Koja formula je matematički prikaz Hookeovog zakona. Generalizovani Hookeov zakon. Određivanje mehaničkih karakteristika materijala. Test zatezanja. Test kompresije
Hookeov zakon obično se nazivaju linearni odnosi između komponenti deformacije i komponenti naprezanja.
Uzmimo elementarni pravokutni paralelepiped s plohama paralelnim s koordinatnim osa, opterećen normalnim naprezanjem σ x, ravnomerno raspoređenih na dve suprotne strane (slika 1). Gde σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Do granice proporcionalnosti, relativna elongacija je data formulom
Gdje E— zatezni modul elastičnosti. Za čelik E = 2*10 5 MPa, dakle, deformacije su vrlo male i mjere se u postocima ili 1 * 10 5 (u instrumentima za mjerenje deformacija).
Produženje elementa u smjeru osi X praćeno njegovim sužavanjem u poprečnom smjeru, što je određeno komponentama deformacije
Gdje μ - konstanta koja se naziva bočni omjer kompresije ili Poissonov omjer. Za čelik μ obično se uzima kao 0,25-0,3.
Ako je predmetni element istovremeno opterećen normalnim naprezanjima σ x, σy, σ z, ravnomjerno raspoređenih duž njegovih strana, zatim se dodaju deformacije
Superponiranjem komponenti deformacije uzrokovanih svakim od tri napona, dobijamo relacije
Ove veze potvrđuju brojni eksperimenti. Primijenjeno metoda preklapanja ili superpozicije pronalaženje ukupnih deformacija i napona uzrokovanih nekoliko sila je legitimno sve dok su deformacije i naponi mali i linearno ovisni o primijenjenim silama. U takvim slučajevima zanemarujemo male promjene u dimenzijama deformiranog tijela i male pomake tačaka primjene vanjskih sila i svoje proračune baziramo na početnim dimenzijama i početnom obliku tijela.
Treba napomenuti da malenost pomaka ne znači nužno da su odnosi između sila i deformacija linearni. Tako, na primjer, u komprimiranoj sili Qšipka dodatno opterećena posmičnom silom R, čak i sa malim otklonom δ javlja se dodatna tačka M = Qδ, što problem čini nelinearnim. U takvim slučajevima, potpuni otkloni nisu linearne funkcije napor i ne može se dobiti jednostavnom superpozicijom.
Eksperimentalno je utvrđeno da ako posmična naprezanja djeluju duž svih strana elementa, onda izobličenje odgovarajućeg kuta ovisi samo o odgovarajućim komponentama posmičnih napona.
Konstantno G koji se naziva modulom smicanja elastičnosti ili modulom smicanja.
Opći slučaj deformacije elementa uslijed djelovanja tri normalne i tri tangencijalne komponente naprezanja na njega može se dobiti korištenjem superpozicije: tri posmične deformacije, određene relacijama (5.2b), superponiraju se na tri linearne deformacije određene izrazima ( 5.2a). Jednačine (5.2a) i (5.2b) određuju odnos između komponenti deformacija i napona i nazivaju se generalizovani Hookeov zakon. Pokažimo sada da je modul smicanja G izraženo kao vlačni modul elastičnosti E i Poissonov omjer μ . Da biste to učinili, razmislite poseban slučaj, Kada σ x = σ , σy = -σ I σ z = 0.
Izrežemo element a b c d ravni paralelne sa osom z i nagnuta pod uglom od 45° u odnosu na ose X I at(Sl. 3). Kao što sledi iz uslova ravnoteže elementa 0 bs, normalan stres σ v na svim stranama elementa a b c d jednaki su nuli, a naponi smicanja jednaki
Ovo stanje napetosti se zove čisto smicanje. Iz jednačina (5.2a) slijedi da
odnosno produžetak horizontalnog elementa je 0 c jednako skraćenju vertikalnog elementa 0 b: εy = -ε x.
Ugao između lica ab I bc promjene i odgovarajuću vrijednost posmične deformacije γ može se naći iz trougla 0 bs:
Iz toga slijedi
Zakon proporcionalnosti između izduženja opruge i primijenjene sile otkrio je engleski fizičar Robert Hooke (1635-1703)
Hookeova naučna interesovanja bila su toliko široka da često nije imao vremena da dovrši svoje istraživanje. To je izazvalo žestoke sporove oko prioriteta u otkrivanju određenih zakona sa najvećim naučnicima (Huygens, Newton, itd.). Međutim, Hookeov zakon je bio toliko uvjerljivo potkrijepljen brojnim eksperimentima da Hukov prioritet nikada nije bio sporan.
Teorija proljeća Roberta Hookea:
Ovo je Hookeov zakon!
RJEŠAVANJE PROBLEMA
Odrediti krutost opruge koja se pod dejstvom sile od 10 N produži za 5 cm.
Dato:
g = 10 N/kg
F=10H
X = 5 cm = 0,05 m
Pronađite:
k = ?
Opterećenje je u ravnoteži.
Odgovor: krutost opruge k = 200N/m.
ZADATAK ZA "5"
(predati na komad papira).
Objasni zašto je bezbedno da akrobat skoči na trampolinsku mrežu sa velike visine? (pozivamo Roberta Hookea u pomoć)
Radujem se vašem odgovoru!
LITTLE EXPERIENCE
Postavite gumenu cijev okomito, na koju je prethodno čvrsto postavljen metalni prsten, i istegnite cijev. Šta će biti sa prstenom?
Dinamika - Cool fizika
Hookeov zakon je formuliran na sljedeći način: elastična sila koja nastaje kada se tijelo deformira uslijed primjene vanjskih sila proporcionalna je njegovom istezanju. Deformacija je, pak, promjena međuatomske ili međumolekularne udaljenosti tvari pod utjecajem vanjskih sila. Sila elastičnosti je sila koja teži da ove atome ili molekule vrati u stanje ravnoteže.
Formula 1 - Hookeov zakon.
F - Elastična sila.
k - krutost tijela (Koeficijent proporcionalnosti, koji ovisi o materijalu tijela i njegovom obliku).
x - Deformacija tijela (izduženje ili kompresija tijela).
Ovaj zakon je otkrio Robert Hooke 1660. godine. Izveo je eksperiment koji se sastojao od sljedećeg. Tanka čelična struna bila je pričvršćena na jednom kraju, a na drugom kraju primijenjena je različita sila. Jednostavno rečeno, kanap je okačen sa plafona i na njega je primenjeno opterećenje različite mase.
Slika 1 - Istezanje strune pod uticajem gravitacije.
Kao rezultat eksperimenta, Hooke je otkrio da je u malim prolazima ovisnost rastezanja tijela linearna u odnosu na elastičnu silu. Odnosno, kada se primeni jedinica sile, telo se produžava za jednu jedinicu dužine.
Slika 2 - Grafikon ovisnosti elastične sile od izduženja tijela.
Nula na grafikonu je originalna dužina tijela. Sve što je desno je povećanje dužine tijela. U ovom slučaju, elastična sila ima negativnu vrijednost. Odnosno, ona nastoji vratiti tijelo u prvobitno stanje. Shodno tome, usmjeren je suprotno sili deformacije. Sve što je lijevo je kompresija tijela. Sila elastičnosti je pozitivna.
Istezanje strune ne zavisi samo od vanjske sile, već i od poprečnog presjeka strune. Tanka struna će se nekako rastegnuti zbog svoje male težine. Ali ako uzmete vrpcu iste dužine, ali prečnika, recimo, 1 m, teško je zamisliti kolika će težina biti potrebna da se istegne.
Da bi se procijenilo kako sila djeluje na tijelo određenog poprečnog presjeka, uvodi se pojam normalnog mehaničkog naprezanja.
Formula 2 - normalno mehaničko naprezanje.
S-poprečni presjek.
Ovaj stres je u konačnici proporcionalan produžetku tijela. Relativna elongacija je omjer prirasta dužine tijela i njegove ukupne dužine. A koeficijent proporcionalnosti se zove Youngov modul. Modul jer se vrijednost izduženja tijela uzima po modulu, bez uzimanja u obzir predznaka. Ne uzima se u obzir da li je tijelo skraćeno ili produženo. Važno je promijeniti njegovu dužinu.
Formula 3 - Youngov modul.
|e| - Relativno izduženje tela.
s je normalna tjelesna napetost.
Koeficijent E u ovoj formuli se zove Youngov modul. Youngov modul ovisi samo o svojstvima materijala i ne ovisi o veličini i obliku tijela. Za različite materijale, Youngov modul uvelike varira. Za čelik, na primjer, E ≈ 2·10 11 N/m 2 , a za gumu E ≈ 2·10 6 N/m 2 , odnosno pet redova veličine manje.
Hookeov zakon se može generalizirati na slučaj složenijih deformacija. Na primjer, kada deformacija savijanja elastična sila je proporcionalna otklonu štapa, čiji krajevi leže na dva oslonca (slika 1.12.2).
 |
Slika 1.12.2. Deformacija savijanja.  |
Sila elastičnosti koja djeluje na tijelo sa strane oslonca (ili ovjesa) naziva se sila reakcije tla. Kada tijela dođu u kontakt, sila reakcije oslonca je usmjerena okomito kontaktne površine. Zato se često naziva i snaga normalan pritisak. Ako tijelo leži na horizontalnom stacionarnom stolu, sila reakcije oslonca usmjerena je okomito prema gore i uravnotežuje silu gravitacije: Sila kojom tijelo djeluje na stol naziva se tjelesne težine.
U tehnologiji, spiralnog oblika opruge(Slika 1.12.3). Kada su opruge istegnute ili stisnute, nastaju elastične sile, koje se takođe pridržavaju Hookeovog zakona. Koeficijent k se zove krutost opruge. U granicama primjenjivosti Hookeovog zakona, opruge su sposobne u velikoj mjeri promijeniti svoju dužinu. Stoga se često koriste za mjerenje sila. Opruga čija se napetost mjeri jedinicama sile naziva se dinamometar. Treba imati na umu da kada se opruga rastegne ili stisne, u njenim zavojnicama dolazi do složenih torzijskih i savijajućih deformacija.
 |
| Slika 1.12.3. Deformacija opruge. |
Za razliku od opruga i nekih elastičnih materijala (na primjer, gume), vlačna ili tlačna deformacija elastičnih šipki (ili žica) podliježe Hookeovom linearnom zakonu u vrlo uskim granicama. Za metale, relativna deformacija ε = x / l ne bi trebalo da prelazi 1%. Kod velikih deformacija dolazi do nepovratnih pojava (fluidnosti) i destrukcije materijala.
§ 10. Elastična sila. Hookeov zakon
Vrste deformacija
Deformacija naziva se promjena oblika, veličine ili volumena tijela. Deformacija može biti uzrokovana vanjskim silama primijenjenim na tijelo.
Deformacije koje potpuno nestaju nakon prestanka djelovanja vanjskih sila na tijelo nazivaju se elastična i deformacije koje traju i nakon što su vanjske sile prestale djelovati na tijelo - plastika.
Razlikovati vlačna deformacija ili kompresija(jednostrano ili sveobuhvatno), savijanje, torzija I smjena.
Elastične sile
Za deformacije solidan njegove čestice (atomi, molekuli, joni), smještene u čvorovima kristalne rešetke, pomjerene su iz svojih ravnotežnih položaja. Ovom pomaku se suprotstavljaju sile interakcije između čestica čvrstog tijela, koje drže te čestice na određenoj udaljenosti jedna od druge. Stoga, kod bilo koje vrste elastične deformacije, u tijelu nastaju unutrašnje sile koje sprječavaju njegovu deformaciju.
Sile koje nastaju u tijelu prilikom njegove elastične deformacije i usmjerene su protiv smjera pomicanja čestica tijela uzrokovanog deformacijom nazivaju se elastične sile. Elastične sile djeluju u bilo kojem dijelu deformiranog tijela, kao i na mjestu njegovog kontakta s tijelom koje uzrokuje deformaciju. U slučaju jednostranog zatezanja ili kompresije, sila elastičnosti je usmjerena duž prave linije duž koje djeluje vanjska sila, uzrokujući deformaciju tijela, suprotno od smjera te sile i okomito na površinu tijela. Priroda elastičnih sila je električna.
Razmotrit ćemo slučaj pojave elastičnih sila prilikom jednostranog zatezanja i sabijanja čvrstog tijela.
Hookeov zakon
Vezu između elastične sile i elastične deformacije tijela (pri malim deformacijama) eksperimentalno je ustanovio Njutnov savremenik, engleski fizičar Huk. Matematički izraz Hookeov zakon za jednostranu deformaciju napetosti (kompresije) ima oblik
gdje je f elastična sila; x - izduženje (deformacija) tijela; k je koeficijent proporcionalnosti koji ovisi o veličini i materijalu tijela, koji se naziva krutost. SI jedinica krutosti je njutn po metru (N/m).
Hookeov zakon za jednostrano zatezanje (kompresiju) se formuliše na sledeći način: Sila elastičnosti koja nastaje prilikom deformacije tijela proporcionalna je istezanju ovog tijela.
Razmotrimo eksperiment koji ilustruje Hookeov zakon. Neka se os simetrije cilindrične opruge poklapa sa pravom linijom Ax (slika 20, a). Jedan kraj opruge je učvršćen u osloncu u tački A, a drugi je slobodan i za njega je pričvršćeno tijelo M. Kada opruga nije deformisana, njen slobodni kraj se nalazi u tački C. Ova tačka će se uzeti kao ishodište koordinate x, koja određuje položaj slobodnog kraja opruge.
Ispružimo oprugu tako da njen slobodni kraj bude u tački D, čija je koordinata x>0: U ovoj tački opruga djeluje na tijelo M elastičnom silom
Komprimirajmo sada oprugu tako da njen slobodni kraj bude u tački B, čija je koordinata x<0. В этой точке пружина действует на тело М упругой силой
Sa slike se vidi da projekcija elastične sile opruge na osu Ax uvek ima predznak suprotan znaku x koordinate, pošto je elastična sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju C. Na sl. 20, b prikazuje grafik Hookeovog zakona. Vrijednosti elongacije x opruge su iscrtane na osi apscise, a vrijednosti elastične sile su nanesene na osi ordinata. Zavisnost fx od x je linearna, tako da je graf prava linija koja prolazi kroz početak koordinata.
Razmotrimo još jedan eksperiment.
Neka jedan kraj tanke čelične žice bude pričvršćen na nosač, a na drugi kraj okačen teret čija je težina vanjska vlačna sila F koja djeluje na žicu okomito na njen poprečni presjek (slika 21).
Djelovanje ove sile na žicu ovisi ne samo o modulu sile F, već i o površini poprečnog presjeka žice S.
Pod utjecajem vanjske sile koja se na njega primjenjuje, žica se deformira i rasteže. Ako rastezanje nije preveliko, ova deformacija je elastična. U elastično deformiranoj žici nastaje jedinica elastične sile f.
Prema trećem Newtonovom zakonu, sila elastičnosti jednaka je po veličini i suprotna po smjeru vanjskoj sili koja djeluje na tijelo, tj.
f gore = -F (2.10)
Stanje elastično deformiranog tijela karakterizira vrijednost s, tzv normalno mehaničko naprezanje(ili, ukratko, samo normalan napon). Normalno naprezanje s jednako je omjeru modula elastične sile i površine poprečnog presjeka tijela:
s=f gore /S (2.11)
Neka je početna dužina nerastegnute žice L 0 . Nakon primjene sile F, žica se rastegnula i njena dužina je postala jednaka L. Vrijednost DL=L-L 0 se naziva apsolutno izduženje žice. Veličina
pozvao relativno izduženje tijela. Za vlačnu deformaciju e>0, za tlačnu deformaciju e<0.
Zapažanja pokazuju da je za male deformacije normalno naprezanje s proporcionalno relativnom izduženju e:
Formula (2.13) je jedna od vrsta pisanja Hookeovog zakona za jednostranu napetost (kompresiju). U ovoj formuli relativna elongacija se uzima po modulu, jer može biti i pozitivna i negativna. Koeficijent proporcionalnosti E u Hookeovom zakonu naziva se longitudinalni modul elastičnosti (Youngov modul).
Hajde da ustanovimo fizičko značenje Youngovog modula. Kao što se vidi iz formule (2.12), e=1 i L=2L 0 sa DL=L 0 . Iz formule (2.13) slijedi da je u ovom slučaju s=E. Posljedično, Youngov modul je numerički jednak normalnom naprezanju koje bi trebalo nastati u tijelu ako se njegova dužina udvostruči. (ako je Hookeov zakon istinit za tako veliku deformaciju). Iz formule (2.13) također je jasno da je u SI Youngov modul izražen u paskalima (1 Pa = 1 N/m2).
Dijagram napetosti
Koristeći formulu (2.13), iz eksperimentalnih vrijednosti relativnog izduženja e, može se izračunati odgovarajuće vrijednosti normalnog napona s koji nastaje u deformiranom tijelu i konstruirati graf ovisnosti s o e. Ovaj graf se zove dijagram rastezanja. Sličan grafikon za uzorak metala prikazan je na Sl. 22. U sekciji 0-1, grafik izgleda kao prava linija koja prolazi kroz ishodište. To znači da je do određene vrijednosti naprezanja deformacija elastična i Hookeov zakon je zadovoljen, tj. normalno naprezanje je proporcionalno relativnom izduženju. Maksimalna vrijednost normalnog naprezanja s p, pri kojoj je Hookeov zakon još uvijek zadovoljen, naziva se granica proporcionalnosti.
Daljnjim povećanjem opterećenja, ovisnost naprezanja o relativnom izduženju postaje nelinearna (presjek 1-2), iako su elastična svojstva tijela i dalje očuvana. Naziva se maksimalna vrijednost s normalnog naprezanja, pri kojoj se zaostala deformacija još ne javlja granica elastičnosti. (Granica elastičnosti prelazi granicu proporcionalnosti samo za stoti dio postotka.) Povećanje opterećenja iznad granice elastičnosti (odjeljak 2-3) dovodi do činjenice da deformacija postaje zaostala.
Tada uzorak počinje da se izdužuje pri gotovo konstantnom naprezanju (odjeljak 3-4 grafikona). Ovaj fenomen se naziva fluidnost materijala. Zove se normalno naprezanje s t pri kojem zaostala deformacija dostigne datu vrijednost granica popuštanja.
Kod napona koji prelaze granicu tečenja, elastična svojstva tijela se vraćaju u određenoj mjeri i ono ponovo počinje odolijevati deformaciji (odjeljak 4-5 grafikona). Maksimalna vrijednost normalnog naprezanja spr, iznad koje uzorak puca, naziva se zatezna čvrstoća.
Energija elastično deformisanog tela
Zamjenom vrijednosti s i e iz formula (2.11) i (2.12) u formulu (2.13) dobijamo
f gore /S=E|DL|/L 0 .
odakle slijedi da je elastična sila fun, koja nastaje prilikom deformacije tijela, određena formulom
f gore =ES|DL|/L 0 . (2.14)
Odredimo rad A def izvršen pri deformaciji tijela i potencijalnu energiju W elastično deformiranog tijela. Prema zakonu održanja energije,
W=A def. (2.15)
Kao što se može vidjeti iz formule (2.14), modul elastične sile može se mijenjati. Povećava se proporcionalno deformaciji tijela. Stoga je za izračunavanje rada deformacije potrebno uzeti prosječnu vrijednost elastične sile
Tada se određuje formulom A def =
A def = ES|DL| 2 /2L 0 .
Zamjenom ovog izraza u formulu (2.15) nalazimo vrijednost potencijalne energije elastično deformiranog tijela:
W=ES|DL| 2 /2L 0 . (2.17)
Za elastično deformisanu oprugu ES/L 0 =k je krutost opruge; x je produžetak opruge. Stoga se formula (2.17) može napisati u obliku
W=kx 2 /2. (2.18)
Formula (2.18) određuje potencijalnu energiju elastično deformirane opruge.
Pitanja za samokontrolu:
Šta je deformacija?
Koju deformaciju nazivamo elastičnom? plastika?
Navedite vrste deformacija.
Šta je elastična sila? Kako se usmjerava? Kakva je priroda ove sile?
Kako je Hukov zakon formulisan i napisan za jednostranu napetost (kompresiju)?
Šta je krutost? Koja je SI jedinica tvrdoće?
Nacrtajte dijagram i objasnite eksperiment koji ilustruje Hookeov zakon. Nacrtajte grafik ovog zakona.
Nakon izrade crteža s objašnjenjem, opišite proces istezanja metalne žice pod opterećenjem.
Šta je normalno mehaničko naprezanje? Koja formula izražava značenje ovog koncepta?
Šta se naziva apsolutnim izduženjem? relativno izduženje? Koje formule izražavaju značenje ovih pojmova?
Kakav je oblik Hookeovog zakona u zapisu koji sadrži normalno mehaničko naprezanje?
Šta se zove Youngov modul? Koje je njegovo fizičko značenje? Koja je SI jedinica Youngovog modula?
Nacrtati i objasniti dijagram napon-deformacija metalnog uzorka.
Šta se zove granica proporcionalnosti? elastičnost? promet? snaga?
Dobiti formule koje određuju rad deformacije i potencijalnu energiju elastično deformisanog tijela.
