Kooliks valmistumine

Matemaatika entsüklopeedia. Matemaatika entsüklopeedia Aksioomid ja tõestusmeetodid

Laadige alla 5 köites matemaatika entsüklopeedia täiesti tasuta.

Failimajutusest raamatu tasuta allalaadimiseks klõpsake tasuta raamatu kirjelduse järel olevaid linke.

Kallid lugejad, kui teil ei õnnestunud

laadige alla 5 köites matemaatiline entsüklopeedia

kirjuta sellest kommentaaridesse ja me aitame sind kindlasti.

Loodame, et teile meeldis raamat ja nautisite selle lugemist. Tänutäheks võite jätta foorumisse või blogisse lingi meie saidile :) Elektrooniline raamat Viieköiteline matemaatikaentsüklopeedia on mõeldud üksnes teabe saamiseks enne paberraamatu ostmist ega ole konkurent trükiväljaannetele.

Artikli sisu

MATEMAATIKA. Matemaatika määratletakse tavaliselt mõne selle traditsioonilise jaotuse pealkirjade loetlemisega. Esiteks on see aritmeetika, mis käsitleb arvude, nendevaheliste seoste ja arvude toimimisreeglite uurimist. Aritmeetika faktid võimaldavad erinevaid konkreetseid tõlgendusi; näiteks suhe 2 + 3 = 4 + 1 vastab väitele, et kaks ja kolm raamatut moodustavad sama palju raamatuid kui neli ja üks. Igasugune seos tüüpi 2 + 3 = 4 + 1, s.o. puhtalt matemaatiliste objektide vahelist seost ilma igasugusele füüsilise maailma tõlgendusele viitamata nimetatakse abstraktseks. Matemaatika abstraktsus võimaldab seda enim lahendamisel kasutada erinevaid probleeme... Näiteks algebra, mis käsitleb tehteid arvudega, võimaldab lahendada ülesandeid, mis lähevad aritmeetikast kaugemale. Konkreetsem matemaatika haru on geomeetria, mille põhiülesanne on objektide suuruste ja kujundite uurimine. Algebraliste ja geomeetriliste meetodite kombineerimine viib ühelt poolt trigonomeetriani (mis oli algselt pühendatud geomeetriliste kolmnurkade uurimisele ja hõlmab nüüd palju laiemat teemade ringi) ja teiselt poolt analüütilise geomeetriani, milles geomeetriline kehasid ja kujundeid uuritakse algebraliste meetoditega. On mitmeid kõrgema algebra ja geomeetria harusid, millel on suurem abstraktsiooniaste ja mis ei ole seotud tavaarvude ja tavaliste geomeetriliste kujundite uurimisega; geomeetrilistest distsipliinidest kõige abstraktsemat nimetatakse topoloogiaks.

Matemaatiline analüüs tegeleb ruumis või ajas muutuvate suuruste uurimisega ning põhineb kahel põhimõistel - funktsioon ja piir, mida elementaarsemates matemaatikaharudes ei leidu. Algselt koosnes matemaatiline analüüs diferentsiaal- ja integraalarvutusest, kuid nüüd sisaldab see ka teisi jaotisi.

Matemaatikas on kaks põhivaldkonda – puhas matemaatika, mis rõhutab deduktiivset arutluskäiku, ja rakendusmatemaatika. Mõiste "rakendusmatemaatika" all mõeldakse mõnikord neid matemaatika harusid, mis on loodud spetsiaalselt loodusteaduste vajaduste ja nõuete täitmiseks, ja mõnikord - erinevate teaduste (füüsika, majandusteaduse jne) harude kohta, mis kasutavad matemaatikat vahendina. oma ülesannete lahendamisel. Paljud levinud väärarusaamad matemaatika kohta tulenevad nende kahe "rakendusmatemaatika" tõlgenduse segamisest. Aritmeetika on näide rakendusmatemaatikast esimeses tähenduses ja raamatupidamisest teises tähenduses.

Vastupidiselt levinud arvamusele areneb matemaatika jätkuvalt kiiresti. Ajakiri Mathematical Review avaldab u. 8000 paberite kokkuvõtet, mis sisaldavad uusimaid tulemusi - uusi matemaatilisi fakte, uusi tõendeid vanade faktide kohta ja isegi teavet täiesti uute matemaatika valdkondade kohta. Praegune suund matemaatikaõppes on matemaatikaõpetuse varasemas etapis tutvustada õpilastele kaasaegseid abstraktsemaid matemaatilisi ideid. Vaata ka MATEMAATIKA AJALUGU. Matemaatika on üks tsivilisatsiooni alustalasid, kuid väga vähestel inimestel on ettekujutus selle teaduse hetkeseisust.

Viimase saja aasta jooksul on matemaatika läbi teinud tohutuid muutusi nii uurimisaine kui ka uurimismeetodite osas. Selles artiklis püüame anda üldise ettekujutuse kaasaegse matemaatika evolutsiooni peamistest etappidest, mille peamisteks tulemusteks võib ühelt poolt pidada lõhe suurenemist puhta ja rakendusmatemaatika vahel, ja teiselt poolt matemaatika traditsiooniliste valdkondade täielik ümbermõte.

MATEMAATILISE MEETODI ARENG

Matemaatika sünd.

Umbes 2000 eKr märgati, et kolmnurgas, mille küljed on 3, 4 ja 5 pikkusühikut, on üks nurkadest 90 ° (see tähelepanek tegi praktiliste vajaduste jaoks täisnurga loomise lihtsaks). Kas märkasite siis suhet 5 2 = 3 2 + 4 2? Meil pole selle kohta teavet. Mitu sajandit hiljem avastati üldreegel: mis tahes kolmnurgas ABC mille tipus on täisnurk A ja peod b = AS ja c = AB, mille vahele see nurk on suletud, ja vastaskülg a = eKr seos on tõsi a 2 = b 2 + c 2. Võib öelda, et teadus algab siis, kui üksikute vaatluste mass on seletatud ühe üldseadusega; seetõttu võib "Püthagorase teoreemi" avastamist pidada üheks esimeseks teadaolevaks tõelise teadusliku saavutuse näiteks.

Kuid veelgi olulisem teaduse jaoks üldiselt ja eriti matemaatika jaoks on see koos sõnastusega üldine seadus seda püütakse tõestada, s.t. näitavad, et see tuleneb tingimata muudest geomeetrilistest omadustest. Üks idapoolsetest "tõestustest" on eriti silmatorkav oma lihtsuses: neli kolmnurka, mis on võrdsed selle ühega, on kantud ruutu BCDE nagu on näidatud joonisel. Ruudukujuline ala a 2 on jagatud neljaks võrdseks kolmnurgaks kogupindalaga 2 eKr ja ruut AFGH ala ( b – c) 2. Sellel viisil, a 2 = (b – c) 2 + 2eKr = (b 2 + c 2 – 2eKr) + 2eKr = b 2 + c 2. Õpetlik on astuda veel üks samm ja uurida täpsemalt, milliseid "eelmiseid" omadusi teadaolevaks peetakse. Kõige ilmsem tõsiasi on see, et kuna kolmnurgad BAC ja BEF täpselt, ilma lünkadeta ja kattumisteta, "sobitatud" mööda külgi BA ja Bf, see tähendab, et tippude kaks nurka B ja KOOS kolmnurgas ABC kokku moodustavad nurga 90 ° ja seetõttu on selle kõigi kolme nurga summa 90 ° + 90 ° = 180 °. Ülaltoodud "tõestus" kasutab ka valemit ( eKr/ 2) kolmnurga pindala jaoks ABC 90° tipunurk A... Tegelikult kasutati muid eeldusi, kuid öeldust piisab, et näeksime selgelt matemaatilise tõestuse olemuslikku mehhanismi – deduktiivset arutlust, mis võimaldab järeldada teadaolevad tulemused uued omadused reeglina olemasolevatest andmetest otseselt ei tulene.

Aksioomid ja tõestusmeetodid.

Matemaatilise meetodi üheks põhijooneks on protsess, mille käigus luuakse hoolikalt konstrueeritud puhtloogiliste argumentide abil väidete ahel, milles iga järgnev lüli on seotud eelnevatega. Esimene üsna ilmne kaalutlus on see, et igas ahelas peab olema esimene lüli. See asjaolu sai kreeklastele ilmseks, kui nad hakkasid 7. sajandil matemaatiliste argumentide kogumit süstematiseerima. eKr. Selle plaani elluviimiseks vajasid kreeklased u. 200 aastat ja säilinud dokumendid annavad vaid ligikaudse ettekujutuse sellest, kuidas nad täpselt tegutsesid. Meil on täpne teave ainult uurimistöö lõpptulemuse - kuulsa kohta Algused Eukleides (umbes 300 eKr). Euclid alustab lähtepunktide loetlemisega, millest kõik ülejäänud on puhtloogiliste vahenditega tuletatud. Neid sätteid nimetatakse aksioomideks või postulaatideks (terminid on praktiliselt asendatavad); need väljendavad mis tahes objektide väga üldisi ja mõnevõrra ebamääraseid omadusi, näiteks "tervik on suurem kui osa" või mingeid spetsiifilisi matemaatilisi omadusi, näiteks seda, et mis tahes kahe punkti jaoks on üks joon, mis neid ühendab. Meil puudub teave selle kohta, kas kreeklased omistasid aksioomide "tõele" sügavamat tähendust või tähendust, kuigi on vihjeid, et enne teatud aksioomide aktsepteerimist arutasid kreeklased neid mõnda aega. Eukleides ja tema järgijad esitavad aksioome ainult matemaatika konstrueerimise lähtepunktidena, ilma nende olemust kommenteerimata.

Tõestusmeetodite osas taandati need reeglina varem tõestatud teoreemide otsesele kasutamisele. Mõnikord osutus aga arutlusloogika keerulisemaks. Nimetame siinkohal matemaatika igapäevasesse praktikasse jõudnud Eukleidese lemmikmeetodit – kaudset tõestamist ehk tõestust vastuoluga. Vastuoluga tõestamise elementaarse näitena näitame, et malelauda, millest on lõigatud kaks nurgaruutu, mis asuvad diagonaali vastasotstes, ei saa katta doominokividega, millest igaüks on võrdne kahe ruuduga. (Eeldatakse, et iga malelaua ruut tuleb katta ainult üks kord.) Oletame, et vastupidine ("vastupidine") väide on tõene, st. et plaati saab katta doominoluudega. Iga plaat katab ühte musta ja ühte valget ruutu, nii et olenemata sellest, kus doominoklotsid asuvad, katavad need võrdse arvu musti ja valgeid ruute. Kuna aga kaks nurgaruutu on eemaldatud, on kabelaual (milles algselt oli sama palju musti kui valgeid ruute) kaks ühte värvi ruutu rohkem kui teist värvi ruudud. See tähendab, et meie esialgne oletus ei saa olla tõsi, kuna see toob kaasa vastuolu. Ja kuna vastuolulised hinnangud ei saa olla samal ajal valed (kui üks neist on vale, siis on vastupidine), peab meie esialgne oletus olema tõene, sest vastuoluline oletus on väär; seetõttu ei saa kahe diagonaalselt lõigatud nurgaruuduga malelauda doominokiviga katta. Nii et mõne väite tõestamiseks võime eeldada, et see on vale, ja tuletada sellest eeldusest vastuolu mõne teise väitega, mille tõesus on teada.

Vana-Kreeka matemaatika arengu üheks verstapostiks saanud vastuolulise tõestamise suurepärane näide on tõestus, mis ei ole ratsionaalne arv, s.t. pole esindatav murdosana lk/q, kus lk ja q- täisarvud. Kui, siis 2 = lk 2 /q 2, kust lk 2 = 2q 2. Oletame, et on kaks täisarvu lk ja q milleks lk 2 = 2q 2. Teisisõnu eeldame, et on täisarv, mille ruut on teise täisarvu kaks korda suurem. Kui mõni täisarv vastab sellele tingimusele, peab üks neist olema väiksem kui kõik teised. Keskendume nendest numbritest väikseimale. Olgu see arv lk... Alates 2 q 2 on paarisarv ja lk 2 = 2q 2, siis number lk 2 peab olema paaris. Kuna kõigi paaritute arvude ruudud on paaritud ja ruut lk 2 on paaris, see tähendab arvu ennast lk peab olema ühtlane. Teisisõnu, number lk kaks korda mingi täisarv r... Sest lk = 2r ja lk 2 = 2q 2, meil on: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 ja q 2 = 2r 2. Viimasel võrdusel on sama kuju kui võrdsusel lk 2 = 2q 2 ja saame sama arutluskäiku korrates näidata, et number q on paaris ja et on olemas selline täisarv s, mida q = 2s... Kuid siis q 2 = (2s) 2 = 4s 2 ja sellest ajast alates q 2 = 2r 2, järeldame, et 4 s 2 = 2r 2 või r 2 = 2s 2. See annab meile teise täisarvu, mis vastab tingimusele, et selle ruut on teise täisarvu kaks korda suurem. Kuid siis lk ei saa olla väikseim selline arv (alates r = lk/ 2), kuigi algselt eeldasime, et see on sellistest arvudest väikseim. Seetõttu on meie esialgne eeldus vale, kuna see toob kaasa vastuolu ja seetõttu pole selliseid täisarve lk ja q milleks lk 2 = 2q 2 (st selline). See tähendab, et arv ei saa olla ratsionaalne.

Eukleidesest kuni 19. sajandi alguseni

Sel perioodil tegi matemaatika kolme uuenduse tulemusena läbi olulisi muutusi.

(1) Algebra arendamise käigus leiutati sümboolse tähistuse meetod, mis võimaldas lühendatult kujutada suuruste vahelisi järjest keerukamaid seoseid. Näitena ebamugavustest, mis tekiksid, kui sellist "kursiivset kirjutamist" poleks, proovime sõnadega edasi anda suhet ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: "Ruudu pindala, mille külg on võrdne kahe antud ruudu külgede summaga, on võrdne nende pindalade summaga koos kahekordse ristküliku pindalaga, mille küljed on võrdsed ruudu külgedega. need ruudud."

(2) Looming 17. sajandi esimesel poolel. analüütiline geomeetria, mis võimaldas taandada mis tahes klassikalise geomeetria ülesande mõneks algebraliseks probleemiks.

(3) Aastatel 1600–1800 loodi ja arenes välja lõpmatuseni arvutuse, mis võimaldas lihtsalt ja süstemaatiliselt lahendada sadu piiri ja pidevuse mõistetega seotud probleeme, millest vaid väga vähesed lahendati suurepäraselt. Vana-Kreeka matemaatikute raskused. Neid matemaatika harusid käsitletakse põhjalikumalt artiklites ALGEBRA; ANALÜÜTILINE GEOMEETIA ; MATEMAATILINE ANALÜÜS ; GEOMEETIA ÜLEVAADE.

Alates 17. sajandist. küsimus hakkab tasapisi selgemaks saama, mis siiani jäi lahendamatuks. Mis on matemaatika? Kuni 1800. aastani oli vastus piisavalt lihtne. Sel ajal ei olnud eri teaduste vahel selgeid piire, matemaatika oli osa “ loodusfilosoofia"- süstemaatiline looduse uurimine renessansiajastu ja 17. sajandi alguse suurte reformaatorite välja pakutud meetoditega. - Galileo (1564-1642), F. Bacon (1561-1626) ja R. Descartes (1596-1650). Usuti, et matemaatikutel on oma uurimisvaldkond – arvud ja geomeetrilised objektid ning matemaatikud ei kasuta eksperimentaalmeetodit. Newton ja tema järgijad õppisid aga mehaanikat ja astronoomiat aksiomaatilise meetodi abil, sarnaselt sellele, kuidas geomeetriat Eukleideses esitati. Üldisemalt mõisteti, et iga teadus, milles katse tulemused on arvude või arvusüsteemide abil esitatavad, muutub matemaatika rakendusvaldkonnaks (füüsikas kehtestati see mõiste alles 19. sajandil).

Eksperimentaalteaduse valdkondi, mis on läbinud matemaatilise töötluse, nimetatakse sageli "rakendusmatemaatikaks"; see on väga kahetsusväärne nimi, kuna nendes rakendustes ei ole ei klassikaliste ega kaasaegsete standardite kohaselt (ranges mõttes) tõeliselt matemaatilisi argumente, kuna nende uurimise objektiks on mittematemaatilised objektid. Pärast katseandmete tõlkimist arvude või võrrandite keelde (selline "tõlge" nõuab "rakenduslikult" matemaatikult sageli suurt leidlikkust) saab võimalikuks matemaatikateoreemide laialdane kasutamine; seejärel tõlgitakse tulemus tagasi ja võrreldakse vaatlustega. Asjaolu, et sedalaadi protsesside kohta kasutatakse mõistet "matemaatika", on üks lõputute arusaamatuste allikaid. "Klassikalisel" ajal, millest me praegu räägime, sellist arusaamatust ei eksisteerinud, kuna samad inimesed olid nii "rakenduslikud" kui ka "puhtad" matemaatikud, kes tegelesid samaaegselt matemaatilise analüüsi või arvuteooria probleemidega ja probleemidega. dünaamika või optika. Suurenenud spetsialiseerumine ning kalduvus eraldada "puhas" ja "rakenduslik" matemaatik nõrgendas aga oluliselt varem eksisteerinud universaalsuse traditsiooni ning teadlased, kes J. von Neumanniga (1903-1957) suutsid juhtida aktiivset teaduslik tegevus nii rakenduslikus kui ka puhtas matemaatikas on muutunud pigem erandiks kui reegliks.

Mis on nende matemaatiliste objektide – numbrite, punktide, joonte, nurkade, pinna jne – olemus, mille olemasolu me pidasime enesestmõistetavaks? Mida tähendab mõiste "tõde" selliste objektide puhul? Nendele küsimustele anti klassikalisel perioodil üsna kindlad vastused. Muidugi mõistsid tolle ajastu teadlased selgelt, et meie aistingute maailmas ei eksisteeri selliseid asju nagu Eukleidese "lõpmatult pikendatud sirgjoon" või "mõõtmeteta punkt", kuna puuduvad "puhtad metallid", "monokromaatiline valgus". ", "soojusisolatsiooniga süsteemid" jne. .d., mida katsetajad oma arutlustes kasutavad. Kõik need mõisted on "platoonilised ideed", s.o. omamoodi empiiriliste mõistete generatiivne mudel, ehkki radikaalselt erineva iseloomuga. Sellegipoolest eeldati vaikimisi, et ideede füüsilised "kujundid" võivad olla ideedele endile nii lähedased, kui sooviti. Kuivõrd võib üldiselt midagi väita objektide läheduse kohta ideedele, siis öeldakse, et "ideed" on nii-öelda füüsiliste objektide "piiravad juhud". Sellest vaatenurgast lähtudes väljendavad Eukleidese aksioomid ja neist tuletatud teoreemid "ideaalsete" objektide omadusi, mis peavad vastama ennustatavatele eksperimentaalsetele faktidele. Näiteks kolme ruumipunktiga moodustatud kolmnurga nurkade mõõtmine optiliste meetoditega peaks "ideaalsel juhul" andma summa, mis on võrdne 180 °. Teisisõnu, aksioomid on asetatud samale tasemele füüsikaliste seadustega ja seetõttu tajutakse nende "tõde" samamoodi kui füüsikaseaduste tõde; need. aksioomide loogilisi tagajärgi kontrollitakse eksperimentaalsete andmetega võrreldes. Loomulikult saab kokkuleppele jõuda ainult vea piires, mis on seotud mõõteseadme "ebatäiusliku" olemusega ja mõõdetava objekti "ebatäiusliku olemusega". Alati aga eeldatakse, et kui seadused on "tõsi", siis mõõtmisprotsesside täiustused võimaldavad põhimõtteliselt mõõtmisvea meelevaldselt väikeseks muuta.

Kogu 18. sajandi jooksul. üha rohkem oli tõendeid selle kohta, et kõik põhiaksioomidest saadud tagajärjed, eriti astronoomias ja mehaanikas, on kooskõlas eksperimentaalsete andmetega. Ja kuna need tagajärjed saadi tol ajal eksisteerinud matemaatilise aparatuuri abil, aitasid saavutatud õnnestumised tugevdada arvamust Eukleidese aksioomide tõesuse kohta, mis, nagu ütles Platon, "on kõigile selge" ja ei allu sellele. arutelu.

Kahtlused ja uued lootused.

Mitteeukleidiline geomeetria.

Eukleidese viidatud postulaatide hulgas oli üks nii ebaselge, et isegi suure matemaatiku esimesed õpilased pidasid seda süsteemi nõrgaks kohaks. Alustatud... Kõnealune aksioom väidab, et antud sirgest väljaspool asuva punkti kaudu saab tõmmata ainult ühe antud sirgega paralleelse sirge. Enamik geomeetritest uskus, et paralleelaksioomi saab tõestada teiste aksioomide abil ja et Euclid sõnastas paralleelse väite postulaadina lihtsalt seetõttu, et ta ei suutnud sellist tõestust välja pakkuda. Kuid siiski parimad matemaatikud püüdis paralleelprobleemi lahendada, ühelgi neist ei õnnestunud Eukleidest ületada. Lõpuks 18. sajandi teisel poolel. Eukleidese paralleelsuse ja vastuolulisuse postulaati üritati tõestada. Eeldati, et paralleelaksioom on vale. A priori võib Eukleidese postulaat osutuda valeks kahel juhul: kui on võimatu tõmmata ühtki paralleeli läbi punkti, mis on väljaspool antud sirget; või kui selle kaudu saab tõmmata mitu paralleelset. Selgus, et esimene aprioorne võimalus on teiste aksioomide poolt välistatud. Võttes kasutusele uue aksioomi traditsioonilise paralleelaksioomi asemel (et läbi antud sirgest väljaspool asuva punkti saab tõmmata mitu antud sirgega paralleelset sirget), püüdsid matemaatikud sellest tuletada väidet, mis on vastuolus teiste aksioomidega, kuid ebaõnnestus: kui palju nad ka ei püüdnud uuest "antieukleidilisest" või "mitteeukleidilisest" aksioomist tagajärgi välja tõmmata, vastuolu ei ilmnenud. Lõpuks mõistsid NI Lobatševski (1793–1856) ja J. Boyai (1802–1860) üksteisest sõltumatult, et Eukleidese paralleelide postulaat on tõestamatu ehk teisisõnu „mitteeukleidilises geomeetrias“ ei ilmne vastuolu. .

Mitteeukleidilise geomeetria tulekuga kerkisid kohe esile mitmed filosoofilised probleemid. Kuna väide aksioomide a priori vajalikkusele on kadunud, jäi nende "tõe" kontrollimiseks ainsaks võimaluseks – eksperimentaalne. Kuid nagu Poincaré (1854–1912) hiljem märkis, on iga nähtuse kirjelduses peidus nii palju füüsilisi eeldusi, et ükski eksperiment ei suuda anda veenvat tõestust matemaatilise aksioomi tõele või väärusele. Veelgi enam, isegi kui eeldame, et meie maailm on "mitteeukleidiline", kas sellest järeldub, et kogu eukleidiline geomeetria on vale? Teadaolevalt pole ükski matemaatik sellist hüpoteesi tõsiselt võtnud. Intuitsioon dikteeris, et nii eukleidiline kui ka mitteeukleidiline geomeetria on täisväärtusliku matemaatika näited.

Matemaatilised "koletised".

Järsku jõudsid nad samadele järeldustele hoopis teisest küljest – avastati objekte, mis 19. sajandi matemaatikuid uputasid. šokeeritud ja nimetati "matemaatilisteks koletisteks". See avastus on otseselt seotud väga delikaatsete matemaatilise analüüsi küsimustega, mis kerkisid esile alles 19. sajandi keskel. Raskused tekkisid kõvera eksperimentaalsele kontseptsioonile täpse matemaatilise analoogi leidmisel. Mis oli "pideva liikumise" kontseptsiooni olemus (näiteks paberilehel liikuv joonistuspliiatsi ots) allus täpsele matemaatilisele määratlusele ja see eesmärk saavutati, kui pidevuse mõiste omandas range matemaatilise. tähendus ( cm. samuti KÕVER). Intuitiivselt tundus, et "kõveral" igas selle punktis on omamoodi suund, s.t. üldiselt käitub kõver iga oma punkti läheduses peaaegu samamoodi kui sirgjoon. (Teisalt on lihtne ette kujutada, et kõveral on lõplik arv nurgapunkte, "kinks", nagu hulknurk.) Selle nõude võiks sõnastada matemaatiliselt, nimelt eeldati kõvera puutuja olemasolu. , ja kuni 19. sajandi keskpaigani. usuti, et "kõveral" on puutuja peaaegu kõigis selle punktides, võib-olla mõned "ainsuse" punktid välja arvatud. Seetõttu põhjustas "kõverate" avastamine, millel polnud üheski punktis puutujat, tõelise skandaali ( cm. samuti FUNKTSIOONIDE TEOORIA). (Trigonomeetriat ja analüütilist geomeetriat tundev lugeja saab hõlpsasti kontrollida, kas võrrandiga antud kõver y = x patt (1 / x), ei oma puutujat lähtepunktis, kuid palju keerulisem on määratleda kõverat, mille üheski punktis pole puutujat.)

Veidi hiljem saadi palju "patoloogilisem" tulemus: meil õnnestus konstrueerida näide kõverast, mis täidab ruudu täielikult. Sellest ajast peale on vastupidiselt "tervele mõistusele" leiutatud sadu selliseid "koletisi". Tuleb rõhutada, et selliste ebatavaliste matemaatiliste objektide olemasolu tuleneb põhiaksioomidest sama rangelt ja loogiliselt veatult kui kolmnurga või ellipsi olemasolu. Kuna matemaatilised "koletised" ei saa vastata ühelegi eksperimentaalsele objektile ja ainus võimalik järeldus on see, et matemaatiliste "ideede" maailm on palju rikkalikum ja ebatavalisem, kui võiks eeldada ning vaid väga vähestel neist on meie maailmas vastavusi. sensatsioonid. Aga kui matemaatilised "koletised" loogiliselt aksioomidest järelduvad, siis kas aksioome saab ikkagi tõeseks pidada?

Uued objektid.

Eeltoodud tulemused said kinnitust veel ühelt poolt: matemaatikas, peamiselt algebras, hakkasid üksteise järel tekkima uued matemaatilised objektid, mis olid arvu mõiste üldistused. Tavalised täisarvud on üsna "intuitiivsed" ja eksperimentaalsele murdekontseptsioonile pole sugugi raske jõuda (kuigi tuleb tunnistada, et ühiku mitmeks võrdseks osaks jagamise ja mitme valiku tehe on olemuselt erinev loendamise protsessist). Pärast seda, kui sai selgeks, et arv ei ole murruna esitatav, olid kreeklased sunnitud kaaluma irratsionaalseid arve, mille õige defineerimine ratsionaalsete arvude lähenduste lõpmatu jada abil kuulub maailma kõrgeimate saavutuste hulka. inimmõistus, kuid see ei vasta peaaegu millelegi tegelikule meie füüsilises maailmas (kus iga mõõtmine on alati vigane). Sellest hoolimata toimus irratsionaalsete arvude kasutuselevõtt enam-vähem füüsikaliste mõistete "idealiseerimise" vaimus. Kuidas on aga lood negatiivsete arvudega, mis hakkasid aeglaselt, suure vastupanu osutades, seoses algebra arenguga teaduslikku kasutusse jõudma? Võib täie kindlusega väita, et ei olnud valmis füüsilisi objekte, millest lähtudes saaksime otsese abstraktsiooni protsessi kasutades arendada negatiivse arvu mõistet ning algebra algebra kursuse õpetamisel peame tutvustama paljusid. abi- ja üsna keerukad näited (orienteeritud segmendid, temperatuurid, võlad jne), et selgitada, mis on negatiivsed arvud. Selline olukord on väga kaugel kontseptsioonist "kõigile selge", nagu Platon matemaatika aluseks olevatest ideedest nõudis, ja pole harvad juhud, kui kohtab kõrgkoolilõpetajaid, kelle jaoks kehtib märkide reegel (- a)(–b) = ab. Vaata ka NUMBER .

Veelgi hullem on olukord "kujuteldavate" või "keeruliste" numbritega, kuna need sisaldavad "arvu" i, selline, et i 2 = –1, mis on märgireegli selge rikkumine. Sellest hoolimata matemaatikud 16. sajandi lõpust. ärge kartke teha arvutusi kompleksarvudega, nagu oleks neil "mõistlik", kuigi 200 aastat tagasi ei osanud nad neid "objekte" defineerida ega mingi abikonstruktsiooni abil tõlgendada, kuna näiteks tõlgendati neid suunatud segmentide negatiivsete arvude abil. . (Alates 1800. aastast on pakutud mitmeid tõlgendusi kompleksarvud, kõige kuulsam on vektorite kasutamine tasapinnas.)

Kaasaegne aksiomaatika.

Riigipööre toimus 19. sajandi teisel poolel. Ja kuigi sellega ei kaasnenud ametlike avalduste vastuvõtmist, oli tegelikkuses tegemist vaid omamoodi "iseseisvusdeklaratsiooni" väljakuulutamisega. Täpsemalt matemaatika välismaailmast sõltumatuse de facto väljakuulutamisest.

Sellest vaatenurgast vaadatuna on matemaatilised "objektid", kui üldse on mõtet nende "eksistentsist" rääkida, puhtad mõistuse produktid ja kas neil on "vastavusi" ja kas nad tunnistavad mingit "tõlgendust" füüsikas. maailm, sest matemaatika on ebaoluline (kuigi see küsimus ise on huvitav).

"Tõelised" väited selliste "objektide" kohta on kõik samad loogilised tagajärjed aksioomidest. Kuid nüüd tuleks aksioome pidada täiesti meelevaldseteks ja seetõttu pole vaja nende "ilmnähtavat" ega igapäevakogemusest "idealiseerimise" abil mahaarvamist. Praktikas piiravad täielikku vabadust erinevad kaalutlused. Muidugi jäävad "klassikalised" objektid ja nende aksioomid muutumatuks, kuid nüüd ei saa neid pidada ainsteks matemaatika objektideks ja aksioomideks ning igapäevapraktikasse on jõudnud harjumus aksioome kõrvale heita või muuta, et neid oleks võimalik kasutada erinevatel viisidel, nagu tehti üleminekul eukleidilisest geomeetriast mitteeukleidilisele. (Sel viisil saadi "mitteeukleidiliste" geomeetriate arvukad versioonid, mis erinevad eukleidilisest geomeetriast ja Lobachevsky-Boyai geomeetriast; näiteks on mitteeukleidilisi geomeetriaid, milles puuduvad paralleelsed jooned.)

Eriti tahaksin rõhutada üht asjaolu, mis tuleneb uuest lähenemisest matemaatilistele "objektidele": kõik tõestused peavad põhinema ainult aksioomidel. Kui mõelda matemaatilise tõestuse definitsioonile, siis võib selline väide tunduda korduvana. Seda reeglit on aga klassikalises matemaatikas harva täheldatud selle objektide või aksioomide "intuitiivse" olemuse tõttu. Isegi sisse Algused Eukleides, vaatamata nende näilisele "rangusele", ei ole paljud aksioomid sõnaselgelt sõnastatud ja paljud omadused on kas vaikimisi oletatud või lisatud ilma piisava põhjenduseta. Eukleidilise geomeetria kindlale alusele panemiseks oli vaja selle algus kriitiliselt läbi vaadata. Vaevalt tasub väita, et pedantne kontroll tõestuse pisimate detailide üle on "koletiste" esilekerkimise tagajärg, kes õpetasid kaasaegseid matemaatikuid oma järeldustes ettevaatlikud olema. Kõige kahjutum ja "iseenesestmõistetavam" väide klassikaliste objektide kohta, näiteks väide, et sirge vastaskülgedel paiknevaid punkte ühendav kõver lõikub kindlasti selle sirgega, tänapäeva matemaatikas nõuab ranget formaalset tõestust.

Võib tunduda paradoksaalne väita, et just oma aksioomide järgimise tõttu on kaasaegne matemaatika selge näide sellest, milline peaks olema iga teadus. Sellegipoolest illustreerib see lähenemine teadusliku mõtlemise ühe põhilisema protsessi iseloomulikku tunnust - täpse teabe saamist puudulike teadmiste olukorras. Teaduslikud uuringud teatud objektide klass eeldab, et tunnused, mis võimaldavad mõnda objekti teistest eristada, on sihilikult unustusehõlma pandud ning vaadeldavatest objektidest jäetakse alles vaid üldised tunnused. Matemaatikat eristab teaduste üldisest hulgast selle programmi range järgimine kõigis selle punktides. Arvatakse, et matemaatilised objektid on täielikult määratletud nende objektide teoorias kasutatavate aksioomidega; või Poincaré järgi toimivad aksioomid nende objektide "varjatud määratlustena", millele nad viitavad.

KAASAEGNE MATEMAATIKA

Kuigi teoreetiliselt on mis tahes aksioomide olemasolu võimalik, on seni välja pakutud ja uuritud vaid väike arv aksioome. Tavaliselt on ühe või mitme teooria väljatöötamise käigus märgata, et mingid tõestusskeemid korduvad enam-vähem sarnastes tingimustes. Kui üldistes tõestusskeemides kasutatavad omadused on avastatud, formuleeritakse need aksioomidena ja nendest tulenevad tagajärjed ehitatakse üldteooriasse, millel pole otsest seost konkreetsete kontekstidega, millest aksioomid abstraheeriti. Sel juhul saadud üldteoreemid on rakendatavad igas matemaatilises olukorras, kus on olemas objektide süsteemid, mis vastavad vastavatele aksioomidele. Samade tõestusskeemide kordamine erinevates matemaatilistes olukordades näitab, et tegemist on sama üldteooria erinevate konkretisatsioonidega. See tähendab, et pärast asjakohast tõlgendust muutuvad selle teooria aksioomid igas olukorras teoreemideks. Kõik aksioomidest tuletatud omadused kehtivad kõigis neis olukordades, kuid iga juhtumi jaoks pole vaja eraldi tõestust. Sellistel juhtudel öeldakse, et matemaatilistel olukordadel on sama matemaatiline "struktuur".

Me kasutame struktuuri mõistet igal sammul Igapäevane elu... Kui termomeeter näitab 10 ° C ja prognoosibüroo ennustab temperatuuri tõusu 5 ° C, siis ilma arvutusteta ootame temperatuuri 15 ° C. Kui raamat on avatud lk 10 ja meil palutakse vaadata 5 lehekülge edasi, me ei kõhkle seda avamast 15. leheküljel ilma vahepealseid lehti lugemata. Mõlemal juhul usume, et numbrite liitmine annab õige tulemuse olenemata sellest, kas neid tõlgendatakse temperatuuri- või leheküljenumbritena. Me ei pea õppima ühte aritmeetikat termomeetrite ja teist leheküljenumbrite jaoks (kuigi me kasutame kellade käsitlemisel spetsiaalset aritmeetikat, milles 8 + 5 = 1, kuna kellad on teistsuguse struktuuriga kui raamatu leheküljed). Matemaatikute jaoks huvipakkuvad struktuurid on mõnevõrra keerukamad, nagu on hästi näha näidetest, mille analüüs on pühendatud käesoleva artikli kahele järgmisele osale. Üks neist käsitleb rühmateooriat ning struktuuride ja isomorfismide matemaatilisi kontseptsioone.

Rühma teooria.

Eespool kirjeldatud protsessi paremaks mõistmiseks üldine ülevaade, võtame endale vabaduse heita pilk kaasaegse matemaatiku laborisse ja vaadelda lähemalt üht tema peamist töövahendit – rühmateooriat ( cm. samuti ALGEBRA ABSTRAKT). Rühm on objektide kogum (või "komplekt"). G, millel on määratletud tehing, mis kaardistab mis tahes kaks objekti või elementi a, b alates G, võetud määratud järjekorras (esimene on element a, teine - element b), kolmas element c alates G rangelt määratletud reegli järgi. Lühiduse huvides tähistame seda elementi a*b; tärn (*) tähistab kahe elemendi kompositsioonioperatsiooni. See toiming, mida me nimetame rühmakorrutamiseks, peab vastama järgmistele tingimustele:

(1) mis tahes kolme elemendi jaoks a, b, c alates G assotsiatiivsuse omadus on täidetud: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) sisse G selline element on olemas e et mis tahes elemendi jaoks a alates G suhe kehtib e*a = a*e = a; see üksus e nimetatakse rühma üksikuks või neutraalseks elemendiks;

(3) mis tahes elemendi jaoks a alates G selline element on olemas aў, mida nimetatakse pöördvõrdeliseks või sümmeetriliseks elemendiks a, mida a*aў = aў* a = e.

Kui neid omadusi võtta aksioomidena, siis nende loogilised tagajärjed (sõltumata muudest aksioomidest või teoreemidest) moodustavad koos selle, mida tavaliselt nimetatakse rühmade teooriaks. Nende tagajärgede lõplik tuletamine osutus väga kasulikuks, kuna rühmi kasutatakse laialdaselt kõigis matemaatikaharudes. Tuhandete võimalike rühmade näidete hulgast valime välja vaid mõned kõige lihtsamad.

a) Murrud lk/q, kus lk ja q- suvalised täisarvud і1 (for q= 1 saame tavalised täisarvud). Murrud lk/q moodustavad rühma korrutamise suhtes ( lk/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Omadused (1), (2), (3) tulenevad aritmeetika aksioomidest. Tõesti, [( lk/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (lk/q)*[(r/s)*(t/u)]. Ühik on arv 1 = 1/1, kuna (1/1) * ( lk/q) = (1H lk) / (1H q) = lk/q... Lõpuks murru pöördväärtus lk/q, on murd q/lk, sest ( lk/q)*(q/lk) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Kaaluge kui G hulk neljast täisarvust 0, 1, 2, 3 ja as a*b- ülejäänud osa a + b poolt 4. Sel viisil tutvustatud operatsiooni tulemused on toodud tabelis. 1 (element a*b seisab joone ristumiskohas a ja veerg b). Lihtne on kontrollida, kas omadused (1) - (3) on täidetud ja arv 0 on ühiku element.

(c) Valime kui G arvude komplekt 1, 2, 3, 4 ja as a*b- ülejäänud osa ab(tavaline toode) 5 võrra. Selle tulemusena saame tabeli. 2. On lihtne kontrollida, kas omadused (1) - (3) on täidetud ja 1 on ühikelement.

(d) Neli objekti, näiteks neli numbrit 1, 2, 3, 4, saab järjestada ritta 24 viisil. Iga asukohta saab visualiseerida kui transformatsiooni, mis muudab "loodusliku" asukoha antud asukohaks; näiteks asukoht 4, 1, 2, 3 tuleneb teisendusest

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

mille saab kirjutada mugavamal kujul

Kahe sellise teisenduse puhul S, T me määratleme S*T teisendusena, mis tuleneb järjestikusest täitmisest T, ja siis S... Näiteks kui, siis. Selle definitsiooniga moodustavad kõik 24 võimalikku teisendust rühma; selle ühikelement on ja element pöördvõrdeline S, mis saadakse definitsioonis olevate noolte asendamisel S vastupidisele; näiteks kui, siis.

Seda on esimeses kolmes näites lihtne näha a*b = b*a; sellistel juhtudel öeldakse, et rühm või rühmakorrutis on kommutatiivne. Teisest küljest viimases näites ja seetõttu T*S erineb S*T.

Näite (d) rühm on erijuht nn. sümmeetriline rühm, mille ulatusse kuuluvad muu hulgas algebraliste võrrandite lahendamise meetodid ja joonte käitumine aatomite spektrites. Näidete (b) ja (c) rühmad mängivad arvuteoorias olulist rolli; näites (b) saab arvu 4 asendada mis tahes täisarvuga n, ja numbrid 0 kuni 3 on numbrid vahemikus 0 kuni n- 1 (kell n= 12 saame numbrite süsteemi, mis seisavad kella sihverplaadil, nagu eespool mainisime); näites (c) saab arvu 5 asendada mis tahes algarvuga R, ja numbrid 1 kuni 4 on numbrid 1 kuni lk – 1.

Struktuurid ja isomorfism.

Eelnevad näited näitavad, kui mitmekesine võib olla rühma moodustavate objektide olemus. Kuid tegelikult taandub kõik igal juhul samale stsenaariumile: objektide hulga omadustest võtame arvesse ainult neid, mis muudavad selle komplekti rühmaks (siin on näide puudulikest teadmistest!). Sellistel juhtudel ütleme, et võtame arvesse rühma struktuuri, mille annab meie valitud rühmakorrutis.

Teine näide struktuurist on nn. tellimuse struktuur. Trobikond E varustatud järjestusstruktuuriga või järjestatud, kui elementide vahel a è b omanikuks E, on antud mingi seos, mida me tähistame R (a,b). (See seos peaks olema mõistlik mis tahes elemendipaari jaoks E, kuid üldiselt on see mõne paari puhul vale ja teiste puhul õige, näiteks suhe 7

(1) R (a,a) kehtib kõigi kohta a omanikuks E;

(2) alates R (a,b) ja R (b,a) järgib seda a = b;

(3) alates R (a,b) ja R (b,c) järgneb R (a,c).

Siin on mõned näited tohutul hulgal erinevatest tellitud komplektidest.

(a) E koosneb kõikidest täisarvudest, R (a,b) Kas seos " a väiksem või võrdne b».

(b) E koosneb kõikidest täisarvudest > 1, R (a,b) Kas seos " a jagab b või võrdne b».

Struktuuri viimase näitena mainime meetrilise ruumi struktuuri; selline struktuur on antud võtteplatsil E kui iga elementide paar a ja b kuuluv E, võid kirja panna numbri d (a,b) і 0, mis vastab järgmistele omadustele:

(1) d (a,b) = 0 siis ja ainult siis a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) mis tahes kolme antud elemendi jaoks a, b, c alates E.

Siin on mõned meetriliste ruumide näited:

(a) tavaline "kolmemõõtmeline" ruum, kus d (a,b) - tavaline (või "eukleidiline") kaugus;

b) sfääri pind, kus d (a,b) - kahte punkti ühendava ringi väikseima kaare pikkus a ja b sfääri peal;

c) mis tahes komplekt E, milleks d (a,b) = 1 kui a № b; d (a,a) = 0 mis tahes elemendi jaoks a.

Struktuuri mõiste täpne määratlemine on üsna keeruline. Detailidesse laskumata võib seda öelda võtteplatsil E teatud tüüpi struktuur on antud juhul, kui hulga elementide vahel E(ja mõnikord ka muude objektide, näiteks abirolli mängivate arvude abil) on antud seosed, mis rahuldavad teatud kindlat aksioomide kogumit, mis iseloomustavad vaadeldava tüübi struktuuri. Eespool oleme andnud kolme tüüpi struktuuride aksioomid. Muidugi on palju muud tüüpi struktuure, mille teooriad on täielikult välja töötatud.

Paljud abstraktsed mõisted on tihedalt seotud struktuuri mõistega; nimetame vaid üht olulisemat – isomorfismi mõistet. Tuletage meelde eelmises jaotises toodud rühmade (b) ja (c) näidet. Seda on tabelist lihtne kontrollida. 1 lauale. 2 saab navigeerida sobitamise teel

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

Sel juhul ütleme, et need rühmad on isomorfsed. Üldiselt kaks rühma G ja Gў on isomorfsed, kui rühma elementide vahel G ja rühmaelemendid Gў saate luua sellise üks-ühele kirjavahetuse a « aў mis siis, kui c = a*b, siis cў = aў* bў esemete sobitamiseks Gў... Igasugune grupiteooria väide, mis rühma kohta kehtib G, jääb grupile kehtima Gў ja vastupidi. Algebraliselt rühmad G ja Gў on eristamatud.

Lugeja näeb kergesti, et samal viisil saab määratleda kaks isomorfset järjestatud hulka või kaks isomorfset meetrilist ruumi. Võib näidata, et isomorfismi mõiste laieneb mis tahes tüüpi struktuuridele.

KLASSIFIKATSIOON

Matemaatika vanad ja uued klassifikatsioonid.

Struktuuri mõiste ja sellega seotud muud mõisted on kaasaegses matemaatikas võtnud keskse koha nii puhtalt "tehnilisest" kui ka filosoofilisest ja metodoloogilisest vaatenurgast. Struktuuride põhitüüpide üldteoreemid on ülimalt võimsad matemaatilise "tehnika" tööriistad. Iga kord, kui matemaatikul õnnestub näidata, et tema uuritavad objektid vastavad teatud tüüpi struktuuri aksioomidele, tõestab ta sellega, et kõik seda tüüpi struktuuriteooria teoreemid on rakendatavad konkreetsete objektide suhtes, mida ta uurib (ilma nende üldiste teoreemideta. suure tõenäosusega märkaksid nad nende konkreetseid valikuvõimalusi või oleksid sunnitud koormama oma arutluskäiku tarbetute oletustega). Samamoodi, kui tõestatakse, et kaks struktuuri on isomorfsed, siis teoreemide arv kahekordistub koheselt: iga ühele struktuurile tõestatud teoreem annab kohe teise jaoks vastava teoreemi. Seetõttu pole üllatav, et on olemas väga keerulisi ja raskeid teooriaid, näiteks arvuteoorias "klassiväljateooria", mille põhieesmärk on tõestada struktuuride isomorfismi.

Struktuuride ja isomorfismide laialdane kasutamine filosoofilisest vaatenurgast näitab kaasaegse matemaatika peamist tunnust - tõsiasja, et matemaatiliste "objektide" "loomul" pole tegelikult tähtsust, olulised on ainult objektidevahelised suhted (omamoodi teadmiste mittetäielikkuse põhimõte).

Lõpuks ei saa mainimata jätta, et struktuuri mõiste võimaldas liigitada matemaatika harusid uutmoodi. Kuni 19. sajandi keskpaigani. need varieerusid olenevalt uuringu teemast. Aritmeetika (või arvuteooria) tegeles täisarvudega, geomeetria sirgete, nurkade, hulknurkade, ringide, pindaladega jne. Algebra tegeles peaaegu eranditult arvvõrrandite või võrrandisüsteemide lahendamise meetoditega, analüütiline geomeetria töötas välja meetodid geomeetriliste ülesannete teisendamiseks samaväärseteks algebralisteks ülesanneteks. Teise olulise matemaatikaharu, mida nimetatakse "matemaatiliseks analüüsiks", huvide ring hõlmas peamiselt diferentsiaal- ja integraalarvutust ning nende erinevaid rakendusi geomeetrias, algebras ja paarisarvuteoorias. Nende rakenduste hulk kasvas, samuti suurenes nende tähtsus, mis tõi kaasa matemaatilise analüüsi killustatuse alajaotisteks: funktsiooniteooria, diferentsiaalvõrrandid (harilikud ja osatuletised), diferentsiaalgeomeetria, variatsioonide arvutamine jne.

Paljude kaasaegsete matemaatikute jaoks meenutab selline lähenemine esimeste loodusteadlaste loomade klassifikatsiooni ajalugu: kunagi peeti nii merikilpkonna kui ka tuunikala kaladeks, kuna nad elasid vees ja neil olid sarnased tunnused. Kaasaegne lähenemine on õpetanud meid nägema mitte ainult seda, mis asub pinnal, vaid ka vaatama sügavamale ja püüdma ära tunda matemaatiliste objektide petliku välimuse taga olevaid fundamentaalseid struktuure. Sellest vaatenurgast on oluline uurida kõige olulisemaid struktuuritüüpe. On ebatõenäoline, et meie käsutuses on nende tüüpide täielik ja lõplik loetelu; osa neist on avastatud viimase 20 aasta jooksul ja on põhjust oodata uusi avastusi tulevikus. Siiski on meil juba arusaamine paljudest põhilistest "abstraktsetest" struktuuritüüpidest. (Need on matemaatika "klassikaliste" objektidega võrreldes "abstraktsed", ehkki neid vaevalt "konkreetseteks" nimetada saab; küsimus on pigem abstraktsiooniastmes.)

Tuntud struktuure saab klassifitseerida vastavalt nende koostisseostele või nende keerukusele. Ühelt poolt on olemas ulatuslik "algebraliste" struktuuride plokk, mille erijuhtumiks on näiteks rühmastruktuur; Muude algebraliste struktuuride hulgas peame silmas rõngaid ja välju ( cm. samuti ALGEBRA ABSTRAKT). Matemaatika haru, mis tegeleb algebraliste struktuuride uurimisega, nimetatakse erinevalt tavalisest ehk klassikalisest algebrast "kaasaegne algebra" või "abstraktne algebra". Uue algebra osaks sai ka märkimisväärne osa eukleidilisest geomeetriast, mitteeukleidilisest geomeetriast ja analüütilisest geomeetriast.

Samal üldsuse tasemel on veel kaks struktuuriplokki. Üks neist, mida nimetatakse üldtopoloogiaks, sisaldab struktuuritüüpide teooriaid, mille erijuhtum on meetrilise ruumi struktuur ( cm... TOPOLOOGIA; ABSTRAKTRUUMID). Kolmas plokk koosneb järjestusstruktuuride ja nende laienduste teooriatest. Struktuuri "laiendamine" seisneb uute aksioomide lisamises olemasolevatele. Näiteks kui rühmaaksioomidele lisame neljanda aksioomina kommutatiivsuse omaduse a*b = b*a, siis saame kommutatiivse (või abeli) rühma struktuuri.

Nendest kolmest plokist olid viimased kaks kuni viimase ajani suhteliselt stabiilses olekus ja "kaasaegne algebra" plokk kasvas kiiresti, mõnikord ootamatutes suundades (näiteks arenes välja terve haru nimega "homological algebra"). Väljaspool nn. On veel üks "puhta" tüüpi struktuuride tase - "segatud" struktuurid, näiteks algebralised ja topoloogilised, koos neid ühendavate uute aksioomidega. Uuritud on palju selliseid kombinatsioone, millest enamik jaguneb kahte laia plokki – "topoloogiline algebra" ja "algebraline topoloogia".

Kokkuvõttes moodustavad need plokid väga kindla "abstraktse" teadusvaldkonna. Paljud matemaatikud loodavad uute vahenditega paremini mõista klassikalisi teooriaid ja lahendada keerulisi probleeme. Tõepoolest, vastava abstraktsiooni- ja üldistustasemega võivad iidsete ülesanded ilmuda uues valguses, mis võimaldab leida neile lahendusi. Hiiglaslikud tükid klassikalisest materjalist sattusid uue matemaatika haarde alla ja muudeti või liideti teiste teooriatega. On veel tohutuid valdkondi, kuhu kaasaegsed meetodid pole nii sügavale tunginud. Näited hõlmavad teooriat diferentsiaalvõrrandid ja suur osa arvuteooriast. On väga tõenäoline, et pärast uut tüüpi struktuuride avastamist ja põhjalikku uurimist saavutatakse neis valdkondades märkimisväärseid edusamme.

FILOSOOFILISED VÄLJAKUTSED

Isegi iidsed kreeklased mõistsid selgelt, et matemaatiline teooria peaks olema vaba vastuoludest. See tähendab, et väidet ei ole võimalik aksioomidest loogilise tagajärjena tuletada R ja tema eitus ei ole P... Kuna aga arvati, et matemaatilistel objektidel on reaalses maailmas vastavused ja aksioomid on loodusseaduste "idealisatsioonid", ei kahelnud keegi matemaatika järjepidevuses. Üleminekul klassikaliselt matemaatikalt kaasaegsele matemaatikale sai järjepidevuse probleem teise tähenduse. Mis tahes matemaatilise teooria aksioomide valimise vabadust peaks teadlikult piirama järjepidevuse tingimus, kuid kas saame olla kindlad, et see tingimus on täidetud?

Oleme juba maininud komplekti mõistet. Seda mõistet on matemaatikas ja loogikas alati rohkem või vähem selgesõnaliselt kasutatud. 19. sajandi teisel poolel. Osaliselt süstematiseeriti elementaarsed reeglid hulga mõiste käsitlemiseks, lisaks saadi mõned olulised tulemused, mis moodustasid sisu nn. hulga teooria ( cm. samuti SETTEORIA), millest on saanud justkui kõigi teiste matemaatiliste teooriate substraat. Antiikajast kuni 19. sajandini. kardeti lõpmatute rahvahulkade ees, mis kajastusid näiteks Elea Zenoni (5. sajand eKr) kuulsates paradoksides. Need hirmud olid osaliselt metafüüsilise iseloomuga ja osaliselt tingitud suuruste (näiteks pikkuse või aja) mõõtmise kontseptsiooniga seotud raskustest. Neid raskusi oli võimalik kõrvaldada alles pärast 19. sajandit. matemaatilise analüüsi põhimõisted olid rangelt määratletud. 1895. aastaks olid kõik hirmud hajutatud ja matemaatika näis olevat toetunud hulgateooria vankumatule alusele. Kuid järgmisel kümnendil kerkisid esile uued argumendid, mis näisid näitavat hulgateooria (ja kogu ülejäänud matemaatika) olemuslikku ebajärjekindlust.

Uued paradoksid olid väga lihtsad. Neist esimest, Russelli paradoksi, võib näha lihtsas versioonis, mida tuntakse juuksuri paradoksina. Teatud linnas ajab juuksur raseerima kõik elanikud, kes ise ei raseeri. Kes raseerib ise juuksurit? Kui juuksur ajab end habet, siis ei aja ta habet mitte ainult neid elanikke, kes ennast ei raseeri, vaid ka üht elanikku, kes raseerib ennast; kui ta ise ei raseeri, siis ei aja ta ka kõiki linna elanikke, kes ennast ei raseeri. Seda tüüpi paradoks kerkib esile alati, kui mõeldakse "kõikide hulkade hulga" kontseptsioonile. Kuigi see matemaatiline objekt tundub väga loomulik, põhjustab selle üle arutlemine kiiresti vastuolusid.

Berry paradoks on veelgi paljastavam. Mõelge kõigi venekeelsete fraaside komplektile, mis ei sisalda rohkem kui seitseteist sõna; vene keele sõnade arv on lõplik, seetõttu on ka selliste fraaside arv lõplik. Valime nende hulgast need, mis määravad üheselt mõne täisarvu, näiteks: "Suurim paaritu arv väiksem kui kümme." Selliste fraaside arv on samuti piiratud; järelikult on nende määratletud täisarvude hulk lõplik. Nende arvude lõplikku hulka tähistame tähisega D... Aritmeetika aksioomidest järeldub, et on täisarve, mis ei kuulu hulka D, ja et nende arvude hulgas on kõige väiksem arv n... See number n on üheselt määratletud fraasiga: "Kõige väiksem täisarv, mida ei saa määratleda fraasiga, mis koosneb kuni seitsmeteistkümnest venekeelsest sõnast." Kuid see fraas sisaldab täpselt seitseteist sõna. Seetõttu määrab see arvu n mis peaks kuuluma D ja jõuame paradoksaalse vastuoluni.

Intuitsionistid ja formalistid.

Hulgateooria paradokside põhjustatud šokk on tekitanud väga erinevaid reaktsioone. Mõned matemaatikud olid väga sihikindlad ja avaldasid arvamust, et matemaatika arenes algusest peale vales suunas ja peaks põhinema hoopis teisel alusel. Selliste "intuitsionistide" (nagu nad end nimetama hakati) vaatenurka ei ole võimalik kindlalt kirjeldada, kuna nad keeldusid oma seisukohti taandada puhtloogilisele skeemile. Intuitsionistide seisukohalt on vale rakendada loogilisi protsesse intuitiivselt kujutamatutele objektidele. Ainsad intuitiivselt selged objektid on naturaalarvud 1, 2, 3, ... ja naturaalarvude lõplikud hulgad, mis on "konstrueeritud" täpselt määratletud reeglite järgi. Kuid isegi sellistele objektidele ei lubanud intuitsionistid rakendada kõiki klassikalise loogika järeldusi. Näiteks ei tunnistanud nad seda ühegi avalduse puhul R on ka tõsi R või mitte R... Nii piiratud vahenditega välditi kergesti "paradokse", kuid samal ajal viskasid nad üle parda mitte ainult kogu kaasaegse matemaatika, vaid ka olulise osa klassikalise matemaatika tulemustest ning nende jaoks, mis alles jäid, tuli leida uued, keerulisemad tõendid.

Valdav enamus kaasaegseid matemaatikuid ei nõustunud intuitsionistide argumentidega. Mitteintuitsioonilised matemaatikud on märganud, et paradoksides kasutatavad argumendid erinevad oluliselt tavalises matemaatilises töös hulgateooriaga kasutatavatest ja seetõttu tuleks sellised argumendid välistada kui ebaseaduslikud, ilma et see ohustaks olemasolevaid matemaatilisi teooriaid. Teine tähelepanek oli, et "naiivses" hulgateoorias, mis eksisteeris enne "paradokside" ilmumist, ei seatud kahtluse alla mõistete "kogum", "omadus", "suhe" tähendust – nii nagu klassikalises geomeetrias on "intuitiivne" tavaliste geomeetriliste mõistete olemus. Järelikult võib toimida samamoodi nagu geomeetrias, nimelt loobuda kõigist katsetest apelleerida "intuitsioonile" ja võtta hulgateooria lähtepunktiks täpselt sõnastatud aksioomide süsteem. Siiski ei ole selge, kuidas sõnad nagu "omadus" või "suhe" saab nende tavapärasest tähendusest ilma jätta; seda tuleb aga teha, kui tahame välistada sellised arutluskäigud nagu Berry paradoks. Meetod seisneb tavakeele kasutamisest hoidumises aksioomide või teoreemide sõnastamisel; matemaatikas on "omaduste" või "seostena" lubatud ainult laused, mis on koostatud vastavalt jäikade reeglite selgesõnalisele süsteemile, ja need sisalduvad aksioomide sõnastuses. Seda protsessi nimetatakse "formaliseerimiseks" matemaatiline keel(tavakeele ebaselgustest tulenevate arusaamatuste vältimiseks on soovitatav astuda veel üks samm ja asendada formaliseeritud lausetes sõnad ise erimärkidega, näiteks asendada link "ja" sümboliga &, link "või" sümboliga b, "olemas" sümboliga $ jne). Matemaatikuid, kes lükkasid tagasi intuitsionistide soovitatud meetodid, nimetati "formalistideks".

Algsele küsimusele ei vastatud aga kunagi. Kas "aksiomaatiline hulgateooria" on vastuoludeta? D. Hilbert (1862–1943) ja tema koolkond tegid 1920. aastatel uusi katseid tõestada "formaliseeritud" teooriate järjepidevust ja neid nimetati "metamatemaatikaks". Sisuliselt on metamatemaatika "rakendusmatemaatika" osa, kus objektid, millele matemaatilist arutlust rakendatakse, on formaliseeritud teooria laused ja nende asukoht tõendites. Neid lauseid tuleks käsitleda ainult sümbolite materiaalsete kombinatsioonidena, mis on koostatud teatavate kehtestatud reeglite kohaselt, viitamata nende sümbolite võimalikule "tähendusele" (kui see on olemas). Heaks analoogiaks on malemäng: sümbolid vastavad nuppudele, laused erinevatele positsioonidele laual ja järeldused nuppude liikumise reeglitele. Formaliseeritud teooria järjepidevuse kindlakstegemiseks piisab, kui näidata, et selles teoorias ei lõpe ükski tõestus väitega 0 # 0. Siiski võib olla vastuväiteid matemaatiliste argumentide kasutamisele matemaatilise teooria järjepidevuse "metamatemaatilises" tõestuses. teooria; kui matemaatika oleks vastuoluline, kaotaksid matemaatilised argumendid igasuguse jõu ja me satuksime nõiaringi. Nendele vastuväidetele vastamiseks tunnistas Hilbert, et kasutab metamatemaatikas väga piiratud matemaatilisi arutluskäike, mida intuitsionistid peavad vastuvõetavaks. Kuid peagi näitas K. Gödel (1931), et aritmeetika järjepidevust ei saa nii piiratud vahenditega tõestada, kui see on tõesti järjekindel (käesoleva artikli ulatus ei võimalda esitleda seda geniaalset meetodit, millega see tähelepanuväärne tulemus saavutati, 1931). ja metamatemaatika edasine ajalugu).

Võttes praegust probleemset olukorda formalistlikust vaatenurgast kokku, tuleb tunnistada, et asi pole veel kaugeltki läbi. Hulga mõiste kasutamine piirdus reservatsioonidega, mis võeti kasutusele spetsiaalselt üldtuntud paradokside vältimiseks ning puuduvad garantiid, et aksiomatiseeritud hulgateoorias ei teki uusi paradokse. Sellest hoolimata ei takistanud aksiomaatilise hulgateooria piirangud uute elujõuliste teooriate sündi.

MATEMAATIKA JA PÄRISMAAILMA

Vaatamata väidetele matemaatika sõltumatuse kohta, ei eita keegi, et matemaatika ja füüsiline maailm on üksteisega seotud. Muidugi jääb kehtima matemaatiline lähenemine klassikalise füüsika probleemide lahendamisele. Tõsi on ka see, et matemaatika väga olulises valdkonnas, nimelt diferentsiaalvõrrandite teoorias, tavalistes ja osalistes tuletistes, on füüsika ja matemaatika vastastikune rikastamise protsess üsna viljakas.

Matemaatika on kasulik mikromaailma nähtuste tõlgendamisel. Matemaatika uued "rakendused" erinevad aga oluliselt klassikalisest. Füüsika üheks olulisemaks tööriistaks on saanud tõenäosusteooria, mida varem kasutati peamiselt hasartmängude ja kindlustusteoorias. Matemaatilised objektid, mida füüsikud seostavad "aatomi olekute" või "üleminekutega", on väga abstraktsed ning matemaatikud tutvustasid ja uurisid neid ammu enne kvantmehaanika tulekut. Olgu lisatud, et pärast esimesi õnnestumisi tekkisid tõsised raskused. See juhtus ajal, mil füüsikud püüdsid rakendada matemaatilisi ideid peenemate aspektide jaoks. kvantteooria; Sellest hoolimata vaatavad paljud füüsikud endiselt lootusrikkalt uusi matemaatilisi teooriaid, uskudes, et need aitavad neid uute probleemide lahendamisel.

Matemaatika – teadus või kunst?

Isegi kui "puhta" matemaatika hulka arvata ka tõenäosusteooria või matemaatiline loogika, selgub, et praegu kasutavad teised teadused vähem kui 50% teadaolevatest matemaatilistest tulemustest. Mida peaksime ülejäänud poole kohta arvama? Ehk mis motiivid on nende matemaatika valdkondade taga, mis ei ole seotud füüsiliste ülesannete lahendamisega?

Seda tüüpi teoreemi tüüpilise esindajana oleme juba maininud arvu irratsionaalsust. Teine näide on J.-L. Lagrange'i (1736–1813) tõestatud teoreem. Vaevalt leidub matemaatikut, kes ei nimetaks teda "tähtsaks" või "ilusaks". Lagrange'i teoreem väidab, et iga täisarvu, mis on suurem või võrdne ühest, saab esitada mitte rohkem kui nelja arvu ruutude summana; näiteks 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. Arvestades praegust olukorda, on mõeldamatu, et see tulemus võib olla kasulik mõne eksperimentaalse probleemi lahendamisel. Tõsi, füüsikud tegelevad tänapäeval täisarvudega palju sagedamini kui varem, kuid täisarvud, millega nad opereerivad, on alati piiratud (harva ületavad mõnesaja); seetõttu saab selline teoreem nagu Lagrange'i teoreem olla "kasulik" ainult siis, kui seda rakendatakse täisarvudele, mis ei ületa mõnda piiri. Kuid niipea, kui piirame Lagrange'i teoreemi sõnastust, lakkab see matemaatiku jaoks kohe huvipakkumast, kuna selle teoreemi kogu atraktiivne jõud seisneb selle rakendatavuses kõikide täisarvude suhtes. (Täisarvude kohta on väga palju väiteid, mida saab arvutiga kontrollida väga suurte arvude puhul, kuid kuna üldist tõestust ei leita, jäävad need hüpoteetilisteks ega huvita professionaalseid matemaatikuid.)

Keskendumine teemadele, mis ei ole kaugeltki kohe rakendatavad, ei ole üheski valdkonnas, olgu selleks astronoomia või bioloogia, töötavate teadlaste jaoks ebatavaline. Kuigi katsetulemust saab täpsustada ja parandada, on matemaatiline tõestus alati lõplik. Seetõttu on raske vastu panna kiusatusele vaadelda matemaatikat või vähemalt seda osa sellest, millel pole "reaalsusega" mingit pistmist, kui kunsti. Matemaatilised ülesanded ei ole väljastpoolt peale surutud ja kui aktsepteerime kaasaegset vaatenurka, oleme materjali valikul täiesti vabad. Mõnda matemaatilist tööd hinnates pole matemaatikutel "objektiivseid" kriteeriume ja nad peavad tuginema oma "maitsele". Maitsed on väga erinevad olenevalt ajast, riigist, traditsioonidest ja üksikisikutest. Kaasaegses matemaatikas on mood ja "koolid". Praegu on kolm sellist "kooli", mida mugavuse huvides nimetame "klassitsismiks", "modernismiks" ja "abstraktsionismiks". Nende erinevuste paremaks mõistmiseks analüüsime erinevaid kriteeriume, mida matemaatikud teoreemi või teoreemide rühma hindamisel kasutavad.

(1) Üldise arvamuse kohaselt peaks "ilus" matemaatiline tulemus olema mittetriviaalne, s.t. ei tohiks olla aksioomide või varem tõestatud teoreemide ilmne tagajärg; tõestus peab kasutama mõnda uus idee või rakendatakse leidlikult vanu ideid. Teisisõnu, matemaatiku jaoks pole oluline mitte tulemus ise, vaid protsess, kuidas ületada raskused, millega ta selle saavutamisel silmitsi seisis.

(2) Igal matemaatilisel probleemil on oma ajalugu, nii-öelda "genealoogia", mis järgib sama üldist skeemi, mille järgi areneb iga teaduse ajalugu: pärast esimesi õnnestumisi võib küsimusele vastamiseni kuluda teatud aeg. poseeritud on leitud. Lahenduse leidmisega lugu sellega ei lõpe, sest algavad tuntud laienemis- ja üldistusprotsessid. Näiteks eelpool mainitud Lagrange'i teoreem viib küsimuseni, kas mis tahes täisarvu esitada kuubikute, neljanda, viienda astme jne summana. Nii tekibki "Waring problem", mis pole veel lõplikku lahendust saanud. Lisaks, kui meil veab, on lahendatud probleem seotud ühe või mitme põhistruktuuriga, mis omakorda toob kaasa nende struktuuridega seotud uusi probleeme. Isegi kui algne teooria lõpuks "sureb", kipub see endast maha jätma arvukalt elavaid võrseid. Kaasaegsed matemaatikud seisavad silmitsi nii tohutu probleemide hajutamisega, et isegi kui igasugune seos eksperimentaalteadusega katkeks, võtaks nende lahendamine veel mitu sajandit aega.

(3) Iga matemaatik nõustub, et kui tema ees kerkib esile uus probleem, on tema kohus see kõikvõimalike vahenditega lahendada. Kui probleem puudutab klassikalisi matemaatilisi objekte (klassitsistid tegelevad harva teist tüüpi objektidega), siis klassitsistid püüavad seda lahendada ainult klassikaliste vahenditega, samas kui teised matemaatikud võtavad kasutusele "abstraktsemad" struktuurid, et kasutada ülesandega seotud üldteoreeme. Selline lähenemise erinevus ei ole uus. Alates 19. sajandist. matemaatikud jagunevad "taktikuteks", kes püüdlevad probleemile puhtalt jõulise lahenduse leidmise poole, ja "strateegideks", kes on altid ringmanöövritele, mis võimaldavad vaenlast väikeste jõududega purustada.

(4) Teoreemi "ilu" oluline element on selle lihtsus. Muidugi on lihtsuse otsimine omane kogu teaduslikule mõtlemisele. Kuid katsetajad on valmis leppima "inetute lahendustega", kui probleem vaid lahendatakse. Samuti ei ole klassitsistid ja abstraktsionistid matemaatikas eriti mures "patoloogiliste" tulemuste ilmnemise pärast. Teisest küljest lähevad modernistid nii kaugele, et näevad teooria "patoloogiate" esilekerkimist põhikontseptsioonide ebatäiuslikkuse sümptomina.

Matemaatika entsüklopeedia

Matemaatika entsüklopeedia- Nõukogude entsüklopeediline viieköiteline väljaanne, mis on pühendatud matemaatikatele. Välja antud aastal -1985 kirjastuse "Soviet Encyclopedia" poolt. Peatoimetaja: Akadeemik I. M. Vinogradov.

See on põhiline illustreeritud väljaanne, mis hõlmab kõiki peamisi matemaatika valdkondi. Raamat sisaldab selleteemalist ulatuslikku materjali, kuulsate matemaatikute elulugusid, jooniseid, graafikuid, diagramme ja diagramme.

Kogumaht: umbes 3000 lehekülge. Artiklite jaotus mahu järgi:

1. köide: Abacus – Huygensi printsiip, 576 lk.
2. köide: D'Alemberti operaator – koostöömäng, 552 lk.
3. köide: Koordinaadid – Monoomne, 592 lk.
4. köide: Teoreemi silm – kompleksfunktsioon, 608 lk.
5. köide: juhuslik muutuja – lahter, 623 lk.
5. köite lisa: aineregister, märgatud kirjavigade loetelu.

Lingid

Matemaatika üld- ja eriteatmikud ning entsüklopeediad portaalis "Matemaatikavõrrandite maailm", kust saate entsüklopeedia elektroonilisel kujul alla laadida.

Kategooriad:

Raamatud tähestiku järgi
Matemaatiline kirjandus
Entsüklopeediad
Kirjastuse "Nõukogude entsüklopeedia" raamatud
NSV Liidu entsüklopeediad

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Matemaatiline keemia
Kvantmehaanika matemaatilised alused

Vaadake, mis on "Matemaatika entsüklopeedia" teistes sõnaraamatutes:

Matemaatiline loogika- (teoreetiline loogika, sümbolloogika) matemaatika haru, mis uurib matemaatika aluste tõestusi ja küsimusi. "Kaasaegse matemaatilise loogika teema on mitmekesine." Vastavalt PS Poretsky määratlusele "matemaatika ... ... Wikipedia

Entsüklopeedia- (Novolati entsüklopeedia (mitte varem kui XVI sajand) muust kreeka keelest.

ENTSÜKLOPEEDIA- (kreeka keelest. enkyklios paideia koolitus kogu teadmiste ringis), teaduslik. või teaduslik. populaarne teatmeväljaanne, mis sisaldab taksonoomiat. teadmiste kogum. E. materjal on järjestatud tähestikulises või süstemaatilises järjekorras. põhimõte (teadmiste harude kaupa). ... ... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

MATEMAATILINE LOOGIKA- üks kaasaegse loogika nimedest, mis tuli teise juurde. korrus. 19 varakult. 20. sajandil asendama traditsioonilist loogikat. Mõistet sümboolne loogika kasutatakse ka teise nimetusena loogikateaduse arengu kaasaegsele etapile. Definitsioon…… Filosoofiline entsüklopeedia

MATEMAATILINE LÕPMATUS- üldnimetus decomp. lõpmatuse idee teostused matemaatikas. Kuigi mõiste tähenduste vahel M. b. ja muudes tähendustes, milles kasutatakse terminit lõpmatus, ei ole jäika piiri (kuna kõik need mõisted peegeldavad lõpuks väga ... ... Filosoofiline entsüklopeedia

MATEMAATILINE INDUKTSIOON- täielik matemaatiline induktsioon (matemaatikas nimetatakse seda sageli lihtsalt täisinduktsiooniks; sel juhul tuleks seda mõistet eristada mittematemaatilises formaalses loogikas käsitletavast täieliku induktsiooni mõistest), - üldlausete tõestamise meetod ... .. . Filosoofiline entsüklopeedia

MATEMAATILINE HÜPOTEES- oletatav muutus uuritava nähtuste piirkonna seadust väljendava võrrandi vormis, tüübis, olemuses, eesmärgiga laiendada seda oma olemusliku seadusena uuele, veel uurimata alale. M. on tänapäeval laialdaselt kasutusel. teoreetiline...... Filosoofiline entsüklopeedia

MATEMAATIKAKOOL POLIITMAJANDUSES- Inglise. matemaatikakool poliitökonoomias; saksa keel Mathematische Schule in der politischen Okonomie. 19. sajandi teisel poolel tekkinud suund vesisele, ökonoomsusele, esindajad rogole (L. Valras, V. Pareto, O. Jevons jt) andsid ... ... Sotsioloogia entsüklopeedia

SOTSIOLOOGIA MATEMAATIKAKOOL- Inglise. matemaatikakool sotsioloogias; saksa keel Sozioloogia matemaatika skeem. 20. sajandi esimesel poolel tekkinud suund sotsioloogias, mille rajajad (A. Zipf, E. Dodd jt) uskusid, et sotsioloog, teooriad jõuavad tasemele ... ... Sotsioloogia entsüklopeedia

Hoonete ja rajatiste matemaatiline mudel- Hoonete ja rajatiste matemaatiline (arvuti)mudel - hoonete ja rajatiste kujutamine lõplike elementide diagrammina numbriliste arvutuste tegemiseks projekteerimisel, ehitamisel ja ... ... Ehitusmaterjalide terminite, definitsioonide ja selgituste entsüklopeedia

Raamatud

Matemaatika entsüklopeedia (5 raamatust koosnev komplekt). Matemaatikaentsüklopeedia on mugav teatmik kõigi matemaatika valdkondade jaoks. Entsüklopeedia aluseks on artiklid matemaatika olulisemate valdkondade kohta. Asukoha põhimõte...

Matemaatikaentsüklopeedia on teatmeteos kõigi matemaatika harude kohta. Entsüklopeedia põhineb ülevaateartiklitel matemaatika olulisemate valdkondade kohta. Seda tüüpi artiklite põhinõue on teooria hetkeseisu ülevaate võimalik täielikkus koos esitluse maksimaalse ligipääsetavusega; need artiklid on üldiselt kättesaadavad vanemmatemaatikutele, magistrantidele ja matemaatika seotud valdkondade spetsialistidele ning teatud juhtudel ka muude teadmusvaldkondade spetsialistidele, kes rakendavad oma töös matemaatilisi meetodeid, inseneridele ja matemaatikaõpetajatele. Pakkunud lisaks keskmise suurusega artikleid üksikute spetsiifiliste matemaatikaprobleemide ja meetodite kohta; need artiklid on mõeldud kitsamale lugejaskonnale, mistõttu võib neis olev esitlus olla vähem kättesaadav. Lõpuks on veel üht tüüpi artikleid – kiirviited-definitsioonid. Entsüklopeedia viimase köite lõppu pannakse teemaregister, mis ei sisalda mitte ainult kõikide artiklite pealkirju, vaid ka palju mõisteid, mille definitsioonid antakse ära kahe esimese tüübi artiklite sees. , samuti artiklites mainitud olulisemad tulemused. Enamiku Entsüklopeedia artiklitega on kaasas iga pealkirja juures viidete loetelu koos järjekorranumbritega, mis võimaldab artiklite tekstides tsiteerida. Artiklite lõpus märgitakse (reeglina) autor või allikas, kui artikkel on juba varem avaldatud (peamiselt on need Suure Nõukogude Entsüklopeedia artiklid). Artiklites mainitud välismaiste (v.a antiikaja) teadlaste nimedele on lisatud ladina kirjapilt (kui puudub viide bibliograafiale).

Laadige alla ja lugege matemaatika entsüklopeediat, 3. köide, Vinogradov I.M., 1982

Laadige alla ja lugege matemaatika entsüklopeediat, 2. köide, Vinogradov I.M., 1979

Laadige alla ja lugege matemaatika entsüklopeediat, 1. köide, Vinogradov I.M., 1977

Algebra oli algselt matemaatika haru, mis tegeles võrrandite lahendamisega. Erinevalt geomeetriast eksisteeris algebra aksiomaatiline konstruktsioon alles 19. sajandi keskpaigas, mil tekkis põhimõtteliselt uus vaade algebra subjektile ja olemusele. Teadustöös hakati üha enam keskenduma nn algebraliste struktuuride uurimisele. Sellel oli kaks eelist. Ühelt poolt tehti selgeks valdkonnad, mille kohta kehtivad eraldi teoreemid, teisalt tekkis võimalus kasutada samu tõestusi täiesti erinevates valdkondades. Selline algebra jaotus eksisteeris kuni 20. sajandi keskpaigani ja leidis oma väljenduse selles, et ilmus kaks nimetust: "klassikaline algebra" ja "kaasaegne algebra". Viimast iseloomustab rohkem teine nimi: "abstraktne algebra". Fakt on see, et seda osa - esmakordselt matemaatikas - iseloomustas täielik abstraktsioon.

Laadige alla ja lugege Small Mathematical Encyclopedia, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika" on teatmik tõenäosusteooriast, matemaatilisest statistikast ja nende rakendustest erinevates teaduse ja tehnika valdkondades. Entsüklopeedias on kaks osa: põhiosa sisaldab küsitlusartikleid, üksikutele konkreetsetele probleemidele ja meetoditele pühendatud artikleid, lühiviiteid, mis annavad põhimõistete definitsioonid, olulisemad teoreemid ja valemid. Märkimisväärne ruum on pühendatud rakendusküsimustele - infoteooria, järjekorrateooria, usaldusväärsuse teooria, katsete planeerimine ja sellega seotud valdkonnad - füüsika, geofüüsika, geneetika, demograafia ja üksikud tehnoloogia osad. Enamiku artiklitega on kaasas seda probleemi käsitlevate olulisemate tööde bibliograafia. Artiklite pealkirjad on antud ka ingliskeelses tõlkes. Teine osa - "Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika lugeja" sisaldab nii mineviku vene entsüklopeediatele kirjutatud artikleid kui ka varem teistes teostes avaldatud entsüklopeedilisi materjale. Entsüklopeediaga on kaasas ulatuslik tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika probleeme käsitlevate ajakirjade, perioodiliste väljaannete ja jätkuväljaannete loetelu.
Entsüklopeedias sisalduv materjal on vajalik matemaatika ja teiste teaduste valdkonna üliõpilastele, magistrantidele ja teadlastele, kes kasutavad oma uurimis- ja praktilises töös tõenäosuslikke meetodeid.

Matemaatikaentsüklopeedia on teatmeteos kõigi matemaatika harude kohta. Entsüklopeedia põhineb ülevaateartiklitel matemaatika olulisemate valdkondade kohta. Seda tüüpi artiklite põhinõue on teooria hetkeseisu ülevaate võimalik täielikkus koos esitluse maksimaalse ligipääsetavusega; need artiklid on üldiselt kättesaadavad vanemmatemaatikutele, magistrantidele ja matemaatika seotud valdkondade spetsialistidele ning teatud juhtudel ka muude teadmusvaldkondade spetsialistidele, kes rakendavad oma töös matemaatilisi meetodeid, inseneridele ja matemaatikaõpetajatele. Pakkunud lisaks keskmise suurusega artikleid üksikute spetsiifiliste matemaatikaprobleemide ja meetodite kohta; need artiklid on mõeldud kitsamale lugejaskonnale, mistõttu võib neis olev esitlus olla vähem kättesaadav. Lõpuks on veel üht tüüpi artikleid – kiirviited-definitsioonid. Mõned määratlused on esitatud kahte esimest tüüpi artiklites. Enamiku Entsüklopeedia artiklitega on kaasas iga pealkirja juures viidete loetelu koos järjekorranumbritega, mis võimaldab artiklite tekstides tsiteerida. Artiklite lõpus märgitakse (reeglina) autor või allikas, kui artikkel on juba varem avaldatud (peamiselt on need Suure Nõukogude Entsüklopeedia artiklid). Artiklites mainitud välismaiste (v.a antiikaja) teadlaste nimedele on lisatud ladina kirjapilt (kui puudub viide bibliograafiale).

Entsüklopeedia artiklite paigutuse põhimõte on tähestikuline. Kui artikli pealkiri on termin, millel on sünonüüm, siis viimane on toodud põhisõna järel. Paljudel juhtudel koosnevad artiklite pealkirjad kahest või enamast sõnast. Nendel juhtudel esitatakse terminid kas kõige levinumal kujul või asetatakse esikohale tähenduse seisukohalt kõige olulisem sõna. Kui artikli pealkiri sisaldab enda nime, asetatakse see esikohale (selliste artiklite viidete loendis on reeglina termini nimetust selgitav esmane allikas). Artiklite pealkirjad on antud peamiselt ainsuses.

Entsüklopeedias on laialdaselt kasutusel linkide süsteem teistele artiklitele, kust lugeja leiab vaadeldava teema kohta lisateavet. Määratlus ei viita artikli pealkirjas esinevale terminile.

Ruumi kokkuhoiuks artiklites võetakse kasutusele entsüklopeediate puhul tavalised sõnade lühendid.

Töötas 1. köite kallal

Kirjastuse "Nõukogude entsüklopeedia" matemaatika toimetuskolleegium - V. I. BITJUTSKOV (toimetuse juhataja), M. I. VOITSEKHOVSKI (teaduslik toimetaja), Yu. A. GORBKOV (teaduslik toimetaja), A. B. IVANOV (vanemteadustoimetaja), A. IVANOVA (teaduslik vanemtoimetaja), T. Yu. POPOVA (teaduslik toimetaja), SA RUKOVA (teaduslik vanemtoimetaja), EG SOBOLEVSKAJA (toimetaja), LV Sokolova (vanemtoimetaja), L. R. KHABIB (vanemtoimetaja).

Kirjastaja: E. P. RYABOVA (kirjanduslik väljaanne). E. I. ŽAROVA, A. M. MARTÕNOV (bibliograafia). A. F. DALKOVSKAJA (transkriptsioon). N. A. FEDOROVA (värbamisosakond). 3. A. SUKHOVA (illustratsioonide väljaanne). E. I. ALEKSEEVA, N. Yu. Kruzhalova (sõnastiku väljaanne). M. V. AKIMOVA, A. F. PROŠKO (korrektor). G. V. SMIRNOVA (tehniline väljaanne).

Kaane autor kunstnik R. I. MALANICHEV.

Lisainfo 1. köite kohta

Kirjastus "Nõukogude entsüklopeedia"

Entsüklopeediasõnastikud teatmeteosed

Kirjastuse teadus- ja toimetuskolleegium

A. M. PROHHOROV (esimees), I. V. ABAŠIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEXANDROV, V. A. AMBARTZUMJAN, I. I. ARTOBOLEVSKKI, A. V. ARTSIKHOVSKI, M. S. ASIMOV, parlamendiliige Yu. , BE Bykhovsky, V. Kh. Vasilenko, L. M. VOLODARSKY, V. V. VOLSKY, B. M. VUL, B. G. GAFUROV, S. R. GERSHBERG, M. S. GILYAROV, V. P. GLUŠKO, V. M. GLUŠKO, V. M. GLUŠKOLIKVOV, G., Deeput ), VP JELUTIN, VS EMELJANOV, EM ŽUKOV, AA IMŠENETSKI, NN INOZEMTSEV, M. I. KABACHNIK, S. V. KALESNIK, G. A. KARAVAJEV, K. K. KARAKEIJEV, M. K. K. KARATAJEV, L. K. KARATAJEV, L. G. I. S. V. KEDROVIN,.. KOVALEV (esimene aseesimees), FV KONSTANTINOV, VN KUDRYAVTSEV, MI KUZNETSOV (aseesimees), BV KUKARKIN, VG KULIKOV, I. A. KUTUZOV, PP LOBANOV, GM LOZA, Yu. E. MAKSAREV, PAKK MARVI MAKSAREV Yu. Yu. MATULIS, GI NAAN, GD OBICHKIN, B. E. PATON, V. M. POLEVO Y, M. A. Prokofjev, Y. V. Prohhorov, N. F. Rostovtsev, A. M. Rumjantsevi, B. A. Rõbakov, V. P. SAMSONi, M. I. SLADKOVSKY, V. I. Smirnov DN Solovyev (aseesimees), VG SOLODOVNIKOV, VN Stoletovit, BI STUKALIN, AA Surkov, ML TERENT'EV, SA TOKAREV, VA TRAPEZNIKOV, E. K. FEDOROV, M. B. HRAPTŠENKO, E. I. TŠASOV, V. N. TŠERNIGOVSKI, J. E. ŠMUŠKIS, S. I. JUTKEVITŠ. L. V. KIRILLOVA, nõukogu sekretär.

Moskva 1977

Matemaatika entsüklopeedia. 1. köide (A–D)

Peatoimetaja I. M. VINOGRADOV

Toimetuse meeskond

S. I. ADJAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITJUTSKOV (peatoimetaja asetäitja), A. V. BITSADZE, L. N. BOLŠEV, A. A. GONCHAR, N. V EFEF, VA ILJIN, AA KEVARDAVNIŠŠARDJA MIŠTŠENKO, SP NOVIKOV, EG POZNYAK, Yu.V. PROHHOROV (peatoimetaja asetäitja), A. G. SVEŠNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULJANOV, A. I. ŠIRŠOV, S. V. JABLONSKI

Matemaatiline entsüklopeedia. Ed. kolleegium: I. M. Vinogradov (peatükk. toim.) [ja teised] T. 1 - M., " Nõukogude entsüklopeedia", 1977

(Entsüklopeediad. Sõnaraamatud. Teatmeteosed), 1. kd. A - G. 1977. 1152 jne. jooniselt fig.

Renditud komplektis 9. 06. 1976. Allkirjastatud trükkimiseks 18. 02. 1977. Teksti trükkimine Esimeses Näidistrükikojas valmistatud maatriksitest. A. A. Ždanova. Tööpunalipu ordeni kirjastus "Nõukogude entsüklopeedia". 109817. Moskva, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Tiraaž 150 000 eksemplari. Tellimus nr 418. Tüpograafiline paber nr 1. Paberi suurus 84xl08 1/14. Köide 36 füüsiline. n. l. ; 60, 48 konv. n. l. tekst. 101, 82 lk. - toim. l. Raamatu hind on 7 rubla. 10 r.

Tööpunalipu korraldus Moskva Trükikoda nr 1 "Sojuzpoligrafprom" NSV Liidu Ministrite Nõukogu Kirjastus-, Trüki- ja Raamatukaubanduse Riikliku Komitee juures, Moskva, I - 85, Prospekt Mira, 105. Käskkiri nr. 865.