अनुपात और अनुपात की गणना। अनुपात की गणना कैसे की जाती है? अनुपात क्या है

अनुपात सूत्र

अनुपात दो अनुपातों की समानता है जब a:b=c:d

अनुपात 1 : 10, 7 . के अनुपात के बराबर है : 70, जिसे भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है: 1 10 = 7 70 पढ़ता है: "एक के लिए दस के रूप में सात के लिए सत्तर है"

अनुपात के मूल गुण

चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों (क्रॉसवाइज) के गुणनफल के बराबर होता है: यदि a:b=c:d , तो a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

समानुपात व्युत्क्रमानुपाती: यदि a:b=c:d , तो b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

मध्य सदस्यों का क्रमपरिवर्तन: यदि a:b=c:d , तो a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

चरम सदस्यों का क्रमपरिवर्तन: यदि a:b=c:d , तो d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

एक अज्ञात के साथ अनुपात को हल करना | समीकरण

1 : 10 = एक्स : 70 या 1 10 = एक्स 70

एक्स को खोजने के लिए, आपको दो ज्ञात संख्याओं को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा और विपरीत मान से विभाजित करना होगा

एक्स = 1 ⋅ 70 10 = 7

अनुपात की गणना कैसे करें

एक कार्य:आपको प्रति 10 किलोग्राम वजन पर 1 टैबलेट सक्रिय चारकोल पीने की जरूरत है। अगर किसी व्यक्ति का वजन 70 किलो है तो उसे कितनी गोलियां लेनी चाहिए?

आइए अनुपात बनाएं: 1 टैबलेट - 10 किलो एक्सगोलियाँ - 70 किलो x खोजने के लिए, आपको दो ज्ञात संख्याओं को क्रॉसवाइज गुणा करना होगा और विपरीत मान से विभाजित करना होगा: 1 गोली एक्सगोलियाँ 10 किलो 70 किलो एक्स = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 उत्तर: 7 गोलियाँ

एक कार्य:वास्या पांच घंटे में दो लेख लिखती है। वह 20 घंटे में कितने लेख लिखेगा?

आइए अनुपात बनाते हैं: 2 लेख - 5 घंटे एक्सलेख - 20 घंटे एक्स = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 उत्तर: 8 लेख

मैं भविष्य के स्कूली स्नातकों से कह सकता हूं कि आनुपातिक रूप से चित्रों को कम करने के लिए, और वेब पेज के HTML लेआउट में, और रोजमर्रा की स्थितियों में अनुपात बनाने की क्षमता मेरे लिए उपयोगी थी।

एक रिश्ता हमारी दुनिया की संस्थाओं के बीच एक निश्चित संबंध है। ये संख्याएँ, भौतिक मात्राएँ, वस्तुएँ, उत्पाद, घटनाएँ, क्रियाएँ और यहाँ तक कि लोग भी हो सकते हैं।

दैनिक जीवन में, जब अनुपात की बात आती है, तो हम कहते हैं: "इस और उस का अनुपात". उदाहरण के लिए, यदि एक फूलदान में 4 सेब और 2 नाशपाती हैं, तो हम कहते हैं सेब से नाशपाती का अनुपात नाशपाती से सेब का अनुपात.

गणित में, अनुपात का प्रयोग अक्सर के रूप में किया जाता है "किसी चीज का किसी चीज से संबंध". उदाहरण के लिए, चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात, जिसे हमने ऊपर माना, गणित में इस प्रकार पढ़ा जाएगा "चार सेब से दो नाशपाती का अनुपात"या यदि आप सेब और नाशपाती की अदला-बदली करते हैं, तो "दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात".

अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है एकप्रति बी(जहाँ के बजाय एकतथा बीकोई भी संख्या), लेकिन अधिक बार आप एक ऐसी प्रविष्टि पा सकते हैं जो एक कोलन का उपयोग करके बनाई गई है: ए:बी. आप इस प्रविष्टि को विभिन्न तरीकों से पढ़ सकते हैं:

• एकप्रति बी
• एकको संदर्भित करता है बी
• रवैया एकप्रति बी

हम अनुपात चिह्न का उपयोग करके चार सेब और दो नाशपाती का अनुपात लिखते हैं:

4: 2

यदि हम सेब और नाशपाती की अदला-बदली करते हैं, तो हमारे पास 2:4 का अनुपात होगा। इस अनुपात को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है "दो से चार" या तो "दो नाशपाती चार सेब के बराबर हैं" .

निम्नलिखित में, हम संबंध को एक संबंध के रूप में संदर्भित करेंगे।

पाठ सामग्री

एक रवैया क्या है?

संबंध, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, इस प्रकार लिखा गया है: ए:बी. इसे भिन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है। और हम जानते हैं कि गणित में इस तरह के रिकॉर्ड का मतलब है विभाजन। तब संबंध का परिणाम संख्याओं का भागफल होगा एकतथा बी.

गणित में, एक अनुपात दो संख्याओं का भागफल होता है।

अनुपात आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई दूसरे की प्रति इकाई कितनी है। आइए चार सेब और दो नाशपाती (4:2) के अनुपात पर वापस जाएं। यह अनुपात हमें यह पता लगाने की अनुमति देगा कि प्रति यूनिट नाशपाती में कितने सेब हैं। एक इकाई का अर्थ है एक नाशपाती। सबसे पहले, आइए अनुपात 4:2 को भिन्न के रूप में लिखें:

यह अनुपात संख्या 4 से संख्या 2 का विभाजन है। यदि हम इस विभाजन को करते हैं, तो हमें इस प्रश्न का उत्तर मिलेगा कि नाशपाती की प्रति इकाई कितने सेब हैं।

हमें 2 मिला है। तो चार सेब और दो नाशपाती (4: 2) सहसंबद्ध हैं (एक दूसरे के साथ जुड़े हुए हैं) ताकि प्रति नाशपाती दो सेब हों।

चित्र दिखाता है कि कैसे चार सेब और दो नाशपाती एक दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक नाशपाती के लिए दो सेब होते हैं।

संबंध को के रूप में लिखकर उलटा किया जा सकता है। फिर हमें दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात, या "दो नाशपाती और चार सेब का अनुपात" मिलता है। यह अनुपात दिखाएगा कि प्रति यूनिट सेब में कितने नाशपाती हैं। सेब की इकाई का अर्थ है एक सेब।

किसी भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए।

0.5 मिला। आइए इस दशमलव अंश को एक साधारण अंश में बदलें:

परिणामी साधारण अंश को 5 . से कम करें

जवाब मिला (आधा नाशपाती)। तो दो नाशपाती और चार सेब (2:4) सहसंबद्ध हैं (एक दूसरे के साथ परस्पर संबंधित) ताकि एक सेब आधा नाशपाती के बराबर हो

चित्र दिखाता है कि कैसे दो नाशपाती और चार सेब एक दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक सेब के लिए आधा नाशपाती है।

वे अंक जो संबंध बनाते हैं, कहलाते हैं रिश्ते के सदस्य. उदाहरण के लिए, संबंध 4:2 में, सदस्य संख्याएँ 4 और 2 हैं।

रिश्तों के अन्य उदाहरणों पर विचार करें। कुछ तैयार करने के लिए एक रेसिपी बनाई जाती है। नुस्खा उत्पादों के बीच अनुपात से बनाया गया है। उदाहरण के लिए, दलिया बनाने के लिए आमतौर पर दो गिलास दूध या पानी के लिए एक गिलास अनाज की आवश्यकता होती है। इसका परिणाम 1:2 अनुपात ("एक से दो" या "एक गिलास अनाज से दो गिलास दूध") में होता है।

आइए 1:2 के अनुपात को भिन्न में बदलें, जो हमें प्राप्त होता है। इस भिन्न की गणना करने पर हमें 0.5 प्राप्त होता है। तो एक गिलास अनाज और दो गिलास दूध सहसंबद्ध (सहसंबद्ध) हैं ताकि एक गिलास दूध के लिए आधा गिलास अनाज हो।

यदि आप 1:2 के अनुपात को पलटते हैं, तो आपको 2:1 अनुपात ("दो से एक" या "दो गिलास दूध से एक गिलास अनाज") मिलता है। 2:1 के अनुपात को भिन्न में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं। इस अंश की गणना करने पर, हमें 2 मिलता है। तो दो गिलास दूध और एक गिलास अनाज संबंधित हैं (एक दूसरे के साथ सहसंबद्ध) ताकि एक गिलास अनाज के लिए दो गिलास दूध हो।

उदाहरण 2कक्षा में 15 विद्यार्थी हैं। इनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। लड़कियों का लड़कों से अनुपात 10:5 लिखना और इस अनुपात को भिन्न में बदलना संभव है। इस भिन्न की गणना करने पर, हमें 2 प्राप्त होता है। अर्थात, लड़कियां और लड़के एक-दूसरे से संबंधित होते हैं, ताकि प्रत्येक लड़के के लिए दो लड़कियां हों।

चित्र में दिखाया गया है कि कैसे दस लड़कियां और पांच लड़के एक-दूसरे से संबंधित हैं। यह देखा जा सकता है कि हर लड़के के लिए दो लड़कियां होती हैं।

अनुपात को भिन्न में बदलना और भागफल ज्ञात करना हमेशा संभव नहीं होता है। कुछ मामलों में यह अतार्किक होगा।

इसलिए, यदि आप अनुपात को उल्टा कर देते हैं, और यह लड़कों से लड़कियों का अनुपात है। यदि आप इस भिन्न की गणना करते हैं, तो आपको 0.5 प्राप्त होता है। यह पता चला है कि पांच लड़के दस लड़कियों से संबंधित हैं, इसलिए हर लड़की के लिए आधा लड़का है। गणित की दृष्टि से यह बात बिल्कुल सही है, लेकिन वास्तविकता की दृष्टि से यह पूरी तरह से उचित नहीं है, क्योंकि एक लड़का एक जीवित व्यक्ति है और इसे सिर्फ एक नाशपाती या सेब की तरह लिया और विभाजित नहीं किया जा सकता है।

समस्या समाधान में सही दृष्टिकोण बनाने की क्षमता एक महत्वपूर्ण कौशल है। तो भौतिकी में, समय से तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है।

दूरी को चर द्वारा निरूपित किया जाता है एस, समय - एक चर के माध्यम से टी, गति - चर के माध्यम से वी. फिर वाक्यांश "समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है"निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया जाएगा:

मान लीजिए एक कार 2 घंटे में 100 किलोमीटर की दूरी तय करती है। तो 100 किलोमीटर और 2 घंटे की यात्रा का अनुपात कार की गति होगी:

वेग किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी है। समय की इकाई 1 घंटा, 1 मिनट या 1 सेकंड है। और अनुपात, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, आपको यह पता लगाने की अनुमति देता है कि एक इकाई दूसरे की प्रति इकाई कितनी है। हमारे उदाहरण में, एक सौ किलोमीटर से दो घंटे के अनुपात से पता चलता है कि एक घंटे की आवाजाही के लिए कितने किलोमीटर हैं। हम देखते हैं कि हर घंटे की आवाजाही के लिए 50 किलोमीटर . होते हैं

तो गति को में मापा जाता है किमी/घंटा, मी/मिनट, मी/से. भिन्न चिह्न (/) दूरी और समय के अनुपात को दर्शाता है: किलोमीटर प्रति घंटा , मीटर प्रति मिनटतथा मीटर प्रति सेकंड क्रमश।

उदाहरण 2. किसी वस्तु के मूल्य का उसकी मात्रा से अनुपात वस्तु की एक इकाई की कीमत है।

अगर हमने स्टोर में 5 चॉकलेट बार लिया और उनकी कुल लागत 100 रूबल थी, तो हम एक बार की कीमत निर्धारित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको बार की संख्या के लिए एक सौ रूबल का अनुपात खोजने की आवश्यकता है। तब हम पाते हैं कि एक बार 20 रूबल के लिए खाता है

मूल्यों की तुलना

पहले हमने सीखा कि विभिन्न प्रकृति की मात्राओं के बीच का अनुपात एक नई मात्रा बनाता है। इस प्रकार, समय के साथ तय की गई दूरी का अनुपात गति की गति है। किसी वस्तु के मूल्य का उसकी मात्रा से अनुपात वस्तु की एक इकाई की कीमत है।

लेकिन अनुपात का उपयोग मूल्यों की तुलना करने के लिए भी किया जा सकता है। इस तरह के संबंध का परिणाम एक संख्या है जो यह दर्शाता है कि पहला मान दूसरे से कितना गुना अधिक है, या पहला मान दूसरे से कितना भाग है।

यह पता लगाने के लिए कि पहला मान दूसरे से कितना गुना बड़ा है, आपको अनुपात के अंश में एक बड़ा मान और हर में एक छोटा मान लिखना होगा।

यह पता लगाने के लिए कि पहला मान दूसरे से कौन सा भाग है, आपको अनुपात के अंश में एक छोटा मान और हर में एक बड़ा मान लिखना होगा।

संख्या 20 और 2 पर विचार करें। आइए जानें कि संख्या 20 संख्या 2 से कितनी गुना बड़ी है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 और संख्या 2 का अनुपात ज्ञात करते हैं। अनुपात के अंश में संख्या 20 लिखिए। , और हर में संख्या 2

इस अनुपात का मान दस . है

संख्या 20 का संख्या 2 से अनुपात संख्या 10 है। यह संख्या दर्शाती है कि संख्या 20 संख्या 2 से कितनी गुना अधिक है। अतः संख्या 20 संख्या 2 से दस गुना अधिक है।

उदाहरण 2कक्षा में 15 विद्यार्थी हैं। उनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि लड़कों की तुलना में लड़कियां कितनी गुना अधिक हैं।

लड़कियों का लड़कों के प्रति दृष्टिकोण लिखिए। अनुपात के अंश में हम लड़कियों की संख्या, अनुपात के हर में - लड़कों की संख्या लिखते हैं:

इस अनुपात का मान 2 है। इसका मतलब है कि 15 की कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है।

अब सवाल यह नहीं है कि एक लड़के के लिए कितनी लड़कियां होती हैं। इस मामले में, अनुपात का उपयोग लड़कों की संख्या के साथ लड़कियों की संख्या की तुलना करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण 3. संख्या 2 का कौन सा भाग संख्या 20 से है।

हम संख्या 2 से संख्या 20 का अनुपात पाते हैं। अनुपात के अंश में हम संख्या 2 लिखते हैं, और हर में - संख्या 20

इस रिश्ते का मतलब जानने के लिए आपको याद रखना होगा,

संख्या 2 से संख्या 20 के अनुपात का मान संख्या 0.1 . है

इस मामले में, दशमलव अंश 0.1 को साधारण अंश में बदला जा सकता है। इस उत्तर को समझना आसान होगा:

तो 20 की संख्या 2 एक दहाई है।

आप एक चेक कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 20 से पाएंगे। यदि हमने सब कुछ सही ढंग से किया है, तो हमें संख्या 2 . प्राप्त करनी चाहिए

20: 10 = 2

2 x 1 = 2

हमें संख्या 2 मिली है। अतः संख्या 20 का दसवां भाग संख्या 2 है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समस्या का सही समाधान हो गया है।

उदाहरण 4कक्षा में 15 लोग हैं। उनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि छात्रों की कुल संख्या का कितना अनुपात लड़के हैं।

हम छात्रों की कुल संख्या में लड़कों के अनुपात को लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में पाँच लड़के और हर में स्कूली बच्चों की कुल संख्या लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के जमा 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम अनुपात के हर में संख्या 15 लिखते हैं।

इस अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 5 को संख्या 15 . से विभाजित किया जाना चाहिए

जब आप 5 को 15 से भाग देते हैं, तो आपको एक आवर्त भिन्न मिलता है। आइए इस भिन्न को साधारण में बदलें

अंतिम उत्तर मिला। तो लड़के पूरी कक्षा का एक तिहाई हिस्सा बनाते हैं

चित्र से पता चलता है कि 15 छात्रों की एक कक्षा में, कक्षा के एक तिहाई में 5 लड़के हैं।

अगर सत्यापन के लिए हमें 15 स्कूली बच्चों से मिलते हैं, तो हमें 5 लड़के मिलेंगे

15: 3 = 5

5 x 1 = 5

उदाहरण 5संख्या 35, संख्या 5 से कितनी गुनी है?

हम संख्या 35 से संख्या 5 का अनुपात लिखते हैं। अनुपात के अंश में, आपको संख्या 35 को हर में लिखना होगा - संख्या 5, लेकिन इसके विपरीत नहीं

इस अनुपात का मान 7 है। अत: संख्या 35, संख्या 5 से सात गुना अधिक है।

उदाहरण 6कक्षा में 15 लोग हैं। उनमें से 5 लड़के हैं, 10 लड़कियां हैं। निर्धारित करें कि लड़कियों की कुल संख्या का कितना अनुपात है।

हम छात्रों की कुल संख्या में लड़कियों के अनुपात को लिखते हैं। हम अनुपात के अंश में दस लड़कियों और हर में स्कूली बच्चों की कुल संख्या लिखते हैं। स्कूली बच्चों की कुल संख्या 5 लड़के जमा 10 लड़कियां हैं, इसलिए हम अनुपात के हर में संख्या 15 लिखते हैं।

इस अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 10 को संख्या 15 . से विभाजित किया जाना चाहिए

जब आप 10 को 15 से भाग देते हैं, तो आपको एक आवर्त भिन्न मिलता है। आइए इस भिन्न को साधारण में बदलें

आइए परिणामी भिन्न को 3 . से कम करें

अंतिम उत्तर मिला। तो लड़कियां पूरी कक्षा का दो-तिहाई हिस्सा बनाती हैं

चित्र से पता चलता है कि 15 छात्रों की एक कक्षा में, कक्षा के दो तिहाई 10 लड़कियां हैं।

यदि सत्यापन के लिए हमें 15 स्कूली बच्चों से मिलता है, तो हमें 10 लड़कियां मिलती हैं

15: 3 = 5

5 x 2 = 10

उदाहरण 7 10 सेमी का कौन सा भाग 25 सेमी . है

दस सेंटीमीटर से पच्चीस सेंटीमीटर का अनुपात लिखिए। अनुपात के अंश में हम 10 सेमी, हर में - 25 सेमी . लिखते हैं

इस अनुपात का मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि छोटी संख्या को बड़ी संख्या से कैसे विभाजित किया जाए। इस मामले में, संख्या 10 को संख्या 25 . से विभाजित किया जाना चाहिए

आइए परिणामी दशमलव अंश को साधारण में बदलें

आइए परिणामी भिन्न को 2 . से कम करें

अंतिम उत्तर मिला। तो 10 सेमी 25 सेमी है।

उदाहरण 8 25 सेमी 10 सेमी . से कितनी बार बड़ा है

पच्चीस सेंटीमीटर से दस सेंटीमीटर का अनुपात लिखिए। अनुपात के अंश में हम 25 सेमी लिखते हैं, हर में - 10 सेमी

उत्तर मिला 2.5। तो 25 सेमी 10 सेमी (ढाई गुना) से 2.5 गुना अधिक है

महत्वपूर्ण लेख।समान भौतिक राशियों का अनुपात ज्ञात करते समय, इन राशियों को माप की एक इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए, अन्यथा उत्तर गलत होगा।

उदाहरण के लिए, यदि हम दो लंबाई के साथ काम कर रहे हैं और जानना चाहते हैं कि पहली लंबाई दूसरी से कितनी गुना अधिक है, या पहली लंबाई दूसरी से कितनी बार है, तो दोनों लंबाई को पहले माप की एक इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए।

उदाहरण 9 150 सेमी 1 मीटर से कितना गुना अधिक है?

सबसे पहले, आइए सुनिश्चित करें कि दोनों लंबाई एक ही इकाई में व्यक्त की जाती हैं। ऐसा करने के लिए, 1 मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। एक मीटर एक सौ सेंटीमीटर है

1 मीटर = 100 सेमी

अब हम एक सौ पचास सेंटीमीटर से एक सौ सेंटीमीटर का अनुपात पाते हैं। अनुपात के अंश में हम 150 सेंटीमीटर लिखते हैं, हर में - 100 सेंटीमीटर

आइए इस संबंध का मूल्य ज्ञात करें

उत्तर मिला 1.5। तो 150 सेमी 100 सेमी से 1.5 गुना (डेढ़ गुना) अधिक है।

और अगर हमने मीटर को सेंटीमीटर में बदलना शुरू नहीं किया और तुरंत 150 सेमी से एक मीटर के अनुपात को खोजने की कोशिश की, तो हमें निम्नलिखित मिलेगा:

यह पता चलेगा कि 150 सेमी एक मीटर से एक सौ पचास गुना अधिक है, लेकिन यह सच नहीं है। इसलिए, भौतिक मात्राओं के मापन की इकाइयों पर ध्यान देना अनिवार्य है जो संबंध में शामिल हैं। यदि इन मात्राओं को माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, तो इन मात्राओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, आपको माप की एक इकाई पर जाना होगा।

उदाहरण 10पिछले महीने, एक व्यक्ति का वेतन 25,000 रूबल था, और इस महीने वेतन बढ़कर 27,000 रूबल हो गया। निर्धारित करें कि वेतन में कितनी वृद्धि हुई है

हम सत्ताईस हजार से पच्चीस हजार का अनुपात लिखते हैं। अनुपात के अंश में हम 27000 लिखते हैं, हर में - 25000

आइए इस संबंध का मूल्य ज्ञात करें

उत्तर मिला 1.08. तो वेतन 1.08 गुना बढ़ गया। भविष्य में, जब हम प्रतिशत से परिचित होते हैं, तो हम ऐसे संकेतकों को वेतन के रूप में प्रतिशत के रूप में व्यक्त करेंगे।

उदाहरण 11. अपार्टमेंट की इमारत 80 मीटर चौड़ी और 16 मीटर ऊंची है। घर की चौड़ाई उसकी ऊंचाई से कितनी गुना अधिक है?

हम घर की चौड़ाई और उसकी ऊंचाई का अनुपात लिखते हैं:

इस अनुपात का मान 5 होता है। इसका मतलब है कि घर की चौड़ाई उसकी ऊंचाई से पांच गुना है।

संबंध संपत्ति

यदि इसके पदों को उसी संख्या से गुणा या भाग दिया जाए तो अनुपात नहीं बदलेगा।

यह एक संबंध के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक भागफल संपत्ति से होता है। हम जानते हैं कि यदि भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो भागफल नहीं बदलेगा। और चूंकि एक संबंध एक विभाजन से ज्यादा कुछ नहीं है, इसलिए भागफल संपत्ति भी इसके लिए काम करती है।

आइए हम लड़कों के प्रति लड़कियों के रवैये पर लौटते हैं (10:5)। इस अनुपात से पता चलता है कि प्रत्येक लड़के के लिए दो लड़कियां हैं। आइए देखें कि रिलेशन प्रॉपर्टी कैसे काम करती है, आइए इसके सदस्यों को उसी संख्या से गुणा या विभाजित करने का प्रयास करें।

हमारे उदाहरण में, संबंध की शर्तों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाजित करना अधिक सुविधाजनक है।

सदस्यों 10 और 5 की जीसीडी संख्या 5 है। इसलिए, आप संबंध की शर्तों को संख्या 5 से विभाजित कर सकते हैं

नया नजरिया मिला। यह दो से एक अनुपात (2:1) है। 10:5 के पिछले अनुपात की तरह यह अनुपात दर्शाता है कि प्रत्येक लड़के के लिए दो लड़कियां हैं।

यह आंकड़ा 2:1 के अनुपात (दो से एक) को दर्शाता है। पिछले 10:5 अनुपात की तरह, प्रति लड़के में दो लड़कियां हैं। दूसरे शब्दों में, रवैया नहीं बदला है।

उदाहरण 2. एक कक्षा में 10 लड़कियां और 5 लड़के हैं। दूसरी कक्षा में 20 लड़कियां और 10 लड़के हैं। पहली कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या कितनी गुना अधिक है? दूसरी कक्षा में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या कितनी गुना अधिक है?

दोनों कक्षाओं में लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या दोगुनी है, क्योंकि अनुपात और समान संख्या के बराबर हैं।

संबंध संपत्ति आपको विभिन्न मॉडल बनाने की अनुमति देती है जिसमें वास्तविक वस्तु के समान पैरामीटर होते हैं। मान लीजिए एक अपार्टमेंट बिल्डिंग 30 मीटर चौड़ी और 10 मीटर ऊंची है।

कागज पर एक समान घर बनाने के लिए, आपको इसे 30:10 के समान अनुपात में बनाना होगा।

इस अनुपात के दोनों पदों को संख्या 10 से भाग दें। तब हमें अनुपात 3:1 प्राप्त होता है। यह अनुपात 3 है, जैसे पिछला अनुपात 3 . है

मीटर को सेंटीमीटर में बदलें। 3 मीटर 300 सेंटीमीटर है और 1 मीटर 100 सेंटीमीटर है।

3 मीटर = 300 सेमी

1 मीटर = 100 सेमी

हमारे पास 300 सेमी: 100 सेमी का अनुपात है। इस अनुपात के पदों को 100 से विभाजित करें। हमें 3 सेमी: 1 सेमी का अनुपात मिलता है। अब हम 3 सेमी की चौड़ाई और 1 सेमी की ऊंचाई के साथ एक घर बना सकते हैं।

बेशक, खींचा गया घर वास्तविक घर की तुलना में बहुत छोटा है, लेकिन चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात अपरिवर्तित रहता है। इसने हमें वास्तविक के जितना संभव हो सके एक घर खींचने की अनुमति दी।

मनोवृत्ति को दूसरे तरीके से भी समझा जा सकता है। प्रारंभ में, यह कहा गया था कि एक वास्तविक घर की चौड़ाई 30 मीटर और ऊंचाई 10 मीटर होती है। कुल 30 + 10, यानी 40 मीटर है।

इन 40 मीटर को 40 भागों के रूप में समझा जा सकता है। 30:10 के अनुपात का अर्थ है चौड़ाई के लिए 30 भाग और ऊंचाई के लिए 10 भाग।

इसके अलावा, 30:10 के अनुपात के सदस्यों को 10 से विभाजित किया गया था। परिणाम 3: 1 का अनुपात था। इस अनुपात को 4 भागों के रूप में समझा जा सकता है, जिनमें से तीन चौड़ाई पर आते हैं, एक ऊंचाई पर। इस मामले में, आपको आमतौर पर यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि प्रति चौड़ाई और ऊंचाई कितने मीटर है।

दूसरे शब्दों में, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि कितने मीटर 3 भागों में आते हैं और कितने मीटर 1 भाग में आते हैं। पहले आपको यह पता लगाना होगा कि एक हिस्से पर कितने मीटर गिरते हैं। ऐसा करने के लिए, कुल 40 मीटर को 4 से विभाजित किया जाना चाहिए, क्योंकि 3:1 के अनुपात में केवल चार भाग होते हैं

आइए निर्धारित करें कि चौड़ाई कितने मीटर है:

10 मी × 3 = 30 मी

आइए निर्धारित करें कि ऊंचाई पर कितने मीटर गिरते हैं:

10 मी × 1 = 10 मी

एक रिश्ते के कई सदस्य

यदि एक संबंध में कई सदस्य दिए गए हैं, तो उन्हें किसी चीज के हिस्से के रूप में समझा जा सकता है।

उदाहरण 1. 18 सेब खरीदे। इन सेबों को माँ, पिताजी और बेटी के बीच 2: 1: 3 के अनुपात में बांटा गया था। प्रत्येक को कितने सेब मिले?

2: 1: 3 का अनुपात इंगित करता है कि माँ को 2 भाग मिले, पिता को - 1 भाग, बेटी को - 3 भाग। दूसरे शब्दों में, 2:1:3 अनुपात का प्रत्येक सदस्य 18 सेबों का एक निश्चित अंश है:

यदि आप अनुपात 2:1:3 के पदों को जोड़ दें, तो आप यह पता लगा सकते हैं कि कुल कितने भाग हैं:

2 + 1 + 3 = 6 (भाग)

ज्ञात कीजिए कि एक भाग पर कितने सेब गिरते हैं। ऐसा करने के लिए, 18 सेबों को 6 . से विभाजित करें

18:6 = 3 (सेब प्रति भाग)

अब आइए निर्धारित करें कि प्रत्येक को कितने सेब मिले। प्रत्येक सदस्य द्वारा तीन सेबों को 2:1:3 के अनुपात से गुणा करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि माँ को कितने सेब मिले, कितने पिता मिले, और कितनी बेटी मिली।

पता करें कि माँ को कितने सेब मिले:

3 × 2 = 6 (सेब)

पता करें कि पिताजी को कितने सेब मिले:

3 × 1 = 3 (सेब)

पता करें कि बेटी को कितने सेब मिले:

3 × 3 = 9 (सेब)

उदाहरण 2. नई चांदी (अल्पाका) 3:4:13 के अनुपात में निकल, जस्ता और तांबे का मिश्र धातु है। 4 किलो नई चांदी प्राप्त करने के लिए प्रत्येक धातु का कितना किलोग्राम लेना होगा?

4 किलोग्राम नई चांदी में 3 भाग निकल, 4 भाग जस्ता और 13 भाग तांबा होगा। सबसे पहले, हम यह पता लगाते हैं कि चार किलोग्राम चांदी में कितने भाग होंगे:

3 + 4 + 13 = 20 (भाग)

निर्धारित करें कि एक भाग पर कितने किलोग्राम गिरेंगे:

4 किग्रा: 20 = 0.2 किग्रा

आइए हम निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम निकेल होगा। कहा जाता है कि 3:4:13 के अनुपात में मिश्र धातु के तीन भागों में निकेल होता है। तो हम 0.2 को 3 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 3 = 0.6 किग्रा निकेल

अब आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम जस्ता होगा। 3:4:13 के अनुपात में, मिश्र धातु के चार भागों में जस्ता होता है। तो हम 0.2 को 4 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 4 = 0.8 किग्रा जिंक

अब आइए निर्धारित करें कि 4 किलो नई चांदी में कितने किलोग्राम तांबा होगा। कहा जाता है कि 3:4:13 के अनुपात में मिश्र धातु के तेरह भागों में तांबा होता है। इसलिए, हम 0.2 को 13 से गुणा करते हैं:

0.2 किग्रा × 13 = 2.6 किग्रा तांबा

तो, 4 किलो नई चांदी प्राप्त करने के लिए, आपको 0.6 किलो निकल, 0.8 किलो जस्ता और 2.6 किलो तांबा लेना होगा।

उदाहरण 3. पीतल तांबे और जस्ता का मिश्र धातु है जिसका द्रव्यमान 3:2 के अनुपात में है। पीतल का एक टुकड़ा बनाने में 120 ग्राम तांबा लगता है। पीतल के इस टुकड़े को बनाने के लिए कितने जस्ता की आवश्यकता है?

आइए निर्धारित करें कि एक भाग पर कितने ग्राम मिश्र धातु गिरती है। शर्त यह है कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए 120 ग्राम तांबे की आवश्यकता होती है। यह भी कहा जाता है कि मिश्रधातु के तीन भागों में तांबा होता है। यदि हम 120 को 3 से विभाजित करते हैं, तो हम पाते हैं कि एक भाग में कितने ग्राम मिश्र धातु हैं:

120: 3 = 40 ग्राम प्रति पीस

अब आइए निर्धारित करें कि पीतल का एक टुकड़ा बनाने के लिए कितने जस्ता की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए, हम 40 ग्राम को 2 से गुणा करते हैं, क्योंकि 3: 2 के अनुपात से यह संकेत मिलता है कि दो भागों में जस्ता होता है:

40 ग्राम × 2 = 80 ग्राम जिंक

उदाहरण 4. उन्होंने सोने और चाँदी की दो मिश्रधातुएँ लीं। एक में इन धातुओं का अनुपात 1:9 है, और दूसरे में 2:3।

समाधान

एक नई मिश्रधातु का 15 किग्रा 1:4 के अनुपात में होना चाहिए। यह अनुपात इंगित करता है कि मिश्र धातु के एक भाग में सोना होगा, और चार भागों में चांदी होगी। कुल पाँच भाग हैं। योजनाबद्ध रूप से, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है

आइए एक भाग का द्रव्यमान निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, पहले सभी भागों (1 और 4) को जोड़ें, फिर मिश्र धातु के द्रव्यमान को इन भागों की संख्या से विभाजित करें

1 + 4 = 5
15 किग्रा: 5 = 3 किग्रा

मिश्रधातु के एक भाग का द्रव्यमान 3 किग्रा होगा। फिर 15 किलो नई मिश्र धातु में 3 × 1 = 3 किलो सोना और 3 × 4 = 12 किलो चांदी होगी।

इसलिए, 15 किलो वजन वाली मिश्र धातु प्राप्त करने के लिए, हमें 3 किलो सोना और 12 किलो चांदी चाहिए।

अब कार्य के प्रश्न का उत्तर देते हैं - " प्रत्येक मिश्र धातु को कितना लेना है? »

हम पहले मिश्र धातु का 10 किलो लेंगे, क्योंकि इसमें सोने और चांदी का अनुपात 1:9 है। यानी यह पहली मिश्र धातु हमें 1 किलो सोना और 9 किलो चांदी देगी।

हम दूसरी मिश्रधातु का 5 किलो लेंगे, क्योंकि इसमें सोना और चांदी 2:3 के अनुपात में हैं। यानी यह दूसरी मिश्र धातु हमें 2 किलो सोना और 3 किलो चांदी देगी।

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अनुपात एक ऐसा परिचित संयोजन है, जो शायद एक व्यापक स्कूल के प्राथमिक ग्रेड से जाना जाता है। सबसे सामान्य अर्थों में, अनुपात दो या दो से अधिक अनुपातों की समानता है.

अर्थात्, यदि कुछ संख्याएँ A, B और C हैं

फिर अनुपात

यदि चार संख्याएँ A, B, C और D हैं

या तो अनुपात भी है

सबसे सरल उदाहरण जहां अनुपात का उपयोग किया जाता है वह प्रतिशत की गणना है।

सामान्य तौर पर, अनुपात का उपयोग इतना व्यापक होता है कि यह बताना आसान होता है कि वे कहां लागू नहीं होते हैं।

अनुपात का उपयोग एक महत्वपूर्ण शर्त के साथ दूरी, द्रव्यमान, आयतन, साथ ही किसी भी चीज़ की मात्रा निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है: अनुपात में, विभिन्न वस्तुओं के बीच रैखिक निर्भरता होनी चाहिए. नीचे, कांस्य घुड़सवार लेआउट के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करते हुए, आप देखेंगे कि उन अनुपातों की गणना कैसे करें जहां गैर-रैखिक निर्भरताएं हैं।

निर्धारित करें कि यदि आप 150 किलोग्राम चावल की कुल मात्रा का 17 प्रतिशत लेते हैं तो चावल कितने किलोग्राम होगा?

आइए शब्दों में अनुपात बनाते हैं: 150 किलोग्राम चावल की कुल मात्रा है। तो चलिए इसे 100% के रूप में लेते हैं। फिर 100% के 17% की गणना दो अनुपातों के अनुपात के रूप में की जाएगी: 100 प्रतिशत का मतलब 150 किलोग्राम है, जैसा कि 17 प्रतिशत किसी अज्ञात संख्या के लिए है।

अब अज्ञात संख्या की गणना प्राथमिक रूप से की जाती है

यानी हमारा जवाब है 25.5 किलोग्राम चावल।

अनुपात से जुड़े दिलचस्प रहस्य भी हैं, जो बताते हैं कि सभी अवसरों के लिए अनुपात को जल्दबाजी में लागू करना आवश्यक नहीं है।

यहाँ उनमें से एक है, थोड़ा संशोधित:

कंपनी के कार्यालय में प्रदर्शन के लिए, निदेशक ने ग्रेनाइट पेडस्टल के बिना मूर्तिकला "द ब्रॉन्ज़ हॉर्समैन" का एक मॉडल बनाने का आदेश दिया। शर्तों में से एक यह है कि मॉक-अप मूल सामग्री के समान सामग्री से बना होना चाहिए, अनुपात देखा जाना चाहिए और मॉक-अप की ऊंचाई बिल्कुल 1 मीटर होनी चाहिए। प्रश्न: लेआउट का वजन क्या होगा?

आइए संदर्भ पुस्तकों से शुरू करते हैं।

सवार की ऊंचाई 5.35 मीटर है और इसका वजन 8,000 किलोग्राम है।

यदि हम पहले विचार का उपयोग करते हैं - अनुपात बनाने के लिए: 5.35 मीटर 8,000 किलोग्राम से 1 मीटर के रूप में अज्ञात मान से संबंधित है, तो हम गणना भी शुरू नहीं कर सकते हैं, क्योंकि उत्तर गलत होगा।

यह सब एक छोटी सी बारीकियों के बारे में है जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। यह सब कनेक्शन के बारे में है द्रव्यमान और ऊंचाई के बीचमूर्तियों अरेखीय, अर्थात्, यह नहीं कहा जा सकता है कि, उदाहरण के लिए, एक घन को 1 मीटर बढ़ाकर (अनुपातों को देखते हुए कि वह एक घन बना रहे), हम उसके वजन को उसी मात्रा में बढ़ा देंगे।

उदाहरणों के साथ जांचना आसान है:

1. एक घन को 10 सेंटीमीटर के किनारे की लंबाई के साथ गोंद करें। वहां कितना पानी जाएगा? यह तर्कसंगत है कि 10 * 10 * 10 \u003d 1000 घन सेंटीमीटर, यानी 1 लीटर। खैर, चूंकि उन्होंने वहां पानी डाला (घनत्व एक के बराबर है), और दूसरा तरल नहीं है, तो द्रव्यमान 1 किलो के बराबर होगा।

2. एक समान घन को गोंद करें लेकिन 20 सेमी की पसली की लंबाई के साथ। इसमें डाले गए पानी की मात्रा 20 * 20 * 20 = 8000 घन सेंटीमीटर, यानी 8 लीटर के बराबर होगी। खैर, वजन स्वाभाविक रूप से 8 किलो है।

यह देखना आसान है कि द्रव्यमान और घन के किनारे की लंबाई में परिवर्तन के बीच संबंध गैर-रैखिक है, या बल्कि घन है।

याद रखें कि आयतन ऊँचाई, चौड़ाई और गहराई का गुणनफल है।

यही है, जब एक आकृति रैखिक आकार (ऊंचाई, चौड़ाई, गहराई) के अनुपात (अनुपात / आकार के अधीन) बदलती है, तो त्रि-आयामी आकृति का द्रव्यमान / आयतन घन रूप से बदल जाता है।

हम बहस करते है:

हमारा रैखिक आयाम 5.35 मीटर से 1 मीटर में बदल गया है, तो द्रव्यमान (आयतन) 8000/x के घनमूल के रूप में बदल जाएगा

और वह लेआउट प्राप्त करें कांस्य घुड़सवारकंपनी के ऑफिस में 1 मीटर की ऊंचाई के साथ इसका वजन 52 किलोग्राम 243 ग्राम होगा।

लेकिन दूसरी ओर, यदि कार्य इस तरह निर्धारित किया गया था " लेआउट मूल, अनुपात और के समान सामग्री से बना होना चाहिए आयतन 1 घन मीटर "तब यह जानते हुए कि आयतन और द्रव्यमान के बीच एक रैखिक संबंध है, हम केवल मानक अनुपात, पुराने आयतन से नए और पुराने द्रव्यमान का उपयोग अज्ञात संख्या में करेंगे।

लेकिन हमारा बॉट अन्य, अधिक सामान्य और व्यावहारिक मामलों में अनुपात की गणना करने में मदद करता है।

निश्चय ही यह उन सभी गृहिणियों के लिए उपयोगी होगी जो खाना बनाती हैं।

स्थितियाँ तब उत्पन्न होती हैं जब 10 किलो के एक अद्भुत केक के लिए एक नुस्खा मिल जाता है, लेकिन इसकी मात्रा तैयार करने के लिए बहुत बड़ी है .. मैं चाहता हूं कि यह छोटा हो, उदाहरण के लिए, केवल दो किलोग्राम, लेकिन सभी नए वजन की गणना कैसे करें और सामग्री की मात्रा?

यह वह जगह है जहां एक बॉट आपकी मदद करेगा, जो 2 किलोग्राम केक के नए मापदंडों की गणना करने में सक्षम होगा।

इसके अलावा, बॉट मेहनती पुरुषों के लिए गणना में मदद करेगा जो एक घर बना रहे हैं और उन्हें यह गणना करने की आवश्यकता है कि यदि उनके पास केवल 50 किलोग्राम रेत है तो कितनी ठोस सामग्री लेनी है।

वाक्य - विन्यास

एक्सएमपीपी क्लाइंट उपयोगकर्ताओं के लिए: समर्थक<строка>

जहां स्ट्रिंग में आवश्यक तत्व हैं

संख्या 1 / संख्या 2 - अनुपात ज्ञात करना।

इस तरह के संक्षिप्त विवरण से डरने के लिए, हम यहां एक उदाहरण देते हैं।

200 300 100 3 400/100

जो कहता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित:

200 ग्राम आटा, 300 मिलीलीटर दूध, 100 ग्राम मक्खन, 3 अंडे - पेनकेक्स की उपज 400 ग्राम है।

केवल 100 ग्राम पैनकेक बेक करने के लिए आपको कितनी सामग्री की आवश्यकता होगी?

नोटिस करना कितना आसान है

400/100 हम चाहते हैं कि उपज के लिए विशिष्ट नुस्खा का अनुपात है।

हम संबंधित अनुभाग में उदाहरणों पर अधिक विस्तार से विचार करेंगे।

उदाहरण

एक मित्र ने एक अद्भुत नुस्खा साझा किया

आटा: 200 ग्राम खसखस, 8 अंडे, 200 आइसिंग शुगर, 50 ग्राम कद्दूकस किए हुए रोल, 200 ग्राम पिसे हुए मेवे, 3 कप शहद।
खसखस को धीमी आंच पर 30 मिनट तक उबालें, मूसल से पीस लें, पिघला हुआ शहद, पिसे हुए पटाखे, मेवे डालें।
पाउडर चीनी के साथ अंडे मारो, द्रव्यमान में जोड़ें।
आटे को धीरे से मिलाएं, एक सांचे में डालें, बेक करें।
कूल्ड केक को 2 परतों में काटें, खट्टा जैम से कोट करें, फिर क्रीम से।
जैम बेरी से सजाएं।
क्रीम: 1 कप खट्टा क्रीम, 1/2 कप चीनी, फेंटें।

अनुपात (गणित में) एक ही प्रकार की दो या दो से अधिक संख्याओं के बीच का संबंध है। अनुपात निरपेक्ष मूल्यों या संपूर्ण के कुछ हिस्सों की तुलना करते हैं। अनुपातों की गणना और लेखन अलग-अलग तरीकों से किया जाता है, लेकिन मूल सिद्धांत सभी अनुपातों के लिए समान होते हैं।

कदम

भाग 1

अनुपात की परिभाषा

अनुपात का उपयोग करना।मात्राओं की तुलना करने के लिए अनुपात का उपयोग विज्ञान और दैनिक जीवन दोनों में किया जाता है। सबसे सरल अनुपात केवल दो संख्याओं से संबंधित हैं, लेकिन ऐसे अनुपात हैं जो तीन या अधिक मानों की तुलना करते हैं। किसी भी स्थिति में जिसमें एक से अधिक मात्राएँ मौजूद हों, एक अनुपात लिखा जा सकता है। कुछ मूल्यों को जोड़कर, अनुपात, उदाहरण के लिए, सुझाव दे सकते हैं कि किसी नुस्खा या रासायनिक प्रतिक्रिया में पदार्थों की मात्रा को कैसे बढ़ाया जाए।

1. अनुपात की परिभाषा।संबंध एक ही प्रकार के दो (या अधिक) मूल्यों के बीच का संबंध है। उदाहरण के लिए, यदि एक केक को 2 कप मैदा और 1 कप चीनी की आवश्यकता है, तो आटे का चीनी से अनुपात 2 से 1 है।

   • अनुपात का उपयोग तब भी किया जा सकता है जब दो मात्राएँ एक-दूसरे से संबंधित न हों (जैसा कि केक उदाहरण में है)। उदाहरण के लिए, यदि कक्षा में 5 लड़कियाँ और 10 लड़के हैं, तो लड़कियों का लड़कों से अनुपात 5 से 10 है। ये मात्राएँ (लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या) एक दूसरे पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात्, अगर कोई कक्षा छोड़ देता है या कोई नया छात्र कक्षा में आएगा तो उनके मूल्य बदल जाएंगे। अनुपात केवल मात्राओं के मूल्यों की तुलना करते हैं।

2. विभिन्न तरीकों पर ध्यान दें जिनमें अनुपातों का प्रतिनिधित्व किया जाता है।रिश्तों को शब्दों में या गणितीय प्रतीकों के साथ दर्शाया जा सकता है।

   • बहुत बार अनुपात शब्दों में व्यक्त किए जाते हैं (जैसा कि ऊपर दिखाया गया है)। विशेष रूप से अनुपातों के प्रतिनिधित्व के इस रूप का उपयोग विज्ञान से दूर, रोजमर्रा की जिंदगी में किया जाता है।
   • इसके अलावा, अनुपात कोलन के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। अनुपात में दो संख्याओं की तुलना करते समय, आप एकल कोलन का उपयोग करेंगे (उदाहरण के लिए, 7:13); तीन या अधिक मानों की तुलना करते समय, प्रत्येक जोड़ी संख्याओं के बीच एक कोलन रखें (उदाहरण के लिए, 10:2:23)। हमारी कक्षा के उदाहरण में, आप लड़कियों और लड़कों के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 5 लड़कियां: 10 लड़के। या इस तरह: 5:10।
   • कम सामान्यतः, अनुपात को स्लैश का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। कक्षा के उदाहरण में, इसे इस तरह लिखा जा सकता है: 5/10। फिर भी, यह एक भिन्न नहीं है और ऐसे अनुपात को भिन्न के रूप में नहीं पढ़ा जाता है; इसके अलावा, याद रखें कि एक अनुपात में, संख्याएं एक पूर्ण का हिस्सा नहीं होती हैं।

   भाग 2

   अनुपात का उपयोग करना

   1. अनुपात को सरल कीजिए।अनुपात के प्रत्येक पद (संख्या) को से विभाजित करके अनुपात को सरल (अंशों के समान) किया जा सकता है। हालांकि, मूल अनुपात मूल्यों की दृष्टि न खोएं।

      • हमारे उदाहरण में, कक्षा में 5 लड़कियां और 10 लड़के हैं; अनुपात 5:10 है। अनुपात की शर्तों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 5 है (क्योंकि 5 और 10 दोनों 5 से विभाज्य हैं)। 1 लड़की से 2 लड़कों (या 1:2) का अनुपात प्राप्त करने के लिए प्रत्येक अनुपात संख्या को 5 से विभाजित करें। हालांकि, अनुपात को सरल करते समय, मूल मूल्यों को ध्यान में रखें। हमारे उदाहरण में, कक्षा में 3 छात्र नहीं हैं, लेकिन 15. सरलीकृत अनुपात लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या की तुलना करता है। यानी हर लड़की के लिए 2 लड़के हैं, लेकिन कक्षा में 2 लड़के और 1 लड़की नहीं हैं।
      • कुछ रिश्ते आसान नहीं होते। उदाहरण के लिए, अनुपात 3:56 सरल नहीं है क्योंकि इन संख्याओं में सामान्य भाजक नहीं हैं (3 एक अभाज्य संख्या है, और 56 3 से विभाज्य नहीं है)।

   2. अनुपात बढ़ाने या घटाने के लिए गुणा या भाग का प्रयोग करें।एक आम समस्या दो मानों को बढ़ाना या घटाना है जो एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। यदि आपको एक अनुपात दिया गया है और आपको इससे मेल खाने वाला बड़ा या छोटा अनुपात खोजने की आवश्यकता है, तो मूल अनुपात को किसी दी गई संख्या से गुणा या विभाजित करें।

      • उदाहरण के लिए, एक बेकर को नुस्खा में दी गई सामग्री की मात्रा को तीन गुना करने की आवश्यकता होती है। यदि नुस्खा कहता है कि आटे का चीनी से अनुपात 2:1 (2:1) है, तो बेकर 6:3 (6 कप मैदा से 3 कप चीनी) का अनुपात प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पद को 3 से गुणा करेगा।
      • दूसरी ओर, यदि बेकर को नुस्खा में दी गई सामग्री की मात्रा को आधा करना है, तो बेकर प्रत्येक अनुपात को 2 से विभाजित करेगा और 1:½ (1 कप मैदा से 1/2 कप चीनी) का अनुपात प्राप्त करेगा।

   3. अज्ञात मान की खोज करें जब दो समान अनुपात दिए गए हों।यह एक समस्या है जिसमें आपको पहले के समतुल्य दूसरे संबंध का उपयोग करके एक संबंध में एक अज्ञात चर खोजने की आवश्यकता होती है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, उपयोग करें। प्रत्येक अनुपात को भिन्न के रूप में लिखें, उनके बीच एक समान चिन्ह लगाएं, और उनके पदों को क्रॉसवाइज गुणा करें।

      • उदाहरण के लिए, छात्रों का एक समूह दिया गया है, जिसमें 2 लड़के और 5 लड़कियां हैं। यदि लड़कियों की संख्या बढ़ाकर 20 कर दी जाए तो लड़कों की संख्या क्या होगी (अनुपात संरक्षित है)? सबसे पहले, दो अनुपात लिखिए - 2 लड़के: 5 लड़कियां और एक्सलड़के: 20 लड़कियां। अब इन अनुपातों को भिन्नों के रूप में लिखिए: 2/5 और x/20। भिन्नों के पदों को क्रॉसवाइज गुणा करें और 5x = 40 प्राप्त करें; इसलिए x = 40/5 = 8.

   भाग 3

   साधारण गलती

   1. पाठ अनुपात की समस्याओं में जोड़ और घटाव से बचें।कई शब्द समस्याएं कुछ इस तरह दिखती हैं: “नुस्खा में 4 आलू कंद और 5 जड़ वाली गाजर की आवश्यकता होती है। यदि आप 8 आलू जोड़ना चाहते हैं, तो अनुपात को समान रखने के लिए आपको कितनी गाजर चाहिए?" ऐसी समस्याओं को हल करते समय, छात्र अक्सर मूल संख्या में समान मात्रा में सामग्री जोड़ने की गलती करते हैं। हालांकि, अनुपात बनाए रखने के लिए, आपको गुणन का उपयोग करने की आवश्यकता है। यहाँ सही और गलत समाधानों के उदाहरण दिए गए हैं:

      • गलत: "8 - 4 = 4 - इसलिए हमने 4 आलू कंद जोड़े। तो, आपको 5 गाजर की जड़ें लेने और उनमें 4 और जोड़ने की जरूरत है ... रुको! अनुपात उस तरह से काम नहीं करते। फिर से कोशिश करने लायक। ”
      • सही: "8 4 = 2 - इसलिए हमने आलू की संख्या को 2 से गुणा किया। तदनुसार, 5 गाजर की जड़ों को भी 2 से गुणा करने की आवश्यकता है। 5 x 2 = 10 - 10 गाजर की जड़ों को नुस्खा में जोड़ने की आवश्यकता है।"
      प्रत्येक मान के बाद माप की इकाइयों को रिकॉर्ड करें। पाठ समस्याओं में, यदि आप प्रत्येक मान के बाद माप की इकाइयाँ लिखते हैं, तो त्रुटि को पहचानना बहुत आसान है। याद रखें कि अंश और हर में समान इकाइयों वाली राशियाँ रद्द हो जाती हैं। अभिव्यक्ति को कम करने से आपको सही उत्तर मिलेगा।
      • उदाहरण: 6 बॉक्स दिए गए हैं, प्रत्येक तीसरे बॉक्स में 9 गेंदें हैं। कितनी गेंदें हैं?
      • गलत: 6 बॉक्स x 3 बॉक्स/9 कंचे = ... रुकिए, कुछ भी नहीं काटा जा सकता है। उत्तर होगा: "बॉक्स x बॉक्स / बॉल्स"। इसका कोई मतलब नहीं है।
      • सही: 6 बॉक्स x 9 बॉल / 3 बॉक्स = 6 बॉक्स * 3 बॉल / 1 बॉक्स = 6 बॉक्स * 3 बॉल / 1 बॉक्स = 6 * 3 बॉल / 1 = 18 बॉल।

आधारगणितीय शोध कुछ मात्राओं के बारे में अन्य मात्राओं के साथ तुलना करके ज्ञान प्राप्त करने की क्षमता है जो या तो हैं बराबर, या अधिकया कमउन लोगों की तुलना में जो अध्ययन का विषय हैं। यह आमतौर पर एक श्रृंखला के साथ किया जाता है समीकरणतथा अनुपात. जब हम समीकरणों का उपयोग करते हैं, तो हम उस मात्रा का निर्धारण करते हैं जिसे हम खोज रहे हैं समानताकुछ अन्य पहले से ही परिचित मात्रा या मात्रा के साथ।

हालांकि, अक्सर ऐसा होता है कि हम किसी अज्ञात मात्रा की तुलना दूसरों से कर रहे होते हैं बराबर नहींउसे, लेकिन कम या ज्यादा। यहां हमें डेटा प्रोसेसिंग के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता है। हमें जानने की आवश्यकता हो सकती है, उदाहरण के लिए, कितनाएक मान दूसरे से बड़ा है, या कितनी बारएक में दूसरा शामिल है। इन सवालों के जवाब खोजने के लिए, हम जानेंगे कि क्या है अनुपातदो आकार। एक अनुपात कहा जाता है अंकगणित, और दुसरी ज्यामितिक. हालांकि यह ध्यान देने योग्य है कि इन दोनों शब्दों को संयोग से या केवल भेद के लिए नहीं अपनाया गया था। अंकगणित और ज्यामितीय दोनों संबंध अंकगणित और ज्यामिति दोनों पर लागू होते हैं।

एक विशाल और महत्वपूर्ण विषय का एक घटक होने के कारण, अनुपात अनुपात पर निर्भर करता है, इसलिए इन अवधारणाओं की स्पष्ट और पूर्ण समझ आवश्यक है।

338. अंकगणित अनुपात ये है अंतरदो मात्राओं या मात्राओं की एक श्रृंखला के बीच. मात्राएँ स्वयं कहलाती हैं सदस्योंअनुपात, अर्थात्, वे पद जिनके बीच अनुपात होता है। इस प्रकार 2, 5 और 3 का अंकगणितीय अनुपात है। यह दो मानों के बीच एक ऋण चिह्न लगाकर व्यक्त किया जाता है, अर्थात 5 - 3। बेशक, अंकगणितीय अनुपात और इसका आइटमीकरण शब्द व्यावहारिक रूप से बेकार है, क्योंकि केवल शब्द को प्रतिस्थापित किया जाता है। अंतरअभिव्यक्ति में ऋण चिह्न के लिए।

339. यदि दोनों सदस्य एक अंकगणितीय संबंध के हैं गुणाया विभाजित करनाउसी राशि से, तो अनुपात,अंततः उस राशि से गुणा या भाग किया जाएगा।
इस प्रकार, यदि हमारे पास a - b = r . है
फिर दोनों पक्षों को h , (Ax. 3.) ha - hb = hr . से गुणा करें
और h से भाग देने पर, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. यदि एक अंकगणितीय अनुपात के पद दूसरे के संगत पदों में जोड़ या घटाते हैं, तो योग या अंतर का अनुपात दो अनुपातों के योग या अंतर के बराबर होगा।
अगर ए - बी
और डी-एच
दो अनुपात हैं,
तब (ए + डी) - (बी + एच) = (ए - बी) + (डी - एच)। जो प्रत्येक स्थिति में = a + d - b - h।
और (ए - डी) - (बी - एच) = (ए - बी) - (डी - एच)। जो प्रत्येक स्थिति में = a - d - b + h।
अतः 11 - 4 का अंकगणितीय अनुपात 7 . है
और अंकगणितीय अनुपात 5 - 2 3 . है
16 - 6 पदों के योग का अनुपात 10 है, - अनुपातों का योग।
सदस्यों के अंतर का अनुपात 6 - 2 है 4, - अनुपातों का अंतर।

341. ज्यामितीय अनुपात मात्राओं के बीच संबंध है, जिसे व्यक्त किया जाता है निजीयदि एक मान को दूसरे मान से विभाजित किया जाता है।
तो 8 से 4 के अनुपात को 8/4 या 2 के रूप में लिखा जा सकता है। यानी 8 के भागफल को 4 से विभाजित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, यह दर्शाता है कि 8 में 4 कितनी बार समाहित है।

इसी प्रकार, किसी भी मात्रा का दूसरी से अनुपात, पहली को दूसरी से विभाजित करके, या, जो मूल रूप से एक ही बात है, पहले को अंश का अंश और दूसरे को हर बनाकर निर्धारित किया जा सकता है।
तो a से b का अनुपात है $\frac(a)(b)$
d + h से b + c का अनुपात $\frac(d+h)(b+c)$ है।

342. तुलनात्मक मानों के बीच दो बिंदुओं को एक के ऊपर एक रखकर ज्यामितीय अनुपात भी लिखा जाता है।
इस प्रकार a:b, a से b का अनुपात है, और 12:4, 12 से 4 का अनुपात है। दोनों मात्राएँ मिलकर बनती हैं। जोड़ा, जिसमें पहला पद कहा जाता है पूर्वपद, और अंतिम एक है अहम.

343. यह बिंदीदार अंकन और अन्य, भिन्न के रूप में, आवश्यकतानुसार विनिमेय हैं, पूर्ववृत्त भिन्न का अंश और परिणामी हर बन जाता है।
तो 10:5 $\frac(10)(5)$ के समान है और b:d $\frac(b)(d)$ के समान है।

344. यदि इन तीन अर्थों में से कोई एक: पूर्ववृत्त, परिणामी, और संबंध कोई दिए गए हैं दो, तो तीसरा पाया जा सकता है।

मान लीजिए a= पूर्ववृत्त, c= परिणामी, r= संबंध।
परिभाषा के अनुसार, $r=\frac(a)(c)$, यानी अनुपात परिणामी से विभाजित पूर्ववृत्त के बराबर है।
c, a = cr से गुणा करने पर, अर्थात पूर्ववृत्त परिणामी समय के अनुपात के बराबर होता है।
r, $c=\frac(a)(r)$ से भाग दें, यानी परिणाम अनुपात से विभाजित पूर्ववृत्त के बराबर है।

सम्मान 1. यदि दो युग्मों के पूर्ववृत्त और परिणाम समान हों, तो उनके अनुपात भी बराबर होते हैं।

सम्मान 2. यदि दो युग्मों के अनुपात और पूर्ववृत्त समान हैं, तो परिणाम समान हैं, और यदि अनुपात और परिणाम समान हैं, तो पूर्ववृत्त समान हैं।

345. यदि दो मात्राओं की तुलना की जाए बराबर, तो उनका अनुपात एकता या समानता के बराबर होता है। अनुपात 3*6:18 एक के बराबर है, क्योंकि किसी भी मान का भागफल स्वयं से विभाजित होने पर 1 के बराबर होता है।

यदि युग्म का पूर्ववृत्त अधिक,परिणामी की तुलना में, तो अनुपात एक से अधिक है। चूंकि भाजक भाजक से बड़ा होता है, भागफल एक से बड़ा होता है। अतः 18:6 का अनुपात 3 है। इसे अनुपात कहते हैं अधिक असमानता.

दूसरी ओर, यदि पूर्ववृत्त कमपरिणाम की तुलना में, तो अनुपात एक से कम होता है, और इसे अनुपात कहा जाता है कम असमानता. अतः अनुपात 2:3 एक से कम है, क्योंकि लाभांश भाजक से कम है।

346. उल्टाअनुपात दो व्युत्क्रमों का अनुपात है।
तो 6 से 3 के व्युत्क्रम का अनुपात है, अर्थात्:।
a से b का सीधा संबंध $\frac(a)(b)$ है, यानी पूर्ववृत्त को परिणामी से विभाजित किया जाता है।
प्रतिलोम संबंध है $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ या $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (ए) $।
अर्थात्, परिणाम b को पूर्ववर्ती a से विभाजित किया जाता है।

इसलिए व्युत्क्रम संबंध व्यक्त किया जाता है भिन्न को उलटने से, जो एक सीधा संबंध प्रदर्शित करता है, या, जब बिंदुओं का उपयोग करके अंकन किया जाता है, सदस्यों को लिखने के क्रम को उलटना.
इस प्रकार a, b से इसके विपरीत संबंधित है कि b, a से संबंधित है।

347. जटिल अनुपातयह अनुपात काम करता हैदो या दो से अधिक सरल संबंधों के साथ संगत शब्द।
तो अनुपात 6:3 है, 2 . के बराबर है
और अनुपात 12:4 बराबर 3
इनका अनुपात 72:12 = 6 है।

यहां दो पूर्ववृत्तों और साधारण संबंधों के दो परिणामों को एक साथ गुणा करके एक जटिल संबंध प्राप्त किया जाता है।
तो अनुपात बना है
अनुपात से a:b
और c:d अनुपात
और अनुपात एच: वाई
यह संबंध $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$ है।
एक जटिल संबंध अपने में भिन्न नहीं होता है प्रकृतिकिसी अन्य अनुपात से। इस शब्द का प्रयोग कुछ मामलों में संबंध की उत्पत्ति को दर्शाने के लिए किया जाता है।

सम्मान एक सम्मिश्र अनुपात साधारण अनुपातों के गुणनफल के बराबर होता है।
अनुपात a:b बराबर है $\frac(a)(b)$
अनुपात c:d बराबर है $\frac(c)(d)$
अनुपात h:y बराबर है $\frac(h)(y)$
और इन तीनों का जोड़ा गया अनुपात ach/bdy होगा, जो साधारण अनुपातों को व्यक्त करने वाली भिन्नों का गुणनफल है।

348. यदि प्रत्येक पिछले जोड़े में संबंधों के क्रम में परिणाम अगले एक में पूर्ववर्ती है, तो पहले पूर्ववर्ती और अंतिम परिणाम का अनुपात मध्यवर्ती अनुपात से प्राप्त अनुपात के बराबर है।
तो कई अनुपातों में
ए:बी
बी: सी
सी: डी
घ: हो
अनुपात ए: एच अनुपात ए: बी और बी: सी और सी: डी और डी: एच से अनुपात के बराबर है। तो पिछले लेख में जटिल संबंध $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, या a:h है।

इसी तरह, सभी मात्राएँ जो पूर्ववृत्त और परिणाम दोनों हैं गायब होना, जब भिन्नों के गुणनफल को उसके निचले पदों तक सरलीकृत किया जाता है और शेष में जटिल संबंध पहले पूर्ववर्ती और अंतिम परिणाम द्वारा व्यक्त किया जाएगा।

349. एक साधारण संबंध को से गुणा करने पर जटिल संबंधों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है वह स्वयंया दूसरे को बराबरअनुपात। इन अनुपातों को कहा जाता है दोहरा, ट्रिपल, चौगुनी, और इसी तरह, गुणा की संख्या के अनुसार।

अनुपात से बना है दोसमान अनुपात, अर्थात्, वर्ग दोहराअनुपात।

से बना तीन, वह है, घनक्षेत्रसरल अनुपात कहलाता है ट्रिपल, और इसी तरह।

इसी प्रकार, अनुपात वर्गमूलदो मात्राओं को अनुपात कहा जाता है वर्गमूल, और अनुपात घनमूल- अनुपात घनमूल, और इसी तरह।
तो a से b का साधारण अनुपात a:b . है
a से b का दोहरा अनुपात एक 2:b 2 . है
a से b का त्रिगुण अनुपात एक 3:b 3 . है
a से b के वर्गमूल का अनुपात √a :√b . है
a से b के घनमूल का अनुपात 3 a: 3 √b है, और इसी तरह आगे भी।
शर्तें दोहरा, ट्रिपल, और इसी तरह के साथ मिश्रित करने की आवश्यकता नहीं है दोगुनी, तीन गुना, और इसी तरह।
6 से 2 का अनुपात 6:2 = 3 . है
यदि हम इस अनुपात को दुगुना करते हैं, अर्थात अनुपात दुगना करते हैं, तो हमें 12:2 = 6 . प्राप्त होता है
हम इस अनुपात को तिगुना करते हैं, अर्थात यह अनुपात तीन गुना है, हमें 18: 2 = 9 . मिलता है
लेकिन दोहराअनुपात, अर्थात् वर्गअनुपात 6 2:2 2 = 9 . है
और ट्रिपलअनुपात, यानी अनुपात का घन, 6 3:2 3 = 27 . है

350. मात्राओं को एक दूसरे के साथ सहसंबद्ध होने के लिए, उन्हें एक ही प्रकार का होना चाहिए, ताकि यह निश्चित रूप से कहा जा सके कि वे एक दूसरे के बराबर हैं, या उनमें से एक बड़ा या कम है। एक फुट एक इंच से 12 से 1 के बराबर होता है: यह एक इंच से 12 गुना बड़ा होता है। लेकिन, उदाहरण के लिए, कोई यह नहीं कह सकता कि एक घंटा लाठी से बड़ा या छोटा होता है, या एक एकड़ एक डिग्री से बड़ा या कम होता है। हालाँकि, यदि ये मान व्यक्त किए जाते हैं नंबर, तो इन संख्याओं के बीच संबंध हो सकता है। अर्थात्, एक घंटे में मिनटों की संख्या और एक मील में कदमों की संख्या के बीच संबंध हो सकता है।

351. की ओर मुड़ना प्रकृतिअनुपात, अगला कदम जो हमें ध्यान में रखना है, वह यह है कि एक या दो शब्दों में एक दूसरे के साथ तुलना की जाने वाली परिवर्तन अनुपात को कैसे प्रभावित करेगा। याद रखें कि प्रत्यक्ष अनुपात को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्ववर्तीजोड़े हमेशा होते हैं मीटर, एक फलस्वरूप - भाजक. तब भिन्नों के गुणधर्म से यह प्राप्त करना आसान होगा कि तुलनात्मक मात्राओं में परिवर्तन से अनुपात में परिवर्तन होता है। दो मात्राओं का अनुपात समान है अर्थभिन्न, जिनमें से प्रत्येक प्रतिनिधित्व करता है निजी: हर से विभाजित अंश। (कला। 341।) अब यह दिखाया गया है कि किसी भिन्न के अंश को किसी भी मान से गुणा करना गुणा करने के समान है अर्थउसी राशि से और अंश को विभाजित करना एक भिन्न के मानों को विभाजित करने के समान है। इसीलिए,

352. किसी युग्म के पूर्ववृत्त को किसी भी मान से गुणा करने का अर्थ है अनुपातों को इस मान से गुणा करना और पूर्ववृत्त को विभाजित करना इस अनुपात को विभाजित करना है.
तो 6:2 का अनुपात 3 . है
और 24:2 का अनुपात 12 है।
यहाँ पिछले जोड़े में पूर्ववृत्त और अनुपात पहले की तुलना में 4 गुना अधिक है।
संबंध a:b बराबर है $\frac(a)(b)$
और संबंध na:b $\frac(na)(b)$ के बराबर है।

सम्मान एक ज्ञात परिणाम के साथ, अधिक पूर्वपद, अधिक अनुपात, और इसके विपरीत, अनुपात जितना बड़ा होगा, पूर्ववृत्त उतना ही बड़ा होगा।

353. एक जोड़ी के परिणाम को किसी भी मूल्य से गुणा करने पर, हम इस मान से अनुपात का विभाजन प्राप्त करते हैं, और परिणामी को विभाजित करते हुए, हम अनुपात को गुणा करते हैं।भिन्न के हर को गुणा करके, हम मान को विभाजित करते हैं, और हर को विभाजित करके, मान को गुणा किया जाता है।
अतः 12:2 का अनुपात 6 . है
और 12:4 का अनुपात 3 होता है।
यहाँ दूसरी जोड़ी का परिणाम है दो बारअधिक, लेकिन अनुपात दो बारपहले से कम।
अनुपात a:b है $\frac(a)(b)$
और अनुपात a:nb $\frac(a)(nb)$ के बराबर है।

सम्मान किसी दिए गए पूर्ववर्ती के लिए, परिणाम जितना बड़ा होगा, अनुपात उतना ही छोटा होगा। इसके विपरीत, अनुपात जितना बड़ा होगा, परिणाम उतना ही छोटा होगा।

354. यह पिछले दो लेखों से इस प्रकार है कि गुणन पूर्ववृत्तकिसी भी मूल्य से जोड़े का अनुपात पर समान प्रभाव पड़ेगा परिणामी का विभाजनइस राशि से, और पूर्ववर्ती विभाजन, के समान प्रभाव पड़ेगा परिणामी गुणन.
तो 8:4 का अनुपात 2 . है
पूर्ववृत्त को 2 से गुणा करने पर 16:4 का अनुपात 4 . होता है
पूर्ववृत्त को 2 से भाग देने पर 8:2 का अनुपात 4 होता है।

सम्मान कोई कारकया विभक्तकिसी जोड़े के पूर्ववृत्त से परिणामी में, या परिणामी से पूर्ववृत्त में, संबंध को बदले बिना स्थानांतरित किया जा सकता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब एक कारक को एक पद से दूसरे पद पर स्थानांतरित किया जाता है, तो यह एक भाजक बन जाता है, और स्थानांतरित भाजक एक कारक बन जाता है।
तो अनुपात 3.6:9 = 2 . है
कारक 3 को स्थानांतरित करना, $6:\frac(9)(3)=2$
एक ही अनुपात।

संबंध $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
चल रहा है y $ma:by=\frac(ma)(by)$
चलती मी, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$।

355. जैसा कि लेखों से स्पष्ट है। 352 और 353, यदि पूर्ववर्ती और परिणामी दोनों को एक ही राशि से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो अनुपात नहीं बदलता है.

सम्मान 1. दो . का अनुपात अंशों, जिनका एक उभयनिष्ठ भाजक है, जो उनके के अनुपात के समान है अंश.
इस प्रकार अनुपात a/n:b/n वही है जो a:b है।

सम्मान 2. प्रत्यक्षदो भिन्नों का अनुपात जिनमें एक सामान्य अंश होता है, उनके पारस्परिक अनुपात के बराबर होता है हरों.

356. लेख से किन्हीं दो भिन्नों के अनुपात को निर्धारित करना आसान है। यदि प्रत्येक पद को दो हरों से गुणा किया जाता है, तो अनुपात अभिन्न व्यंजकों द्वारा दिया जाएगा। इस प्रकार, जोड़ी के पदों a/b:c/d को bd से गुणा करने पर, हमें $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$ मिलता है, जो कम करके ad:bc बन जाता है। अंश और हर से कुल मान।

356 ख. अनुपात अधिक असमानता बढ़ती हैउसके
मान लें कि अधिक असमानता अनुपात 1+n:1 . के रूप में दिया गया है
और कोई अनुपात ए:बी
एक जटिल अनुपात होगा (कला। 347,) a + na:b
अनुपात से बड़ा क्या है: बी (कला। 351 सम्मान।)
लेकिन अनुपात कम असमानता, दूसरे अनुपात के साथ जोड़ा गया, कम कर देता हैउसके।
मान लीजिए छोटे अंतर का अनुपात 1-n:1
कोई दिया गया अनुपात ए:बी
जटिल अनुपात ए - ना: बी
ए से कम क्या है: बी।

357. यदि किसी जोड़ी के सदस्यों को या सेजोड़ें या दो अन्य राशियों को घटाएं जो समान अनुपात में हैं, तो योगों या शेषफलों का अनुपात समान होगा.
मान लीजिए कि अनुपात a:b . है
यह c:d . जैसा ही होगा
फिर रिश्ता मात्रापरिणामों के योग का पूर्ववृत्त, अर्थात् a + c से b + d, भी समान है।
अर्थात्, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$।

सबूत।

1. धारणा से, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. b और d से गुणा करें, ad = bc
3. दोनों पक्षों में सीडी जोड़ें, विज्ञापन + सीडी = बीसी + सीडी
4. d से विभाजित करें, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$ से विभाजित करें।

अनुपात अंतरपरिणामों के अंतर के पूर्ववृत्त भी समान हैं।

358. यदि कई युग्मों में अनुपात बराबर हैं, तो सभी पूर्ववृत्तों का योग सभी परिणामों के योग के बराबर होता है क्योंकि कोई भी पूर्ववृत्त उसके परिणाम के लिए होता है।
इस प्रकार अनुपात
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
इस प्रकार अनुपात (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2।

358बी. अनुपात अधिक असमानताकम हो जाती है, जोड़ना समान राशिदोनों सदस्यों को।
किसी दिए गए संबंध को a+b:a या $\frac(a+b)(a)$ . दें
दोनों पदों में x जोड़ने पर हमें a+b+x:a+x या $\frac(a+b)(a)$ मिलता है।

पहला $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$ . बन जाता है
और आखिरी वाला $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$ है।
चूँकि अंतिम अंश दूसरे से स्पष्ट रूप से कम है, तो अनुपातकम होना चाहिए। (कला। 351 सम्मान।)

लेकिन अनुपात कम असमानता बढ़ती है, दोनों पदों में समान मान जोड़ने पर।
मान लीजिए दिया गया संबंध (a-b):a, या $\frac(a-b)(a)$ है।
दोनों पदों में x जोड़ने पर, यह (a-b+x):(a+x) या $\frac(a-b+x)(a+x)$ हो जाता है
उन्हें एक आम भाजक में लाना,
पहला $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$ . बन जाता है
और आखिरी वाला, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

चूँकि अंतिम अंश दूसरे से बड़ा है, तो अनुपातअधिक।
यदि समान मान जोड़ने के बजाय ले लेनादो पदों से स्पष्ट है कि अनुपात पर प्रभाव विपरीत होगा।

उदाहरण।

1. कौन सा बड़ा है: 11:9 अनुपात या 44:35 अनुपात?

2. कौन सा अधिक है: अनुपात $(a+3):\frac(a)(6)$, या अनुपात $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. यदि एक जोड़े का पूर्ववृत्त 65 है और अनुपात 13 है, तो परिणाम क्या है?

4. यदि एक युग्म का परिणाम 7 है और अनुपात 18 है, तो पूर्ववृत्त क्या है?

5. 8:7, और 2a:5b, साथ ही (7x+1):(3y-2) से बना एक जटिल अनुपात कैसा दिखता है?

6. (x + y): b, और (x-y): (a + b), और (a + b): h से बना एक जटिल अनुपात क्या दिखता है? प्रतिनिधि (x 2 - y 2) :भ.

7. यदि संबंध (5x+7):(2x-3), और $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ एक जटिल संबंध बनाते हैं, तो कौन सा संबंध क्या आप पाएंगे: कम या ज्यादा असमानता? प्रतिनिधि अधिक असमानता का अनुपात।

8. (x + y):a और (x - y):b, और $b:\frac(x^2-y^2)(a)$ से बना अनुपात क्या है? प्रतिनिधि समानता अनुपात।

9. 7:5 का अनुपात और 4:9 का दोगुना और 3:2 का तिगुना क्या है?
प्रतिनिधि 14:15.

10. 3:7 और x:y के अनुपात का तिगुना और 49:9 के अनुपात से मूल निकालने का अनुपात क्या है?
प्रतिनिधि x3:y3.