Poissoni jaotus. Haruldaste sündmuste seadus. Diskreetse juhusliku suuruse Poissoni jaotus Poissoni jaotuse tõenäosus

Erinevat tüüpi tõenäosusjaotuste levinuim juhtum on binoomjaotus. Kasutagem selle mitmekülgsust praktikas kõige levinumate konkreetsete jaotustüüpide määramiseks.

Binoomjaotus

Olgu siis mõni sündmus A. Sündmuse A toimumise tõenäosus on võrdne lk, on sündmuse A mittetoimumise tõenäosus 1 lk, mõnikord on see tähistatud kui q. Lase n testide arv, m sündmuse A esinemise sagedus nendes n testid.

On teada, et kõigi võimalike tulemuste kombinatsioonide kogutõenäosus on võrdne ühega, see tähendab:

1 = lk n + n · lk n 1 (1 lk) + C n n 2 · lk n 2 (1 lk) 2 + + C n m · lk m· (1 lk) n – m+ + (1 lk) n .

lk n tõenäosus, et sisse nnüks kord; n · lk n 1 (1 lk) tõenäosus, et sisse nn 1) üks kord ja ei juhtu 1 kord; C n n 2 · lk n 2 (1 lk) 2 tõenäosus, et sisse n testid, toimub sündmus A ( n 2) korda ja ei juhtu 2 korda; P m = C n m · lk m· (1 lk) n – m tõenäosus, et sisse n testide korral toimub sündmus A m ei juhtu kunagi ( n – m) üks kord; (1 lk) n tõenäosus, et sisse n katsetes ei esine sündmust A isegi üks kord; kombinatsioonide arv n Kõrval m .

Oodatud väärtus M binoomjaotus on võrdne:

M = n · lk ,

Kus n testide arv, lk sündmuse A toimumise tõenäosus.

Standardhälve σ :

σ = sqrt( n · lk· (1 lk)) .

Näide 1. Arvutage tõenäosus, et sündmusel on tõenäosus lk= 0,5 tolli n= Toimub 10 katset m= 1 kord. Meil on: C 10 1 = 10 ja edasi: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Nagu näeme, on selle sündmuse toimumise tõenäosus üsna väike. Seda seletatakse esiteks asjaoluga, et pole absoluutselt selge, kas sündmus juhtub või mitte, kuna tõenäosus on 0,5 ja tõenäosus on siin "50 kuni 50"; ja teiseks on vaja arvutada, et sündmus toimub täpselt üks kord (mitte rohkem ega vähem) kümnest.

Näide 2. Arvutage tõenäosus, et sündmusel on tõenäosus lk= 0,5 tolli n= Toimub 10 katset m= 2 korda. Meil on: C 10 2 = 45 ja edasi: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Selle sündmuse toimumise tõenäosus on suurenenud!

Näide 3. Suurendame sündmuse enda toimumise tõenäosust. Teeme selle tõenäolisemaks. Arvutage tõenäosus, et sündmusel on tõenäosus lk= 0,8 tolli n= Toimub 10 katset m= 1 kord. Meil on: C 10 1 = 10 ja edasi: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Tõenäosus on muutunud väiksemaks kui esimeses näites! Vastus tundub esmapilgul kummaline, kuid kuna sündmus on üsna suure tõenäosusega, ei juhtu seda tõenäoliselt vaid korra. Tõenäolisem on, et see juhtub rohkem kui üks kord. Tõepoolest, lugedes P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (tõenäosus, et sündmus toimub n= 10 katset tehakse 0, 1, 2, 3, , 10 korda), näeme:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 ​​8 = 0,0000;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(suurim tõenäosus!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074

Muidugi P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Normaaljaotus

Kui kujutame koguseid P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, mille arvutasime näites 3, graafikul selgub, et nende jaotus on normaaljaotuse seadusele lähedase kujuga (vt joon. 27.1) (vt loeng 25. Normaaljaotusega juhuslike suuruste modelleerimine).

Riis. 27.1. Binoomjaotuse tüüp
erinevate m-de tõenäosused p = 0,8, n = 10 korral

Binoomseadus muutub normaalseks, kui sündmuse A toimumise ja mittetoimumise tõenäosus on ligikaudu sama, see tähendab, et saame tinglikult kirjutada: lk≈ (1 lk) . Näiteks võtame n= 10 ja lk= 0,5 (see tähendab lk= 1 lk = 0.5 ).

Sellise probleemini jõuame sisukalt siis, kui tahame näiteks teoreetiliselt välja arvutada, mitu poissi ja mitu tüdrukut on 10-st sünnitusmajas samal päeval sündinud lapsest. Täpsemalt loeme mitte poisse ja tüdrukuid, vaid tõenäosust, et sünnivad ainult poisid, sünnib 1 poiss ja 9 tüdrukut, 2 poissi ja 8 tüdrukut jne. Oletame lihtsuse mõttes, et tõenäosus saada poiss ja tüdruk on sama ja võrdne 0,5 (aga tegelikult, ausalt öeldes, see pole nii, vt kursust “Tehisintellektisüsteemide modelleerimine”).

On selge, et jaotus on sümmeetriline, kuna tõenäosus saada 3 poissi ja 7 tüdrukut on võrdne tõenäosusega, et sünnib 7 poissi ja 3 tüdrukut. Suurim sünnitõenäosus on 5 poissi ja 5 tüdrukut. See tõenäosus on 0,25, muide, see pole absoluutväärtuses nii suur. Lisaks on tõenäosus, et sünnib korraga 10 või 9 poissi, palju väiksem kui tõenäosus, et 10 lapsest sünnib 5 ± 1 poiss. Binoomjaotus aitab meil seda arvutust teha. Niisiis.

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977

Muidugi P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Näitame kogused graafikul P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (vt joonis 27.2).

Riis. 27.2. Binoomjaotuse graafik koos parameetritega
p = 0,5 ja n = 10, lähendades selle tavaseadusele

Niisiis, tingimustel m ≈ n/2 ja lk≈ 1 lk või lk≈ 0,5 binoomjaotuse asemel võite kasutada tavalist. Suurte väärtuste jaoks n graafik nihkub paremale ja muutub üha tasasemaks, kuna matemaatiline ootus ja dispersioon suurenevad suurenedes n : M = n · lk , D = n · lk· (1 lk) .

Muide, binoomseadus kipub normaalseks ja suurenema n, mis on keskse piiriteoreemi järgi üsna loomulik (vt loeng 34. Statistiliste tulemuste salvestamine ja töötlemine).

Nüüd mõelge, kuidas muutub binoomseadus juhul, kui lk ≠ q, see on lk> 0. Sel juhul ei saa normaaljaotuse hüpoteesi rakendada ja binoomjaotusest saab Poissoni jaotus.

Poissoni jaotus

Poissoni jaotus on binoomjaotuse erijuhtum (koos n>> 0 ja kl lk>0 (harvad sündmused)).

Matemaatikast on teada valem, mis võimaldab ligikaudselt arvutada binoomjaotuse mis tahes liikme väärtust:

Kus a = n · lk Poissoni parameeter (matemaatiline ootus) ja dispersioon on võrdne matemaatilise ootusega. Esitame matemaatilised arvutused, mis seda üleminekut selgitavad. Binoomjaotuse seadus

P m = C n m · lk m· (1 lk) n – m

saab kirjutada, kui paned lk = a/n , nagu

Sest lk on väga väike, siis tuleks arvesse võtta ainult numbreid m, väike võrreldes n. Töö

ühtsusele väga lähedal. Sama kehtib ka suuruse kohta

Suurusjärk

väga lähedal e – a. Siit saame valemi:

Näide. Kast sisaldab n= 100 osa, nii kvaliteetsed kui ka defektsed. Defektse toote saamise tõenäosus on lk= 0,01. Oletame, et võtame toote välja, teeme kindlaks, kas see on defektne või mitte, ja paneme tagasi. Seda tehes selgus, et 100 tootest, mille läbi käisime, osutusid defektsed kaks. Kui suur on selle tõenäosus?

Binoomjaotusest saame:

Poissoni jaotusest saame:

Nagu näete, osutusid väärtused lähedaseks, nii et harvaesinevate sündmuste korral on Poissoni seaduse rakendamine üsna vastuvõetav, eriti kuna see nõuab vähem arvutuslikku pingutust.

Näitame graafiliselt Poissoni seaduse vormi. Võtame näiteks parameetrid lk = 0.05 , n= 10. Seejärel:

C 10 0 = 1 , C 10 1 = 10 , C 10 2 = 45 , C 10 3 = 120 , C 10 4 = 210 , C 10 5 = 252 ,
C 10 6 = 210 , C 10 7 = 120 , C 10 8 = 45 , C 10 9 = 10 , C 10 10 = 1 ;

P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000

Muidugi P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .

Riis. 27.3. Poissoni jaotuse graafik p = 0,05 ja n = 10 juures

Kell n> ∞ Poissoni jaotus muutub normaalseaduseks, vastavalt kesksele piirteoreemile (vt.

Sissejuhatus

Tõenäosusteooria on matemaatikateadus, mis uurib juhuslike nähtuste mustreid. Tänapäeval on see täieõiguslik teadus, millel on suur praktiline tähtsus.

Tõenäosusteooria ajalugu ulatub 17. sajandisse, mil hakati süstemaatiliselt uurima massijuhuslike nähtustega seotud probleeme ja tekkis vastav matemaatiline aparaat. Sellest ajast alates on palju põhialuseid arendatud ja süvendatud praegustele mõistetele ning avastatud on muid olulisi seadusi ja mustreid. Paljud teadlased on töötanud ja tegelevad tõenäosusteooria probleemidega.

Nende hulgas ei saa jätta tähelepanuta Simeon Denis Poissoni ((1781–1840) - prantsuse matemaatik) töödele, kes tõestasid suurte arvude seaduse üldisemat vormi kui Jacob Bernoulli ja rakendasid seda ka esimest korda. laskmisprobleemide tõenäosuse teooria. Poissoni nime seostatakse ühe jaotusseadusega, mis mängib olulist rolli tõenäosusteoorias ja selle rakendustes.

Teatud juhusliku sündmuse esinemiste arv ajaühikus, kui selle sündmuse toimumise fakt antud katses ei sõltu sellest, mitu korda ja mis ajahetkel see minevikus toimus, ega mõjuta tulevik. Ja katsed viiakse läbi statsionaarsetes tingimustes, siis kasutatakse sellise juhusliku suuruse jaotuse kirjeldamiseks tavaliselt Poissoni seadust (selle jaotuse pakkus esmakordselt välja ja avaldas see teadlane 1837. aastal).

Seda seadust võib kirjeldada ka kui binoomjaotuse piirjuhtumit, kui meid huvitava sündmuse toimumise tõenäosus p ühes eksperimendis on väga väike, kuid ajaühikus sooritatavate katsete arv m on üsna suur. , nimelt nii, et protsessis p

0 ja m, kipub korrutis mp saavutama positiivse konstantse väärtuse (st mp).

Seetõttu nimetatakse Poissoni seadust sageli ka haruldaste sündmuste seaduseks.

Poissoni jaotus tõenäosusteoorias

Funktsiooni- ja jaotusseeriad

Poissoni jaotus on binoomjaotuse erijuhtum (koos n>> 0 ja kl lk–> 0 (harvad sündmused)).

Matemaatikast on teada valem, mis võimaldab ligikaudselt arvutada binoomjaotuse mis tahes liikme väärtust:

Kus a = n · lk on Poissoni parameeter (matemaatiline ootus) ja dispersioon on võrdne matemaatilise ootusega. Esitame matemaatilised arvutused, mis seda üleminekut selgitavad. Binoomjaotuse seadus

Pm = C n m · p m· (1 - lk)n – m

saab kirjutada, kui paned lk = a/n, nagu

Sest lk on väga väike, siis tuleks arvesse võtta ainult numbreid m, väike võrreldes n. Töö

ühtsusele väga lähedal. Sama kehtib ka suuruse kohta

väga lähedal e –a. Siit saame valemi:

Euleri arv (2,71...). ,

Genereerimisfunktsiooni jaoks

meil on kogused:

Kumulatiivne tõenäosusjaotuse funktsioon on võrdne

Klassikaline näide Poissoni järgi jaotatud juhuslikust suurusest on autode arv, mis läbivad teatud teelõigu teatud aja jooksul. Samuti võite märkida selliseid näiteid nagu tähtede arv teatud suurusega taevaosas, vigade arv teatud pikkusega tekstis, telefonikõnede arv kõnekeskuses või kõnede arv veebiserver teatud aja jooksul.

Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse X jaotusrida näeb välja järgmine:

x m	0	1	2	…	m	…
Pm	e-a			…		…

Joonisel fig. 1 näitab juhusliku suuruse jaotuse hulknurki X vastavalt Poissoni seadusele, mis vastab parameetri erinevatele väärtustele A.

Kõigepealt teeme kindlaks, et tõenäosuste jada võib olla jaotusrida, s.t. et kõigi tõenäosuste summa Rm võrdne ühega.

Kasutame funktsiooni laiendust e x Maclaurini sarjas:

On teada, et see seeria läheneb mis tahes väärtuse korral X, seega võttes x=a, saame

seega

Poissoni jaotuse positsiooni numbrilised karakteristikud

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summa.

Definitsiooni järgi, kui diskreetne juhuslik muutuja võtab loendatava väärtuste komplekti:

Summa esimene liige (vastab m=0 ) on võrdne nulliga, seega võib liitmist alustada m=1 :

Seega parameeter A pole midagi muud kui juhusliku suuruse matemaatiline ootus X.

Lisaks matemaatilisele ootusele iseloomustavad juhusliku suuruse positsiooni selle mood ja mediaan.

Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus.

Pideva suuruse korral nimetatakse režiimi tõenäosustiheduse funktsiooni lokaalse maksimumi punktiks. Kui hulknurgal või jaotuskõveral on üks maksimum (joonis 2 a), siis nimetatakse jaotust unimodaalseks, kui maksimume on rohkem kui üks, siis on see multimodaalne (eelkõige kahemoodilist jaotust nimetatakse bimodaalseks). Jaotust, millel on miinimum, nimetatakse antimodaalseks (joonis 2 b)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Juhusliku suuruse kõige tõenäolisem väärtus on režiim, mis annab diskreetse juhusliku suuruse globaalse maksimaalse tõenäosuse või pideva juhusliku suuruse jaotustiheduse.

Mediaan on x l väärtus, mis jagab tõenäosustiheduse graafiku all oleva ala pooleks, s.o. Mediaan on võrrandi mis tahes juur. Matemaatiline ootus ei pruugi eksisteerida, kuid mediaan on alati olemas ja seda saab mitmetähenduslikult määratleda.

Juhusliku muutuja mediaan

selle väärtust = x med nimetatakse nii, et P (< x med) = Р ( >x med) = .

Hajuvuse arvulised omadused

Juhusliku suuruse X dispersioon on juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde matemaatiline ootus selle matemaatilisest ootusest.

Kus λ on võrdne sündmuste esinemiste keskmise arvuga identsetes sõltumatutes katsetes, st. λ = n × p, kus p on sündmuse tõenäosus ühes katses, e = 2,71828.

Poissoni seaduse jaotussarja vorm on järgmine:

Teenuse eesmärk. Veebikalkulaatorit kasutatakse Poissoni jaotuse koostamiseks ja seeria kõigi tunnuste arvutamiseks: matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve. Akt koos otsusega vormistatakse Wordi formaadis.

Juhul, kui n on suur ja λ = p n > 10, annab Poissoni valem väga umbkaudse lähenduse ning P n (m) arvutamiseks kasutatakse Moivre-Laplace'i lokaalseid ja integraalteoreeme.

Juhusliku suuruse X arvkarakteristikud

Poissoni jaotuse ootus
M[X] = λ

Poissoni jaotuse dispersioon
D[X] = λ

Näide nr 1. Seemned sisaldavad 0,1% umbrohtu. Kui suur on tõenäosus leida 5 umbrohuseemet, kui valite juhuslikult 2000 seemet?
Lahendus.
Tõenäosus p on väike, kuid arv n on suur. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Oodatud väärtus: M[X] = λ = 2
Dispersioon: D[X] = λ = 2

Näide nr 2. Rukkiseemnete hulgas on umbrohuseemneid 0,4%. Koostage 5000 seemne juhusliku valikuga umbrohtude arvu levikuseadus. Leidke selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon.
Lahendus. Matemaatiline ootus: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Dispersioon: D[X] = λ = 20
Levitamise seadus:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Näide nr 3. Telefonijaamas tekib vale ühendus tõenäosusega 1/200. Leidke tõenäosus, et 200 ühenduse hulgas toimub järgmine:
a) täpselt üks vale ühendus;
b) vähem kui kolm vale ühendust;
c) rohkem kui kaks vale ühendust.
Lahendus. Vastavalt ülesande tingimustele on sündmuse tõenäosus väike, seega kasutame Poissoni valemit (15).
a) Antud: n = 200, p = 1/200, k = 1. Leiame P 200 (1).
Saame: . Siis P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Antud: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Meil on: a = 1.

c) Antud: n = 200, p = 1/200, k > 2. Leidke P 200 (k > 2).
Seda probleemi saab lahendada lihtsamalt: leidke vastupidise sündmuse tõenäosus, kuna sel juhul peate arvutama vähem termineid. Võttes arvesse eelmist juhtumit, on meil

Vaatleme juhtumit, kus n on piisavalt suur ja p piisavalt väike; paneme np = a, kus a on mingi arv. Sel juhul määratakse soovitud tõenäosus Poissoni valemiga:

K sündmuse toimumise tõenäosust aja jooksul t saab leida ka Poissoni valemi abil:
kus λ on sündmuste voo intensiivsus, st sündmuste keskmine arv, mis ilmuvad ajaühikus.

Näide nr 4. Tõenäosus, et osa on defektne, on 0,005. 400 osa on kontrollitud. Esitage valem tõenäosuse arvutamiseks, et rohkem kui 3 osa on defektsed.

Näide nr 5. Defektsete osade ilmnemise tõenäosus masstootmise käigus on p. määrata tõenäosus, et N osast koosnev partii sisaldab a) täpselt kolme osa; b) mitte rohkem kui kolm defektset osa.
p = 0,001; N = 4500
Lahendus.
Tõenäosus p on väike, kuid arv n on suur. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Juhuslikul muutujal X on väärtuste vahemik (0,1,2,...,m). Nende väärtuste tõenäosuse saab leida järgmise valemi abil:

Leiame X jaotusseeria.
Siin λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Siis on tõenäosus, et N osast koosnev partii sisaldab täpselt kolme osa, võrdub:

Seejärel tõenäosus, et N osast koosnev partii ei sisalda rohkem kui kolme defektset osa:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Näide nr 6. Automaatne telefonikeskjaam võtab keskmiselt N kõnet vastu tunnis. Määrake tõenäosus, et antud minuti jooksul saab ta: a) täpselt kaks kõnet; b) rohkem kui kaks kõnet.
N = 18
Lahendus.
Ühe minuti jooksul võtab automaatne telefonikeskjaam vastu keskmiselt λ = 18/60 min. = 0,3
Eeldusel, et ühe minuti jooksul võeti PBX-is vastu juhuslik arv X kõnesid,
järgib Poissoni seadust, valemit kasutades leiame soovitud tõenäosuse

Leiame X jaotusseeria.
Siin λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Tõenäosus, et ta saab antud minuti jooksul täpselt kaks kõnet, on:
P(2) = 0,03334
Tõenäosus, et ta saab antud minuti jooksul rohkem kui kaks kõnet, on:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Näide nr 7. Vaadeldakse kahte teineteisest sõltumatult toimivat elementi. Rikkevaba töö kestus on eksponentsiaalse jaotusega parameetriga λ1 = 0,02 esimese elemendi ja λ2 = 0,05 teise elemendi puhul. Leia tõenäosus, et 10 tunni pärast: a) töötavad mõlemad elemendid tõrgeteta; b) ainult tõenäosus, et element nr 1 ei purune 10 tunni jooksul:
Otsus.
P 1 (0) = e -λ1 * t = e -0,02 * 10 = 0,8187

Tõenäosus, et element nr 2 ei purune 10 tunni jooksul:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) mõlemad elemendid töötavad laitmatult;
P(2) = P 1 (0) * P 2 (0) = 0,8187 * 0,6065 = 0,4966
b) ainult üks element ebaõnnestub.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Näide nr 7. Tootmine tekitab 1% defekte. Kui suur on tõenäosus, et 1100 uuringusse võetud tootest lükatakse tagasi mitte rohkem kui 17?
Märge: kuna siin n*p =1100*0.01=11 > 10, siis tuleb kasutada

Arvestades väikese tõenäosusega sündmusi, mis toimuvad suures seerias sõltumatutes katsetes teatud (lõplik) arv kordi, järgivad nende sündmuste toimumise tõenäosused Poissoni seadust või haruldaste sündmuste seadust, kus λ on võrdne katsete keskmise arvuga. sündmuste esinemised identsetes sõltumatutes katsetes, st. λ = n × p, kus p on sündmuse tõenäosus ühe katse ajal, e = 2,71828, m on selle sündmuse sagedus, matemaatiline ootus M[X] on võrdne λ-ga.

Poissoni seaduse jaotussarja vorm on järgmine:

Juhusliku suuruse X arvkarakteristikud

Poissoni jaotuse ootus
M[X] = λ

Poissoni jaotuse dispersioon
D[X] = λ

Poissoni seadus saab kasutada populatsioonide jaoks, mis on mahult piisavalt suured (n > 100) ja millel on piisavalt väike osa selle tunnusega ühikuid (p< 0,1).
Sel juhul saab Poissoni jaotust rakendada siis, kui ei ole teada mitte ainult n väärtus – võimalike tulemuste koguarv, vaid ka siis, kui pole teada lõplik arv, mida n võib esindada. Kui sündmuse esinemiste arv on keskmine, kirjeldatakse sündmuse toimumise tõenäosust laienemise tingimustega:
.
Seetõttu on vastavad tõenäosused:

Seega, kui keskmine maavärinate arv on üks kuus, siis m = 1 ja toimumise tõenäosus kuus on e-m = 0,3679 ligikaudse väärtuse põhjal järgmine:

Näide. 1000 identse tootepartii kontrollimise tulemusena saadi partiis olevate defektsete toodete arvu järgmine jaotus:

Teeme kindlaks defektsete toodete keskmise arvu partiis:
.
Leiame Poissoni seaduse teoreetilised sagedused:


Empiiriliselt ja teoreetiliselt leitud Poissoni jaotus:

604	306	77	12	1
606	303	76	13	2

Võrdlus näitab, et empiiriline jaotus vastab Poissoni jaotusele.

Näide nr 2. Tehnilise kontrolli osakond kontrollis n partiid sarnaseid tooteid ja leidis, et mittestandardsete toodete arv X ühes partiis on empiirilise jaotusega, mis on näidatud tabelis, mille ühel real on märgitud mittestandardsete toodete arv x i ühes partiis, ja teine ​​rida näitab n i partiide arvu, mis sisaldavad x i mittestandardset toodet. Olulisuse tasemel α=0,05 on vaja kontrollida hüpoteesi, et juhuslik suurus X (mittestandardsete toodete arv ühes partiis) jaotatud vastavalt Poissoni seadusele.

x i	0	1	2	3	4	5
n i	370	360	190	63	14	3

Kontrollime hüpoteesi, et X on jaotatud Poissoni seadus Teenuse kasutamine, statistiliste hüpoteeside testimine.


kus p i on tõenäosus, et hüpoteetilise seaduse kohaselt jaotatud juhuslik suurus langeb i-ndasse intervalli; λ = x keskm.
i = 0: p 0 = 0,3679, np 0 = 367,88
i = 1: p 1 = 0,3679, np 1 = 367,88
i = 2: p 2 = 0,1839, np 2 = 183,94
i = 3: p 3 = 0,0613, np 3 = 61,31
i = 4: p 4 = 0,0153, np 4 = 15,33
i = 5: p 5 = 0,0031, np 5 = 3,07
i = 6: 17 = 14 + 3
i = 6: 18,39 = 15,33 + 3,07

i	Vaadeldav sagedus n i	p i	Eeldatav sagedus np i
0	370	0.37	367.88	0.0122
1	360	0.37	367.88	0.17
2	190	0.18	183.94	0.2
3	63	0.0613	61.31	0.0464
4	17	0.0153	18.39	0.11
	1000			0.53

Määrame kriitilise piirkonna piiri. Kuna Pearsoni statistika mõõdab erinevust empiirilise ja teoreetilise jaotuse vahel, siis mida suurem on selle vaadeldav väärtus K obs, seda tugevam on argument põhihüpoteesi vastu.
Seetõttu on selle statistika jaoks kriitiline piirkond alati paremakäeline :)