Oglašavanje na portalu

Konstruirajte graf funkcije s primjerima modula. Grafovi linearne funkcije s modulima. Slučaj varijable s desne strane

Erdnigoryaeva Marina

Ovaj rad je rezultat proučavanja izborne teme u 8. razredu. Ovdje su prikazane geometrijske transformacije grafova i njihova primjena na konstrukciju grafova sa modulima. Uveden je koncept modula i njegovih svojstava. Pokazuje se kako se grafovi sa modulima konstruišu na različite načine: pomoću transformacija i na osnovu koncepta modula Tema projekta je jedna od najtežih u predmetu matematike, odnosi se na pitanja koja se razmatraju u izbornim predmetima. studirao u razredima sa naprednom matematikom. Međutim, takvi zadaci se daju u drugom dijelu GIA, na Jedinstvenom državnom ispitu. Ovaj rad će vam pomoći da shvatite kako graditi grafove s modulima ne samo linearnih, već i drugih funkcija (kvadratnih, obrnuto proporcionalnih, itd.). Rad će vam pomoći u pripremi za državni ispit i Jedinstveni državni ispit.

Skinuti:

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com


Naslovi slajdova:

Grafovi linearne funkcije sa modulima Rad Erdnigoryaeva Marina, učenice 8. razreda MCOU "Kamyshovskaya OOSH" Supervizor Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, nastavnik matematike MCOU "Kamyshovskaya OOSH" str. Kamiševo, 2013

Cilj projekta: Odgovoriti na pitanje kako graditi grafove linearnih funkcija sa modulima. Ciljevi projekta: Proučiti literaturu o ovom pitanju. Proučavati geometrijske transformacije grafova i njihovu primjenu na konstrukciju grafova sa modulima. Proučite koncept modula i njegova svojstva. Naučite da gradite grafikone sa modulima na različite načine.

Direktna proporcionalnost Direktna proporcionalnost je funkcija koja se može specificirati formulom oblika y=kx, gdje je x nezavisna varijabla, k je broj različit od nule.

Nacrtajmo funkciju y = x x 0 2 y 0 2

Geometrijska transformacija grafova Pravilo br. 1 Grafikon funkcije y = f (x) + k - linearna funkcija - dobija se paralelnim prijenosom grafika funkcije y = f (x) za + k jedinica gore O y osa za k> 0 ili |- k| jedinice niz O y os na k

Napravimo grafikone y=x+3 y=x-2

Pravilo br. 2 Grafikon funkcije y=kf(x) se dobija rastezanjem grafika funkcije y = f (x) duž O y ose a puta na a>1 i kompresijom duž O y ose a puta na 0Slajd 9

Napravimo graf y=x y= 2 x

Pravilo br. 3 Grafikon funkcije y = - f (x) se dobija simetričnim prikazom grafika y = f (x) u odnosu na osu O x

Pravilo br. 4 Grafikon funkcije y = f (- x) dobija se simetričnim prikazom grafika funkcije y = f (x) u odnosu na O y osu

Pravilo br. 5 Graf funkcije y=f(x+c) se dobija paralelnim prenosom grafika funkcije y=f(x) duž ose O x udesno, ako je c 0.

Napravimo grafikone y=f(x) y=f(x+2)

Definicija modula Modul nenegativnog broja a jednak je samom broju a; Modul negativnog broja a jednak je njegovom suprotnom pozitivnom broju -a. Ili, |a|=a, ako je a ≥0 |a|=-a, ako je a

Grafovi linearnih funkcija s modulima se konstruiraju: korištenjem geometrijskih transformacija proširenjem definicije modula.

Pravilo br. 6 Grafikon funkcije y=|f(x)| dobije se na sljedeći način: dio grafa y=f(x) koji leži iznad ose O x je sačuvan; dio koji leži ispod ose Ox prikazuje se simetrično u odnosu na os Ox.

Grafikujte funkciju y=-2| x-3|+4 Konstrukcija y ₁=| x | Gradimo y₂= |x - 3 | → paralelno prevođenje za +3 ​​jedinice duž ose Ox (pomak udesno) Konstruišite y ₃ =+2|x-3| → rastegnuti duž O ose y 2 puta = 2 y₂ Gradimo y ₄ =-2|x-3| → simetrija oko x-ose = - y₃ Gradimo y₅ =-2|x-3|+4 → paralelno prevođenje za +4 jedinice duž O ose y (pomak nagore) = y ₄ +4

Grafikon funkcije y =-2|x-3|+4

Grafikon funkcije y= 3|x|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → istezanje za 3 puta y₃=3|x| +2= y₄+2 → pomak gore 2 jedinice

Pravilo br. 7 Graf funkcije y=f(| x |) dobija se iz grafa funkcije y=f(x) na sljedeći način: Za x > 0 graf funkcije je sačuvan, a isti dio grafikona je simetrično prikazan u odnosu na O y osu

Grafikujte funkciju y = || x-1 | -2 |

Y₁= |x| y₂=|x-1| y₃= y₂-2 y₄= |y₃| Y=||x-1|-2|

Algoritam za konstruiranje grafa funkcije y=│f(│x│)│ konstruira graf funkcije y=f(│x│) . zatim ostavite nepromijenjene sve dijelove konstruiranog grafa koji leže iznad x ose. dijelovi koji se nalaze ispod x-ose prikazani su simetrično oko ove ose.

Y=|2|x|-3| Konstrukcija: a) y=2x-3 za x>0, b) y=-2x-3 za x Slajd 26

Pravilo #8 Graf zavisnosti | y|=f(x) se dobija iz grafa funkcije y=f(x) ako su sačuvane sve tačke za koje je f(x) > 0 i one su takođe simetrično prenete u odnosu na osu apscise.

Konstruirajte skup tačaka na ravni čije kartezijanske koordinate x i y zadovoljavaju jednačinu |y|=||x-1|-1|.

| y|=||x-1| -1| gradimo dva grafikona 1) y=||x-1|-1| i 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → pomak duž ose Ox udesno za 1 jedinicu y₃ = | x -1 |- 1= → pomak naniže 1 jedinica y ₄ = || x-1|- 1| → simetrija tačaka grafa za koje je y₃ 0 u odnosu na O x

Grafikon jednadžbe |y|=||x-1|-1| dobijamo sledeće: 1) konstruisati graf funkcije y=f(x) i ostaviti nepromenjen onaj njen deo gde je y≥0 2) koristeći simetriju oko ose Ox, konstruisati drugi deo grafa koji odgovara y

Grafikujte funkciju y =|x | − | 2 − x | . Rješenje. Ovdje se znak modula pojavljuje u dva različita pojma i mora se ukloniti. 1) Pronađite korijene submodularnih izraza: x=0, 2-x=0, x=2 2) Postavite predznake na intervalima:

Grafikon funkcije

Zaključak Tema projekta je jedna od težih u predmetu matematike, odnosi se na pitanja koja se razmatraju u izbornim predmetima, a izučava se u nastavi za produbljeno izučavanje predmeta matematike. Ipak, takvi zadaci su dati u drugom dijelu GIA. Ovaj rad će vam pomoći da shvatite kako graditi grafove s modulima ne samo linearnih funkcija, već i drugih funkcija (kvadratnih, obrnuto proporcionalnih, itd.). Rad će vam pomoći u pripremi za državni ispit i Jedinstveni državni ispit i omogućit će vam da dobijete visoke ocjene iz matematike.

Literatura Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Matematika.” Udžbenik 6. razred Moskva. Izdavačka kuća “Mnemosyne”, 2010. Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. i drugi. 8. razred: obrazovni. Priručnik za studente i odeljenja sa naprednim učenjem matematike. - Moskva. Prosvjeta, 2009. Gaidukov I.I. "Apsolutna vrijednost." Moskva. Prosvjeta, 1968. Gursky I.P. “Funkcije i grafički prikazi.” Moskva. Prosvjeta, 1968. Yashchina N.V. Tehnike za konstruisanje grafova koji sadrže module. Časopis "Matematika u školi", br. 3, 1994. Dečja enciklopedija. Moskva. “Pedagogija”, 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Matematički problemi. M., „Nauka“, 1993. Petrakov I.S. Matematički klubovi 8-10 razreda. M., „Prosvjeta“, 1987. Galitsky M.L. i drugi Zbirka zadataka iz algebre za 8.-9. razred: Udžbenik za učenike i odjeljenja sa naprednim učenjem matematike. – 12. izd. – M.: Obrazovanje, 2006. – 301 str. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: Dodatna poglavlja za školski udžbenik za 9. razred: Udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike / Urednik G.V. – M.: Obrazovanje, 1997. – 224 str. Sadykina N. Konstrukcija grafova i zavisnosti koji sadrže znak modula / Matematika. - Ne. 33. – 2004. – str.19-21.. Kostrikina N.P. „Problemi povećane težine u kursu algebre za 7-9 razred”... Moskva: Obrazovanje, 2008.

Transkript

1 Regionalna naučno-praktična konferencija nastavno-istraživačkih radova učenika 6-11 razreda “Primijenjena i fundamentalna pitanja matematike” Metodološki aspekti proučavanja matematike Konstrukcija grafova funkcija koji sadrže modul Gabova Angela Yuryevna, 10. razred, MOBU “Gimnazija 3 ” Kudimkar, Pikuleva Nadežda Ivanovna, nastavnica matematike u opštinskoj obrazovnoj ustanovi „Gimnazija 3“, Kudimkar Perm, 2016.

2 Sadržaj: Uvod...3 stranice I. Glavni dio...6 stranica 1.1Historijska pozadina..6 stranica 2.Osnovne definicije i svojstva funkcija stranica 2.1 Kvadratna funkcija..7 stranica 2.2 Linearna funkcija.. .8 str. 2.3 Razlomno-racionalna funkcija 8 str. 3. Algoritmi za konstruisanje grafova sa modulima.. 9 str koji sadrži u formuli “ugniježđenih modula”.10 str. 3.4 Algoritam za konstruiranje grafova funkcija oblika y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x n + b...13 str funkcija sa modulom.14 str. 3.6 Algoritam za crtanje razlomke racionalne funkcije sa modulom. 15pp. 4. Promjene u grafu kvadratne funkcije ovisno o mjestu predznaka apsolutne vrijednosti..17p. II. Zaključak...26 str. III. Spisak referenci i izvora...27 str. IV. Dodatak....28 str. 2

3 Uvod Konstrukcija grafova funkcija jedna je od najzanimljivijih tema u školskoj matematici. Najveći matematičar našeg vremena, Izrael Mojsejevič Gelfand, napisao je: „Proces konstruisanja grafova je način transformacije formula i opisa u geometrijske slike. Ovaj graf je način da se sagledaju formule i funkcije i da se vidi kako se te funkcije mijenjaju. Na primjer, ako je napisano y =x 2, tada odmah vidite parabolu; ako je y = x 2-4, vidite parabolu spuštenu za četiri jedinice; ako je y = -(x 2 4), tada vidite prethodnu parabolu okrenutu prema dolje. Ova sposobnost da se odmah vidi formula i njena geometrijska interpretacija važna je ne samo za proučavanje matematike, već i za druge predmete. To je vještina koja ostaje sa vama za cijeli život, poput vožnje bicikla, kucanja ili vožnje automobila.” Osnove rješavanja jednačina sa modulima stekli su u 6.-7. razredu. Odabrao sam upravo ovu temu jer smatram da zahtijeva dublje i temeljitije istraživanje. Želim steći više znanja o modulima brojeva, različitim načinima konstruisanja grafova koji sadrže predznak apsolutne vrijednosti. Kada se znak modula uključi u “standardne” jednadžbe linija, parabola i hiperbole, njihovi grafovi postaju neobični, pa čak i lijepi. Da biste naučili kako graditi takve grafove, morate savladati tehnike konstruiranja osnovnih figura, kao i čvrsto znati i razumjeti definiciju modula broja. U školskom predmetu matematike o grafovima sa modulom se ne govori dovoljno detaljno, zbog čega sam želio da proširim svoje znanje o ovoj temi i sprovedem vlastito istraživanje. Bez poznavanja definicije modula, nemoguće je konstruisati čak ni najjednostavniji graf koji sadrži apsolutnu vrijednost. Karakteristična karakteristika grafova funkcija koji sadrže izraze sa predznakom modula je 3

4 je prisustvo kinkova u onim tačkama u kojima izraz pod predznakom modula mijenja predznak. Svrha rada: razmotriti konstrukciju grafa linearnih, kvadratnih i frakciono racionalnih funkcija koje sadrže promjenljivu pod predznakom modula. Ciljevi: 1) Proučiti literaturu o svojstvima apsolutne vrijednosti linearnih, kvadratnih i razlomaka racionalnih funkcija. 2) Istražiti promjene u grafovima funkcija ovisno o mjestu predznaka apsolutne vrijednosti. 3) Naučite crtati jednadžbe. Predmet proučavanja: grafovi linearnih, kvadratnih i frakciono racionalnih funkcija. Predmet istraživanja: promjene u grafu linearnih, kvadratnih i frakciono racionalnih funkcija u zavisnosti od položaja predznaka apsolutne vrijednosti. Praktični značaj mog rada je u: 1) korišćenju stečenog znanja o ovoj temi, kao i produbljivanju i primeni na druge funkcije i jednačine; 2) u korišćenju istraživačkih veština u daljim obrazovnim aktivnostima. Relevantnost: Grafički zadaci su tradicionalno jedna od najtežih tema u matematici. Naši maturanti suočeni su sa problemom uspješnog polaganja državnog ispita i Jedinstvenog državnog ispita. Problem istraživanja: izrada grafova funkcija koji sadrže znak modula iz drugog dijela GIA. Hipoteza istraživanja: korištenje metodologije za rješavanje zadataka u drugom dijelu GIA, razvijene na osnovu općih metoda za konstruiranje grafova funkcija koje sadrže znak modula, omogućit će studentima rješavanje ovih zadataka 4

5 svjesno odabrati najracionalniji metod rješenja, primijeniti različite metode rješavanja i uspješnije položiti državni ispit. Metode istraživanja korištene u radu: 1. Analiza matematičke literature i internet izvora na ovu temu. 2. Reproduktivna reprodukcija proučavanog materijala. 3. Kognitivne i aktivnosti pretraživanja. 4.Analiza i poređenje podataka u potrazi za rješenjima problema. 5. Izjava hipoteza i njihova provjera. 6. Poređenje i generalizacija matematičkih činjenica. 7. Analiza dobijenih rezultata. Prilikom pisanja ovog rada korišteni su sljedeći izvori: Internet resursi, OGE testovi, matematička literatura. 5

6 I. Glavni dio 1.1 Istorijska pozadina. U prvoj polovini 17. stoljeća počela se javljati ideja o funkciji kao ovisnosti jedne varijable o drugoj. Tako su francuski matematičari Pierre Fermat () i Rene Descartes () zamislili funkciju kao zavisnost ordinate tačke na krivulji na njenoj apscisi. A engleski naučnik Isaac Newton () shvatio je funkciju kao koordinatu pokretne tačke koja se mijenja ovisno o vremenu. Termin “funkcija” (od latinskog izvršenje funkcije, ostvarenje) prvi je uveo njemački matematičar Gottfried Leibniz(). Povezao je funkciju s geometrijskom slikom (grafom funkcije). Nakon toga, švicarski matematičar Johann Bernoulli() i član Sankt Peterburgske akademije nauka, poznati matematičar iz 18. vijeka Leonard Euler(), razmatrali su funkciju kao analitički izraz. Ojler takođe ima opšte razumevanje funkcije kao zavisnosti jedne varijable od druge. Riječ “modul” dolazi od latinske riječi “modulus”, što znači “mjera”. Ovo je polisemantička riječ (homonim), koja ima mnogo značenja i koristi se ne samo u matematici, već iu arhitekturi, fizici, tehnologiji, programiranju i drugim egzaktnim naukama. U arhitekturi, ovo je početna mjerna jedinica uspostavljena za datu arhitektonsku strukturu i koja se koristi za izražavanje višestrukih odnosa njenih sastavnih elemenata. U tehnologiji je to pojam koji se koristi u raznim oblastima tehnike, koji nema univerzalno značenje i služi za označavanje različitih koeficijenata i veličina, na primjer, modul zahvata, modul elastičnosti itd. 6

7 Modul volumena (u fizici) je omjer normalnog naprezanja u materijalu i relativnog izduženja. 2. Osnovne definicije i svojstva funkcija Funkcija je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova. Funkcija je zavisnost varijable y od varijable x tako da svaka vrijednost varijable x odgovara jednoj vrijednosti varijable y. Metode za specifikaciju funkcije: 1) analitička metoda (funkcija se specificira pomoću matematičke formule); 2) tabelarni metod (funkcija se specificira pomoću tabele); 3) deskriptivna metoda (funkcija se specificira verbalnim opisom); 4) grafički metod (funkcija se specificira pomoću grafa). Graf funkcije je skup svih točaka koordinatne ravnine, čije su apscise jednake vrijednosti argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. 2.1 Kvadratna funkcija Funkcija definirana formulom y = ax 2 + in + c, gdje su x i y varijable, a parametri a, b i c su bilo koji realni brojevi, a a = 0, naziva se kvadratnom. Grafikon funkcije y=ax 2 +in+c je parabola; osa simetrije parabole y=ax 2 +in+c je prava linija, za a>0 "grane" parabole su usmjerene prema gore, za a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7

8 (za funkcije jedne varijable). Glavno svojstvo linearnih funkcija: prirast funkcije je proporcionalan inkrementu argumenta. To jest, funkcija je generalizacija direktne proporcionalnosti. Grafikon linearne funkcije je prava linija, odakle dolazi i njen naziv. Ovo se odnosi na realnu funkciju jedne realne varijable. 1) Kada, prava linija formira oštar ugao s pozitivnim smjerom ose apscise. 2) Kada, prava linija formira tupi ugao s pozitivnim smjerom x-ose. 3) je ordinatni indikator tačke preseka prave sa ordinatnom osom. 4) Kada, prava linija prolazi kroz ishodište. , 2.3 Razlomka-racionalna funkcija je razlomak čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Ima oblik gdje, polinomi u bilo kojem broju varijabli. Poseban slučaj su racionalne funkcije jedne varijable:, gdje su i polinomi. 1) Svaki izraz koji se može dobiti iz varijabli korištenjem četiri aritmetičke operacije je racionalna funkcija. 8

9 2) Skup racionalnih funkcija je zatvoren pod aritmetičkim operacijama i operacijom kompozicije. 3) Bilo koja racionalna funkcija se može predstaviti kao zbir jednostavnih razlomaka - ovo se koristi u analitičkoj integraciji.. , 3. Algoritmi za konstruisanje grafova sa modulom 3.1 Definicija modula Modul realnog broja a je sam broj a, ako nije negativan, a broj nasuprot a, ako je a negativan. a = 3.2 Algoritam za konstruisanje grafa linearne funkcije sa modulom Da biste konstruisali grafove funkcija y = x morate znati da za pozitivno x imamo x = x. To znači da se za pozitivne vrijednosti argumenta graf y= x poklapa sa grafikom y=x, odnosno ovaj dio grafa je zraka koja izlazi iz ishodišta pod uglom od 45 stepeni u odnosu na osu apscise . Na x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9

10 Za konstruiranje uzimamo bodove (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Sada napravimo graf y= x-1 Ako je A tačka na grafu y= x sa koordinatama (a; a), onda će tačka na grafu y= x-1 sa istom vrednošću Y ordinate. biti tačka A1(a+1; a). Ova tačka drugog grafa može se dobiti iz tačke A(a; a) prvog grafa pomeranjem paralelno sa Ox osom udesno. To znači da se cijeli graf funkcije y= x-1 dobija iz grafa funkcije y= x pomjeranjem paralelno s osom Ox udesno za 1. Konstruirajmo grafove: y= x-1 Za konstruiranje , uzmite bodove (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Konstruiranje grafova funkcija koji sadrže „ugniježđene module“ u formuli Razmotrimo algoritam konstrukcije koristeći poseban primjer Konstruirajte graf funkcije: 10

11 y=i-2-ix+5ii 1. Napravi graf funkcije. 2. Prikazujemo grafik donje poluravnine prema gore simetrično u odnosu na osu OX i dobijamo grafik funkcije. jedanaest

12 3. Grafikon funkcije prikazujemo nadole simetrično u odnosu na osu OX i dobijamo grafik funkcije. 4. Grafikon funkcije prikazujemo nadole simetrično u odnosu na osu OX i dobijamo grafik funkcije 5. Prikazujemo grafik funkcije u odnosu na osu OX i dobijamo grafik. 12

13 6. Kao rezultat, graf funkcije izgleda ovako 3.4. Algoritam za konstruisanje grafova funkcija oblika y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. U prethodnom primjeru bilo je prilično lako otkriti znakove modula. Ako ima više zbroja modula, onda je problematično razmotriti sve moguće kombinacije znakova submodularnih izraza. Kako, u ovom slučaju, konstruirati graf funkcije? Imajte na umu da je graf izlomljena linija, sa vrhovima u tačkama koje imaju apscise -1 i 2. Kod x = -1 i x = 2, submodularni izrazi su jednaki nuli. U praksi smo se približili pravilu za konstruisanje takvih grafova: Graf funkcije oblika y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b je izlomljena linija sa beskonačnim ekstremnim vezama. Za konstruiranje takve izlomljene linije dovoljno je poznavati sve njene vrhove (apscise vrhova su nule submodularnih izraza) i jednu kontrolnu tačku na lijevoj i desnoj beskonačnoj vezi. 13

14 Problem. Grafikujte funkciju y = x + x 1 + x + 1 i pronađite njenu najmanju vrijednost. Rješenje: 1. Nule submodularnih izraza: 0; -1; Vrhovi polilinije (0; 2); (-13); (1; 3) (zamjenjujemo nule submodularnih izraza u jednačinu) 3 Kontrolna točka na desnoj strani (2; 6), na lijevoj strani (-2; 6). Gradimo graf (slika 7), najmanja vrijednost funkcije je Algoritam za konstruisanje grafa kvadratne funkcije sa modulom Izrada algoritama za pretvaranje grafova funkcija. 1. Iscrtavanje grafika funkcije y= f(x). Po definiciji modula, ova funkcija je podijeljena na skup od dvije funkcije. Prema tome, graf funkcije y= f(x) sastoji se od dva grafika: y= f(x) u desnoj poluravni, y= f(-x) u lijevoj poluravni. Na osnovu toga se može formulisati pravilo (algoritam). Graf funkcije y= f(x) dobija se iz grafa funkcije y= f(x) na sljedeći način: kod x 0 graf je sačuvan, a kod x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14

15 3. Da biste napravili graf funkcije y= f(x), prvo morate izgraditi graf funkcije y= f(x) za x> 0, zatim za x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15

16 Da biste dobili ovaj graf, potrebno je samo pomaknuti prethodno dobijeni graf tri jedinice udesno. Imajte na umu da kada bi nazivnik razlomka sadržavao izraz x + 3, onda bismo pomaknuli graf ulijevo: Sada moramo pomnožiti sve ordinate sa dva da bismo dobili graf funkcije dvije jedinice: Posljednja stvar koju moramo učiniti je , ovo je da nacrtamo graf date funkcije ako je zatvorena pod znakom modula. Da bismo to učinili, reflektujemo simetrično prema gore cijeli dio grafa čije su ordinate negativne (onaj dio koji leži ispod x-ose): Slika 4 16

17 4.Promjene u grafu kvadratne funkcije ovisno o mjestu predznaka apsolutne vrijednosti. Konstruirajte grafik funkcije y = x 2 - x -3 1) Pošto je x = x na x 0, traženi graf se poklapa sa parabolom y = 0,25 x 2 - x - 3. Ako je x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Dakle, završavam konstrukciju za x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17

18 Fig. 4 Grafikon funkcije y = f (x) poklapa se sa grafikom funkcije y = f (x) na skupu nenegativnih vrijednosti argumenta i simetričan je prema njemu u odnosu na os OU na skupu negativnih vrijednosti argumenta. Dokaz: Ako je x 0, onda je f (x) = f (x), tj. na skupu nenegativnih vrijednosti argumenta, grafovi funkcija y = f (x) i y = f (x) se poklapaju. Budući da je y = f (x) parna funkcija, njen graf je simetričan u odnosu na op-amp. Tako se grafik funkcije y = f (x) može dobiti iz grafika funkcije y = f (x) na sljedeći način: 1. konstruirati grafik funkcije y = f (x) za x>0; 2. Za x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Za x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х

19 Ako je x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 i simetrično reflektirani dio y = f(x) na y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, tada je f (x) = f (x), što znači da se u ovom dijelu grafik funkcije y = f (x) poklapa sa grafikom same funkcije y = f (x). Ako je f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19

20 Slika 5 Zaključak: Da se napravi graf funkcije y= f(x) 1. Napravi graf funkcije y=f(x) ; 2. U područjima gdje se graf nalazi u donjoj poluravni, tj. gdje je f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20

21 Istraživački rad na konstrukciji grafika funkcije y = f (x) Koristeći definiciju apsolutne vrijednosti i prethodno razmatrane primjere, konstruisaćemo grafove funkcije: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 i izvući zaključke. Da biste napravili graf funkcije y = f (x) potrebno je: 1. Napraviti graf funkcije y = f (x) za x>0. 2. Konstruirajte drugi dio grafa, tj. odrazite konstruirani graf simetrično u odnosu na op-amp, jer Ova funkcija je parna. 3. Pretvorite dijelove rezultirajućeg grafa koji se nalaze u donjoj poluravnini u gornju poluravninu simetrično na OX os. Konstruisati grafik funkcije y = 2 x - 3 (1. metod za određivanje modula) 1. Konstruisati y = 2 x - 3, za 2 x - 3 > 0, x >1,5 tj. X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, za x>0 b) za x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) za x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Konstruišemo pravu liniju, simetričnu onoj konstruisanoj u odnosu na osu op-amp. 3) Prikazujem dijelove grafikona koji se nalaze u donjoj poluravni simetrično u odnosu na osu OX. Upoređujući oba grafikona, vidimo da su isti. 21

22 Primjeri zadataka Primjer 1. Razmotrimo grafik funkcije y = x 2 6x +5. Pošto je x na kvadrat, bez obzira na predznak broja x, nakon kvadriranja će biti pozitivan. Iz toga slijedi da će graf funkcije y = x 2-6x +5 biti identičan grafu funkcije y = x 2-6x +5, tj. graf funkcije koji ne sadrži znak apsolutne vrijednosti (slika 2). Sl.2 Primjer 2. Razmotrimo grafik funkcije y = x 2 6 x +5. Koristeći definiciju modula broja, zamjenjujemo formulu y = x 2 6 x +5 Sada imamo posla sa nama poznatim dodjeljivanjem ovisnosti po komadima. Napravit ćemo graf ovako: 1) izgraditi parabolu y = x 2-6x +5 i zaokružiti dio koji je 22

23 odgovara nenegativnim vrijednostima x, tj. dio koji se nalazi desno od ose Oy. 2) u istoj koordinatnoj ravni konstruisati parabolu y = x 2 +6x +5 i zaokružiti deo koji odgovara negativnim vrednostima x, tj. dio koji se nalazi lijevo od ose Oy. Zaokruženi dijelovi parabola zajedno čine grafik funkcije y = x 2-6 x +5 (slika 3). Sl.3 Primjer 3. Razmotrimo grafik funkcije y = x 2-6 x +5. Jer grafik jednadžbe y = x 2 6x +5 je isti kao i grafik funkcije bez predznaka modula (o čemu se govori u primjeru 2), slijedi da je grafik funkcije y = x 2 6 x +5 identičan na graf funkcije y = x 2 6 x +5 , razmatran u primjeru 2 (slika 3). Primjer 4. Napravimo grafik funkcije y = x 2 6x +5. Da bismo to učinili, napravimo graf funkcije y = x 2-6x. Da biste iz njega dobili graf funkcije y = x 2-6x, trebate svaku tačku parabole s negativnom ordinatom zamijeniti točkom s istom apscisom, ali suprotnom (pozitivnom) ordinatom. Drugim riječima, dio parabole koji se nalazi ispod x-ose mora se zamijeniti linijom simetričnom u odnosu na x-os. Jer treba da napravimo grafik funkcije y = x 2-6x +5, zatim graf funkcije koju smo smatrali y = x 2-6x samo treba podići duž y-ose za 5 jedinica gore (slika 4 ). 23

24 Sl.4 Primjer 5. Napravimo grafik funkcije y = x 2-6x+5. Da bismo to učinili, koristit ćemo dobro poznatu funkciju po komadima. Nađimo nule funkcije y = 6x +5 6x + 5 = 0 at. Razmotrimo dva slučaja: 1) Ako, onda će jednačina poprimiti oblik y = x 2 6x -5. Konstruirajmo ovu parabolu i zaokružimo dio gdje. 2) Ako, onda jednačina ima oblik y = x 2 + 6x +5. Postavimo ovu parabolu i zaokružimo onaj njen dio koji se nalazi lijevo od tačke sa koordinatama (slika 5). 24

25 Sl.5 Primjer6. Napravimo graf funkcije y = x 2 6 x +5. Da bismo to učinili, izgradit ćemo graf funkcije y = x 2-6 x +5. Ovaj graf smo izgradili u primjeru 3. Pošto je naša funkcija potpuno pod znakom modula, da bismo napravili graf funkcije y = x 2 6 x +5, potrebna nam je svaka tačka grafika funkcije y = x 2 6 x + 5 sa negativnom ordinatom treba zamijeniti tačkom sa istom apscisom, ali sa suprotnom (pozitivnom) ordinatom, tj. dio parabole koji se nalazi ispod ose Ox mora se zamijeniti linijom koja joj je simetrična u odnosu na os Ox (slika 6). Fig.6 25

26 II Zaključak „Matematičke informacije mogu se koristiti vješto i korisno samo ako se kreativno savladaju, kako bi učenik sam uvidio kako bi do njih mogao doći. A.N. Kolmogorov. Ovi problemi su od velikog interesa za učenike devetog razreda, jer su vrlo česti u OGE testovima. Sposobnost izrade grafikona podataka funkcija omogućit će vam uspješnije polaganje ispita. Francuski matematičari Pierre Fermat () i Rene Descartes () zamislili su funkciju kao zavisnost ordinate tačke na krivulji na njenoj apscisi. A engleski naučnik Isaac Newton () shvatio je funkciju kao koordinatu pokretne tačke koja se mijenja ovisno o vremenu. 26

27 III Spisak literature i izvora 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbirka zadataka iz algebre za 8.-9. razred: Udžbenik. priručnik za učenike škole. i napredne klase studirao Matematika 2. izd. M.: Prosvjeta, Dorofeev G.V. Algebra. Funkcije. Analiza podataka. 9. razred: m34 Obrazovni. za opšteobrazovne studije. osnivanje 2. izd., stereotip. M.: Bustard, Solomonik V.S. Zbirka pitanja i zadataka iz matematike M.: „Viša škola“, Yashchenko I.V. GIA. Matematika: standardne opcije ispita: O opcijama.m.: “Nacionalno obrazovanje”, str. 5. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: standardne opcije ispita: O opcijama.m.: “Nacionalno obrazovanje”, str. 6. Yashchenko I.V. OGE. Matematika: standardne opcije ispita: O opcijama.m.: “Nacionalno obrazovanje”, sa

28 Dodatak 28

29 Primjer 1. Grafikujte funkciju y = x 2 8 x Rješenje. Odredimo parnost funkcije. Vrijednost za y(-x) je ista kao i vrijednost za y(x), tako da je ova funkcija parna. Tada je njegov graf simetričan u odnosu na Oy os. Grafikujemo funkciju y = x 2 8x + 12 za x 0 i simetrično prikazujemo grafik u odnosu na Oy za negativan x (slika 1). Primjer 2. Sljedeći grafik oblika y = x 2 8x To znači da se grafik funkcije dobija na sljedeći način: izgraditi grafik funkcije y = x 2 8x + 12, ostaviti dio grafa koji leži iznad Ox osa je nepromijenjena, a dio grafika koji leži ispod ose apscise i simetrično je prikazan u odnosu na Ox osu (slika 2). Primjer 3. Za crtanje grafika funkcije y = x 2 8 x + 12, izvodi se kombinacija transformacija: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Odgovor: Slika 3. Primjer 4 Izraz pod predznakom modula, mijenja predznak u tački x=2/3. Na x<2/3 функция запишется так: 29

30 Za x>2/3 funkcija će biti napisana ovako: To jest, tačka x=2/3 dijeli našu koordinatnu ravan na dva područja, u jednoj (desno) gradimo funkciju a u drugoj (lijevo) gradimo graf funkcije: Primjer 5 Sljedeći Graf je također prekinut, ali ima dvije točke prekida, jer sadrži dva izraza ispod znakova modula: Pogledajmo u kojim tačkama submodularni izrazi mijenjaju predznak: Hajdemo rasporedite znakove za submodularne izraze na koordinatnoj liniji: 30

31 Proširujemo module na prvom intervalu: Na drugom intervalu: Na trećem intervalu: Dakle, na intervalu (- ; 1.5] imamo graf napisan prvom jednačinom, na intervalu graf napisan drugom jednačinom , i na intervalu)