Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U gledalištu se nalaze kolica sa čokoladama, a svaki posjetitelj danas će dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će se dotaknuti dva dijela više matematike odjednom, a mi ćemo vidjeti kako oni koegzistiraju u jednom omotu. Odmorite se, pojedite Twix! ...dovraga, kakva gomila gluposti. Mada, dobro, neću bodovati, na kraju treba imati pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna vektorska nezavisnost, osnovu vektora a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, po koji sam upravo otišao u Gismeteo: temperatura i atmosferski pritisak, respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi termini (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza itd.) se odnose na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će biti dati geometrijski primeri. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i jasno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipične probleme algebre. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Razmotrimo ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno da će za konstruiranje osnove biti potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim objektima na stolu.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite lijevi kažiprst na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto desni mali prst na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta možemo reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je neki broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u razredu. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad poprijeko sam smjer, a ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama i izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da postoji bilo koji ugao između njih osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno Ne zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je dobijena. Nema potrebe da se sramite što se osnova pokazalo da je "iskrivljena" neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način proširuje se prema osnovi:
, gdje su realni brojevi. Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Takođe se kaže da vektorpredstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijapo osnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, možemo reći da je vektor dekomponovan duž ortonormalne osnove ravni, ili možemo reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: Osnova aviona naziva se par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna tačka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. Baze – ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, ne možete zamijeniti mali prst lijeve ruke umjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto nije dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim mjestima na stolu zaostalim od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takav orijentir je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Hajde da razumemo koordinatni sistem:

Počeću sa “školskim” sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke razlike između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada pričaju o pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište, koordinatne ose i razmjer duž osa. Pokušajte da upišete "pravougaoni koordinatni sistem" u pretraživač i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, čini se da se pravougaoni koordinatni sistem može u potpunosti definirati u terminima ortonormalne baze. I to je skoro tačno. Formulacija je sljedeća:

porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne ose.

Mislim da svi razumiju da se koristi tačka (poreklo) i ortonormalna osnova BILO KOJA TAČKA na ravni i BILO KOJI VEKTOR na ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, „sve u avionu može biti numerisano“.

Da li je potrebno da koordinatni vektori budu jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrimo tačku i dva ortogonalna vektora proizvoljne dužine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definirano je koordinatnom mrežom, a svaka tačka na ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori Uglavnom imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedinici, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i ispod u afinim bazama ravni i prostora, razmatraju se jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž x-ose sadrži 4 cm, a jedna jedinica duž ordinatne ose sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna da, ako je potrebno, pretvorimo „nestandardne“ koordinate u „naše uobičajene centimetre“.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno, je da li ugao između baznih vektora mora biti jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afine ravni koordinatni sistem :

Ponekad se takav koordinatni sistem naziva koso sistem. Kao primjeri, crtež prikazuje tačke i vektore:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan; formule za dužine vektora i segmenata, o kojima smo razgovarali u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u ovoj relaciji, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinog koordinatnog sistema kartezijanski pravougaoni sistem. Zato je najčešće moraš viđati, draga moja. ...Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima kosi ugao (ili neki drugi, npr. polar) koordinatni sistem. I humanoidima bi se takvi sistemi mogli svidjeti =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora bile kolinearne, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne U suštini, ovo je koordinata po koordinata detalji očiglednog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Hajde da saznamo da li postoji za vektore koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti zadovoljene:

Definitivno ću vam reći o "foppish" verziji primjene ovog pravila, koja prilično dobro funkcionira u praksi. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skratimo:
, tako da su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Odnos bi se mogao napraviti i obrnuto; ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje možete koristiti činjenicu da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju dolazi do jednakosti . Njihova valjanost se može lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednačine slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Napravimo proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, što znači da su ovi vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično ovu opciju recenzenti ne odbijaju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporciju? (zaista, ne možete dijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao “foppish”.

odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za vaše vlastito rješenje:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti parametra su vektori hoće li biti kolinearni?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i dodamo ga kao petu tačku:

Za dva ravan vektora sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka je nuli.

Stvarno se nadam da ste do sada već razumjeli sve pojmove i izjave na koje ste se susreli.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste primijenili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Hajde da odlučimo Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajmo determinantu koju čine koordinate vektora :
, što znači da su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate :
, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata i pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe praviti crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Prisjetimo se definicije paralelograma:
Paralelogram Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima naziva se.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i.

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ – jednaki vektori). Kolinearnost je prilično očigledna, ali je bolje formalizirati odluku jasno, sa dogovorom. Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate:
, što znači da su ovi vektori kolinearni, i .

Zaključak: Suprotne strane četvorougla su paralelne u parovima, što znači da je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak koji treba da rešite sami. Potpuno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se polako krećemo iz aviona u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

A) ;
b)
V)

Rješenje:
a) Provjerimo postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

“Pojednostavljeno” se formalizira provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora putem determinante trećeg reda; ova metoda je obrađena u članku Vektorski proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i pravih linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u trodimenzionalnom prostoru.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnogi uzorci koje smo ispitivali u avionu važiće za svemir. Pokušao sam da minimiziram teorijske bilješke, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, istražujemo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada unutra, neko napolju, ali u svakom slučaju ne možemo pobeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga će za konstruiranje osnove biti potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se grijemo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, nema potrebe to demonstrirati nastavnicima, ma koliko jako uvijali prste, ali od definicija nema bijega =)

Zatim, postavimo jedno važno pitanje: da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na vrh računarskog stola. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od dimenzija - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim je očigledno da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, mogu biti u paralelnim ravnima (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali to uradio =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno, ako postoji ravan s kojom su paralelne. Logično je ovdje dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, zamislimo opet da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, oni mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala u prethodnom odeljku).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redosledom, i bilo koji vektor prostora jedini način se dekomponuje na datu bazu, gdje su koordinate vektora u ovoj bazi

Da vas podsjetim da možemo reći i da je vektor predstavljen u obliku linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao i za ravan; dovoljna je jedna tačka i bilo koja tri linearno nezavisna vektora:

porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redosledom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je „kosa“ i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sistemu prostora.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi nagađaju, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

Tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni prostorni koordinatni sistem . Poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematizujmo informacije:

Za tri vektora prostora sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Mislim da su suprotne izjave razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap i rukujete bejzbol palicom linearne algebre:

Tri vektora prostora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrenuo bih vašu pažnju na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već iu redovima (vrijednost determinante se zbog toga neće promijeniti - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolji u kolonama, jer je korisniji za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitaoce koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili ih možda uopće slabo razumiju, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate (determinanta je otkrivena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka nuli:

U suštini, trebate riješiti jednačinu s determinantom. Spuštamo se na nule kao zmajevi na jerboe - najbolje je otvoriti odrednicu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednačinu:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti; da biste to učinili, trebate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da , otvarajući ga ponovo.

U zaključku ćemo razmotriti još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje svoju temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u ovoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu u trodimenzionalnom prostoru i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Prvo da se pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je to osnova nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prva faza se potpuno poklapa sa rješenjem primjera 6; potrebno je provjeriti da li su vektori zaista linearno nezavisni:

Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate:

, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate Neophodno zapiši u kolone determinanta, ne u nizovima. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Vektorski sistem se zove linearno zavisna, ako postoje brojevi među kojima je barem jedan različit od nule, tako da je jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ako je ova jednakost zadovoljena samo u slučaju kada su sve , tada se zove sistem vektora linearno nezavisna.

Teorema. Vektorski sistem će linearno zavisna ako i samo ako je barem jedan od njegovih vektora linearna kombinacija ostalih.

Primjer 1. Polinom je linearna kombinacija polinoma https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi čine linearno nezavisan sistem, jer polinom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primjer 2. Matrični sistem, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno nezavisan, jer je linearna kombinacija jednaka nulta matrica samo u slučaju kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno zavisan.

Rješenje.

Napravimo linearnu kombinaciju ovih vektora https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" visina=" 22">.

Izjednačavajući iste koordinate jednakih vektora, dobijamo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Konačno dobijamo

I

Sistem ima jedinstveno trivijalno rješenje, pa je linearna kombinacija ovih vektora jednaka nuli samo u slučaju kada su svi koeficijenti jednaki nuli. Dakle, ovaj sistem vektora je linearno nezavisan.

Primjer 4. Vektori su linearno nezavisni. Kakvi će biti vektorski sistemi?

a).;

b).?

Rješenje.

a). Napravimo linearnu kombinaciju i izjednačimo je sa nulom

Koristeći svojstva operacija s vektorima u linearnom prostoru, prepisujemo posljednju jednakost u obliku

Pošto su vektori linearno nezavisni, koeficijenti at moraju biti jednaki nuli, tj.gif" width="12" height="23 src=">

Rezultirajući sistem jednačina ima jedinstveno trivijalno rješenje .

Od jednakosti (*) izvršava se samo kada https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno nezavisno;

b). Napravimo jednakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Primjenjujući slično razmišljanje, dobijamo

Rešavanjem sistema jednačina Gaussovom metodom dobijamo

ili

Potonji sistem ima beskonačan broj rješenja https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Dakle, postoji ne- nulti skup koeficijenata za koji vrijedi jednakost (**) . Dakle, sistem vektora – linearno zavisna.

Primjer 5 Sistem vektora je linearno nezavisan, a sistem vektora je linearno zavisan..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

U jednakosti (***) . Zaista, na , sistem bi bio linearno zavisan.

Iz odnosa (***) dobijamo ili Označimo .

Dobijamo

Zadaci za samostalno rješavanje (u učionici)

1. Sistem koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

2. Sistem koji se sastoji od jednog vektora A, je linearno zavisna ako i samo ako, a=0.

3. Sistem koji se sastoji od dva vektora je linearno zavisan ako i samo ako su vektori proporcionalni (to jest, jedan od njih se dobija od drugog množenjem brojem).

4. Ako linearno zavisnom sistemu dodate vektor, dobićete linearno zavisan sistem.

5. Ako se vektor ukloni iz linearno nezavisnog sistema, onda je rezultujući sistem vektora linearno nezavisan.

6. Ako sistem S je linearno nezavisan, ali postaje linearno zavisan kada se dodaje vektor b, zatim vektor b linearno izražena kroz sistemske vektore S.

c). Sistem matrica , , u prostoru matrica drugog reda.

10. Neka sistem vektora a,b,c vektorski prostor je linearno nezavisan. Dokažite linearnu nezavisnost sledećih vektorskih sistema:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– proizvoljan broj

c).a+b, a+c, b+c.

11. Neka a,b,c– tri vektora na ravni iz kojih se može formirati trougao. Hoće li ovi vektori biti linearno zavisni?

12. Data su dva vektora a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Pronađite još dva četverodimenzionalna vektora a3 ia4 tako da sistem a1,a2,a3,a4 bio linearno nezavisan .

Definicija 1. Sistem vektora naziva se linearno zavisnim ako se jedan od vektora sistema može predstaviti kao linearna kombinacija preostalih vektora sistema, a linearno nezavisnim - inače.

Definicija 1´. Sistem vektora se naziva linearno zavisnim ako postoje brojevi With 1 , With 2 , …, With k , nisu svi jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija vektora sa datim koeficijentima jednaka nultom vektoru: = , inače se sistem naziva linearno nezavisnim.

Pokažimo da su ove definicije ekvivalentne.

Neka je zadovoljena definicija 1, tj. jedan od vektora sistema jednak je linearnoj kombinaciji ostalih:

Linearna kombinacija sistema vektora jednaka je nultom vektoru, a nisu svi koeficijenti ove kombinacije jednaki nuli, tj. Definicija 1´ je zadovoljena.

Neka važi Definicija 1´. Linearna kombinacija sistema vektora je jednaka , a nisu svi koeficijenti kombinacije jednaki nuli, na primjer, koeficijenti vektora .

Jedan od vektora sistema prikazali smo kao linearnu kombinaciju ostalih, tj. Definicija 1 je zadovoljena.

Definicija 2. Jedinični vektor ili jedinični vektor se naziva n-dimenzionalni vektor, koji i-ta koordinata je jednaka jedan, a ostale su nula.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Različiti jedinični vektori n-dimenzionalni prostori su linearno nezavisni.

Dokaz. Neka je linearna kombinacija ovih vektora sa proizvoljnim koeficijentima jednaka nultom vektoru.

Iz ove jednakosti slijedi da su svi koeficijenti jednaki nuli. Imamo kontradikciju.

Svaki vektor n-dimenzionalni prostor ā (A 1 , A 2 , ..., A n) može se predstaviti kao linearna kombinacija jediničnih vektora sa koeficijentima jednakim koordinatama vektora

Teorema 2. Ako sistem vektora sadrži nulti vektor, onda je on linearno zavisan.

Dokaz. Neka je zadan sistem vektora i jedan od vektora je nula, na primjer = . Zatim, sa vektorima ovog sistema, možete napraviti linearnu kombinaciju jednaku nultom vektoru, a neće svi koeficijenti biti nula:

Dakle, sistem je linearno zavisan.

Teorema 3. Ako je neki podsistem sistema vektora linearno zavisan, onda je ceo sistem linearno zavisan.

Dokaz. Dat je sistem vektora. Pretpostavimo da je sistem linearno zavisan, tj. postoje brojevi With 1 , With 2 , …, With r , nisu svi jednaki nuli, tako da je = . Onda

Ispostavilo se da je linearna kombinacija vektora cijelog sistema jednaka , a nisu svi koeficijenti ove kombinacije jednaki nuli. Prema tome, sistem vektora je linearno zavisan.

Posljedica. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

Dokaz.

Pretpostavimo suprotno, tj. neki podsistem je linearno zavisan. Iz teoreme slijedi da je cijeli sistem linearno zavisan. Došli smo do kontradikcije.

Teorema 4 (Steinitzova teorema). Ako je svaki od vektora linearna kombinacija vektora i m>n, tada je sistem vektora linearno zavisan.

Posljedica. U bilo kom sistemu n-dimenzionalnih vektora ne može biti više od n linearno nezavisnih vektora.

Dokaz. Svaki n-dimenzionalni vektor se izražava kao linearna kombinacija n jediničnih vektora. Stoga, ako sistem sadrži m vektori i m>n, onda je, prema teoremi, ovaj sistem linearno zavisan.

Izražavanje forme pozvao linearna kombinacija vektora A 1 , A 2 ,...,A n sa kvotama λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Određivanje linearne zavisnosti sistema vektora

Vektorski sistem A 1 , A 2 ,...,A n pozvao linearno zavisna, ako postoji skup brojeva koji nije nula λ 1, λ 2 ,...,λ n, u kojoj je linearna kombinacija vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n jednak nultom vektoru, odnosno sistem jednačina: ima rješenje različito od nule.
Skup brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n je različit od nule ako je barem jedan od brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n različito od nule.

Određivanje linearne nezavisnosti sistema vektora

Vektorski sistem A 1 , A 2 ,...,A n pozvao linearno nezavisna, ako je linearna kombinacija ovih vektora λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n jednak nultom vektoru samo za nulti skup brojeva λ 1, λ 2 ,...,λ n , odnosno sistem jednačina: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ima jedinstveno nulto rješenje.

Primjer 29.1

Provjerite je li sistem vektora linearno zavisan

Rješenje:

1. Sastavljamo sistem jednačina:

2. Rješavamo ga Gaussovom metodom. Jordananove transformacije sistema date su u tabeli 29.1. Prilikom izračunavanja, desne strane sistema se ne zapisuju jer su jednake nuli i ne mijenjaju se tokom Jordanovih transformacija.

3. Iz posljednja tri reda tabele zapišite riješeni sistem koji je ekvivalentan originalnom sistem:

4. Dobijamo opšte rešenje sistema:

5. Nakon što ste podesili vrijednost slobodne varijable x 3 =1 po vlastitom nahođenju, dobijamo određeno rešenje različito od nule X=(-3,2,1).

Odgovor: Dakle, za skup brojeva koji nije nula (-3,2,1), linearna kombinacija vektora jednaka je nultom vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. dakle, vektorski sistem linearno zavisan.

Osobine vektorskih sistema

Nekretnine (1)
Ako je sistem vektora linearno zavisan, onda je barem jedan od vektora proširen u odnosu na ostale i, obrnuto, ako je barem jedan od vektora sistema proširen u smislu ostalih, tada je sistem vektora je linearno zavisna.

Nekretnine (2)
Ako je bilo koji podsistem vektora linearno zavisan, onda je cijeli sistem linearno zavisan.

Nekretnina (3)
Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda je bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

Nekretnina (4)
Svaki sistem vektora koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

Nekretnine (5)
Sistem m-dimenzionalnih vektora je uvijek linearno zavisan ako je broj vektora n veći od njihove dimenzije (n>m)

Osnova vektorskog sistema

Osnova vektorskog sistema A 1 , A 2 ,..., A n takav podsistem B 1 , B 2 ,...,B r se naziva(svaki od vektora B 1,B 2,...,B r je jedan od vektora A 1, A 2,..., A n), koji zadovoljava sljedeće uslove:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r linearno nezavisni sistem vektora;
2. bilo koji vektor A j sistem A 1 , A 2 ,..., A n je linearno izražen kroz vektore B 1 , B 2 ,..., B r

r— broj vektora uključenih u bazu.

Teorema 29.1 O jediničnoj osnovi sistema vektora.

Ako sistem m-dimenzionalnih vektora sadrži m različitih jediničnih vektora E 1 E 2 ,..., E m , onda oni čine osnovu sistema.

Algoritam za pronalaženje osnove sistema vektora

Da bi se našla osnova sistema vektora A 1 ,A 2 ,...,A n potrebno je:

• Napravite homogeni sistem jednačina koji odgovara sistemu vektora A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Donesite ovaj sistem

Linearna zavisnost i vektorska nezavisnost

Definicije linearno zavisnih i nezavisnih vektorskih sistema

Definicija 22

Neka imamo sistem n-vektora i skup brojeva
, Onda

(11)

naziva se linearna kombinacija datog sistema vektora sa datim skupom koeficijenata.

Definicija 23

Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim ako postoji takav skup koeficijenata
, od kojih barem jedan nije jednak nuli, da je linearna kombinacija datog sistema vektora sa ovim skupom koeficijenata jednaka nultom vektoru:

Neka
, Onda

Definicija 24 ( kroz predstavljanje jednog vektora sistema kao linearne kombinacije ostalih)

Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim ako se barem jedan od vektora ovog sistema može predstaviti kao linearna kombinacija preostalih vektora ovog sistema.

Izjava 3

Definicije 23 i 24 su ekvivalentne.

Definicija 25(preko nulte linearne kombinacije)

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim ako je nulta linearna kombinacija ovog sistema moguća samo za sve
jednaka nuli.

Definicija 26(zbog nemogućnosti da se jedan vektor sistema predstavi kao linearna kombinacija ostalih)

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim ako se ni jedan od vektora ovog sistema ne može predstaviti kao linearna kombinacija drugih vektora ovog sistema.

Svojstva linearno zavisnih i nezavisnih vektorskih sistema

Teorema 2 (nulti vektor u sistemu vektora)

Ako sistem vektora ima nulti vektor, onda je sistem linearno zavisan.

 Neka
, Onda .

Dobijamo
, dakle, po definiciji linearno zavisnog sistema vektora kroz nultu linearnu kombinaciju (12) sistem je linearno zavisan. 

Teorema 3 (zavisni podsistem u vektorskom sistemu)

Ako sistem vektora ima linearno zavisan podsistem, onda je ceo sistem linearno zavisan.

 Neka
- linearno zavisni podsistem
, među kojima barem jedan nije jednak nuli:

To znači, po definiciji 23, sistem je linearno zavisan. 

Teorema 4

Svaki podsistem linearno nezavisnog sistema je linearno nezavisan.

 Od suprotnog. Neka je sistem linearno nezavisan i ima linearno zavisan podsistem. Ali tada će, prema teoremi 3, cijeli sistem također biti linearno zavisan. Kontradikcija. Prema tome, podsistem linearno nezavisnog sistema ne može biti linearno zavisan. 

Geometrijsko značenje linearne zavisnosti i nezavisnosti sistema vektora

Teorema 5

Dva vektora I su linearno zavisne ako i samo ako
.

 Nužnost.

I - linearno zavisna
da je uslov ispunjen
. Onda
, tj.
.

Adekvatnost.

Linearno zavisna. 

Posljedica 5.1

Nulti vektor je kolinearan sa bilo kojim vektorom

Posljedica 5.2

Da bi dva vektora bila linearno nezavisna, potrebno je i dovoljno da nije bila kolinearna .

Teorema 6

Da bi sistem od tri vektora bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da ti vektori budu komplanarni .

 Nužnost.

- su linearno zavisne, pa se jedan vektor može predstaviti kao linearna kombinacija druga dva.

, (13)

Gdje
I
. Prema pravilu paralelograma postoji dijagonala paralelograma sa stranicama
, ali paralelogram je ravna figura
komplanarno
- takođe su komplanarni.

Adekvatnost.

- komplanarno. Primijenimo tri vektora na tačku O:

C

B`

– linearno zavisna 

Korolar 6.1

Nulti vektor je komplanaran bilo kojem paru vektora.

Korolar 6.2

Za vektore
bile linearno nezavisne, potrebno je i dovoljno da nisu komplanarne.

Korolar 6.3

Bilo koji vektor ravni se može predstaviti kao linearna kombinacija bilo koja dva nekolinearna vektora iste ravni.

Teorema 7

Svaka četiri vektora u prostoru su linearno zavisna .

 Razmotrimo 4 slučaja:

Nacrtajmo ravan kroz vektore, zatim ravan kroz vektore i ravan kroz vektore. Zatim crtamo ravnine koje prolaze kroz tačku D, paralelno sa parovima vektora; ; respektivno. Gradimo paralelepiped duž linija presjeka ravnina O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Hajde da razmotrimo O.B. 1 D 1 C 1 – paralelogram po konstrukciji prema pravilu paralelograma
.

Razmotrimo OADD 1 – paralelogram (iz svojstva paralelepipeda)
, Onda

EMBED Equation.3 .

Prema teoremi 1
takav da . Onda
, a po definiciji 24 sistem vektora je linearno zavisan. 

Posljedica 7.1

Zbir tri nekoplanarna vektora u prostoru je vektor koji se poklapa sa dijagonalom paralelepipeda izgrađenog na ova tri vektora primenjenog na zajednički početak, a početak zbrojnog vektora se poklapa sa zajedničkim ishodištem ova tri vektora.

Korolar 7.2

Ako uzmemo 3 nekoplanarna vektora u prostoru, onda se svaki vektor ovog prostora može dekomponovati u linearnu kombinaciju ova tri vektora.