात को तिगुना करने पर, अर्थात् इस अनुपात को तीन गुना करने पर, हमें 18:2 = 9 प्राप्त होता है
ए दोहराअनुपात, अर्थात् वर्गअनुपात 6 2:2 2 = 9 के बराबर है
और ट्रिपलअनुपात, अर्थात अनुपात का घन, 6 3:2 3 = 27 है

350. मात्राओं को एक-दूसरे से सहसंबंधित करने के लिए, उन्हें एक ही प्रकार का होना चाहिए, ताकि कोई आत्मविश्वास से कह सके कि वे एक-दूसरे के बराबर हैं, या उनमें से एक बड़ा या छोटा है। एक फुट एक इंच के बराबर होता है जैसे 12 से 1 होता है: यह एक इंच से 12 गुना बड़ा होता है। लेकिन, उदाहरण के लिए, कोई यह नहीं कह सकता कि एक घंटा एक छड़ी से अधिक लंबा या छोटा है, या एक एकड़ एक डिग्री से अधिक या कम है। हालाँकि, यदि इन मात्राओं को व्यक्त किया जाता है नंबर, तो इन संख्याओं के बीच कोई संबंध हो सकता है। यानी एक घंटे में मिनटों की संख्या और एक मील में कदमों की संख्या के बीच संबंध हो सकता है।

351. की ओर मुड़ना प्रकृतिअनुपात, अगले चरण में हमें उस तरीके को ध्यान में रखना होगा जिसमें एक या दो पदों में परिवर्तन, जिनकी एक दूसरे के साथ तुलना की जाती है, अनुपात को प्रभावित करेगा। याद रखें कि सीधा संबंध भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्ववर्तीजोड़े हमेशा ऐसे ही होते हैं मीटर, ए फलस्वरूप - भाजक. तब भिन्नों के गुणधर्म से यह प्राप्त करना आसान होगा कि तुलनात्मक मात्राओं में परिवर्तन करने से अनुपात में परिवर्तन होता है। दोनों मात्राओं का अनुपात समान है अर्थभिन्न, जिनमें से प्रत्येक प्रतिनिधित्व करता है निजी: अंश को हर से विभाजित किया जाता है। (कला. 341.) अब यह दिखाया गया है कि भिन्न के अंश को किसी भी मान से गुणा करना गुणा करने के समान है अर्थसमान राशि से और अंश को विभाजित करना किसी भिन्न के मान को विभाजित करने के समान है। इसीलिए,

352. किसी जोड़े के पूर्ववृत्त को किसी भी मान से गुणा करने का अर्थ है अनुपात को इस मान से गुणा करना, और पूर्ववृत्त को विभाजित करने का अर्थ है इस अनुपात को विभाजित करना.
इस प्रकार अनुपात 6:2 3 के बराबर है
और 24:2 का अनुपात 12 है.
यहां अंतिम जोड़ी में पूर्ववृत्त और अनुपात पहले की तुलना में 4 गुना अधिक है।
अनुपात a:b $\frac(a)(b)$ के बराबर है
और अनुपात na:b $\frac(na)(b)$ के बराबर है।

सम्मान. एक ज्ञात परिणाम को देखते हुए, और भी अधिक पूर्वपद, अधिक अनुपात, और, इसके विपरीत, अनुपात जितना बड़ा होगा, पूर्ववृत्त उतना ही बड़ा होगा।

353. किसी जोड़ी के परिणाम को किसी भी मान से गुणा करके, परिणाम को इस मान से अनुपात को विभाजित किया जाता है, और परिणाम को विभाजित करके, हम अनुपात को गुणा करते हैं।भिन्न के हर को गुणा करके हम मान को विभाजित करते हैं, और हर को विभाजित करने पर मान को गुणा किया जाता है।
अतः 12:2 का अनुपात 6 है
और 12:4 का अनुपात 3 है.
यहाँ दूसरी जोड़ी का परिणाम है दो बारअधिक, और अनुपात दो बारपहले से कम.
अनुपात a:b $\frac(a)(b)$ के बराबर है
और अनुपात a:nb $\frac(a)(nb)$ के बराबर है।

सम्मान. किसी पूर्ववर्ती को देखते हुए, परिणाम जितना बड़ा होगा, अनुपात उतना ही छोटा होगा। इसके विपरीत, अनुपात जितना बड़ा होगा, परिणाम उतना ही छोटा होगा।

354. पिछले दो लेखों से यह निष्कर्ष निकलता है पूर्ववृत्त का गुणनकिसी भी राशि के जोड़े का अनुपात पर समान प्रभाव पड़ेगा परिणामी विभाजनइस राशि से, और पूर्ववृत्त का विभाजन, जैसा ही प्रभाव पड़ेगा परिणाम का गुणन.
इसलिए अनुपात 8:4, 2 के बराबर है
पूर्ववर्ती को 2 से गुणा करने पर 16:4 का अनुपात 4 होता है
पूर्ववृत्त को 2 से विभाजित करने पर 8:2 का अनुपात 4 होता है।

सम्मान. कोई कारकया डिवाइडररिश्ते को बदले बिना किसी जोड़े के पूर्ववर्ती से परिणामी या परिणामी से पूर्ववर्ती में स्थानांतरित किया जा सकता है।

ध्यान देने योग्य बात यह है कि जब किसी गुणनखंड को इस प्रकार एक पद से दूसरे पद में स्थानांतरित किया जाता है, तो वह भाजक बन जाता है, और स्थानांतरित भाजक गुणक बन जाता है।
तो अनुपात 3.6:9 = 2 है
कारक 3 को आगे बढ़ाते हुए, $6:\frac(9)(3)=2$
वही अनुपात.

संबंध $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
y $ma:by=\frac(ma)(by)$ को आगे बढ़ाना
चलती हुई m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. जैसा कि लेखों से स्पष्ट है। 352 और 353, यदि पूर्ववर्ती और परिणामी दोनों को एक ही राशि से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो अनुपात नहीं बदलता है.

सम्मान. 1. दोनों का अनुपात अंशों, जिनका एक उभयनिष्ठ हर है, जो उनके अनुपात के समान है अंश.
तो अनुपात a/n:b/n a:b के समान है।

सम्मान. 2. प्रत्यक्षदो भिन्नों का अनुपात, जिनका अंश एक ही होता है, उनके अनुपात के व्युत्क्रम के बराबर होता है हरों.

356. लेख से किन्हीं दो भिन्नों का अनुपात ज्ञात करना आसान है। यदि प्रत्येक पद को दो हरों से गुणा किया जाए, तो अनुपात अभिन्न व्यंजकों द्वारा दिया जाएगा। इस प्रकार, जोड़ी के पदों a/b:c/d को bd से गुणा करने पर, हमें $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$ प्राप्त होता है, जिसे घटाने पर ad:bc बन जाता है। अंश और हर से कुल मान.

356. बी. अनुपात अधिक असमानता बढ़ती हैउसका
मान लीजिए कि अधिक असमानता का अनुपात 1+n:1 है
और कोई भी अनुपात पसंद है ए:बी
जटिल अनुपात होगा (अनुच्छेद 347,) a + na:b
जो अनुपात a:b (अनुच्छेद 351 सम्मान) से अधिक है
लेकिन अनुपात कम असमानता, एक अलग अनुपात के साथ मुड़ा हुआ, कम कर देता हैउसका।
माना कि छोटे अंतर का अनुपात 1-n:1 है
कोई भी दिया गया अनुपात ए:बी
जटिल अनुपात ए - ना:बी
जो a:b से कम है।

357. यदि किसी जोड़ी के सदस्यों को या उनसेजोड़ना या दो अन्य मात्राएँ घटाएँ जो समान अनुपात में हैं, तो योग या शेषफल का अनुपात समान होगा.
माना अनुपात a:b है
यह c:d जैसा ही होगा
फिर अनुपात मात्रापरिणामों के योग के पूर्ववृत्त, अर्थात्, a + c से b + d, भी समान हैं।
अर्थात्, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

सबूत।

1. धारणा के अनुसार, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. b और d से गुणा करें, ad = bc
3. दोनों तरफ सीडी जोड़ें, विज्ञापन + सीडी = बीसी + सीडी
4. d से विभाजित करें, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. b + d से विभाजित करें, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

अनुपात मतभेदपरिणामों में अंतर के पूर्ववृत्त भी समान हैं।

358. यदि कई जोड़ियों में अनुपात बराबर हों, तो सभी पूर्ववृत्तों का योग सभी परिणामों के योग से संबंधित होता है, जैसे कोई भी पूर्ववृत्त अपने परिणाम से संबंधित होता है।
तो अनुपात
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
इस प्रकार अनुपात (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2।

358. बी. अनुपात अधिक असमानताकम हो जाती है, जोड़ना समान राशिदोनों सदस्यों को.
माना दिया गया अनुपात a+b:a या $\frac(a+b)(a)$ है
दोनों पदों में x जोड़ने पर हमें a+b+x:a+x या $\frac(a+b)(a)$ मिलता है।

पहला $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$ बन जाता है
और आखिरी वाला $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$ है।
चूँकि अंतिम अंश स्पष्ट रूप से दूसरे से छोटा है अनुपातकम होना चाहिए. (अनुच्छेद 351 सम्मान)

लेकिन अनुपात कम असमानता बढ़ती है, दोनों पदों में समान राशि जोड़ना।
माना कि दिया गया अनुपात (a-b):a, या $\frac(a-b)(a)$ है।
दोनों पदों में x जोड़ने पर, यह (a-b+x):(a+x) या $\frac(a-b+x)(a+x)$ बन जाता है
उन्हें एक आम विभाजक में लाना,
पहला $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$ बन जाता है
और आखिरी वाला, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

चूँकि अंतिम अंश दूसरे से बड़ा है, तो अनुपातअधिक।
यदि इसके बजाय समान मान जोड़ें ले लेनादो पदों से, तो यह स्पष्ट है कि अनुपात पर प्रभाव विपरीत होगा।

उदाहरण।

1. कौन सा बड़ा है: 11:9 अनुपात या 44:35 अनुपात?

2. कौन सा बड़ा है: अनुपात $(a+3):\frac(a)(6)$, या अनुपात $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. यदि किसी जोड़े का पूर्ववृत्त 65 है और अनुपात 13 है, तो परिणाम क्या है?

4. यदि किसी जोड़ी का परिणाम 7 है और अनुपात 18 है, तो पूर्ववर्ती क्या है?

5. 8:7, और 2a:5b, साथ ही (7x+1):(3y-2) से बना एक जटिल अनुपात कैसा दिखता है?

6. (x+y):b, और (x-y):(a + b), साथ ही (a+b):h से बना एक जटिल संबंध कैसा दिखता है? प्रतिनिधि. (एक्स 2 - वाई 2):बीएच।

7. यदि संबंध (5x+7):(2x-3), और $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ एक जटिल संबंध बनाते हैं, तो कौन सा संबंध है प्राप्त होगा: कम या ज्यादा असमानता? प्रतिनिधि. अधिक असमानता का अनुपात.

8. (x + y):a और (x - y):b, और $b:\frac(x^2-y^2)(a)$ से बना अनुपात क्या है? प्रतिनिधि. समानता का संबंध.

9. 7:5 का अनुपात क्या है, अनुपात 4:9 का दोगुना और अनुपात 3:2 का तिगुना क्या है?
प्रतिनिधि. 14:15.

10. 3:7 से बना अनुपात क्या है, और x:y अनुपात को तिगुना करें, और अनुपात का मूल 49:9 लें?
प्रतिनिधि. x 3:y 3 .

संबंध हमारी दुनिया की संस्थाओं के बीच एक निश्चित संबंध है। ये संख्याएँ, भौतिक मात्राएँ, वस्तुएँ, उत्पाद, घटनाएँ, क्रियाएँ और यहाँ तक कि लोग भी हो सकते हैं।

रोजमर्रा की जिंदगी में, जब अनुपात की बात आती है, तो हम कहते हैं "इसके और उसके बीच का संबंध". उदाहरण के लिए, यदि एक फूलदान में 4 सेब और 2 नाशपाती हैं, तो हम कहते हैं "सेब से नाशपाती का अनुपात" "नाशपाती और सेब का अनुपात".

गणित में, अनुपात का प्रयोग अक्सर इस रूप में किया जाता है "अमुक का अमुक के प्रति रवैया". उदाहरण के लिए, चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात, जिसे हमने ऊपर माना है, गणित में इस प्रकार पढ़ा जाएगा "चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात"या यदि आप सेब और नाशपाती की अदला-बदली करते हैं, तो "दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात".

अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है एको बी(कहाँ के बजाय एऔर बीकोई भी संख्या), लेकिन अधिक बार आप एक ऐसी प्रविष्टि पा सकते हैं जो कोलन का उपयोग करके बनाई गई है ए:बी. आप इस पोस्ट को विभिन्न तरीकों से पढ़ सकते हैं:

• एको बी
• एका अर्थ है बी
• नज़रिया एको बी

आइए अनुपात चिह्न का उपयोग करके चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात लिखें:

4: 2

यदि हम सेब और नाशपाती की अदला-बदली करें तो हमारा अनुपात 2:4 होगा। इस अनुपात को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है "दो से चार" या तो "दो नाशपाती चार सेब के बराबर हैं" .

निम्नलिखित में हम संबंध को अनुपात कहेंगे।

पाठ सामग्री

रवैया क्या है?

संबंध, जैसा कि पहले बताया गया है, प्रपत्र में लिखा गया है ए:बी. इसे भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि गणित में ऐसे अंकन का अर्थ विभाजन होता है। तब संबंध का परिणाम संख्याओं का भागफल होगा एऔर बी.

गणित में, अनुपात दो संख्याओं का भागफल होता है।

अनुपात आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई की प्रति इकाई दूसरी इकाई की कितनी मात्रा है। आइए चार सेब और दो नाशपाती (4:2) के अनुपात पर वापस लौटें। यह अनुपात हमें यह पता लगाने की अनुमति देगा कि नाशपाती की प्रति इकाई कितने सेब हैं। इकाई से हमारा तात्पर्य एक नाशपाती से है। सबसे पहले, आइए 4:2 अनुपात को भिन्न के रूप में लिखें:

यह अनुपात संख्या 4 को संख्या 2 से विभाजित करने का प्रतिनिधित्व करता है। यदि हम यह विभाजन करते हैं, तो हमें इस प्रश्न का उत्तर मिल जाएगा कि नाशपाती की प्रति इकाई कितने सेब हैं

हमें 2 मिले। तो चार सेब और दो नाशपाती (4: 2) सहसंबद्ध (एक दूसरे के साथ जुड़े हुए) हैं ताकि एक नाशपाती के लिए दो सेब हों

चित्र दिखाता है कि चार सेब और दो नाशपाती एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक नाशपाती के लिए दो सेब होते हैं।

इसे इस प्रकार लिखकर संबंध को उलटा किया जा सकता है। फिर हमें दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात या "दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात" मिलता है। यह अनुपात दिखाएगा कि सेब की प्रति इकाई कितने नाशपाती हैं। एक सेब इकाई का मतलब एक सेब है।

किसी भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए।

हमें 0.5 मिला. आइए इसका अनुवाद करें दशमलवसामान्य से:

आइए परिणामी सामान्य भिन्न को 5 से कम करें

हमें उत्तर मिला (आधा नाशपाती)। इसका मतलब यह है कि दो नाशपाती और चार सेब (2: 4) सहसंबद्ध (एक दूसरे से जुड़े हुए) हैं ताकि एक सेब आधा नाशपाती के बराबर हो

चित्र दिखाता है कि दो नाशपाती और चार सेब एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक सेब के लिए आधा नाशपाती होती है।

अनुपात बनाने वाली संख्याओं को कहा जाता है रिश्ते के सदस्य. उदाहरण के लिए, अनुपात 4:2 में पद 4 और 2 हैं।

आइए रिश्तों के अन्य उदाहरण देखें। किसी भी चीज़ को बनाने के लिए एक रेसिपी संकलित की जाती है। एक नुस्खा उत्पादों के बीच संबंधों से बनता है। उदाहरण के लिए, दलिया तैयार करने के लिए, आपको आमतौर पर एक गिलास अनाज से लेकर दो गिलास दूध या पानी की आवश्यकता होती है। परिणामी अनुपात 1:2 है ("एक से दो" या "एक गिलास अनाज से दो गिलास दूध")।

आइए अनुपात 1:2 को भिन्न में बदलें, हमें मिलता है। इस भिन्न की गणना करने पर हमें 0.5 प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि एक गिलास अनाज और दो गिलास दूध सहसंबंधित (एक दूसरे से संबंधित) हैं ताकि एक गिलास दूध आधा गिलास अनाज के बराबर हो।

यदि आप 1:2 अनुपात को पलटते हैं तो आपको 2:1 अनुपात ("दो से एक" या "दो कप दूध से एक कप अनाज") मिलता है। अनुपात 2:1 को भिन्न में बदलने पर हमें प्राप्त होता है। इस अंश की गणना करने पर, हमें 2 मिलता है। इसका मतलब है कि दो गिलास दूध और एक गिलास अनाज सहसंबद्ध (एक दूसरे के साथ परस्पर जुड़े हुए) हैं ताकि एक गिलास अनाज के लिए दो गिलास दूध हो।

उदाहरण 2.कक्षा में 15 छात्र हैं। इनमें से 5 लड़के, 10 लड़कियां हैं। आप लड़कियों और लड़कों का अनुपात 10:5 लिख सकते हैं और इस अनुपात को भिन्न में बदल सकते हैं। इस भिन्न की गणना करने पर, हमें 2 प्राप्त होता है। अर्थात्, लड़कियाँ और लड़के एक-दूसरे से इस प्रकार संबंधित हैं कि प्रत्येक लड़के के लिए दो लड़कियाँ हैं।

यह आंकड़ा दर्शाता है कि दस लड़कियाँ और पाँच लड़के एक दूसरे से तुलना कैसे करते हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक लड़के के लिए दो लड़कियाँ हैं।

अनुपात को भिन्न में बदलना और भागफल ज्ञात करना हमेशा संभव नहीं होता है। कुछ मामलों में यह प्रति-सहज ज्ञान युक्त होगा।

इसलिए, यदि आप दृष्टिकोण को बदल दें, तो यह पता चलता है, और यह लड़कों का लड़कियों के प्रति दृष्टिकोण है। यदि आप इस अंश की गणना करें तो यह 0.5 निकलता है। यह पता चलता है कि पाँच लड़के दस लड़कियों से संबंधित हैं, इस प्रकार प्रत्येक लड़की के लिए आधा लड़का है। गणितीय रूप से, यह निश्चित रूप से सच है, लेकिन वास्तविकता के दृष्टिकोण से यह पूरी तरह से उचित नहीं है, क्योंकि एक लड़का एक जीवित व्यक्ति है और इसे नाशपाती या सेब की तरह आसानी से नहीं लिया और विभाजित नहीं किया जा सकता है।

समस्याओं को हल करते समय सही दृष्टिकोण विकसित करने की क्षमता एक महत्वपूर्ण कौशल है। तो भौतिकी में, तय की गई दूरी और समय का अनुपात गति की गति है।

दूरी को वेरिएबल के माध्यम से दर्शाया गया है एस, समय - चर के माध्यम से टी, गति - एक चर के माध्यम से वी. फिर मुहावरा "यात्रा की गई दूरी और समय का अनुपात गति की गति है"निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जाएगा:

मान लीजिए कि कार 2 घंटे में 100 किलोमीटर चली। फिर सौ किलोमीटर की यात्रा और दो घंटे की यात्रा का अनुपात कार की गति होगी:

गति को आमतौर पर किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी कहा जाता है। समय की एक इकाई का अर्थ है 1 घंटा, 1 मिनट या 1 सेकंड। और अनुपात, जैसा कि पहले बताया गया है, आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई की प्रति इकाई दूसरी इकाई की कितनी मात्रा है। हमारे उदाहरण में, एक सौ किलोमीटर और दो घंटे का अनुपात दर्शाता है कि एक घंटे की आवाजाही में कितने किलोमीटर हैं। हम देखते हैं कि प्रत्येक घंटे की गति में 50 किलोमीटर की दूरी होती है

इसलिए गति मापी जाती है किमी/घंटा, मी/मिनट, मी/से. भिन्न चिह्न (/) समय के साथ दूरी के संबंध को दर्शाता है: किलोमीटर प्रति घंटा , मीटर प्रति मिनटऔर मीटर प्रति सेकंड क्रमश।

उदाहरण 2. किसी उत्पाद की लागत और उसकी मात्रा का अनुपात उत्पाद की एक इकाई की कीमत है

यदि हमने स्टोर से 5 चॉकलेट बार लिए और उनकी कुल लागत 100 रूबल थी, तो हम एक बार की कीमत निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कैंडी बार की संख्या के लिए एक सौ रूबल का अनुपात खोजने की आवश्यकता है। तब हमें पता चला कि एक कैंडी बार की कीमत 20 रूबल है

मूल्यों की तुलना

पहले हमने सीखा था कि विभिन्न प्रकृति की मात्राओं के बीच का अनुपात एक नई मात्रा बनाता है। इस प्रकार, तय की गई दूरी और समय का अनुपात गति की गति है। किसी उत्पाद के मूल्य और उसकी मात्रा का अनुपात उत्पाद की एक इकाई की कीमत है।

लेकिन अनुपात का उपयोग मात्राओं की तुलना करने के लिए भी किया जा सकता है। ऐसे संबंध का परिणाम एक संख्या है जो दर्शाती है कि पहला मान दूसरे से कितनी गुना अधिक है या पहला मान दूसरे का कितना हिस्सा है।

यह पता लगाने के लिए कि पहला मान दूसरे से कितनी गुना अधिक है, आपको बड़े मान को अनुपात के अंश में और छोटे मान को हर में लिखना होगा।

यह जानने के लिए कि पहला मान दूसरे का कितना भाग है, आपको अनुपात के अंश में छोटा मान और हर में बड़ा मान लिखना होगा।

संख्या 20 और 2 पर विचार करें। आइए जानें कि संख्या 20 कितनी बार है अधिक संख्या 2. ऐसा करने के लिए, संख्या 20 और संख्या 2 का अनुपात ज्ञात करें। अनुपात के अंश में हम संख्या 20 लिखते हैं, और हर में - संख्या 2 लिखते हैं।

इस अनुपात का मान दस है

संख्या 20 और संख्या 2 का अनुपात संख्या 10 है। यह संख्या दर्शाती है कि संख्या 20, संख्या 2 से कितनी गुना बड़ी है। इसका मतलब है कि संख्या 20, संख्या 2 से दस गुना अधिक है।

उदाहरण 2.कक्षा में 15 छात्र हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि वहां लड़कों की तुलना में लड़कियां कितनी गुना अधिक हैं।

हम लड़कों के प्रति लड़कियों के रवैये को रिकॉर्ड करते हैं। अनुपात के अंश में हम लड़कियों की संख्या लिखते हैं, अनुपात के हर में - लड़कों की संख्या:

इस अनुपात का मान 2 है। इसका मतलब है कि 15 लोगों की कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है।

अब यह सवाल नहीं रह गया है कि एक लड़के के लिए कितनी लड़कियाँ हैं। इस मामले में, अनुपात का उपयोग लड़कों की संख्या के साथ लड़कियों की संख्या की तुलना करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण 3. संख्या 2 का कौन सा भाग संख्या 20 है?

हम संख्या 2 और संख्या 20 का अनुपात ज्ञात करते हैं। हम अनुपात के अंश में संख्या 2 लिखते हैं, और हर में संख्या 20 लिखते हैं।

इस रिश्ते का मतलब ढूंढने के लिए आपको याद रखना होगा

संख्या 2 और संख्या 20 के अनुपात का मान संख्या 0.1 है

इस स्थिति में, दशमलव भिन्न 0.1 को साधारण भिन्न में बदला जा सकता है। इस उत्तर को समझना आसान होगा:

इसका मतलब है कि संख्या 20 का संख्या 2 दसवां हिस्सा है।

आप जांच कर सकते हैं. ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 से पता लगाएंगे। यदि हमने सब कुछ सही ढंग से किया, तो हमें संख्या 2 मिलनी चाहिए

20: 10 = 2

2 × 1 = 2

हमें संख्या 2 मिली। इसका मतलब है कि संख्या 20 का दसवां हिस्सा संख्या 2 है। यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समस्या सही ढंग से हल हो गई थी।

उदाहरण 4.कक्षा में 15 लोग हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि स्कूली बच्चों की कुल संख्या में लड़कों का अनुपात कितना है।

हम स्कूली बच्चों की कुल संख्या में लड़कों का अनुपात रिकॉर्ड करते हैं। हम अनुपात के अंश में पाँच लड़के और हर में स्कूली बच्चों की कुल संख्या लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के और 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम अनुपात के हर में संख्या 15 लिखते हैं

किसी दिए गए अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस स्थिति में, संख्या 5 को संख्या 15 से विभाजित किया जाना चाहिए

5 को 15 से विभाजित करने पर एक आवर्ती भिन्न प्राप्त होता है। आइए इस भिन्न को साधारण भिन्न में बदलें

हमें अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ। तो लड़के पूरी कक्षा का एक तिहाई हिस्सा बनाते हैं

चित्र से पता चलता है कि 15 छात्रों की एक कक्षा में, कक्षा के एक तिहाई में 5 लड़के हैं।

अगर हमें जांच के लिए 15 स्कूली बच्चे मिलेंगे तो हमें 5 लड़के मिलेंगे

15: 3 = 5

5 × 1 = 5

उदाहरण 5.संख्या 35, संख्या 5 से कितनी गुना बड़ी है?

हम संख्या 35 और संख्या 5 का अनुपात लिखते हैं। आपको अनुपात के अंश में संख्या 35, हर में संख्या 5 लिखना होगा, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

इस अनुपात का मान 7 है। इसका मतलब है कि संख्या 35, संख्या 5 से सात गुना अधिक है।

उदाहरण 6.कक्षा में 15 लोग हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि कुल संख्या का कितना अनुपात लड़कियाँ हैं।

हम स्कूली बच्चों की कुल संख्या में लड़कियों का अनुपात रिकॉर्ड करते हैं। हम अनुपात के अंश में दस लड़कियाँ लिखते हैं, और हर में स्कूली बच्चों की कुल संख्या लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के और 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम अनुपात के हर में संख्या 15 लिखते हैं

किसी दिए गए अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस स्थिति में, संख्या 10 को संख्या 15 से विभाजित किया जाना चाहिए

10 को 15 से विभाजित करने पर एक आवर्ती भिन्न प्राप्त होता है। आइए इस भिन्न को साधारण भिन्न में बदलें

आइए परिणामी भिन्न को 3 से कम करें

हमें अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ। इसका मतलब है कि पूरी कक्षा में लड़कियों की संख्या दो तिहाई है।

यह आंकड़ा दर्शाता है कि 15 छात्रों की एक कक्षा में, कक्षा की दो तिहाई 10 लड़कियाँ हैं।

अगर हमें जांच के लिए 15 स्कूली बच्चे मिलते हैं, तो हमें 10 लड़कियां मिलेंगी

15: 3 = 5

5 × 2 = 10

उदाहरण 7. 10 सेमी का कौन सा भाग 25 सेमी है?

हम दस सेंटीमीटर से पच्चीस सेंटीमीटर का अनुपात लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में 10 सेमी, हर में 25 सेमी लिखते हैं

किसी दिए गए अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस स्थिति में, संख्या 10 को संख्या 25 से विभाजित किया जाना चाहिए

आइए परिणामी दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में बदलें

आइए परिणामी भिन्न को 2 से कम करें

हमें अंतिम उत्तर प्राप्त हुआ। तो 10 सेमी 25 सेमी के बराबर है।

उदाहरण 8. 25 सेमी, 10 सेमी से कितनी बार बड़ा है?

हम पच्चीस सेंटीमीटर से दस सेंटीमीटर का अनुपात लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में 25 सेमी और हर में 10 सेमी लिखते हैं

हमें 2.5 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि 25 सेमी, 10 सेमी से 2.5 गुना अधिक है (ढाई गुना)

महत्वपूर्ण लेख।एक ही नाम का रिश्ता ढूंढ़ते समय भौतिक मात्राइन मात्राओं को माप की एक इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए, अन्यथा उत्तर गलत होगा।

उदाहरण के लिए, यदि हम दो लंबाई के साथ काम कर रहे हैं और जानना चाहते हैं कि पहली लंबाई दूसरी से कितनी गुना अधिक है या पहली लंबाई दूसरी की कितनी है, तो दोनों लंबाई को पहले माप की एक इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए।

उदाहरण 9. 150 सेमी 1 मीटर से कितनी बार बड़ा है?

सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि दोनों लंबाई माप की एक ही इकाई में व्यक्त की गई हैं। ऐसा करने के लिए, 1 मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। एक मीटर एक सौ सेंटीमीटर है

1 मीटर = 100 सेमी

अब हम एक सौ पचास सेंटीमीटर से एक सौ सेंटीमीटर का अनुपात पाते हैं। हम अनुपात के अंश में 150 सेंटीमीटर, हर में 100 सेंटीमीटर लिखते हैं

आइए इस अनुपात का मान ज्ञात करें

हमें 1.5 का उत्तर मिला. इसका मतलब है कि 150 सेमी, 100 सेमी से 1.5 गुना अधिक (डेढ़ गुना) है।

और अगर हमने मीटर को सेंटीमीटर में बदलना शुरू नहीं किया होता और तुरंत 150 सेमी और एक मीटर का अनुपात खोजने की कोशिश नहीं की होती, तो हमें निम्नलिखित मिलता:

इससे पता चलेगा कि 150 सेमी एक मीटर से एक सौ पचास गुना अधिक है, लेकिन यह गलत है। इसलिए, संबंध में शामिल भौतिक मात्राओं की माप की इकाइयों पर ध्यान देना अनिवार्य है। यदि इन मात्राओं को माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, तो इन मात्राओं का अनुपात जानने के लिए, आपको माप की एक इकाई पर जाना होगा।

उदाहरण 10.पिछले महीने एक व्यक्ति का वेतन 25,000 रूबल था और इस महीने वेतन बढ़कर 27,000 रूबल हो गया है। निर्धारित करें कि वेतन कितनी बार बढ़ा है

हम सत्ताईस हजार से पच्चीस हजार का अनुपात लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में 27000, हर में 25000 लिखते हैं

आइए इस अनुपात का मान ज्ञात करें

हमें 1.08 का उत्तर मिला. यानी सैलरी 1.08 गुना बढ़ गई. भविष्य में, जब हम प्रतिशत से परिचित हो जाएंगे, तो हम वेतन जैसे संकेतकों को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करेंगे।

उदाहरण 11. अपार्टमेंट बिल्डिंग की चौड़ाई 80 मीटर और ऊंचाई 16 मीटर है। घर की चौड़ाई उसकी ऊंचाई से कितनी गुना अधिक है?

हम घर की चौड़ाई और उसकी ऊंचाई का अनुपात लिखते हैं:

इस अनुपात का मान 5 है। इसका मतलब है कि घर की चौड़ाई उसकी ऊंचाई से पांच गुना अधिक है।

संबंध संपत्ति

यदि किसी अनुपात को उसके सदस्यों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए तो कोई अनुपात नहीं बदलेगा।

यह किसी रिश्ते के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक विशेष की संपत्ति से उत्पन्न होता है। हम जानते हैं कि यदि लाभांश और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाए तो भागफल नहीं बदलेगा। और चूंकि एक रिश्ता एक विभाजन से ज्यादा कुछ नहीं है, इसलिए भागफल संपत्ति भी इसके लिए काम करती है।

आइए लड़कों के प्रति लड़कियों के रवैये पर वापस लौटें (10:5)। इस अनुपात से पता चला कि प्रत्येक लड़के पर दो लड़कियाँ हैं। आइए देखें कि संबंध गुण कैसे काम करता है, अर्थात् आइए इसके सदस्यों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित करने का प्रयास करें।

हमारे उदाहरण में, संबंध की शर्तों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) द्वारा विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है।

पदों 10 और 5 की जीसीडी संख्या 5 है। इसलिए, हम संबंध की शर्तों को संख्या 5 से विभाजित कर सकते हैं

हमें एक नया नजरिया मिला. यह दो से एक का अनुपात (2:1) है। यह अनुपात, 10:5 के पिछले अनुपात की तरह, दर्शाता है कि एक लड़के के लिए दो लड़कियाँ हैं।

यह आंकड़ा 2:1 (दो से एक) अनुपात दर्शाता है। जैसा कि पिछले अनुपात 10:5 में था, एक लड़के के लिए दो लड़कियाँ हैं। दूसरे शब्दों में, रवैया नहीं बदला है.

उदाहरण 2. एक कक्षा में 10 लड़कियाँ और 5 लड़के हैं। दूसरी कक्षा में 20 लड़कियाँ और 10 लड़के हैं। पहली कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियाँ कितनी गुना अधिक हैं? दूसरी कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियाँ कितनी गुना अधिक हैं?

दोनों कक्षाओं में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है, क्योंकि अनुपात समान संख्या के बराबर है।

संबंध संपत्ति आपको विभिन्न मॉडल बनाने की अनुमति देती है जिनके पैरामीटर वास्तविक वस्तु के समान होते हैं। मान लीजिए कि एक अपार्टमेंट बिल्डिंग 30 मीटर चौड़ी और 10 मीटर ऊंची है।

कागज पर एक समान घर बनाने के लिए, आपको इसे 30:10 के समान अनुपात में बनाना होगा।

आइए इस अनुपात के दोनों पदों को संख्या 10 से विभाजित करें। तब हमें अनुपात 3:1 प्राप्त होता है। यह अनुपात 3 है, ठीक वैसे ही जैसे पिछला अनुपात 3 है

आइए मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। 3 मीटर 300 सेंटीमीटर है, और 1 मीटर 100 सेंटीमीटर है

3 मीटर = 300 सेमी

1 मीटर = 100 सेमी

हमारे पास 300 सेमी: 100 सेमी का अनुपात है। इस अनुपात की शर्तों को 100 से विभाजित करें। हमें 3 सेमी: 1 सेमी का अनुपात मिलता है। अब आप 3 सेमी की चौड़ाई और 1 सेमी की ऊंचाई वाला एक घर बना सकते हैं

बेशक, खींचा गया घर वास्तविक घर से बहुत छोटा है, लेकिन चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात अपरिवर्तित रहता है। इससे हमें एक ऐसा घर बनाने में मदद मिली जो यथासंभव वास्तविक जैसा ही हो।

मनोवृत्ति को दूसरे तरीके से भी समझा जा सकता है. मूल रूप से कहा गया था कि असली घर 30 मीटर चौड़ा और 10 मीटर ऊंचा था। कुल 30+10 यानी 40 मीटर है.

इन 40 मीटरों को 40 भागों के रूप में समझा जा सकता है। 30:10 के अनुपात का मतलब है कि 30 भाग चौड़ाई में हैं और 10 भाग ऊंचाई में हैं।

इसके बाद, अनुपात 30:10 की शर्तों को 10 से विभाजित किया गया। परिणाम 3:1 का अनुपात था। इस अनुपात को 4 भागों के रूप में समझा जा सकता है, जिनमें से तीन चौड़ाई में हैं, एक ऊंचाई में है। इस मामले में, आपको आमतौर पर यह पता लगाना होगा कि चौड़ाई और ऊंचाई में कितने मीटर हैं।

दूसरे शब्दों में, आपको यह पता लगाना होगा कि 3 भागों में कितने मीटर हैं और 1 भाग में कितने मीटर हैं। सबसे पहले आपको यह पता लगाना होगा कि प्रति भाग कितने मीटर हैं। ऐसा करने के लिए, कुल 40 मीटर को 4 से विभाजित किया जाना चाहिए, क्योंकि 3:1 के अनुपात में केवल चार भाग होते हैं

आइए निर्धारित करें कि चौड़ाई कितने मीटर है:

10 मीटर × 3 = 30 मीटर

आइए निर्धारित करें कि ऊंचाई कितने मीटर है:

10 मीटर × 1 = 10 मीटर

एकाधिक संबंध सदस्य

यदि किसी संबंध में कई सदस्य दिए गए हैं, तो उन्हें किसी चीज़ के हिस्सों के रूप में समझा जा सकता है।

उदाहरण 1. 18 सेब खरीदे गए। इन सेबों को माँ, पिता और बेटी के बीच 2: 1: 3 के अनुपात में बाँट दिया गया। प्रत्येक व्यक्ति को कितने सेब मिले?

अनुपात 2:1:3 का अर्थ है कि माँ को 2 भाग, पिता को 1 भाग, बेटी को 3 भाग प्राप्त हुए। दूसरे शब्दों में, 2:1:3 अनुपात में प्रत्येक पद 18 सेबों का एक विशिष्ट भाग है:

यदि आप अनुपात 2:1:3 के पदों को जोड़ दें, तो आप पता लगा सकते हैं कि कितने भाग हैं:

2 + 1 + 3 = 6 (भाग)

पता लगाएँ कि एक भाग में कितने सेब हैं। ऐसा करने के लिए, 18 सेबों को 6 से विभाजित करें

18: 6 = 3 (सेब प्रति भाग)

अब आइए निर्धारित करें कि प्रत्येक व्यक्ति को कितने सेब मिले। अनुपात 2:1:3 के प्रत्येक पद से तीन सेबों को गुणा करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि माँ को कितने सेब मिले, पिता को कितने सेब मिले, और बेटी को कितने सेब मिले।

आइये जानें माँ को कितने सेब मिले:

3 × 2 = 6 (सेब)

आइए जानें पिताजी को कितने सेब मिले:

3 × 1 = 3 (सेब)

आइए जानें कि मेरी बेटी को कितने सेब मिले:

3 × 3 = 9 (सेब)

उदाहरण 2. न्यू सिल्वर (अल्पाका) 3:4:13 के अनुपात में निकल, जस्ता और तांबे का एक मिश्र धातु है। 4 किलो नई चाँदी प्राप्त करने के लिए प्रत्येक धातु को कितने किलोग्राम लेना होगा?

4 किलोग्राम नई चांदी में 3 भाग निकल, 4 भाग जस्ता और 13 भाग तांबा होगा। सबसे पहले आइए जानें कि चार किलोग्राम चांदी में कितने हिस्से होंगे:

3 + 4 + 13 = 20 (भाग)

आइए निर्धारित करें कि प्रति भाग कितने किलोग्राम होंगे:

4 किग्रा: 20 = 0.2 किग्रा

आइए निर्धारित करें कि 4 किलोग्राम नई चांदी में कितने किलोग्राम निकल होगा। 3:4:13 अनुपात इंगित करता है कि मिश्र धातु के तीन भागों में निकेल होता है। इसलिए, हम 0.2 को 3 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 3 = 0.6 किग्रा निकेल

अब आइए तय करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम जस्ता होगा। 3:4:13 अनुपात इंगित करता है कि मिश्र धातु के चार भागों में जस्ता होता है। इसलिए, हम 0.2 को 4 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 4 = 0.8 किग्रा जिंक

अब आइए तय करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम तांबा होगा। 3:4:13 अनुपात इंगित करता है कि मिश्र धातु के तेरह भागों में तांबा होता है। इसलिए, हम 0.2 को 13 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 13 = 2.6 किग्रा तांबा

इसका मतलब है कि 4 किलो नई चांदी पाने के लिए आपको 0.6 किलो निकल, 0.8 किलो जस्ता और 2.6 किलो तांबा लेना होगा।

उदाहरण 3. पीतल तांबे और जस्ता का एक मिश्र धातु है, जिसका द्रव्यमान 3:2 के अनुपात में होता है। पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए 120 ग्राम तांबे की आवश्यकता होती है। पीतल के इस टुकड़े को बनाने के लिए कितने जस्ते की आवश्यकता होगी?

आइए निर्धारित करें कि एक भाग में कितने ग्राम मिश्र धातु है। शर्त बताती है कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए 120 ग्राम तांबे की आवश्यकता होती है। यह भी कहा जाता है कि मिश्रधातु के तीन भागों में तांबा होता है। यदि हम 120 को 3 से विभाजित करते हैं, तो हमें पता चलता है कि प्रति भाग कितने ग्राम मिश्र धातु है:

120:3 = 40 ग्राम प्रति भाग

अब आइए यह निर्धारित करें कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए कितने जस्ते की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, 40 ग्राम को 2 से गुणा करें, क्योंकि 3:2 अनुपात में यह संकेत मिलता है कि दो भागों में जस्ता होता है:

40 ग्राम × 2 = 80 ग्राम जिंक

उदाहरण 4. हमने सोने और चाँदी की दो मिश्र धातुएँ लीं। एक में इन धातुओं की मात्रा 1:9 के अनुपात में है, और दूसरे में 2:3 के अनुपात में है। 15 किलो नई मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए प्रत्येक मिश्र धातु की कितनी मात्रा लेनी होगी जिसमें सोना और चाँदी का अनुपात 1 होगा : 4?

समाधान

15 किलोग्राम नई मिश्र धातु में 1:4 का अनुपात होना चाहिए। यह अनुपात बताता है कि मिश्र धातु का एक भाग सोना होगा और चार भाग चांदी होंगे। कुल मिलाकर पाँच भाग हैं। योजनाबद्ध रूप से इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

आइए एक भाग का द्रव्यमान ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, पहले सभी भागों (1 और 4) को जोड़ें, फिर मिश्र धातु के द्रव्यमान को इन भागों की संख्या से विभाजित करें

1 + 4 = 5
15 किग्रा: 5 = 3 किग्रा

मिश्र धातु के एक टुकड़े का द्रव्यमान 3 किलोग्राम होगा। फिर 15 किलो नई मिश्र धातु में 3 × 1 = 3 किलो सोना और 3 × 4 = 12 किलो चांदी होगी।

इसलिए, 15 किलोग्राम वजन वाली मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए हमें 3 किलोग्राम सोना और 12 किलोग्राम चांदी की आवश्यकता होती है।

आइए अब समस्या के प्रश्न का उत्तर दें - " आपको प्रत्येक मिश्रधातु की कितनी मात्रा लेनी चाहिए? »

हम पहली मिश्र धातु 10 किलो लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 1:9 के अनुपात में है। यानी यह पहली मिश्र धातु हमें 1 किलो सोना और 9 किलो चांदी देगी।

हम 5 किलो दूसरी मिश्र धातु लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 2:3 के अनुपात में है। यानी यह दूसरी मिश्र धातु हमें 2 किलो सोना और 3 किलो चांदी देगी।

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