Kvadrat tənliklərin şifahi həlli və Vyeta teoremi. Kvadrat və digər tənliklər üçün Vyeta teoremi Vyeta teoreminin tətbiqi
Bu mühazirədə biz kvadrat tənliyin kökləri ilə onun əmsalları arasındakı maraqlı əlaqələrlə tanış olacağıq. Bu əlaqələri ilk dəfə fransız riyaziyyatçısı Fransua Viet (1540-1603) kəşf etmişdir.
Məsələn, Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0 tənliyi üçün köklərini tapmadan Vyeta teoremindən istifadə edərək dərhal köklərin cəminin , köklərin məhsulunun isə olduğunu söyləyə bilərsiniz.
yəni - 2. Və x 2 - 6x + 8 \u003d 0 tənliyi üçün belə nəticəyə gəlirik: köklərin cəmi 6, köklərin məhsulu 8-dir; Yeri gəlmişkən, köklərin nəyə bərabər olduğunu təxmin etmək çətin deyil: 4 və 2.
Vyeta teoreminin sübutu. ax 2 + bx + c \u003d 0 kvadrat tənliyinin x 1 və x 2 kökləri düsturlarla tapılır.
Burada D \u003d b 2 - 4ac tənliyin diskriminantıdır. Bu kökləri yerə qoymaq
alırıq
İndi x 1 və x 2 köklərinin məhsulunu hesablayırıq
İkinci əlaqə sübut edilmişdir:
Şərh.
Vyeta teoremi kvadrat tənliyin bir kökü olduğu halda da etibarlıdır (yəni D \u003d 0 olduqda), sadəcə olaraq bu halda tənliyin yuxarıdakı münasibətlərin tətbiq olunduğu iki eyni kökə malik olduğu hesab olunur. .
Aşağı salınmış kvadrat tənlik x 2 + px + q \u003d 0 üçün sübut edilmiş əlaqələr xüsusilə sadə forma alır.Bu halda, əldə edirik:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
olanlar. verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə götürülmüş ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir.
Vyeta teoremindən istifadə etməklə, kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında başqa əlaqələr də əldə etmək olar. Məsələn, x 1 və x 2 endirilmiş kvadrat tənliyin x 2 + px + q = 0 kökləri olsun. Sonra
Lakin Vyeta teoreminin əsas məqsədi onun kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında müəyyən əlaqələri ifadə etməsi deyil. Daha vacibi odur ki, Vyeta teoreminin köməyi ilə kvadrat trinomialın faktorinqi üçün bir düstur alınır, onsuz biz gələcəkdə etməyəcəyik.
Sübut. bizdə var
Misal 1. Kvadrat üçhəcmini 3x 2 - 10x + 3 çarpayılarına ayırın.
Həll. Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0 tənliyini həll etdikdən sonra Zx 2 - 10x + 3 kvadrat trinomialının köklərini tapırıq: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Teorem 2-dən istifadə edərək əldə edirik
Bunun əvəzinə Zx - 1 yazmağın mənası var. Sonra nəhayət Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1) alırıq.
Qeyd edək ki, verilmiş kvadrat trinomial qruplaşdırma metodundan istifadə etməklə Teorem 2-dən istifadə etmədən faktorlara bölünə bilər:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Ancaq gördüyünüz kimi, bu üsulla müvəffəqiyyət uğurlu qruplaşdırma tapa bilməyəcəyimizdən asılıdır, birinci üsulla isə müvəffəqiyyət təmin edilir.
Misal 1. Fraksiyanı azaldın
Həll. 2x 2 + 5x + 2 = 0 tənliyindən x 1 = - 2 tapırıq,
x2 - 4x - 12 = 0 tənliyindən x 1 = 6, x 2 = -2 tapırıq. Buna görə də
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
İndi verilmiş kəsri azaldaq:
Misal 3. İfadələri faktorlara ayırın:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Həlli a) Yeni y = x 2 dəyişənini təqdim edirik. Bu, bizə verilən ifadəni y dəyişəninə münasibətdə kvadrat trinomial şəklində, yəni y 2 + bу + 6 şəklində yenidən yazmağa imkan verəcəkdir.
y 2 + bу + 6 \u003d 0 tənliyini həll etdikdən sonra y 2 + 5y + 6 kvadrat trinomialın köklərini tapırıq: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. İndi biz Teorem 2-dən istifadə edirik; alırıq
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Yadda saxlamaq lazımdır ki, y \u003d x 2, yəni verilmiş ifadəyə qayıdır. Belə ki,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Yeni y = dəyişənini təqdim edək. Bu, verilmiş ifadəni y dəyişəninə münasibətdə kvadrat trinomial şəklində, yəni 2y 2 + y - 3 şəklində yenidən yazmağa imkan verəcək. Tənliyi həll etdikdən sonra
2y 2 + y - 3 \u003d 0, 2y 2 + y - 3 kvadrat trinomialın köklərini tapırıq:
y 1 = 1, y 2 =. Bundan əlavə, Teorem 2-dən istifadə edərək, əldə edirik:
Yadda saxlamaq qalır ki, y \u003d, yəni verilmiş ifadəyə qayıdır. Belə ki,
Bölmə yenidən Vyeta teoremi ilə, daha doğrusu, əks iddia ilə bağlı bəzi mülahizələrlə yekunlaşır:
x 1, x 2 rəqəmləri x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q olarsa, bu ədədlər tənliyin kökləridir
Bu ifadədən istifadə edərək, çətin kök düsturlarından istifadə etmədən bir çox kvadrat tənlikləri şifahi şəkildə həll edə, həmçinin verilmiş köklərlə kvadrat tənliklər tərtib edə bilərsiniz. Nümunələr verək.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Burada x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. X 1 = 8, x 2 = 3 olduğunu təxmin etmək asandır.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Burada x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. X 1 = -5, x 2 = -6 olduğunu təxmin etmək asandır.
Diqqət edin: tənliyin sərbəst müddəti müsbət ədəddirsə, onda hər iki kök ya müsbət, ya da mənfi olur; kök seçərkən bunu nəzərə almaq vacibdir.
3) x 2 + x - 12 = 0. Burada x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. X 1 \u003d 3, x2 \u003d -4 olduğunu təxmin etmək asandır.
Diqqət edin: tənliyin sərbəst müddəti mənfi ədəddirsə, köklər işarə baxımından fərqlidir; kök seçərkən bunu nəzərə almaq vacibdir.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. X = 1-in tənliyi təmin etdiyini görmək asandır, yəni. x 1 \u003d 1 - tənliyin kökü. X 1 x 2 \u003d - və x 1 \u003d 1 olduğundan, x 2 \u003d - alırıq.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Burada x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. 2830 = 283 olduğuna diqqət yetirsəniz. 10 və 293 \u003d 283 + 10, sonra aydın olur ki, x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (indi təsəvvür edin ki, bu kvadrat tənliyi standart düsturlardan istifadə edərək həll etmək üçün hansı hesablamalar aparılmalıdır).
6) Kvadrat tənlik quraq ki, x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 ədədləri onun kökləri kimi xidmət etsin.Adətən belə hallarda x 2 + px + q \u003d 0 azaldılmış kvadrat tənliyini təşkil edirlər.
Bizdə x 1 + x 2 \u003d -p, buna görə də 8 - 4 \u003d -p, yəni p \u003d -4. Bundan əlavə, x 1 x 2 = q, yəni. 8"(-4) = q, buradan q = -32 alırıq. Beləliklə, p \u003d -4, q \u003d -32, yəni istədiyiniz kvadrat tənliyin x 2 -4x-32 \u003d 0 forması var.
İstənilən tam kvadrat tənlik ax2 + bx + c = 0 yada salmaq olar x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, əgər hər bir termini əvvəlcə a əmsalına bölsək x2. Və biz yeni notation təqdim etsək (b/a) = p və (c/a) = q, onda tənliyi əldə edəcəyik x 2 + px + q = 0, riyaziyyatda buna deyilir azaldılmış kvadrat tənlik.
Aşağı salınmış kvadrat tənliyin kökləri və əmsallar səh və q bir-birinə bağlıdır. Təsdiqlənib Vyeta teoremi, 16-cı əsrin sonlarında yaşamış fransız riyaziyyatçısı Fransua Vietanın şərəfinə adlandırılmışdır.
Teorem. Aşağı salınmış kvadrat tənliyin köklərinin cəmi x 2 + px + q = 0 ikinci əmsala bərabərdir səh, əks işarə ilə alınır və köklərin məhsulu - sərbəst terminə q.
Bu nisbətləri aşağıdakı formada yazırıq:
Qoy x 1 və x2 azaldılmış tənliyin müxtəlif kökləri x 2 + px + q = 0. Vyeta teoreminə görə x1 + x2 = -s və x 1 x 2 = q.
Bunu sübut etmək üçün x 1 və x 2 köklərinin hər birini tənlikdə əvəz edək. İki həqiqi bərabərliyi əldə edirik:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Birinci bərabərlikdən ikincini çıxarın. Biz əldə edirik: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
İlk iki şərti kvadratların fərqi düsturuna görə genişləndiririk:
(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0
Şərtə görə, x 1 və x 2 kökləri fərqlidir. Buna görə də bərabərliyi (x 1 - x 2) ≠ 0 azalda və p ifadə edə bilərik.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -s.
Birinci bərabərlik sübut olunur.
İkinci bərabərliyi sübut etmək üçün birinci tənliyi əvəz edirik
p əmsalı əvəzinə x 1 2 + px 1 + q \u003d 0, onun bərabər sayı (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Tənliyin sol tərəfini çevirərək alırıq:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, sübut edilməli idi.
Vyeta teoremi yaxşıdır, çünki kvadrat tənliyin köklərini bilmədən belə onların cəmini və hasilini hesablaya bilərik .
Vyeta teoremi verilmiş kvadrat tənliyin tam köklərini təyin etməyə kömək edir. Ancaq bir çox tələbələr üçün bu, aydın bir hərəkət alqoritmini bilməmələri səbəbindən çətinliklərə səbəb olur, xüsusən də tənliyin kökləri müxtəlif əlamətlər.
Beləliklə, verilmiş kvadrat tənlik x 2 + px + q \u003d 0 formasına malikdir, burada x 1 və x 2 onun kökləridir. Vyeta teoreminə görə x 1 + x 2 = -p və x 1 x 2 = q.
Aşağıdakı nəticəyə gələ bilərik.
Əgər tənlikdə sonuncu həddən əvvəl mənfi işarə qoyulmuşdursa, x 1 və x 2 kökləri fərqli işarələrə malikdir. Bundan əlavə, kiçik kökün işarəsi tənlikdəki ikinci əmsalın işarəsi ilə eynidir.
Fərqli işarəli ədədləri əlavə edərkən modullarının çıxıldığını və nəticənin qarşısına daha böyük rəqəmin işarəsinin qoyulduğunu əsas götürərək, aşağıdakı kimi hərəkət etməlisiniz:
- q ədədinin belə amillərini müəyyən edin ki, onların fərqi p ədədinə bərabər olsun;
- tənliyin ikinci əmsalının işarəsini alınan ədədlərdən kiçiyinin qarşısına qoyun; ikinci kökün əks işarəsi olacaq.
Gəlin bəzi nümunələrə baxaq.
Misal 1.
x 2 - 2x - 15 = 0 tənliyini həll edin.
Həll.
Yuxarıda təklif olunan qaydalardan istifadə edərək bu tənliyi həll etməyə çalışaq. O zaman əminliklə deyə bilərik ki, bu tənliyin iki fərqli kökü olacaq, çünki D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
İndi 15 rəqəminin bütün amillərindən (1 və 15, 3 və 5) fərqi 2-yə bərabər olanları seçirik. Bunlar 3 və 5 rəqəmləri olacaq. Kiçik ədədin qarşısına mənfi işarə qoyuruq. , yəni. tənliyin ikinci əmsalının işarəsi. Beləliklə, x 1 \u003d -3 və x 2 \u003d 5 tənliyinin köklərini alırıq.
Cavab verin. x 1 = -3 və x 2 = 5.
Misal 2.
x 2 + 5x - 6 = 0 tənliyini həll edin.
Həll.
Bu tənliyin köklərinin olub olmadığını yoxlayaq. Bunun üçün diskriminant tapırıq:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Tənliyin iki fərqli kökü var.
6 rəqəminin mümkün amilləri 2 və 3, 6 və 1-dir. 6 və 1 cütü üçün fərq 5-dir. Bu misalda ikinci hədd əmsalının artı işarəsi var, ona görə də kiçik ədədin eyni işarə. Ancaq ikinci nömrədən əvvəl mənfi işarə olacaq.
Cavab: x 1 = -6 və x 2 = 1.
Vyeta teoremini tam kvadrat tənlik üçün də yazmaq olar. Beləliklə, əgər kvadrat tənlik ax2 + bx + c = 0 x 1 və x 2 kökləri var, onda onlar bərabərlikləri ödəyirlər
x 1 + x 2 = -(b/a) və x 1 x 2 = (c/a). Bununla belə, bu teoremin tam kvadrat tənlikdə tətbiqi kifayət qədər problemlidir, çünki köklər varsa, onlardan ən azı biri kəsr ədəddir. Və fraksiyaların seçimi ilə işləmək olduqca çətindir. Ancaq yenə də çıxış yolu var.
Tam kvadrat tənliyi ax 2 + bx + c = 0 nəzərdən keçirək. Onun sol və sağ tərəflərini a əmsalı ilə çarpın. Tənlik (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 formasını alacaq. İndi yeni dəyişən təqdim edək, məsələn t = ax.
Bu zaman yaranan tənlik t 2 + bt + ac = 0 formasının azaldılmış kvadrat tənliyinə çevrilir, onun kökləri t 1 və t 2 (əgər varsa) Vyeta teoremi ilə müəyyən edilə bilər.
Bu halda ilkin kvadrat tənliyin kökləri olacaqdır
x 1 = (t 1 / a) və x 2 = (t 2 / a).
Misal 3.
15x 2 - 11x + 2 = 0 tənliyini həll edin.
Həll.
Köməkçi tənlik yaradırıq. Tənliyin hər bir üzvünü 15-ə vuraq:
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
Dəyişikliyi t = 15x edirik. Bizdə:
t 2 - 11t + 30 = 0.
Vyeta teoreminə görə, bu tənliyin kökləri t 1 = 5 və t 2 = 6 olacaqdır.
t = 15x dəyişdirilməsinə qayıdırıq:
5 = 15x və ya 6 = 15x. Beləliklə, x 1 = 5/15 və x 2 = 6/15. Azaldırıq və yekun cavabı alırıq: x 1 = 1/3 və x 2 = 2/5.
Cavab verin. x 1 = 1/3 və x 2 = 2/5.
Vyeta teoremindən istifadə edərək kvadrat tənliklərin həllini mənimsəmək üçün tələbələr mümkün qədər çox məşq etməlidirlər. Uğurun sirri məhz budur.
sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.
Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında, kök düsturlarından başqa, aşağıdakılarla verilən digər faydalı əlaqələr də mövcuddur. Vyeta teoremi. Bu yazıda kvadrat tənlik üçün Vyeta teoreminin tərtibini və sübutunu verəcəyik. Sonra Vyeta teoreminə əks olan bir teoremi nəzərdən keçirək. Bundan sonra ən xarakterik nümunələrin həllərini təhlil edəcəyik. Nəhayət, həqiqi köklər arasındakı əlaqəni təyin edən Vyeta düsturlarını yazırıq cəbri tənlik n dərəcəsi və onun əmsalları.
Səhifə naviqasiyası.
Vyeta teoremi, tərtibi, sübutu
Kvadrat tənliyin köklərinin düsturlarından a x 2 +b x+c=0 formasının , burada D=b 2 −4 a c , münasibətləri x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Bu nəticələr təsdiqlənir Vyeta teoremi:
Teorem.
Əgər a x 1 və x 2 a x 2 +b x+c=0 kvadrat tənliyinin kökləridir, onda köklərin cəmi əks işarə ilə alınan b və a əmsallarının nisbətinə və hasilinə bərabərdir. köklər c və a əmsallarının nisbətinə bərabərdir, yəni .
Sübut.
Vyeta teoremini aşağıdakı sxem üzrə sübut edəcəyik: məlum kök düsturlarından istifadə edərək kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və hasilini tərtib edəcəyik, sonra yaranan ifadələri çevirəcəyik və onların −b-yə bərabər olduğuna əmin olacağıq. /a və c/a.
Köklərin cəmindən başlayaq, onu tərtib edək. İndi kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk, bizdə var. Əldə edilən kəsrin payında , ondan sonra : . Nəhayət, 2-dən sonra alırıq. Bu, kvadrat tənliyin köklərinin cəmi üçün Vyeta teoreminin birinci əlaqəsini sübut edir. Gəlin ikinciyə keçək.
Kvadrat tənliyin köklərinin hasilini düzəldirik:. Kəsrlərin vurulması qaydasına görə, sonuncu hasil belə yazıla bilər. İndi biz mötərizəni paylayıcıdakı mötərizə ilə çoxalırıq, lakin bu məhsulu yıxmaq daha tezdir. kvadratlar fərqi düsturu, Belə ki . Sonra xatırlayaraq, növbəti keçidi həyata keçiririk. Və D=b 2 −4 a·c düsturu kvadrat tənliyin diskriminantına uyğun gəldiyindən, son kəsrdə D əvəzinə b 2 −4·a·c əvəz edilə bilər, alarıq. Mötərizələri açıb oxşar şərtləri azaltdıqdan sonra kəsrə çatırıq və onun 4·a azaldılması . Bu, köklərin hasili üçün Vyeta teoreminin ikinci əlaqəsini sübut edir.
İzahları buraxsaq, Vyeta teoreminin sübutu qısa bir forma alacaq:
,
.
Yalnız qeyd etmək qalır ki, diskriminant sıfıra bərabər olduqda, kvadrat tənliyin bir kökü olur. Ancaq bu vəziyyətdə tənliyin iki eyni kökə malik olduğunu fərz etsək, Vyeta teoremindən bərabərliklər də yerinə yetirilir. Həqiqətən, D=0 üçün kvadrat tənliyin kökü , onda və , və D=0 olduğundan, yəni b 2 −4·a·c=0 , buradan b 2 =4·a·c , onda .
Praktikada Vyeta teoremi ən çox x 2 +p·x+q=0 formasının azaldılmış kvadratik tənliyinə (ən yüksək əmsalı a 1-ə bərabər olan) münasibətdə istifadə olunur. Bəzən yalnız bu tip kvadrat tənliklər üçün tərtib edilir, bu da ümumiliyi məhdudlaşdırmır, çünki hər hansı kvadrat tənliyi onun hər iki hissəsini sıfırdan fərqli a ədədinə bölmək yolu ilə ekvivalent tənliklə əvəz etmək olar. Budur Vyeta teoreminin müvafiq tənzimləməsi:
Teorem.
Azaldılmış kvadrat tənliyin köklərinin cəmi x 2 + p x + q \u003d 0 əks işarə ilə alınan x-dəki əmsala bərabərdir və köklərin məhsulu sərbəst müddətdir, yəni x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Vyeta teoreminə tərs teorem
Əvvəlki paraqrafda verilmiş Vyeta teoreminin ikinci tərtibi göstərir ki, əgər x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 azaldılmış kvadrat tənliyin kökləridirsə, onda x 1 +x 2 = − münasibətləri p, x 1 x 2=q. Digər tərəfdən, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yazılı münasibətlərdən belə nəticə çıxır ki, x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 kvadrat tənliyinin kökləridir. Başqa sözlə, Vyeta teoreminin əksinə olan iddia doğrudur. Biz onu teorem şəklində tərtib edirik və sübut edirik.
Teorem.
Əgər x 1 və x 2 ədədləri x 1 +x 2 =−p və x 1 x 2 =q olarsa, x 1 və x 2 x 2 +p x+q=0 azaldılmış kvadrat tənliyin kökləridir. .
Sübut.
Onların ifadəsinin x 2 +p x+q=0 tənliyində p və q əmsallarını x 1 və x 2 vasitəsilə əvəz etdikdən sonra ekvivalent tənliyə çevrilir.
Əldə edilən tənliyə x əvəzinə x 1 ədədini qoyuruq, bərabərliyə sahibik x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, hər hansı x 1 və x 2 üçün düzgün ədədi bərabərlik 0=0, çünki x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Beləliklə, x 1 tənliyin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, bu o deməkdir ki, x 1 ekvivalent x 2 +p x+q=0 tənliyinin köküdür.
Tənlikdə olarsa x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 x əvəzinə x 2 ədədini əvəz et, onda bərabərliyi əldə edirik x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Bu düzgün tənlikdir, çünki x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Deməli, x 2 də tənliyin köküdür x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, və deməli, x 2 +p x+q=0 tənlikləri.
Bu teoremin sübutunu tamamlayır, tərs teorem Vyeta.
Vyeta teoremindən istifadə nümunələri
Vyeta teoreminin praktik tətbiqi və onun tərs teoremindən danışmağın vaxtı gəldi. Bu alt bölmədə bir neçə ən tipik nümunənin həllini təhlil edəcəyik.
Biz Vyeta teoreminin əksinə bir teoremi tətbiq etməklə başlayırıq. Verilmiş iki ədədin verilmiş kvadrat tənliyin kökləri olub-olmadığını yoxlamaq üçün ondan istifadə etmək rahatdır. Bu zaman onların cəmi və fərqi hesablanır, bundan sonra münasibətlərin etibarlılığı yoxlanılır. Əgər bu münasibətlərin hər ikisi təmin olunarsa, onda Vyeta teoreminin əksinə olan teorem sayəsində bu ədədlərin tənliyin kökləri olduğu qənaətinə gəlinir. Əgər münasibətlərdən ən azı biri təmin edilmirsə, bu ədədlər kvadrat tənliyin kökləri deyil. Tapılan kökləri yoxlamaq üçün kvadrat tənliklərin həlli zamanı bu yanaşmadan istifadə etmək olar.
Misal.
1) x 1 =−5, x 2 =3 və ya 2) və ya 3) ədəd cütlərindən hansı 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tənliyinin kök cütüdür?
Həll.
Verilmiş 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tənliyinin əmsalları a=4 , b=−16 , c=9 . Vyeta teoreminə görə, kvadrat tənliyin köklərinin cəmi −b/a, yəni 16/4=4, köklərin hasili isə c/a, yəni 9-a bərabər olmalıdır. /4.
İndi gəlin verilmiş üç cütün hər birindəki ədədlərin cəmini və hasilini hesablayaq və onları yenicə alınan qiymətlərlə müqayisə edək.
Birinci halda bizdə x 1 +x 2 =−5+3=−2 var. Nəticə dəyər 4-dən fərqlidir, buna görə də əlavə yoxlama aparıla bilməz, lakin teoremlə, Vyeta teoreminin tərsi, biz dərhal ilk cüt ədədin verilmiş kvadrat tənliyin kökləri olmadığı qənaətinə gələ bilərik.
İkinci işə keçək. Burada, yəni birinci şərt ödənilir. İkinci şərti yoxlayırıq: , nəticədə alınan dəyər fərqlidir 9/4 . Deməli, ikinci ədəd cütü kvadrat tənliyin kök cütü deyil.
Son hal qalır. Burada və. Hər iki şərt yerinə yetirilir, ona görə də bu x 1 və x 2 ədədləri verilmiş kvadrat tənliyin kökləridir.
Cavab:
Vyeta teoreminin əksi olan teoremdən kvadrat tənliyin köklərini seçmək üçün praktikada istifadə oluna bilər. Adətən, tam əmsallı verilmiş kvadrat tənliklərin tam kökləri seçilir, çünki digər hallarda bunu etmək olduqca çətindir. Eyni zamanda ondan istifadə edirlər ki, əgər iki ədədin cəmi mənfi işarə ilə götürülmüş kvadrat tənliyin ikinci əmsalına bərabərdirsə və bu ədədlərin hasili sərbəst müddətə bərabərdirsə, onda bu ədədlər bu kvadrat tənliyin kökləri. Bununla bir nümunə ilə məşğul olaq.
X 2 −5 x+6=0 kvadrat tənliyini götürək. x 1 və x 2 ədədlərinin bu tənliyin kökləri olması üçün iki x 1 +x 2 \u003d 5 və x 1 x 2 \u003d 6 bərabərliyi təmin edilməlidir. Bu cür nömrələri seçmək qalır. Bu halda bunu etmək olduqca sadədir: belə ədədlər 2 və 3-dür, çünki 2+3=5 və 2 3=6 . Beləliklə, 2 və 3 bu kvadrat tənliyin kökləridir.
Vyeta teoreminin əksi olan teorem, köklərdən biri artıq məlum və ya aydın olduqda, azaldılmış kvadrat tənliyin ikinci kökünü tapmaq üçün tətbiq etmək xüsusilə əlverişlidir. Bu halda ikinci kök münasibətlərin hər hansı birindən tapılır.
Məsələn, 512 x 2 −509 x−3=0 kvadrat tənliyini götürək. Burada asanlıqla görmək olar ki, vahid tənliyin köküdür, çünki bu kvadrat tənliyin əmsallarının cəmi sıfırdır. Beləliklə, x 1 = 1. İkinci kök x 2, məsələn, x 1 x 2 =c/a münasibətindən tapıla bilər. Bizdə 1 x 2 =−3/512 , buradan x 2 =−3/512 . Beləliklə, biz kvadrat tənliyin hər iki kökünü təyin etdik: 1 və −3/512.
Aydındır ki, köklərin seçilməsi yalnız ən sadə hallarda məqsədəuyğundur. Digər hallarda, kökləri tapmaq üçün kvadrat tənliyin köklərinin düsturlarını diskriminant vasitəsilə tətbiq etmək olar.
Başqa praktik istifadə teorem, Vyeta teoreminin əksi, verilmiş x 1 və x 2 kökləri üçün kvadrat tənliklərin tərtibindən ibarətdir. Bunun üçün verilmiş kvadrat tənliyin əks işarəli x əmsalını verən köklərin cəmini və sərbəst termini verən köklərin hasilini hesablamaq kifayətdir.
Misal.
Kökləri −11 və 23 ədədləri olan kvadrat tənliyi yazın.
Həll.
x 1 =−11 və x 2 =23 işarələyin. Bu ədədlərin cəmini və məhsulunu hesablayırıq: x 1 + x 2 \u003d 12 və x 1 x 2 \u003d −253. Deməli, bu ədədlər ikinci əmsalı -12 və sərbəst həddi -253 olan verilmiş kvadrat tənliyin kökləridir. Yəni x 2 −12·x−253=0 istənilən tənlikdir.
Cavab:
x 2 −12 x−253=0 .
Vyeta teoremi kvadrat tənliklərin köklərinin işarələri ilə bağlı tapşırıqların həllində çox istifadə olunur. Vyeta teoremi x 2 +p x+q=0 endirilmiş kvadrat tənliyin köklərinin işarələri ilə necə əlaqələndirilir? Budur iki müvafiq bəyanat:
- Əgər q kəsişməsi müsbət ədəddirsə və kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa, ya onların hər ikisi müsbətdir, ya da hər ikisi mənfidir.
- Sərbəst q termini mənfi ədəddirsə və kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa, onda onların işarələri fərqlidir, başqa sözlə desək, bir kök müsbət, digəri isə mənfidir.
Bu ifadələr x 1 x 2 =q düsturundan, həmçinin müsbət, mənfi ədədlərin və müxtəlif işarəli ədədlərin vurulması qaydalarından irəli gəlir. Onların tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirin.
Misal.
R müsbətdir. Diskriminant düsturuna görə D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , r 2 ifadəsinin qiymətini tapırıq. +8 istənilən real r üçün müsbətdir, buna görə də istənilən real r üçün D>0. Buna görə də, orijinal kvadrat tənliyin r parametrinin hər hansı real dəyəri üçün iki kökü var.
İndi köklərin nə vaxt fərqli əlamətləri olduğunu öyrənək. Köklərin işarələri müxtəlifdirsə, onda onların hasili mənfi olur və Vyeta teoremi ilə verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin hasili sərbəst müddətə bərabərdir. Buna görə də, r-1 sərbəst termininin mənfi olduğu r dəyərləri ilə maraqlanırıq. Beləliklə, bizim üçün maraqlı olan r dəyərlərini tapmaq üçün bizə lazımdır xətti bərabərsizliyi həll edin r−1<0 , откуда находим r<1 .
Cavab:
r<1 .
Vieta düsturları
Yuxarıda, kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi haqqında danışdıq və onun təsdiq etdiyi əlaqələri təhlil etdik. Ancaq təkcə kvadrat tənliklərin deyil, həm də kub tənliklərin, dördlü tənliklərin və ümumiyyətlə, həqiqi kökləri və əmsallarını birləşdirən düsturlar var. cəbri tənliklər dərəcə n. Onlar çağırılır Vieta düsturları.
Formanın n dərəcəli cəbri tənliyi üçün Vyeta düsturlarını yazırıq, halbuki onun n həqiqi kökünün x 1, x 2, ..., x n olduğunu güman edirik (onların arasında eyni ola bilər): 
Vieta düsturlarını əldə etməyə imkan verir çoxhədli faktorlara ayırma teoremi, həmçinin bərabər çoxhədlilərin bütün uyğun əmsallarının bərabərliyi vasitəsilə müəyyən edilməsi. Beləliklə, çoxhədli və onun formanın xətti amillərinə genişlənməsi bərabərdir. Sonuncu məhsulda mötərizələri açaraq və müvafiq əmsalları bərabərləşdirərək, Vieta düsturlarını əldə edirik.
Xüsusilə, n=2 üçün kvadrat tənlik üçün artıq tanış Vyeta düsturlarımız var.
Bir kub tənliyi üçün Vyeta düsturları formaya malikdir 
Yalnız Vyeta düsturlarının sol tərəfində elementar deyilənlərin olduğunu qeyd etmək qalır simmetrik polinomlar.
Biblioqrafiya.
- Cəbr: dərs kitabı 8 hüceyrə üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M. : Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkoviç A.G. Cəbr. 8-ci sinif. Saat 14-də 1-ci hissə. Təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç. - 11-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 10-cu sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar: əsas və profil. səviyyələri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. İ. Şabunin]; red. A. B. Jizhchenko. - 3-cü nəşr. - M.: Maarifçilik, 2010.- 368 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Kvadrat tənliyin həlli üsullarından biri də tətbiqetmədir VIETA düsturları FRANCOIS VIETE-nin şərəfinə adlandırılmışdır.
O, məşhur hüquqşünas idi və 16-cı əsrdə Fransa kralının yanında xidmət etmişdir. Boş vaxtlarında astronomiya və riyaziyyatla məşğul olurdu. Kvadrat tənliyin kökləri və əmsalları arasında əlaqə qurdu.
Formulun üstünlükləri:
1 . Düsturu tətbiq etməklə, həllini tez tapa bilərsiniz. Çünki kvadrata ikinci əmsalı daxil etmək lazım deyil, sonra ondan 4ac-ı çıxarmaq, diskriminantı tapmaq, onun dəyərini kökləri tapmaq üçün düsturla əvəz etmək lazımdır.
2 . Həll olmadan, köklərin əlamətlərini təyin edə, köklərin dəyərlərini götürə bilərsiniz.
3 . İki qeyd sistemini həll etdikdən sonra kökləri özləri tapmaq çətin deyil. Yuxarıdakı kvadrat tənlikdə köklərin cəmi mənfi işarəli ikinci əmsalın qiymətinə bərabərdir. Yuxarıdakı kvadrat tənlikdəki köklərin hasili üçüncü əmsalın qiymətinə bərabərdir.
4 . Verilmiş köklərə əsasən kvadrat tənlik yazın, yəni tərs məsələni həll edin. Məsələn, bu üsul nəzəri mexanikada məsələlərin həllində istifadə olunur.
5 . Aparıcı əmsal birə bərabər olduqda düsturu tətbiq etmək rahatdır.
Qüsurlar:
1
. Formula universal deyil.
Vyeta teoremi 8 sinif
Düstur
Əgər x 1 və x 2 verilmiş kvadrat tənliyin kökləridirsə x 2 + px + q \u003d 0, onda:
Nümunələr
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - x 2 - 2x - 3 \u003d 0 tənliyinin kökləri.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Tərs teorem
Düstur
Əgər x 1 , x 2 , p, q ədədləri şərtlərlə əlaqələndirilirsə:
Onda x 1 və x 2 x 2 + px + q = 0 tənliyinin kökləridir.
Misal
Kökləri ilə kvadrat tənlik yaradaq:
X 1 \u003d 2 -? 3 və x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
İstədiyiniz tənliyin forması var: x 2 - 4x + 1 = 0.
2.5 Daha yüksək dərəcəli polinomlar (tənliklər) üçün Vieta düsturu
Kvadrat tənliklər üçün Vyeta tərəfindən alınan düsturlar daha yüksək dərəcəli çoxhədlilər üçün də doğrudur.
Çoxhədli olsun
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
n fərqli kökə malikdir x 1 , x 2 …, x n .
Bu halda, formanın faktorizasiyası var:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Gəlin bu bərabərliyin hər iki hissəsini 0 ≠ 0-a bölək və birinci hissədəki mötərizələri genişləndirək. Bərabərliyi əldə edirik:
x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Ancaq iki çoxhədli eyni dərəcədə bərabərdir, o zaman və yalnız eyni güclərdə olan əmsallar bərabərdir. Bundan belə çıxır ki, bərabərlik
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Məsələn, üçüncü dərəcəli çoxhədlilər üçün
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Şəxsiyyətlərimiz var
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Kvadrat tənliklərə gəlincə, bu düstur Vyeta düsturları adlanır. Bu düsturların sol hissələri verilmiş tənliyin x 1 , x 2 ..., x n köklərindən olan simmetrik çoxhədlərdir, sağ hissələri isə çoxhədlinin əmsalı ilə ifadə edilir.
2.6 Kvadratlara endirilən tənliklər (bikvadrat)
Dördüncü dərəcəli tənliklər kvadrat tənliklərə endirilir:
balta 4 + bx 2 + c = 0,
biquadratic adlanır, üstəlik, a ≠ 0.
Bu tənliyə x 2 \u003d y qoymaq kifayətdir, buna görə də,
ay² + ilə + c = 0
alınan kvadrat tənliyin köklərini tapın
y 1,2 = 
Dərhal x 1, x 2, x 3, x 4 köklərini tapmaq üçün y-ni x ilə əvəz edin və alın.
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Dördüncü dərəcəli tənliyin x 1 varsa, onun da kökü var x 2 \u003d -x 1,
Əgər x 3 varsa, x 4 \u003d - x 3. Belə bir tənliyin köklərinin cəmi sıfırdır.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Tənliyi bikvadrat tənliklərin kökləri üçün düsturla əvəz edirik:
x 1,2,3,4 = 
,
x 1 \u003d -x 2 və x 3 \u003d -x 4 olduğunu bilərək, onda:
x 3.4 = 
Cavab: x 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 =
2.7 Bikvadrat tənliklərin öyrənilməsi
Gəlin biquadratik tənliyi götürək
balta 4 + bx 2 + c = 0,
burada a, b, c həqiqi ədədlərdir və a > 0. Köməkçi naməlum y = x² təqdim etməklə biz bu tənliyin köklərini araşdırırıq və nəticələri cədvələ daxil edirik (bax: Əlavə №1).
2.8 Kardano düsturu
Müasir simvolizmdən istifadə etsək, Kardano düsturunun törəməsi belə görünə bilər:
x = 
Bu düstur üçüncü dərəcəli ümumi tənliyin köklərini müəyyən edir:
balta 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Bu formula çox çətin və mürəkkəbdir (bir neçə mürəkkəb radikal ehtiva edir). Həmişə tətbiq edilmir, çünki. tamamlamaq çox çətindir.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Ən maraqlı yerləri sadalayın və ya 2-3 mətndən seçin. Beləliklə, biz 9-cu sinif üçün “Parametrli dördkünc tənliklər və bərabərsizliklər” cəbrindən seçmə kurs hazırlanarkən nəzərə alınacaq seçmə kursların yaradılması və aparılmasının ümumi müddəalarını nəzərdən keçirdik. II fəsil. “Parametrli Kvadrat tənliklər və bərabərsizliklər” seçmə kursunun keçirilməsi metodikası 1.1. General...
Ədədi hesablama üsullarından həllər. Tənliyin köklərini müəyyən etmək üçün Abel, Qalua, Li qrupları və s. nəzəriyyələri bilmək tələb olunmur və xüsusi riyazi terminologiyanın istifadəsi: üzüklər, sahələr, ideallar, izomorfizmlər və s. n-ci dərəcəli cəbri tənliyi həll etmək üçün yalnız kvadrat tənlikləri həll etmək və mürəkkəb ədəddən kök çıxarmaq bacarığı lazımdır. Kökləri müəyyən etmək olar...
MathCAD sistemində fiziki kəmiyyətlərin ölçü vahidləri ilə? 11. Mətn, qrafik və riyazi blokları ətraflı təsvir edin. Mühazirə nömrəsi 2. MathCAD mühitində xətti cəbr və diferensial tənliklərin həlli məsələləri Xətti cəbr məsələlərində demək olar ki, həmişə matrislərlə müxtəlif əməliyyatların yerinə yetirilməsinə ehtiyac yaranır. Matris operator paneli Riyaziyyat panelində yerləşir. ...
