Posebni slučajevi dovođenja proizvoljnog prostornog sistema snaga u centar. Dovođenje sistema sila u njegov najjednostavniji oblik Centar paralelnih sila
Ako su, nakon dovođenja prostornog sistema sila u odabrano središte O, glavni vektor i glavni moment jednaki nuli, tj.
Sistem snaga je uravnotežen. Pod uticajem takvog sistema sila, čvrsto telo će biti u ravnoteži. Očigledno, u opštem slučaju, dve vektorske jednačine (4.1) odgovaraju šest skalarnih jednačina, odražavajući jednakost sa nulom projekcija ovih vektora na ose izabranog koordinatnog sistema (na primer, Dekartovog).
Ako je nakon dovođenja prostornog sistema sila u odabrano središte O glavni vektor jednak nuli, a glavni moment nije jednak nuli, tj.
Rezultirajući par sila djeluje na tijelo, težeći ga rotirati. Imajte na umu da u ovom slučaju izbor centra za smanjenje ne utječe na rezultat.
Ako nakon dovođenja prostornog sistema sila u odabrano središte O glavni vektor nije jednak nuli, a glavni moment jednak nuli, tj.
Na tijelo djeluje rezultujući sistem sila koje prolaze kroz centar redukcije i teže da pomjere tijelo duž linije njegovog djelovanja. Očigledno je da relacije (4.3.) vrijede za sve tačke linije djelovanja rezultante.
Imajte na umu da se djelovanje sistema konvergentnih sila svodi na ovaj slučaj ako se kao centar redukcije uzme tačka presjeka linija djelovanja sila sistema (pošto su momenti sila u odnosu na ovu tačku jednaki na nulu).
Ako nakon dovođenja prostornog sistema sila u odabrano središte O glavni vektor i glavni moment nisu jednaki nuli, a njihovi pravci čine pravi ugao, tj.
onda se i takav sistem sila može svesti na rezultantu, ali prolazeći kroz drugi centar redukcije - tačku. Da bismo izvršili ovu operaciju, prvo ćemo razmotriti sisteme ekvivalentnih sila prikazanih na Sl. 4.2.b i sl. 4.1. Očigledno, ako promijenimo notaciju (tačka B se zove centar O, tačka A se zove centar), zadatak koji se nalazi pred nama zahtijeva izvođenje operacije inverzne onoj koja je izvedena u lemi o paralelnom prijenosu sile. Uzimajući u obzir gore navedeno, tačka mora, prvo, biti locirana u ravnini okomitoj na vektor glavnog momenta koji prolazi kroz centar O, i, drugo, ležati na pravoj paralelnoj sa linijom delovanja glavnog vektora sile i odvojeno od njega na udaljenosti h jednakoj
Od dvije pronađene prave treba izabrati onu za čije tačke je vektor glavnog momenta jednak nuli (moment glavnog vektora sila u odnosu na novo središte treba biti jednak po veličini i suprotan u smjeru od glavni moment sistema sila u odnosu na tačku O).
U opštem slučaju, nakon dovođenja prostornog sistema sila u izabrano središte O, glavni vektor i glavni moment, koji nisu jednaki nuli, ne formiraju jedan s drugim pravi ugao (slika 4.5.a).
Ako se glavni moment razloži na dvije komponente - duž glavnog vektora sila i okomito na njega, tada se, u skladu sa (4.5), može pronaći centar redukcije za koji okomita komponenta glavnog momenta postaje jednaka nuli, a veličine i pravci glavnog vektora i prve komponente glavnog momenta ostaju isti (slika 4.5.b). Zbirka vektora se zove strujni vijak ili dinamo.
Dalje pojednostavljivanje nije moguće.
Kako se takvom promjenom centra redukcije mijenja samo projekcija glavnog momenta u smjer okomit na glavni vektor sistema sila, vrijednost skalarnog proizvoda ovih vektora ostaje nepromijenjena, tj.
Ovaj izraz se zove druga invarijanta
statika.
Primjer 4.1. Na vrhove pravokutnog paralelepipeda sa stranicama i djeluju sile i (vidi sliku 4.6). Uzimajući ishodište koordinata Dekartovog koordinatnog sistema označenog na slici kao centar redukcije sistema sila, zapišite izraze za projekcije glavnog vektora i glavnog momenta.
Zapišimo trigonometrijske odnose za određivanje uglova:
Sada možemo napisati izraze za projekcije glavnog vektora i glavnog momenta sila sistema:
Napomena: poznavanje vektorskih projekcija na koordinatne ose omogućit će, ako je potrebno, izračunavanje njegove veličine i kosinusa smjera.
Ravan sistem sila se također svodi na silu jednaku i primijenjenoj na proizvoljno odabranom centru O i na par sa momentom
u ovom slučaju, vektor se može odrediti ili geometrijski konstruiranjem poligona sila (vidi tačku 4), ili analitički. Dakle, za ravan sistem sila
R x =F kx , R y =F ky ,
gdje su svi momenti u posljednjoj jednakosti algebarski i zbir je također algebarski.
Hajde da pronađemo u koji se najjednostavniji oblik može svesti dati ravan sistem sila koji nije u ravnoteži. Rezultat ovisi o vrijednostima R i MO.
- 1. Ako je za dati sistem sila R=0, a M O ?0, onda se on svodi na jedan par sa momentom M O, čija vrijednost ne zavisi od izbora centra O.
- 2. Ako je za dati sistem sila R?0, onda se on svodi na jednu silu, tj. na rezultantu. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:
- a) R?0, MO =0. U ovom slučaju, sistem se, kao što je odmah očigledno, svodi na rezultantu R koja prolazi kroz centar O;
- b) R?0, M O?0. U ovom slučaju, par sa momentom MO može biti predstavljen sa dvije sile R" i R", uzimajući R"=R, i R"= - R. Štaviše, ako je d=OC krak para, onda je treba biti Rd=|M O |.
Pošto smo sada odbacili sile R i R" kao uravnotežene, nalazimo da je ceo sistem sila zamenjen rezultantom R" = R koja prolazi kroz tačku C. Položaj tačke C je određen sa dva uslova: 1) rastojanjem OC = d () mora zadovoljiti jednakost Rd = |. 2) znak momenta u odnosu na centar O sile R" primijenjene u tački C, odnosno znak m O (R") mora se poklapati sa predznakom M O.
Dovođenje sistema snaga u centar
Pitanja
Predavanje 6
3. Uslovi ravnoteže za proizvoljni sistem sila
1. Razmotrimo proizvoljan sistem sila. Odaberimo proizvoljnu tačku O iza centra redukcije i, koristeći teoremu o paralelnom prenosu sile, prenosimo sve sile sistema u datu tačku, ne zaboravljajući da pri prenošenju svake sile dodamo pripadajući par sila.
Zamenimo rezultujući sistem konvergentnih sila sa jednom silom jednakom glavnom vektoru originalnog sistema sila. Sistem parova sila koji nastaju tokom prenosa biće zamenjen jednim parom sa momentom jednakim geometrijskom zbiru momenata svih parova sila (tj. geometrijskom zbiru momenata prvobitnog sistema sila u odnosu na centar O).
Ovaj trenutak se zove glavni moment sistema sila u odnosu na centar O (Sl. 1.30).
Rice. 1.30. Dovođenje sistema snaga u centar
Dakle, svaki sistem sila uvijek može biti zamijenjen samo sa dva faktora sila - glavni vektor i glavni moment u odnosu na proizvoljno odabrani centar redukcije . Očigledno, glavni vektor sistema sila ne zavisi od izbora centra redukcije (kaže se da je glavni vektor invarijantan u odnosu na izbor centra redukcije). Očigledno je i da glavni moment nema ovo svojstvo, pa je uvijek potrebno naznačiti u odnosu na koji centar je glavni moment određen.
2. Dovođenje sistema sila u njegov najjednostavniji oblik
Mogućnost daljeg uprošćavanja proizvoljnih sistema sila zavisi od vrednosti njihovog glavnog vektora i glavnog momenta, kao i od uspešnog izbora centra redukcije. Mogući su sljedeći slučajevi:
a) , . U ovom slučaju sistem se svodi na par sila sa momentom čija vrijednost ne zavisi od izbora centra redukcije.
b) , . Sistem se svodi na rezultantu jednaku , čija linija djelovanja prolazi kroz centar O.
c) i međusobno su okomite. Sistem se svodi na rezultantu jednaku, ali ne prolazi kroz centar O(Sl. 1.31).
Rice. 1.31. Dovođenje sistema sila na rezultantu
Zamenimo glavni moment sa parom sila, kao što je prikazano na sl. 1.31. Hajde da definišemo R iz uslova da M 0 = R h. Zatim, na osnovu drugog aksioma statike, odbacimo uravnoteženi sistem dviju sila primijenjenih u tački O.
d) i paralelno. Sistem se pokreće pomoću dinamičkog vijka, sa osom koja prolazi kroz centar O(Sl. 1.32).
Rice. 1.32. Dinamički vijak
e) i nisu jednaki nuli, a istovremeno glavni vektor i glavni moment nisu paralelni i nisu okomiti jedan na drugi. Sistem se pokreće pomoću dinamičkog vijka, ali os ne prolazi kroz centar O(Sl. 1.33).
Rice. 1.33. Najopštiji slučaj redukcije sistema sila
Slučajevi svođenja na najjednostavniji oblik
Dovođenje do para
Neka, kao rezultat dovođenja sila u centar O, ispada da je glavni vektor jednak nuli, a glavni moment je različit od nule: . Tada, na osnovu osnovne teoreme statike, možemo pisati
To znači da je prvobitni sistem sila u ovom slučaju ekvivalentan paru sila sa momentom.
Trenutak para ne zavisi od toga koja je tačka odabrana kao centar momenta pri izračunavanju momenta para. Prema tome, u ovom slučaju glavna stvar ne bi trebala ovisiti o izboru centra redukcije. Ali upravo to je zaključak do kojeg ta veza vodi
povezujući glavne tačke u pogledu dva različita centra. Kada je dodatni član takođe jednak nuli, dobijamo
Redukcija na rezultantu
Neka sada glavni vektor nije jednak nuli, a glavni moment jednak nuli: . Na osnovu osnovne teoreme statike imamo
odnosno sistem sila se ispostavlja kao ekvivalentan jednoj sili - glavnom vektoru. Posljedično, u ovom slučaju, originalni sistem sila se svodi na rezultantu, a ova rezultanta se poklapa sa glavnim vektorom primijenjenim u centru redukcije: .
Sistem sila se svodi na rezultantu u slučaju kada glavni vektor i glavni moment nisu jednaki nuli, već su međusobno okomiti: . Dokaz se izvodi pomoću sljedećeg niza radnji.
Kroz centar redukcije O povlačimo ravan okomitu na glavni moment (slika 50, a). Na slici je ova ravan kombinovana sa ravninom crteža, a glavni vektor se nalazi u njoj. U ovoj ravni gradimo par sa momentom i biramo sile para da budu jednake po veličini glavnom vektoru; tada će poluga para biti jednaka . Zatim pomičemo par u njegovoj ravni tako da se jedna od sila para primjenjuje na centar redukcije O suprotno od glavne; druga sila para će biti primenjena u tački C, udaljenoj od centra O u željenom pravcu, određenom smerom, na rastojanju OS jednakom kraku para h (Sl. 50, b). Sada odbacujući uravnotežene sile R i - primijenjene u tački O, dolazimo do jedne sile primijenjene u tački C (slika 50, c). Ona će služiti kao rezultanta ovog sistema snaga.
Može se vidjeti da je sila reakcije i dalje jednaka glavnom vektoru, ali se razlikuje od glavnog vektora u tački primjene. Ako se glavni vektor primjenjuje na centar redukcije O, onda je rezultanta u tački C, čiji položaj zahtijeva posebnu definiciju. Geometrijska metoda pronalaženja tačke C vidljiva je iz gore urađene konstrukcije.
Za trenutak rezultante u odnosu na centar redukcije O možemo napisati (vidi sliku 50):
ili, izostavljajući srednje vrijednosti:
Ako projektiramo ovu vektorsku jednakost na bilo koju os koja prolazi kroz tačku O, dobićemo odgovarajuću jednakost u projekcijama:
Sjećajući se da je projekcija momenta sile u odnosu na tačku na osu koja prolazi kroz ovu tačku moment sile u odnosu na osu, ovu jednakost prepisujemo na sljedeći način:
Rezultirajuće jednakosti izražavaju Varignonovu teoremu u njenom opštem obliku (u 2. predavanju teorema je formulisana samo za konvergentne sile): ako sistem sila ima rezultantu, tada je moment ove rezultante (u odnosu na tačku, u odnosu na osu) jednak je zbiru momenata svih datih sila - komponenti (u odnosu na istu tačku, istu osu). Jasno je da je u slučaju tačke zbir momenata vektorski, a u slučaju ose algebarski.
Svođenje na dinamiku
Dinamika ili dinamički vijak je kombinacija para sila i sile usmjerene okomito na ravan djelovanja para. Može se pokazati da je u opštem slučaju redukcije, kada i nije okomito, originalni sistem sila ekvivalentan nekom dinamiku.
Neka se na kruto tijelo istovremeno primjenjuje nekoliko parova sila s momentima koji djeluju u različitim ravnima. Da li je moguće svesti ovaj sistem parova na jednostavniji oblik? Ispostavilo se da je to moguće, a odgovor sugerira sljedeća teorema o sabiranju dva para.
Teorema. Dva para sila koje djeluju u različitim ravnima ekvivalentna su jednom paru sila sa momentom jednakim geometrijskom zbiru momenata datih parova.
Neka su parovi definisani svojim momentima i (slika 36,a). Konstruirajmo dvije ravni okomite na ove vektore (ravan djelovanja parova) i, birajući određeni segment AB na liniji presjeka ravnina za rame zajedničko za oba para, konstruisaćemo odgovarajuće parove: (Sl. 36, b).
U skladu sa definicijom trenutka para, možemo pisati
U tačkama A i B imamo konvergirajuće sile. Primjenjujući pravilo paralelograma sila (aksiom 3), imat ćemo:
Ispostavlja se da su dati parovi ekvivalentni dvjema silama, koje također čine par. Dakle, prvi dio teoreme je dokazan. Drugi dio teoreme dokazuje se direktnim izračunavanjem momenta rezultirajućeg para:
Ako postoji veći broj parova, onda se njihovim dodavanjem u parove u skladu s ovom teoremom, bilo koji broj parova može svesti na jedan par. Kao rezultat, dolazimo do sljedećeg zaključka: skup (sistem) parova sila primijenjenih na apsolutno kruto tijelo može se svesti na jedan par sa momentom jednakim geometrijskom zbiru momenata svih datih parova.
Matematički, ovo se može napisati na sljedeći način:
Na sl. Slika 37 daje geometrijsku ilustraciju rezultirajućeg zaključka.
Za ravnotežu parova sila potrebno je da moment rezultirajućeg para bude jednak nuli, što dovodi do jednakosti
Ovaj uslov se može izraziti u geometrijskom i analitičkom obliku. Geometrijski uslov za ravnotežu parova sila: da bi sistem parova sila bio u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da vektorski poligon konstruisan iz momenata svih parova bude zatvoren.
Analitički uslov za ravnotežu parova sila: da bi sistem parova sila bio u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da algebarski sumi projekcija vektora momenta svih parova na proizvoljno odabrane koordinatne ose Oxyz budu jednaki nuli:
Ako svi parovi leže u istoj ravni, odnosno čine ravan sistem parova, dobija se samo jedan uslov analitičke ravnoteže - zbir algebarskih momenata parova jednak je nuli.
Pitanja za samotestiranje
1. Šta je pravilo poligona sila? Za šta se koristi poligon sile?
2. Kako analitički pronaći rezultantu konvergentnih sila?
3. Koji je geometrijski uslov za ravnotežu sila koje se konvergiraju? Kako je ovaj isti uslov formulisan analitički?
4. Navedite teoremu o tri sile.
5. Koji problemi statike se nazivaju statički definisani, a koji se nazivaju statički neodređeni? Navedite primjer statički neodređenog problema.
6. Šta se naziva par sila?
7. Šta se zove moment (vektor-moment) para sila? Koji su smjer, veličina i tačka primjene trenutka?
8. Šta se naziva algebarskim momentom para?
9. Formulirajte pravilo za dodavanje parova proizvoljno lociranih u prostoru.
10. Koji su vektorski, geometrijski i analitički uslovi za ravnotežu sistema parova sila?
