बल क्या है, बलों का योग, परिणाम। न्यूटन के नियम. बलों के योग का नियम बलों का योग क्या है?

आइए हम अन्य बिंदुओं और निकायों के साथ बिंदुओं की बातचीत (यानी, भौतिक वस्तुओं की बातचीत के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली) के कारण होने वाली ताकतों की कार्रवाई के तहत एक जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली में एक भौतिक बिंदु (छवि 46) की गति पर विचार करें।

ध्यान दें कि गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली में चलते समय, सापेक्ष गति आंशिक रूप से संदर्भ प्रणाली की गति से ही निर्धारित होती है।

गति के समीकरण न्यूटन के नियमों के आधार पर संकलित किये जाते हैं।

ग्रंथ "प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांत":

1687 - उत्पत्ति का वर्ष सैद्धांतिक यांत्रिकी.

न्यूटन के नियम प्रकृति के आदर्शीकृत नियम हैं, लेकिन व्यवहार के लिए यह बहुत व्यापक सीमाओं के भीतर स्वीकार्य है।

आइए परिचय कराते हैं आंदोलन के उपाय.

संचलन की मात्रा– बिंदु वेग वेक्टर द्वारा द्रव्यमान m के गुणनफल के बराबर:

जहाँ m = const > 0 पदार्थ की जड़ता का माप है।

मूल बिंदु के सापेक्ष संवेग का क्षण (चित्र 47):

.

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा:

बाद में हम दिखाएंगे कि कई मामलों में किसी बिंदु की गति को या टी के माध्यम से अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित किया जाता है।

न्यूटन के नियम बनाते समय, हम निरूपित करते हैं:

बिंदुओं और के बीच परस्पर क्रिया का बल;

एक बिंदु M पर लगाया गया कुल बल कई बिंदुओं के साथ परस्पर क्रिया करता है।

न्यूटन का पहला नियम: एक भौतिक बिंदु एक जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष आराम या एकसमान सीधी गति की स्थिति में रहता है जब तक कि उस पर कार्य करने वाली ताकतें इस स्थिति को नहीं बदल देतीं।

अर्थात्, एक पृथक बिंदु या तो आराम की स्थिति में है या सीधा और समान रूप से घूम रहा है। आंदोलन में बदलाव का कारण बिंदु से ही बाहर है.

न्यूटन का दूसरा नियम: किसी भौतिक बिंदु के संवेग का समय व्युत्पन्न ज्यामितीय रूप से बिंदु पर लगाए गए बल के बराबर होता है। या, स्थिर द्रव्यमान के साथ, एक बिंदु के द्रव्यमान और उसके पूर्ण त्वरण का गुणनफल ज्यामितीय रूप से भौतिक बिंदु पर लगाए गए बल के बराबर होता है, अर्थात।

या यदि एम = स्थिरांक.

आनुपातिकता के गुणांक - द्रव्यमान के माध्यम से गतिक मात्रा - त्वरण और गतिशील मात्रा - बल के बीच संबंध।

न्यूटन का तीसरा नियम: कोई भी दो भौतिक बिंदु इन बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित बलों के साथ एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, जो परिमाण में समान और विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं (चित्र 48)।

आइए अन्य बिंदुओं के साथ बिंदु M1 के प्रभाव पर विचार करें (चित्र 49)।

क्योंकि हमारे पास त्वरण है:

बलों की स्वतंत्र कार्रवाई का सिद्धांत:किसी बल के कारण होने वाला त्वरण केवल उस बल द्वारा निर्धारित होता है और अन्य बलों पर निर्भर नहीं होता है।

परिणाम:

; दर्शाने

अन्य बिंदुओं के साथ बिंदु M1 की परस्पर क्रिया की शक्तियों के कारण उत्पन्न त्वरणों का ज्यामितीय योग अन्य बिंदुओं के साथ परस्पर क्रिया की शक्तियों के ज्यामितीय योग के समानुपाती होता है - बल जोड़ने के लिए समांतर चतुर्भुज नियम।

ताकत किस पर निर्भर करती है? ?

1) किसी निश्चित समय पर बिंदु के निर्देशांक से;

2) गति के प्रागितिहास (उम्र बढ़ने) से;

3) से पर्यावरण(तापमान);

4) वायु प्रतिरोध।

आदर्शीकरण: बल केवल बिंदु के निर्देशांक पर, पहले व्युत्पन्न पर और स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर करते हैं:

व्यवहार में, यह स्वीकार्य है.

भौतिकी के विकास से कुछ पुरानी अवधारणाओं में बदलाव आया है और उस क्षेत्र की सीमाओं का स्पष्टीकरण हुआ है जिसके भीतर न्यूटन की यांत्रिकी मान्य है: निरपेक्ष स्थान की उनकी अवधारणा को अब संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम की अवधारणा से बदल दिया गया है; यह स्थापित किया गया है कि न्यूटोनियन यांत्रिकी - शास्त्रीय यांत्रिकी - लागू नहीं होती है यदि बिंदुओं के सापेक्ष वेग प्रकाश की गति के बराबर हैं [यह सापेक्षतावादी या आइंस्टीनियन यांत्रिकी का क्षेत्र है]; शास्त्रीय यांत्रिकी माइक्रोवर्ल्ड घटना के अध्ययन के लिए भी अनुपयुक्त है [यह क्वांटम यांत्रिकी का क्षेत्र है]। लेकिन वे शास्त्रीय यांत्रिकी पर आधारित हैं। अन्य क्षेत्रों में => शास्त्रीय यांत्रिकी काफी सटीक परिणाम देती है।

नियंत्रण प्रश्न:

1. गतिकी किसे कहते हैं?

2. किसी भौतिक बिंदु की गति के मापों की सूची बनाएं

3. न्यूटन के नियम बनाइये।

4. न्यूटन के शास्त्रीय यांत्रिकी के अनुप्रयोग के दायरे की सीमाएँ क्या हैं?

व्याख्यान 16.एक बिंदु की गति के विभेदक समीकरण

आइए हम कार्टेशियन निर्देशांक में एक जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली में एक मुक्त सामग्री बिंदु की गति पर विचार करें। न्यूटन के दूसरे नियम से:

, ,

इसके अलावा, एफएक्स, एफवाई, एफजेड - निर्देशांक, पहले डेरिवेटिव, समय पर निर्भर हो सकते हैं:।

यदि गति का नियम ज्ञात है (उदाहरण के लिए गतिकी से):

फिर => Fx(t), Fy(t), Fz(t)। यह पहली (प्रत्यक्ष) बिंदु गतिशीलता समस्या।

यदि बल ज्ञात है, तो गति का अध्ययन करने के लिए विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना आवश्यक है - यह है दूसरी (उलटा) बिंदु गतिशीलता समस्या।

गति के विभेदक समीकरणों के रूप

1) न्यूटन का दूसरा नियम - गति के लिए।

2) से गुणा करें (वेक्टरली):

या -कोणीय गति समीकरण.

[क्यों? - अपने आप। खाते में ले ]।

संवेग के क्षण का समय व्युत्पन्न ज्यामितीय रूप से बल के क्षण के बराबर होता है।

विस्तृत प्रविष्टि (समन्वय):

3) प्राथमिक विस्थापनों द्वारा अदिश गुणन करें:

.

- गतिज ऊर्जा समीकरण.

किसी बिंदु की गतिज ऊर्जा का अंतर वास्तविक विस्थापन पर बिंदु पर लागू बलों के योग के प्रारंभिक कार्य के बराबर होता है।

पहले इंटीग्रल्स के बारे में(संरक्षण कानून)।

विभेदक समीकरणों से: निर्देशांकों का एक फलन, उनका समय व्युत्पन्न, जो समीकरणों के आधार पर स्थिर होता है (अर्थात, इसका समय व्युत्पन्न शून्य है) => को पहला अभिन्न अंग कहा जाता है।

हमें निम्नलिखित स्थितियाँ प्राप्त होती हैं।

अगर - पहले अभिन्न, फिर

1) यदि एफएक्स = 0, तो , - संवेग का अभिन्न अंग ( संवेग के संरक्षण का नियम).

2) यदि (अर्थात, z अक्ष पर बल के क्षण का प्रक्षेपण),

,

कोणीय गति का अभिन्न अंग ( कोणीय गति के संरक्षण का नियम).

3) आइए हम ऊर्जा अभिन्न प्राप्त करें।

.

मान लीजिए दाहिनी ओर किसी अदिश फलन का कुल अंतर है - बल क्षेत्र क्षमता .

कुल अंतर होना:

1)-अर्थात् मैदान अचल(t पर निर्भर नहीं है).

2) उच्च गणित की शर्तों के साथ:

; ;

अन्यथा: यदि और, तब और गतिज ऊर्जा का समीकरण कुल अंतर में होगा:

.

एकीकृत करना:

.

आइए संभावित ऊर्जा का परिचय दें:

.

तब: - ऊर्जा अभिन्न ( यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम).

यदि बल क्षेत्र संभावित और स्थिर है, तो एक मुक्त सामग्री बिंदु की गतिज और संभावित ऊर्जाओं का योग एक स्थिरांक के बराबर होता है।

E0 – यांत्रिक ऊर्जा; प्रारम्भिक स्थितियों से पाया जाता है।

ऊर्जा संरक्षित है अर्थात संरक्षित है => क्षेत्र कहलाता है रूढ़िवादी।

आइए हम दिखाएं कि रूढ़िवादी क्षेत्र बलों का कार्य प्रक्षेपवक्र के प्रकार पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि आंदोलन के अंत और शुरुआत में फ़ंक्शन पी के मूल्यों में अंतर के बराबर है (छवि 51)।

,

क्यू.ई.डी.

.

एक बंद विस्थापन पर रूढ़िवादी क्षेत्र बलों का कार्य शून्य है (चित्र 52)।

नियंत्रण प्रश्न:

1. गतिकी की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याओं का निरूपण करें।

2. किसी बिंदु के कोणीय संवेग का समीकरण लिखिए।

3. अवकल समीकरण का फेदर इंटीग्रल क्या कहलाता है?

4. किस बल क्षेत्र को संरक्षी कहा जाता है?

व्याख्यान 17.विशेष प्रकार के बल क्षेत्र

1) ताकत ही निर्भर करती है समय से- क्षेत्र सजातीय है, लेकिन स्थिर नहीं है।

.

;

.

इसी प्रकार y और z के लिए।

2) बल प्रक्षेपण केवल संगत निर्देशांक पर निर्भर करते हैं।

.

dx से गुणा करना और एकीकृत करना:

.

जांचने के लिए फिर से अंतर करें:

; .

.

(संकेत प्रारंभिक स्थितियों से लिया गया है)।

चर अलग करना:

.

3) बल का प्रक्षेपण ही निर्भर करता है वेग प्रक्षेपण सेएक ही धुरी पर.

.

निरूपित करना:

.

चर अलग करना:

.

इस प्रकार, किसी दिए गए बल, द्रव्यमान और के लिए बल क्षेत्रों के तीन विशेष मामलों में से प्रत्येक में आरंभिक स्थितियांकिसी बिंदु की गति और त्वरण के लिए व्यंजक परिभाषित किए गए हैं।

नियंत्रण प्रश्न:

1. अवकल समीकरणों को हल करते समय चरों को अलग करने की विधि का सार क्या है?

2. यदि बल केवल निर्देशांक पर निर्भर करता है तो किसी बिंदु की गति के समीकरण को एकीकृत करने में क्या विशेष है?

3. वास्तविक जीवन की किन समस्याओं में बल एक बिंदु की गति पर निर्भर करता है?

व्याख्यान 18.प्वाइंट सिस्टम डायनेमिक्स की मूल बातें

आइए संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष n मुक्त सामग्री बिंदुओं की गति पर विचार करें (चित्र 53)।

बिंदु द्रव्यमान.

पूरे सिस्टम का वजन:

आइए हम सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र को बिंदु C कहते हैं, जिसकी त्रिज्या वेक्टर है

,

भौतिक बिंदुओं की प्रणाली की गति के बुनियादी उपाय:

1. सिस्टम की कुल गति (भौतिक बिंदुओं की गति का ज्यामितीय योग)।

बिंदु की गति कहां है.

स्थिर द्रव्यमान वाले बिंदुओं की एक प्रणाली पर विचार करें => विभेदन:

;

द्रव्यमान के केंद्र की गति कहां है.

इसलिए,

भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली की गति की मात्रा द्रव्यमान के केंद्र पर केंद्रित संपूर्ण प्रणाली के द्रव्यमान की गति की मात्रा के बराबर होती है।

2. प्रणाली के कोणीय संवेग या कोणीय संवेग का योग:

.

सिस्टम के सभी बिंदुओं के समान वेग की स्थिति में ही इसे एकपदी के रूप में दर्शाया जाता है।

3. सिस्टम की गतिज ऊर्जा:

इसे हमेशा एकल-अवधि के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जाता है।

हम बलों को बाहरी और आंतरिक में विभाजित करते हैं।

बाहरी ताक़तेंव्यवस्था के बाहर जनता की ओर से कार्य करें।

आंतरिक शक्तियाँ- सिस्टम के बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया बल।

आइए निरूपित करें:

एक बिंदु पर कुल बाह्य बल

सिस्टम में एक बिंदु और अन्य बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया का कुल बल।

आंतरिक और बाह्य शक्तियों में विभाजन सशर्त है।

आइए आंतरिक बलों के कुछ गुण प्राप्त करें।

आइए बिंदुओं पर विचार करें और (चित्र 54)।

न्यूटन के तीसरे नियम से:

प्रति बिंदु आंतरिक बल:

.

ज़ाहिर तौर से:

.

इसलिए,किसी भी बिंदु और किसी अक्ष के सापेक्ष आंतरिक बलों का योग और आंतरिक बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर होता है।

आइए राशि पर विचार करें बुनियादी कामआंतरिक बल।

होने देना , कहाँ,

बिंदुओं के बीच की दूरी.

दो बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया बलों के प्राथमिक वास्तविक विस्थापन पर कार्य करें:

[- चिह्न सहित, पर प्रक्षेपण]।

आइए हम आंतरिक बलों के प्रारंभिक कार्यों का योग निरूपित करें:

(डी - का अर्थ है "प्राथमिक गतिविधियों पर")

नियंत्रण प्रश्न:

1. भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र क्या कहलाता है?

2. भौतिक बिंदुओं की प्रणाली की गति के मुख्य मापों का नाम बताइए।

बल। बलों का जोड़

प्रकृति में कोई भी परिवर्तन निकायों के बीच परस्पर क्रिया के परिणामस्वरूप होता है। गेंद जमीन पर पड़ी है और तब तक हिलना शुरू नहीं करेगी जब तक कि आप इसे अपने पैर से धक्का न दें; यदि आप इस पर कोई वजन डालते हैं तो स्प्रिंग नहीं खिंचेगी, आदि। जब कोई पिंड अन्य पिंडों के साथ संपर्क करता है, तो उसकी गति की गति बदल जाती है। भौतिकी में, वे अक्सर यह नहीं बताते हैं कि कौन सा शरीर और यह किसी दिए गए शरीर पर कैसे कार्य करता है, बल्कि कहते हैं कि "एक बल शरीर पर कार्य करता है।"

ताकत है भौतिक मात्रा, जो मात्रात्मक रूप से एक शरीर की दूसरे पर क्रिया को दर्शाता है, जिसके परिणामस्वरूप शरीर अपनी गति बदलता है। बल एक सदिश राशि है. अर्थात् संख्यात्मक मान के अतिरिक्त बल की एक दिशा होती है। बल को F अक्षर से दर्शाया जाता है और अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में इसे न्यूटन में मापा जाता है। 1 न्यूटन वह बल है जो 1 किलोग्राम वजनी वस्तु, आराम की स्थिति में, घर्षण की अनुपस्थिति में 1 मीटर प्रति सेकंड की गति से 1 सेकंड में प्रदान करती है। आप एक विशेष उपकरण - डायनेमोमीटर का उपयोग करके ताकत माप सकते हैं।

यांत्रिकी में अंतःक्रिया की प्रकृति के आधार पर, तीन प्रकार के बलों को प्रतिष्ठित किया जाता है:

• गुरुत्वाकर्षण,
• लोचदार बल,
• घर्षण बल।

एक नियम के रूप में, शरीर पर एक नहीं, बल्कि कई बल कार्य करते हैं। इस मामले में, बलों के परिणाम पर विचार किया जाता है। परिणामी बल एक ऐसा बल है जो उसी प्रकार कार्य करता है जैसे एक पिंड पर कई बल एक साथ कार्य करते हैं। प्रयोगों के परिणामों का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: एक दिशा में एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित बलों का परिणाम एक ही दिशा में निर्देशित होता है, और इसका मूल्य इन बलों के मूल्यों के योग के बराबर होता है। विपरीत दिशाओं में एक सीधी रेखा के साथ निर्देशित दो बलों का परिणाम बड़े बल की ओर निर्देशित होता है और इन बलों के मूल्यों में अंतर के बराबर होता है।

एक दूसरे पर पिंडों की क्रियाओं का वर्णन बलों का उपयोग करके किया जाता है। किसी पिंड की गति, या उसके आकार और साइज़ में बदलाव लाने वाली अंतःक्रियाओं को दर्शाने वाली ताकतें। इसके अलावा, एक शरीर की दूसरे पर क्रिया का परिणाम भी इस क्रिया की दिशा पर निर्भर करता है।

एसआई प्रणाली में, बल को न्यूटन (1 एन) में मापा जाता है।

1 N वह बल है जो 1 किलोग्राम वजन वाले पिंड को 1 m/s2 का त्वरण देता है।

प्रत्येक बल को एक संख्यात्मक मान (मापांक), दिशा और अनुप्रयोग बिंदु की विशेषता होती है।

रेखाचित्रों में, बलों को, अन्य सदिश राशियों की तरह, तीरों द्वारा दर्शाया जाता है। तीर की शुरुआत बल के अनुप्रयोग के बिंदु से मेल खाती है, तीर की दिशा बल की दिशा को इंगित करती है, और तीर की लंबाई बल के परिमाण के समानुपाती होती है।
बलों का जोड़. परिणामी

बहुत कम ही शरीर पर केवल एक ही बल कार्य करता है, अधिकतर दो या तीन। यदि किसी पिंड पर कई बल कार्य करते हैं, तो उनकी क्रिया का परिणाम वही होगा जो उस पर कार्य करने पर होता, जिसे परिणामी बल कहा जाता है।

नई सामग्री प्रस्तुत करते समय विद्यार्थियों के लिए प्रश्न

1. निकायों के बीच परस्पर क्रिया का माप क्या है?

2. यांत्रिकी में बलों की क्रिया के उदाहरण दीजिए।

3. किसी पिंड पर बल की क्रिया क्या निर्धारित करती है?

4. कई बलों के परिणाम की गणना कैसे करें?

सीखी गई सामग्री को सुदृढ़ करना

1. हम समस्याओं को हल करने के लिए प्रशिक्षण देते हैं

1. दो बल एक पिंड पर परस्पर लंबवत दिशाओं में कार्य करते हैं। यदि बल मॉड्यूल 5 और 12 एन हैं तो परिणामी बल का परिमाण क्या है?
2. परस्पर लंबवत दिशाओं में कार्य करने वाले परिणामी बलों का मापांक 50 N के बराबर है। एक बल का मापांक 25 N के बराबर है। दूसरे बल का मापांक क्या है?

3. यदि प्रत्येक बल 600 N के बराबर है, तो आपस में 60° का कोण बनाने वाले दो बलों के परिणामी मापांक की गणना करें।

2. परीक्षण प्रश्न

1. प्रत्येक बल की विशेषता कैसी है?

2. बल की गणना करने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

3. दो से अधिक बलों के परिणाम की गणना कैसे करें?

4. शायद एक सीधी रेखा के साथ एक पिंड पर कार्य करने वाले दो बलों 4 एच और 5 एन का परिणाम 2 एन के बराबर है? एस एन? 8 एन? 10 एन?

हमने कक्षा में क्या सीखा?

पिंडों या कणों की एक दूसरे पर क्रिया को अंतःक्रिया कहते हैं।

बल एक सदिश राशि है, जो किसी पिंड पर अन्य पिंडों के प्रभाव का माप है, जिसके परिणामस्वरूप पिंड त्वरण प्राप्त करता है या आकार और आकार बदलता है।

1 N वह बल है जो 1 किलोग्राम वजन वाले शरीर को 1 m/s2 का त्वरण देता है।

परिणामी बल वह बल है जिसकी क्रिया किसी पिंड पर एक साथ कार्य करने वाले कई बलों की क्रिया को प्रतिस्थापित कर देती है।

जब एक पिंड पर कई बल एक साथ कार्य करते हैं, तो पिंड त्वरण के साथ चलता है, जो कि प्रत्येक बल की अलग-अलग कार्रवाई के तहत उत्पन्न होने वाले त्वरण का सदिश योग है। किसी पिंड पर कार्य करने वाले और एक बिंदु पर लागू होने वाले बलों को वेक्टर जोड़ के नियम के अनुसार जोड़ा जाता है।

किसी पिंड पर एक साथ कार्य करने वाले सभी बलों के वेक्टर योग को परिणामी बल कहा जाता है और इसे बलों के वेक्टर योग के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है: $\overrightarrow(R)=(\overrightarrow(F))_1+(\overrightarrow(F)) _2+(\overrightarrow(F)) _3+\dots +(\overrightarrow(F))_n=\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)$.

परिणामी बल का किसी पिंड पर उतना ही प्रभाव पड़ता है जितना उस पर लागू सभी बलों के योग का।

दो बलों को जोड़ने के लिए, समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग किया जाता है (चित्र 1):

चित्र 1. समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार दो बलों का योग

इस मामले में, हम कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके दो बलों के योग का मापांक पाते हैं:

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\sqrt((\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2+(\left|(\overrightarrow(F))_2\right |)^2+2(\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2(\left|(\overrightarrow(F))_2\right|)^2(cos \alpha \ ))\ ]

यदि आपको एक बिंदु पर लागू दो से अधिक बल जोड़ने की आवश्यकता है, तो बहुभुज नियम का उपयोग करें: ~ पहले बल के अंत से दूसरे बल के बराबर और समानांतर एक वेक्टर बनाएं; दूसरे बल के अंत से - तीसरे बल के बराबर और समानांतर एक वेक्टर, इत्यादि।

चित्र 2. बहुभुज नियम के अनुसार बलों का योग

बलों के अनुप्रयोग के बिंदु से अंतिम बल के अंत तक खींचा गया समापन वेक्टर परिणामी के परिमाण और दिशा के बराबर होता है। चित्र 2 में इस नियम को चार बलों का परिणाम ज्ञात करने के उदाहरण द्वारा दर्शाया गया है $(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2,(\overrightarrow(F))_3,(\overrightarrow (एफ) )_4$। ध्यान दें कि जोड़े जा रहे सदिश आवश्यक रूप से एक ही तल के नहीं हैं।

किसी भौतिक बिंदु पर लगने वाले बल का परिणाम केवल उसके मापांक और दिशा पर निर्भर करता है। एक ठोस शरीर के कुछ निश्चित आयाम होते हैं। इसलिए, जो बल परिमाण और दिशा में समान होते हैं वे अलग-अलग गति का कारण बनते हैं। ठोसआवेदन के बिंदु पर निर्भर करता है. बल सदिश से गुजरने वाली सीधी रेखा को बल की क्रिया की रेखा कहा जाता है।

चित्र 3. शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू बलों का योग

यदि बल शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू होते हैं और एक दूसरे के समानांतर कार्य नहीं करते हैं, तो परिणामी बलों की कार्रवाई की रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर लागू होता है (चित्र 3)।

एक बिंदु संतुलन में है यदि उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है: $\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)=\overrightarrow(0)$. इस स्थिति में, किसी भी समन्वय अक्ष पर इन बलों के प्रक्षेपण का योग भी शून्य है।

एक बल के स्थान पर दो बल लगाना, एक ही बिंदु पर लगाना और शरीर पर इस एक बल के समान प्रभाव उत्पन्न करना, बलों का विघटन कहलाता है। समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, बलों का विघटन, साथ ही उनका योग भी किया जाता है।

एक बिंदु पर लगाए गए और एक दूसरे से कोण पर कार्य करने वाले एक बल (जिसका मापांक और दिशा ज्ञात है) को दो भागों में विघटित करने की समस्या का निम्नलिखित मामलों में एक अनूठा समाधान है, यदि ज्ञात हो:

1. बलों के दोनों घटकों की दिशाएँ;
2. घटक बलों में से एक का मॉड्यूल और दिशा;
3. बलों के दोनों घटकों के मॉड्यूल।

उदाहरण के लिए, हम बल $F$ को F के साथ एक ही तल में स्थित और सीधी रेखाओं a और b के अनुदिश निर्देशित दो घटकों में विघटित करना चाहते हैं (चित्र 4)। ऐसा करने के लिए, F का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर के अंत से a और b के समानांतर दो रेखाएँ खींचना पर्याप्त है। खंड $F_A$ और $F_B$ आवश्यक बलों को दर्शाएंगे।

चित्र 4. दिशाओं के अनुसार बल वेक्टर का अपघटन

इस समस्या का एक अन्य संस्करण बल वेक्टर और दूसरे प्रक्षेपण को देखते हुए बल वेक्टर के प्रक्षेपणों में से एक को ढूंढना है। (चित्र 5 ए)।

चित्र 5. दिए गए वैक्टर का उपयोग करके बल वेक्टर का प्रक्षेपण ढूँढना

समस्या विकर्ण और प्लैनिमेट्री से ज्ञात पक्षों में से एक के साथ एक समांतर चतुर्भुज के निर्माण में आती है। चित्र 5 बी में इस तरह के एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण किया गया है और बल $(\overrightarrow(F))$ का आवश्यक घटक $(\overrightarrow(F))_2$ दर्शाया गया है।

दूसरा समाधान बल में - $(\overrightarrow(F))_1$ के बराबर बल जोड़ना है (चित्र 5c)। परिणामस्वरूप, हमें वांछित बल $(\overrightarrow(F))_2$ प्राप्त होता है।

तीन बल~$(\overrightarrow(F))_1=1\ N;;\ (\overrightarrow(F))_2=2\ N;;\ (\overrightarrow(F))_3=3\ N$ एक पर लागू बिंदु, एक ही तल में लेट जाएं (चित्र 6 a) और क्षैतिज $\alpha =0()^\circ ;;\beta =60()^\circ ;;\gamma =30()^ के साथ कोण बनाएं~ \सर्कल $क्रमशः। इन बलों का परिणाम ज्ञात कीजिए।

आइए हम दो परस्पर लंबवत अक्ष OX और OY बनाएं ताकि OX अक्ष क्षैतिज के साथ संपाती हो जिसके अनुदिश बल $(\overrightarrow(F))_1$ निर्देशित हो। आइए इन बलों को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करें (चित्र 6 बी)। अनुमान $F_(2y)$ और $F_(2x)$ नकारात्मक हैं। OX अक्ष पर बलों के प्रक्षेपण का योग परिणामी के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर है: $F_1+F_2(cos \beta \ )-F_3(cos \gamma \ )=F_x=\frac(4-3 \sqrt(3))(2)\ लगभग -0.6\ H$. इसी प्रकार, ओए अक्ष पर प्रक्षेपण के लिए: $-F_2(sin \beta \ )+F_3(sin \gamma =F_y=\ )\frac(3-2\sqrt(3))(2)\लगभग -0.2\ H $ . परिणाम का मापांक पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है: $F=\sqrt(F^2_x+F^2_y)=\sqrt(0.36+0.04)\लगभग 0.64\ Н$. परिणाम की दिशा परिणाम और अक्ष के बीच के कोण का उपयोग करके निर्धारित की जाती है (चित्र 6 c): $tg\varphi =\frac(F_y)(F_x)=\ \frac(3-2\sqrt(3)) (4-3\sqrt (3))\लगभग 0.4$

बल $F = 1kH$ ब्रैकेट के बिंदु B पर लगाया जाता है और लंबवत नीचे की ओर निर्देशित होता है (चित्र 7a)। ब्रैकेट छड़ों की दिशाओं में इस बल के घटकों का पता लगाएं। आवश्यक डेटा चित्र में दिखाया गया है।

एफ = 1 केएन = 1000एन

$(\mathbf \beta )$ = $30^(\circ)$

$(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2$ - ?

मान लीजिए कि छड़ों को बिंदु A और C पर दीवार से जोड़ा गया है। बल $(\overrightarrow(F))$ का दिशाओं AB और BC के अनुदिश घटकों में अपघटन चित्र 7b में दिखाया गया है। इससे पता चलता है कि $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|=Ftg\beta \approx 577\ H;\ \ $

\[\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=F(cos \beta \ )\लगभग 1155\ H. \]

उत्तर: $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|$=577 N; $\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=1155\ Н$

जब एक पिंड पर कई बल एक साथ कार्य करते हैं, तो पिंड त्वरण के साथ चलता है, जो कि प्रत्येक बल की अलग-अलग कार्रवाई के तहत उत्पन्न होने वाले त्वरण का सदिश योग है। किसी पिंड पर कार्य करने वाले और एक बिंदु पर लागू होने वाले बलों को वेक्टर जोड़ के नियम के अनुसार जोड़ा जाता है।

किसी पिंड पर एक साथ कार्य करने वाले सभी बलों के वेक्टर योग को परिणामी बल कहा जाता है और इसे बलों के वेक्टर योग के नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है: $\overrightarrow(R)=(\overrightarrow(F))_1+(\overrightarrow(F)) _2+(\overrightarrow(F)) _3+\dots +(\overrightarrow(F))_n=\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)$.

परिणामी बल का किसी पिंड पर उतना ही प्रभाव पड़ता है जितना उस पर लागू सभी बलों के योग का।

दो बलों को जोड़ने के लिए, समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग किया जाता है (चित्र 1):

चित्र 1. समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार दो बलों का योग

इस मामले में, हम कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके दो बलों के योग का मापांक पाते हैं:

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\sqrt((\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2+(\left|(\overrightarrow(F))_2\right |)^2+2(\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2(\left|(\overrightarrow(F))_2\right|)^2(cos \alpha \ ))\ ]

यदि आपको एक बिंदु पर लागू दो से अधिक बल जोड़ने की आवश्यकता है, तो बहुभुज नियम का उपयोग करें: ~ पहले बल के अंत से दूसरे बल के बराबर और समानांतर एक वेक्टर बनाएं; दूसरे बल के अंत से - तीसरे बल के बराबर और समानांतर एक वेक्टर, इत्यादि।

चित्र 2. बहुभुज नियम के अनुसार बलों का योग

बलों के अनुप्रयोग के बिंदु से अंतिम बल के अंत तक खींचा गया समापन वेक्टर परिणामी के परिमाण और दिशा के बराबर होता है। चित्र 2 में इस नियम को चार बलों का परिणाम ज्ञात करने के उदाहरण द्वारा दर्शाया गया है $(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2,(\overrightarrow(F))_3,(\overrightarrow (एफ) )_4$। ध्यान दें कि जोड़े जा रहे सदिश आवश्यक रूप से एक ही तल के नहीं हैं।

किसी भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बल का परिणाम केवल उसके मापांक और दिशा पर निर्भर करता है। एक ठोस शरीर के कुछ निश्चित आयाम होते हैं। इसलिए, समान परिमाण और दिशा की ताकतें अनुप्रयोग के बिंदु के आधार पर एक कठोर शरीर के विभिन्न आंदोलनों का कारण बनती हैं। बल सदिश से गुजरने वाली सीधी रेखा को बल की क्रिया की रेखा कहा जाता है।

चित्र 3. शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू बलों का योग

यदि बल शरीर के विभिन्न बिंदुओं पर लागू होते हैं और एक दूसरे के समानांतर कार्य नहीं करते हैं, तो परिणामी बलों की कार्रवाई की रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर लागू होता है (चित्र 3)।

एक बिंदु संतुलन में है यदि उस पर कार्य करने वाले सभी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है: $\sum^n_(i=1)((\overrightarrow(F))_i)=\overrightarrow(0)$. इस स्थिति में, किसी भी समन्वय अक्ष पर इन बलों के प्रक्षेपण का योग भी शून्य है।

एक बल के स्थान पर दो बल लगाना, एक ही बिंदु पर लगाना और शरीर पर इस एक बल के समान प्रभाव उत्पन्न करना, बलों का विघटन कहलाता है। समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, बलों का विघटन, साथ ही उनका योग भी किया जाता है।

एक बिंदु पर लगाए गए और एक दूसरे से कोण पर कार्य करने वाले एक बल (जिसका मापांक और दिशा ज्ञात है) को दो भागों में विघटित करने की समस्या का निम्नलिखित मामलों में एक अनूठा समाधान है, यदि ज्ञात हो:

1. बलों के दोनों घटकों की दिशाएँ;
2. घटक बलों में से एक का मॉड्यूल और दिशा;
3. बलों के दोनों घटकों के मॉड्यूल।

उदाहरण के लिए, हम बल $F$ को F के साथ एक ही तल में स्थित और सीधी रेखाओं a और b के अनुदिश निर्देशित दो घटकों में विघटित करना चाहते हैं (चित्र 4)। ऐसा करने के लिए, F का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर के अंत से a और b के समानांतर दो रेखाएँ खींचना पर्याप्त है। खंड $F_A$ और $F_B$ आवश्यक बलों को दर्शाएंगे।

चित्र 4. दिशाओं के अनुसार बल वेक्टर का अपघटन

इस समस्या का एक अन्य संस्करण बल वेक्टर और दूसरे प्रक्षेपण को देखते हुए बल वेक्टर के प्रक्षेपणों में से एक को ढूंढना है। (चित्र 5 ए)।

चित्र 5. दिए गए वैक्टर का उपयोग करके बल वेक्टर का प्रक्षेपण ढूँढना

समस्या विकर्ण और प्लैनिमेट्री से ज्ञात पक्षों में से एक के साथ एक समांतर चतुर्भुज के निर्माण में आती है। चित्र 5 बी में इस तरह के एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण किया गया है और बल $(\overrightarrow(F))$ का आवश्यक घटक $(\overrightarrow(F))_2$ दर्शाया गया है।

दूसरा समाधान बल में - $(\overrightarrow(F))_1$ के बराबर बल जोड़ना है (चित्र 5c)। परिणामस्वरूप, हमें वांछित बल $(\overrightarrow(F))_2$ प्राप्त होता है।

तीन बल~$(\overrightarrow(F))_1=1\ N;;\ (\overrightarrow(F))_2=2\ N;;\ (\overrightarrow(F))_3=3\ N$ एक पर लागू बिंदु, एक ही तल में लेट जाएं (चित्र 6 a) और क्षैतिज $\alpha =0()^\circ ;;\beta =60()^\circ ;;\gamma =30()^ के साथ कोण बनाएं~ \सर्कल $क्रमशः। इन बलों का परिणाम ज्ञात कीजिए।

आइए हम दो परस्पर लंबवत अक्ष OX और OY बनाएं ताकि OX अक्ष क्षैतिज के साथ संपाती हो जिसके अनुदिश बल $(\overrightarrow(F))_1$ निर्देशित हो। आइए इन बलों को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करें (चित्र 6 बी)। अनुमान $F_(2y)$ और $F_(2x)$ नकारात्मक हैं। OX अक्ष पर बलों के प्रक्षेपण का योग परिणामी के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर है: $F_1+F_2(cos \beta \ )-F_3(cos \gamma \ )=F_x=\frac(4-3 \sqrt(3))(2)\ लगभग -0.6\ H$. इसी प्रकार, ओए अक्ष पर प्रक्षेपण के लिए: $-F_2(sin \beta \ )+F_3(sin \gamma =F_y=\ )\frac(3-2\sqrt(3))(2)\लगभग -0.2\ H $ . परिणाम का मापांक पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है: $F=\sqrt(F^2_x+F^2_y)=\sqrt(0.36+0.04)\लगभग 0.64\ Н$. परिणाम की दिशा परिणाम और अक्ष के बीच के कोण का उपयोग करके निर्धारित की जाती है (चित्र 6 c): $tg\varphi =\frac(F_y)(F_x)=\ \frac(3-2\sqrt(3)) (4-3\sqrt (3))\लगभग 0.4$

बल $F = 1kH$ ब्रैकेट के बिंदु B पर लगाया जाता है और लंबवत नीचे की ओर निर्देशित होता है (चित्र 7a)। ब्रैकेट छड़ों की दिशाओं में इस बल के घटकों का पता लगाएं। आवश्यक डेटा चित्र में दिखाया गया है।

एफ = 1 केएन = 1000एन

$(\mathbf \beta )$ = $30^(\circ)$

$(\overrightarrow(F))_1,\ (\overrightarrow(F))_2$ - ?

मान लीजिए कि छड़ों को बिंदु A और C पर दीवार से जोड़ा गया है। बल $(\overrightarrow(F))$ का दिशाओं AB और BC के अनुदिश घटकों में अपघटन चित्र 7b में दिखाया गया है। इससे पता चलता है कि $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|=Ftg\beta \approx 577\ H;\ \ $

\[\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=F(cos \beta \ )\लगभग 1155\ H. \]

उत्तर: $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|$=577 N; $\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=1155\ Н$