Xətlər arasındakı sahəni onlayn tapın. y=f(x), x=g(y) xətləri ilə sərhədlənmiş fiqurun sahəsinin tapılması. Düz əyrinin qövs uzunluğu

Funksiya qeyri-mənfi və fasiləsiz olsun. Sonra müəyyən bir inteqralın həndəsi mənasına görə, yuxarıdan bu funksiyanın qrafiki ilə, aşağıdan ox ilə, soldan və sağdan düz xətlərlə və (bax. ) düsturu ilə hesablanır

Misal 9 Xəttlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın və ox.

Həll. Funksiya Qrafiki budaqları aşağıya doğru yönəlmiş paraboladır. Gəlin onu quraq (şək. 3). İnteqrasiya hədlərini müəyyən etmək üçün xəttin (parabola) oxla (düz xətt) kəsişmə nöqtələrini tapırıq. Bunun üçün tənliklər sistemini həll edirik

Biz əldə edirik: , harada , ; Nəticədə, , .

düyü. 3

Şəklin sahəsi (5) düsturu ilə tapılır:

Əgər funksiya seqmentdə qeyri-müsbət və davamlıdırsa, onda bu funksiyanın qrafiki ilə aşağıdan, yuxarıdan ox ilə, soldan və sağdan düz xətlərlə və , ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin sahəsi. düsturla hesablanır

. (6)

Funksiya seqmentdə kəsilməzdirsə və sonlu sayda nöqtədə işarəsini dəyişirsə, kölgəli fiqurun sahəsi (şəkil 4) müvafiq müəyyən inteqralların cəbri cəminə bərabərdir:

düyü. dörd

Misal 10 Oxla məhdudlaşan fiqurun sahəsini və funksiyanın qrafikini hesablayın.

düyü. 5

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 5). İstənilən sahə sahələrin cəmidir və . Gəlin bu sahələrin hər birini tapaq. Birincisi, sistemi həll etməklə inteqrasiyanın sərhədlərini müəyyənləşdiririk alırıq,. Nəticədə:

;

.

Beləliklə, kölgəli fiqurun sahəsi

(kv. vahid).

düyü. 6

Nəhayət, əyrixətti trapesiya yuxarıdan və aşağıdan seqmentdə fasiləsiz funksiyaların qrafikləri ilə məhdudlaşsın və ,
və solda və sağda - düz və (Şəkil 6). Sonra onun sahəsi düsturla hesablanır

. (8)

Misal 11. və xətləri ilə əhatə olunmuş fiqurun sahəsini tapın.

Həll. Bu rəqəm Şəkildə göstərilmişdir. 7. Onun sahəsini (8) düsturu ilə hesablayırıq. Tənliklər sistemini həll edərək tapırıq , ; Nəticədə, , . Seqmentdə bizdə var: . Beləliklə, (8) düsturu kimi qəbul edirik x, və kimi - . Biz əldə edirik:

(kv. vahid).

Sahələrin hesablanması ilə bağlı daha mürəkkəb problemlər rəqəmi kəsişməyən hissələrə bölmək və bütün fiqurun sahəsini bu hissələrin sahələrinin cəmi kimi hesablamaqla həll olunur.

düyü. 7

Misal 12., , xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 8). Bu rəqəmi aşağıdan oxla , soldan və sağdan düz xətlərlə və yuxarıdan - funksiyaların qrafikləri ilə və . Fiqur yuxarıdan iki funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşdığından onun sahəsini hesablamaq üçün bu düz fiquru iki hissəyə bölürük (1 xətlərin kəsişmə nöqtəsinin absisidir və). Bu hissələrin hər birinin sahəsi (4) düsturla tapılır:

(kv. vahidlər); (kv. vahid). Nəticədə:

(kv. vahid).

düyü. səkkiz

X= j( saat)

düyü. 9

Sonda qeyd edirik ki, əyrixətti trapesiya düz xətlərlə və , ox və əyri üzərində kəsimsizdirsə (şək. 9), onda onun sahəsi düsturla tapılır.

İnqilab bədəninin həcmi

Seqmentdə, oxda, düz xətlərdə fasiləsiz funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiya və ox ətrafında dönsün (şək. 10). Sonra yaranan inqilab cismin həcmi düsturla hesablanır

. (9)

Misal 13 Hiperbola, düz xətlər və oxu ilə məhdudlaşan əyrixətti trapezoidin oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən cismin həcmini hesablayın.

Həll. Bir rəsm çəkək (şək. 11).

Problemin şərtindən belə çıxır ki , . Formula (9) görə alırıq

.

düyü. on

düyü. on bir

Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində əldə edilən cismin həcmi OU düz xətlərlə məhdudlaşan əyrixətli trapesiya y = c və y = d, ox OU və seqmentdə fasiləsiz funksiyanın qrafiki (şək. 12), düsturla müəyyən edilir

. (10)

X= j( saat)

düyü. 12

Misal 14. Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində alınan cismin həcmini hesablayın OU xətlərlə məhdudlaşan əyrixətli trapesiya X 2 = 4saat, y= 4, x = 0 (Şəkil 13).

Həll. Məsələnin şərtinə uyğun olaraq inteqrasiyanın hədlərini tapırıq: , . Formula (10) görə biz əldə edirik:

düyü. 13

Düz əyrinin qövs uzunluğu

Qoy döngə tənliyi ilə verilir, burada , müstəvidə yerləşir (şək. 14).

düyü. on dörd

Tərif. Qövsün uzunluğu dedikdə, polixəttin həlqələrinin sayı sonsuza, ən böyük həlqənin uzunluğu isə sıfıra meyl etdikdə, bu qövsə daxil edilmiş çoxxəttin uzunluğunun meyl etdiyi hədd başa düşülür.

Əgər funksiya və onun törəməsi seqmentdə davamlıdırsa, əyrinin qövs uzunluğu düsturla hesablanır.

. (11)

Misal 15. Nöqtələr arasında bağlanmış əyrinin qövsünün uzunluğunu hesablayın .

Həll. Problemin vəziyyətindən bizdə . Formula (11) görə biz əldə edirik:

.

4. Yanlış inteqrallar
sonsuz inteqrasiya sərhədləri ilə

Müəyyən inteqral anlayışını təqdim edərkən aşağıdakı iki şərtin təmin olunduğu güman edilirdi:

a) inteqrasiyanın sərhədləri a və məhduddur;

b) inteqral seqmentlə məhdudlaşır.

Bu şərtlərdən ən azı biri yerinə yetirilmirsə, inteqral çağırılır düzgün olmayan.

Əvvəlcə sonsuz inteqral hədləri olan qeyri-müvafiq inteqralları nəzərdən keçirək.

Tərif. Funksiya müəyyən edilmiş və intervalda davamlı olsun, onda və sağda sərhədsiz (şək. 15).

Əgər düzgün olmayan inteqral yaxınlaşırsa, onda bu sahə sonludur; düzgün olmayan inteqral ayrılırsa, bu sahə sonsuzdur.

düyü. on beş

Sonsuz aşağı inteqrasiya həddi olan düzgün olmayan inteqral oxşar şəkildə müəyyən edilir:

. (13)

Bu inteqral əgər bərabərliyin sağ tərəfindəki hədd (13) varsa və sonlu olarsa birləşir; əks halda inteqral divergent deyilir.

İki sonsuz inteqral həddi olan düzgün olmayan inteqral aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

, (14)

burada с intervalın istənilən nöqtəsidir. İnteqral yalnız hər iki inteqral bərabərliyin sağ tərəfində birləşdikdə yaxınlaşır (14).

;

G) = [məxrəcdə tam kvadratı seçin: ] = [yerdəyişmə:

] =

Deməli, düzgün olmayan inteqral yaxınlaşır və onun qiyməti -ə bərabərdir.

İnteqralı tapmaq istədiyiniz funksiyanı daxil edin

Kalkulyator müəyyən inteqralların ƏTRAFLI həllini təqdim edir.

Bu kalkulyator f(x) funksiyasının müəyyən inteqralını verilmiş yuxarı və aşağı hədlərlə həll edir.

Nümunələr

Dərəcədən istifadə etməklə
(kvadrat və kub) və kəsrlər

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadrat kök

Sqrt(x)/(x + 1)

kub kök

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Sinus və kosinusdan istifadə

2*sin(x)*cos(x)

Arcsine

X*arcsin(x)

Qövs kosinusu

x*arccos(x)

Loqarifmin tətbiqi

X*log(x, 10)

təbii loqarifm

Sərgi iştirakçısı

Tg(x)*sin(x)

Kotangent

Ctg(x)*cos(x)

İrrasional kəsrlər

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Qövs tangensi

X*arсctg(x)

Hiberbolik sinus və kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiberbolik tangens və kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hiberbolik arksin və arkkosin

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolik arktangent və arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

İfadələrin və funksiyaların daxil edilməsi qaydaları

İfadələr funksiyalardan ibarət ola bilər (qeydiyyatlar əlifba sırası ilə verilir): mütləq(x) Mütləq dəyər x
(modul x və ya |x|) arccos(x) Funksiya - qövs kosinusu x arkkoş(x) Qövs kosinusu hiperbolik x arcsin(x) Arcsine from x arcsinh(x) Arcsine hiperbolik x arctg(x) Funksiya - qövs tangensi x arctgh(x) Qövs tangensi -dən hiperbolikdir x e e təxminən 2.7-yə bərabər olan bir rəqəm exp(x) Funksiya --dən eksponent x(budur e^x) log(x) və ya log(x) Təbii loqarifmi x
(Almaq üçün log7(x), log(x)/log(7) daxil etməlisiniz (və ya, məsələn, üçün log10(x)=log(x)/log(10)) pi Bu rəqəm təxminən 3,14-ə bərabər olan "Pi"dir günah(x) Funksiya - Sinus x cos(x) Funksiya - kosinus x sinh(x) Funksiya - Hiperbolik sinus x nağd pul(x) Funksiya - Hiperbolik kosinus x sqrt(x) Funksiyanın kvadrat köküdür x sqr(x) və ya x^2 Funksiya - Kvadrat x tg(x) Funksiya - dən tangens x tgh(x) Funksiya - Hiperbolik tangens x cbrt(x) Funksiya kub köküdür x

İfadələrdə aşağıdakı əməliyyatlardan istifadə edə bilərsiniz: Həqiqi rəqəmlər formada daxil edin 7.5 , yox 7,5 2*x- vurma 3/x- bölmə x^3- eksponentasiya x + 7- əlavə x - 6- çıxma
Digər xüsusiyyətlər: mərtəbə(x) Funksiya - yuvarlaqlaşdırma x aşağı (məsələn mərtəbə(4.5)==4.0) tavan(x) Funksiya - yuvarlaqlaşdırma x yuxarı (misal tavan(4.5)==5.0) işarəsi(x) Funksiya - İşarə x erf(x) Səhv funksiyası (və ya ehtimal inteqralı) laplace(x) Laplas funksiyası

Fiqurun sahəsinin hesablanması Bu sahə nəzəriyyəsində bəlkə də ən çətin problemlərdən biridir. Məktəb həndəsəsində onlara, məsələn, üçbucaq, romb, düzbucaqlı, trapesiya, dairə və s. kimi əsas həndəsi fiqurların sahələrini tapmağı öyrədirlər. Ancaq çox vaxt daha mürəkkəb rəqəmlərin sahələrinin hesablanması ilə məşğul olmaq lazımdır. Məhz belə məsələlərin həllində inteqral hesablamadan istifadə etmək çox rahatdır.

Tərif.

Əyrixətli trapesiya y = f(x), y = 0, x = a və x = b xətləri ilə hüdudlanan bəzi G rəqəmi adlanır və f(x) funksiyası [a seqmentində kəsilməzdir; b] və üzərindəki işarəsini dəyişmir (şək. 1).Əyrixətti trapezoidin sahəsi S(G) ilə işarələnə bilər.

f(x) funksiyası üçün müəyyən inteqralı ʃ a b f(x)dx [a seqmentində kəsilməz və mənfi olmayan; b], və müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsidir.

Yəni, y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a və x \u003d b xətləri ilə məhdudlaşan G rəqəminin sahəsini tapmaq üçün hesablamaq lazımdır. müəyyən inteqral ʃ a b f (x) dx.

Bu minvalla, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

y = f(x) funksiyası [a üzərində müsbət deyilsə; b], onda əyrixətli trapezoidin sahəsi düsturla tapıla bilər S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Misal 1

y \u003d x 3 xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın; y = 1; x = 2.

Həll.

Verilmiş xətlər üzərində lyuklarla göstərilən ABC rəqəmini təşkil edir düyü. 2.

İstənilən sahə əyrixətti DACE trapesiyasının və DABE kvadratının sahələri arasındakı fərqə bərabərdir.

S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) düsturundan istifadə edərək inteqrasiyanın hədlərini tapırıq. Bunu etmək üçün iki tənlik sistemini həll edirik:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Beləliklə, bizdə x 1 \u003d 1 - aşağı həddi və x \u003d 2 - yuxarı həddi var.

Deməli, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (kvadrat vahidlər).

Cavab: 11/4 kv. vahidlər

Misal 2

y \u003d √x xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın; y = 2; x = 9.

Həll.

Verilmiş xətlər yuxarıdan funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan ABC rəqəmini təşkil edir

y \u003d √x və aşağıdan y \u003d 2 funksiyasının qrafikindən. Nəticədə rəqəm lyuklarla göstərilir. düyü. 3.

İstədiyiniz sahə S = ʃ a b (√x - 2) bərabərdir. İnteqrasiya hədlərini tapaq: b = 9, a tapmaq üçün iki tənlik sistemini həll edirik:

(y = √x,
(y = 2.

Beləliklə, bizdə x = 4 = a aşağı həddi var.

Deməli, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (kvadrat vahid).

Cavab: S = 2 2/3 kv. vahidlər

Misal 3

y \u003d x 3 - 4x xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın; y = 0; x ≥ 0.

Həll.

x ≥ 0 üçün y \u003d x 3 - 4x funksiyasının qrafikini çəkək. Bunun üçün y ' törəməsini tapırıq:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 at x = ±2/√3 ≈ 1.1 kritik nöqtələrdir.

Kritik nöqtələri həqiqi ox üzərində çəksək və törəmənin işarələrini yerləşdirsək, funksiyanın sıfırdan 2/√3-ə qədər azaldığını və 2/√3-dən üstəgəl sonsuzluğa qədər artdığını alırıq. Onda x = 2/√3 minimum nöqtədir, y funksiyasının minimum qiyməti min = -16/(3√3) ≈ -3-dür.

Qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini təyin edək:

əgər x \u003d 0, onda y \u003d 0, yəni A (0; 0) Oy oxu ilə kəsişmə nöqtəsidir;

y \u003d 0 olarsa, x 3 - 4x \u003d 0 və ya x (x 2 - 4) \u003d 0 və ya x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, buradan x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (uyğun deyil, çünki x ≥ 0).

A(0; 0) və B(2; 0) nöqtələri qrafikin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələridir.

Verilmiş xətlər üzərində lyuklarla göstərilən OAB rəqəmini təşkil edir düyü. dörd.

y \u003d x 3 - 4x funksiyası (0; 2) mənfi qiymət aldığı üçün

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Bizdə: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, buradan S \u003d 4 kvadrat metr. vahidlər

Cavab: S = 4 kv. vahidlər

Misal 4

Parabola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, düz xətlər x \u003d 0, y \u003d 0 və absis x 0 \u003d nöqtəsində bu parabola toxunan ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın. 2.

Həll.

Birincisi, x₀ \u003d 2 absis ilə nöqtədə y \u003d 2x 2 - 2x + 1 paraboluna tangensin tənliyini tərtib edirik.

y' = 4x - 2 törəməsi olduğundan, x 0 = 2 üçün k = y'(2) = 6 alırıq.

Toxunma nöqtəsinin ordinatını tapın: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Buna görə də, tangens tənliyi formaya malikdir: y - 5 \u003d 6 (x - 2) və ya y \u003d 6x - 7.

Xəttlərlə məhdudlaşan bir fiqur quraq:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri: A(0; 1) - Oy oxu ilə; Ox oxu ilə - kəsişmə nöqtələri yoxdur, çünki 2x 2 - 2x + 1 = 0 tənliyinin həlli yoxdur (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, yəni B parabola nöqtəsinin təpəsində B koordinatları var (1/2; 1/2).

Beləliklə, sahəsi müəyyən edilməli olan fiqur lyuklarla göstərilir düyü. 5.

Bizdə: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Şərtdən D nöqtəsinin koordinatlarını tapın:

6x - 7 = 0, yəni. x \u003d 7/6, sonra DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

DBC üçbucağının sahəsini S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC düsturundan istifadə edərək tapırıq. Bu minvalla,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 kv. vahidlər

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (kvadrat vahid).

Nəhayət, əldə edirik: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (kv. vahid).

Cavab: S = 1 1/4 kv. vahidlər

Biz nümunələri nəzərdən keçirdik verilmiş xətlərlə hüdudlanmış fiqurların sahələrini tapmaq. Belə məsələləri uğurla həll etmək üçün müstəvidə funksiyaların xətlərini və qrafiklərini qurmağı, xətlərin kəsişmə nöqtələrini tapmağı, müəyyən inteqralları hesablamaq bacarığı və bacarıqlarını nəzərdə tutan sahəni tapmaq üçün düstur tətbiq etməyi bacarmaq lazımdır.

sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.

a)

Həll.

Qərarın ilk və ən vacib anı rəsmin qurulmasıdır.

Bir rəsm çəkək:

tənlik y=0 x oxunu təyin edir;

- x=-2 və x=1 - düz, oxa paralel OU;

- y \u003d x 2 +2 - budaqları yuxarıya doğru yönəlmiş, təpəsi (0;2) nöqtəsində olan parabola.

Şərh. Parabola qurmaq üçün onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmaq kifayətdir, yəni. qoyulması x=0 ox ilə kəsişməni tapın OU və müvafiq qərar vermək kvadrat tənlik, ox ilə kəsişməni tapın Oh .

Parabolanın təpəsini aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:

Siz xətləri və nöqtə nöqtələrini çəkə bilərsiniz.

[-2;1] intervalında funksiyanın qrafiki y=x 2 +2 yerləşir ox üzərində öküz , buna görə də:

Cavab: S \u003d 9 kvadrat vahid

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, "gözlə" biz rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9-u yazılacaq, doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, desək, cavabımız olsaydı: 20 kvadrat vahidlər, onda, açıq-aydın, bir yerdə səhv edildi - 20 hüceyrə aydın şəkildə sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi çıxdısa, tapşırıq da səhv həll edildi.

Əyrixətli trapezoid yerləşirsə nə etməli ox altında Oh?

b) Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y=-e x , x=1 və koordinat oxları.

Həll.

Gəlin rəsm çəkək.

Əyrixətli trapesiya varsa tam oxun altında Oh , onda onun sahəsini düsturla tapmaq olar:

Cavab: S=(e-1) kv vahidi” 1,72 kv

Diqqət! İki növ tapşırığı qarışdırmayın:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan yalnız müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Məhz buna görə də indicə nəzərdən keçirilən düsturda mənfi görünür.

Praktikada, çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım təyyarələrdə yerləşir.

ilə) Xətlərlə məhdudlaşan təyyarə fiqurunun sahəsini tapın y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Həll.

Əvvəlcə bir rəsm çəkməlisiniz. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabola ilə xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq.Bunu iki şəkildə etmək olar. Birinci yol analitikdir.

Tənliyi həll edirik:

Beləliklə, inteqrasiyanın aşağı həddi a=0 , inteqrasiyanın yuxarı həddi b=3 .

Verilmiş xətləri qururuq: 1. Parabola - (1;1) nöqtəsində təpə; ox kəsişməsi Oh - xal(0;0) və (0;2). 2. Düz xətt - 2-ci və 4-cü koordinat bucaqlarının bissektrisasıdır. İndi isə Diqqət! Əgər intervalda [ a;b] bəzi davamlı funksiya f(x) bəzi davamlı funksiyadan böyük və ya ona bərabərdir g(x), onda müvafiq rəqəmin sahəsi düsturla tapıla bilər: . Və fiqurun harada yerləşməsinin fərqi yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında, lakin hansı diaqramın DAHA YÜKSƏK (başqa bir qrafikə nisbətən), hansının AŞAĞIDA olması vacibdir. Baxılan misalda aydındır ki, seqmentdə parabola düz xəttin üstündə yerləşir və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

İnteqrasiya hüdudları sanki “öz-özünə” aşkar edilərkən nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq olar. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya yivli konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) bəzən hədləri tapmaq üçün analitik metoddan hələ də istifadə edilməlidir.

İstədiyiniz rəqəm yuxarıdan bir parabola və aşağıdan düz bir xətt ilə məhdudlaşır.

Seqmentdə müvafiq düstura görə:

Cavab: S \u003d 4,5 kv

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll.

Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtələrini tapırıq. Bunun üçün tənliklər sistemini həll edirik:

Verilmiş xətlərin kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapmaq üçün tənliyi həll edirik:

Biz tapdıq: x 1 = -2, x 2 = 4.

Deməli, parabola və düz xətt olan bu xətlər nöqtələrdə kəsişir A(-2; 0), B(4; 6).

Bu xətlər qapalı bir rəqəm təşkil edir, onun sahəsi yuxarıdakı düsturla hesablanır:

Nyuton-Leybniz düsturuna görə tapırıq:

Ellipslə hüdudlanan ərazinin sahəsini tapın.

Həll.

I kvadrant üçün ellips tənliyindən əldə edirik. Buradan düstura görə əldə edirik

Əvəzetməni tətbiq edək x = a günah t, dx = a cos t dt. İnteqrasiyanın yeni hədləri t = α və t = β 0 = tənliklərindən müəyyən edilir a günah t, a = a günah t. qoymaq olar α = 0 və β = π /2.

Tələb olunan sahənin dörddə birini tapırıq

Buradan S = pab.

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapıny = - x 2 + x + 4 vəy = - x + 1.

Həll.

Xətlərin kəsişmə nöqtələrini tapın y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, xətlərin ordinatlarını bərabərləşdirir: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 və ya x 2 - 2x- 3 = 0. Kökləri tapın x 1 = -1, x 2 = 3 və onların müvafiq ordinatları y 1 = 2, y 2 = -2.

Fiqur sahəsinin düsturundan istifadə edərək əldə edirik

Parabolanın əhatə etdiyi sahəni tapıny = x 2 + 1 və birbaşax + y = 3.

Həll.

Tənliklər sisteminin həlli

kəsişmə nöqtələrinin absislərini tapın x 1 = -2 və x 2 = 1.

fərz edirik y 2 = 3 - x və y 1 = x 2 + 1, aldığımız düstur əsasında

Bernoulli lemniscate daxilində olan ərazini hesablayınr 2 = a 2 cos 2 φ .

Həll.

Qütb koordinat sistemində fiqurun sahəsi əyri qövslə məhdudlaşır r = f(φ ) və iki qütb radiusu φ 1 = ʅ və φ 2 = ʆ , inteqral ilə ifadə edilir

Döngənin simmetriyasına görə, əvvəlcə istədiyiniz sahənin dörddə birini təyin edirik

Beləliklə, ümumi sahə S = a 2 .

Bir astroidin qövs uzunluğunu hesablayınx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Həll.

Astroidin tənliyini formada yazırıq

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

qoyaq x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 günah t.

Buradan astroidin parametrik tənliklərini əldə edirik

x = a cos 3 t, y = a günah 3 t, (*)

harada 0 ≤ t ≤ 2π .

Əyrinin (*) simmetriyasını nəzərə alaraq, qövs uzunluğunun dörddə birini tapmaq kifayətdir. L parametr dəyişikliyinə uyğundur t 0-dan π /2.

alırıq

dx = -3a cos 2 t günah t dt, dy = 3a günah 2 t cos t dt.

Buradan tapırıq

Nəticədə ifadənin 0-dan aralığında inteqrasiyası π /2, alırıq

Buradan L = 6a.

Arximed spiralinin hüdudları olan ərazini tapınr = aφ və qütb bucaqlarına uyğun gələn iki radius vektoruφ 1 vəφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Həll.

Əyri ilə məhdudlaşan sahə r = f(φ ) düsturu ilə hesablanır, burada α və β - qütb bucağının dəyişmə hədləri.

Beləliklə, alırıq

(*)

(*) dən belə nəticə çıxır ki, qütb oxu və Arximed spiralının birinci döngəsi ilə məhdudlaşan sahə ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Eynilə, qütb oxu ilə məhdudlaşan sahəni və Arximed spiralinin ikinci döngəsini tapırıq ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Tələb olunan sahə bu sahələrin fərqinə bərabərdir

Bir ox ətrafında fırlanma nəticəsində alınan cismin həcmini hesablayınöküz parabolalarla məhdudlaşan rəqəmy = x 2 vəx = y 2 .

Həll.

Tənliklər sistemini həll edək

və almaq x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, buradan əyrilərin kəsişmə nöqtələri O(0; 0), B(on bir). Şəkildən göründüyü kimi, inqilab gövdəsinin istənilən həcmi ox ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn iki həcm arasındakı fərqə bərabərdir. öküzəyrixətli trapezoidlər OCBA və ODBA:

Oxla məhdudlaşan sahəni hesablayınöküz və sinusoidy = günahx seqmentlər üzrə: a); b) .

Həll.

a) Seqmentdə sin funksiyası x işarəsini saxlayır və buna görə də düsturla , fərz edir y= günah x, Biz tapdıq

b) seqmentdə sin funksiyası x işarəsini dəyişir. Məsələnin düzgün həlli üçün seqmenti ikiyə və [ bölmək lazımdır. π , 2π ], hər birində funksiya öz işarəsini saxlayır.

İşarələr qaydasına görə, seqmentdə [ π , 2π ] sahəsi mənfi işarəsi ilə götürülür.

Nəticədə, istədiyiniz sahə bərabərdir

Ellipsin fırlanmasından əldə edilən səthlə məhdudlaşan cismin həcmini təyin edinəsas oxun ətrafındaa .

Həll.

Ellipsin koordinat oxlarına nisbətən simmetrik olduğunu nəzərə alsaq, ox ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn həcmi tapmaq kifayətdir. öküz sahə OAB, ellipsin sahəsinin dörddə birinə bərabərdir və nəticəni ikiqat artırın.

İnqilabın bədəninin həcmini vasitəsilə işarə edək V x; onda düstur əsasında bizdə , burada 0 və a- nöqtələrin absisləri B və A. Ellipsin tənliyindən tapırıq. Buradan

Beləliklə, tələb olunan həcm bərabərdir. (Elips kiçik ox ətrafında fırlandıqda b, bədənin həcmi )

Parabolalarla məhdudlaşan sahəni tapıny 2 = 2 px vəx 2 = 2 py .

Həll.

Birincisi, inteqrasiya intervalını təyin etmək üçün parabolaların kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını tapırıq. Orijinal tənlikləri çevirərək və əldə edirik. Bu dəyərləri bərabərləşdirərək və ya alırıq x 4 - 8səh 3 x = 0.

x 4 - 8səh 3 x = x(x 3 - 8səh 3) = x(x - 2səh)(x 2 + 2px + 4səh 2) = 0.

Tənliklərin köklərini tapırıq:

Nəzərə alsaq ki, nöqtə A parabolaların kəsişməsi birinci rübdə, sonra inteqrasiyanın hədləri x= 0 və x = 2səh.

İstədiyiniz sahə düsturla tapılır