पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीके: उदाहरण, विवरण और समीक्षाएं। स्वतंत्र समस्या समाधान

कक्षा: 8

पाठ मकसद:

• शैक्षिक:पाइथागोरस प्रमेय को आत्मसात करना, दो ज्ञात त्रिभुजों का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज के अज्ञात पक्ष की गणना करने का कौशल विकसित करना, सरल समस्याओं को हल करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय को लागू करना सिखाना
• विकसित होना:तुलना, अवलोकन, ध्यान, विश्लेषणात्मक और सिंथेटिक सोच की क्षमता के विकास, किसी के क्षितिज का विस्तार करने की क्षमता के विकास में योगदान
• शैक्षिक:ज्ञान की आवश्यकता का गठन, गणित में रुचि

पाठ प्रकार:नई सामग्री प्रस्तुति पाठ

उपकरण:कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, पाठ के लिए प्रस्तुति ( अनुलग्नक 1)

शिक्षण योजना:

1. आयोजन का समय
2. मौखिक व्यायाम
3. शोध कार्य, एक परिकल्पना को सामने रखना और विशेष मामलों में उसका परीक्षण करना
4. नई सामग्री की व्याख्या
   a) पाइथागोरस के बारे में
   b) प्रमेय का कथन और प्रमाण
5. समस्या समाधान के माध्यम से उपरोक्त का समेकन
6. होमवर्क, पाठ का सारांश।

कक्षाओं के दौरान

स्लाइड 2: व्यायाम करें

1. कोष्ठक का विस्तार करें: (3 + x) 2
2. x = 1, 2, 3, 4 . के लिए 3 2 + x 2 की गणना करें
   – क्या कोई प्राकृत संख्या है जिसका वर्ग 10, 13, 18, 25 है?
3. 11 सेमी, 50 सेमी, 7 डीएम भुजाओं वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
   एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
   समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

स्लाइड 3: प्रश्न जवाब

- एक कोण जिसकी माप 90° है। (सीधा)

त्रिभुज के समकोण के विपरीत भुजा। (कर्ण)

- त्रिभुज, वर्ग, समलम्ब, वृत्त - ये ज्यामितीय हैं... (आकार)

- समकोण त्रिभुज की छोटी भुजा। (केट)

- एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों से बनी आकृति। (कोना)

- त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा पर खींचे गए लंब का एक खंड। (कद)

- दो बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज . (समद्विबाहु)

स्लाइड 4: एक कार्य

3 सेमी, 4 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए।

कार्य पंक्तियों में विभाजित है।

	1 पंक्ति	2 पंक्ति	3 पंक्ति
टांग एक	3	3
टांग बी	4		4
कर्ण साथ		6	6

प्रशन:

- क्या किसी को दी गई भुजाओं वाला त्रिभुज मिला है?

- निष्कर्ष क्या हो सकता है? (एक समकोण त्रिभुज को मनमाने ढंग से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इसकी भुजाओं के बीच एक निर्भरता होती है)।

- परिणामी पक्षों को मापें। ( प्रत्येक पंक्ति से अनुमानित औसत परिणाम तालिका में दर्ज किया गया है)

	1 पंक्ति	2 पंक्ति	3 पंक्ति
टांग एक	3	3	~4,5
टांग बी	4	~5,2	4
कर्ण साथ	~5	6	6

- प्रत्येक मामले में पैरों और कर्ण के बीच संबंध स्थापित करने का प्रयास करें।

(मौखिक अभ्यासों को याद करने और अन्य संख्याओं के बीच समान संबंध की जांच करने का प्रस्ताव है)।

- इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित किया जाता है कि सटीक परिणाम काम नहीं करेगा, क्योंकि। माप को सटीक नहीं माना जा सकता है।

शिक्षक अनुमान के लिए पूछता है (परिकल्पना): छात्र तैयार करते हैं।

- जी हां, दरअसल कर्ण और टांगों के बीच एक रिश्ता होता है और इसे साबित करने वाले पहले वैज्ञानिक थे जिनके नाम से आप खुद नाम लेंगे। इस प्रमेय का नाम उन्हीं के नाम पर रखा गया है।

स्लाइड 5: समझने

स्लाइड 6: समोसे के पाइथागोरस

आज के पाठ के विषय का नाम कौन रखेगा?

छात्र नोटबुक में पाठ का विषय लिखते हैं: "पायथागॉरियन प्रमेय"

पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति के मुख्य प्रमेयों में से एक है। इसकी मदद से, कई अन्य प्रमेय सिद्ध होते हैं और विभिन्न क्षेत्रों की समस्याओं को हल किया जाता है: भौतिकी, खगोल विज्ञान, निर्माण, आदि। पाइथागोरस ने इसे साबित करने से बहुत पहले जाना था। प्राचीन मिस्रवासियों ने इसका उपयोग 3, 4 और 5 इकाइयों के पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज का निर्माण करते समय एक रस्सी का उपयोग करके इमारतों, पिरामिडों को बिछाते समय समकोण बनाने के लिए किया था। इसलिए, ऐसे त्रिभुज को कहा जाता है मिस्र का त्रिकोण।

इस प्रमेय को सिद्ध करने के तीन सौ से अधिक तरीके हैं। हम आज उनमें से एक को देखेंगे।

स्लाइड 7: पाइथागोरस प्रमेय

प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

दिया गया:

सही त्रिकोण,

ए, बी - पैर, साथ- कर्ण

सिद्ध करना:

सबूत।

1. हम एक समकोण त्रिभुज के पैर जारी रखते हैं: पैर एक- लंबाई के लिए बी, टांग बी- लंबाई के लिए एक।

त्रिभुज को किस आकार में बनाया जा सकता है? एक वर्ग तक क्यों? वर्ग की भुजा क्या होगी?

2. हम त्रिभुज को एक भुजा वाले वर्ग में पूरा करते हैं ए + बी.

आप इस वर्ग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात कर सकते हैं?

3. वर्ग का क्षेत्रफल है

- आइए वर्ग को भागों में विभाजित करें: 4 त्रिकोण और एक वर्ग जिसकी भुजा c है।

आप मूल वर्ग का क्षेत्रफल और कैसे ज्ञात कर सकते हैं?

परिणामी समकोण त्रिभुज सर्वांगसम क्यों हैं?

4. दूसरी ओर,

5. परिणामी समानता की बराबरी करें:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

इस प्रमेय का एक हास्य सूत्रीकरण है: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।" संभवतः, ऐसा सूत्रीकरण इस तथ्य के कारण है कि यह प्रमेय मूल रूप से एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के लिए स्थापित किया गया था। इसके अलावा, यह थोड़ा अलग लग रहा था: "एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल उसके पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।"

स्लाइड 8: पाइथागोरस प्रमेय का एक और सूत्रीकरण

और मैं आपको इस प्रमेय का एक और सूत्र इस पद में दूंगा:

अगर हमें एक त्रिभुज दिया जाता है
और, इसके अलावा, एक समकोण के साथ,
वह कर्ण का वर्ग है
हम हमेशा आसानी से पा सकते हैं:
हम पैरों को एक वर्ग में बनाते हैं,
हम डिग्री का योग पाते हैं
और इतने आसान तरीके से
हम परिणाम पर आएंगे।

- तो, ​​आज आप ग्रहमिति के सबसे प्रसिद्ध प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय से परिचित हुए। पाइथागोरस प्रमेय कैसे तैयार किया जाता है? इसे और कैसे तैयार किया जा सकता है?

सामग्री का प्राथमिक निर्धारण

स्लाइड 9: तैयार चित्रों के अनुसार समस्याओं का समाधान।

स्लाइड 10: एक नोटबुक में समस्याओं का समाधान

समस्याओं को हल करने के लिए एक ही समय में तीन छात्रों को बोर्ड में बुलाया जाता है।

स्लाइड 11: 12वीं सदी के भारतीय गणितज्ञ भास्कर की समस्या

पाठ को सारांशित करना:

आज के पाठ में आपने क्या नया सीखा?

- पाइथागोरस प्रमेय तैयार करें।

- आपने पाठ में क्या करना सीखा?

गृहकार्य:

- पाइथागोरस प्रमेय को प्रमाण के साथ सीखें

- पाठ्यपुस्तक संख्या 483 सी, डी से कार्य; नंबर 484 इंच, शहर

- अधिक उन्नत छात्रों के लिए: पाइथागोरस प्रमेय के अन्य प्रमाण खोजें, उनमें से एक को जानें।

व्यक्तिगत छात्रों को उजागर करते हुए, समग्र रूप से कक्षा के कार्य का मूल्यांकन किया जाता है।

विषय पर पाठ: "पायथागॉरियन प्रमेय"

पाठ का प्रकार: पाठ नई सामग्री सीखना। (पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति, 7–9" के अनुसार, शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक; एल.एस. अतानासियन एट अल। - 12 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2009)।

लक्ष्य:

छात्रों को पाइथागोरस प्रमेय और इस प्रमेय से संबंधित ऐतिहासिक जानकारी से परिचित कराना; गणित, तार्किक सोच के अध्ययन में रुचि विकसित करना; ध्यान।

कक्षाओं के दौरान:

1. संगठनात्मक क्षण।

स्लाइड 2 परी कथा "हाउस"।

हमारे पाठ का विषय "पायथागॉरियन प्रमेय" है। आज के पाठ में हम पाइथागोरस की जीवनी से परिचित होंगे, हम पुरातनता के सबसे प्रसिद्ध ज्यामितीय प्रमेयों में से एक का अध्ययन करेंगे, जिसे पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है, जो कि ग्रहमिति के मुख्य प्रमेयों में से एक है।

2. ज्ञान की प्राप्ति।(नई सामग्री के अध्ययन की तैयारी, प्रमेय के प्रमाण में जिस सामग्री की आवश्यकता होगी उसे दोहराया जाता है)

1) प्रश्न:

किस चतुर्भुज को वर्ग कहते हैं?

एक वर्ग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

समकोण त्रिभुज किसे कहते हैं?

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं?

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

3. नई सामग्री सीखना।

1) इतिहास संदर्भ।

स्लाइड 3 और 4.

महान वैज्ञानिक पाइथागोरस का जन्म 570 ईसा पूर्व के आसपास हुआ था। समोस द्वीप पर। पाइथागोरस के पिता मेनेसार्कस थे, जो एक रत्न तराशने वाले थे। पाइथागोरस की मां का नाम अज्ञात है। कई प्राचीन साक्ष्यों के अनुसार, जन्म लेने वाला लड़का शानदार रूप से सुंदर था, और जल्द ही उसने अपनी उत्कृष्ट क्षमताओं को दिखाया। किसी भी पिता की तरह, मेनेसारकस का सपना था कि उसका बेटा अपना काम जारी रखेगा - एक सुनार का शिल्प। जीवन अन्यथा न्याय किया। भविष्य के महान गणितज्ञ और दार्शनिक ने बचपन में ही विज्ञान के लिए महान क्षमताएँ दिखाईं।

पाइथागोरस को पूर्णांकों और अनुपातों के गुणों का अध्ययन करने, पाइथागोरस प्रमेय आदि को सिद्ध करने का श्रेय दिया जाता है। पाइथागोरस एक नाम नहीं है, बल्कि एक उपनाम है जिसे दार्शनिक ने हमेशा सही और आश्वस्त रूप से बोलने के लिए प्राप्त किया, जैसे कि ग्रीक ऑरेकल। (पाइथागोरस - "प्रेरक भाषण"।)

अपने भाषणों के साथ, उन्होंने 2,000 छात्रों को प्राप्त किया, जिन्होंने अपने परिवारों के साथ मिलकर एक स्कूल-राज्य का गठन किया, जहां पाइथागोरस के कानून और नियम लागू थे। पाइथागोरस का स्कूल, या, जैसा कि इसे पाइथागोरस यूनियन भी कहा जाता है, एक ही समय में एक दार्शनिक स्कूल, एक राजनीतिक दल और एक धार्मिक भाईचारा था।

पाइथागोरस की पसंदीदा ज्यामितीय आकृति पेंटाग्राम थी, जिसे पाइथागोरस तारा भी कहा जाता है। पाइथागोरस ने एक दूसरे को बधाई देने और पहचानने के लिए, इस आकृति का इस्तेमाल रेत में चित्रित करने के लिए किया था। पेंटाग्राम उनके पासवर्ड के रूप में कार्य करता था और स्वास्थ्य और खुशी का प्रतीक था।

परंपरा कहती है कि जब पाइथागोरस अपने नाम के प्रमेय पर आए, तो वह देवताओं के लिए 100 बैल लाए। 500 ईसा पूर्व में, एक लोकप्रिय विद्रोह के दौरान एक सड़क लड़ाई में पाइथागोरस मारा गया था। वर्तमान में, पाइथागोरस प्रमेय के लगभग 200 प्रमाण हैं।

प्रमेय का कथन

2) प्रमेय का प्रमाण.

आइए a + b भुजा वाले वर्ग का आयत बनाते हैं।

बच्चे, शिक्षक की सहायता से, चित्र के अनुसार प्रमेय को सिद्ध करते हैं, फिर प्रमाण को एक नोटबुक में लिखते हैं।

सबूत:

वर्ग क्षेत्र

- प्रमेय सिद्ध होता है।

4. ज्ञान का प्राथमिक समेकन।

पाठ्यपुस्तक कार्य (समस्या समाधान के लिए पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग)।

बोर्ड और नोटबुक में समस्याओं का समाधान किया जाता है।

निष्कर्ष: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आप दो प्रकार की समस्याओं को हल कर सकते हैं:

1. यदि पैर ज्ञात हों तो एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए।

2. यदि कर्ण और दूसरा पैर ज्ञात हो तो पाद ज्ञात कीजिए।

.

5. स्वतंत्र समस्या समाधान।

नंबर 483 (बी), 484 (बी)

6. गृहकार्य:पी 54, नंबर 483 (डी), 484 (डी)।

7. पाठ का परिणाम।

आज के पाठ में आपने क्या नया सीखा?

पाइथागोरस प्रमेय किन त्रिभुजों पर लागू होता है?

पाठ को एक कविता के साथ समाप्त करें।

बहुत से लोग चामिसो के सॉनेट को जानते हैं:

सत्य शाश्वत रहेगा, कितनी जल्दी

एक कमजोर व्यक्ति को यह पता चल जाएगा!

और अब पाइथागोरस प्रमेय

वर्ना, अपनी दूर की उम्र की तरह।

बलिदान भरपूर था

पाइथागोरस के देवता। एक सौ बैल

उसने वध और जलाने के लिए दिया

प्रकाश के पीछे एक किरण है जो बादलों से आई है।

इसलिए, जब से

एक छोटा सा सच दुनिया में पैदा होता है,

बैल दहाड़ते हैं, उसे भांपते हुए, उसका पीछा करते हैं।

वे प्रकाश को रोक नहीं सकते

और कांपने के लिए केवल अपनी आंखें बंद कर सकते हैं

पाइथागोरस ने उनमें जो भय पैदा किया था उससे।

प्रश्न - उत्तर वह कोण जिसकी माप 90° प्रत्यक्ष है त्रिभुज के समकोण के सम्मुख स्थित भुजा HYPOTENUSE त्रिभुज, वर्ग, समलम्ब, वृत्त ज्यामितीय होते हैं ... आकृतियाँ समकोण त्रिभुज की छोटी भुजा CATETH से निकलने वाली दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति एक बिंदु कोण एक त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत भुजा वाली रेखा तक खींचा गया लंबवत खंड HEIGHT एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ समान समद्विबाहु हैं

समोस के पाइथागोरस (सी। 580 - सी। 500 ईसा पूर्व) प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और दार्शनिक। समोस द्वीप पर पैदा हुए। उन्होंने अपने स्वयं के स्कूल - पाइथागोरस (पाइथागोरस यूनियन) के स्कूल का आयोजन किया, जो एक ही समय में एक दार्शनिक स्कूल, एक राजनीतिक दल और एक धार्मिक भाईचारा था। वह एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और टांगों के बीच संबंध को सिद्ध करने वाले पहले व्यक्ति थे।

बारहवीं शताब्दी के भारतीय गणितज्ञ भास्कर की समस्या नदी के किनारे एक अकेला चिनार उग आया। अचानक हवा के एक झोंके ने उसकी सूंड को तोड़ दिया। बेचारा चिनार गिर गया है। और एक सीधी रेखा का कोण नदी के मार्ग के साथ उसकी सूंड थी । अब स्मरण रहे कि इस स्थान पर B नदी केवल चार फुट चौड़ी थी, सिर नदी के किनारे पर झुक गया था। ट्रंक से केवल तीन फीट बचे हैं, मैं आपसे विनती करता हूं, मुझे जल्द ही बताओ: चिनार का पेड़ कितना ऊंचा है?

1

शापोवालोवा एल.ए. (स्टेशन Egorlykskaya, MBOU ESOSH नंबर 11)

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इस शैक्षणिक वर्ष में, मैं एक दिलचस्प प्रमेय से परिचित हुआ, जिसे जाना जाता है, जैसा कि यह निकला, प्राचीन काल से:

"एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बना वर्ग टाँगों पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।"

आमतौर पर इस कथन की खोज का श्रेय प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) को दिया जाता है। लेकिन प्राचीन पांडुलिपियों के अध्ययन से पता चला कि यह कथन पाइथागोरस के जन्म से बहुत पहले से ज्ञात था।

मुझे आश्चर्य हुआ कि, इस मामले में, इसे पाइथागोरस के नाम से क्यों जोड़ा जाता है।

विषय की प्रासंगिकता: पाइथागोरस प्रमेय का बहुत महत्व है: इसका उपयोग ज्यामिति में शाब्दिक रूप से हर कदम पर किया जाता है। मेरा मानना ​​है कि पाइथागोरस की रचनाएँ आज भी प्रासंगिक हैं, क्योंकि जहाँ भी हम देखते हैं, हर जगह हम आधुनिक जीवन की विभिन्न शाखाओं में सन्निहित उनके महान विचारों के फल देख सकते हैं।

मेरे शोध का उद्देश्य था: यह पता लगाना कि पाइथागोरस कौन था और उसका इस प्रमेय से क्या संबंध है।

प्रमेय के इतिहास का अध्ययन करते हुए, मैंने यह पता लगाने का फैसला किया:

क्या इस प्रमेय के अन्य प्रमाण हैं?

लोगों के जीवन में इस प्रमेय का क्या महत्व है?

पाइथागोरस ने गणित के विकास में क्या भूमिका निभाई?

पाइथागोरस की जीवनी से

समोस के पाइथागोरस एक महान यूनानी वैज्ञानिक हैं। इसकी प्रसिद्धि पाइथागोरस प्रमेय के नाम से जुड़ी है। हालाँकि अब हम पहले से ही जानते हैं कि पाइथागोरस से 1200 साल पहले प्राचीन बेबीलोन में इस प्रमेय को जाना जाता था, और मिस्र में 2000 साल पहले, 3, 4, 5 भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज ज्ञात था, फिर भी हम इसे इस प्राचीन के नाम से पुकारते हैं। वैज्ञानिक।

पाइथागोरस के जीवन के बारे में निश्चित रूप से लगभग कुछ भी ज्ञात नहीं है, लेकिन उनके नाम के साथ बड़ी संख्या में किंवदंतियाँ जुड़ी हुई हैं।

पाइथागोरस का जन्म 570 ईसा पूर्व समोस द्वीप पर हुआ था।

पाइथागोरस का रूप सुंदर था, उसने लंबी दाढ़ी और सिर पर एक सुनहरा मुकुट पहना था। पाइथागोरस एक नाम नहीं है, बल्कि एक उपनाम है जो दार्शनिक को हमेशा सही और आश्वस्त रूप से बोलने के लिए मिला, जैसे ग्रीक ऑरेकल। (पाइथागोरस - "प्रेरक भाषण")।

550 ईसा पूर्व में, पाइथागोरस एक निर्णय लेता है और मिस्र चला जाता है। तो, एक अज्ञात देश और एक अज्ञात संस्कृति पाइथागोरस के सामने खुलती है। पाइथागोरस को इस देश में बहुत आश्चर्य और आश्चर्य हुआ, और मिस्रवासियों के जीवन की कुछ टिप्पणियों के बाद, पाइथागोरस ने महसूस किया कि ज्ञान का मार्ग, पुजारियों की जाति द्वारा संरक्षित, धर्म के माध्यम से निहित है।

मिस्र में ग्यारह साल के अध्ययन के बाद, पाइथागोरस अपनी मातृभूमि को जाता है, जहाँ रास्ते में वह बेबीलोन की कैद में पड़ता है। वहाँ वह बेबीलोन के विज्ञान से परिचित होता है, जो मिस्र से अधिक विकसित था। बेबीलोन के लोग रैखिक, द्विघात और कुछ प्रकार के घन समीकरणों को हल करना जानते थे। कैद से बच निकलने के बाद, वह वहां पर शासन करने वाले हिंसा और अत्याचार के माहौल के कारण अपनी मातृभूमि में लंबे समय तक नहीं रह सका। उन्होंने क्रोटन (उत्तरी इटली में एक ग्रीक उपनिवेश) में जाने का फैसला किया।

यह क्रोटन में है कि पाइथागोरस के जीवन में सबसे शानदार अवधि शुरू होती है। वहां उन्होंने एक धार्मिक-नैतिक भाईचारे या एक गुप्त मठवासी व्यवस्था की स्थापना की, जिसके सदस्य तथाकथित पाइथागोरस जीवन शैली का नेतृत्व करने के लिए बाध्य थे।

पाइथागोरस और पाइथागोरस

पाइथागोरस ने एपिनेन प्रायद्वीप के दक्षिण में एक ग्रीक उपनिवेश में एक धार्मिक और नैतिक भाईचारे का आयोजन किया, जैसे कि एक मठवासी आदेश, जिसे बाद में पाइथागोरस संघ कहा जाएगा। संघ के सदस्यों को कुछ सिद्धांतों का पालन करना था: पहला, सुंदर और गौरवशाली के लिए प्रयास करना, दूसरा, उपयोगी होना, और तीसरा, उच्च आनंद के लिए प्रयास करना।

पाइथागोरस द्वारा अपने छात्रों को दी गई नैतिक और नैतिक नियमों की प्रणाली को पाइथागोरस के "गोल्डन वर्सेज" के एक प्रकार के नैतिक कोड में संकलित किया गया था, जो पुरातनता, मध्य युग और पुनर्जागरण के युग में बहुत लोकप्रिय थे।

पाइथागोरस अध्ययन प्रणाली में तीन खंड शामिल थे:

संख्याओं के बारे में शिक्षण - अंकगणित,

आकृतियों के बारे में शिक्षा - ज्यामिति,

ब्रह्मांड की संरचना के बारे में शिक्षा - खगोल विज्ञान।

पाइथागोरस द्वारा निर्धारित शिक्षा प्रणाली कई शताब्दियों तक चली।

पाइथागोरस के स्कूल ने ज्यामिति को विज्ञान का चरित्र देने के लिए बहुत कुछ किया। पाइथागोरस पद्धति की मुख्य विशेषता अंकगणित के साथ ज्यामिति का संयोजन था।

पाइथागोरस ने अनुपात और प्रगति के साथ और, शायद, आंकड़ों की समानता के साथ बहुत कुछ निपटाया, क्योंकि उन्हें समस्या को हल करने का श्रेय दिया जाता है: "एक तीसरे का निर्माण करें, डेटा में से एक के आकार के बराबर और दूसरे के समान, के आधार पर दो आंकड़े दिए।"

पाइथागोरस और उनके छात्रों ने बहुभुज, मैत्रीपूर्ण, पूर्ण संख्याओं की अवधारणा का परिचय दिया और उनके गुणों का अध्ययन किया। अंकगणित, गणना के अभ्यास के रूप में, पाइथागोरस को दिलचस्पी नहीं थी, और उन्होंने गर्व से घोषणा की कि उन्होंने "व्यापारी के हितों से ऊपर अंकगणित रखा।"

पाइथागोरस संघ के सदस्य ग्रीस के कई शहरों के निवासी थे।

पाइथागोरस ने भी महिलाओं को अपने समाज में स्वीकार किया। संघ बीस से अधिक वर्षों तक फला-फूला, और फिर उसके सदस्यों का उत्पीड़न शुरू हुआ, कई छात्र मारे गए।

पाइथागोरस की मृत्यु के बारे में कई अलग-अलग किंवदंतियाँ हैं। लेकिन पाइथागोरस और उनके शिष्यों की शिक्षाएँ जीवित रहीं।

पाइथागोरस प्रमेय के निर्माण के इतिहास से

वर्तमान में यह ज्ञात है कि इस प्रमेय की खोज पाइथागोरस ने नहीं की थी। हालांकि, कुछ का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने सबसे पहले इसका पूरा प्रमाण दिया था, जबकि अन्य लोग इस योग्यता से इनकार करते हैं। कुछ लोग पाइथागोरस को उस प्रमाण का श्रेय देते हैं जो यूक्लिड ने अपने तत्वों की पहली पुस्तक में दिया है। दूसरी ओर, प्रोक्लस का दावा है कि तत्वों में प्रमाण स्वयं यूक्लिड के कारण है। जैसा कि हम देख सकते हैं, गणित के इतिहास में पाइथागोरस के जीवन और उनकी गणितीय गतिविधि पर लगभग कोई विश्वसनीय ठोस डेटा नहीं है।

आइए प्राचीन चीन के साथ पाइथागोरस प्रमेय की अपनी ऐतिहासिक समीक्षा शुरू करें। यहाँ चु-पेई की गणितीय पुस्तक विशेष ध्यान आकर्षित करती है। यह निबंध 3, 4 और 5 भुजाओं वाले पाइथागोरस त्रिभुज के बारे में यही कहता है:

"यदि एक समकोण को इसके घटक भागों में विघटित किया जाता है, तो इसके पक्षों के सिरों को जोड़ने वाली रेखा 5 होगी जब आधार 3 और ऊँचाई 4 होगी।"

उनके निर्माण की विधि को पुन: पेश करना बहुत आसान है। 12 मीटर लंबी एक रस्सी लें और उसे 3 मीटर की दूरी पर रंगीन पट्टी के साथ बांध दें। एक छोर से और दूसरे से 4 मीटर। 3 और 4 मीटर लंबी भुजाओं के बीच एक समकोण बनाया जाएगा।

हिंदुओं के बीच ज्यामिति पंथ के साथ निकटता से जुड़ी हुई थी। यह अत्यधिक संभावना है कि कर्ण वर्ग प्रमेय 8 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास भारत में पहले से ही ज्ञात था। विशुद्ध रूप से अनुष्ठानिक नुस्खे के साथ-साथ, ज्यामितीय रूप से धार्मिक प्रकृति के कार्य भी हैं। इन लेखों में, ईसा पूर्व चौथी या पांचवीं शताब्दी में, हम 15, 36, 39 भुजाओं वाले त्रिभुज का उपयोग करके एक समकोण के निर्माण के साथ मिलते हैं।

मध्य युग में, पाइथागोरस प्रमेय ने सीमा को परिभाषित किया, यदि सबसे बड़ा संभव नहीं है, तो कम से कम अच्छे गणितीय ज्ञान की। पायथागॉरियन प्रमेय की विशेषता ड्राइंग, जिसे अब कभी-कभी स्कूली बच्चों द्वारा बदल दिया जाता है, उदाहरण के लिए, एक प्रोफेसर या एक आदमी के कपड़े पहने एक शीर्ष टोपी में, अक्सर उन दिनों गणित के प्रतीक के रूप में उपयोग किया जाता था।

अंत में, हम ग्रीक, लैटिन और जर्मन से अनुवादित पाइथागोरस प्रमेय के विभिन्न सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

यूक्लिड का प्रमेय पढ़ता है (शाब्दिक अनुवाद):

"एक समकोण त्रिभुज में, समकोण में फैली भुजा का वर्ग समकोण को घेरने वाली भुजाओं के वर्गों के बराबर होता है।"

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न देशों और विभिन्न भाषाओं में परिचित प्रमेय के निर्माण के विभिन्न संस्करण हैं। अलग-अलग समय और अलग-अलग भाषाओं में बनाए गए, वे एक गणितीय पैटर्न के सार को दर्शाते हैं, जिसके प्रमाण में भी कई विकल्प हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के पाँच तरीके

प्राचीन चीनी प्रमाण

एक प्राचीन चीनी ड्राइंग में, पैरों के साथ चार समान समकोण त्रिभुजों a, b और कर्ण c को ढेर किया जाता है ताकि उनका बाहरी समोच्च एक वर्ग बनाता है जिसमें भुजा a + b होती है, और आंतरिक एक वर्ग c के साथ बनाया जाता है, जिस पर बनाया जाता है। कर्ण

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

जे. गार्डफील्ड द्वारा प्रमाण (1882)

आइए हम दो समान समकोण त्रिभुजों को व्यवस्थित करें ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो।

विचाराधीन समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के रूप में पाया जाता है

दूसरी ओर, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल परिणामी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है:

इन भावों की बराबरी करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

प्रमाण सरल है

यह प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की सरलतम स्थिति में प्राप्त होता है।

शायद, प्रमेय उसके साथ शुरू हुआ।

वास्तव में, यह देखने के लिए कि प्रमेय सत्य है, समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों की टाइलिंग को देखना ही पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, त्रिभुज ABC के लिए: कर्ण AC पर बने वर्ग में 4 प्रारंभिक त्रिभुज होते हैं, और पैरों पर बने वर्गों में दो होते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्राचीन हिंदुओं का प्रमाण

एक भुजा (a + b) वाले वर्ग को अंजीर की तरह भागों में विभाजित किया जा सकता है। 12. ए, या जैसा कि अंजीर में है। 12बी. स्पष्ट है कि दोनों आकृतियों में भाग 1, 2, 3, 4 समान हैं। और अगर बराबर (क्षेत्रों) में से बराबर घटा दिया जाए, तो बराबर ही रहेगा, यानी। सी 2 = ए 2 + बी 2।

यूक्लिड का प्रमाण

दो सहस्राब्दियों के लिए, सबसे आम पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण था, जिसका आविष्कार यूक्लिड ने किया था। यह उनकी प्रसिद्ध पुस्तक "बिगिनिंग्स" में रखा गया है।

यूक्लिड ने ऊंचाई BH को समकोण के शीर्ष से कर्ण तक कम किया और साबित किया कि इसका विस्तार कर्ण पर बने वर्ग को दो आयतों में विभाजित करता है, जिसके क्षेत्र पैरों पर बने संबंधित वर्गों के क्षेत्रों के बराबर होते हैं।

इस प्रमेय के प्रमाण में प्रयुक्त चित्र को मजाक में "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता है। लंबे समय तक उन्हें गणितीय विज्ञान के प्रतीकों में से एक माना जाता था।

पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय का महत्व इस तथ्य में निहित है कि ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे या इसकी सहायता से प्राप्त किए जा सकते हैं और कई समस्याओं को हल किया जा सकता है। इसके अलावा, पाइथागोरस प्रमेय और इसके व्युत्क्रम प्रमेय का व्यावहारिक महत्व यह है कि इनका उपयोग स्वयं खंडों को मापे बिना खंडों की लंबाई खोजने के लिए किया जा सकता है। यह, जैसा कि था, एक सीधी रेखा से एक विमान तक, एक विमान से वॉल्यूमेट्रिक स्पेस और उससे आगे का रास्ता खोलता है। यही कारण है कि पाइथागोरस प्रमेय मानवता के लिए इतना महत्वपूर्ण है, जो इन आयामों में अधिक आयामों की खोज और प्रौद्योगिकियों का निर्माण करना चाहता है।

निष्कर्ष

पाइथागोरस प्रमेय इतना प्रसिद्ध है कि उस व्यक्ति की कल्पना करना मुश्किल है जिसने इसके बारे में नहीं सुना है। मैंने सीखा कि पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कई तरीके हैं। मैंने इंटरनेट पर जानकारी सहित कई ऐतिहासिक और गणितीय स्रोतों का अध्ययन किया, और महसूस किया कि पाइथागोरस प्रमेय न केवल अपने इतिहास के लिए दिलचस्प है, बल्कि इसलिए भी कि यह जीवन और विज्ञान में एक महत्वपूर्ण स्थान रखता है। यह मेरे द्वारा इस पेपर में दिए गए इस प्रमेय के पाठ की विभिन्न व्याख्याओं और इसके प्रमाणों के तरीकों से प्रमाणित होता है।

तो, पाइथागोरस प्रमेय मुख्य में से एक है और, कोई कह सकता है, ज्यामिति का सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय। इसका महत्व इस तथ्य में निहित है कि ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इससे या इसकी सहायता से निकाले जा सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय भी इस मायने में उल्लेखनीय है कि यह अपने आप में बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है। उदाहरण के लिए, एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण सीधे चित्र पर देखे जा सकते हैं। लेकिन आप एक समकोण त्रिभुज को कितना भी देखें, आप कभी नहीं देखेंगे कि इसकी भुजाओं के बीच एक साधारण संबंध है: c2 = a2 + b2। इसलिए, इसे साबित करने के लिए अक्सर विज़ुअलाइज़ेशन का उपयोग किया जाता है। पाइथागोरस की खूबी यह थी कि उन्होंने इस प्रमेय का पूर्ण वैज्ञानिक प्रमाण दिया। स्वयं वैज्ञानिक का व्यक्तित्व, जिसकी स्मृति इस प्रमेय द्वारा गलती से संरक्षित नहीं है, दिलचस्प है। पाइथागोरस एक अद्भुत वक्ता, शिक्षक और शिक्षक, अपने स्कूल के आयोजक, संगीत और संख्याओं के सामंजस्य, अच्छाई और न्याय, ज्ञान और एक स्वस्थ जीवन शैली पर केंद्रित है। वह हमारे लिए, दूर के वंशजों के लिए एक उदाहरण के रूप में अच्छी तरह से सेवा कर सकता है।

ग्रंथ सूची लिंक

तुमानोवा एस.वी. पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कई तरीके // विज्ञान में शुरू करें। - 2016. - नंबर 2। - पी। 91-95;
यूआरएल: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (पहुंच की तिथि: 01/10/2020)।

पाइथागोरस प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत प्रमेयों में से एक, संबंध स्थापित करना

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच।

ऐसा माना जाता है कि यह ग्रीक गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा सिद्ध किया गया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है।

पाइथागोरस प्रमेय का ज्यामितीय सूत्रीकरण।

प्रमेय मूल रूप से निम्नानुसार तैयार किया गया था:

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है,

कैथेटर पर बनाया गया।

पाइथागोरस प्रमेय का बीजगणितीय सूत्रीकरण।

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

अर्थात्, त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को दर्शाते हुए सी, और पैरों की लंबाई एकतथा बी:

दोनों फॉर्मूलेशन पायथागॉरियन प्रमेयसमकक्ष हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, ऐसा नहीं है

क्षेत्र की अवधारणा की आवश्यकता है। यानी दूसरे कथन को क्षेत्र के बारे में कुछ भी जाने बिना सत्यापित किया जा सकता है और

एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई मापकर।

उलटा पाइथागोरस प्रमेय।

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो

त्रिभुज आयताकार है।

या, दूसरे शब्दों में:

धनात्मक संख्याओं के किसी भी तिगुने के लिए एक, बीतथा सी, ऐसा है कि

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है एकतथा बीऔर कर्ण सी.

समद्विबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण।

फिलहाल इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज हैं। शायद प्रमेय

पाइथागोरस एकमात्र प्रमेय है जिसके पास इतने प्रभावशाली प्रमाण हैं। ऐसी विविधता

ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व से ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से, उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध:

का प्रमाण क्षेत्र विधि, सिद्धतथा विदेशी साक्ष्य(उदाहरण के लिए,

का उपयोग करके विभेदक समीकरण).

1. पाइथागोरस प्रमेय का समरूप त्रिभुजों के संदर्भ में प्रमाण।

बीजीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है:

सीधे स्वयंसिद्धों से। विशेष रूप से, यह एक आकृति के क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीएक समकोण त्रिभुज है सी. आइए से ऊंचाई बनाएं सीऔर निरूपित करें

इसकी नींव के माध्यम से एच.

त्रिकोण आकत्रिभुज के समान अबदो कोनों पर सी। इसी तरह, त्रिभुज सीबीएचएक जैसा एबीसी.

संकेतन शुरू करके:

हम पाते हैं:

,

कौन सा मेल खाता है -

मुड़ा हुआ एक 2 और बी 2, हमें मिलता है:

या, जिसे सिद्ध किया जाना था।

2. क्षेत्र विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

निम्नलिखित प्रमाण, उनकी स्पष्ट सादगी के बावजूद, इतने सरल नहीं हैं। उन सभी को

क्षेत्र के गुणों का उपयोग करें, जिसका प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से अधिक जटिल है।

• समीकरण के माध्यम से प्रमाण।

चार समान आयताकार व्यवस्थित करें

चित्र में दिखाए अनुसार त्रिभुज

दायी ओर।

भुजाओं वाला चतुर्भुज सी- वर्ग,

चूँकि दो न्यून कोणों का योग 90° होता है, तथा

विकसित कोण 180° है।

पूरी आकृति का क्षेत्रफल एक ओर है,

भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल ( ए+बी), और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग और

क्यू.ई.डी.

3. इनफिनिटिमल विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

​

चित्र में दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखते हुए, और

पक्ष परिवर्तन देख रहे हैंएक, हम कर सकते हैं

अनंत के लिए निम्नलिखित संबंध लिखिए

छोटा पार्श्व वृद्धिसाथतथा एक(समानता का उपयोग करते हुए

त्रिभुज):

चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

दोनों पैरों की वृद्धि के मामले में कर्ण को बदलने के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति:

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं:

जैसा कि यह देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता रैखिक के कारण प्रकट होती है

त्रिभुज के पक्षों और वृद्धि के बीच आनुपातिकता, जबकि योग स्वतंत्र से संबंधित है

विभिन्न पैरों की वृद्धि से योगदान।

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मानते हैं कि पैरों में से एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है

(इस मामले में, पैर बी) फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हम प्राप्त करते हैं: