Xətlərlə məhdudlaşan xüsusiyyət sahəsini onlayn tapın. Əyrixətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq müəyyən bir inteqrala bərabərdir. Həllin tamamlanması bu kimi görünə bilər
Bu yazıda inteqral hesablamalardan istifadə edərək xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini necə tapacağınızı öyrənəcəksiniz. İlk dəfə olaraq orta məktəbdə müəyyən inteqralların tədqiqi yenicə başa çatdıqda və təcrübədə əldə edilmiş biliklərin həndəsi şərhinə başlamağın vaxtı çatdıqda belə bir məsələnin qoyuluşu ilə qarşılaşırıq.
Beləliklə, inteqrallardan istifadə edərək bir fiqurun sahəsini tapmaq problemini uğurla həll etmək üçün nə tələb olunur:
- Rəsmləri düzgün çəkmək bacarığı;
- Məşhur Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə etməklə müəyyən inteqralı həll etmək bacarığı;
- Daha sərfəli bir həlli "görmək" qabiliyyəti - yəni. anlamaq üçün bu və ya digər halda inteqrasiyanı necə həyata keçirmək daha rahat olacaq? X oxu (OX) və ya y oxu (OY) boyunca?
- Yaxşı, düzgün hesablamalar olmadan harada?) Bu, digər növ inteqralların necə həll olunacağını başa düşmək və ədədi hesablamaları düzəltməkdən ibarətdir.
Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsinin hesablanması probleminin həlli alqoritmi:
1. Bir rəsm qururuq. Bunu bir qəfəsdə bir kağız parçası üzərində, böyük miqyasda etmək məsləhətdir. Hər qrafikin üstündə bu funksiyanın adını qələmlə imzalayırıq. Qrafiklərin imzası yalnız sonrakı hesablamaların rahatlığı üçün edilir. İstədiyiniz rəqəmin qrafikini aldıqdan sonra əksər hallarda hansı inteqrasiya limitlərinin istifadə olunacağı dərhal aydın olacaq. Beləliklə, problemi qrafik şəkildə həll edirik. Bununla belə, limitlərin dəyərləri fraksiya və ya irrasional olur. Buna görə əlavə hesablamalar apara bilərsiniz, ikinci addıma keçin.
2. İnteqrasiya hədləri açıq şəkildə müəyyən edilməmişdirsə, onda biz qrafiklərin bir-biri ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq və qrafik həllimizin analitik həll ilə üst-üstə düşdüyünü görürük.
3. Sonra, rəsmi təhlil etməlisiniz. Funksiyaların qrafiklərinin necə yerləşdiyindən asılı olaraq, rəqəmin sahəsini tapmaq üçün müxtəlif yanaşmalar mövcuddur. İnteqrallardan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq üçün müxtəlif nümunələri nəzərdən keçirin.
3.1. Problemin ən klassik və ən sadə versiyası əyri bir trapezoidin sahəsini tapmaq lazımdır. Əyrixətti trapesiya nədir? Bu, x oxu ilə məhdudlaşan düz bir fiqurdur (y=0), düz x = a, x = b və intervalında davamlı istənilən əyri aəvvəl b. Eyni zamanda, bu rəqəm mənfi deyil və x oxundan aşağı olmayan yerdə yerləşir. Bu halda əyrixətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq Nyuton-Leybniz düsturu ilə hesablanmış müəyyən inteqrala bərabərdir:
Misal 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Hansı xətlər rəqəmi müəyyənləşdirir? Bizdə bir parabola var y = x2 - 3x + 3, oxun üstündə yerləşən OH, qeyri-mənfidir, çünki bu parabolanın bütün nöqtələri müsbətdir. Sonra düz xətlər verilir x = 1 və x = 3 oxa paralel uzanan OU, sol və sağdakı fiqurun məhdudlaşdırıcı xətləridir. Yaxşı y = 0, o, rəqəmi aşağıdan məhdudlaşdıran x oxudur. Nəticədə rəqəm soldakı şəkildə göründüyü kimi kölgəlidir. Bu vəziyyətdə dərhal problemi həll etməyə başlaya bilərsiniz. Qarşımızda əyri xətti trapezoidin sadə bir nümunəsi var, sonra onu Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək həll edirik.
3.2. Əvvəlki 3.1-ci bənddə əyrixətli trapezoid x oxundan yuxarıda yerləşdiyi zaman vəziyyət təhlil edilmişdir. İndi məsələnin şərtlərinin eyni olduğu halı nəzərdən keçirək, yalnız funksiya x oxunun altında yerləşir. Standart Nyuton-Leybniz düsturuna mənfi əlavə olunur. Belə bir problemi necə həll edəcəyimizi daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik.
Misal 2 . Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Bu nümunədə bir parabola var y=x2+6x+2, oxun altından qaynaqlanır OH, düz x=-4, x=-1, y=0. Budur y = 0 yuxarıdan istədiyiniz rəqəmi məhdudlaşdırır. Birbaşa x = -4 və x = -1 bunlar müəyyən inteqralın hesablanacağı sərhədlərdir. Fiqurun sahəsini tapmaq probleminin həlli prinsipi 1 nömrəli nümunə ilə demək olar ki, tamamilə üst-üstə düşür. Yeganə fərq, verilmiş funksiyanın müsbət olmamasıdır və hər şey intervalda da davamlıdır. [-4; -1] . Müsbət olmayan nə deməkdir? Şəkildən göründüyü kimi, verilmiş x daxilində olan fiqurun yalnız “mənfi” koordinatları var ki, məsələni həll edərkən bunu görməli və yadda saxlamalıyıq. Newton-Leibniz düsturundan istifadə edərək rəqəmin sahəsini axtarırıq, yalnız əvvəlində mənfi işarəsi ilə.
Məqalə tamamlanmayıb.
Biz ikiqat inteqralın hesablanmasının faktiki prosesini nəzərdən keçirməyə başlayırıq və onun həndəsi mənası ilə tanış oluruq.
İkiqat inteqral ədədi olaraq düz bir fiqurun sahəsinə (inteqrasiya bölgəsi) bərabərdir. Bu, iki dəyişənin funksiyası birə bərabər olduqda ikiqat inteqralın ən sadə formasıdır: .
Əvvəlcə problemi ümumi şəkildə nəzərdən keçirək. İndi bunun nə qədər sadə olduğuna təəccüblənəcəksiniz! Xətlərlə məhdudlaşan düz bir fiqurun sahəsini hesablayaq. Dəqiqlik üçün biz fərz edirik ki, intervalda . Bu rəqəmin sahəsi ədədi olaraq bərabərdir:
Rəsmdə ərazini təsvir edək:
Ərazidən yan keçməyin ilk yolunu seçək:
Bu minvalla:
Və dərhal mühüm texniki hiylə: təkrarlanan inteqralları ayrıca nəzərdən keçirmək olar. Əvvəlcə daxili inteqral, sonra xarici inteqral. Bu üsul çaydanlar mövzusunda yeni başlayanlar üçün çox tövsiyə olunur.
1) İnteqrasiya “y” dəyişəni üzərində aparılarkən daxili inteqralı hesablayın:
Burada qeyri-müəyyən inteqral ən sadədir, sonra isə banal Nyuton-Leybnits düsturu istifadə olunur, yeganə fərqlə inteqrasiyanın sərhədləri rəqəmlər deyil, funksiyalardır. Əvvəlcə yuxarı həddi “y” (antiderivativ funksiya), sonra isə aşağı həddi əvəz etdik.
2) Birinci bənddə alınan nəticə xarici inteqrala əvəz edilməlidir:
Bütün həll üçün daha yığcam notasiya belə görünür:
Alınan düstur, "adi" müəyyən inteqraldan istifadə edərək düz bir fiqurun sahəsini hesablamaq üçün dəqiq işləyən düsturdur! dərsə baxın Müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması, o, hər dönüşdə oradadır!
Yəni, qoşa inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması məsələsi az fərqli müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahənin tapılması məsələsindən!Əslində, onlar bir və eynidir!
Buna görə heç bir çətinlik yaranmamalıdır! Çox misalları nəzərdən keçirməyəcəm, çünki siz əslində bu problemlə dəfələrlə qarşılaşmısınız.
Misal 9
Həll: Rəsmdə ərazini təsvir edək:
Bölgəni keçmək üçün aşağıdakı ardıcıllığı seçək:
Burada və aşağıda, mən bir ərazini necə keçməyə girməyəcəyəm, çünki birinci paraqraf çox təfərrüatlı idi.
Bu minvalla:
Artıq qeyd etdiyim kimi, yeni başlayanlar üçün təkrarlanan inteqralları ayrıca hesablamaq daha yaxşıdır, mən də eyni üsula əməl edəcəyəm:
1) Əvvəlcə Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək daxili inteqralla məşğul oluruq:
2) Birinci addımda alınan nəticə xarici inteqrala əvəz edilir:
2-ci nöqtə əslində müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək düz bir fiqurun sahəsini tapmaqdır.
Cavab:
Budur belə axmaq və sadəlövh bir iş.
Müstəqil bir həll üçün maraqlı bir nümunə:
Misal 10
İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın.
Dərsin sonunda yekun həll nümunəsi.
Nümunələr 9-10-da, ərazini keçməyin birinci üsulundan istifadə etmək daha sərfəlidir; maraqlı oxucular, yeri gəlmişkən, dolanma sırasını dəyişdirə və sahələri ikinci yolla hesablaya bilərlər. Səhv etmirsinizsə, təbii olaraq eyni sahə dəyərləri əldə edilir.
Ancaq bəzi hallarda ərazini keçməyin ikinci yolu daha təsirli olur və gənc bir nerdin kursunun sonunda bu mövzuda daha bir neçə nümunə nəzərdən keçirəcəyik:
Misal 11
İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın.
Həll: biz səbirsizliklə onların tərəfində yatan küləkli iki parabolanı gözləyirik. Gülməyə ehtiyac yoxdur, çoxlu inteqrallarda oxşar şeylərə tez-tez rast gəlinir.
Rəsm çəkməyin ən asan yolu nədir?
Parabolanı iki funksiya kimi təqdim edək:
- yuxarı budaq və - aşağı budaq.
Eynilə, biz parabolanı yuxarı və aşağı budaqlar kimi təqdim edirik.
Şəklin sahəsi düstura uyğun olaraq ikiqat inteqraldan istifadə edərək hesablanır:
Ərazidən yan keçməyin ilk yolunu seçsək nə olar? Birincisi, bu sahə iki hissəyə bölünməlidir. İkincisi, bu kədərli mənzərəni müşahidə edəcəyik: . İnteqrallar, əlbəttə ki, super-mürəkkəb səviyyədə deyil, amma ... köhnə bir riyazi deyim var: kim köklərlə dostdursa, ona bir sıra lazım deyil.
Beləliklə, şərtdə verilən anlaşılmazlıqdan tərs funksiyaları ifadə edirik:
Bu misaldakı tərs funksiyaların üstünlüyü ondan ibarətdir ki, onlar dərhal bütün parabolanı heç bir yarpaq, palamut, budaq və kök olmadan təyin edirlər.
İkinci üsula görə, ərazinin keçidi aşağıdakı kimi olacaq:
Bu minvalla:
Necə deyərlər, fərqi hiss edin.
1) Daxili inteqralla məşğul oluruq:
Nəticəni xarici inteqrala əvəz edirik:
"y" dəyişəni üzərində inteqrasiya utandırıcı olmamalıdır, əgər "zyu" hərfi olsaydı - onun üzərində inteqrasiya etmək əla olardı. Baxmayaraq ki, kim dərsin ikinci bəndini oxuyur Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar, o, artıq "y" üzərində inteqrasiya ilə bağlı ən kiçik utanc hissi keçirmir.
İlk addıma da diqqət yetirin: inteqral cütdür, inteqrasiya seqmenti isə sıfıra yaxın simmetrikdir. Buna görə də, seqment yarıya endirilə bilər və nəticə ikiqat artırıla bilər. Bu texnika dərsdə ətraflı şərh olunur. Müəyyən İnteqralı Hesablamanın Effektiv Metodları.
Nə əlavə etmək .... Hər şey!
Cavab:
İnteqrasiya texnikanızı yoxlamaq üçün hesablamağa cəhd edə bilərsiniz. Cavab tamamilə eyni olmalıdır.
Misal 12
İkiqat inteqraldan istifadə edərək, xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini hesablayın
Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Maraqlıdır ki, ərazini keçmək üçün ilk yoldan istifadə etməyə çalışsanız, rəqəm artıq ikiyə deyil, üç hissəyə bölünəcəkdir! Və buna uyğun olaraq üç cüt təkrarlanan inteqral alırıq. Bəzən olur.
Master-klass başa çatdı və qrossmeyster səviyyəsinə keçməyin vaxtı gəldi - İkiqat inteqralı necə hesablamaq olar? Həll nümunələri. İkinci məqalədə bu qədər manyak olmamağa çalışacam =)
Sizə uğurlar arzulayıram!
Həll və cavablar:
Misal 2:Həll:
Bir sahə çəkin rəsm üzərində:
Bölgəni keçmək üçün aşağıdakı ardıcıllığı seçək:
Bu minvalla:
Gəlin tərs funksiyalara keçək:
Bu minvalla:
Cavab:
Misal 4:Həll:
Birbaşa funksiyalara keçək:
Rəsmi icra edək:
Ərazinin keçmə qaydasını dəyişdirək:
Cavab:
Əraziyə keçid qaydası:
Bu minvalla:
1)
2)
Cavab:
Müəyyən bir inteqralın həndəsi mənasının təhlilinə həsr olunmuş əvvəlki bölmədə əyri xətti trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün bir sıra düsturlar əldə etdik:
S (G) = ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və qeyri-mənfi funksiya üçün y = f (x) seqmentində [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və qeyri-pozitiv funksiya üçün y = f (x) seqmentində [ a ; b].
Bu düsturlar nisbətən sadə məsələlərin həlli üçün tətbiq edilir. Əslində, biz tez-tez daha mürəkkəb formalarla işləmək məcburiyyətindəyik. Bununla əlaqədar olaraq, bu bölməni açıq formada funksiyalarla məhdudlaşan rəqəmlərin sahəsini hesablamaq üçün alqoritmlərin təhlilinə həsr edəcəyik, yəni. y = f(x) və ya x = g(y) kimi.
teorem[ a seqmentində y = f 1 (x) və y = f 2 (x) funksiyaları təyin olunsun və kəsilməz olsun; b ] , və [ a dan istənilən x qiyməti üçün f 1 (x) ≤ f 2 (x) ; b]. Sonra x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) və y \u003d f 2 (x) xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün düstur S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Bənzər bir düstur y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) və x \u003d g 2 (y) xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi üçün də tətbiq olunacaq: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Sübut
Düsturun etibarlı olacağı üç halı təhlil edəcəyik.
Birinci halda, ərazinin əlavə xüsusiyyətini nəzərə alaraq, orijinal G fiqurunun və əyrixətli trapezoid G 1-in sahələrinin cəmi G 2 fiqurunun sahəsinə bərabərdir. Bu o deməkdir ki
Buna görə də S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Müəyyən inteqralın üçüncü xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi həyata keçirə bilərik.
İkinci halda bərabərlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x
Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:
Hər iki funksiya qeyri-pozitiv olarsa, alarıq: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:
y = f 1 (x) və y = f 2 (x) O x oxunu kəsdiyi zaman ümumi halın nəzərdən keçirilməsinə keçək.
Biz kəsişmə nöqtələrini x i , i = 1 , 2 , kimi işarələyəcəyik. . . , n - 1. Bu nöqtələr seqmenti [ a ; b ] n hissəyə x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Nəticədə,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Müəyyən inteqralın beşinci xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi edə bilərik.
Qrafikdə ümumi vəziyyəti təsvir edək.
S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x düsturu sübut edilmiş hesab edilə bilər.
İndi y \u003d f (x) və x \u003d g (y) xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmlərin sahəsinin hesablanması nümunələrinin təhlilinə keçək.
Nümunələrdən hər hansı birini nəzərdən keçirərək, qrafikin qurulması ilə başlayacağıq. Şəkil bizə mürəkkəb formaları daha sadə formaların birləşmələri kimi təqdim etməyə imkan verəcək. Əgər siz onların üzərində qrafiklər və rəqəmlər çəkməkdə çətinlik çəkirsinizsə, siz əsas elementar funksiyalar, funksiyaların qrafiklərinin həndəsi çevrilməsi, həmçinin funksiyanı araşdırarkən qrafiklər bölməsini öyrənə bilərsiniz.
Misal 1
Parabola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 və y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d düz xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini təyin etmək lazımdır. 1, x \u003d 4.
Həll
Qrafikdə xətləri Dekart koordinat sistemində çəkək.
İnterval üzrə [ 1 ; 4] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolunun qrafiki y = - 1 3 x - 1 2 düz xəttindən yuxarıda yerləşir. Bununla əlaqədar olaraq, cavab almaq üçün əvvəllər əldə edilmiş düsturdan, həmçinin Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralın hesablanması metodundan istifadə edirik:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Cavab: S (G) = 13
Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.
Misal 2
y = x + 2, y = x, x = 7 xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.
Həll
Bu halda, x oxuna paralel yalnız bir düz xəttimiz var. Bu x = 7-dir. Bu, ikinci inteqrasiya həddini özümüz tapmağımızı tələb edir.
Qrafik quraq və üzərinə məsələnin şərtində verilmiş xətləri qoyaq.
Gözümüzün qarşısında bir qrafikə sahib olmaqla, inteqrasiyanın aşağı həddinin y \u003d x düz xətti və yarı parabola y \u003d x + 2 ilə qrafikin kəsişmə nöqtəsinin absisi olacağını asanlıqla müəyyən edə bilərik. Absisləri tapmaq üçün bərabərliklərdən istifadə edirik:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Belə çıxır ki, kəsişmə nöqtəsinin absisi x = 2-dir.
Diqqətinizi ona cəlb edirik ki, rəsmdəki ümumi nümunədə y = x + 2 , y = x xətləri (2 ; 2) nöqtəsində kəsişir, ona görə də belə ətraflı hesablamalar lazımsız görünə bilər. Biz burada belə ətraflı həlli təqdim etdik, çünki daha mürəkkəb hallarda həll o qədər də aydın olmaya bilər. Bu o deməkdir ki, xətlərin kəsişməsinin koordinatlarını həmişə analitik şəkildə hesablamaq daha yaxşıdır.
İnterval üzrə [ 2 ; 7 ] y = x funksiyasının qrafiki y = x + 2 funksiyasının qrafikindən yuxarıda yerləşir. Sahəni hesablamaq üçün formula tətbiq edin:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Cavab: S (G) = 59 6
Misal 3
y \u003d 1 x və y \u003d - x 2 + 4 x - 2 funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.
Həll
Qrafikdə xətlər çəkək.
Gəlin inteqrasiyanın sərhədlərini müəyyən edək. Bunun üçün 1 x və - x 2 + 4 x - 2 ifadələrini bərabərləşdirməklə xətlərin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını təyin edirik. X sıfıra bərabər olmamaq şərti ilə, 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 bərabərliyi tam əmsallarla üçüncü dərəcəli - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 tənliyinə ekvivalent olur. . Bu cür tənliklərin həlli üçün alqoritmin yaddaşını “Kubik tənliklərin həlli” bölməsinə müraciət etməklə təzələyə bilərsiniz.
Bu tənliyin kökü x = 1-dir: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadəsini x - 1 binomuna bölsək, alırıq: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Qalan kökləri x 2 - 3 x - 1 = 0 tənliyindən tapa bilərik:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Biz x ∈ 1 intervalını tapdıq; 3 + 13 2 , burada G mavi xəttin üstündə və qırmızı xəttin altında yerləşir. Bu, formanın sahəsini təyin etməyə kömək edir:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Cavab: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Misal 4
y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 və x oxu ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.
Həll
Bütün sətirləri qrafikə qoyaq. y = - log 2 x + 1 funksiyasının qrafikini x oxu ətrafında simmetrik yerləşdirib bir vahid yuxarı aparsaq, y = log 2 x qrafikindən ala bilərik. X oxunun tənliyi y \u003d 0.
Xətlərin kəsişmə nöqtələrini qeyd edək.
Şəkildən göründüyü kimi, y \u003d x 3 və y \u003d 0 funksiyalarının qrafikləri (0; 0) nöqtəsində kəsişir. Bunun səbəbi, x \u003d 0, x 3 \u003d 0 tənliyinin yeganə həqiqi köküdür.
x = 2 tənliyin yeganə köküdür - log 2 x + 1 = 0 , ona görə də y = - log 2 x + 1 və y = 0 funksiyalarının qrafikləri (2 ; 0) nöqtəsində kəsişir.
x = 1 x 3 = - log 2 x + 1 tənliyinin yeganə köküdür. Bu baxımdan, y \u003d x 3 və y \u003d - log 2 x + 1 funksiyalarının qrafikləri (1; 1) nöqtəsində kəsişir. Son ifadə aydın olmaya bilər, lakin x 3 \u003d - log 2 x + 1 tənliyində birdən çox kök ola bilməz, çünki y \u003d x 3 funksiyası ciddi şəkildə artır və y \u003d - log 2 x funksiyası + 1 ciddi şəkildə azalır.
Növbəti addım bir neçə variantı əhatə edir.
Seçim nömrəsi 1
G rəqəmini absis oxundan yuxarıda yerləşən iki əyrixətti trapezoidin cəmi kimi təqdim edə bilərik, onlardan birincisi x ∈ 0 seqmentində orta xəttdən aşağıda yerləşir; 1, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı xəttin altındadır; 2. Bu o deməkdir ki, sahə S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -ə bərabər olacaqdır.
Seçim nömrəsi 2
G rəqəmi iki fiqurun fərqi kimi göstərilə bilər, birincisi x oxunun üstündə və x ∈ 0 seqmentində mavi xəttin altında yerləşir; 2, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı və mavi xətlər arasındadır; 2. Bu bizə belə ərazini tapmağa imkan verir:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Bu halda, sahəni tapmaq üçün S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y şəklində bir düsturdan istifadə etməli olacaqsınız. Əslində, formanı birləşdirən xətlər y arqumentinin funksiyaları kimi təqdim edilə bilər.
y = x 3 və - log 2 x + 1 tənliklərini x-ə münasibətdə həll edək:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Lazım olan sahəni alırıq:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Cavab: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Misal 5
y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 xətləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.
Həll
Qrafikdə y = x funksiyası ilə verilən qırmızı xətt ilə bir xətt çəkin. y = - 1 2 x + 4 xəttini mavi rənglə çəkin və y = 2 3 x - 3 xəttini qara rənglə qeyd edin.
Kəsişmə nöqtələrinə diqqət yetirin.
y = x və y = - 1 2 x + 4 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrini tapın:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i tənliyinin həlli x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 tənliyinin həllidir ⇒ (4 ; 2) kəsişmə nöqtəsi i y = x və y = - 1 2 x + 4
y = x və y = 2 3 x - 3 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsini tapın:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Yoxlayın: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 tənliyinin həllidir ⇒ (9; 3) nöqtəsi və kəsişməsi y = x və y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 tənliyin həlli deyil
y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3 xətlərinin kəsişmə nöqtəsini tapın:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) kəsişmə nöqtəsi y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3
Metod №1
İstədiyiniz fiqurun sahəsini fərdi fiqurların sahələrinin cəmi kimi təqdim edirik.
Sonra rəqəmin sahəsi:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metod № 2
Orijinal fiqurun sahəsi digər iki rəqəmin cəmi kimi göstərilə bilər.
Sonra x üçün xətt tənliyini həll edirik və yalnız bundan sonra rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün düstur tətbiq edirik.
y = x ⇒ x = y 2 qırmızı xətt y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 qara xətt y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Beləliklə, ərazi:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Gördüyünüz kimi, dəyərlər uyğun gəlir.
Cavab: S (G) = 11 3
Nəticələr
Verilmiş xətlərlə məhdud olan fiqurun sahəsini tapmaq üçün müstəvidə xətlər çəkməli, onların kəsişmə nöqtələrini tapmalı və sahəni tapmaq üçün düstur tətbiq etməliyik. Bu bölmədə biz tapşırıqlar üçün ən ümumi variantları nəzərdən keçirdik.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
a)
Həll.
Qərarın ilk və ən vacib anı rəsmin qurulmasıdır.
Bir rəsm çəkək:
tənlik y=0 x oxunu təyin edir;
- x=-2 və x=1 - düz, oxa paralel OU;
- y \u003d x 2 +2 - budaqları yuxarıya doğru yönəlmiş, təpəsi (0;2) nöqtəsində olan parabola.
Şərh. Parabola qurmaq üçün onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmaq kifayətdir, yəni. qoyulması x=0 ox ilə kəsişməni tapın OU və müvafiq kvadrat tənliyi həll edərək, ox ilə kəsişməni tapın Oh .
Parabolanın təpəsini aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:
Xəttləri və nöqtələri çəkə bilərsiniz.
[-2;1] intervalında funksiyanın qrafiki y=x 2 +2 yerləşir ox üzərində öküz , buna görə də:
Cavab: S \u003d 9 kvadrat vahid
Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını öyrənmək həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, "gözlə" rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9-u yazılacaq, doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabımız olsaydı: 20 kvadrat vahid, onda açıq-aydın bir yerdə səhv edildi - 20 hüceyrə aydın şəkildə sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi çıxdısa, tapşırıq da səhv həll edildi.
Əyrixətli trapezoid yerləşirsə nə etməli ox altında Oh?
b) Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y=-e x , x=1 və koordinat oxları.
Həll.
Gəlin rəsm çəkək.
Əyrixətli trapesiya varsa tam oxun altında Oh , onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:
Cavab: S=(e-1) kv vahidi” 1,72 kv
Diqqət! İki növ tapşırığı qarışdırmayın:
1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan yalnız müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.
2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Buna görə də, nəzərdən keçirilən düsturda mənfi görünür.
Praktikada, çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım təyyarələrdə yerləşir.
ilə) Xətlərlə məhdudlaşan təyyarə fiqurunun sahəsini tapın y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Həll.
Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabola ilə xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq.Bunu iki şəkildə etmək olar. Birinci yol analitikdir.
Tənliyi həll edirik:
Beləliklə, inteqrasiyanın aşağı həddi a=0 , inteqrasiyanın yuxarı həddi b=3 .
|
Verilmiş xətləri qururuq: 1. Parabola - (1;1) nöqtəsində təpə; ox kəsişməsi Oh - xal(0;0) və (0;2). 2. Düz xətt - 2-ci və 4-cü koordinat bucaqlarının bissektrisasıdır. İndi isə Diqqət! Əgər intervalda [ a;b] bəzi davamlı funksiya f(x) bəzi davamlı funksiyadan böyük və ya ona bərabərdir g(x), onda müvafiq rəqəmin sahəsi düsturla tapıla bilər: . Və rəqəmin harada yerləşdiyinin fərqi yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında, lakin hansı diaqramın DAHA YÜKSƏK (başqa bir qrafikə nisbətən) və hansının AŞAĞIDA olması vacibdir. Baxılan misalda seqmentdə parabolanın düz xəttin üstündə yerləşdiyi aydındır və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır. |
İnteqrasiya hüdudları sanki “özlüyündə” aşkar edilərkən, nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq olar. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya yivli konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) bəzən hədləri tapmaq üçün analitik üsuldan hələ də istifadə edilməlidir.
İstədiyiniz rəqəm yuxarıdan bir parabola və aşağıdan düz bir xətt ilə məhdudlaşır.
Seqmentdə müvafiq düstura görə:
Cavab: S \u003d 4,5 kv
Hər hansı müəyyən inteqralın (mövcud olan) çox yaxşı həndəsi mənası var. Dərsdə dedim ki, müəyyən inteqral ədəddir. İndi başqa bir faydalı faktı qeyd etməyin vaxtı gəldi. Həndəsə nöqteyi-nəzərindən müəyyən inteqral AREA-dır.
Yəni, müəyyən inteqral (əgər varsa) həndəsi olaraq hansısa fiqurun sahəsinə uyğun gəlir. Məsələn, müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək. İnteqral müstəvidə müəyyən bir əyri təyin edir (istəsəniz həmişə çəkilə bilər) və müəyyən inteqralın özü ədədi olaraq müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir.
Misal 1
Bu tipik tapşırıq bəyanatıdır. Qərarın ilk və ən vacib anı rəsmin qurulmasıdır. Üstəlik, rəsm qurulmalıdır SAĞ.
Bir plan qurarkən, aşağıdakı sifarişi tövsiyə edirəm: birinci bütün xətləri (əgər varsa) qurmaq daha yaxşıdır və yalnız sonra- parabola, hiperbola, başqa funksiyaların qrafikləri. Funksiya qrafiklərini qurmaq daha sərfəlidir nöqtə-nöqtə, nöqtəli tikinti texnikası istinad materialında tapıla bilər.
Orada həm də dərsimizlə bağlı çox faydalı material tapa bilərsiniz - parabolanı necə tez qurmaq olar.
Bu problemdə həll yolu belə görünə bilər.
Bir rəsm çəkək (qeyd edək ki, tənlik oxu müəyyən edir):
Mən əyrixətti trapesiya lyukunu çəkməyəcəm, burada söhbət hansı sahədən getdiyi aydındır. Həll belə davam edir:
Seqmentdə funksiyanın qrafiki yerləşir ox üzərində, buna görə də:
Cavab:
Müəyyən inteqralı hesablamaqda və Nyuton-Leybniz düsturunu tətbiq etməkdə çətinlik çəkənlər üçün mühazirəyə müraciət edin. Müəyyən inteqral. Həll nümunələri.
Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını öyrənmək həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, "gözlə" rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9-u yazılacaq, doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabımız olsaydı: 20 kvadrat vahid, onda açıq-aydın bir yerdə səhv edildi - 20 hüceyrə açıq-aydın sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi çıxdısa, tapşırıq da səhv həll edildi.
Misal 2
, , və oxu ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın
Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.
Əyrixətli trapezoid yerləşirsə nə etməli ox altında?
Misal 3
Xətlər və koordinat oxları ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.
Həlli: Gəlin rəsm çəkək:
Əyrixətli trapesiya varsa tam oxun altında, onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:
Bu halda:
Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:
1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan yalnız müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.
2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Buna görə də, nəzərdən keçirilən düsturda mənfi görünür.
Praktikada çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvilərdə yerləşir və buna görə də ən sadə məktəb problemlərindən daha mənalı nümunələrə keçirik.
Misal 4
Xətlərlə hüdudlanmış düz fiqurun sahəsini tapın.
Həll yolu: Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabola ilə xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Bu iki yolla edilə bilər. Birinci yol analitikdir. Tənliyi həll edirik:
Deməli, inteqrasiyanın aşağı həddi , inteqrasiyanın yuxarı həddi .
Mümkünsə bu üsuldan istifadə etməmək daha yaxşıdır.
İnteqrasiya hüdudları sanki “öz-özünə” üzə çıxdığı halda, xətləri nöqtə-nöqtədə qurmaq daha sərfəli və sürətlidir. Müxtəlif diaqramlar üçün nöqtə-nöqtə tikinti texnikası yardımda ətraflı müzakirə olunur Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya yivli konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) bəzən hədləri tapmaq üçün analitik üsuldan hələ də istifadə edilməlidir. Və belə bir nümunəni də nəzərdən keçirəcəyik.
Vəzifəmizə qayıdırıq: əvvəlcə düz xətt, sonra isə parabola qurmaq daha rasionaldır. Bir rəsm çəkək:
Təkrar edirəm ki, nöqtəvi tikinti ilə inteqrasiyanın sərhədləri ən çox "avtomatik" aşkar edilir.
İndi iş düsturu:Əgər seqmentdə hansısa davamlı funksiya daha böyük və ya bərabərdir bəzi davamlı funksiya, onda müvafiq rəqəmin sahəsi düsturla tapıla bilər:
Burada artıq fiqurun harada yerləşdiyini - oxun üstündə və ya oxun altında olduğunu düşünmək lazım deyil və kobud desək, Hansı qrafikin YUXARIDA olması önəmlidir(başqa bir qrafikə nisbətən), və hansı AŞAĞIDA.
Baxılan misalda seqmentdə parabolanın düz xəttin üstündə yerləşdiyi aydındır və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.
Həllin tamamlanması belə görünə bilər:
İstədiyiniz rəqəm yuxarıdan bir parabola və aşağıdan düz bir xətt ilə məhdudlaşır.
Cavab:
Əslində, aşağı yarım müstəvidə əyri bir trapezoidin sahəsi üçün məktəb düsturu (3 nömrəli sadə nümunəyə baxın) formulun xüsusi bir vəziyyətidir. Ox tənliklə verildiyinə və funksiyanın qrafiki oxun altında yerləşdiyinə görə
İndi müstəqil bir həll üçün bir neçə nümunə
Misal 5
Misal 6
, xətləri ilə əhatə olunmuş fiqurun sahəsini tapın.
Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək ərazinin hesablanması üçün məsələlərin həlli zamanı bəzən gülməli bir hadisə baş verir. Rəsm düzgün aparıldı, hesablamalar düzgün idi, lakin diqqətsizlik səbəbindən ... səhv fiqurun sahəsini tapdı, beləcə itaətkar qulunuz bir neçə dəfə pislik etdi. Budur real həyat hadisəsi:
Misal 7
, , , xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.
Əvvəlcə çəkək:
Sahəsini tapmalı olduğumuz fiqur mavi rənglə kölgələnmişdir.(şərtə diqqətlə baxın - rəqəm necə məhduddur!). Ancaq praktikada diqqətsizlik səbəbindən tez-tez fiqurun yaşıl rəngə boyanmış sahəsini tapmaq lazımdır!
Bu nümunə həm də faydalıdır ki, onda rəqəmin sahəsi iki müəyyən inteqraldan istifadə edərək hesablanır. Həqiqətən:
1) Oxun üstündəki seqmentdə düz xətt qrafiki var;
2) Oxun üstündəki seqmentdə hiperbola qrafiki var.
Sahələrin əlavə oluna biləcəyi (və edilməlidir), buna görə də aydındır:
Cavab:
Misal 8
Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın,
Gəlin tənlikləri “məktəb” şəklində təqdim edək və nöqtə-nöqtəli rəsm çəkək:
Rəsmdən görünür ki, bizim yuxarı həddi “yaxşı”dır: .
Ancaq aşağı hədd nədir? Bunun tam olmadığı aydındır, bəs nə? Ola bilər ? Ancaq rəsmin mükəmməl dəqiqliklə edildiyinə zəmanət haradadır, yaxşı olar ki. Və ya kök. Qrafiki ümumiyyətlə düzgün əldə etməsək nə olardı?
Belə hallarda əlavə vaxt sərf etməli və inteqrasiyanın sərhədlərini analitik şəkildə dəqiqləşdirmək lazımdır.
Xəttin və parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapaq.
Bunu etmək üçün tənliyi həll edirik:
Nəticədə, .
Növbəti həll mənasızdır, əsas odur ki, əvəzetmələrdə və işarələrdə çaşqınlıq olmasın, burada hesablamalar asan deyil.
Seqmentdə müvafiq düstura görə:
Yaxşı, dərsin sonunda iki tapşırığı daha çətin hesab edəcəyik.
Misal 9
Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın, ,
Həlli: Rəsmdə bu rəqəmi çəkin.
Rəsmin nöqtə-nöqtəli qurulması üçün sinusoidin görünüşünü bilmək lazımdır (və ümumiyyətlə bilmək faydalıdır) bütün elementar funksiyaların qrafikləri), bəzi sinus dəyərləri kimi, onları tapa bilərsiniz triqonometrik cədvəl. Bəzi hallarda (bu vəziyyətdə olduğu kimi), qrafiklər və inteqrasiya məhdudiyyətləri prinsipcə düzgün göstərilməli olan sxematik bir rəsm çəkməyə icazə verilir.
Burada inteqrasiya limitləri ilə bağlı heç bir problem yoxdur, onlar birbaşa şərtdən əməl edirlər: - “x” sıfırdan “pi”yə dəyişir. Əlavə qərar veririk:
Seqmentdə funksiyanın qrafiki oxun üstündə yerləşir, buna görə də:
(1) Sinusların və kosinusların tək güclərdə necə inteqrasiya olunduğunu dərsdə görmək olar Triqonometrik funksiyaların inteqralları. Bu tipik bir texnikadır, biz bir sinus sıxırıq.
(2) Biz formada əsas triqonometrik eynilikdən istifadə edirik
(3) Gəlin dəyişəni dəyişdirək, onda:
İnteqrasiyanın yeni yenidən bölüşdürülməsi:
Əvəzetmə ilə həqiqətən pis iş olan kimdir, zəhmət olmasa dərsə gedin Qeyri-müəyyən inteqralda əvəzetmə üsulu. Müəyyən bir inteqralda dəyişdirmə alqoritmi haqqında çox aydın olmayanlar üçün səhifəni ziyarət edin Müəyyən inteqral. Həll nümunələri. Misal 5: Həlli: belə ki:
Cavab:
Qeyd: kubdakı tangensin inteqralının necə alındığına diqqət yetirin, burada əsas triqonometrik eyniliyin nəticəsi istifadə olunur.
