Crafts

Vrste problema teorije elastičnosti. Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti. Vrste problema u teoriji elastičnosti Šta je predmet proučavanja klasične teorije elastičnosti

Ruski državni univerzitet

nafta i gas po imenu. I.M.Gubkina

Katedra za tehničku mehaniku

SAŽETAK

"teorija elastičnosti"

Završio: Polyakov A. A.

Provjerio: Evdokimov A.P.

Moskva 2011

teorija jednadžbe elastičnosti

1. Uvod

Teorija naponsko-deformacijskog stanja u tački tijela

2.1 Teorija naprezanja

2 Teorija deformacije

3 Odnos između napona i deformacije za elastična tijela

Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti. Vrste problema u teoriji elastičnosti

1 Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti

2 Vrste problema u teoriji elastičnosti

4 Jednadžbe teorije elastičnosti u pomacima (Lameove jednadžbe)

Varijacijski principi teorije elastičnosti

1 Princip mogućih kretanja (Lagrangeov princip)

2 Princip mogućih stanja (Castillanov princip)

3 Odnos između tačnog rješenja i rješenja dobivenih na osnovu Lagrangeovih i Castiglianoovih principa

Spisak korišćene literature

1. Uvod

Teoriju naprezanja i deformacije kreirao je O. Cauchy. Oni su izloženi u radu predstavljenom Pariškoj akademiji nauka 1822. sažetak koji je objavljen 1823. i niz narednih članaka. O. Cauchy je izveo tri jednadžbe ravnoteže za elementarni tetraedar, dokazao zakon uparivanja tangencijalnih napona, uveo koncepte glavnih osa i glavnih napona i izveo diferencijalne jednadžbe ravnoteže (obično se ne pokazuju u toku otpora materijala). Uveo je i površinu normalnih naprezanja (Cauchyjev kvadrik), na kojoj se nalaze krajevi vektora radijusa, čiji se pravci poklapaju sa smjerom normala na površine, a vrijednost je obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu od apsolutnu vrijednost normalnog naprezanja u ovoj oblasti, a dokazano je da je ta površina površina drugog reda sa središtem u početku. Mogućnost transformacije površine normalnih napona u glavne ose ukazuje na postojanje u svakoj tački tri međusobno glavne okomite površine.

Sličnu površinu tangencijalnih napona uveo je ruski mehaničar G.V. Kolosov 1933

Geometrijsko tumačenje stanja naprezanja u prostoru u obliku elipsoida naprezanja dali su G. Lame i B. Clapeyron u svojim memoarima dostavljenim Pariškoj akademiji nauka 1828. i objavljeni 1833. godine.

Geometrijski prikaz stanja napona na ravni za jednu seriju površina koje prolaze kroz glavnu osu u obliku naponskog kruga predložio je K. Kuhlmann u svojoj knjizi 1866. godine.

Za opšti slučaj stresnog stanja, to je vrlo jasno geometrijska interpretacija to je na ravni dao O. Mohr (tzv. Mohrov kružni dijagram) 1882. Iz njega se može izvući niz važnih zaključaka o ekstremnosti glavnih naprezanja, položaju područja u kojima je tangencijalna naponi su maksimalni, a veličine ovih maksimalnih tangencijalnih napona.

O. Cauchy je dao definiciju deformacija, izveo njihovu ovisnost o pomacima u konkretnom slučaju malih deformacija (te ovisnosti se po pravilu ne izvode u toku čvrstoće materijala), definirao pojmove glavnih napona i glavnih deformacija , i dobivene su ovisnosti komponenti napona o komponentama deformacije, kao za izotropno i anizotropno elastično tijelo. U čvrstoći materijala obično se utvrđuju ovisnosti komponenti deformacije o komponentama naprezanja za izotropno tijelo. Nazivaju se Hookeovim generalizovanim zakonom, iako je, naravno, ovaj naziv uslovan, jer R. Hooke nije poznavao koncept napetosti.

U ove zavisnosti, Cauchy je prvo uveo dve konstante i zapisao zavisnosti napona od deformacije u obliku

m, ,

Međutim, kasnije je O. Cauchy prihvatio koncept L. Naviera. Prema njemu, elastična tijela se sastoje od molekula, između kojih, kada se deformiraju, nastaju sile koje djeluju u smjerovima pravih linija koje spajaju molekule i proporcionalne su promjeni udaljenosti između molekula. Tada je broj elastičnih konstanti za opći slučaj anizotropnog tijela 15, a za izotropno tijelo dobijamo jednu elastičnu konstantu. Ove hipoteze su se držali S. Poisson, a u početku G. Lamé i B. Clapeyron. Na osnovu toga, Poisson je ustanovio da je koeficijent poprečne deformacije 1/4.

D. Green je 1839. godine izveo odnos između deformacija i naprezanja bez upotrebe hipoteze o molekularnoj strukturi elastičnih tijela. Dobio ih je na osnovu principa očuvanja energije, uvodeći pojam elastičnog potencijala, i pokazao da je pri korištenju linearnih ovisnosti šest komponenti deformacije na šest komponenti naprezanja, od 36 koeficijenata 21 nezavisan, tj. u opštem slučaju anizotropno tijelo, broj elastičnih konstanti je 21. Za izotropno tijelo, broj elastičnih konstanti je smanjen na dvije. Teorija u kojoj je broj elastičnih konstanti za anizotropno tijelo jednak 15, a za izotropno tijelo 1, ponekad se naziva "rarikonstantna" ili "unikonstantna", a teorija u kojoj je broj elastičnih konstanti za anizotropno tijelo je jednako 21, a za izotropno tijelo 2 - “multikonstantno” .

Spor između pristalica ovih teorija potaknuo je fizičare da sprovedu eksperimentalna istraživanja.

G. Wertheim je na osnovu mjerenja unutrašnjih zapremina staklenih i metalnih cijevi pod aksijalnim zatezanjem 1848. ustanovio da koeficijent poprečne deformacije nije jednak 1/4. Smatrao je da se razlikuje za različite materijale, ali za mnoge materijale blizu 1/3.

I JA. Kupfer je, ispitujući metalne šipke na napetost i torziju 1853. godine, također otkrio da omjer modula smicanja i zatezanja ne odgovara vrijednosti poprečne deformacije, jednakoj 1/4.

Godine 1855. F. Neumann je testirao uzorke pravokutnog poprečnog presjeka na savijanje i mjerio uglove rotacije dvije strane grede (poprečni presjek ima oblik trapeza). Kao rezultat toga, pokazao je da koeficijent poprečne deformacije nije jednak 1/4. G. Kirchhoff, učenik F. Neumanna, došao je do istog zaključka na osnovu ispitivanja izvedenih 1859. kombinovanog savijanja i torzije okruglih mjedenih šipki, ugrađenih na jednom kraju, a opterećenih na drugom koncentriranom silom, mjerenjem ugao uvijanja štapa i ugao rotacije sekcije.

Veliko eksperimentalno istraživanje koeficijenata poprečne deformacije za različite vrste čelika proveo je jedan od učenika G. Kirchhoffa M.F. Okatov 1865-1866 Rezultati su prikazani u njegovoj doktorskoj disertaciji. Ispitivanja torzije i savijanja tankih prizmi isečenih iz monokristala, kao i ispitivanja kompresibilnosti kristala pod ravnomernom kompresijom, proveo je W. Voigt i opisao ih u svojim brojnim člancima, kasnije sastavljenim u. knjiga objavljena 1910. godine. Oni su potvrdili ispravnost teorije o više konstanti.

Detaljnu studiju matematičke strukture Hookeovog zakona za anizotropna tijela sproveo je mehaničar i inženjer Jan Rychlewski 1984. na osnovu koncepta elastičnog stanja koji je uveo. Posebno je pokazao da 21 elastična konstanta predstavlja šest pravih modula krutosti, 12 razdjelnika krutosti i tri ugla.

2. Teorija naponsko-deformacijskog stanja u tački tijela

1 Teorija naprezanja

Faktori unutrašnje sile koji nastaju pri opterećenju elastičnog tijela karakteriziraju stanje određenog presjeka tijela, ali ne daju odgovor na pitanje koja je točka poprečnog presjeka najopterećenija ili, kako kažu, opasna tačka. Stoga je potrebno u razmatranje uvesti neku dodatnu veličinu koja karakteriše stanje tela u datoj tački.

Ako je tijelo na koje se primjenjuju vanjske sile u ravnoteži, tada u bilo kojem njegovom dijelu nastaju sile unutrašnjeg otpora. Označimo unutrašnjom silom koja djeluje na elementarnu površinu , a normalu na ovo područje tada veličinom

naziva se ukupni napon.

U općem slučaju, ukupni napon se ne poklapa u smjeru s normalom na elementarnu površinu, pa je pogodnije raditi s njegovim komponentama duž koordinatnih osa -

Ako se vanjska normala poklapa s bilo kojom koordinatnom osom, na primjer, s osom X, tada će komponente naprezanja poprimiti oblik: komponenta se ispostavi da je okomita na presjek i naziva se normalnim naprezanjem, a komponente će ležati u presječnu ravninu i nazivaju se tangencijalna naprezanja.

Za lakše razlikovanje normalnih i tangencijalnih napona obično se koriste druge oznake: - normalno naprezanje, - tangencijalno naprezanje.

Odaberimo od tijela pod djelovanjem vanjskih sila beskonačno mali paralelepiped čiji su rubovi paralelni koordinatnim ravnima, a ivice imaju dužinu . Na svakoj strani takvog elementarnog paralelepipeda nalaze se tri komponente napona paralelne s koordinatnim osa. Ukupno na šest strana dobijamo 18 komponenti naprezanja.

Normalni naponi se označavaju u obliku , pri čemu indeks označava normalu na odgovarajuće lice (tj. može poprimiti vrijednosti). Tangencijalni naponi imaju oblik ; ovdje prvi indeks odgovara normali na površinu na koju djeluje ovo posmično naprezanje, a drugi označava os paralelnu na koju je usmjeren ovaj napon (slika 1).

Fig.1. Normalna i posmična naprezanja

Za ove napone usvojeno je sljedeće pravilo predznaka. Normalni napon se smatra pozitivnim u napetosti, ili, što je isto, kada se poklapa sa smjerom vanjske normale na područje na koje djeluje. Posmični napon se smatra pozitivnim ako je na površini čija se normala poklapa sa smjerom koordinatne ose koja je paralelna s njom usmjeren prema pozitivnoj koordinatnoj osi koja odgovara ovom naprezanju.

Komponente naprezanja su funkcije tri koordinate. Na primjer, može se označiti normalni napon u tački s koordinatama

U tački koja je na beskonačno maloj udaljenosti od tačke koja se razmatra, napon se može proširiti u Taylorov niz s preciznošću do infinitezimima prvog reda:

Za područja koja su paralelna s ravninom, mijenja se samo x koordinata, a priraštaji. Dakle, na površini paralelepipeda koja se poklapa s ravninom, normalni napon će biti , a na paralelnoj strani, koja se nalazi na beskonačno maloj udaljenosti, - Naprezanja na preostalim paralelnim stranama paralelepipeda povezana su na sličan način. Dakle, od 18 naponskih komponenti, samo devet je nepoznato.

U teoriji elastičnosti dokazan je zakon uparivanja tangencijalnih napona, prema kojem su, na dvije međusobno okomite površine, komponente tangencijalnih napona okomitih na liniju presjeka ovih površina međusobno jednake:

Jednakosti (2) dovode do činjenice da od devet komponenti stresa koje karakteriziraju stresno stanje u nekoj tački na tijelu, ostaje samo šest:

Može se pokazati da stres (3) ne samo da karakterizira napregnuto stanje tijela u datoj tački, već ga i jednoznačno definira. Kombinacija ovih napona formira simetričnu matricu, koja se naziva tenzor naprezanja:

(4)

Kada se tenzor pomnoži sa skalarnom veličinom, dobija se novi tenzor, čije su sve komponente puta veće od komponenti originalnog tenzora.

2 Teorija deformacije

Pod utjecajem vanjskih opterećenja, elastično tijelo mijenja svoj oblik i deformira se. U ovom slučaju, tačke tijela zauzimaju neki novi položaj. Da bismo odredili deformaciju elastičnog tijela, uspoređujemo položaje tačaka tijela prije i nakon primjene opterećenja.

Razmotrimo tačku neopterećenog tijela i njegov novi položaj nakon primjene opterećenja. Vektor se naziva vektor pomaka tačke (slika 2).

Fig.2. Vektor kretanja tačke

Moguća su dva tipa kretanja: kretanje cijelog tijela kao jedinstvene cjeline bez deformacija - takve kretnje proučava teorijska mehanika kao što su kretanja apsolutno krutog tijela, i kretanje povezano s deformacijom tijela - takva kretanja proučava teorija elastičnosti.

Označimo projekcije vektora pomaka tačke na koordinatne ose sa, respektivno. One su jednake razlici između odgovarajućih koordinata tačaka i:

i funkcije su koordinata:

Deformacija tijela je uzrokovana razlikama u kretanju njegovih različitih tačaka. Infinitezimalni paralelepiped s rubovima isječenim od elastičnog tijela u blizini proizvoljne točke, zbog različitih pomicanja njegovih točaka, deformiše se na način da se mijenja dužina njegovih rubova i iskrivljuju se prvobitni pravi kutovi između strana.

Na slici 3.3 prikazane su dvije ivice ovog paralelepipeda: i dužina ivice je jednaka i dužina ivice je

Nakon deformacije, tačke zauzimaju položaj. U ovom slučaju, tačka će dobiti pomak, čije su komponente u ravni crtanja jednake, a tačka koja se nalazi na beskonačno maloj udaljenosti od tačke će dobiti pomak, komponente od tačke. koji će se razlikovati od komponenti pomaka tačke za beskonačno mali iznos zbog promjene koordinata

Fig.3. Linearne i ugaone deformacije

Komponente kretanja tačke će se razlikovati od komponenti kretanja tačke za beskonačno mali iznos zbog promene koordinata

Dužina projekcije rebra na osu nakon deformacije:

Projekcija apsolutnog izduženja rebra na osu

Relativno izduženje duž ose

(6)

naziva se linearna deformacija u smjeru ose.

Linearne deformacije duž pravca osi i

(7)

Razmotrimo promjenu uglova između ivica paralelepipeda (slika 3). Tangenta ugla rotacije ivice u ravni

Zbog malenosti deformacija a, linearna deformacija se može zanemariti zbog njene malenosti u odnosu na jedinicu, a zatim

Na sličan način možete odrediti kut rotacije ruba u istoj ravnini:

Izobličenje pravog ugla naziva se ugaona deformacija i definiše se kao zbir uglova rotacije rebara i:

(8)

Na isti način se ugaone deformacije određuju u dvije druge koordinatne ravni:

(9)

Formule (6)-(9) daju šest glavnih ovisnosti za linearne i kutne deformacije o komponentama pomaka. Ove zavisnosti se nazivaju Cauchyjeve jednačine:

(10)

U granici, kada dužine ivica paralelepipeda teže nuli, Cauchy relacije određuju linearne i ugaone deformacije u blizini tačke

Pozitivne linearne deformacije odgovaraju izduženjima, a negativne linearne deformacije skraćenjima. Kut pomaka se smatra pozitivnim kada se kut između pozitivnih smjerova odgovarajućih koordinatnih osa smanjuje, a negativnim u suprotnom.

Slično tenzoru naprezanja, deformirano stanje tijela u datoj tački opisuje se tenzorom deformacije

(11)

Kao i tenzor napona, tenzor deformacija je simetrična matrica koja sadrži devet komponenti, od kojih je šest različitih.

2.3 Odnos između napona i deformacije za elastična tijela

Odnosi između stresa i naprezanja su fizičke prirode. Ograničavajući se na male deformacije, odnos između naprezanja i deformacije može se smatrati linearnim.

Prilikom testiranja šipke na napetost (oko mehanička ispitivanja materijali će biti detaljno razmotreni u sljedećem odjeljku), uspostavljen je proporcionalni odnos između normalnog naprezanja i linearnog naprezanja u jednom smjeru, koji se naziva Hookeov zakon:

gdje se elastična konstanta naziva longitudinalni modul elastičnosti.

Koristeći istu eksperimentalnu metodu, uspostavljena je veza između linearnih deformacija u uzdužnom i poprečnom smjeru:

gdje je linearna deformacija u poprečnom smjeru, je druga elastična konstanta, nazvana Poissonov omjer.

U mehaničkim ispitivanjima čistog smicanja, uspostavljena je direktno proporcionalna veza između posmičnog naprezanja i kutne deformacije u ravni djelovanja ovog naprezanja, što je nazvano Hookeov zakon u posmiku:

gdje je količina treća elastična konstanta i naziva se modul smicanja. Međutim, ova elastična konstanta nije nezavisna, jer vezano za prve dvije zavisnosti

Da bismo utvrdili odnos između deformacija i napona, iz tijela biramo infinitezimalni paralelepiped (slika 1) i razmatramo djelovanje samo normalnih napona Razlika u naponima na suprotnim stranama paralelepipeda može se zanemariti, jer dovodi do deformacija višeg reda male veličine.

Odredimo izduženje rebra paralelno naprezanju Pod dejstvom ovog napona, prema Hookeovom zakonu (3.12), doći će do relativnog izduženja rebra.

Naprezanje uzrokuje slično izduženje u smjeru okomitom na rebro

a u pravcu ivice - skraćivanje, što prema (13) jeste

ili, uzimajući u obzir izraz deformacije

Slično se određuje i relativno skraćivanje rebra pod dejstvom naprezanja

Na osnovu principa neovisnosti djelovanja sila, ukupno relativno izduženje rebra može se odrediti kao zbir izduženja uslijed djelovanja svakog naprezanja:

Slično, linearne deformacije se mogu odrediti u smjerovima druge dvije ose:

U skladu s Hookeovim zakonom u posmiku (14), odnos između ugaonih deformacija i posmičnih napona može se predstaviti nezavisno za svaku od tri ravnine paralelne sa koordinatnim ravnima:

Tako je dobiveno šest formula koje izražavaju linearni odnos između komponenti deformacije i naprezanja u izotropnom elastičnom tijelu i nazivaju se generaliziranim Hookeovim zakonom:

(16)

3. Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti. Vrste problema u teoriji elastičnosti

Osnovni zadatak teorije elastičnosti je da se odredi naponsko-deformaciono stanje prema datim uslovima opterećenja i pričvršćivanja tela.

Naponsko-deformacijsko stanje se određuje ako se pronađu komponente tenzora naprezanja i vektora pomaka, devet funkcija.

3.1 Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti

Da biste pronašli ovih devet funkcija, potrebno je da zapišete osnovne jednadžbe teorije elastičnosti, odnosno:

Differential Cauchies

(17)

gdje su komponente tenzora linearnog dijela Cauchyjeve deformacije;

komponente tenzora derivacije pomaka duž poluprečnika.

Jednačine diferencijalne ravnoteže

gdje su komponente tenzora napona; - projekcija tjelesne sile na osu j.

Hookeov zakon za linearno elastično izotropno tijelo

gdje su Lameove konstante; za izotropno tijelo. Ovdje su normalna i posmična naprezanja; deformacije i uglovi smicanja, respektivno.

Gore navedene jednačine moraju zadovoljiti Saint-Venantove zavisnosti

U teoriji elastičnosti, problem je riješen ako su zadovoljene sve osnovne jednadžbe.

2 Vrste problema u teoriji elastičnosti

Granični uslovi na površini tijela moraju biti zadovoljeni i, ovisno o vrsti graničnih uvjeta, razlikuju se tri tipa problema u teoriji elastičnosti.

Prvi tip. Sile su date na površini tijela. Granični uslovi

Drugi tip. Problemi kod kojih je pomak specificiran na površini tijela. Granični uslovi

Treći tip. Mješoviti problemi teorije elastičnosti. Sile su specificirane na dijelu površine tijela, a pomaci su specificirani na dijelu površine tijela. Granični uslovi

Problemi u kojima su sile ili pomaci specificirani na površini tijela, a potrebno je pronaći naponsko-deformacijsko stanje unutar tijela i ono što nije specificirano na površini, nazivaju se direktnim problemima. Ako su unutar tijela specificirani naponi, deformacije, pomaci itd., a potrebno je utvrditi šta nije navedeno unutar tijela, kao i pomake i naprezanja na površini tijela (odnosno pronaći razloge koji su uzrokovali naponsko-deformacijsko stanje)), onda se takvi problemi nazivaju inverznim.

4 Jednadžbe teorije elastičnosti u pomacima (Lameove jednadžbe)

Za određivanje jednadžbi teorije elastičnosti u pomacima pišemo: jednadžbe diferencijalne ravnoteže (18) Hookeov zakon za linearno elastično izotropno tijelo (19)

Ako uzmemo u obzir da se deformacije izražavaju kroz pomake (17), pišemo:

Također treba podsjetiti da je ugao smicanja povezan s pomacima sljedećim odnosom (17):

(23)

Zamjenom izraza (22) u prvu jednačinu jednakosti (19) dobijamo da normalni naponi

(24)

Imajte na umu da pisanje itz u ovom slučaju ne podrazumijeva zbrajanje preko i.

Zamjenom izraza (23) u drugu jednačinu jednakosti (19) dobivamo da su posmični naponi

(25)

Zapišimo jednadžbe ravnoteže (18) u proširenom obliku za j = 1

(26)

Zamjenom izraza za normalna (24) i tangencijalna (25) naprezanja u jednačinu (26) dobijamo

gdje je λ Lameova konstanta, koja je određena izrazom:

Zamijenimo izraz (28) u jednačinu (27) i zapišemo,

gdje je određena izrazom (22), ili u proširenom obliku

Podijelimo izraz (29) sa G i dodajmo slične članove i dobijemo prvu Lameovu jednačinu:

(30)

gdje je Laplaceov operator (harmonični operator), koji je definiran kao

(31)

Slično možete dobiti:

(32)

Jednačine (30) i (32) se mogu napisati na sljedeći način:

(33)

Jednačine (33) ili (30) i (32) su Lameove jednačine. Ako su zapreminske sile nula ili konstantne, onda

(34)

Štaviše, notacija u ovom slučaju ne podrazumijeva sumiranje preko i. Evo

Može se pokazati da takav prikaz pomaka kroz harmonijsku funkciju pretvara Lameovu jednačinu (33) u identičnost. Često se nazivaju uslovima Popkovich-Grodsky. Četiri harmonijske funkcije nisu potrebne, jer se φ0 može postaviti na nulu.

4. Varijacijski principi teorije elastičnosti.

1 Princip mogućih kretanja (Lagrangeov princip)

Lagrangeov princip. Za tijelo u ravnoteži, rad vanjskih i unutrašnjih sila na svim mogućim beskonačno malim prirastima pomaka je nula.

Koristeći Clapeyronovu teoremu, koja za elastično deformirano tijelo mijenjanjem pomaka, dobijamo Lagrangeov princip

U mehanici deformabilnih tijela moguća kretanja su ona koja zadovoljavaju vanjska i unutrašnja ograničenja nametnuta tijelu.

Spoljašnje veze su uvjeti pričvršćivanja, unutrašnje veze su uvjet kontinuiteta.

Da bi se zadovoljile unutrašnje veze, potrebno je da inkrementi pomaka budu kontinuirane jednovrijedne funkcije koordinata.

U ovom obliku, Lagrangeov princip vrijedi za sva deformabilna tijela.

Za elastična tijela utvrđeno je da

(41)

Tada će (40), uzimajući u obzir (41), biti zapisano kao

(42)

gdje je W specifična deformacija, i

Ovdje je U varijacija ukupne potencijalne energije tijela.

Zamijenimo izraz (43) u (42), a pošto se sile ne mijenjaju, zapišemo da

(44)

Jednačina (44) je Lagrangeova varijaciona jednačina.

Ako su sile konzervativne, tada prva dva integrala predstavljaju promjenu potencijala vanjskih sila pri prelasku iz nedeformiranog stanja u deformirano.

Potencijal vanjskih sila

(45)

gdje - mogući rad vanjskih sila pri prelasku iz nedeformisanog u deformirano stanje izračunava se pod pretpostavkom da vanjske sile ostaju nepromijenjene. Ukupna energija sistema

Tada će se, uzimajući u obzir izraze (44) - (46), napisati Lagrangeov princip:

odnosno, varijacija ukupne energije sistema u ravnotežnom položaju na moguće pomake je nula. Izraz (47) je Lagrangeova varijaciona jednadžba u slučaju djelovanja samo konzervativnih sila.

U stabilnom ravnotežnom položaju, ukupna energija P je minimalna,

Lagrangeov princip je princip minimalne energije.

2 Princip mogućih stanja (Castillanov princip)

Mogućim ćemo stanjima nazvati ona koja su u skladu sa vanjskim i unutrašnjim silama, odnosno ona koja zadovoljavaju jednačine ravnoteže.

Jednačina (57) piše Castiglianov princip. Kod mogućih promjena u napregnutom stanju tijela, varijacija je jednaka integralu po onom dijelu površine tijela na kojem su specificirani pomaci od proizvoda mogućih površinskih sila i pomaka.

3 Odnos između tačnog rješenja i rješenja dobivenih na osnovu Lagrangeovih i Castiglianoovih principa

Na osnovu Lagrangeovog principa, odabirom neke funkcije, ili skupa istih, a pošto je skup funkcija ograničen, dobijamo manji broj stepeni slobode sistema, čime se umanjuju stepeni slobode dizajna. Odnosno, u energetskom smislu rješenje se ispostavlja težim od egzaktnog.

Ako uzmemo integralne karakteristike, onda je približno rješenje rigidnije integralno.

Prilikom rješavanja problema opterećenja jednostavno oslonjene grede poprečnom silom u sredini raspona (slika 1), približno rješenje će dati manji pomak pod silom nego kod egzaktnog rješenja.

tačno rešenje

Prilikom rješavanja istog problema primjenom Castiglianovog varijacionog principa, pošto uslov kontinuiteta nije zadovoljen, sistem dobija veću slobodu nego u stvarnosti.

Tačno rješenje leži između ove dvije približne metode (Lagrange i Castigliano). Ponekad je razlika između dobijenih rješenja mala.

5. Spisak korišćene literature

1. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Osnove teorije elastičnosti i plastičnosti. 400 str. Viša škola 1990.

2. Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti Dio I. Metodički priručnik za predmet “Osnove teorije elastičnosti i plastičnosti”. 2005.-37s.

Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti Deo II. Odnos napregnutih i deformiranih stanja Metodološki priručnik za predmet „Osnove teorije elastičnosti i plastičnosti“, 2005.-53 str.

Veretimus D.K. Osnove teorije elastičnosti. Osnovne jednačine teorije elastičnosti.

Kod tijela koja miruju ili se kreću pod utjecajem opterećenja.

1. Problem teorije elastičnosti

Zadatak ove teorije je da zapiše matematičke jednadžbe čije nam rješenje omogućava da odgovorimo na sljedeća pitanja:

Kolike će biti deformacije određenog tijela ako se na njega primijeni opterećenje određene veličine na poznatim tačkama opterećenja?
Kakva će biti napetost u tijelu?

Pitanje da li će se tijelo srušiti ili izdržati ova opterećenja usko je povezano s teorijom elastičnosti, ali, strogo govoreći, nije u njenoj nadležnosti.

Postoji mnogo primjera koji se mogu dati - od određivanja deformacija i naprezanja u opterećenoj gredi na nosačima, do izračunavanja istih parametara u tijelu aviona, rakete, podmornice, u točku vagona, u oklopu tenk kada ga pogodi projektil, u planinskom lancu prilikom postavljanja aditiva, u okviru višespratnice i tako dalje.

Za slučaj inženjerskih problema, naprezanje i deformacije u konstrukcijama se izračunavaju korištenjem pojednostavljenih teorija, logično zasnovanih na teoriji elastičnosti. Takve teorije uključuju: čvrstoća materijala, čiji je zadatak proračunati šipke i grede, kao i procijeniti naprezanja koja nastaju u zonama kontaktne interakcije čvrste materije; strukturna mehanika- proračun osnovnih sistema (na primjer, mostova), i teorija ljuske- samostalna i dobro razvijena grana nauke o deformaciji i naprezanju, čiji su predmet istraživanja ljuske tankih stijenki - cilindrične, konične, sferne i složenih oblika.

2. Osnovni pojmovi teorije elastičnosti

Osnovni koncepti teorije elastičnosti su naprezanje koje djeluje na male ravnine, koje se u tijelu može mentalno povući kroz datu tačku P, deformacije malog susjedstva tačke P i pomicanje same tačke P Uvedeni su tenzor, tenzor malih deformacija i vektor pomaka u i. Kratka notacija, Gdje su indeksi i, j uzeti vrijednosti 1, 2, 3 (ili x, y, z) treba shvatiti kao matricu u obliku:

Slično treba shvatiti i kratku notaciju za tenzor.

Ako je fizička tačka tijela M, zbog deformacije, zauzela novi položaj u prostoru P", tada je vektor pomaka vektor sa komponentama (u x, u y, u z), ili, ukratko, u i. U teoriji malih deformacija komponente u i i smatraju se malim količinama (strogo govoreći, beskonačno malim). Komponente tenzora, koji se također naziva tenzor deformacije Cauchy ili linearni tenzor deformacija i vektor u i povezane ovisnostima:

Iz posljednjeg unosa je jasno da je , Dakle, tenzor deformacije je simetričan po definiciji.

Ako je elastično tijelo u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila (tj. brzine svih njegovih tačaka jednake su nuli), tada je u ravnoteži i bilo koji dio tijela koji se može mentalno izolirati od njega. Iz tijela se izdvaja beskonačno mali pravougaoni paralelepiped čije su ivice paralelne sa koordinatnim ravnima Dekartovog sistema. Iz uslova ravnoteže paralelepipeda sa dimenzijama ivica dx, dy, dz, Uzimajući u obzir uslove za ravnotežu sila u projekcijama, možemo dobiti:

Slično, dobijaju se jednadžbe ravnoteže koje izražavaju jednakost sa nulom glavnog momenta svih sila koje djeluju na paralelepiped, svedenih na oblik:

Ova jednakost znači da je tenzor napona simetričan tenzor i da je broj nepoznatih komponenti tenzora napona smanjen na 6. Postoje samo tri jednadžbe ravnoteže, tj. jednadžbe statike nisu dovoljne za rješavanje problema. Rješenje je izraziti naprezanja u obliku deformacija koristeći jednadžbe Hookeovog zakona, a zatim izraziti naprezanja u terminima pomaka u i koristeći Cauchyjeve formule, i zamijeniti rezultat u jednadžbu ravnoteže. Ovo proizvodi tri jednadžbe diferencijalne ravnoteže za tri nepoznate funkcije u x u y u z, one. broj nepoznatih će odgovarati broju jednačina. Ove jednačine se nazivaju Navier-Cauchyjeve jednačine.

3. Granični uslovi

Rješavanje problema u teoriji elastičnosti svodi se na integraciju sistema parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje određuju ponašanje elastičnog tijela u unutrašnjim tačkama. Ovim jednačinama dodaju se uvjeti na površini koja ograničava tijelo. Ovi uvjeti određuju dodjelu ili vanjskih površinskih sila ili pomaka tačaka na površini tijela. U zavisnosti od toga, obično se formuliše jedan od tri tipa graničnih problema.

Prvi granični problem- kinematička. Komponente pomaka nalaze se u volumenu tijela i poprimaju određene vrijednosti na površini. U stanju na površini tijela na ovaj način se specificiraju jednadžbe površine i vrijednosti komponenti pomaka na njoj.

Drugi granični problem- statički. U ovom slučaju na površini tijela nisu nametnuta ograničenja kretanja i jednadžbe površine, kosinus smjera normale na površinu i vrijednosti komponenti površinskih opterećenja su specificirane.

U slučaju kada se površina tijela poklapa sa koordinatnim ravnima, granični uvjeti se mogu formulirati direktno u naponima. Tada je dovoljno naznačiti jednadžbu površine i postaviti vrijednosti komponenti naprezanja na njoj.

Treći granični problem- mješovito. U ovom slučaju na jednom dijelu površine tijela postavljaju se kinematski uvjeti, a na drugom statički uvjeti.

Ova tri zadatka ne iscrpljuju raznolikost graničnih uslova. Na primjer, na određenoj površini ne mogu biti specificirane sve tri komponente pomaka ili komponente površinskog opterećenja.

4. Vidi također

Izvori

Timošenko S. P., Goodyear J. Teorija elastičnosti. M.: Nauka, 1979. 560 str.

TEORIJA ELASTIČNOSTI– grana mehanike kontinuuma koja proučava pomake, deformacije i naprezanja tijela u mirovanju ili kretanju pod utjecajem opterećenja. Svrha ove teorije je da izvede matematičke jednadžbe čije nam rješenje omogućava da odgovorimo na sljedeća pitanja: kolike će biti deformacije ovog konkretnog tijela ako se na njega na poznatim mjestima primijeni opterećenje određene veličine? Kakva će biti napetost u tijelu? Pitanje da li će se tijelo srušiti ili izdržati ova opterećenja usko je povezano s teorijom elastičnosti, ali, strogo govoreći, nije u djelokrugu ove teorije.

Broj mogućih primjera je neograničen - od određivanja deformacija i naprezanja u gredi koja leži na nosačima i opterećena silama, do izračunavanja istih vrijednosti u konstrukciji aviona, broda, podmornice, u točku kočije, u oklopu kada je pogođen projektilom, u planinskom lancu pri prolasku kroz jamu, u okviru višespratnice, itd. Ovdje se mora napraviti upozorenje: strukture koje se sastoje od elemenata tankih zidova izračunavaju se korištenjem pojednostavljenih teorija logično zasnovanih na teoriji elastičnosti; Te teorije uključuju: teoriju otpornosti materijala na opterećenja (čuveni „otpor čvrstoće“), čiji je zadatak uglavnom proračun šipki i greda; konstrukcijska mehanika – proračun štapnih sistema (na primjer, mostova); i, konačno, teorija školjki je u suštini samostalna i veoma razvijena oblast nauke o deformacijama i naponima, čiji su predmet istraživanja najvažniji konstruktivni elementi - ljuske tankog zida - cilindrične, konične, sferoidne i koje imaju složeniji oblici. Stoga se u teoriji elastičnosti obično razmatraju tijela čije se bitne dimenzije ne razlikuju previše. Dakle, razmatra se elastično tijelo datog oblika na koje djeluju poznate sile.

Osnovni koncepti teorije elastičnosti su naprezanja koja djeluju na mala područja, koja se mentalno mogu povući u tijelu kroz datu tačku. M, deformacije male okoline tačke M i pomeranje same tačke M. Tačnije, uvode se tenzori napona s ij, tenzor malih deformacija e ij i vektor pomaka u i.

Kratka oznaka s ij, gdje su indeksi i, j uzeti vrijednosti 1, 2, 3 treba shvatiti kao matricu oblika:

Slično treba shvatiti i kratku notaciju za tenzor e ij.

Ako je fizička tačka tijela M zbog deformacije zauzeo je novi položaj u prostoru M´, tada je vektor pomaka vektor sa komponentama ( u x u y u z), ili, ukratko, u i. U teoriji malih deformacija komponente u i i e i smatraju se malim količinama (strogo govoreći, beskonačno malim). Komponente tenzora e ij i vektor u ij povezani su Cauchyjevim formulama, koje imaju oblik:

Jasno je da e xy= e yx, i, općenito govoreći, e ij= e ji, tako da je tenzor deformacija simetričan po definiciji.

Ako je elastično tijelo u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila (tj. brzine svih njegovih tačaka jednake su nuli), tada je u ravnoteži i bilo koji dio tijela koji se može mentalno izolirati od njega. Iz tijela se izdvaja mali (strogo govoreći, beskonačno mali) pravougaoni paralelepiped čiji su rubovi paralelni koordinatnim ravnima Dekartovog sistema Oxyz(Sl. 1).

Neka ivice paralelepipeda imaju dužine dx, dy, dz shodno tome (ovdje, kao i obično dx postoji diferencijal x, itd.). Prema teoriji naprezanja, komponente tenzora napona djeluju na plohe paralelepipeda, koje se označavaju:

na ivici OADG:s xx, s xy, s xz

na ivici OABC:s yx, s yy, s yz

na ivici DABE:s zx, s zy, s zz

u ovom slučaju, komponente sa istim indeksima (na primjer s xx) djeluju okomito na lice, a s različitim indeksima - u ravnini mjesta.

Na suprotnim stranama vrijednosti istih komponenti tenzora naprezanja malo se razlikuju, to je zbog činjenice da su funkcije koordinata i da se mijenjaju od tačke do tačke (uvijek, osim u poznatim najjednostavnijim slučajevima), a malenost promjene je povezana s malim dimenzijama paralelepipeda, pa možemo pretpostaviti da ako je na ivici OABC primjenjuje se napon s yy, zatim na ivici GDEF primjenjuje se napon s yy+ds yy, i mala vrijednost ds yy upravo zbog svoje malenosti, može se odrediti pomoću proširenja Taylorovog niza:

(ovdje se koriste parcijalni derivati, jer komponente tenzora napona zavise od x, y, z).

Slično, napone na svim plohama možemo izraziti kroz s ij i ds ij. Zatim, da biste prešli sa napona na sile, potrebno je da pomnožite veličinu naprezanja sa površinom površine na koju deluje (na primer, s yy+ds yy pomnoži sa dx dz). Kada se odrede sve sile koje djeluju na paralelepiped, moguće je, kao što se radi u statici, zapisati jednadžbu ravnoteže tijela, dok će u svim jednačinama za glavni vektor ostati samo članovi s izvodima, jer su naponi sami sebe poništavaju jedno drugo i faktori dx dy dz se smanjuju i kao rezultat toga

Slično, dobijaju se jednadžbe ravnoteže koje izražavaju jednakost na nulu glavnog momenta svih sila koje djeluju na paralelepiped, a koje se svode na oblik:

Ove jednakosti znače da je tenzor napona simetričan tenzor. Dakle, za 6 nepoznatih komponenti s ij postoje tri jednačine ravnoteže, tj. jednadžbe statike nisu dovoljne za rješavanje problema. Izlaz je izraziti napone s ij kroz deformacije e ij koristeći jednačine Hookeovog zakona, a zatim deformaciju e ij izražavati kroz pokrete u i koristeći Cauchyjeve formule, i zamijeniti rezultat u jednadžbe ravnoteže. Ovo proizvodi tri jednadžbe diferencijalne ravnoteže za tri nepoznate funkcije u x u y u z, tj. broj nepoznatih je jednak broju jednačina. Ove jednačine se nazivaju Lameove jednačine

sile mase (težina itd.) se ne uzimaju u obzir

D – Laplasov operator, tj

Sada morate postaviti granične uslove na površini tijela;

Glavne vrste ovih stanja su sljedeće:

1. Na poznatom dijelu površine tijela S 1 navedeni su pomaci, tj. vektor pomaka je jednak poznatom vektoru sa komponentama ( f x; f y ; f z ):

u x = f(xyz)

u y= f(xyz)

u z = f(xyz)

(f x, f y, f z– poznate koordinatne funkcije)

2. Na ostatku površine S Specificirane su 2 površinske sile. To znači da je raspodjela naprezanja unutar tijela takva da vrijednosti naprezanja u neposrednoj blizini površine, a u granici, na površini na svakoj elementarnoj površini, stvaraju vektor naprezanja jednak poznatom vanjskom vektoru opterećenja sa komponente ( Fx ;Fy ; F z) površinske sile. Matematički je zapisano ovako: ako u tački A površine, jedinični vektor normale na ovu površinu ima komponente n x, n y, n z tada u ovom trenutku moraju biti zadovoljene jednakosti u odnosu na (nepoznate) komponente s ij:e ij, tada za tri nepoznate dobijamo šest jednačina, odnosno preodređeni sistem. Ovaj sistem će imati rješenje samo ako su ispunjeni dodatni uvjeti u pogledu e ij. Ovi uslovi su jednačine kompatibilnosti.

Ove jednačine se često nazivaju uslovima kontinuiteta, što implicira da obezbeđuju kontinuitet tela nakon deformacije. Ovaj izraz je figurativan, ali neprecizan: ovi uvjeti osiguravaju postojanje kontinuiranog polja pomaka ako komponente deformacija (ili napona) uzmemo kao nepoznate. Neispunjavanje ovih uslova ne dovodi do narušavanja kontinuiteta, već do izostanka rješenja problema.

Dakle, teorija elastičnosti daje diferencijalne jednadžbe i granične uvjete koji omogućavaju formuliranje graničnih problema, čije rješenje daje potpune informacije o raspodjeli napona, deformacija i pomaka u tijelima koja se razmatraju. Metode za rješavanje ovakvih problema su vrlo složene, a najbolji rezultati se postižu kombinacijom analitičkih metoda sa numeričkim pomoću moćnih računara.

Vladimir Kuznjecov

OSNOVE TEORIJE ELASTIČNOSTI

OSOSIMETRIČNI PROBLEMI TEORIJE ELASTIČNOSTI

OSNOVE TEORIJE ELASTIČNOSTI

Osnovne odredbe, pretpostavke i oznake Jednadžbe ravnoteže za elementarni paralelepiped i elementarni tetraedar. Normalna i posmična naprezanja duž nagnute platforme

Određivanje glavnih i najvećih tangencijalnih napona u tački. Naprezanja duž oktaedarskih površina Pojam pomaka. Zavisnosti između deformacija i pomaka. Relativno

linearna deformacija u proizvoljnom smjeru Jednačine kompatibilnosti deformacija. Hookeov zakon za izotropno tijelo Ravan problem u pravougaone koordinate Ravninski problem u polarnim koordinatama

Moguća rješenja problema u teoriji elastičnosti. Rješenja problema u pomacima i naponima Prisutnost temperaturnog polja. Kratki zaključci o dijelu JEDNOSTAVNI OSNOSIMETRIČKI ZADACI Jednačine u cilindričnim koordinatama Jednačine u cilindričnim koordinatama (nastavak)

Deformacija sferne posude debelog zida Koncentrirana sila koja djeluje na ravan

Posebni slučajevi opterećenja elastičnog poluprostora: ravnomjerno opterećenje po površini kruga, opterećenje po površini kruga preko "hemisfere", inverzni problem pritiskanja apsolutno krute lopte u elastičnu polovicu prostor. Problem elastičnog kolapsa kuglica CIJEVI DEBELIH STJENA

Opće informacije. Jednadžba ravnoteže za cijevni element Proučavanje napona pod pritiskom na jednom od strujnih kola. Uvjeti čvrstoće pri elastičnoj deformaciji Naponi u kompozitnim cijevima. Koncept proračuna višeslojnih cijevi Primjeri proračuna

PLOČE, MEMBRANE Osnovne definicije i hipoteze

Diferencijalna jednadžba zakrivljene srednje površine ploče u pravokutnim koordinatama Cilindrično i sferno savijanje ploče

Momenti savijanja pri osnosimetričnom savijanju okrugle ploče. Diferencijalna jednadžba zakrivljene srednje površine kružne ploče. Granični uvjeti u kružnim pločama. Najveća naprezanja i otklona. Uslovi snage. Temperaturna naprezanja u pločama

Određivanje sila u membranama. Lančane sile i naprezanja. Približno određivanje progiba i naprezanja u okruglim membranama Primjeri proračuna Primjeri proračuna (nastavak)

1.1 Osnove, pretpostavke i oznake

Teorija elastičnosti ima za cilj analitičko proučavanje naponsko-deformacijskog stanja elastičnog tijela. Rješenja dobivena korištenjem pretpostavki otpora mogu se provjeriti korištenjem teorije elastičnosti

materijala, te se utvrđuju granice primjenjivosti ovih rješenja. Ponekad se dijelovi teorije elastičnosti, u kojima se, kao iu čvrstoći materijala, razmatra pitanje prikladnosti dijela, ali uz korištenje prilično složenog matematičkog aparata (proračun ploča, školjki, nizova), nazivaju kao primijenjena teorija elastičnosti.

Ovo poglavlje opisuje osnovne koncepte matematičke linearne teorije elastičnosti. Primjena matematike na opis fizičke pojave zahtijeva njihovu shematizaciju. U matematičkoj teoriji elastičnosti problemi se rješavaju sa što manje pretpostavki, što komplikuje matematičke tehnike koje se koriste za rješavanje. U linearnoj teoriji elastičnosti, postojanje linearna zavisnost između komponenti naprezanja i deformacije. Za niz materijala (guma, neke vrste livenog gvožđa) takva zavisnost se ne može prihvatiti čak ni pri malim deformacijama: dijagram σ - ε unutar opsega elastičnosti ima isti obris i pod opterećenjem i za vreme rasterećenja, ali u oba slučaja krivolinijski je. Prilikom proučavanja takvih materijala potrebno je koristiti ovisnosti nelinearne teorije elastičnosti.

IN matematička linearna teorija elastičnosti zasniva se na sljedećim pretpostavkama:

1. O kontinuitetu (kontinuitetu) sredine. U ovom slučaju, atomska struktura supstance ili prisutnost bilo kakve praznine se ne uzimaju u obzir.

2. O prirodnom stanju, na osnovu kojeg se ne uzima u obzir početno napregnuto (deformisano) stanje tela koje je nastalo pre primene sile, odnosno pretpostavlja se da su u trenutku opterećenja tela deformacije i naponi u bilo kojoj tački jednaki su nuli. U prisustvu početnih naprezanja, ova pretpostavka će vrijediti ako se na nastale napone (zbir početnih i onih koje proizlaze iz utjecaja) mogu primijeniti samo ovisnosti linearne teorije elastičnosti.

3. O homogenosti, na osnovu koje se pretpostavlja da je sastav tijela isti u svim tačkama. Ako u odnosu na metale ova pretpostavka ne daje velike greške, onda u odnosu na beton kada se razmatraju male zapremine može dovesti do značajnih grešaka.

4. O sfernoj izotropiji, na osnovu koje se vjeruje da Mehanička svojstva materijala su ista u svim smjerovima. Metalni kristali nemaju ovo svojstvo, ali za metal u cjelini, koji se sastoji od veliki broj malih kristala, možemo pretpostaviti da je ova hipoteza validna. Za materijale koji imaju različita mehanička svojstva u različitim smjerovima, kao što je laminirana plastika, razvijena je teorija elastičnosti ortotropnih i anizotropnih materijala.

5. O idealnoj elastičnosti, na osnovu koje se pretpostavlja potpuni nestanak deformacije nakon uklanjanja opterećenja. Kao što je poznato, zaostala deformacija se javlja u stvarnim tijelima pod bilo kojim opterećenjem. Stoga pretpostavka

6. O linearnom odnosu između komponenti deformacija i naponi.

7. O malenosti deformacija, na osnovu čega se pretpostavlja da su relativne linearne i ugaone deformacije male u odnosu na jedinicu. Za materijale kao što su guma ili elemente kao što su zavojne opruge, razvijena je teorija velikih elastičnih deformacija.

Prilikom rješavanja problema iz teorije elastičnosti koristi se teorema o jedinstvenosti rješenja: ako su date vanjske površinske i volumetrijske sile u ravnoteži, one odgovaraju jednom jedinstvenom sistemu napona i pomaka. Propozicija o jedinstvenosti rješenja vrijedi samo ako je važeća pretpostavka prirodnog stanja tijela (inače je moguć beskonačan broj rješenja) i pretpostavka o linearnom odnosu između deformacija i vanjskih sila.

Prilikom rješavanja problema u teoriji elastičnosti često se koristi Saint-Venantov princip: Ako se vanjske sile primijenjene na maloj površini elastičnog tijela zamijene statički ekvivalentnim sistemom sila koje djeluju na istu površinu (koje imaju isti glavni vektor i isti glavni moment), tada će ova zamjena uzrokovati samo promjenu u lokalne deformacije.

U tačkama koje su dovoljno udaljene od mjesta primjene vanjskih opterećenja, naponi malo ovise o načinu njihove primjene. Opterećenje koje je u toku otpora materijala shematski izraženo na osnovu Saint-Venantovog principa u obliku sile ili koncentriranog momenta, zapravo predstavlja normalna i tangencijalna naprezanja raspoređena na ovaj ili onaj način na određenom području. površine tela. U ovom slučaju, ista sila ili par sila može odgovarati različitim distribucijama naprezanja. Na osnovu Saint-Venantovog principa, možemo pretpostaviti da promjena sila na presjeku površine tijela gotovo da nema utjecaja na naprezanja u tačkama koje se nalaze na dovoljno velikoj udaljenosti od mjesta primjene ovih sila (u poređenju sa linearne dimenzije opterećene sekcije).

Položaj proučavanog područja, odabranog u tijelu (slika 1), određen je kosinusima smjera normale N na područje u odabranom sistemu pravokutnih koordinatnih osa x, y i z.

Ako je P rezultanta unutrašnjih sila koje djeluju duž elementarne površine izolirane u tački A, tada je ukupni napon p N u ovoj tački duž područja s normalnim N definiran kao granica omjera u

sljedeći obrazac:

Vektor p N može se u prostoru razložiti na tri međusobno okomite komponente.

2. Na komponentama σ N , τ N s i τ N t u pravcima normalnim na mjesto (normalno naprezanje) i dvije međusobno okomite ose s i t (slika 1,b) koje leže u ravnini mjesta (tangencijalna naprezanja). Prema slici 1, b

Ako je presjek tijela ili površina paralelna s jednom od koordinatnih ravnina, na primjer y0z (slika 2), tada će normala na ovu oblast biti treća koordinatna os x i komponente napona će biti označene σ x, τ xy i τ xz.

Normalno naprezanje je pozitivno ako je vlačno i negativno ako je tlačno. Predznak posmičnog naprezanja određuje se prema sljedećem pravilu: ako pozitivno (zatezno) normalno naprezanje duž površine daje pozitivnu projekciju, tada tangencijalno

naprezanje duž iste površine smatra se pozitivnim pod uslovom da daje i pozitivnu projekciju na odgovarajuću osu; ako vlačni normalni napon daje negativnu projekciju, tada bi pozitivni posmični napon također trebao dati negativnu projekciju na odgovarajuću os.

Na sl. 3, na primjer, sve komponente napona koje djeluju duž lica elementarnog paralelepipeda koji se poklapaju s koordinatnim ravnima su pozitivne.

Da bi se odredilo stanje naprezanja u tački elastičnog tijela, potrebno je znati ukupno naprezanje p N na tri međusobno okomite površine koje prolaze kroz ovu tačku. Budući da se svako ukupno naprezanje može razložiti na tri komponente, stanje naprezanja će se odrediti ako je poznato devet komponenti naprezanja. Ove komponente se mogu napisati kao matrica

naziva se matrica komponenti tenzora napona u tački.

Svaka horizontalna linija matrice sadrži tri komponente naprezanja koje djeluju na jedno područje, budući da su prve ikone (ime normale) iste. Svaki okomiti stupac tenzora sadrži tri napona paralelna s istom osom, jer su njihove druge ikone (naziv ose paralelne na koju napon djeluje) iste.

1.2 Jednačine ravnoteže za elementarni paralelepiped

i elementarni tetraedar

Odaberimo elementarni paralelepiped dimenzija ivica dx, dy i dz u proučavanoj tački A (sa koordinatama x, y i z) napregnutog elastičnog tijela sa tri međusobno okomita para ravnina (slika 2). Duž svake od tri međusobno okomite strane koje su susjedne tački A (najbliže koordinatnoj ravnini), djelovat će tri komponente naprezanja - normalna i dvije tangencijalne. Pretpostavljamo da su duž lica susjednih tački A pozitivne.

Pri kretanju od lica koje prolazi kroz tačku A do paralelnog lica, naponi se mijenjaju i povećavaju se. Na primjer, ako duž CAD lica koja prolazi kroz tačku A, komponente napona σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x , y,z,), tada će duž paralelnog lica, zbog prirasta samo jedne koordinate x pri kretanju od jednog lica do drugog, djelovati

Komponente napona Moguće je odrediti napone na svim stranama elementarnog paralelepipeda, kao što je prikazano na sl. 3.

Osim naprezanja primijenjenih na plohe elementarnog paralelepipeda, na njega djeluju volumetrijske sile: sile težine, inercijske sile. Označimo projekcije ovih sila po jedinici zapremine na koordinatne ose sa X, Y i Z. Ako izjednačimo sa nulom zbir projekcija na osu x svih normalnih, tangencijalnih i volumetrijskih sila,

djelujući na elementarni paralelepiped, onda nakon redukcije za proizvod dxdydz dobijamo jednačinu

Nakon što smo sastavili slične jednadžbe za projekcije sila na osi y i z, napisaćemo tri diferencijalne jednadžbe za ravnotežu elementarnog paralelepipeda, koje je dobio Cauchy,

Kada se dimenzije paralelepipeda svedu na nulu, on se pretvara u tačku, a σ i τ predstavljaju komponente naprezanja duž tri međusobno okomite površine koje prolaze kroz tačku A.

Ako izjednačimo sa nulom zbir momenata svih sila koje djeluju na elementarni paralelepiped u odnosu na x os c koja je paralelna s osi x i koja prolazi kroz njegovo težište, dobićemo jednačinu

ili, uzimajući u obzir činjenicu da su drugi i četvrti član jednačine višeg reda malo u odnosu na ostale, nakon smanjenja od strane dxdydz

τ yz - τ zy = 0 ili τ yz = τ zy.

Nakon što smo sastavili slične jednadžbe momenata u odnosu na centralne ose y c i z c , dobili smo tri jednadžbe za zakon uparivanja tangencijalnih napona

τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1.3)

Ovaj zakon je formulisan na sledeći način: tangencijalni naponi koji djeluju duž međusobno okomitih površina i usmjereni okomito na liniju presjeka površina jednaki su po veličini i identični po predznaku.

Dakle, od devet komponenti napona matrice T σ tenzora, šest je parno jednakih jedna drugoj, a za određivanje stanja naprezanja u nekoj tački dovoljno je pronaći samo sljedećih šest komponenti napona:

Ali sastavljeni uslovi ravnoteže dali su nam samo tri jednačine (1.2), od kojih se šest nepoznatih ne može naći. Dakle, direktni problem određivanja stanja naprezanja u tački je, u opštem slučaju, statički neodređen. Da bi se otkrila ova statička neodređenost, potrebne su dodatne geometrijske i fizičke zavisnosti.

Secirajmo elementarni paralelepiped u tački A sa ravninom nagnutom prema njegovim stranama; neka normala N na ovu ravan ima kosinus smjera l, m i n geometrijska figura(Sl. 4) je piramida sa trouglastom osnovom - elementarni tetraedar. Pretpostavićemo da se tačka A poklapa sa ishodištem koordinata, a tri međusobno okomite strane tetraedra poklapaju se sa koordinatnim ravnima.

Razmatrat će se komponente napona koje djeluju duž ovih strana tetraedra

pozitivno. Oni su prikazani na sl. 4. Označimo sa , i projekcije ukupnog napona p N koji djeluje duž nagnute površine BCD tetraedra na ose x, y i z. Označimo površinu nagnutog lica BCD sa dF. Tada će površina lica AVS biti dFp, površina lica ACD - dFl i lica ADV - dFt.

Napravimo jednadžbu ravnoteže za tetraedar projektiranjem svih sila koje djeluju duž njegovih strana na x osu; projekcija tjelesne sile nije uključena u jednačinu projekcije, dakle

jer predstavlja količinu višeg reda male veličine u odnosu na projekcije površinskih sila:

Nakon što smo sastavili jednadžbe za projekciju sila koje djeluju na tetraedar na y i z osi, dobili smo još dvije slične jednadžbe. Kao rezultat, imaćemo tri jednačine ravnoteže za elementarni tetraedar

Podijelimo prostorno tijelo proizvoljnog oblika sistemom međusobno okomite ravni xOy, yOz i xOz (slika 5) u niz elementarnih paralelepipeda. Istovremeno se na površini tijela formiraju elementarni elementi.

tetraedri (krivolinijski dijelovi površine, zbog svoje male veličine, mogu se zamijeniti ravnima). U ovom slučaju, p N će predstavljati opterećenje na površini, a jednačine (1.4) će povezati ovo opterećenje sa naponima σ i τ u tijelu, odnosno predstavljat će granične uvjete zadatka teorije elastičnosti. Uvjeti određeni ovim jednačinama nazivaju se uslovima na površini.

Treba napomenuti da su u teoriji elastičnosti vanjska opterećenja predstavljena normalnim i tangencijalnim naprezanjima primijenjenim prema nekom zakonu na područja koja se poklapaju s površinom tijela.

1.3 Normalna i posmična naprezanja duž kosog nagiba

site

Razmotrimo elementarni tetraedar ABCD, čija su tri lica paralelna sa koordinatnim ravnima, a normala N na četvrtu plohu čini uglove sa koordinatnim osama čiji su kosinusi jednaki l, m i n (slika 6. ). Pretpostavićemo da su zadate normalne i tangencijalne komponente napona koje deluju duž površina koje leže u koordinatnim ravnima i odredićemo napone na BCD površini. Odaberimo novi sistem pravokutnih koordinatnih osa x 1, y 1 i z 1, tako da se os x 1 poklapa sa normalom N,

Osnovni zadatak teorije elastičnosti je da se odredi naponsko-deformaciono stanje prema datim uslovima opterećenja i pričvršćivanja tela.

Naponsko-deformacijsko stanje se određuje ako se pronađu komponente tenzora napona () i vektora pomaka, devet funkcija.

Osnovne jednadžbe teorije elastičnosti

Da biste pronašli ovih devet funkcija, potrebno je da zapišete osnovne jednadžbe teorije elastičnosti, odnosno:

Differential Cauchies

gdje su komponente tenzora linearnog dijela Cauchyjeve deformacije;

Komponente tenzora izvoda radijalnog pomaka.

Jednačine diferencijalne ravnoteže

gdje su komponente tenzora napona; - projekcija tjelesne sile na osu j.

Hookeov zakon za linearno elastično izotropno tijelo

gdje su Lameove konstante; za izotropno tijelo. Ovdje su normalna i posmična naprezanja; deformacije i uglovi smicanja, respektivno.

Gore navedene jednačine moraju zadovoljiti Saint-Venantove zavisnosti

U teoriji elastičnosti, problem je riješen ako su zadovoljene sve osnovne jednadžbe.

Vrste problema u teoriji elastičnosti

Granični uslovi na površini tijela moraju biti zadovoljeni i, ovisno o vrsti graničnih uvjeta, razlikuju se tri tipa problema u teoriji elastičnosti.

Prvi tip. Sile su date na površini tijela. Granični uslovi

Drugi tip. Problemi kod kojih je pomak specificiran na površini tijela. Granični uslovi

Treći tip. Mješoviti problemi teorije elastičnosti. Sile su specificirane na dijelu površine tijela, a pomaci su specificirani na dijelu površine tijela. Granični uslovi

Direktni i inverzni problemi teorije elastičnosti

Jednadžbe teorije elastičnosti u pomacima (Lameove jednadžbe)

Da bismo odredili jednadžbe teorije elastičnosti u pomacima, pišemo: jednadžbe diferencijalne ravnoteže (18) Hookeov zakon za linearno elastično izotropno tijelo (19)

Ako uzmemo u obzir da se deformacije izražavaju kroz pomake (17), pišemo:

Također treba podsjetiti da je ugao smicanja povezan s pomacima sljedećim odnosom (17):

Zamjenom izraza (22) u prvu jednačinu jednakosti (19) dobijamo da normalni naponi

Imajte na umu da pisanje itz u ovom slučaju ne podrazumijeva zbrajanje preko i.

Zamjenom izraza (23) u drugu jednačinu jednakosti (19) dobivamo da su posmični naponi

Zapišimo jednadžbe ravnoteže (18) u proširenom obliku za j = 1

Zamjenom izraza za normalna (24) i tangencijalna (25) naprezanja u jednačinu (26) dobijamo

gdje je l Lameova konstanta, koja je određena izrazom:

Zamijenimo izraz (28) u jednačinu (27) i zapišemo,

gdje je određena izrazom (22), ili u proširenom obliku

Podijelimo izraz (29) sa G i dodajmo slične članove i dobijemo prvu Lameovu jednačinu:

gdje je Laplaceov operator (harmonični operator), koji je definiran kao

Slično možete dobiti:

Jednačine (30) i (32) se mogu napisati na sljedeći način:

Jednačine (33) ili (30) i (32) su Lameove jednačine. Ako su zapreminske sile nula ili konstantne, onda

Štaviše, notacija u ovom slučaju ne podrazumijeva sumiranje preko i. Evo

ili, uzimajući u obzir (31)

Zamjenom (22) u (34) i provođenjem transformacija dobijamo

i shodno tome

gdje je funkcija koja zadovoljava ovu jednakost. Ako

prema tome, f je harmonijska funkcija. To znači da je volumetrijska deformacija također harmonijska funkcija.

Pod pretpostavkom da je prethodna pretpostavka tačna, harmonijski operator uzimamo iz i-te linije Lameove jednačine

Ako su zapreminske sile nula ili konstantne, tada su komponente pomaka biharmonične funkcije.

Poznati su različiti oblici predstavljanja biharmonijskih funkcija kroz harmonijske (zadovoljavajuće Lameove jednačine).

gdje je k = 1,2,3. Štaviše