Vyeta teoremi. Həll nümunələri. Kvadrat və digər tənliklər üçün Vyeta teoremi Vyeta teorem nümunələrindən istifadə edərək kvadrat tənliklərin həlli

Kvadrat tənliklər üçün Vyeta teoreminin tərtibi və sübutu. Vietanın əks teoremi. Kub tənlikləri və ixtiyari nizamlı tənliklər üçün Vyeta teoremi.

Məzmun

Həmçinin bax: Kvadrat tənliyin kökləri

Kvadrat tənliklər

Vyeta teoremi

Gəlin və azaldılmış kvadrat tənliyin köklərini işarə edək
(1) .
Onda köklərin cəmi əks işarə ilə alınan əmsalına bərabərdir. Köklərin məhsulu sərbəst müddətə bərabərdir:
;
.

Çoxlu köklər haqqında qeyd

(1) tənliyinin diskriminantı sıfırdırsa, bu tənliyin bir kökü var. Lakin, çətin formulaların qarşısını almaq üçün ümumiyyətlə qəbul edilir ki, bu halda (1) tənliyinin iki çox və ya bərabər kökü var:
.

Bir sübut

(1) tənliyinin köklərini tapaq. Bunu etmək üçün kvadrat tənliyin kökləri üçün formula tətbiq edin:
;
;
.

Köklərin cəmini tapın:
.

Məhsulu tapmaq üçün formula tətbiq edin:
.
Sonra

.

Teorem sübut edilmişdir.

Sübut iki

Əgər ədədlər kvadrat tənliyin (1) kökləridirsə, onda
.
Mötərizənin açılması.

.
Beləliklə, (1) tənliyi aşağıdakı formanı alacaq:
.
(1) ilə müqayisə edərək tapırıq:
;
.

Teorem sübut edilmişdir.

Vietanın əks teoremi

Qoy ixtiyari rəqəmlər olsun. Onda və kvadrat tənliyin kökləridir
,
Harada
(2) ;
(3) .

Vyetanın əks teoreminin sübutu

Gəlin nəzərdən keçirək kvadrat tənlik
(1) .
Sübut etməliyik ki, əgər və, onda və (1) tənliyinin kökləridir.

(2) və (3) sözlərini (1) əvəz edək:
.
Tənliyin sol tərəfindəki şərtləri qruplaşdırırıq:
;
;
(4) .

Gəlin (4) əvəz edək:
;
.

Gəlin (4) əvəz edək:
;
.
Tənlik qüvvədədir. Yəni, ədəd (1) tənliyinin köküdür.

Teorem sübut edilmişdir.

Tam kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi

İndi tam kvadrat tənliyi nəzərdən keçirin
(5) ,
harada və bəzi rəqəmlərdir. Üstəlik.

(5) tənliyini aşağıdakılara bölək:
.
Yəni verilmiş tənliyi əldə etdik
,
Harada;

.

Onda tam kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi aşağıdakı formaya malikdir.
.
Tam kvadrat tənliyin köklərini qeyd edək və işarə edək
;
.

Sonra köklərin cəmi və məhsulu düsturlarla müəyyən edilir:

Kub tənliyi üçün Vyeta teoremi
(6) ,
Bənzər bir şəkildə, kub tənliyinin kökləri arasında əlaqə qura bilərik. Kub tənliyini nəzərdən keçirək
burada , , , bəzi ədədlərdir. Üstəlik.
(7) ,
Bu tənliyi aşağıdakılara bölək:
Harada,,.

.

(7) tənliyi ilə müqayisə edərək tapırıq:
;
;
.

n-ci dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoremi

Eyni şəkildə, tənliyi üçün , , ... , , kökləri arasında əlaqə tapa bilərsiniz. n-ci dərəcə
.

üçün Vyeta teoremi n-ci tənliklər dərəcə aşağıdakı formaya malikdir:
;
;
;

.

Bu düsturları əldə etmək üçün tənliyi aşağıdakı kimi yazırıq:
.
Sonra , , , ... üçün əmsalları bərabərləşdiririk və sərbəst termini müqayisə edirik.

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.
SANTİMETR. Nikolski, M.K. Potapov və b., Cəbr: ümumi təhsil müəssisələrində 8-ci sinif üçün dərslik, Moskva, Təhsil, 2006.

Həmçinin bax:

Vyeta teoremi (daha doğrusu teorem teoremin əksi Vieta) kvadrat tənliklərin həlli üçün vaxtı azaltmağa imkan verir. Sadəcə ondan necə istifadə edəcəyinizi bilmək lazımdır. Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənlikləri həll etməyi necə öyrənmək olar? Bir az fikirləşsəniz çətin deyil.

İndi biz yalnız Vyeta teoremindən istifadə edərək azaldılmış kvadrat tənliyin həlli haqqında danışacağıq. Vyeta teoremindən istifadə edilməklə verilməyən kvadrat tənlikləri həll etmək də mümkündür, lakin köklərdən ən azı biri tam ədəd deyil. Onları təxmin etmək daha çətindir.

Vyeta teoreminin tərs teoremində deyilir: əgər x1 və x2 ədədləri belədirsə

onda x1 və x2 kvadrat tənliyin kökləridir

Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənliyi həll edərkən yalnız 4 variant mümkündür. Əgər düşünmə xəttini xatırlasanız, bütün kökləri çox tez tapmağı öyrənə bilərsiniz.

I. Əgər q müsbət ədəddirsə,

bu o deməkdir ki, x1 və x2 kökləri eyni işarəli ədədlərdir (çünki yalnız eyni işarəli ədədlərin çoxaldılması müsbət ədəd verir).

I.a. -p müsbət ədəddirsə, (müvafiq olaraq, səh<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

İ.b. Əgər -p - mənfi rəqəm, (müvafiq olaraq, p>0), onda hər iki kök mənfi ədəddir (eyni işarəli ədədləri əlavə etdik və mənfi ədəd aldıq).

II. Əgər q mənfi ədəddirsə,

bu o deməkdir ki, x1 və x2 kökləri müxtəlif işarələrə malikdir (ədədləri vurarkən yalnız amillərin əlamətləri fərqli olduqda mənfi ədəd alınır). Bu halda, x1+x2 artıq cəmi deyil, fərqdir (axı, rəqəmləri əlavə edərkən müxtəlif əlamətlər böyük moduldan kiçik olanı çıxarırıq). Buna görə də x1+x2 x1 və x2 köklərinin nə qədər fərqləndiyini, yəni bir kökün digərindən nə qədər böyük olduğunu (mütləq dəyərdə) göstərir.

II.a. -p müsbət ədəddirsə, (yəni səh<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -p mənfi ədəddirsə, (p>0), onda daha böyük (modulo) kök mənfi ədəddir.

Nümunələrdən istifadə etməklə Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənliklərin həllini nəzərdən keçirək.

Verilmiş kvadrat tənliyi Vyeta teoremindən istifadə edərək həll edin:

Burada q=12>0 olduğu üçün x1 və x2 kökləri eyni işarəli ədədlərdir. Onların cəmi -p=7>0 olduğuna görə hər iki kök müsbət ədəddir. Məhsulu 12-yə bərabər olan tam ədədləri seçirik. Bunlar 1 və 12, 2 və 6, 3 və 4-dür. 3 və 4 cütü üçün cəmi 7-dir. Bu o deməkdir ki, 3 və 4 tənliyin kökləridir.

Bu misalda q=16>0, yəni x1 və x2 kökləri eyni işarəli ədədlərdir. Onların cəmi -p=-10-dur<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Burada q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, daha böyük rəqəm müsbətdir. Beləliklə, köklər 5 və -3-dür.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Fransua Viet (1540-1603) - riyaziyyatçı, məşhur Vyet düsturlarının yaradıcısı

Vyeta teoremi kvadrat tənlikləri tez həll etmək üçün lazım idi (sadə sözlə).

Daha ətraflı, onda Vyeta teoremi ondan ibarətdir ki, verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə qəbul edilən ikinci əmsala, hasil isə sərbəst müddətə bərabərdir. Kökləri olan istənilən azaldılmış kvadrat tənlik bu xüsusiyyətə malikdir.

Vyeta teoremindən istifadə edərək, seçmə yolu ilə kvadrat tənlikləri asanlıqla həll edə bilərsiniz, ona görə də xoşbəxt 7-ci sinfimiz üçün əlində qılınc olan bu riyaziyyatçıya “sağ ol” deyək.

Vyeta teoreminin sübutu

Teoremi sübut etmək üçün tanınmış kök düsturlarından istifadə edə bilərsiniz, bunun sayəsində kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və məhsulunu tərtib edəcəyik. Yalnız bundan sonra onların bərabər olduğundan əmin ola bilərik və müvafiq olaraq .

Tutaq ki, bizdə bir tənlik var: . Bu tənliyin aşağıdakı kökləri var: və . Gəlin bunu sübut edək.

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturlara görə:

1. Köklərin cəmini tapın:

Gəlin bu tənliyi necə əldə etdiyimizə baxaq:

= .

Addım 1. Kəsrləri ortaq məxrəcə endirdikdə belə çıxır:

= = .

Addım 2. Mötərizələri açmağımız lazım olan bir hissəmiz var:

Kəsiri 2 azaldırıq və alırıq:

Kvadrat tənliyin köklərinin cəmi üçün əlaqəni Vyeta teoremindən istifadə edərək sübut etdik.

2. Köklərin hasilini tapın:

= = = = = .

Bu tənliyi sübut edək:

Addım 1. Fraksiyaları çoxaltmaq üçün bir qayda var, ona görə bu tənliyi çoxaldırıq:

İndi kvadrat kökün tərifini xatırlayırıq və hesablayırıq:

= .

Addım 3. Kvadrat tənliyin diskriminantını xatırlayaq: . Buna görə də, D (diskriminant) əvəzinə sonuncu fraksiyanı əvəz edirik, sonra belə çıxır:

= .

Addım 4. Mötərizələri açın və kəsrə oxşar şərtlər əlavə edin:

Addım 5. “4a”nı qısaldırıq və alırıq.

Beləliklə, biz Vyeta teoremindən istifadə edərək köklərin hasilinin əlaqəsini sübut etdik.

ƏHƏMİYYƏTLİ!Diskriminant sıfırdırsa, onda kvadrat tənliyin yalnız bir kökü var.

Teorem Vyeta teoreminin əksinədir

Vyeta teoreminə tərs teoremdən istifadə edərək tənliyimizin düzgün həll olunub-olunmadığını yoxlaya bilərik. Teoremin özünü başa düşmək üçün onu daha ətraflı nəzərdən keçirmək lazımdır.

Əgər rəqəmlər belədirsə:

Və sonra onlar kvadrat tənliyin kökləridir.

Vyetanın əks teoreminin sübutu

Addım 1.Onun əmsallarının ifadələrini tənlikdə əvəz edək:

Addım 2.Tənliyin sol tərəfini çevirək:

Addım 3. Tənliyin köklərini tapaq və bunun üçün hasilin sıfıra bərabər olması xassəsindən istifadə edirik:

Və ya . Haradan gəlir: və ya .

Vietanın teoremindən istifadə edərək həllər nümunələri

Misal 1

Məşq edin

Kvadrat tənliyin köklərini tapmadan onun köklərinin cəmini, hasilini və kvadratlarının cəmini tapın.

Həll

Addım 1. Diskriminant formulunu xatırlayaq. Rəqəmlərimizi hərflərlə əvəz edirik. Yəni, , – bu, və əvəz edir. Bu nəzərdə tutur:

Çıxır:

Başlıq="QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Köklərin kvadratlarının cəmini onların cəmi və hasili ilə ifadə edək:

Cavab verin

7; 12; 25.

Misal 2

Məşq edin

Tənliyi həll edin. Bununla belə, kvadrat tənlik düsturlarından istifadə etməyin.

Həll

Bu tənliyin diskriminantı (D) sıfırdan böyük olan kökləri var. Müvafiq olaraq, Vyeta teoreminə görə, bu tənliyin köklərinin cəmi 4-ə bərabərdir, hasil isə 5-dir. Əvvəlcə cəmi 4-ə bərabər olan ədədin bölənlərini müəyyənləşdiririk. Bunlar ədədlərdir “ 5” və “-1”. Onların hasili 5-ə bərabərdir, cəmi isə 4-dür. Bu o deməkdir ki, Vyeta teoreminə tərs teoremə görə onlar bu tənliyin kökləridir.

Cavab verin

VƏ Misal 4

Məşq edin

Hər bir kök tənliyin müvafiq kökündən iki dəfə çox olduğu bir tənlik yazın:

Həll

Vyeta teoreminə görə, bu tənliyin köklərinin cəmi 12-ə bərabərdir, hasili isə = 7. Bu o deməkdir ki, iki kök müsbətdir.

Yeni tənliyin köklərinin cəmi bərabər olacaq:

Və iş.

Vyeta teoreminə tərs olan teoremlə yeni tənlik formaya malikdir:

Cavab verin

Nəticə hər bir kökün iki dəfə böyük olan tənlikdir:

Beləliklə, Vyeta teoremindən istifadə edərək tənliyi necə həll edəcəyimizə baxdıq. Kvadrat tənliklərin köklərinin işarələrini əhatə edən məsələləri həll edərkən bu teoremdən istifadə etmək çox rahatdır. Yəni, düsturdakı sərbəst şərt müsbət ədəddirsə və kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa, onların hər ikisi ya mənfi, ya da müsbət ola bilər.

Sərbəst termin mənfi ədəddirsə və kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa, hər iki işarə fərqli olacaq. Yəni bir kök müsbətdirsə, digər kök yalnız mənfi olacaq.

Faydalı mənbələr:

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimoviç E.A. Cəbr 8-ci sinif: Moskva "Maarifləndirmə", 2016 - 318 s.
2. Rubin A.G., Chulkov P.V. – Cəbr 8-ci sinif dərsliyi: Moskva “Balass”, 2015 – 237 s.
3. Nikolski S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Şevkin A. V. - Cəbr 8-ci sinif: Moskva "Maarifləndirmə", 2014 - 300

Vyeta teoremi, tərs Vyeta düsturu və dummilər üçün həllər ilə nümunələr yenilənib: 22 noyabr 2019-cu il: Elmi məqalələr.Ru

Səkkizinci sinifdə şagirdlər kvadrat tənliklər və onların həlli üsulları ilə tanış olurlar. Eyni zamanda, təcrübənin göstərdiyi kimi, tələbələrin əksəriyyəti tam kvadrat tənlikləri həll edərkən yalnız bir üsuldan - kvadrat tənliyin kökləri üçün düsturdan istifadə edirlər. Yaxşı zehni arifmetik bacarıqları olan tələbələr üçün bu üsul açıq şəkildə irrasionaldır. Şagirdlər hətta orta məktəbdə çox vaxt kvadrat tənlikləri həll etməli olurlar və orada diskriminantın hesablanmasına vaxt sərf etmək sadəcə olaraq təəssüf doğurur. Fikrimcə, kvadrat tənlikləri öyrənərkən Vyeta teoreminin tətbiqinə daha çox vaxt və diqqət yetirilməlidir (A.G. Mordkoviç Cəbr-8 proqramına əsasən “Vyeta teoremi. Kvadratın parçalanması” mövzusunun öyrənilməsi üçün cəmi iki saat nəzərdə tutulub. trinomial xətti amillərə çevrilir”).

Əksər cəbr dərsliklərində bu teorem endirilmiş kvadrat tənlik üçün tərtib edilir və bildirir ki, tənliyin kökləri varsa və , onda onlar üçün , , bərabərlikləri ödənilir. Sonra Vyeta teoreminə zidd olan müddəa tərtib edilir və bu mövzu üzərində işləmək üçün bir sıra nümunələr təklif olunur.

Gəlin konkret misallar götürək və Vyeta teoremindən istifadə edərək həllin məntiqini izləyək.

Misal 1. Tənliyi həll edin.

Tutaq ki, bu tənliyin kökləri var, yəni və . Sonra, Vyeta teoreminə görə, bərabərliklər eyni vaxtda olmalıdır:

Nəzərə alın ki, köklərin məhsulu müsbət ədəddir. Bu o deməkdir ki, tənliyin kökləri eyni işarəlidir. Və köklərin cəmi də müsbət ədəd olduğu üçün belə nəticəyə gəlirik ki, tənliyin hər iki kökü müsbətdir. Yenidən köklərin məhsuluna qayıdaq. Fərz edək ki, tənliyin kökləri müsbət tam ədədlərdir. Onda düzgün birinci bərabərliyi yalnız iki yolla (amillərin sırasına qədər) əldə etmək olar: və ya . Təklif olunan cüt ədədlər üçün Vyeta teoreminin ikinci ifadəsinin mümkünlüyünü yoxlayaq: . Beləliklə, 2 və 3 rəqəmləri hər iki bərabərliyi təmin edir və buna görə də verilmiş tənliyin kökləridir.

Cavab: 2; 3.

Yuxarıdakı kvadrat tənliyi Vyeta teoremindən istifadə edərək həll edərkən əsas mülahizə mərhələlərini vurğulayaq:

Vyeta teoreminin ifadəsini yazın

(*)

• tənliyin köklərinin əlamətlərini təyin edin (Əgər hasil və köklərin cəmi müsbətdirsə, onda hər iki kök müsbət ədəddir. Köklərin hasilatı müsbət ədəd, köklərin cəmi isə mənfi olarsa, onda hər iki kök mənfi ədəddirsə, köklərin hasilatı mənfi ədəddirsə, köklərin cəmi müsbətdirsə, onda daha böyük modullu kök müsbət ədəddir. köklərin cəmi sıfırdan azdır, onda modulu daha böyük olan kök mənfi ədəddir);
• hasili qeyddə (*) düzgün birinci bərabərliyi verən tam ədəd cütlərini seçin;
• tapılan nömrə cütlərindən (*) işarəsində ikinci bərabərliyə əvəz edildikdə düzgün bərabərliyi verəcək cütü seçin;
• cavabınızda tənliyin tapılmış köklərini göstərin.

Daha çox misal verək.

Misal 2: Tənliyi həll edin .

Həll.

Verilmiş tənliyin kökləri olsun və olsun. Sonra Vyeta teoremi ilə məhsulun müsbət, cəminin isə mənfi ədəd olduğunu qeyd edirik. Bu o deməkdir ki, hər iki kök mənfi ədəddir. 10 (-1 və -10; -2 və -5) hasilini verən faktor cütlərini seçirik. İkinci nömrə cütü -7-yə qədər toplayır. Bu o deməkdir ki, -2 və -5 rəqəmləri bu tənliyin kökləridir.

Cavab: -2; -5.

Misal 3: Tənliyi həll edin .

Həll.

Verilmiş tənliyin kökləri olsun və olsun. Sonra Vyeta teoremi ilə məhsulun mənfi olduğunu qeyd edirik. Bu o deməkdir ki, köklər müxtəlif əlamətlərə malikdir. Köklərin cəmi də mənfi ədəddir. Bu o deməkdir ki, modulu ən böyük olan kök mənfidir. Məhsulu -10 (1 və -10; 2 və -5) verən faktor cütlərini seçirik. İkinci nömrə cütü -3-ə qədər toplayır. Bu o deməkdir ki, 2 və -5 rəqəmləri bu tənliyin kökləridir.

Cavab: 2; -5.

Qeyd edək ki, Vyeta teoremi, prinsipcə, tam kvadrat tənlik üçün tərtib edilə bilər: kvadrat tənlik olarsa kökləri var və onda , , bərabərlikləri onlar üçün ödənilir. Bununla belə, bu teoremin tətbiqi olduqca problemlidir, çünki tam kvadrat tənlikdə köklərdən ən azı biri (əgər varsa, əlbəttə ki) kəsr ədəddir. Və fraksiyaların seçilməsi ilə işləmək uzun və çətindir. Ancaq yenə də çıxış yolu var.

Tam kvadrat tənliyi nəzərdən keçirin . Tənliyin hər iki tərəfini birinci əmsala vurun A və tənliyi formada yazın . Gəlin yeni dəyişən təqdim edək və azaldılmış kvadrat tənliyi əldə edək ki, onun kökləri və (əgər varsa) Vyeta teoremindən istifadə etməklə tapıla bilər. Sonra orijinal tənliyin kökləri olacaq. Nəzərə alın ki, köməkçi azaldılmış tənliyi yaratmaq çox sadədir: ikinci əmsal qorunur, üçüncü əmsal isə məhsula bərabərdir. ac. Şagirdlər müəyyən bacarıqla dərhal köməkçi tənlik yaradır, Vyeta teoremindən istifadə edərək onun köklərini tapır və verilmiş tam tənliyin köklərini göstərirlər. Nümunələr verək.

Misal 4: Tənliyi həll edin .

Köməkçi tənlik yaradaq və Vietanın teoremindən istifadə edərək onun köklərini tapacağıq. Bu, orijinal tənliyin kökləri deməkdir .

Cavab: .

Misal 5: Tənliyi həll edin .

Köməkçi tənlik formaya malikdir. Vyeta teoreminə görə onun kökləri . Orijinal tənliyin köklərinin tapılması .

Cavab: .

Vyeta teoreminin tətbiqi tam kvadrat tənliyin köklərini şifahi olaraq tapmağa imkan verən daha bir hal. Bunu sübut etmək çətin deyil 1 rəqəmi tənliyin köküdür , yalnız və yalnız əgər. Tənliyin ikinci kökü Vyeta teoremi ilə tapılır və -ə bərabərdir. Başqa bir açıqlama: belə ki –1 ədədi tənliyin kökü olsun üçün zəruri və kifayətdir. Onda Vyeta teoreminə görə tənliyin ikinci kökü bərabərdir. Oxşar ifadələr azaldılmış kvadrat tənlik üçün tərtib edilə bilər.

Misal 6: Tənliyi həll edin.

Qeyd edək ki, tənliyin əmsallarının cəmi sıfırdır. Beləliklə, tənliyin kökləri .

Cavab: .

Misal 7. Tənliyi həll edin.

Bu tənliyin əmsalları xassəni ödəyir (həqiqətən, 1-(-999)+(-1000)=0). Beləliklə, tənliyin kökləri .

Cavab: ..

Vyeta teoreminin tətbiqi nümunələri

Tapşırıq 1. Verilmiş kvadrat tənliyi Vyeta teoremindən istifadə edərək həll edin.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tapşırıq 2. Köməkçi endirilmiş kvadrat tənliyə keçməklə tam kvadrat tənliyi həll edin.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tapşırıq 3. Xassədən istifadə edərək kvadrat tənliyi həll edin.

Məktəb cəbri kursunda ikinci dərəcəli tənliklərin həlli üsullarını öyrənərkən nəticədə yaranan köklərin xassələri nəzərə alınır. Onlar hazırda Vyeta teoremi kimi tanınırlar. Onun istifadəsinə dair nümunələr bu məqalədə verilmişdir.

Kvadrat tənlik

İkinci dərəcəli tənlik aşağıdakı fotoşəkildə göstərilən bərabərlikdir.

Burada a, b, c simvolları nəzərdən keçirilən tənliyin əmsalları adlanan bəzi ədədlərdir. Bərabərliyi həll etmək üçün onu doğru edən x dəyərlərini tapmaq lazımdır.

Qeyd edək ki, x-in qaldırıla biləcəyi maksimum güc iki olduğu üçün ümumi halda köklərin sayı da ikidir.

Bu tip bərabərliyi həll etməyin bir neçə yolu var. Bu yazıda Vyeta teoreminin istifadəsini nəzərdə tutan onlardan birini nəzərdən keçirəcəyik.

Vyeta teoreminin tərtibi

16-cı əsrin sonlarında məşhur riyaziyyatçı Fransua Vyet (Fransız) müxtəlif kvadratik tənliklərin köklərinin xassələrini təhlil edərək, onların müəyyən birləşmələrinin xüsusi əlaqələri təmin etdiyini qeyd etdi. Xüsusilə, bu birləşmələr onların məhsulu və cəmidir.

Vyeta teoremi aşağıdakıları təsbit edir: kvadrat tənliyin kökləri cəmləndikdə əks işarə ilə alınan xətti və kvadrat əmsalların nisbətini verir və onlar vurulduqda sərbəst müddətin kvadrat əmsala nisbətinə səbəb olur. .

Əgər tənliyin ümumi forması məqalənin əvvəlki bölməsindəki fotoşəkildə göstərildiyi kimi yazılıbsa, riyazi olaraq bu teorem iki bərabərlik şəklində yazıla bilər:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Burada r 1, r 2 sözügedən tənliyin köklərinin qiymətidir.

Yuxarıdakı iki bərabərlik bir sıra müxtəlif riyazi problemləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. Vyeta teoreminin həlləri olan nümunələrdə istifadəsi məqalənin sonrakı bölmələrində verilmişdir.