Muinasjutud

Kui ringjoone kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega. Mis on geomeetrias ringi akord, selle definitsioon ja omadused Kõik teoreemid ringide kohta

Akord tähendab kreeka keeles "nööri". Seda mõistet kasutatakse laialdaselt erinevates teadusvaldkondades – matemaatikas, bioloogias jm.

Geomeetrias on termini definitsioon järgmine: see on sirge segment, mis ühendab kaks suvalist punkti samal ringil. Kui selline segment lõikub keskpunktiga kõver, seda nimetatakse piiritletud ringi läbimõõduks.

Kokkupuutel

Kuidas konstrueerida geomeetrilist akordi

Selle lõigu koostamiseks peate kõigepealt joonistama ringi. Määrake kaks suvalist punkti, mille kaudu tõmmatakse lõikejoon. Ringjoone lõikepunktide vahel paiknevat sirge lõiku nimetatakse kõõluks.

Kui jagada selline telg pooleks ja tõmmata sellest punktist risti, siis läbib see ringi keskpunkti. Võite teha vastupidise toimingu - ringi keskelt tõmmake raadius, mis on akordiga risti. Sel juhul jagab raadius selle kaheks identseks pooleks.

Kui arvestada kõvera osi, mis on piiratud kahe paralleelse võrdse lõiguga, siis on need kõverad ka üksteisega võrdsed.

Omadused

Mustreid on mitmeid, ühendades akordid ja ringi keskpunkti:

Seos raadiuse ja läbimõõduga

Ülaltoodud matemaatilised mõisted on omavahel seotud järgmiste seadustega:

Akord ja raadius

Nende mõistete vahel on järgmised seosed:

Seosed sissekirjutatud nurkadega

Ringi sisse kirjutatud nurgad järgivad järgmisi reegleid:

Kaare interaktsioonid

Kui kaks segmenti moodustavad kõvera võrdse suurusega lõike, on sellised teljed üksteisega võrdsed. Sellest reeglist tulenevad järgmised mustrid:

Täpselt pool ringi ulatuv kõõl on selle läbimõõt. Kui kaks sirget samal ringil on üksteisega paralleelsed, on ka nende lõikude vahele jäävad kaared võrdsed. Siiski ei tohiks segi ajada suletud kaare nendega, mis on ümbritsetud samade joontega.

Osa 3. Ringid

I. Võrdlusmaterjalid.

I. Puutujate, akordide ja sekantide omadused. Sissekirjutatud ja kesknurgad.

Ring ja ring

1. Kui ühest punktist, mis asub väljaspool ringi, tõmbame sellele kaks puutujat, siis

a) lõikude pikkused antud punktist puutepunktideni on võrdsed;

b) iga ringi keskpunkti läbiva puutuja ja sekandi vahelised nurgad on võrdsed.

2. Kui ühest ringist väljas asuvast punktist tõmmatakse sellele puutuja ja sekant, siis puutuja ruut võrdub lõikaja ja selle välimise osa korrutisega.

3. Kui kaks kõõlu lõikuvad ühes punktis, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise akordi segmentide korrutisega.

4. Ümbermõõt C=2πR;

5. Kaare pikkus L =πRn/180˚

6. Ringjoone pindala S=πR 2

7. Sektori piirkond c=πR2 n/360

Sissekirjutatud nurga kraadimõõt on võrdne poole kaare kraadist, millel see toetub.

1. teoreem. Ringjoonel ühise punktiga puutuja ja kõõlu vahelise nurga mõõt on võrdne selle külgede vahele jääva kaare poole astmega

2. teoreem(umbes puutuja ja sekanti). Kui punktist M tõmmatakse ringi puutuja ja sekant, siis punktist M puutepunktini kulgeva puutuja lõigu ruut võrdub punktist M kuni selle punktini kulgevate lõikude pikkuste korrutisega. ristmik ringiga.

3. teoreem. Kui ringjoone kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude pikkuste korrutis võrdne teise kõõlu lõikude pikkuste korrutisega, st kui kõõlud AB ja CD lõikuvad punktis M, siis AB MV = CM MD.

Ringakordide omadused:

Akordiga risti olev läbimõõt jagab selle pooleks. Ja vastupidi: kõõlu keskosa läbiv läbimõõt on sellega risti.

Ringjoone võrdsed akordid asuvad ringi keskpunktist võrdsel kaugusel. Ja vastupidi: võrdsed akordid asuvad ringi keskpunktist võrdsel kaugusel.

Ringjoone kaared, mis on ümbritsetud paralleelsete kõõlude vahele, on võrdsed.

Ringe, millel on selles punktis ühine punkt ja ühine puutuja, nimetatakse puutujateks Kui ringid asuvad ühise puutuja ühel küljel, siis nimetatakse neid sisemiseks puutujateks ja kui puutuja vastaskülgedel, siis nimetatakse neid. väliselt puutuja.

II. Lisamaterjalid

Mõne nurga omadused.

Teoreem.

1) Nurk (ABC), mille tipp asub ringi sees, on kahe kaare (AC ja DE) poolsumma, millest üks on selle külgede ja teine külgede pikenduste vahel.

2) nurk (ABC), mille tipp asub ringist väljas ja küljed lõikuvad ringiga, on selle külgede vahele jääva kahe kaare (AC ja ED) poolvahe

Tõestus .

Joonistades akordi AD (mõlemal joonisel), saame ∆АВD,

mille suhtes vaadeldav nurk ABC toimib välisena, kui selle tipp asub ringi sees, ja sisemisena, kui selle tipp asub ringist väljas. Seetõttu esimesel juhul: ; teisel juhul:

Kuid nurki ADC ja DAE, nagu ka sissekirjutatud, mõõdetakse poolkaarega

AC ja DE; seetõttu mõõdetakse nurka ABC: esimesel juhul summaga: ½ ﬞ AC+1/2 ﬞ DE, mis on võrdne 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE), ja teisel juhul on erinevus 1/2 ﬞ AC- 1/2 ﬞ DE, mis on võrdne 1/2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Teoreem. Puutuja ja kõõlu moodustatud nurka (ACD) mõõdetakse poolega selles sisalduvast kaarest.

Oletame esmalt, et akordi CD läbib keskpunkti O, s.o. et akord on läbimõõt. Siis nurk ACD- sirge ja seega võrdne 90°-ga. Kuid pool kaarest CmD võrdub ka 90°-ga, kuna kogu kaar CmD, mis moodustab poolringi, sisaldab 180°. See tähendab, et teoreem on antud juhul tõene.

Võtame nüüd üldise juhtumi, kui akordi CD ei läbi keskpunkti. Joonistades seejärel läbimõõdu CE, saame:

U eesmärk ACE, mis koosneb puutujast ja läbimõõdust, mõõdetakse, nagu on tõestatud, poole kaare CDE võrra; Nurka DCE, kui sissekirjutatud nurka, mõõdetakse poole kaare võrra CnED: ainus erinevus tõestuses on see, et seda nurka ei tule käsitleda erinevusena, vaid täisnurga ALL ja teravnurga ECD summana.

Proportsionaalsed jooned ringis

Teoreem. Kui mingi kõõl (AB) ja diameeter (CD) tõmmatakse läbi punkti (M), mis on võetud ringi sees, siis on kõõlusegmentide korrutis (AM MB) võrdne diameetri segmentide (MB MC) korrutisega.

Tõestus.

P
Joonistades kaks abiakordi AC ja BD, saame kaks kolmnurka AMC ja MBD (joonisel kaetud kriipsudega), mis on sarnased, kuna nende nurgad A ja D on võrdsed, nagu sissekirjutatavatel, põhinevad samal kaarel BC, nurgad C ja B on võrdsed, nagu kirjutatud, põhinedes samal kaarel AD. Kolmnurkade sarnasusest järeldame:

AM: MD=MS: MV, kust AM MV=MD MS.

Tagajärg. Kui ringi sees oleva punkti (M) kaudu tõmmatakse suvaline arv akorde (AB, EF, KL,...), siis on iga akordi segmentide korrutis kõigi akordide jaoks konstantne arv, kuna iga nööri jaoks on see korrutis on võrdne võetud punkti M läbivate CD läbimõõduga segmentide korrutisega.

Teoreem. Kui punktist (M), mis on võetud ringist väljapoole, tõmmatakse sellele mõni sekant (MA) ja puutuja (MS), siis on sekandi ja selle välimise osa korrutis võrdne puutuja ruuduga (eeldatakse, et sekant on piiratud teise lõikepunktiga ja puutuja - kokkupuutepunkt).

Tõestus.

Joonistame abiakordid AC ja BC; siis saame kaks kolmnurka MAC ja MVS (joonisel kaetud kriipsudega), mis on sarnased, kuna neil on ühine nurk M ning nurgad MCW ja CAB on võrdsed, kuna kumbagi neist mõõdetakse pool kaarest BC. Võtame MA ja MC pooled ∆MAS-is; sarnased osapooled ∆MVS-is on MC ja MV; seega MA: MS = MS: MV, millest MA MV = MS 2.

Tagajärg. Kui punktist (M), mis on võetud väljaspool ringi, tõmmatakse sinna suvaline arv sekante (MA, MD, ME,...), siis on iga sekandi ja selle välisosa korrutis konstantne arv kõigi sekantide jaoks, kuna iga sekandi korral on korrutis võrdne punktist M tõmmatud puutuja (MC 2) ruuduga.

III. Sissejuhatavad ülesanded.

Ülesanne 1.

IN 60° teravnurgaga võrdhaarse trapetsi külgkülg on võrdne ja väiksem alus on võrdne . Leidke selle trapetsi poolt ümbritsetud ringi raadius.

Lahendus

1) Trapetsi ümber piiratud ringjoone raadius on sama, mis ümber kolmnurga, mille tipud on trapetsi mis tahes kolm tippu. Leidke ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadius R ABD.

2) ABCD on seega võrdhaarne trapets A.K. = M.D., K.M. =.

In ∆ ABK A.K. = AB cos A = · cos 60° = . Tähendab,
AD = .

B.K. = AB patt A = · = .

3) Koosinusteoreemiga ∆-s ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos A.

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ ABD) = AD · B.K.; S(∆ ABD) = · · 3 = .

2. ülesanne.

Võrdkülgses kolmnurgas ABC kirjutatakse ring ja joonistatakse lõik N.M.,

M A.C., N B.C., mis seda puudutab ja on küljega paralleelne AB.

Määrake trapetsi ümbermõõt AMNB, kui lõigu pikkus MN võrdub 6.

Lahendus.

1) ∆ABC– võrdkülgne, punkt O– mediaanide (poolitajate, kõrguste) lõikepunkt, mis tähendab CO : O.D. = 2 : 1.

2) MN- ringi puutuja, P– kokkupuutepunkt, mis tähendab O.D. =
= OP, Siis CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ TAKSO, mis tähendab ∆ CMN– võrdkülgsed C.M. = CN = MN = = 6; P.

3) BN = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = OLEN. + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Võrdhaarset trapetsi kirjeldatakse ümber ringi, mille keskjoon on 5 ja teravnurga siinus aluse juures on 0,8. Leidke trapetsi pindala.

Lahendus.Kuna nelinurka on sisse kirjutatud ringjoon, siis B.C. + AD = AB + CD. See nelinurk on võrdhaarne trapets, mis tähendab B.C. + AD = 2AB.

FP– trapetsi keskjoon, mis tähendab B.C. + AD = 2FP.

Siis AB = CD = FP = 5.

∆ABK- ristkülikukujuline, B.K. = AB patt A; B.K.= 5 · 0,8 = 4.

S( ABCD) = FP · B.K.= 5 · 4 = 20.

Vastus: 20.

Kolmnurga ABC siseringjoon puudutab külge BC punktis K ja välisringjoon külg BC punktis L. Tõesta, et CK=BL=(a+b+c)/2

Tõestus: olgu M ja N külgedega AB ja BC kirjutatud ringi puutujapunktid. Siis BK+AN=BM+AM=AB, seega CK+CN= a+b-c.

Olgu P ja Q külgede AB ja BC pikendustega ringjoone puutepunktid. Siis AP=AB+BP=AB+BL ja AQ=AC+CQ=AC+CL. Seetõttu AP+AQ=a+b+c. Seetõttu BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

a) Kolmnurga ABC nurga B poolitaja jätk lõikub piiritletud ringjoonega punktis M. O on sissekirjutatud ringi keskpunkt. O B on külje AC eksringi puutuja keskpunkt. Tõesta, et punktid A, C, O ja O B asuvad ringil, mille keskpunkt on M.

D
tõend: Sest

b) Kolmnurga ABC sees asuval punktil O on omadus, et sirged AO, BO, CO läbivad kolmnurkade BCO, ACO, ABO piiritletud ringide keskpunkte. Tõesta, et O on kolmnurga ABC kirjutatud ringi keskpunkt

Tõestus: Olgu P kolmnurga ACO ümbermõõt. Siis

IV. Lisaülesanded

nr 1. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja selle jalgade pikenduste puutuja ringjoone raadius on R. Leidke kolmnurga ümbermõõt

R lahendus: HOGB - ruut küljega R

1) ∆OAH =∆OAF mööda jalga ja hüpotenuus =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

nr 2. Punktid C ja D asuvad ringjoonel läbimõõduga AB. AC ∩ BD = P ja AD ∩ BC = Q. Tõesta, et sirged AB ja PQ on risti

Tõestus: A D – läbimõõt => sisse kirjutatud nurk ADB=90 o (läbimõõdu põhjal)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP on kahest küljest sarnane ∆QNA-ga ja nende vaheline nurk => QN on risti AB-ga.

nr 3. Rööpküliku ABCD diagonaal AC on suurem kui diagonaal BD; M on punkt diagonaalil AC, BDCM on tsükliline nelinurk. Tõestage, et sirge BD on kolmnurkade ABM ja ADM ümberjoonistamise ühine puutuja

P
suu O on diagonaalide AC ja ВD lõikepunkt. Siis MO · OC=BO · OD. Kui OS = OA ja VO = ВD, siis MO · OA=VO 2 ja MO · OA = DO 2. Need võrdsused tähendavad, et OB puutub kolmnurga ADM ümberringjoonega

nr 4. N Võrdhaarse kolmnurga ABC põhjas AB võetakse punkt E ja ringjooned, mis puudutavad lõiku CE punktides M ja N, on kantud kolmnurkadesse ACE ja ABE. Leidke lõigu MN pikkus, kui pikkused AE ja BE on teada.

Sissejuhatava ülesande 4 järgi CM=(AC+CE-AE)/2 ja CN=(BC+CE-BE)/2. Arvestades, et AC=BC, saame MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

nr 5. Kolmnurga ABC külgede pikkused moodustavad aritmeetilise progressiooni ja a

Olgu M külje AC keskpunkt, N küljega BC sisse kirjutatud ringjoone puutepunkt. Siis BN=р–b (sissejuhatav ülesanne 4), seega BN=AM, sest p=3b/2 tingimuse järgi. Pealegi,

V .Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

nr 1. Nelinurga ABCD omadus on see, et seal on ringjoon, mis on kantud nurka BAD ja puutuja külgede BC ja CD pikendustega. Tõesta, et AB+BC=AD+DC.

nr 2. R ja r raadiusega ringkondade ühine sisepuutuja lõikab nende ühiseid väliseid puutujaid punktides A ja B ning puudutab üht ringidest punktis C. Tõesta, et AC∙CB=Rr

nr 3. Kolmnurgas ABC on nurk C täisnurk. Tõesta, et r =(a+b-c)/2 ja r c =(a+b+c)/2

nr 4. Kaks ringi ristuvad punktides A ja B; MN on nende ühine puutuja. Tõesta, et sirge AB jagab lõigu MN pooleks.

nr 5. Kolmnurga ABC nurkade poolitajate jätkud lõikavad piiritletud ringjoont punktides A 1, B 1, C 1. M – poolitajate lõikepunkt. Tõesta seda:

a) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA1 ·MC 1 /MB=R

nr 6. Ringjoone ühest punktist tõmmatud kahe puutuja moodustatud nurk on 23°15`. Arvutage puutujapunktide vahelised kaared

nr 7. Arvutage puutuja ja kõõlu moodustatud nurk, kui kõõl jagab ringi kaheks osaks vahekorras 3:7.

VI. Kontrollülesanded.

Valik 1.

Punkt M asub väljaspool ringi keskpunktiga O. Punktist M tõmmatakse kolm sekanti: esimene lõikab ringi punktides B ja A (M-B-A), teine punktides D ja C (M-D-C) ning kolmas lõikab ringi punktides F ja E (M-F-E) ning läbib ringi keskpunkti, AB = 4, BM =5, FM = 3.

Tõesta, et kui AB = CD, siis nurgad AME ja CME on võrdsed.

Leidke ringi raadius.

Leidke punktist M ringjoonele tõmmatud puutuja pikkus.

Leia nurk AEB.

2. variant.

AB on ringi läbimõõt, mille keskpunkt on O. Kõõl EF lõikub läbimõõduga punktis K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5.

Leidke ringi raadius.

Leidke kaugus ringi keskpunktist kõõluni BF.

Leia teravnurk läbimõõdu AB ja kõõlu EF vahel.

Millega võrdub akord FM, kui EM on paralleelne AB-ga?

Valik 3. Täisnurkses kolmnurgas ABC (

4. võimalus.

AB on ringi läbimõõt, mille keskpunkt on O. Selle ringi raadius on 4, O 1 on OA keskpunkt. Joonistatakse ring, mille keskpunkt on punktis O 1, puutuja suurema ringiga punktis A. Suurema ringjoone kõõl CD on risti AB-ga ja lõikub punktiga AB punktis K. E ja F on CD lõikepunktid väiksem ring (C-E-K-F-D), AK=3.

Leidke akordid AE ja AC.

Leidke kaare AF-i aste ja selle pikkus.

Leidke kõõlu EF poolt ära lõigatud väiksema ringi osa pindala.

Leidke kolmnurgaga ACE ümbritsetud ringi raadius.

Esiteks mõistame ringi ja ringi erinevust. Selle erinevuse nägemiseks piisab, kui arvestada, millised on mõlemad arvud. Need on lõpmatu arv tasapinna punkte, mis asuvad ühest keskpunktist võrdsel kaugusel. Aga kui ring koosneb ka siseruumist, siis see ei kuulu ringi. Selgub, et ring on nii ringjoon, mis seda piirab (ring(r)) kui ka lugematu arv punkte, mis on ringi sees.

Mis tahes ringil asuva punkti L korral kehtib võrdus OL=R. (Lõigu OL pikkus võrdub ringi raadiusega).

Segment, mis ühendab kahte ringi punkti, on tema akord.

Otse ringi keskpunkti läbiv akord on läbimõõt see ring (D). Läbimõõtu saab arvutada valemiga: D=2R

Ümbermõõt arvutatakse valemiga: C=2\pi R

Ringi pindala: S=\pi R^(2)

Ringi kaar nimetatakse selle osaks, mis asub selle kahe punkti vahel. Need kaks punkti määravad kaks ringi kaare. Akordi CD-l on kaks kaaret: CMD ja CLD. Identsed akordid moodustavad võrdsed kaared.

Kesknurk Nurka, mis jääb kahe raadiuse vahele, nimetatakse.

Kaare pikkus võib leida järgmise valemi abil:

Kasutades kraadimõõtu: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Radiaani mõõtmine: CD = \alpha R

Kõõluga risti asetsev läbimõõt jagab kõõlu ja sellega kokkutõmbunud kaared pooleks.

Kui ringjoone kõõlused AB ja CD lõikuvad punktis N, siis punktiga N eraldatud kõõlude lõikude korrutised on omavahel võrdsed.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Ringi puutuja

Ringi puutuja On tavaks nimetada sirget, millel on ringiga üks ühine punkt.

Kui sirgel on kaks ühist punkti, nimetatakse seda sekant.

Kui tõmbate puutujapunkti raadiuse, on see risti ringi puutujaga.

Joonistame sellest punktist oma ringile kaks puutujat. Selgub, et puutuja segmendid on üksteisega võrdsed ja ringi keskpunkt asub selles punktis tipuga nurga poolitajale.

AC = CB

Nüüd tõmbame oma punktist ringile puutuja ja sekanti. Saame, et puutuja lõigu pikkuse ruut on võrdne kogu sekantse segmendi ja selle välimise osa korrutisega.

AC^(2) = CD \cdot BC

Võime järeldada: esimese sekandi terve segmendi ja selle välisosa korrutis on võrdne teise sekandi ja selle välisosa terve segmendi korrutisega.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Nurgad ringis

Kesknurga ja kaare, millel see toetub, kraadid on võrdsed.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Sissekirjutatud nurk on nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed sisaldavad kõõlu.

Saate seda arvutada, teades kaare suurust, kuna see on võrdne poolega sellest kaarest.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Põhineb läbimõõdul, sisse kirjutatud nurgal, täisnurgal.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Sissekirjutatud nurgad, mis katavad sama kaare, on identsed.

Ühele kõõlule toetuvad sisse kirjutatud nurgad on identsed või nende summa on 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Samal ringil on identse nurga ja etteantud alusega kolmnurkade tipud.

Nurk, mille tipp on ringi sees ja asub kahe kõõlu vahel, on identne poolega antud ja vertikaalnurgas sisalduvate ringikaarede nurkväärtuste summast.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Nurk, mille tipp asub väljaspool ringi ja asub kahe sekandi vahel, on identne poolega nurga sees olevate ringikaarede nurkväärtuste erinevusest.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1) (2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Sisse kirjutatud ring

Sisse kirjutatud ring on hulknurga külgede puutuja.

Punktis, kus hulknurga nurkade poolitajad ristuvad, asub selle keskpunkt.

Igale hulknurgale ei tohi ringjoont kirjutada.

Ringjoonega hulknurga pindala leitakse järgmise valemiga:

S = pr,

p on hulknurga poolperimeeter,

r on sisse kirjutatud ringi raadius.

Sellest järeldub, et sisse kirjutatud ringi raadius on võrdne:

r = \frac(S)(p)

Vastaskülgede pikkuste summad on identsed, kui ringjoon on kantud kumerasse nelinurka. Ja vastupidi: ring sobib kumerasse nelinurka, kui vastaskülgede pikkuste summad on identsed.

AB + DC = AD + BC

Ringi on võimalik kirjutada ükskõik millisesse kolmnurka. Ainult üksainus. Punktis, kus joonise sisenurkade poolitajad ristuvad, asub selle sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Sisse kirjutatud ringi raadius arvutatakse järgmise valemi abil:

r = \frac(S)(p) ,

kus p = \frac(a + b + c)(2)

Ümberringi

Kui ringjoon läbib hulknurga iga tippu, siis tavaliselt nimetatakse sellist ringi kirjeldatud hulknurga kohta.

Selle joonise külgede risti poolitajate lõikepunktis on ümberringi keskpunkt.

Raadiuse saab leida, arvutades selle ringi raadiuseks, mis on ümbritsetud hulknurga mis tahes 3 tipuga määratletud kolmnurga ümber.

Siin on järgmine tingimus: ringjoont saab nelinurga ümber kirjeldada ainult siis, kui selle vastasnurkade summa on võrdne 180^( \circ) .

\nurk A + \nurk C = \nurk B + \nurk D = 180^ (\circ)

Mis tahes kolmnurga ümber saate kirjeldada ringi ja ainult ühte. Sellise ringi keskpunkt asub kohas, kus kolmnurga külgede risti poolitajad ristuvad.

Piiratud ringi raadiuse saab arvutada järgmiste valemite abil:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c on kolmnurga külgede pikkused,

S on kolmnurga pindala.

Ptolemaiose teoreem

Lõpuks kaaluge Ptolemaiose teoreemi.

Ptolemaiose teoreem väidab, et diagonaalide korrutis on identne tsüklilise nelinurga vastaskülgede korrutise summaga.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Geomeetria teoreetilised teatmematerjalid ülesannete täitmiseks matemaatika juhendajalt. Aidata õpilastel probleeme lahendada.

1) Teema ringi sisse kirjutatud nurga kohta.

Teoreem: ringi sisse kirjutatud nurk on võrdne poole kaare kraadist, millel see toetub (või poolega sellele kaarele vastavast kesknurgast), see on .

2) Järeldused teoreemist ringi sisse kirjutatud nurga kohta.

2.1) Ühe kaare poolt toetatud nurkade omadus.

Teoreem: kui sissekirjutatud nurki toetab üks kaar, siis on need võrdsed (kui neid toetavad täiendavad kaared, on nende summa võrdne

2.2) Läbimõõduga piiratud nurga omadus.

Teoreem: Ringjoone sisse kirjutatud nurk on läbimõõduga piiratud siis ja ainult siis, kui see on õige.

Vahelduvvoolu läbimõõt

3) Puutujate segmentide omadus. Nurga sisse kirjutatud ring.

1. teoreem: kui sellele tõmmatakse ühest punktist, mis ei asu ringil, kaks puutujat, siis on nende lõigud võrdsed, st PB = PC.

2. teoreem: Kui ringjoon on kirjutatud nurga alla, siis selle keskpunkt asub selle nurga poolitajal, see tähendab PO poolitaja.

4) Akordide segmentide omadus sekantide sisemises ristumiskohas.
1. teoreem:ühe akordi segmentide korrutis on võrdne teise akordi segmentide korrutisega, st

Teoreem 2: kõõlude vaheline nurk on võrdne poole kaare summast, mille need kõõlud ringjoonel moodustavad, st

Eelvaade:

Õppetund teemal:

“Teoreem lõikuvate akordide segmentide korrutisest»

Teema: geomeetria

Klass: 8

õpetaja b: Herat Ljudmila Vasilievna

Kool : MOBU "Družbinskaja keskkool" Sol-Iletski rajoon, Orenburgi piirkond

Tunni tüüp: Uute teadmiste “avastamise” õppetund.

Töö vormid: individuaalne, frontaalne, rühm.

Õppemeetodid:verbaalne, visuaalne, praktiline, problemaatiline.

Varustus: arvutiklass, multimeediaprojektor,

Jaotusmaterjalid (kaardid), esitlus.

Tunni eesmärgid:

hariv- uurida teoreemi lõikuvate akordide korrutise kohta ja näidata selle rakendamist ülesannete lahendamisel.

Täiendage probleemide lahendamise oskusi, kasutades sissekirjutatud nurga teoreemi ja selle tagajärgi.

arenev – arendada õpilaste loomingulist ja vaimset aktiivsust klassiruumis; arendada kooliõpilaste isiksuse intellektuaalseid omadusi, nagu iseseisvus, paindlikkus, võime teha hindavaid toiminguid ja üldistusvõimet; soodustada meeskonnatöö ja iseseisva töö oskuste kujunemist; arendada oskust selgelt ja selgelt väljendada oma mõtteid.
hariv – sisendada õpilastes huvi aine vastu läbi infotehnoloogia kasutamise (arvuti abil); arendada oskust täpselt ja asjatundlikult sooritada matemaatilisi märgendeid ning joonistada ülesandele pilt.

Õppetegevus on suunatud õppetöö tulemuslikkuse ja produktiivsuse tõstmisele õpilaste ametikohalt üleviimise kaudu objektiks õpetaja tegevus positsioonilõppeaine , soodustab iga lapse potentsiaali arengut, temas peituvate võimaluste avalikustamist.

Subjektiivsuse kasvatamine (arendamine) on võimalik ainult tegevusesmilles subjekt osaleb, milles ta ise: a) seab eesmärke; b) koondab tahtejõu eesmärgi saavutamisele; c) kajastab oma töö edenemist ja tulemusi. Refleksioon on võimas vahend isiklikuks enesearenguks(isiklik eneseehitus).

Õpilase subjektiivsuse arendamise probleemSeda probleemi ei saa ühekordsete meetmetega mingil määral lahendada. See kvaliteet arenebjärjepidevalt õpilase kaasamise tõttu haridus- ja tunnetuslikku tegevust (ideaalis - igas õppetunnis), mida ta esitab ise, rakendades oma oma jõupingutused, esinemine nende iseseisvalt, minimaalse kõrvalise abiga, kõik toimingud oma loogilises järjestuses. Tund annab õpilastele refleksiooni kõigi 4 tööetapi ja tulemuste kohta, mis vastavad täielikult nõueteletegevuse lähenemine hariduses.

Kavandatud tunnikujunduse ja arvutitehnoloogia kasutamise kaudu püütakse saavutada järgmised arengueesmärgid:

Intellektuaalne kultuur;
Infokultuur;
Iseorganiseerumise kultuurid;
Uurimiskultuur;

Õpilaste tegevust tuleks korraldada nii, et õpilastele esitataks sisemised eesmärgid ja motiivid; otsimise vajadus on koolituse ja hariduse kõige olulisem ülesanne, selleks on vaja luua edusituatsioone, positiivseid emotsioone tekitavaid otsisituatsioone.

Tunniplaan

1. Sissekirjutatud nurga teoreemi tõestus (3 juhtumit); kaartidega töötamine

Ülesannete lahendamine valmisjooniste abil.

2. Töötage paaris.

3. Teoreemi uurimine lõikuvate akordide segmentide korrutisest.

4. Ülesannete lahendamine teoreemi kinnistamiseks.

Tundide ajal.

Õpilaste teadmiste täiendamine õpitaval teemal.

Kolm õpilast kutsutakse tahvlile teoreeme tõestama, kaks õpilast saavad ülesandekaardid, ülejäänud õpilased lahendavad ülesandeid valmisjoonistel. Teoreemide tõestust kuulab kogu klass pärast seda, kui õpilased lahendavad valminud joonistel olevaid ülesandeid.

Kaart nr 1...

1. Sisestage puuduvad sõnad "Nurka nimetatakse sisseehitatud nurgaks, kui selle tipp asub …………….. ja nurga küljed ……………………………….."

2. Leidke ja kirjutage joonisel näidatud sisse kirjutatud nurgad:

3. Leidke joonisel kujutatud nurga ABC kraadimõõt, kui kaare ABC kraadimõõt = 270.

Kaart nr 2.

1. Täitke puuduvad sõnad: "Sisse kantud nurka mõõdetakse ………….".

Antud: OA=AB. Leia kaare AB kraadimõõt.

Ülesannete lahendamine valmisjooniste abil.

Joonis 1. Leia Joon.2. Joonis 3. Joonis 4. Joonis 5.

AOD, ACD Otsi ABC Otsi BCD Leia BAC Leia BCD

II. Paaris töötama.

Teoreemi tõestus lõikuvate akordide segmentide kohta viiakse läbi ülesande kujul:

Tõesta, et kui kaks ringjoone akordi AB ja CD lõikuvad punktis E, siis

AE * BE =CE * DE

Neil palutakse probleem iseseisvalt paarikaupa lahendada ja seejärel arutada selle lahendust. Kirjutage oma vihikusse ja tahvlile teoreemi tõestuse ülevaade.

Kontuur

a) ACE KAKS (A = D kui sisse kirjutatud nurgad kaarel BC;

AES = DEB vertikaalseks).

Arutelu küsimused:

Mida saate öelda nurkade CAB ja CDB kohta? Nurkade AEC ja DEB kohta?

Mis on kolmnurgad ACE ja DBE? Milline on nende külgede, mis on puutujaakordide segmendid, suhe?

Millise võrdsuse saab kirjutada kahe suhte võrdsusest, kasutades proportsioonide põhiomadust?

IV. Õpitud materjali tugevdamine.

Lahenda ülesanne: Ringjoone PT ja KM akordid ristuvad punktis E. Leia ME, kui

KE = 4cm, TE =6cm, PE =2cm.

Lahendus: AE * BE =CE * DE

AE * 4 = 2 * 6