Portalda reklam

Monte Karlo düsturlarının statik modelləşdirmə üsulu. Monte Karlo simulyasiyası necə həyata keçirilir. “Obyekt-model” münasibətində heç bir anlayış yoxdur

Ensiklopedik YouTube

    1 / 5

    ✪ RuleOfThumb - Monte Karlo metodu

    ✪ Dmitri Kazakov - Kvarklar

    ✪ [Kollokvium]: Tətbiqi tədqiqatlarda riyazi metodların parlaqlığı və yoxsulluğu

    ✪ Mühazirə 1: Hesablama xətaları

    ✪ Elena Braun - Riçardın mifi ll

    Altyazılar

Hekayə

Pi-ni təyin etmək üçün Buffonun alqoritmi

Atışların sayı Kəsişmələrin sayı İğne uzunluğu Xətlər arasındakı məsafə Fırlanma Pi dəyəri Xəta
İlk cəhd 500 236 3 4 yox 3.1780 +3,6⋅10 -2
İkinci cəhd 530 253 3 4 indiki 3.1423 +7,0⋅10 -4
Üçüncü cəhd 590 939 5 2 indiki 3.1416 +4,7⋅10 -5

Şərhlər:

Stokastik proseslər və diferensial tənliklər arasında əlaqə

Stokastik metodların riyazi aparatının yaradılması 19-cu əsrin sonlarında başlandı. 1899-cu ildə Lord Rayleigh göstərdi ki, sonsuz qəfəsdə bir ölçülü təsadüfi gediş bir növ parabolik diferensial tənliyin təxmini həllini verə bilər. Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1931-ci ildə müxtəlif riyazi problemlərin həllinə stoxastik yanaşmaların inkişafına böyük təkan verdi, çünki o, Markov zəncirlərinin müəyyən inteqro-diferensial tənliklərlə əlaqəli olduğunu sübut edə bildi. 1933-cü ildə İvan Georgieviç Petrovski göstərdi ki, Markov zəncirini təşkil edən təsadüfi gediş elliptik qismən diferensial tənliyin həlli ilə asimptotik şəkildə bağlıdır. Bu kəşflərdən sonra məlum oldu ki, stoxastik prosesləri diferensial tənliklərlə təsvir etmək və müvafiq olaraq həmin dövrdə bu tənliklərin həlli üçün yaxşı işlənmiş riyazi üsullardan istifadə etməklə tədqiq etmək olar.

Los Alamosda Monte Karlo metodunun doğulması

İdeya, xəstəlikdən sağalarkən solitaire oynayarkən solitaire oyununun nəticə verəcəyi ehtimalının nə qədər olacağı ilə maraqlanan Ulam tərəfindən hazırlanmışdır. Bu cür problemlər üçün adi kombinatorik mülahizələrdən istifadə etmək əvəzinə, Ulam sadəcə olaraq təcrübəni çoxlu sayda yerinə yetirmək və uğurlu nəticələrin sayını hesablamaqla ehtimalı qiymətləndirməyi təklif etdi. O, həmçinin Monte Karlo hesablamaları üçün kompüterlərdən istifadə etməyi təklif etdi.

Yüksək sürətlə yalançı təsadüfi ədədlər yarada bilən ilk elektron kompüterlərin meydana çıxması stoxastik yanaşmanın digər riyazi metodlardan daha effektiv olduğu ortaya çıxan problemlərin dairəsini kəskin şəkildə genişləndirdi. Bundan sonra böyük bir irəliləyiş baş verdi və bir çox məsələlərdə Monte Karlo metodundan istifadə edildi, lakin verilən dəqiqliklə cavab almaq üçün çoxlu hesablamalar tələb olunduğundan onun istifadəsi həmişə özünü doğrultmadı.

Monte Karlo metodunun doğum ili Metropolis və Ulamın “The Monte Carlo Method” adlı məqaləsinin dərc edildiyi 1949-cu il hesab olunur. Metodun adı Monako Knyazlığındakı bir kommunanın adından gəlir, çoxlu kazinoları ilə məşhurdur, çünki rulet ən çox tanınan təsadüfi ədəd generatorlarından biridir. Stanislav Ulam “Riyaziyyatçının sərgüzəştləri” adlı avtobioqrafiyasında yazır ki, bu adı qumarbaz olan əmisinin şərəfinə Nikolay Metropolis təklif edib.

Daha da inkişaf və müasirlik

Monte Karlo inteqrasiyası

Tutaq ki, hansısa funksiyanın inteqralını götürməliyik. İnteqralın qeyri-rəsmi həndəsi təsvirindən istifadə edək və onu bu funksiyanın qrafikinin altındakı sahə kimi başa düşək.

Bu sahəni müəyyən etmək üçün adi ədədi inteqrasiya üsullarından birini istifadə edə bilərsiniz: seqmenti alt seqmentlərə bölmək, onların hər birində funksiyanın qrafiki altındakı sahəni hesablamaq və əlavə etmək. Tutaq ki, Şəkil 2-də təqdim olunan funksiya üçün onu 25 seqmentə bölmək və deməli, 25 funksiya qiymətini hesablamaq kifayətdir. İndi təsəvvür edək ki, biz bununla məşğul oluruq n (\displaystyle n)-ölçülü funksiya. Sonra bizə lazımdır 25 n (\displaystyle 25^(n)) seqmentlər və funksiya dəyərinin eyni sayda hesablanması. Funksiya ölçüsü 10-dan çox olduqda, problem böyük olur. Yüksək ölçülü fəzalar, xüsusən də sim nəzəriyyəsi problemlərində, eləcə də çoxlu sərbəstlik dərəcəsi olan sistemlərin olduğu bir çox digər fiziki problemlərdə meydana gəldiyi üçün hesablama mürəkkəbliyi o qədər də güclü şəkildə asılı olmayan bir həll metoduna sahib olmaq lazımdır. ölçü. Bu, Monte Karlo metodunun malik olduğu xüsusiyyətdir.

Adi Monte Karlo inteqrasiya alqoritmi

Tutaq ki, hesablamalıyıq müəyyən inteqral ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limitlər _(a)^(b)f(x)\,dx)

Təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin u (\displaystyle u), inteqrasiya intervalında bərabər paylanmışdır. Onda o da təsadüfi dəyişən olacaq və onun riyazi gözləntisi kimi ifadə edilir
E f (u) = ∫ a b f (x) φ (x) d x (\displaystyle \mathbb (E) f(u)=\int \limitlər _(a)^(b)f(x)\varphi (x) \,dx), Harada φ (x) (\displaystyle \varphi (x))- paylanma sıxlığı təsadüfi dəyişən u (\displaystyle u), bərabərdir 1 b − a (\displaystyle (\frac (1)(b-a))) Məkan aktivdir [ a , b ] (\displaystyle).

Beləliklə, tələb olunan inteqral kimi ifadə edilir
∫ a b f (x) d x = (b − a) E f (u) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx=(b-a)\mathbb (E) f( u)).

Amma təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi f (u) (\displaystyle f(u)) bu təsadüfi dəyişəni simulyasiya etməklə və seçmə ortasını hesablamaqla asanlıqla təxmin edilə bilər.

Beləliklə, çıxaq N (\displaystyle N) ballar bərabər paylanır [ a , b ] (\displaystyle), hər bir nöqtə üçün u i (\displaystyle u_(i)) hesablamaq f (u i) (\displaystyle f(u_(i))). Sonra nümunə ortasını hesablayırıq: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i))).

Nəticədə inteqralın təxminini alırıq: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx\təqribən (\frac (b-a)) (N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i)))

Qiymətləndirmənin düzgünlüyü yalnız balların sayından asılıdır N (\displaystyle N).

Bu metodun həndəsi şərhi də var. Bu, yuxarıda təsvir edilən deterministik metoda çox bənzəyir, fərqi ilə, inteqrasiya bölgəsini kiçik intervallara vahid şəkildə bölmək və nəticədə "sütunların" sahələrini cəmləmək əvəzinə inteqrasiya bölgəsinə təsadüfi nöqtələr atırıq, hər birində eyni "sütun" qurmaq, onun eni müəyyən Necə b − a N (\displaystyle (\frac (b-a)(N))), və onların sahələrini ümumiləşdirir.

Həndəsi Monte Karlo inteqrasiya alqoritmi

Funksiya qrafikinin altındakı sahəni təyin etmək üçün aşağıdakı stoxastik alqoritmdən istifadə edə bilərsiniz:

İnteqrasiya olunan funksiyanın az sayda ölçüləri üçün Monte Karlo inteqrasiyasının performansı deterministik metodların performansından xeyli aşağıdır. Bununla belə, bəzi hallarda, funksiya gizli şəkildə göstərildikdə və mürəkkəb bərabərsizliklər şəklində göstərilən bölgəni müəyyən etmək lazım olduqda, stoxastik üsula daha çox üstünlük verilə bilər.

Əhəmiyyətlilik nümunəsindən istifadə

Eyni sayda təsadüfi nöqtə ilə, istənilən funksiyanı məhdudlaşdıran sahəni funksiyanın özünə yaxınlaşdırmaqla hesablamaların dəqiqliyi artırıla bilər. Bunun üçün forması inteqrasiya olunan funksiyanın formasına mümkün qədər yaxın olan paylanmaya malik təsadüfi dəyişənlərdən istifadə etmək lazımdır. Bu, Monte Karlo hesablamalarında konvergensiyanın təkmilləşdirilməsi üsullarından birinin əsasını təşkil edir: əhəmiyyətlilik seçmə.

Optimallaşdırma

Optimallaşdırma məsələlərini həll etmək üçün Monte Karlo metodunun variasiyalarından istifadə edilə bilər. Məsələn, simulyasiya edilmiş tavlama alqoritmi.

Fizikada tətbiqi

Kompüter modelləşdirməsi müasir fizikada mühüm rol oynayır və Monte Karlo metodu dünyanın bir çox sahələrində ən çox yayılmış üsullardan biridir. kvant fizikası bərk cisim fizikasına, plazma fizikasına və astrofizikaya.

Metropolis alqoritmi

Ənənəvi olaraq, termodinamik tarazlıq vəziyyətində sistemlərin müxtəlif fiziki parametrlərini təyin etmək üçün Monte Karlo üsulundan istifadə edilmişdir. Fərz edək ki, fiziki sistemin bir sıra mümkün vəziyyətləri mövcuddur S (\displaystyle S). Orta dəyəri müəyyən etmək üçün A ¯ (\displaystyle (\overline (A))) bəzi ölçü A (\displaystyle A) hesablamaq lazımdır A ¯ = ∑ S A (S) P (S) (\displaystyle (\overline (A))=\sum _(S)A(S)P(S)), burada toplama bütün dövlətlər üzrə həyata keçirilir S (\displaystyle S)-dan W (S) (\displaystyle W(S)), P (S) (\displaystyle P(S))- dövlət ehtimalı S (\displaystyle S).

Dinamik (kinetik) formalaşdırma

Birbaşa Monte Karlo Simulyasiyası

Hər hansı fiziki prosesin birbaşa Monte Karlo modelləşdirilməsi fiziki sistemin ayrı-ayrı elementar hissələrinin davranışının modelləşdirilməsini nəzərdə tutur. Əslində, bu birbaşa modelləşdirmə problemi ilk prinsiplərdən həll etməyə yaxındır, lakin adətən hesablamaları sürətləndirmək üçün bəzi fiziki yaxınlaşmaların istifadəsinə icazə verilir. Nümunə olaraq molekulyar dinamika metodundan istifadə edərək müxtəlif proseslərin hesablanması göstərilə bilər: bir tərəfdən sistem elementar komponentlərinin davranışı vasitəsilə təsvir edilir, digər tərəfdən istifadə olunan qarşılıqlı təsir potensialı çox vaxt empirik olur.

Birbaşa Monte Karlo simulyasiyasına nümunələr:

  • Şüalanma simulyasiyası bərk maddələr ikili toqquşma yaxınlaşmasında ionlar.
  • Nadir qazların birbaşa Monte Karlo simulyasiyası.
  • Əksər kinetik Monte Karlo modelləri birbaşadır (xüsusən də molekulyar şüa epitaksiyasının öyrənilməsi).

Kvant Monte Karlo metodu

Kvant Monte Karlo metodu mürəkkəb molekulları və bərk cisimləri öyrənmək üçün geniş istifadə olunur. Bu ad bir neçə fərqli metodu birləşdirir. Bunlardan birincisi variasiyalı Monte Karlo üsuludur ki, bu da mahiyyətcə Şrödinger tənliyinin həlli zamanı yaranan çoxölçülü inteqralların ədədi inteqrasiyasıdır. 1000 elektronun iştirak etdiyi bir məsələnin həlli 3000 ölçülü inteqralların alınmasını tələb edir və belə məsələlərin həlli üçün Monte Karlo metodu digər ədədi inteqrasiya metodlarına nisbətən böyük performans üstünlüyünə malikdir. Monte Karlo metodunun başqa bir variantı diffuziya Monte Karlo üsuludur.

Mühazirə 5.

Monte Karlo üsulu

Mövzu 3. Proseslər növbə iqtisadi sistemlərdə

1. Giriş sözü. 1

2. Monte Karlo metodunun ümumi sxemi. 2

3. Monte Karlo metodundan istifadə edərək növbə sisteminin hesablanması nümunəsi. 4

Test sualları... 5

1. Giriş sözü

EHM-də statistik modelləşdirmə metodu nəzəri əsas kimi ehtimal nəzəriyyəsinin limit teoremlərindən istifadə etməklə, stoxastik sistemlərin simulyasiya modellərindən istifadə etməklə nəticələrin alınmasının əsas üsuludur. Əsası Monte Karlo statistik test üsuludur.

Monte Karlo metodu təsadüfi dəyişənlərin paylanmasının xüsusiyyətlərini hesablamaq üçün onları simulyasiya etmək üsulu kimi müəyyən edilə bilər. Bir qayda olaraq, modelləşdirmənin elektron kompüterlərdən istifadə olunduğu güman edilir, baxmayaraq ki, bəzi hallarda lent ölçüsü, qələm və kağız kimi cihazlardan istifadə etməklə uğur əldə etmək olar.

"Monte Karlo metodu" termini (J. von Neumann tərəfindən və 1940-cı illərdə yaradılmışdır) təsadüfi ədədlər generatorundan istifadə edərək proseslərin simulyasiyasına aiddir. Monte-Karlo (özünün kazinoları ilə məşhur olan şəhər) termini ondan irəli gəlir ki, “şansların sayı” (Monte-Karlo simulyasiya metodları) kompleks tənliklərin inteqrallarının tapılması məqsədi ilə istifadə edilmişdir. nüvə bombaları(kvant mexanikasının inteqralları). Məsələn, bir neçə paylanmadan təsadüfi ədədlərin böyük nümunələrini yaradaraq, bu (mürəkkəb) paylanmaların inteqrallarını (yaradılan) verilənlərdən təxmini hesablamaq olar.


Təxmini hesablamalar sahəsində təsadüfi hadisələrdən istifadə ideyasının ortaya çıxması adətən 1878-ci ilə aid edilir, o zaman Hall təsadüfi olaraq paralel xətlərlə işarələnmiş kağıza iynə ataraq p rəqəmlərini təyin etmək üzərində işləyir. Məsələnin mahiyyəti ehtimalı p rəqəmi ilə ifadə olunan hadisəni eksperimental olaraq təkrar etmək və bu ehtimalı təqribən qiymətləndirməkdir.

Monte-Karlo üsulu ilə yerli işlər illər sonra ortaya çıxdı. İyirmi ildən artıqdır ki, Monte Karlo metodundan istifadə edərək 2000-dən çox başlıqdan ibarət geniş biblioqrafiya toplanmışdır. Üstəlik, hətta əsərlərin adlarına tez nəzər salmaq belə, Monte Karlo metodunun həlli üçün tətbiqi barədə nəticə çıxarmağa imkan verir. tətbiq olunan problemlər-dan çox sayda elm və texnologiya sahələri.

Başlanğıcda Monte Karlo metodu əsasən neytron fizikası problemlərinin həlli üçün istifadə olunurdu, burada ənənəvi ədədi metodların az faydası olduğu ortaya çıxdı. Bundan əlavə, onun təsiri məzmunca çox fərqli olan statistik fizika problemlərinin geniş sinfinə yayıldı. Monte Karlo metodunun getdikcə daha çox istifadə olunduğu elm sahələrinə növbə nəzəriyyəsi problemləri, oyun nəzəriyyəsi və riyazi iqtisadiyyatın problemləri, müdaxilənin mövcudluğunda mesajın ötürülməsi nəzəriyyəsi problemləri və bir sıra başqaları daxildir.

Monte Karlo metodu hesablama riyaziyyatı metodunun inkişafına (məsələn, ədədi inteqrasiya üsullarının işlənib hazırlanmasına) əhəmiyyətli təsir göstərmiş və göstərməkdə davam edir və bir çox məsələlərin həllində digər hesablama metodları ilə uğurla birləşdirilir və onları tamamlayır. . Onun istifadəsi ilk növbədə ehtimal-nəzəri təsvirə imkan verən problemlərdə əsaslandırılır. Bu, həm ehtimal məzmunlu məsələlərdə müəyyən verilmiş ehtimalla cavabın alınmasının təbiiliyi, həm də həll prosedurunun əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirilməsi ilə izah olunur. Müəyyən bir problemin kompüterdə həllinin çətinliyi böyük ölçüdə onu maşının “dilinə” tərcümə etməyin çətinliyi ilə müəyyən edilir. Avtomatik proqramlaşdırma dillərinin yaradılması bu işin mərhələlərindən birini əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirdi. Buna görə də hazırda ən çətin mərhələlər bunlardır: tədqiq olunan hadisənin riyazi təsviri, məsələnin zəruri sadələşdirilməsi, uyğun ədədi metodun seçilməsi, onun xətasının öyrənilməsi və alqoritmin qeydi. Problemin ehtimal-nəzəri təsviri olduğu hallarda Monte Karlo metodunun istifadəsi qeyd olunan aralıq mərhələləri əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirə bilər. Bununla belə, sonrakılardan göründüyü kimi, bir çox hallarda ciddi deterministik problemlər üçün Monte Karlo metodunu daha da istifadə etmək üçün ehtimal modeli qurmaq (orijinal problemi təsadüfiləşdirmək) faydalıdır.

2. Monte Karlo metodunun ümumi sxemi

Tutaq ki, bizə məlum olmayan m kəmiyyətini hesablamaq lazımdır və biz bunu təsadüfi dəyişəni nəzərə alaraq etmək istəyirik ki, onun riyazi gözləntisi M, = m olsun. Bu təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası D = b olsun.

N təsadüfi müstəqil dəyişəni,,... nəzərdən keçirək ki, onların paylanması nəzərdən keçirilən təsadüfi dəyişənin paylanması ilə üst-üstə düşür ξ..gif" width="247" height="48">

Son əlaqə kimi yenidən yazmaq olar

Alınan düstur m-nin hesablanması metodunu və bu metodun xətasının təxminini verir.

Monte Karlo metodundan istifadənin mahiyyəti müəyyən qərarın qəbulu zamanı əldə edilmiş statistik məlumatlar əsasında nəticələri müəyyən etməkdir.

Misal üçün. E1 və E2 bəzi təsadüfi prosesin yeganə mümkün tətbiqi olsun və p1 E1 nəticəsinin ehtimalıdır və p2 = 1 – p1 E2 nəticəsinin ehtimalıdır. Bu halda iki hadisədən hansının, e1 və ya E2-nin baş verdiyini müəyyən etmək üçün biz (0, 1) intervalda bərabər paylanmış 0 və 1 intervalında təsadüfi bir ədəd götürürük və testi həyata keçiririk. E1 nəticəsi, əgər varsa, E2 nəticəsi isə əks halda baş verəcəkdir.

Beləliklə, Monte Karlo metodundan istifadə etməklə əldə edilən nəticələrin etibarlılığı təsadüfi ədədlər generatorunun keyfiyyəti ilə qəti şəkildə müəyyən edilir.

Kompüterdə təsadüfi ədədləri əldə etmək üçün adətən müəyyən bir əməliyyatın dəfələrlə təkrarlanmasına əsaslanan generasiya üsullarından istifadə olunur. Bu şəkildə əldə edilən ardıcıllığa daha uyğun olaraq psevdor təsadüfi ədədlər deyilir, çünki yaradılan ardıcıllıq dövri olur və müəyyən bir andan başlayaraq nömrələr təkrarlanmağa başlayacaq. Bu, kompüter kodunda yalnız sonlu ədədin yazıla biləcəyindən irəli gəlir müxtəlif nömrələr. Nəticədə, yaradılan γ1 ədədlərindən biri γL ardıcıllığının əvvəlki üzvlərindən biri ilə üst-üstə düşəcək. Və nəsil forma formuluna görə həyata keçirildiyi üçün


γк+1 = F(γk),

bu andan etibarən ardıcıllığın qalan üzvləri təkrarlanacaq.

Vahid paylanmış təsadüfi ədədlərin istifadəsi Monte Karlo simulyasiyasının əsasını təşkil edir. Deyə bilərik ki, Monte Karlo üsulu ilə müəyyən təsadüfi kəmiyyət müəyyən edilibsə, onu hesablamaq üçün bərabər paylanmış təsadüfi ədədlər ardıcıllığından istifadə olunub.

Vahid paylanmış təsadüfi ədədlər 0-dan 1-ə qədər dəyişir və paylanma funksiyasına uyğun olaraq təsadüfi seçilir

F(x) = Рr(Х< х} = х, .

Bu paylama ilə (0, 1) intervalında təsadüfi dəyişənin hər hansı bir dəyərinin meydana gəlməsi eyni dərəcədə inandırıcıdır. Burada Pr(X< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

Təsadüfi ədədlərin alınmasının əsas üsulu onların modulunun yaradılmasıdır. m, a, c, x0 elə tam ədədlər olsun ki, m > x0 və a, c, x0 > 0 olsun. (xi) ardıcıllığından psevdo-təsadüfi ədədi xi təkrarlanma münasibətindən istifadə etməklə alınır.

xi = a xi-1 + c (mod m).

Yaranan ədədlərin stoxastik xüsusiyyətləri qəti şəkildə m, a və c seçimindən asılıdır. Onların zəif seçimi Monte Karlo simulyasiyalarında səhv nəticələrə gətirib çıxarır.

Rəqəmsal simulyasiyalar çox vaxt çox sayda təsadüfi ədəd tələb edir. Buna görə də, ardıcıllığın təkrarlanmağa başladığı yaradılan təsadüfi ədədlərin ardıcıllığının dövrü kifayət qədər böyük olmalıdır. Modelləşdirmə üçün tələb olunan təsadüfi ədədlərin sayından əhəmiyyətli dərəcədə çox olmalıdır, əks halda alınan nəticələr təhrif ediləcəkdir.

Əksər kompüterlərdə və proqram paketlərində təsadüfi ədədlər generatoru var. Bununla belə, əksər statistik testlər nəticədə təsadüfi ədədlər arasında korrelyasiya göstərir.

Hər bir generatoru yoxlamaq üçün istifadə edə biləcəyiniz sürətli bir test var. Təsadüfi ədədlər generatorunun keyfiyyəti tamamilə d ölçülü qəfəsin doldurulması ilə nümayiş etdirilə bilər (məsələn, iki və ya üç ölçülü). Yaxşı bir generator hiperkubun bütün yerini doldurmalıdır.

N təsadüfi xi ədədinin paylanmasının vahidliyini yoxlamağın başqa bir təxmini üsulu onların riyazi gözləntilərini və dispersiyasını hesablamaqdır. Bu meyara görə, vahid paylama üçün aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilməlidir:

Ardıcıllığın təsadüfi olub olmadığını yoxlamaq üçün istifadə edilə bilən bir çox statistik testlər var. Spektral meyar ən dəqiq hesab olunur. Məsələn, KS meyarı və ya Kolmogorov-Smirnov meyarı adlanan çox ümumi bir meyar. Yoxlama göstərir ki, məsələn, Excel cədvəllərində təsadüfi ədədlər generatoru bu meyara cavab vermir.

Praktikada əsas problem proqramlarınızda istifadə edə biləcəyiniz sadə və etibarlı təsadüfi ədədlər generatoru qurmaqdır. Bunun üçün aşağıdakı prosedur təklif olunur.

Proqramın əvvəlində bütün X dəyişəninə müəyyən X0 dəyəri təyin edilir. Sonra qaydaya uyğun olaraq təsadüfi ədədlər yaradılır

X = (aX + c) mod m. (1)

Parametrlərin seçimi aşağıdakı əsas prinsiplərdən istifadə etməklə aparılmalıdır.

1. İlkin X0 rəqəmi özbaşına seçilə bilər. Proqram bir neçə dəfə istifadə olunursa və hər dəfə təsadüfi ədədlərin müxtəlif mənbələri tələb olunursa, məsələn, X0-a əvvəlki əməliyyatda sonuncu dəfə əldə edilmiş X dəyərini təyin edə bilərsiniz.

2. m rəqəmi böyük olmalıdır, məsələn, 230 (çünki yaradılan psevdo-təsadüfi ardıcıllığın dövrünü məhz bu rəqəm müəyyən edir).

3. Əgər m ikinin gücüdürsə, elə seçin a mod8 = 5. Əgər m on gücüdürsə, elə seçin a mod10 = 21. Bu seçim təsadüfi ədəd generatorunun təkrar etməyə başlamazdan əvvəl bütün m mümkün dəyərləri istehsal etməsini təmin edir.

4.Çarpan Aüstünlük verilən seçim 0,01m ilə 0,99m arasındadır və onun ikili və ya onluq rəqəmləri sadə nizamlı struktura malik olmamalıdır. Multiplikator spektral kriteriyadan və tercihen bir neçə başqa meyardan keçməlidir.

5.Əgər a yaxşı çarpandır, c dəyəri əhəmiyyətli deyil, istisna olmaqla, c m ilə ümumi çarpan olmamalıdır, əgər m kompüter sözünün ölçüsüdürsə. Siz, məsələn, c = 1 və ya c = a seçə bilərsiniz.

6. Siz m/1000-dən çox olmayan təsadüfi ədəd yarada bilərsiniz. Bundan sonra, yeni bir dövrə istifadə edilməlidir, məsələn, yeni bir çarpan A.

Sadalanan qaydalar əsasən maşın proqramlaşdırma dilinə aiddir. Proqramlaşdırma dili üçün yüksək səviyyə, məsələn, C++, başqa bir variantdan (1) tez-tez istifadə olunur: ən böyük asanlıqla hesablanan tam ədədə yaxın olan m sadə ədədi seçilir, a-nın dəyəri m-in antitörəmə kökünə bərabər qoyulur və c isə bərabər alınır. sıfır. Məsələn, götürə bilərsiniz a= 48271 və t =

3. Monte Karlo metodundan istifadə edərək növbə sisteminin hesablanması nümunəsi

Gəlin nəzərdən keçirək ən sadə sistemdir n xəttdən ibarət olan növbə xidməti (QS) (başqa şəkildə kanallar və ya xidmət nöqtələri adlanır). Təsadüfi vaxtlarda sistemə sorğular qəbul edilir. Hər bir müraciət 1 nömrəli xətt üzrə gəlir. Tk görünüşünün alınması zamanı bu xətt pulsuzdursa, ərizəyə t3 vaxtında (xəttin məşğul vaxtı) xidmət göstərilir. Əgər xətt məşğuldursa, sorğu dərhal 2-ci sətirə ötürülür və s. Əgər hazırda bütün n xətt məşğuldursa, o zaman sistem rədd cavabı verir.

Təbii bir vəzifə, müəyyən bir sistemin effektivliyini qiymətləndirmək üçün xüsusiyyətlərini müəyyən etməkdir: xidmət üçün orta gözləmə müddəti, sistemin dayanma müddəti, orta növbə uzunluğu və s.

Belə sistemlər üçün praktiki olaraq yeganə hesablama üsulu Monte Karlo üsuludur.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image013_34.gif" width="373" height="257">

Alqoritmlər kompüterdə təsadüfi ədədlər əldə etmək üçün istifadə olunur, ona görə də mahiyyətcə deterministik olan belə ardıcıllıqlar psevdor təsadüfi adlanır. Kompüter n-bit ədədlərlə işləyir, buna görə də (0,1) intervalın vahid təsadüfi ədədlərinin davamlı toplusu əvəzinə kompüterdə eyni intervalın 2n təsadüfi ədədlərinin diskret ardıcıllığından istifadə olunur - paylanma qanunu. belə diskret ardıcıllığa kvazivahid paylanma deyilir.

İdeal təsadüfi ədəd generatoru üçün tələblər:

1. Ardıcıllıq kvazibərabər paylanmış ədədlərdən ibarət olmalıdır.

2. Rəqəmlər müstəqil olmalıdır.

3. Təsadüfi nömrələr ardıcıllığı təkrarlanmalıdır.

4. Ardıcıllıqların təkrarlanmayan nömrələri olmalıdır.

5. Ardıcıllıqlar minimal hesablama resursları ilə alınmalıdır.

Yalançı təsadüfi ədədlərin ardıcıllığını yaratmaq üçün kompüter modelləşdirmə təcrübəsində ən böyük tətbiq formanın alqoritmlərində tapılır:

birinci dərəcəli təkrarlanan əlaqələrdir.

Misal üçün. x0 = 0,2152, (x0)2=0, x1 = 0,6311, (x1)2=0, x2=0,8287 və s.

Bu cür metodların dezavantajı ardıcıllıqdakı nömrələr arasında korrelyasiyanın olmasıdır və bəzən heç bir təsadüfilik yoxdur, məsələn:

x0 = 0,4500, (x0)2=0, x1 = 0,2500, (x1)2=0, x2=0,2500 və s.

Yalançı təsadüfi ardıcıllıqların yaradılması üçün konqruent prosedurlar geniş şəkildə istifadə edilmişdir.

İki tam ədəd a və b m uyğun (müqayisə edilə bilən) moduldur, burada m tam ədəddir, yalnız və yalnız a-b=km olan k tam ədədi olduqda.

1984º4 (mod 10), 5008º8 (mod 103).

Ən uyğun təsadüfi ədəd yaratmaq prosedurları aşağıdakı düstura əsaslanır:

qeyri-mənfi tam ədədlər haradadır.

(Xi) ardıcıllığının tam ədədlərindən istifadə edərək (xi)=(Xi/M) ardıcıllığını qura bilərik. rasional ədədlər vahid intervalından (0,1).

Modelləşdirmədən əvvəl istifadə olunan təsadüfi ədəd generatorları təsadüfi ədədlərin nəticə ardıcıllığının vahidliyi, stokastikliyi və müstəqilliyi üçün hərtərəfli ilkin sınaqdan keçməlidir.

Təsadüfi ədəd ardıcıllığının keyfiyyətinin yaxşılaşdırılması üsulları:

1. r sırasının təkrarlanan düsturlarından istifadə:

Amma bu metoddan istifadə rəqəmlərin əldə edilməsi üçün hesablama resurslarının xərclərinin artmasına gətirib çıxarır.

2. Təhlükə üsulu:

.

5. Sistemlərə təsadüfi təsirlərin modelləşdirilməsi

1. Həyata keçirilməlidir təsadüfi hadisə A, verilmiş ehtimal p ilə baş verir. A-nı (0,1) intervalında bərabər paylanmış təsadüfi kəmiyyətin seçilmiş xi dəyərinin bərabərsizliyi təmin etməsi hadisəsi kimi müəyyən edək:

Onda A hadisəsinin ehtimalı https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif" width="103" height="25"> olacaq,

Bu vəziyyətdə test simulyasiya proseduru təsadüfi xi ədədlərinin lr dəyərləri ilə ardıcıl müqayisəsindən ibarətdir. Şərt yerinə yetirilərsə, testin nəticəsi Am hadisəsidir.

3. pA və pB baş vermə ehtimalları ilə müstəqil A və B hadisələrini nəzərdən keçirin. Bu halda birgə sınaqların mümkün nəticələri pArB, (1-pA)pB, pA(1-pB), (1-pA)(1-pB) ehtimalları ilə AB hadisələri olacaqdır. Birgə testləri simulyasiya etmək üçün prosedurun iki variantından istifadə edilə bilər:

1-ci bənddə müzakirə olunan prosedurun ardıcıl icrası.

AB-nin nəticələrindən birinin müvafiq ehtimallarla püşkatma yolu ilə müəyyən edilməsi, yəni 2-ci bənddə müzakirə olunan prosedur.

Birinci seçim iki ədəd xi və iki müqayisə tələb edəcək. İkinci seçimlə, bir ədəd xi ilə əldə edə bilərsiniz, lakin daha çox müqayisə tələb oluna bilər. Modelləşdirmə alqoritminin qurulmasının rahatlığı, əməliyyatların sayına və kompüter yaddaşına qənaət baxımından birinci varianta daha çox üstünlük verilir.

4. A və B hadisələri asılıdır və pA və pB ehtimalları ilə baş verir. A hadisəsinin baş verməsi şərti ilə B hadisəsinin baş verməsinin şərti ehtimalını pA(B) ilə işarə edək.

Nəzarət sualları

1) Monte Karlo metodunu necə müəyyən edə bilərsiniz?

2) Monte Karlo metodunun praktiki əhəmiyyəti.

3) Monte Karlo metodunun ümumi sxemi.

4) Monte Karlo metodundan istifadə edərək növbə sisteminin hesablanması nümunəsi.

5) Təsadüfi ədədlərin yaradılması üsulları.

6) İdeal təsadüfi ədədlər generatoruna hansı tələblər qoyulur?

7) Təsadüfi ədədlər ardıcıllığının keyfiyyətinin yüksəldilməsi üsulları.

verdiyimiz hər bir qərarın ayrılmaz hissəsidir. Biz daim qeyri-müəyyənlik, qeyri-müəyyənlik və dəyişkənliklə üzləşirik. Hətta görünməmiş məlumat əldə etməklə belə, biz gələcəyi dəqiq proqnozlaşdıra bilmirik. Monte Karlo simulyasiyası (həmçinin Monte Karlo metodu kimi tanınır) qərarlarınızın bütün mümkün nəticələrini nəzərdən keçirməyə və riskin təsirini qiymətləndirməyə imkan verir, qeyri-müəyyənlik şəraitində daha yaxşı qərarlar qəbul etməyə imkan verir.

Monte Karlo Simulyasiyası nədir?
Monte Karlo simulyasiyası riski kəmiyyət təhlili və qərar qəbul etmə prosesinə daxil etmək üçün nəzərdə tutulmuş avtomatlaşdırılmış riyazi texnikadır. Bu metodologiya maliyyə, layihələrin idarə edilməsi, enerji, istehsal, mühəndislik, elmi-tədqiqat və inkişaf, sığorta, neft və qaz, nəqliyyat və ətraf mühitin mühafizəsi kimi müxtəlif sahələrdə peşəkarlar tərəfindən istifadə olunur.

Hər dəfə sonrakı fəaliyyət kursunun seçilməsi prosesində Monte Karlo simulyasiyası qərar qəbul edən şəxsə mümkün nəticələrin bütün spektrini nəzərdən keçirməyə və onların baş vermə ehtimalını qiymətləndirməyə imkan verir. Bu üsul spektrin əks uclarında olan imkanları (hər şeyə qoşulmanın və ən mühafizəkar tədbirlərin görülməsinin nəticələri), eləcə də mülayim qərarların mümkün nəticələrini nümayiş etdirir.

Bu üsul ilk dəfə atom bombasının hazırlanmasında iştirak edən alimlər tərəfindən istifadə edilmişdir; Monakoda kazinoları ilə məşhur olan Monte Karlo kurortunun şərəfinə adlandırılmışdır. İkinci Dünya Müharibəsi illərində geniş yayılan Monte Karlo metodu hər cür fiziki və nəzəri sistemləri simulyasiya etmək üçün istifadə olunmağa başladı.

Rəylərə baxın
Duqlas Hubbard
Hubbard Qərar Araşdırması
Vaxt: 00:35 san

"Monte Karlo simulyasiyası qeyri-müəyyənlik şəraitində kritik qərarları təhlil etməyin yeganə yoludur."

Con Zhao
Suncor Enerji
Vaxt: 02:36 dəq

"Kapital xərclərinin qiymətləndirilməsi üçün Monte Karlo simulyasiyası [Suncor-da] hər hansı bir böyük layihə üçün bir tələb halına gəldi."

Monte Karlo Simulyasiyası necə həyata keçirilir
Monte Karlo metodu çərçivəsində mümkün nəticələrin modellərindən istifadə etməklə risk təhlili aparılır. Bu cür modelləri yaratarkən qeyri-müəyyənliklə xarakterizə olunan hər hansı bir amil bir sıra dəyərlərlə - ehtimal paylanması ilə əvəz olunur. Daha sonra nəticələr müxtəlif təsadüfi ehtimal funksiyası dəyərlərindən istifadə etməklə dəfələrlə hesablanır. Bəzən simulyasiyanı başa çatdırmaq üçün qeyri-müəyyənliklərin sayından və onlar üçün müəyyən edilmiş diapazonlardan asılı olaraq minlərlə, hətta on minlərlə yenidən hesablamalar aparmaq lazım gələ bilər. Monte Karlo simulyasiyası mümkün nəticələrin dəyərlərinin paylanmasını əldə etməyə imkan verir.

Ehtimal paylamalarından istifadə edərkən dəyişənlərin müxtəlif nəticələrin baş vermə ehtimalı fərqli ola bilər. Ehtimal paylamaları risk təhlili prosesində dəyişənlərin qeyri-müəyyənliyini təsvir etmək üçün daha real bir üsuldur. Ən ümumi ehtimal paylamaları aşağıda verilmişdir.

Normal paylama(və ya "Bauss əyrisi"). Ortadan kənarlaşmanı təsvir etmək üçün istifadəçi orta və ya gözlənilən dəyəri və standart kənarlaşmanı müəyyən edir. Ortada, ortanın yanında yerləşən dəyərlər ən yüksək ehtimalla xarakterizə olunur. Normal paylama simmetrikdir və bir çox ümumi hadisələri təsvir edir - məsələn, insanların boyu. Normal paylamalarla təsvir edilən dəyişənlərə misal olaraq inflyasiya dərəcələri və enerji qiymətləri daxildir.

Lognormal paylanma. Dəyərlər müsbət əyri və normal paylanmadan fərqli olaraq asimmetrikdir. Bu paylama sıfırdan aşağı düşməyən, lakin qeyri-məhdud müsbət qiymətlər ala bilən kəmiyyətləri əks etdirmək üçün istifadə olunur. Loqnormal paylamalarla təsvir edilən dəyişənlərə misal olaraq daşınmaz əmlak dəyərləri, səhm qiymətləri və neft ehtiyatları daxildir.

Vahid paylama. Bütün kəmiyyətlər eyni ehtimalla bu və ya digər dəyər ala bilər, istifadəçi sadəcə minimum və maksimumu müəyyən edir; Vahid paylanmaya malik dəyişənlərə misal olaraq istehsal xərcləri və ya yeni məhsulun gələcək satışından əldə olunan gəlirlər daxildir.

Üçbucaqlı paylama.İstifadəçi minimum, böyük ehtimal və maksimum dəyərləri müəyyən edir. Maksimum ehtimal nöqtəsinin yaxınlığında yerləşən dəyərlər ən yüksək ehtimala malikdir. Üçbucaqlı paylama ilə təsvir edilə bilən dəyişənlərə vaxt vahidi üzrə tarixi satışlar və inventar səviyyələri daxildir.

PERT paylanması.İstifadəçi minimum, ən çox ehtimal olunan və maksimum dəyərləri müəyyənləşdirir - üçbucaqlı paylama ilə eynidir. Maksimum ehtimal nöqtəsinin yaxınlığında yerləşən dəyərlər ən yüksək ehtimala malikdir. Bununla birlikdə, ən çox ehtimal olunan və həddindən artıq dəyərlər arasındakı diapazondakı dəyərlər üçbucaqlı paylama ilə müqayisədə daha çox görünür, yəni həddindən artıq dəyərlərə vurğu yoxdur. PERT paylanmasının istifadəsinə misal olaraq layihənin idarə edilməsi modeli daxilində tapşırığın müddətini təsvir etmək olar.

Diskret paylama.İstifadəçi mümkün olanlar arasından xüsusi dəyərləri, həmçinin onların hər birini əldə etmə ehtimalını müəyyən edir. Bir nümunə nəticə ola bilər sınaq: Müsbət qərarın 20%, mənfi qərarın 30% ehtimalı, tərəflər arasında razılaşmanın 40% ehtimalı və məhkəmənin ləğvi ehtimalı 10%.

Monte Karlo simulyasiyasında dəyərlər orijinal ehtimal paylamalarından təsadüfi olaraq seçilir. Hər bir dəyər nümunəsi iterasiya adlanır; nümunədən alınan nəticə qeydə alınır. Modelləşdirmə prosesi zamanı bu prosedur yüzlərlə və ya minlərlə dəfə həyata keçirilir və nəticədə mümkün nəticələrin ehtimal paylanmasıdır. Beləliklə, Monte Karlo simulyasiyası mümkün hadisələrin daha dolğun mənzərəsini təqdim edir. Bu, yalnız nə baş verə biləcəyini deyil, həm də belə bir nəticənin olma ehtimalının nə olduğunu mühakimə etməyə imkan verir.

Monte Karlo simulyasiyasının deterministik və ya nöqtəli təxmin təhlili ilə müqayisədə bir sıra üstünlükləri var:

  • Ehtimal nəticələri.Nəticələr təkcə mümkün hadisələri deyil, həm də onların baş vermə ehtimalını göstərir.
  • Nəticələrin qrafik təsviri. Monte Karlo metodundan istifadə etməklə əldə edilən məlumatların xarakteri müxtəlif nəticələrin qrafiklərini, habelə onların baş vermə ehtimallarını yaratmağa imkan verir. Nəticələrin digər maraqlı tərəflərə çatdırılması zamanı bu vacibdir.
  • Həssaslıq analizi. Bir neçə istisna olmaqla, deterministik analiz hansı dəyişənin nəticələrə daha çox təsir etdiyini müəyyən etməyi çətinləşdirir. Monte Karlo simulyasiyasını həyata keçirərkən, hansı girişlərin yekun nəticələrə daha çox təsir etdiyini görmək asandır.
  • Ssenari təhlili. Deterministik modellərdə müxtəlif giriş dəyərləri üçün kəmiyyətlərin müxtəlif kombinasiyalarını simulyasiya etmək və buna görə də həqiqətən fərqli ssenarilərin təsirini qiymətləndirmək çox çətindir. Monte Karlo metodundan istifadə edərək, analitiklər hansı girişlərin müəyyən dəyərlərə səbəb olduğunu dəqiq müəyyən edə və müəyyən nəticələrin baş verməsini izləyə bilərlər. Bu, sonrakı təhlil üçün çox vacibdir.
  • Mənbə məlumatlarının korrelyasiyası. Monte Karlo metodu giriş dəyişənləri arasında qarşılıqlı asılı münasibətləri modelləşdirməyə imkan verir. Etibarlı məlumat əldə etmək üçün hansı hallarda bəzi amillərin artdığını, digərlərinin müvafiq olaraq artdığını və ya azaldığını təsəvvür etmək lazımdır.

Siz həmçinin bütün paylama funksiyalarından daha dəqiq seçən Latın Hypercube metodundan istifadə etməklə nümunə götürməklə Monte Karlo simulyasiya nəticələrinizi təkmilləşdirə bilərsiniz.

Palisade Modelləşdirmə Məhsulları
Monte Karlo metodundan istifadə etməklə
Fərdi kompüterlərdə elektron cədvəllərlə işləmək üçün nəzərdə tutulmuş proqramların yaranması mütəxəssislərə gündəlik fəaliyyətdə təhlil apararkən Monte Karlo metodundan istifadə etmək üçün geniş imkanlar açmışdır. Microsoft Excel ən çox yayılmış cədvəl analitik alətlərindən biridir və proqram Monte Karlo simulyasiyalarını yerinə yetirməyə imkan verən Excel üçün Palisade-in əsas plaginidir. @RISK ilk dəfə 1987-ci ildə DOS əməliyyat sistemində Lotus 1-2-3 üçün təqdim edilib və dərhal dəqiqliyi, modelləşdirmə çevikliyi və istifadə rahatlığı ilə əla reputasiya qazanıb. Microsoft Project-in yaranması Monte Karlo metodunun tətbiqi üçün başqa bir məntiq tətbiqinin yaradılmasına səbəb oldu. Onun əsas vəzifəsi böyük layihələrin idarə edilməsi ilə bağlı qeyri-müəyyənlikləri və riskləri təhlil etmək idi.

Statistik modelləşdirmə müəyyən bir ehtimal sıxlığı ilə təsadüfi siqnallar dəsti ilə bir modeli sınaqdan keçirməyi əhatə edən əsas modelləşdirmə üsuludur. Məqsəd budur statistik tərifçıxış nəticələri. Statistik modelləşdirməyə əsaslanır üsul Monte Karlo. Unutmayaq ki, təqlid başqa üsullardan istifadə etmək mümkün olmadıqda istifadə olunur.

Monte Karlo üsulu

Analitik olaraq qiymətini tapmaq mümkün olmayan inteqralın hesablanması nümunəsindən istifadə edərək Monte Karlo metodunu nəzərdən keçirək.

Tapşırıq 1. İnteqralın qiymətini tapın:

Şəkildə. 1.1 funksiyanın qrafikini göstərir f (x). Bu funksiyanın inteqralının qiymətini hesablamaq bu qrafikin altındakı sahəni tapmaq deməkdir.

düyü. 1.1

Döngəni yuxarıdan, sağa və sola məhdudlaşdırırıq. Axtarış düzbucağında xalları təsadüfi paylayırıq. ilə işarə edək N 1 sınaq üçün qəbul edilmiş balların sayı (yəni düzbucaqlıya düşərək, bu nöqtələr Şəkil 1.1-də qırmızı və mavi rənglərlə göstərilmişdir) və vasitəsilə N 2 - əyri altındakı nöqtələrin sayı, yəni funksiyanın altında kölgəli sahəyə düşən (bu nöqtələr Şəkil 1.1-də qırmızı rənglə göstərilmişdir). Sonra ümumi nöqtələrin sayına nisbətdə əyri altına düşən nöqtələrin sayının sınaq düzbucağının sahəsinə nisbətdə əyri altındakı sahəyə (inteqralın dəyəri) mütənasib olduğunu güman etmək təbiidir. Riyazi olaraq bunu aşağıdakı kimi ifadə etmək olar:

Bu mülahizələr, əlbəttə ki, statistikdir və daha doğrudur daha böyük rəqəm Test xallarını alacağıq.

Monte Karlo metodu alqoritminin blok diaqram şəklində bir parçası Şəkildə göstərildiyi kimi görünür. 1.2

düyü. 1.2

Dəyərlər r 1 və rŞəkildə 2. 1.2 intervallardan bərabər paylanmış təsadüfi ədədlərdir ( x 1 ; x 2) və ( c 1 ; c 2) müvafiq olaraq.

Monte Karlo metodu son dərəcə səmərəli və sadədir, lakin "yaxşı" təsadüfi ədəd generatoru tələb edir. Metodun tətbiqində ikinci problem nümunənin ölçüsünü, yəni verilmiş dəqiqliklə həlli təmin etmək üçün tələb olunan balların sayını müəyyən etməkdir. Təcrübələr göstərir ki, dəqiqliyi 10 dəfə artırmaq üçün nümunənin ölçüsünü 100 dəfə artırmaq lazımdır; yəni, dəqiqlik nümunə ölçüsünün kvadrat kökü ilə təxminən mütənasibdir:

Təsadüfi parametrləri olan sistemlərin öyrənilməsində Monte Karlo metodundan istifadə sxemi

Təsadüfi parametrləri olan bir sistemin modelini qurduqdan sonra, Şəkil 1-də göstərildiyi kimi, təsadüfi nömrə generatorundan (RNG) giriş siqnalları onun girişinə verilir. 1.3 RNG istehsal etdiyi şəkildə tərtib edilmişdir bərabər şəkildə paylanmışdır təsadüfi ədədlər r intervaldan pp. Bəzi hadisələr daha çox ehtimal oluna bildiyinə görə, digərləri az ehtimal olunan, vahid paylanmış təsadüfi ədədlər generatordan təsadüfi ədədlər qanunu çeviricisinə (RLC) qidalanır ki, bu da onları hadisələrə çevirir. verilmişdir ehtimal paylanması qanununun istifadəçisi, məsələn, normal və ya eksponensial qanun. Bunlar təsadüfi ədədlərə çevrildi x model girişinə verilir. Model giriş siqnalını emal edir x hansısa qanuna görə y = ts (x) və çıxış siqnalını qəbul edir y, bu da təsadüfidir.

statistik modelləşdirmə təsadüfi dəyişən


düyü. 1.3

Statistikanın yığılması blokunda (BNStat) filtrlər və sayğaclar quraşdırılıb. Filtr (bəzi məntiqi şərt) dəyərlə müəyyən edir y, müəyyən bir hadisənin konkret təcrübədə həyata keçirilib-keçirilmədiyi (şərtin yerinə yetirildiyi, f= 1) və ya yox (şərt yerinə yetirilmədi, f= 0). Hadisə baş verərsə, hadisə sayğacı bir artır. Hadisə həyata keçirilmirsə, sayğac dəyəri dəyişmir. Bir neçə müxtəlif növ hadisələri izləmək lazımdırsa, statistik modelləşdirmə üçün sizə bir neçə filtr və sayğac lazımdır. N i. Təcrübələrin sayının sayğacı həmişə saxlanılır - N.

Əlavə əlaqə N i Kimə N, hesablama blokunda hesablanmışdır statistik xüsusiyyətlər(BVSH) Monte Karlo metodundan istifadə edərək, ehtimalın təxminini verir səh i hadisənin baş verməsi i, yəni bir sıra onun baş vermə tezliyini göstərir N təcrübələr. Bu, modelləşdirilmiş obyektin statistik xüsusiyyətləri haqqında nəticə çıxarmağa imkan verir.

Məsələn, 50 dəfə edilən 200 təcrübə nəticəsində A hadisəsi baş verdi. Bu o deməkdir ki, Monte Karlo metoduna görə hadisənin baş vermə ehtimalı: səh A = 50/200 = 0,25. Hadisənin baş verməməsi ehtimalı müvafiq olaraq 1 - 0,25 = 0,75-dir.

Zəhmət olmasa ödəyin diqqət: təcrübi yolla əldə edilən ehtimaldan danışdıqda buna tezlik deyilir; nəzəri anlayışdan danışdığımızı vurğulamaq istədikdə ehtimal sözü işlədilir.

Çoxlu sayda təcrübə ilə N təcrübi yolla əldə edilmiş hadisənin baş vermə tezliyi hadisənin baş verməsinin nəzəri ehtimalının qiymətinə meyl edir.

Etibarlılığın qiymətləndirilməsi blokunda (RAB) modeldən götürülmüş statistik eksperimental məlumatların etibarlılıq dərəcəsi təhlil edilir (nəticənin dəqiqliyi nəzərə alınmaqla). e, istifadəçi tərəfindən müəyyən edilir) və bunun üçün tələb olunan statistik testlərin sayını müəyyənləşdirin. Nəzəri ehtimala nisbətən hadisələrin baş vermə tezliyinin qiymətlərindəki dalğalanmalar göstərilən dəqiqlikdən azdırsa, cavab olaraq eksperimental tezlik qəbul edilir, əks halda təsadüfi giriş təsirlərinin yaranması davam edir və modelləşdirmə prosesi aparılır. təkrarlanır. Az sayda testlə nəticə etibarsız ola bilər. Amma nə qədər çox test olsa, mərkəzi limit teoreminə görə cavab bir o qədər dəqiqdir.

Qeyd edək ki, qiymətləndirmə ən pis tezlikdən istifadə etməklə həyata keçirilir. Bu, eyni anda modelin bütün ölçülmüş xüsusiyyətləri üçün etibarlı nəticələr verir.

Nümunə 1. Gəlin həll edək sadə tapşırıq. Təsadüfi olaraq hündürlükdən yerə düşən sikkənin yuxarı qalxma ehtimalı nədir?

Bir sikkə atmağa və hər atışın nəticələrini qeyd etməyə başlayaq (Cədvəl 1.1-ə baxın).

Cədvəl 1.1.

Sikkə atma testinin nəticələri


Başların tezliyini başların sayının müşahidələrin ümumi sayına nisbəti kimi hesablayacağıq. Cədvələ baxın. üçün 1.1 hallar N = 1, N = 2, N= 3 - əvvəlcə tezlik dəyərləri etibarlı adlandırıla bilməz. Gəlin asılılıq qrafikini qurmağa çalışaq P o dan N- və yerinə yetirilən təcrübələrin sayından asılı olaraq başların tezliyinin necə dəyişdiyini görək. Təbii ki, müxtəlif təcrübələr müxtəlif cədvəllər və buna görə də fərqli qrafiklər yaradacaq. Şəkildə. 1.4 seçimlərdən birini göstərir.


düyü. 1.4

Gəlin bəzi nəticələr çıxaraq.

  • 1. Kiçik dəyərlərdə görünə bilər N, Misal üçün, N = 1, N = 2, N= 3 Cavaba qətiyyən etibar etmək olmaz. Misal üçün, P o = 0 at N= 1, yəni bir atışda baş əldə etmə ehtimalı sıfırdır! Baxmayaraq ki, hamı bunun belə olmadığını yaxşı bilir. Yəni indiyə qədər çox kobud cavab almışıq. Bununla belə, qrafikə baxın: davam edir qənaət məlumat, cavab yavaş-yavaş, lakin şübhəsiz ki, düzgün olana yaxınlaşır (nöqtəli xətt ilə vurğulanır). Xoşbəxtlikdən, bu konkret vəziyyətdə düzgün cavabı bilirik: ideal olaraq, baş alma ehtimalı 0,5-dir (digər, daha mürəkkəb məsələlərdə cavab, əlbəttə ki, bizə məlum olmayacaq). Fərz edək ki, cavabı dəqiqliklə bilməliyik e= 0,1. Gəlin ikisini keçirək paralel xətlər, düzgün cavabdan 0,5 0,1 məsafə ilə ayrılır (bax. Şəkil 1.4). Yaranan koridorun eni 0,2-ə bərabər olacaqdır. Döngə kimi P O ( N) bu dəhlizə elə girəcək ki, heç vaxt oradan çıxmayacaq, dayanıb hansı qiymətə görə bilərsiniz N baş verdi. Bu budur eksperimental olaraq hesablanmışdır tənqidi məna tələb olunan sayda təcrübə N cavabı dəqiqliklə müəyyən etmək üçün kr e e = 0.1; e- mülahizəmizdəki məhəllə bir növ dəqiq boru rolunu oynayır. Qeyd edək ki, cavablar P o (91), P o (92) və s. artıq öz dəyərlərini çox dəyişmir (bax Şəkil 1.4); problemin şərtlərinə uyğun olaraq etibar etmək məcburiyyətində olduğumuz onluq nöqtədən sonra ən azı birinci rəqəm dəyişmir.
  • 2. Əyrinin bu davranışının səbəbi hərəkətdir mərkəzi son teoremlər. Hələlik biz onu ən sadə variantda formalaşdıracağıq: “Təsadüfi dəyişənlərin cəmi təsadüfi olmayan kəmiyyətdir.” Orta hesabla istifadə etdik P o, təcrübələrin cəmi haqqında məlumat daşıyır və buna görə də tədricən bu dəyər getdikcə daha etibarlı olur.
  • 3. Əgər bu təcrübəni əvvəldən təkrar etsəniz, təbii ki, onun nəticəsi fərqli növ təsadüfi əyri olacaq. Və cavab təxminən eyni olsa da, fərqli olacaq. Bu cür təcrübələrin bütün seriyasını aparaq (bax. Şəkil 1.5). Belə bir seriya realizasiyalar ansamblı adlanır. Sonda hansı cavaba inanmalısan? Axı, yaxın olsalar da, yenə də fərqlənirlər. Praktikada fərqli hərəkət edirlər. Birinci variant bir neçə tətbiq üzrə cavabların orta qiymətini hesablamaqdır (bax Cədvəl 1.2).

düyü. 1.5

Biz bir neçə təcrübə qurduq və hər dəfə nə qədər eksperimentin edilməsi lazım olduğunu müəyyənləşdirdik, yəni N cr e. 10 təcrübə aparıldı, nəticələri cədvəldə ümumiləşdirildi. 1.2 10 təcrübənin nəticələrinə əsasən orta qiymət hesablanmışdır N cr e.

Cədvəl 1.2.

Dəqiqliyə nail olmaq üçün lazımi sayda sikkə atılması ilə bağlı eksperimental məlumatlar e

Beləliklə, müxtəlif uzunluqlarda 10 tətbiq həyata keçirdikdən sonra bunun kifayət olduğunu müəyyən etdik V orta 94 sikkə atma uzunluğu ilə 1 realizasiya etmək mümkün idi.

Başqa bir vacib fakt. Şəkil 21.5-dəki qrafiki diqqətlə araşdırın. O, 100 reallaşmanı - 100 qırmızı xətti göstərir. Üzərində absis qeyd edin N= 94 şaquli bar. Keçməyə vaxtı olmayan qırmızı xətlərin müəyyən faizi var e-məhəllə, yəni ( P eks - e ? P nəzəriyyə? P exp + e) və dəhlizə daxil olun N= 94. Nəzərə alın ki, belə 5 sətir var, bu o deməkdir ki, 100-dən 95-i, yəni 95%-i təyin olunmuş intervala etibarlı şəkildə daxil olub.

Beləliklə, 100 tətbiqi həyata keçirdikdən sonra, başların təcrübi olaraq əldə edilmiş ehtimalına təxminən 95% inam əldə etdik, onu 0,1 dəqiqliklə təyin etdik.

Əldə edilən nəticəni müqayisə etmək üçün nəzəri dəyəri hesablayaq N kr t nəzəri olaraq. Lakin bunun üçün biz güvən ehtimalı anlayışını təqdim etməli olacağıq Q F, bu da cavaba inanmağa nə qədər hazır olduğumuzu göstərir.

Məsələn, nə vaxt Q F= 0.95 100-dən 95% hallarda cavaba inanmağa hazırıq. Görünür: N cr t = k (Q F) · səh· (1 - səh) /e 2 harada k (Q F) - Laplas əmsalı, səh- baş alma ehtimalı, e- dəqiqlik (etibar intervalı). Cədvəldə 1.3 müxtəlif üçün zəruri təcrübələrin sayının nəzəri dəyərinin dəyərlərini göstərir Q F(dəqiqlik üçün e= 0.1 və ehtimal səh = 0.5).

Cədvəl 1.3.

Dəqiqliyə nail olmaq üçün lazımi sayda sikkə fırlatmasının nəzəri hesablanması e Başların ehtimalını hesablayarkən = 0,1


Gördüyünüz kimi, 94 təcrübəyə bərabər olan tətbiqin uzunluğu üçün əldə etdiyimiz qiymətləndirmə nəzəri birinə çox yaxındır, 96-ya bərabərdir. Bəzi uyğunsuzluq, görünür, 10 tətbiqin kifayət etməməsi ilə izah olunur. dəqiq hesablama N cr e. Əgər daha çox etibar etməli olduğunuz nəticə əldə etmək istədiyinizə qərar versəniz, etimad səviyyəsinin dəyərini dəyişdirin. Məsələn, nəzəriyyə bizə deyir ki, 167 təcrübə varsa, o zaman ansambldan yalnız 1-2 sətir təklif olunan dəqiqlik borusuna daxil edilməyəcəkdir. Ancaq unutmayın ki, artan dəqiqlik və etibarlılıq ilə təcrübələrin sayı çox tez artır.

Təcrübədə istifadə edilən ikinci variant həyata keçirməkdir bir həyata keçirilməsi və artırmaq aldı üçün onun N cr uh V 2 dəfə. Bu, cavabın düzgünlüyünə yaxşı təminat hesab olunur (bax Şəkil 1.6).


düyü. 1.6. N cr e-nin “ikiyə vurma” qaydasından istifadə edərək eksperimental təyininin təsviri

Diqqətlə baxsanız ansambl təsadüfi həyata keçirilməsi, onda görə bilərik ki, tezliyin nəzəri ehtimalın dəyərinə yaxınlaşması təcrübələrin sayından tərs kvadratik asılılığa uyğun gələn əyri boyunca baş verir (bax. Şəkil 1.7).


düyü. 1.7

Bu əslində nəzəri cəhətdən bu şəkildə işləyir. Göstərilən dəqiqliyi dəyişdirsəniz e və onların hər birini təmin etmək üçün tələb olunan təcrübələrin sayını yoxlamaq, siz cədvəli almaq. 1.4

Cədvəl 1.4.

Verilmiş dəqiqliyi təmin etmək üçün tələb olunan təcrübələrin sayının nəzəri asılılığı Q F = 0.95


Cədvələ uyğun olaraq quraq. 1.4 asılılıq qrafiki N crt ( e) (şək. 1.8-ə baxın).

düyü. 1.8 Sabit Q F = 0,95-də verilmiş dəqiqliyə nail olmaq üçün tələb olunan təcrübələrin sayından asılılıq e

Beləliklə, nəzərdən keçirilən qrafiklər yuxarıdakı qiymətləndirməni təsdiqləyir:

Qeyd edək ki, bir neçə dəqiqlik təxminləri ola bilər.

Misal 2. Monte Karlo üsulu ilə fiqurun sahəsinin tapılması. Monte Karlo metodundan istifadə edərək, bucaq koordinatları (0, 0), (0.10), (5, 20), (10,10), (7, 0) olan beşbucağın sahəsini təyin edin.

Verilmiş beşbucaqlını düzbucaqlıya yazaraq ikiölçülü koordinatlarda çəkək, onun sahəsi, təxmin etdiyiniz kimi (10 - 0) · (20 - 0) = 200 (bax. Şəkil 1.9).

düyü. 1.9

Ədəd cütlərini yaratmaq üçün təsadüfi ədədlər cədvəlindən istifadə edin R, G, 0-dan 1-ə qədər diapazonda bərabər paylanmışdır. Sayı R X (0 ? X? 10), buna görə də, X= 10 · R. Nömrə G koordinatını simulyasiya edəcək Y (0 ? Y? 20), buna görə də, Y= 20 · G. Gəlin 10 ədəd yaradaq R Və G və 10 xal göstərin ( X; Y) şəkildə. 1.9 və cədvəldə. 1.5

Cədvəl 1.5.

Monte Karlo metodundan istifadə etməklə problemin həlli


Statistik fərziyyə ondan ibarətdir ki, rəqəmin konturuna daxil olan nöqtələrin sayı rəqəmin sahəsinə mütənasibdir: 6: 10 = S: 200. Yəni Monte-Karlo metodunun düsturuna əsasən sahəni tapırıq S beşbucaq bərabərdir: 200 · 6/10 = 120.

Dəyərin necə dəyişdiyini görək S təcrübədən təcrübəyə (bax Cədvəl 1.6).

Cədvəl 1.6.

Cavab dəqiqliyinin qiymətləndirilməsi

Cavabdakı ikinci rəqəmin dəyəri hələ də dəyişdiyi üçün mümkün qeyri-dəqiqlik hələ də 10%-dən çoxdur. Hesablamanın dəqiqliyi testlərin sayının artması ilə artırıla bilər (bax. Şəkil 1.10).

düyü. 1.10 Nəzəri nəticəyə eksperimental olaraq müəyyən edilmiş cavabın yaxınlaşması prosesinin təsviri

Mühazirə 2. Təsadüfi ədəd generatorları

Monte Karlo metodu (1-ci mühazirəyə baxın. Statistik modelləşdirmə) (0;1) intervalında bərabər paylanmalı olan təsadüfi ədədlərin yaranmasına əsaslanır.

Generator intervalın bir hissəsinə köçürülən nömrələr istehsal edərsə (bəzi nömrələr digərlərindən daha tez-tez görünür), onda statistik üsulla həll olunan problemin həllinin nəticəsi səhv ola bilər. Buna görə də, həqiqətən təsadüfi və həqiqətən bərabər paylanmış ədədlərin yaxşı generatorundan istifadə problemi çox kəskindir.

Gözlənilən dəyər m r və variasiya D r ibarət belə bir ardıcıllıq n təsadüfi ədədlər r i, aşağıdakı kimi olmalıdır (əgər bunlar 0-dan 1-ə qədər diapazonda həqiqətən bərabər paylanmış təsadüfi ədədlərdirsə):

İstifadəçiyə təsadüfi bir nömrə lazımdırsa x intervalda idi ( a; b), fərqli (0;

  • 1), düsturdan istifadə etməlisiniz x = a + (b - a) · r, Harada r- intervaldan təsadüfi ədəd (0;
  • 1). Bu çevrilmənin qanuniliyi Şəkildə göstərilmişdir. 2.1

düyü. 2.1

1) intervalda (a; b)

İndi x- diapazonda bərabər paylanmış təsadüfi ədəd aəvvəl b.

Arxada təsadüfi ədədlər generatoru standartı(RNG) yaradan bir generator qəbul edilir sonrakı ardıcıllıq ilə təsadüfi ədədlər uniforma intervalda paylanma qanunu (0;

  • 1). Bir zəng üçün bu generator bir təsadüfi nömrə qaytarır. Əgər belə bir RNG müşahidə etmək kifayətdirsə uzun müddət, onda belə çıxır ki, məsələn, on intervalın hər birində (0; 0,1), (0,1; 0,2), (0,2; 0,3), ..., (0,9;
  • 1) demək olar ki, eyni sayda təsadüfi ədədlər olacaq - yəni onlar bütün intervalda bərabər paylanacaqlar (0;
  • 1). Qrafikdə göstərilibsə k= 10 interval və tezlik N i onlara vurur, siz təsadüfi ədədlərin eksperimental paylanma sıxlığı əyrisini alacaqsınız (bax. Şəkil 2.2).

düyü. 2.2

Qeyd edək ki, ideal olaraq təsadüfi ədədlərin paylanması sıxlığı əyrisi Şəkil 1-də göstərildiyi kimi görünəcəkdir. 2.3. Yəni, ideal olaraq, hər bir interval eyni sayda xal ehtiva edir: N i = N/k, Harada N - ümumi sayı xal, k- intervalların sayı, i = 1, …, k.


düyü. 2.3

Yadda saxlamaq lazımdır ki, ixtiyari təsadüfi ədədin yaradılması iki mərhələdən ibarətdir:

  • · normallaşdırılmış təsadüfi ədədin yaradılması (yəni 0-dan 1-ə qədər bərabər paylanmış);
  • · normallaşdırılmış təsadüfi ədədlərin çevrilməsi r i təsadüfi ədədlərə x i istifadəçinin tələb etdiyi (ixtiyari) paylama qanununa uyğun olaraq və ya tələb olunan intervalda paylanan .

Rəqəmlərin əldə edilməsi üsuluna görə təsadüfi ədəd generatorları aşağıdakılara bölünür:

  • · fiziki;
  • · cədvəlli;
  • · alqoritmik.

Bir müddət əvvəl Duqlas Hubbardın gözəl kitabını oxudum. Kitabın qısa konspektində mən söz vermişdim ki, bölmələrdən birinə - Risklərin qiymətləndirilməsi: Monte Karlo simulyasiyasına girişə ayrıca qeyd ayıracağam. Bəli, hər şey nədənsə alınmadı. Və bu yaxınlarda valyuta risklərinin idarə edilməsi üsullarını daha diqqətlə öyrənməyə başladım. Bu mövzuya həsr olunmuş materiallarda Monte Karlo simulyasiyası tez-tez xatırlanır. Beləliklə, vəd edilmiş material sizin qarşınızdadır.

Daha əvvəl onunla işləməmiş, lakin Excel cədvəllərindən istifadə haqqında bir qədər anlayışı olanlar üçün Monte Karlo simulyasiyasının sadə bir nümunəsini verəcəyəm.

Tutaq ki, siz yeni maşın icarəyə götürmək istəyirsiniz. Maşının illik icarə qiyməti 400.000 dollardır və müqavilə bir neçə il müddətinə imzalanmalıdır. Buna görə də, çatmasanız belə, hələ də maşını dərhal geri qaytara bilməyəcəksiniz. Müasir texnikanın əmək məsrəflərinə, xammal və materiallara qənaət edəcəyini düşünərək müqavilə bağlamaq üzrəsiniz, həm də yeni maşının maddi-texniki təminatının və texniki xidmətinin daha ucuz başa gələcəyini düşünürsünüz.

Qeydi formatda, nümunələri formatda yükləyin

Kalibrlənmiş qiymətləndiriciləriniz gözlənilən qənaət və illik istehsalın aşağıdakı diapazonlarını verdi:

İllik qənaət: (MS + LS + RMS) x PL

Təbii ki, bu nümunə real olmaq üçün çox sadədir. İstehsalın həcmi hər il dəyişir, işçilər nəhayət yeni maşını mənimsədikdə bəzi xərclər azalacaq və s. Amma bu misalda biz sadəlik naminə realizmi qəsdən qurban verdik.

Hər bir dəyər intervalının medianı (orta) götürsək, illik qənaəti alırıq: (15 + 3 + 6) x 25.000 = 600.000 (dollar)

Deyəsən, biz nəinki uduzmuşuq, həm də müəyyən qazanc əldə etmişik, amma unutmayın, qeyri-müəyyənliklər var. Bu investisiyaların riskliliyini necə qiymətləndirmək olar? Əvvəlcə bu kontekstdə riskin nə olduğunu müəyyən edək. Risk əldə etmək üçün biz gələcək nəticələri öz qeyri-müəyyənlikləri ilə, bəzilərinin isə ölçülə bilən zərərə məruz qalma ehtimalı ilə təsvir etməliyik. Riskə baxmağın yollarından biri də belə nəticə əldə etməyəcəyimiz ehtimalını təsəvvür etməkdir, yəni qənaətimizin maşının lizinqinin illik xərcindən az olacağıdır. İcarəyə götürmə xərclərimizi nə qədər ödəyə bilsək, bir o qədər çox itirəcəyik. Məbləği 600.000 dollar. intervalın medianıdır. Həqiqi dəyərlər diapazonunu necə təyin etmək və ondan zərərsizlik nöqtəsinə çatmayacağımız ehtimalını necə hesablamaq olar?

Dəqiq məlumatlar olmadığından, tələb olunan qənaətə nail ola biləcəyimiz sualına cavab vermək üçün sadə hesablamalar aparmaq mümkün deyil. Müəyyən şərtlərdə ilkin məlumatların dəyər diapazonundan yaranan parametrin dəyər diapazonunu tapmağa imkan verən üsullar var, lakin əksər real həyat problemləri üçün belə şərtlər, bir qayda olaraq, mövcud deyil. Fərqli paylanma növlərini cəmləməyə və çoxaltmağa başladıqdan sonra problem adətən riyaziyyatçıların adi üsullarla həlledilməz və ya həlledilməz adlandırdıqları şeyə çevrilir. riyazi üsullar problem. Buna görə də, əvəzində biz kompüterlərin gəlişi ilə mümkün olan mümkün variantların birbaşa seçilməsi metodundan istifadə edirik. Mövcud intervallardan təsadüfi olaraq ilkin parametrlərin dəqiq dəyərlərinin dəstini (minlərlə) seçirik və istədiyiniz göstəricinin dəqiq dəyərlər dəstini hesablayırıq.

Monte Karlo simulyasiyası bu kimi problemləri həll etmək üçün əla yoldur. Sadəcə olaraq, müəyyən edilmiş intervallarda dəyərləri təsadüfi seçməliyik, illik qənaəti hesablamaq və ümumi məbləği hesablamaq üçün onları formulda əvəz etməliyik. Bəzi nəticələr bizim hesablanmış median 600.000 dollardan yuxarı, digərləri isə aşağıda olacaq. Bəziləri hətta qırmaq üçün tələb olunan 400.000 dollardan da aşağı olacaq.

Siz Excel-dən istifadə edərək fərdi kompüterdə Monte Karlo simulyasiyasını asanlıqla işlədə bilərsiniz, lakin bu, 90% etibarlılıq intervalından bir az daha çox məlumat tələb edir. Paylanma əyrisinin formasını bilmək lazımdır. Müxtəlif miqdarlar üçün bir formanın əyriləri digərlərindən daha uyğundur. 90% etimad intervalı vəziyyətində adətən normal (Qauss) paylanma əyrisindən istifadə edilir. Bu tanış zəng formalı əyridir, burada ən çox mümkün nəticə dəyərləri qrafikin mərkəzi hissəsində toplanır və yalnız bir neçə, daha az ehtimal olunanlar onun kənarlarına doğru daralaraq paylanır (Şəkil 1).

Normal paylama belə görünür:

Şəkil 1. Normal paylama. Absis oxu siqmanın sayıdır.

Xüsusiyyətlər:

  • qrafikin mərkəzi hissəsində yerləşən dəyərlər onun kənarındakı dəyərlərdən daha çox ehtimal olunur;
  • paylanma simmetrikdir; median 90% etimad intervalının (CI) yuxarı və aşağı sərhədlərinin tam yarısıdır;
  • qrafikin “quyruqları” sonsuzdur; 90% etimad intervalından kənar dəyərlər çətin, lakin hələ də mümkündür.

Excel-də normal paylanma qurmaq üçün =NORMIDIST(X; Orta; Standart_sapma; Kumulyativ) funksiyasından istifadə edə bilərsiniz.
X – normal paylanmanın qurulduğu dəyər;
Orta – paylanmanın arifmetik ortası; bizim vəziyyətimizdə = 0;
Standard_deviation – paylanmanın standart kənarlaşması; bizim vəziyyətimizdə = 1;
İnteqral – funksiyanın formasını təyin edən məntiqi qiymət; kumulyativ DOĞRU olarsa, NORMDAĞ kumulyativ paylama funksiyasını qaytarır; bu arqument FALSE olarsa, sıxlıq funksiyası qaytarılır; bizim vəziyyətimizdə = FALSE.

Normal paylanma haqqında danışarkən, standart sapma kimi əlaqəli bir anlayışı qeyd etmək lazımdır. Aydındır ki, hər kəs bunun nə olduğunu intuitiv şəkildə başa düşmür, lakin standart kənarlaşma 90% etimad intervalından hesablanmış bir rəqəmlə əvəz edilə biləcəyi üçün (çox insanlar bunu intuitiv şəkildə başa düşür), mən burada bu barədə təfərrüata varmayacağam. Şəkil 1 göstərir ki, bir 90% etimad intervalında 3,29 standart kənarlaşma var, ona görə də biz sadəcə çevrilməni etməliyik.

Bizim vəziyyətimizdə hər bir dəyər intervalı üçün cədvəldə təsadüfi ədəd generatoru yaratmalıyıq. Məsələn, MS ilə başlayaq - maddi-texniki xidmətlərə qənaət. Gəlin yararlanaq Excel düsturu: =NORMBR(ehtimal,orta,standart_sapma), burada
ehtimal – normal paylanmaya uyğun gələn ehtimal;
Orta – paylanmanın arifmetik ortası;
Standard_deviation – paylanmanın standart kənarlaşması.

Bizim vəziyyətimizdə:
Orta (median) = (90% CI yuxarı həddi + 90% CI aşağı həddi)/2;
Standart kənarlaşma = (90% CI yuxarı həddi – 90% CI aşağı həddi)/3.29.

MS parametri üçün düstur belə görünür: =NORMIN(RAND();15,(20-10)/3.29), burada
RAND – 0-dan 1-ə qədər təsadüfi ədədlər yaradan funksiya;
15 – MS diapazonunun arifmetik ortası;
(20-10)/3.29 = 3.04 – standart sapma; Nəzərinizə çatdırım ki, standart sapmanın mənası belədir: təsadüfi dəyişənin bütün qiymətlərinin 90%-i (bizim vəziyyətimizdə MS) nisbi ortalamaya simmetrik olaraq yerləşən 3.29*Standart_sapma intervalına düşür.

100 təsadüfi normal paylanmış dəyər üçün logistikaya qənaətin paylanması:

düyü. 2. MS-nin qiymət diapazonları üzrə paylanması ehtimalı; Pivot cədvəlindən istifadə edərək belə bir paylanmanın qurulması haqqında məlumat üçün baxın

Biz "yalnız" 100 təsadüfi dəyərdən istifadə etdiyimiz üçün paylanma o qədər də simmetrik deyildi. Bununla birlikdə, dəyərlərin təxminən 90% -i MS-də 10-20 ABŞ dolları (dəqiq olmaq üçün 91%) qənaət diapazonuna düşdü.

MS, LS, RMS və PL parametrlərinin etibarlılıq intervalları əsasında cədvəl quraq (şək. 3). Son iki sütun digər sütunlardakı məlumatlar əsasında hesablamaların nəticələrini göstərir. Ümumi Əmanətlər sütunu hər sətir üçün hesablanmış illik qənaətləri göstərir. Məsələn, Ssenari 1 həyata keçirilsəydi, ümumi qənaət (14.3 + 5.8 + 4.3) x 23.471 = 570.834 dollar olardı. həqiqətən ehtiyacınız yoxdur. Mən bunu sadəcə məlumat məqsədi ilə daxil etmişəm. Excel-də 10.000 skript xətti yaradaq.

düyü. 3. Excel proqramında Monte Karlo metodundan istifadə etməklə ssenarilərin hesablanması

Əldə edilmiş nəticələri qiymətləndirmək üçün, məsələn, hər 100 min diapazonda ssenarilərin sayını hesablamağa imkan verən pivot cədvəlindən istifadə edə bilərsiniz. Sonra hesablama nəticələrini əks etdirən bir qrafik qurursunuz (Şəkil 4). Bu qrafik 10.000 ssenarinin hansı nisbətinin verilmiş dəyər diapazonunda illik qənaətə malik olacağını göstərir. Məsələn, ssenarilərin təxminən 3%-i illik 1 milyon dollardan çox qənaət təmin edəcək.

düyü. 4. Ümumi qənaətin dəyər diapazonları üzrə paylanması. X oxu 100 minlik qənaət diapazonunu, y oxu isə göstərilən diapazona düşən ssenarilərin payını göstərir.

Əldə edilən bütün illik qənaətin təxminən 15%-i 400 min dollardan az olacaq. Bu o deməkdir ki, 15% zərər ehtimalı var. Bu rəqəm mənalı risk qiymətləndirməsini əks etdirir. Lakin risk heç də həmişə mənfi investisiya gəlirləri ehtimalı ilə nəticələnmir. Bir şeyin ölçüsünü qiymətləndirərkən onun hündürlüyünü, kütləsini, ətrafını və s. Eynilə, bir sıra faydalı risk göstəriciləri var. Əlavə təhlil göstərir ki, zavodun qənaət əvəzinə hər il 100 min dollar itirəcəyi 4% ehtimalı var. Ancaq gəlirin tam olmaması praktiki olaraq mümkün deyil. Risk təhlili dedikdə məhz budur nəzərdə tutulur – biz müxtəlif miqyaslı zərərin ehtimalını hesablamağı bacarmalıyıq. Əgər həqiqətən riski ölçürsənsə, bunu etməlisən.

Bəzi hallarda daha qısa bir marşrut seçə bilərsiniz. Əgər işlədiyimiz dəyərlərin bütün paylanması normaldırsa və sadəcə bu dəyərlərin intervallarını əlavə etmək lazımdırsa (məsələn, xərclər və faydalar intervalları) və ya onları bir-birindən çıxarmaq lazımdırsa, Monte olmadan edə bilərik. Karlo simulyasiyası. Nümunəmizdən üç qənaəti əlavə etməyə gəldikdə, sadə bir hesablama aparmaq lazımdır. Axtardığınız intervalı əldə etmək üçün aşağıda sadalanan altı addımdan istifadə edin:

1) yuxarı həddindən hər bir dəyər intervalının orta qiymətini çıxarın; logistikaya qənaət etmək üçün 20 – 15 = 5 (dollar), əmək xərclərinə qənaət etmək üçün – 5 dollar. və xammal və materiallara qənaət etmək üçün - 3 dollar;

2) ilk addımın nəticələrini kvadrat 5 2 = 25 (dollar) və s.;

3) ikinci addımın nəticələrini yekunlaşdırın 25 + 25 + 9 = 59 (dollar);

4) alınan məbləğin kvadrat kökünü götürün: 7,7 dollar olduğu ortaya çıxır;

5) bütün orta dəyərləri əlavə edin: 15 + 3 + 6 = 24 (dollar);

6) 4-cü addımın nəticəsini orta dəyərlərin cəminə əlavə edin və aralığın yuxarı həddini alın: 24 + 7,7 = 31,7 dollar; 4-cü addımın nəticəsini orta dəyərlərin cəmindən çıxarın və 24 - 7.7 = 16.3 dollar aralığının aşağı həddini alın.

Beləliklə, hər bir əmanət növü üçün üç 90% etimad intervalının cəmi üçün 90% inam intervalı $16.3-$31.7 təşkil edir.

Aşağıdakı xassədən istifadə etdik: ümumi intervalın diapazonu fərdi intervalların diapazonlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabərdir.

Bəzən yuxarı həddinin bütün "nikbin" dəyərlərini və intervalın aşağı həddinin "pessimist" dəyərlərini cəmləməklə oxşar bir şey edilir. Bu halda, üç 90% etimad intervalımıza əsasən, biz $11-$37 arasında ümumi interval alacağıq. Bu interval 16,3-31,7 dollardan bir qədər genişdir. Onlarla dəyişənlərlə dizaynı əsaslandırmaq üçün belə hesablamalar aparıldıqda, intervalın genişlənməsi nəzərə alınmayacaq qədər çox olur. Yuxarı hədd üçün ən "nikbin", aşağı hədd üçün "pessimist" dəyərləri götürmək düşünməyə bənzəyir: bir neçə zar atsaq, bütün hallarda yalnız "1" və ya yalnız "6" alacağıq. Əslində, aşağı və yüksək dəyərlərin bəzi birləşmələri görünəcəkdir. Aralığın həddindən artıq genişlənməsi ümumi bir səhvdir və bu, əlbəttə ki, çox vaxt məlumatsız qərarlara səbəb olur. Eyni zamanda, mənim təsvir etdiyim sadə üsul, yekunlaşdırılmalı olan bir neçə 90% etimad intervalı olduqda əla işləyir.

Bununla belə, məqsədimiz yalnız intervalları cəmləmək deyil, həm də dəyərləri diapazon şəklində verilmiş istehsal həcminə vurmaqdır. Sadə toplama üsulu yalnız dəyərlərin intervallarını çıxarmaq və ya əlavə etmək üçün uyğundur.

Monte Karlo simulyasiyası bütün paylanmalar normal olmadığı zaman da tələb olunur. Bu kitabın mövzusuna digər paylanma növləri daxil edilməsə də, onlardan ikisini qeyd edəcəyik - vahid və ikili (şək. 5, 6).

düyü. 5. Vahid paylama (ideal deyil, Excel-də RAND funksiyasından istifadə etməklə qurulmuşdur)

Xüsusiyyətlər:

  • bütün dəyərlərin ehtimalı eynidır;
  • paylama simmetrikdir, təhrif olmadan; median intervalın yuxarı və aşağı sərhədlərinin tam yarısıdır;
  • intervaldan kənar dəyərlər mümkün deyil.

Excel-də bu paylanmanı qurmaq üçün düsturdan istifadə edilmişdir: RAND()*(UB – LB) + LB, burada UB yuxarı hədddir; LB – aşağı hədd; sonra pivot cədvəlindən istifadə edərək bütün dəyərləri diapazonlara bölmək.

düyü. 6. İkili paylanma (Bernulli paylanması)

Xüsusiyyətlər:

  • yalnız iki dəyər mümkündür;
  • bir qiymətin vahid ehtimalı var (bu halda 60%); digər dəyərin ehtimalı birinci qiymətin ehtimalından birinə bərabərdir

Excel-də bu tip təsadüfi paylanma yaratmaq üçün funksiyadan istifadə edilmişdir: =IF(RAND()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

Metod ilk dəfə riyaziyyatçı Stanislav Ulam tərəfindən istifadə edilmişdir (bax).

Douglas Hubbard daha sonra Monte Carlo simulyasiyası üçün hazırlanmış bir neçə proqramı sadalayır. Onların arasında Decisioneering, Inc., Denver, Koloradodan olan Crystal Ball da var. İngilis dilində kitab 2007-ci ildə nəşr olunub. İndi bu proqram Oracle-a məxsusdur. Proqramın demo versiyasını şirkətin saytından yükləmək olar. Onun imkanları haqqında danışacağıq.

Duqlas Hubbardın qeyd etdiyi kitabın 5-ci fəslinə baxın

Burada Duqlas Hubbard diapazonu 90%-lik etimad intervalının yuxarı həddi ilə bu intervalın orta qiyməti arasındakı fərq kimi müəyyən edir (yaxud paylanma simmetrik olduğu üçün orta qiymətlə aşağı həddi arasında). Tipik olaraq, diapazon yuxarı və aşağı sərhədlər arasındakı fərq kimi başa düşülür.