Oyunlar

Təbii loqarifm tənliklərini necə həll etmək olar. Loqarifmik tənlik: əsas düsturlar və üsullar. Tənliyin hər iki tərəfinin loqarifmi

Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər USE-də riyaziyyatdakı variantlara həsr edilmişdir tapşırıq C3 . Hər bir tələbə qarşıdan gələn imtahandan “yaxşı” və ya “əla” keçmək istəyirsə, riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanından C3 tapşırıqlarını necə həll etməyi öyrənməlidir. Bu məqalədə tez-tez rast gəlinən loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər, habelə onların həlli üçün əsas üsullar haqqında qısa məlumat verilir.

Beləliklə, bu gün bəzi nümunələrə nəzər salaq. loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər, keçən illərin riyaziyyatında USE variantlarında tələbələrə təklif edilmişdir. Ancaq ondan başla xülasə həll etməli olduğumuz əsas nəzəri məqamlar.

loqarifmik funksiya

Tərif

Baxış funksiyası

0,\, a\ne 1 \]" title="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilib">!}

çağırdı loqarifmik funksiya.

Əsas xüsusiyyətlər

Loqarifmik funksiyanın əsas xassələri y= log a x:

Loqarifmik funksiyanın qrafiki belədir loqarifmik əyri:

Loqarifmlərin xassələri

Məhsulun loqarifmi iki müsbət ədəd bu ədədlərin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Hissənin loqarifmi iki müsbət ədəd bu ədədlərin loqarifmlərinin fərqinə bərabərdir:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Əgər a və b a≠ 1, sonra istənilən ədəd üçün r ədalətli bərabərlik:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Bərabərlik log a t= log a s, harada a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0 yalnız və yalnız o halda doğrudur t = s.

Əgər a, b, c müsbət ədədlərdir və a və c birlikdən fərqlidir, onda bərabərlik ( loqarifmin yeni bazasına çevrilmə düsturu):

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Teorem 1.Əgər f(x) > 0 və g(x) > 0, sonra loqarifmik tənlik jurnalı a f(x) = log a g(x) (harada a > 0, a≠ 1) tənliyə ekvivalentdir f(x) = g(x).

Loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli

Misal 1 Tənliyi həll edin:

Həll. Məqbul dəyərlər diapazonuna yalnız bunlar daxildir x, bunun üçün loqarifmin işarəsi altındakı ifadə sıfırdan böyükdür. Bu dəyərlər aşağıdakı bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Bunu nəzərə alaraq

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

bu loqarifmik tənliyin icazə verilən dəyərlərinin sahəsini təyin edən bir interval alırıq:

Bütün şərtləri burada ödənilən 1-ci teorem əsasında aşağıdakı ekvivalent kvadrat tənliyə keçirik:

Yalnız birinci kök məqbul dəyərlər aralığına daxil edilir.

Cavab: x=7.

Misal 2 Tənliyi həll edin:

Həll. Tənliyin icazə verilən dəyərlərinin diapazonu bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:

ql-right-eqno">

Həll. Tənliyin icazə verilən dəyərlərinin diapazonu burada asanlıqla müəyyən edilir: x > 0.

Əvəzetmədən istifadə edirik:

Tənlik formanı alır:

Arxa əvəzetmə:

Hər ikisi cavab tənliyin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu daxil edin, çünki onlar müsbət ədədlərdir.

Misal 4 Tənliyi həll edin:

Həll. Tənliyin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu təyin edərək həllə yenidən başlayaq. Aşağıdakı bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:

ql-right-eqno">

Loqarifmlərin əsasları eynidir, ona görə də etibarlı dəyərlər diapazonunda aşağıdakı kvadrat tənliyə keçə bilərsiniz:

Birinci kök tənliyin icazə verilən dəyərləri diapazonuna daxil edilmir, ikincisi daxil edilir.

Cavab: x = -1.

Misal 5 Tənliyi həll edin:

Həll. Biz intervalda həll yollarını axtaracağıq x > 0, x≠1. Tənliyi ekvivalentə çevirək:

Hər ikisi cavab tənliyin icazə verilən qiymətləri daxilindədir.

Misal 6 Tənliyi həll edin:

Həll. Tənliyin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunu təyin edən bərabərsizliklər sistemi bu dəfə formaya malikdir:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Loqarifmin xassələrindən istifadə edərək, tənliyi icazə verilən dəyərlər diapazonunda ekvivalent tənliyə çeviririk:

Loqarifmin yeni bazasına keçid üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

Yalnız biri icazə verilən diapazondadır. cavab: x = 4.

davam edək loqarifmik bərabərsizliklər . Riyaziyyatdan imtahanda qarşılaşmalı olduğunuz şey budur. Əlavə nümunələri həll etmək üçün aşağıdakı teoremə ehtiyacımız var:

Teorem 2.Əgər f(x) > 0 və g(x) > 0, onda:
saat a> 1 loqarifmik bərabərsizlik log a f(x) > daxil ol a g(x) eyni mənalı bərabərsizliyə bərabərdir: f(x) > g(x);
0-da< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > daxil ol a g(x) əks mənalı bərabərsizliyə bərabərdir: f(x) < g(x).

Misal 7 Bərabərsizliyi həll edin:

Həll. Bərabərsizliyin məqbul dəyərlərinin diapazonunu müəyyən etməklə başlayaq. Loqarifmik funksiyanın işarəsi altındakı ifadə yalnız müsbət qiymətlər almalıdır. Bu o deməkdir ki, məqbul dəyərlərin istənilən diapazonu aşağıdakı bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Loqarifmin əsası birdən kiçik ədəd olduğundan, müvafiq loqarifmik funksiya azalacaq və buna görə də, 2-ci teoremə görə, aşağıdakı kvadrat bərabərsizliyə keçid ekvivalent olacaq:

Nəhayət, icazə verilən dəyərlərin diapazonunu nəzərə alaraq, əldə edirik cavab:

Misal 8 Bərabərsizliyi həll edin:

Həll. Məqbul dəyərlər diapazonunu təyin etməklə yenidən başlayaq:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Bərabərsizliyin icazə verilən qiymətləri toplusunda ekvivalent çevrilmələr həyata keçiririk:

Reduksiyadan və 2-ci teoremlə bərabər bərabərsizliyə keçiddən sonra əldə edirik:

İcazə verilən dəyərlərin diapazonunu nəzərə alaraq, yekunu əldə edirik cavab:

Misal 9 Loqarifmik bərabərsizliyi həll edin:

Həll. Bərabərsizliyin məqbul dəyərlərinin diapazonu aşağıdakı sistemlə müəyyən edilir:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

Görünür ki, yol verilən qiymətlər bölgəsində loqarifmin təməlindəki ifadə həmişə birdən böyükdür və buna görə də 2-ci teoremə görə aşağıdakı bərabərsizliyə keçid ekvivalent olacaqdır:

Məqbul dəyərlər diapazonunu nəzərə alaraq yekun cavabı alırıq:

Misal 10 Bərabərsizliyi həll edin:

Həll.

Bərabərsizliyin məqbul dəyərlərinin sahəsi bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilir:

Başlıq="(!LANG:QuickLaTeX.com tərəfindən göstərilmişdir">!}

mən yol. Loqarifmin yeni bazasına keçid üçün düsturdan istifadə edək və icazə verilən qiymətlər bölgəsində ekvivalent olan bərabərsizliyə keçək.

Bu video ilə mən loqarifmik tənliklər haqqında uzun dərslər silsiləsi başlayıram. İndi bir anda üç nümunəniz var, bunun əsasında biz adlanan ən sadə vəzifələri həll etməyi öyrənəcəyik - protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Nəzərinizə çatdırım ki, ən sadə loqarifmik tənlik aşağıdakı kimidir:

log a f(x) = b

X dəyişəninin yalnız arqument daxilində, yəni yalnız f(x) funksiyasında olması vacibdir. Və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiyalar deyil.

Əsas həll üsulları

Belə strukturları həll etməyin bir çox yolu var. Məsələn, məktəbdə əksər müəllimlər belə təklif edirlər: düsturdan istifadə edərək dərhal f ( x ) funksiyasını ifadə edin f( x ) = a b . Yəni, ən sadə tikinti ilə qarşılaşdığınız zaman, əlavə hərəkətlər və konstruksiyalar olmadan dərhal həllinə davam edə bilərsiniz.

Bəli, əlbəttə ki, qərar doğru çıxacaq. Ancaq bu formulun problemi tələbələrin əksəriyyətindədir başa düşməmək, haradan gəlir və niyə məhz a hərfini b hərfinə qaldırırıq.

Nəticədə, məsələn, bu hərflər bir-birini əvəz edəndə çox təhqiramiz səhvlər görürəm. Bu düstur ya başa düşülməlidir, ya da yadda saxlanılmalıdır, ikinci üsul isə ən uyğun olmayan və ən həlledici məqamlarda səhvlərə yol açır: imtahanlarda, testlərdə və s.

Buna görə bütün tələbələrimə standart məktəb düsturundan imtina etməyi və loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün ikinci yanaşmadan istifadə etməyi təklif edirəm, yəqin ki, adından da təxmin etdiyiniz kimi bu adlanır. kanonik forma.

Kanonik forma ideyası sadədir. Tapşırığımıza yenidən baxaq: solda log a var, a hərfi isə tam rəqəmi bildirir və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiyanı ifadə etmir. Buna görə də, bu məktub loqarifmin əsasına qoyulan bütün məhdudiyyətlərə tabedir. yəni:

1 ≠ a > 0

Digər tərəfdən, eyni tənlikdən görürük ki, loqarifm b rəqəminə bərabər olmalıdır və bu hərf üçün heç bir məhdudiyyət qoyulmur, çünki o, istənilən qiymət ala bilər - həm müsbət, həm də mənfi. Hamısı f(x) funksiyasının hansı dəyərləri qəbul etməsindən asılıdır.

Və burada biz gözəl qaydamızı xatırlayırıq ki, istənilən b ədədi a əsasında a-dan b-nin qüvvəsinə qədər loqarifm kimi təqdim edilə bilər:

b = log a a b

Bu formulu necə yadda saxlamaq olar? Bəli, çox sadə. Aşağıdakı konstruksiyanı yazaq:

b = b 1 = b log a a

Təbii ki, bu halda başlanğıcda yazdığımız bütün məhdudiyyətlər yaranır. İndi isə loqarifmin əsas xassəsindən istifadə edək və b faktorunu a-nın gücü kimi daxil edək. Biz əldə edirik:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Nəticədə, orijinal tənlik aşağıdakı formada yenidən yazılacaq:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Hamısı budur. Yeni funksiya artıq loqarifmi ehtiva etmir və standart cəbri üsullarla həll edilir.

Təbii ki, indi kimsə etiraz edəcək: ümumiyyətlə, bir növ kanonik düsturla çıxış etmək nəyə lazım idi, ilkin konstruksiyadan dərhal son düstura keçmək mümkün idisə, nə üçün əlavə iki lazımsız addım atmaq lazımdır? Bəli, yalnız ona görə ki, əksər tələbələr bu formulun haradan gəldiyini başa düşmürlər və nəticədə onu tətbiq edərkən müntəzəm olaraq səhvlər edirlər.

Amma üç addımdan ibarət belə hərəkətlər ardıcıllığı, həmin son formulun haradan gəldiyini başa düşməsəniz belə, ilkin loqarifmik tənliyi həll etməyə imkan verir. Yeri gəlmişkən, bu giriş kanonik düstur adlanır:

log a f(x) = log a a b

Kanonik formanın rahatlığı həm də ondan ibarətdir ki, bu gün nəzərdən keçirdiyimiz ən sadələri deyil, çox geniş bir sinif loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.

Həll nümunələri

İndi real nümunələrə baxaq. Beləliklə, qərar verək:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Gəlin bunu belə yenidən yazaq:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Bir çox tələbə tələsir və dərhal 0,5 rəqəmini ilkin problemdən bizə gələn gücə qaldırmağa çalışır. Və həqiqətən də, bu cür problemlərin həllində artıq yaxşı təlim keçmişsinizsə, dərhal bu addımı yerinə yetirə bilərsiniz.

Ancaq indi bu mövzunu öyrənməyə başlayırsınızsa, təhqiramiz səhvlərə yol verməmək üçün heç yerə tələsməmək daha yaxşıdır. Beləliklə, kanonik formaya sahibik. Bizdə:

3x - 1 = 0,5 -3

Bu, artıq loqarifmik tənlik deyil, x dəyişəninə münasibətdə xətti tənlikdir. Bunu həll etmək üçün əvvəlcə 0,5 rəqəminin −3 dərəcəsi ilə məşğul olaq. Qeyd edək ki, 0,5 1/2-dir.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Loqarifmik tənliyi həll edərkən bütün onluqları kəsrlərə çevirin.

Yenidən yazırıq və alırıq:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Hamısının cavabını aldıq. Birinci vəzifə həll olunur.

İkinci tapşırıq

İkinci tapşırığa keçək:

Gördüyünüz kimi, bu tənlik artıq ən sadə deyil. Yalnız fərq solda olduğuna görə və bir bazada bir loqarifm olmasın.

Ona görə də bu fərqdən birtəhər qurtulmaq lazımdır. Bu vəziyyətdə hər şey çox sadədir. Əsaslara daha yaxından nəzər salaq: solda kökün altındakı rəqəm var:

Ümumi tövsiyə: bütün loqarifmik tənliklərdə radikallardan, yəni kökləri olan girişlərdən xilas olmağa çalışın və güc funksiyalarına keçin, sadəcə olaraq, bu güclərin eksponentləri loqarifmin işarəsindən asanlıqla çıxarılır və nəticədə belədir. notation hesablamaları xeyli asanlaşdırır və sürətləndirir. Bunu belə yazaq:

İndi loqarifmin diqqətəlayiq xüsusiyyətini xatırlayırıq: arqumentdən, həm də əsasdan dərəcələri çıxara bilərsiniz. Baza vəziyyətində aşağıdakılar baş verir:

log a k b = 1/k loqa b

Başqa sözlə, əsas dərəcəsində dayanan ədəd irəli çəkilir və eyni zamanda çevrilir, yəni ədədin əksi olur. Bizim vəziyyətimizdə 1/2 göstərici ilə baza dərəcəsi var idi. Buna görə də onu 2/1 olaraq çıxara bilərik. Biz əldə edirik:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Diqqət edin: bu addımda heç bir halda loqarifmlərdən qurtulmamalısınız. 4-5-ci sinif riyaziyyatını və əməliyyatların ardıcıllığını xatırlayın: əvvəlcə vurma yerinə yetirilir, yalnız bundan sonra toplama və çıxma yerinə yetirilir. Bu halda 10 elementdən eyni elementlərdən birini çıxarırıq:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

İndi tənliyimiz lazım olduğu kimi görünür. Bu, ən sadə tikintidir və biz onu kanonik formadan istifadə edərək həll edirik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Hamısı budur. İkinci problem həll olunur.

Üçüncü misal

Üçüncü tapşırığa keçək:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Aşağıdakı düsturu xatırlayın:

log b = log 10 b

Əgər nədənsə lg b yazmaqla çaşıbsınızsa, bütün hesablamaları apararkən sadəcə olaraq log 10 b yaza bilərsiniz. Onluq loqarifmlərlə digərləri ilə eyni şəkildə işləyə bilərsiniz: səlahiyyətləri çıxarın, əlavə edin və istənilən ədədi lg 10 kimi təqdim edin.

Məhz bu xassələrdən indi problemi həll etmək üçün istifadə edəcəyik, çünki bu, dərsimizin əvvəlində yazdığımız ən sadə deyil.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, lg 5-dən əvvəl 2 amil daxil edilə bilər və baza 5-in gücünə çevrilir. Bundan əlavə, sərbəst termin 3 də loqarifm kimi təqdim edilə bilər - bunu bizim qeydimizdən müşahidə etmək çox asandır.

Özünüz mühakimə edin: istənilən rəqəm 10-cu bazaya log kimi təqdim edilə bilər:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Alınan dəyişiklikləri nəzərə alaraq orijinal problemi yenidən yazaq:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Qarşımızda yenə kanonik forma var və biz onu çevrilmə mərhələsini keçərək əldə etdik, yəni ən sadə loqarifmik tənlik bizimlə heç yerdə gəlmədi.

Dərsin lap əvvəlində mən də bundan danışırdım. Kanonik forma əksər məktəb müəllimləri tərəfindən verilən standart məktəb düsturundan daha geniş sinif problemləri həll etməyə imkan verir.

Hamısı budur, ondalık loqarifmin işarəsindən xilas oluruq və sadə xətti tikinti əldə edirik:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Hər şey! Problem həll olundu.

Əhatə dairəsi haqqında qeyd

Burada mən tərif sahəsi haqqında mühüm qeyd etmək istərdim. Şübhəsiz ki, indi deyən tələbələr və müəllimlər var: "İfadələri loqarifmlərlə həll edərkən, f (x) arqumentinin sıfırdan böyük olması lazım olduğunu xatırlamaq vacibdir!" Bu baxımdan məntiqi sual yaranır: nə üçün nəzərdən keçirilən problemlərin heç birində bu bərabərsizliyin təmin olunmasını tələb etmədik?

Narahat olma. Bu hallarda əlavə köklər görünməyəcəkdir. Və bu, həlli sürətləndirməyə imkan verən başqa bir böyük hiylədir. Sadəcə bilin ki, əgər problemdə x dəyişəni yalnız bir yerdə (daha doğrusu, bir və yeganə loqarifmin tək və yeganə arqumentində) baş verirsə və bizim vəziyyətimizdə x dəyişəni başqa heç bir yerdə baş vermirsə, o zaman domenini yazın. ehtiyac yoxdurçünki avtomatik işləyəcək.

Özünüz mühakimə edin: birinci tənlikdə biz əldə etdik ki, 3x - 1, yəni arqument 8-ə bərabər olmalıdır. Bu avtomatik olaraq o deməkdir ki, 3x - 1 sıfırdan böyük olacaq.

Eyni müvəffəqiyyətlə yaza bilərik ki, ikinci halda x 5 2-yə bərabər olmalıdır, yəni, əlbəttə ki, sıfırdan böyükdür. Və üçüncü halda, burada x + 3 = 25.000, yəni, yenidən, açıq-aydın sıfırdan böyükdür. Başqa sözlə, əhatə dairəsi avtomatikdir, ancaq x yalnız bir loqarifmin arqumentində baş verərsə.

Sadə problemləri həll etmək üçün bilməli olduğunuz hər şey budur. Təkcə bu qayda transformasiya qaydaları ilə birlikdə çox geniş bir sinif problemləri həll etməyə imkan verəcəkdir.

Ancaq gəlin dürüst olaq: bu texnikanı nəhayət başa düşmək üçün, loqarifmik tənliyin kanonik formasını tətbiq etməyi öyrənmək üçün sadəcə bir video dərsinə baxmaq kifayət deyil. Beləliklə, seçimləri indi yükləyin müstəqil qərar, bu video təlimata əlavə olunur və bu iki müstəqil işdən ən azı birini həll etməyə başlayın.

Bu sizə bir neçə dəqiqə çəkəcək. Ancaq bu video təlimatına baxdığınız təqdirdə belə bir təlimin təsiri daha yüksək olacaqdır.

Ümid edirəm ki, bu dərs sizə loqarifmik tənlikləri başa düşməyə kömək edəcək. Kanonik formanı tətbiq edin, loqarifmlərlə işləmə qaydalarından istifadə edərək ifadələri sadələşdirin - və heç bir tapşırıqdan qorxmayacaqsınız. Və bu gün üçün əlimdə olan şey budur.

Əhatə dairəsinin nəzərə alınması

İndi isə loqarifmik funksiyanın oblastından, eləcə də bunun loqarifmik tənliklərin həllinə necə təsir etdiyindən danışaq. Formanın qurulmasını nəzərdən keçirin

log a f(x) = b

Belə bir ifadə ən sadə adlanır - onun yalnız bir funksiyası var və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənindən asılı olan funksiya deyil. Çox sadə həll olunur. Yalnız formuladan istifadə etməlisiniz:

b = log a a b

Bu düstur loqarifmin əsas xassələrindən biridir və orijinal ifadəmizi əvəz etdikdə aşağıdakıları əldə edirik:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Bu, artıq məktəb dərsliklərindən tanış olan düsturdur. Yəqin ki, bir çox tələbələrin sualı olacaq: orijinal ifadədəki f ( x ) funksiyası log işarəsinin altında olduğu üçün ona aşağıdakı məhdudiyyətlər qoyulur:

f(x) > 0

Bu məhdudiyyət etibarlıdır, çünki mənfi ədədlərin loqarifmi mövcud deyil. Beləliklə, bəlkə bu məhdudiyyətə görə cavablar üçün bir yoxlama təqdim etməlisiniz? Bəlkə onları mənbədə əvəz etmək lazımdır?

Xeyr, ən sadə loqarifmik tənliklərdə əlavə yoxlamaya ehtiyac yoxdur. Və buna görə. Son düsturumuza nəzər salın:

f(x) = a b

Fakt budur ki, a sayı istənilən halda 0-dan böyükdür - bu tələb də loqarifm tərəfindən qoyulur. a sayı əsasdır. Bu halda b sayına heç bir məhdudiyyət qoyulmur. Amma bunun heç bir əhəmiyyəti yoxdur, çünki müsbət rəqəmi hansı dərəcədə qaldırsaq da, çıxışda yenə də müsbət rəqəm alacağıq. Beləliklə, f (x) > 0 tələbi avtomatik yerinə yetirilir.

Həqiqətən yoxlamağa dəyər olan, log işarəsi altındakı funksiyanın əhatə dairəsidir. Olduqca mürəkkəb dizaynlar ola bilər və onların həlli prosesində mütləq onlara əməl etməlisiniz. Gəlin nəzər salaq.

Birinci tapşırıq:

Birinci addım: sağdakı kəsri çevirin. Biz əldə edirik:

Loqarifmin işarəsindən xilas oluruq və adi irrasional tənliyi alırıq:

Əldə edilən köklərdən yalnız birincisi bizə uyğun gəlir, çünki ikinci kök sıfırdan azdır. Yeganə cavab 9 rəqəmi olacaq. Budur, problem həll olundu. Loqarifm işarəsi altındakı ifadənin 0-dan böyük olması üçün heç bir əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki o, sadəcə 0-dan böyük deyil, tənliyin şərtinə görə 2-yə bərabərdir. Buna görə də “sıfırdan böyük” tələbi avtomatik olaraq həyata keçirilir. yerinə yetirildi.

İkinci tapşırığa keçək:

Burada hər şey eynidir. Üçlüyü əvəz edərək tikintini yenidən yazırıq:

Loqarifmin işarələrindən xilas oluruq və irrasional tənlik alırıq:

Məhdudiyyətləri nəzərə alaraq hər iki hissəni kvadratlaşdırırıq və alırıq:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Yaranan tənliyi diskriminant vasitəsilə həll edirik:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Lakin x = −6 bizə uyğun gəlmir, çünki bu ədədi bərabərsizliyimizdə əvəz etsək, alırıq:

−6 + 4 = −2 < 0

Bizim vəziyyətimizdə onun 0-dan böyük və ya ekstremal hallarda bərabər olması tələb olunur. Lakin x = −1 bizə uyğundur:

−1 + 4 = 3 > 0

Bizim vəziyyətimizdə yeganə cavab x = −1-dir. Bütün həll yolu budur. Gəlin hesablamalarımızın ən əvvəlinə qayıdaq.

Bu dərsdən çıxan əsas nəticə ondan ibarətdir ki, ən sadə loqarifmik tənliklərdə funksiyanın hədlərini yoxlamaq tələb olunmur. Çünki həll prosesində bütün məhdudiyyətlər avtomatik olaraq yerinə yetirilir.

Bununla belə, bu, heç bir halda yoxlamanı tamamilə unuda biləcəyiniz anlamına gəlmir. Loqarifmik tənlik üzərində işləmə prosesində, bu gün iki fərqli nümunədə gördüyümüz sağ tərəf üçün öz məhdudiyyətləri və tələbləri olan irrasional bir tənliyə çevrilə bilər.

Bu cür problemləri həll etməkdə çekinmeyin və mübahisədə bir kök varsa xüsusilə diqqətli olun.

Müxtəlif əsaslı loqarifmik tənliklər

Biz loqarifmik tənlikləri öyrənməyə və daha çox həll etməyin dəbdə olduğu daha iki maraqlı fəndləri təhlil etməyə davam edirik. mürəkkəb strukturlar. Ancaq əvvəlcə ən sadə vəzifələrin necə həll edildiyini xatırlayaq:

log a f(x) = b

Bu qeyddə a və b sadəcə ədədlərdir və f (x) funksiyasında x dəyişəni olmalıdır və yalnız orada, yəni x yalnız arqumentdə olmalıdır. Bu cür loqarifmik tənlikləri kanonik formadan istifadə edərək çevirəcəyik. Bunun üçün qeyd edirik ki

b = log a a b

Və a b sadəcə bir arqumentdir. Bu ifadəni aşağıdakı kimi yenidən yazaq:

log a f(x) = log a a b

Biz məhz buna nail olmağa çalışırıq ki, həm solda, həm də sağda a əsasına loqarifm olsun. Bu halda, biz, obrazlı desək, log işarələrini kəsə bilərik və riyaziyyat baxımından, sadəcə olaraq, arqumentləri bərabərləşdirdiyimizi söyləyə bilərik:

f(x) = a b

Nəticədə daha asan həll ediləcək yeni bir ifadə alırıq. Gəlin bu qaydanı bugünkü tapşırıqlarımıza tətbiq edək.

Beləliklə, ilk dizayn:

İlk növbədə qeyd edirəm ki, sağda kəsr var, məxrəci logdur. Belə bir ifadə gördüyünüz zaman loqarifmlərin gözəl xüsusiyyətini xatırlamağa dəyər:

Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu o deməkdir ki, istənilən loqarifm hər hansı c əsası ilə iki loqarifmin bölünməsi kimi təqdim edilə bilər. Təbii ki, 0< с ≠ 1.

Beləliklə: c dəyişəni dəyişənə bərabər olduqda bu düsturun bir gözəl xüsusi halı var b. Bu halda, formanın tikintisini alırıq:

Tənliyimizdə sağdakı işarədən müşahidə etdiyimiz bu konstruksiyadır. Bu konstruksiyanı log a b ilə əvəz edək, alırıq:

Başqa sözlə, ilkin tapşırıqla müqayisədə biz arqumenti və loqarifmin əsasını dəyişdirdik. Əvəzində fraksiyanı çevirməli olduq.

Xatırlayırıq ki, istənilən dərəcə aşağıdakı qaydaya əsasən bazadan çıxarıla bilər:

Başqa sözlə, əsasın dərəcəsi olan k əmsalı ters çevrilmiş kəsr kimi çıxarılır. Onu tərs kəsr kimi çıxaraq:

Kəsr amili qabağında qala bilməz, çünki bu halda biz bu qeydi kanonik forma kimi təqdim edə bilməyəcəyik (axı, kanonik formada ikinci loqarifmin qarşısında əlavə amil yoxdur). Buna görə də arqumentdə 1/4 kəsri güc kimi qoyaq:

İndi biz əsasları eyni olan arqumentləri bərabərləşdiririk (və həqiqətən də eyni əsaslara sahibik) və yazırıq:

x + 5 = 1

x = −4

Hamısı budur. Birinci loqarifmik tənliyin cavabını aldıq. Diqqət edin: orijinal məsələdə x dəyişəni yalnız bir logda baş verir və o, öz arqumentindədir. Buna görə də, domeni yoxlamağa ehtiyac yoxdur və x = −4 nömrəmiz həqiqətən cavabdır.

İndi ikinci ifadəyə keçək:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Burada adi loqarifmlərə əlavə olaraq lg f (x) ilə işləməli olacağıq. Belə bir tənliyi necə həll etmək olar? Hazırlıqsız bir tələbəyə bunun bir növ qalay olduğu görünə bilər, amma əslində hər şey elementar şəkildə həll olunur.

lg 2 log 2 termininə diqqətlə baxın 7. Bu barədə nə deyə bilərik? log və lg-nin əsasları və arqumentləri eynidir və bu, bəzi ipuçlarını verməlidir. Loqarifmin işarəsi altından dərəcələrin necə çıxarıldığını bir daha xatırlayaq:

log a b n = nlog a b

Başqa sözlə desək, arqumentdəki b rəqəminin gücü nə idi logun özü qarşısında faktora çevrilir. Gəlin bu düsturu lg 2 log 2 7 ifadəsinə tətbiq edək. lg 2-dən qorxma - bu, ən çox yayılmış ifadədir. Bunu belə yenidən yaza bilərsiniz:

Onun üçün hər hansı digər loqarifmə aid olan bütün qaydalar etibarlıdır. Xüsusilə, arqumentin gücünə qarşıdakı faktor daxil edilə bilər. Gəlin yazaq:

Çox vaxt tələbələr bu hərəkəti görmürlər, çünki bir log digərinin işarəsi altında daxil olmaq yaxşı deyil. Əslində bunda heç bir cinayət yoxdur. Üstəlik, vacib bir qaydanı xatırlayırsınızsa, hesablamaq asan olan bir düstur alırıq:

Bu düstur həm tərif kimi, həm də onun xüsusiyyətlərindən biri kimi qəbul edilə bilər. Hər halda, loqarifmik tənliyi çevirsəniz, bu düsturla hər hansı bir ədədin log şəklində təqdim edilməsi ilə eyni şəkildə bilməlisiniz.

Vəzifəmizə qayıdırıq. Bərabər işarənin sağındakı birinci həddin sadəcə olaraq lg 7-yə bərabər olacağını nəzərə alaraq onu yenidən yazırıq. Bizdə:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

lg 7-ni sola keçirək, əldə edirik:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Soldakı ifadələri çıxarırıq, çünki onlar eyni bazaya malikdirlər:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

İndi isə əldə etdiyimiz tənliyə daha yaxından nəzər salaq. Praktik olaraq kanonik formadır, lakin sağda −3 amili var. Gəlin bunu düzgün lg arqumentinə qoyaq:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, ona görə də lg işarələrini kəsirik və arqumentləri bərabərləşdiririk:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Hamısı budur! İkinci loqarifmik tənliyi həll etdik. Bu halda heç bir əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki orijinal məsələdə x yalnız bir arqumentdə mövcud idi.

İcazə verin, bu dərsin əsas məqamlarını təkrar edim.

Bu səhifədə loqarifmik tənliklərin həllinə həsr olunmuş bütün dərslərdə öyrənilən əsas düstur kanonik formadır. Məktəb dərsliklərinin çoxunun sizə bu cür problemləri fərqli şəkildə həll etməyin yollarını öyrətdiyinə görə ümidinizi kəsməyin. Bu alət çox səmərəli işləyir və dərsimizin əvvəlində öyrəndiyimiz ən sadə problemlərdən daha geniş sinif problemləri həll etməyə imkan verir.

Bundan əlavə, loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əsas xüsusiyyətləri bilmək faydalı olacaq. Məhz:

Bir bazaya keçmək üçün düstur və jurnalı çevirdiyimiz zaman xüsusi bir vəziyyət (bu, ilk tapşırıqda bizim üçün çox faydalı oldu);
Loqarifmin işarəsi altında səlahiyyətlərin daxil edilməsi və çıxarılması düsturu. Burada bir çox tələbələr ilişib qalır və boşluq görmürlər ki, çıxarılan və gətirilən gücün özündə log f (x) ola bilər. Bununla səhv bir şey yoxdur. Bir jurnalı digərinin işarəsinə görə təqdim edə bilərik və eyni zamanda problemin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirə bilərik, ikinci halda müşahidə etdiyimiz budur.

Sonda əlavə etmək istərdim ki, bu halların hər birində əhatə dairəsini yoxlamaq tələb olunmur, çünki hər yerdə x dəyişəni logun yalnız bir işarəsində mövcuddur və eyni zamanda onun arqumentindədir. Nəticədə, bütün domen tələbləri avtomatik olaraq yerinə yetirilir.

Dəyişən baza ilə problemlər

Bu gün bir çox tələbələr üçün qeyri-standart görünən, tamamilə həll olunmayan loqarifmik tənlikləri nəzərdən keçirəcəyik. Söhbət rəqəmlərə deyil, dəyişənlərə və hətta funksiyalara əsaslanan ifadələrdən gedir. Bu cür konstruksiyaları standart texnikamızdan istifadə edərək, yəni kanonik forma vasitəsilə həll edəcəyik.

Başlamaq üçün, adi ədədlərə əsaslanan ən sadə məsələlərin necə həll edildiyini xatırlayaq. Beləliklə, ən sadə tikinti adlanır

log a f(x) = b

Bu cür problemləri həll etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərik:

b = log a a b

Orijinal ifadəmizi yenidən yazırıq və alırıq:

log a f(x) = log a a b

Sonra arqumentləri bərabərləşdiririk, yəni yazırıq:

f(x) = a b

Beləliklə, biz log işarəsindən xilas oluruq və adi problemi həll edirik. Bu halda məhlulda alınan köklər ilkin loqarifmik tənliyin kökləri olacaqdır. Bundan əlavə, həm sol, həm də sağ eyni əsasla eyni loqarifmdə olduqda qeyd kanonik forma adlanır. Məhz bu rekorda görə biz bugünkü tikintiləri azaltmağa çalışacağıq. Beləliklə, gedək.

Birinci tapşırıq:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1-i log x − 2 (x − 2) 1 ilə əvəz edin. Arqumentdə müşahidə etdiyimiz dərəcə, əslində, bərabər işarəsinin sağında olan b rəqəmidir. Beləliklə, ifadəmizi yenidən yazaq. Biz əldə edirik:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Biz nə görürük? Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, buna görə də arqumentləri etibarlı şəkildə bərabərləşdirə bilərik. Biz əldə edirik:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Ancaq həll yolu bununla bitmir, çünki bu tənlik ilkin tənliyə bərabər deyil. Axı, nəticədə qurulan quruluş bütün say xəttində müəyyən edilmiş funksiyalardan ibarətdir və orijinal loqarifmlərimiz hər yerdə və həmişə deyil.

Buna görə də tərif sahəsini ayrıca yazmalıyıq. Gəlin daha müdrik olmayaq və əvvəlcə bütün tələbləri yazaq:

Birincisi, loqarifmlərin hər birinin arqumenti 0-dan böyük olmalıdır:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

İkincisi, baza yalnız 0-dan böyük deyil, həm də 1-dən fərqli olmalıdır:

x − 2 ≠ 1

Nəticədə sistemi əldə edirik:

Ancaq narahat olmayın: loqarifmik tənlikləri işləyərkən belə bir sistem çox sadələşdirilə bilər.

Özünüz mühakimə edin: bir tərəfdən bizdən kvadrat funksiyanın sıfırdan böyük olması tələb olunur, digər tərəfdən isə bu kvadrat funksiya müəyyən xətti ifadəyə bərabər tutulur ki, onun da sıfırdan böyük olması tələb olunur.

Bu halda x − 2 > 0 olmasını tələb etsək, o zaman 2x 2 − 13x + 18 > 0 tələbi də avtomatik ödəniləcək.Ona görə də kvadrat funksiyası olan bərabərsizliyi təhlükəsiz şəkildə kəsə bilərik. Beləliklə, sistemimizdəki ifadələrin sayı üçə qədər azalacaq.

Əlbəttə ki, biz xətti bərabərsizliyi də kəsə bilərik, yəni x - 2 > 0-ın üstündən xətt çəkə və 2x 2 - 13x + 18 > 0 olmasını tələb edə bilərik. Amma etiraf etməlisiniz ki, ən sadə xətti bərabərsizliyi həll etmək daha sürətli və asandır, kvadratdan daha çox, hətta bütün bu sistemin həlli nəticəsində eyni kökləri alsaq belə.

Ümumiyyətlə, mümkün olduqda hesablamaları optimallaşdırmağa çalışın. Loqarifmik tənliklər vəziyyətində isə ən çətin bərabərsizlikləri kəsin.

Gəlin sistemimizi yenidən yazaq:

Budur, üç ifadədən ibarət belə bir sistemdir, onlardan ikisini, əslində, artıq başa düşmüşük. Kvadrat tənliyi ayrıca yazaq və həll edək:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Qarşımızda azaldılmış kvadrat trinomial var və buna görə də Vyeta düsturlarından istifadə edə bilərik. Biz əldə edirik:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

İndi sistemimizə qayıdaq, görürük ki, x = 2 bizə uyğun deyil, çünki bizdən x-in 2-dən ciddi şəkildə böyük olması tələb olunur.

Ancaq x \u003d 5 bizə olduqca uyğundur: 5 rəqəmi 2-dən böyükdür və eyni zamanda 5 3-ə bərabər deyil. Buna görə də, bu sistemin yeganə həlli x \u003d 5 olacaqdır.

Hər şey, vəzifə ODZ nəzərə alınmaqla həll edilir. İkinci tənliyə keçək. Burada daha maraqlı və mənalı hesablamalar gözləyirik:

İlk addım: son dəfə olduğu kimi, biz bütün bu işi kanonik formaya gətiririk. Bunun üçün 9 rəqəmini aşağıdakı kimi yaza bilərik:

Kökü olan bazaya toxunmaq olmaz, amma arqumenti çevirmək daha yaxşıdır. Rasional göstərici ilə kökdən gücə keçək. Gəlin yazaq:

İcazə verin, bütün böyük loqarifmik tənliyimizi yenidən yazmayım, sadəcə olaraq arqumentləri bərabərləşdirək:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Bizdən əvvəl yenidən azaldılmış kvadrat trinomial var, biz Vyeta düsturlarından istifadə edəcəyik və yazacağıq:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Beləliklə, biz kökləri aldıq, lakin heç kim bizə onların orijinal loqarifmik tənliyə uyğun olacağına zəmanət vermədi. Axı, log işarələri əlavə məhdudiyyətlər qoyur (burada sistemi yazmaq məcburiyyətində qalacağıq, lakin bütün tikintinin çətinliyinə görə mən tərif sahəsini ayrıca hesablamaq qərarına gəldim).

Hər şeydən əvvəl, arqumentlərin 0-dan böyük olması lazım olduğunu unutmayın, yəni:

Bunlar tərif sahəsinin qoyduğu tələblərdir.

Dərhal qeyd edirik ki, sistemin ilk iki ifadəsini bir-birinə bərabərləşdirdiyimiz üçün onlardan hər hansı birinin üstündən xətt çəkə bilərik. Gəlin birincinin üstündən xətt çəkək, çünki ikincidən daha qorxulu görünür.

Əlavə olaraq qeyd edək ki, ikinci və üçüncü bərabərsizliklərin həlli eyni dəstlər olacaq (bəzi ədədin kubu sıfırdan böyükdür, əgər bu ədədin özü sıfırdan böyükdürsə; üçüncü dərəcənin kökü ilə eynilə - bu bərabərsizliklər tamamilə oxşardır, ona görə də onlardan birinin üstündən xətt çəkə bilərik).

Ancaq üçüncü bərabərsizliklə bu işləməyəcək. Sol tərəfdəki radikalın işarəsindən xilas olaq, bunun üçün hər iki hissəni bir kuba qaldırırıq. Biz əldə edirik:

Beləliklə, aşağıdakı tələbləri alırıq:

−2 ≠ x > −3

Köklərimizdən hansı: x 1 = -3 və ya x 2 = -1 bu tələblərə cavab verir? Aydındır ki, yalnız x = −1, çünki x = −3 birinci bərabərsizliyi təmin etmir (çünki bizim bərabərsizliyimiz sərtdir). Ümumilikdə problemimizə qayıdaraq bir kök alırıq: x = −1. Budur, problem həll olundu.

Bir daha bu tapşırığın əsas məqamları:

Kanonik formadan istifadə edərək loqarifmik tənlikləri tətbiq etmək və həll etməkdən çekinmeyin. Belə qeyd aparan və ilkin məsələdən birbaşa log a f ( x ) = b kimi konstruksiyaya getməyən tələbələr harasa tələsən, hesablamaların aralıq addımlarını atlayanlarla müqayisədə xeyli az səhvə yol verirlər;
Loqarifmdə dəyişən baza görünən kimi problem ən sadə olmaqdan çıxır. Buna görə də onu həll edərkən tərif sahəsini nəzərə almaq lazımdır: arqumentlər sıfırdan böyük olmalıdır və əsaslar nəinki 0-dan böyük olmalıdır, həm də 1-ə bərabər olmamalıdır.

Yekun cavablara son tələbləri müxtəlif yollarla qoya bilərsiniz. Məsələn, bütün domen tələblərini ehtiva edən bütöv bir sistemi həll etmək mümkündür. Digər tərəfdən, əvvəlcə problemin özünü həll edə, sonra tərif sahəsi haqqında xatırlaya, onu ayrı-ayrılıqda sistem şəklində işləyə və əldə edilmiş köklərə tətbiq edə bilərsiniz.

Müəyyən bir loqarifmik tənliyi həll edərkən hansı yolu seçmək sizin ixtiyarınızdadır. Hər halda cavab eyni olacaq.

Bildiyiniz kimi, ifadələri dərəcələrlə vurarkən onların göstəriciləri həmişə toplanır (a b * a c = a b + c). Bu riyazi qanunu Arximed çıxarmışdır və sonralar 8-ci əsrdə riyaziyyatçı Virasen tam ədədlər cədvəlini yaratmışdır. Məhz onlar loqarifmlərin sonrakı kəşfinə xidmət etmişlər. Bu funksiyadan istifadə nümunələri, demək olar ki, hər yerdə tapıla bilər, burada sadə toplamaya çətin vurmanı sadələşdirmək lazımdır. Bu yazını oxumağa 10 dəqiqə vaxt ayırsanız, sizə loqarifmlərin nə olduğunu və onlarla necə işləməyi izah edəcəyik. Sadə və əlçatan dil.

Riyaziyyatda tərif

Loqarifm aşağıdakı formanın ifadəsidir: log ab=c, yəni hər hansı qeyri-mənfi ədədin (yəni hər hansı müsbət) “b”-nin “a” əsasına görə loqarifmi “c”-nin gücü hesab olunur. , bunun üçün "a" bazası qaldırılmalıdır ki, sonda "b" dəyəri alınsın. Nümunələrdən istifadə edərək loqarifmanı təhlil edək, tutaq ki, log 2 ifadəsi var 8. Cavabı necə tapmaq olar? Çox sadədir, elə bir dərəcə tapmaq lazımdır ki, 2-dən tələb olunan dərəcəyə qədər 8-i alırsınız. Fikrinizdə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra 3 rəqəmini alırıq! Və haqlı olaraq belədir, çünki 2-nin 3-ün qüvvəsi cavabda 8 rəqəmini verir.

Loqarifmlərin növləri

Bir çox şagird və tələbələr üçün bu mövzu mürəkkəb və anlaşılmaz görünür, amma əslində loqarifmlər o qədər də qorxulu deyil, əsas odur ki, onların ümumi mənasını başa düşmək və xassələrini və bəzi qaydaları yadda saxlamaq lazımdır. Üç fərqli loqarifmik ifadə var:

Təbii loqarifm ln a, burada əsas Eyler ədədidir (e = 2.7).
Ondalık a, burada əsas 10-dur.
İstənilən b ədədinin a>1 əsasına loqarifmi.

Onların hər biri standart şəkildə həll olunur, o cümlədən loqarifmik teoremlərdən istifadə edərək sadələşdirmə, azalma və sonradan bir loqarifmə endirmə. Loqarifmlərin düzgün dəyərlərini əldə etmək üçün onların xassələrini və qərarlarında hərəkətlərin ardıcıllığını yadda saxlamaq lazımdır.

Qaydalar və bəzi məhdudiyyətlər

Riyaziyyatda aksioma kimi qəbul edilən, yəni müzakirə mövzusu olmayan və doğru olan bir neçə qayda-məhdudiyyət var. Məsələn, ədədləri sıfıra bölmək mümkün deyil, mənfi ədədlərdən cüt dərəcənin kökünü çıxarmaq da mümkün deyil. Loqarifmlərin də öz qaydaları var, onlara əməl etməklə hətta uzun və tutumlu loqarifmik ifadələrlə işləməyi asanlıqla öyrənə bilərsiniz:

"a" bazası həmişə sıfırdan böyük olmalı və eyni zamanda 1-ə bərabər olmamalıdır, əks halda ifadə öz mənasını itirəcək, çünki "1" və "0" istənilən dərəcədə həmişə öz qiymətlərinə bərabərdir;
a > 0, onda a b > 0 olarsa, belə çıxır ki, "c" sıfırdan böyük olmalıdır.

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

Məsələn, 10 x \u003d 100 tənliyinə cavab tapmaq tapşırığı verilir. Bu, çox asandır, 100 aldığımız on rəqəmini qaldıraraq belə bir güc seçmək lazımdır. Bu, əlbəttə ki, 10 2-dir. \u003d 100.

İndi bu ifadəni loqarifmik kimi təqdim edək. Biz log 10 100 = 2 alırıq. Loqarifmləri həll edərkən bütün hərəkətlər praktiki olaraq verilmiş ədədi əldə etmək üçün loqarifmin əsasının hansı dərəcədə daxil edilməli olduğunu tapmaq üçün birləşir.

Naməlum dərəcənin dəyərini dəqiq müəyyən etmək üçün dərəcələr cədvəli ilə işləməyi öyrənməlisiniz. Bu belə görünür:

Gördüyünüz kimi, texniki zehniyyətiniz və vurma cədvəli haqqında məlumatınız varsa, bəzi eksponentləri intuitiv olaraq təxmin etmək olar. Bununla birlikdə, daha böyük dəyərlər bir güc masası tələb edəcəkdir. Onu hətta mürəkkəb riyazi mövzularda ümumiyyətlə heç nə başa düşməyənlər də istifadə edə bilər. Sol sütunda rəqəmlər var (a bazası), nömrələrin yuxarı cərgəsi a rəqəminin qaldırıldığı c gücünün dəyəridir. Hüceyrələrdəki kəsişmədə cavab olan nömrələrin dəyərləri müəyyən edilir (a c = b). Məsələn, 10 rəqəmi olan ilk xananı götürək və onun kvadratına çevirək, iki xanamızın kəsişməsində göstərilən 100 qiymətini alırıq. Hər şey o qədər sadə və asandır ki, hətta ən real humanist də başa düşəcək!

Tənliklər və bərabərsizliklər

Belə çıxır ki, müəyyən şərtlərdə göstərici loqarifmdir. Buna görə də istənilən riyazi ədədi ifadələr loqarifmik tənlik kimi yazıla bilər. Məsələn, 3 4 =81 81-in 3 əsasına loqarifm kimi yazıla bilər ki, bu da dörddür (log 3 81 = 4). Mənfi güclər üçün qaydalar eynidir: 2 -5 = 1/32 loqarifm kimi yazırıq, log 2 (1/32) = -5 alırıq. Riyaziyyatın ən maraqlı bölmələrindən biri “loqarifmlər” mövzusudur. Tənliklərin nümunələrini və həllərini xassələrini öyrəndikdən dərhal sonra bir az aşağı nəzərdən keçirəcəyik. İndi bərabərsizliklərin necə göründüyünə və onları tənliklərdən necə ayırd etməyə baxaq.

Aşağıdakı formanın ifadəsi verilmişdir: log 2 (x-1) > 3 - loqarifmik bərabərsizlikdir, çünki naməlum "x" qiyməti loqarifmin işarəsi altındadır. Həm də ifadədə iki kəmiyyət müqayisə edilir: ikinci bazada istədiyiniz ədədin loqarifmi üç rəqəmindən böyükdür.

Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər arasındakı ən mühüm fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmalı tənliklər (məsələn, 2 x = √9 loqarifmi) cavabda bir və ya bir neçə xüsusi ədədi dəyəri nəzərdə tutur, bərabərsizliyi həll edərkən, həm də məqbul dəyərlər və bu funksiyanı pozan nöqtələr. Nəticə etibarı ilə cavab tənliyin cavabında olduğu kimi sadə fərdi ədədlər toplusu deyil, davamlı sıra və ya ədədlər toplusudur.

Loqarifmlər haqqında əsas teoremlər

Loqarifmin qiymətlərini tapmaq üçün ibtidai tapşırıqları həll edərkən, onun xüsusiyyətləri məlum olmaya bilər. Lakin loqarifmik tənliklərdən və ya bərabərsizliklərdən söhbət gedəndə, ilk növbədə, loqarifmanın bütün əsas xassələrini aydın başa düşmək və praktikada tətbiq etmək lazımdır. Tənlik nümunələri ilə daha sonra tanış olacağıq, əvvəlcə hər bir xassəni daha ətraflı təhlil edək.

Əsas şəxsiyyət belə görünür: a logaB =B. O, yalnız a 0-dan böyükdürsə, birə bərabər deyilsə və B sıfırdan böyükdürsə tətbiq edilir.
Məhsulun loqarifmini aşağıdakı düsturla təqdim etmək olar: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu halda ilkin şərt: d, s 1 və s 2 > 0; a≠1. Bu loqarifm düsturuna misallar və həll yolu ilə sübut verə bilərsiniz. 1 = f 1 və log kimi 2 = f 2, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2. Alırıq ki, s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (dərəcə xassələri) ), və daha sonra tərifinə görə: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log 2 kimi, sübut edilməli idi.
Hissənin loqarifmi belə görünür: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Düstur şəklində olan teorem aşağıdakı formanı alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu düstur “loqarifmin dərəcəsinin xassəsi” adlanır. O, adi dərəcələrin xassələrinə bənzəyir və təəccüblü deyil, çünki bütün riyaziyyat müntəzəm postulatlara əsaslanır. Gəlin sübuta baxaq.

Qoy log a b \u003d t, belə çıxır a t \u003d b. Hər iki hissəni m gücünə qaldırsanız: a tn = b n ;

lakin a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan log a q b n = (n*t)/t, sonra log a q b n = n/q log a b. Teorem sübut edilmişdir.

Problemlər və bərabərsizliklər nümunələri

Loqarifm məsələlərinin ən çox yayılmış növləri tənlik və bərabərsizlik nümunələridir. Onlar demək olar ki, bütün problem kitablarında olur və riyaziyyatdan imtahanların məcburi hissəsinə də daxil edilir. Universitetə qəbul və ya keçid üçün qəbul imtahanları riyaziyyatda belə məsələləri düzgün həll etməyi bilmək lazımdır.

Təəssüf ki, loqarifmin naməlum dəyərinin həlli və müəyyən edilməsi üçün vahid plan və ya sxem yoxdur, lakin hər bir riyazi bərabərsizliyə və ya loqarifmik tənliyə müəyyən qaydalar tətbiq edilə bilər. Hər şeydən əvvəl, ifadənin sadələşdirilə və ya ümumi formaya salına biləcəyini öyrənməlisiniz. Uzun müddət sadələşdirin loqarifmik ifadələrƏgər onların xassələrindən düzgün istifadə etsəniz, edə bilərsiniz. Gəlin tezliklə onlarla tanış olaq.

Loqarifmik tənlikləri həll edərkən qarşımızda hansı loqarifm olduğunu müəyyən etmək lazımdır: ifadə nümunəsində təbii loqarifm və ya onluq ola bilər.

Budur ln100, ln1026 nümunələri. Onların həlli ondan ibarətdir ki, 10-cu bazanın müvafiq olaraq 100 və 1026-ya bərabər olacağını müəyyən etmək lazımdır. Təbii loqarifmlərin həlli üçün loqarifmik eyniliklər və ya onların xassələri tətbiq edilməlidir. Müxtəlif tipli loqarifmik məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.

Loqarifm Düsturlarından Necə İstifadə Edilir: Nümunələr və Həlllərlə

Beləliklə, loqarifmlər üzrə əsas teoremlərdən istifadə nümunələrinə baxaq.

Məhsulun loqarifminin xüsusiyyəti genişləndirmək lazım olan vəzifələrdə istifadə edilə bilər böyük əhəmiyyət kəsb edir b ədədlərini daha sadə amillərə çevirin. Məsələn, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cavab 9-dur.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüyünüz kimi, loqarifmin dərəcəsinin dördüncü xassəsindən istifadə edərək biz ilk baxışdan mürəkkəb və həll olunmayan ifadəni həll edə bildik. Yalnız bazanı faktorlara ayırmaq və sonra eksponent dəyərləri loqarifmin işarəsindən çıxarmaq lazımdır.

İmtahandan tapşırıqlar

Logarifmlərə tez-tez qəbul imtahanlarında rast gəlinir, xüsusən Vahid Dövlət İmtahanında (bütün məktəb məzunları üçün dövlət imtahanı) bir çox logarifmik problem var. Adətən bu tapşırıqlar təkcə A hissəsində (imtahanın ən asan test hissəsi) deyil, həm də C hissəsində (ən çətin və həcmli tapşırıqlar) mövcuddur. İmtahan “Təbii loqarifmlər” mövzusunda dəqiq və mükəmməl biliyi nəzərdə tutur.

Nümunələr və problemlərin həlli rəsmi şəxslərdən götürülür İSTİFADƏ seçimləri. Bu cür vəzifələrin necə həll edildiyinə baxaq.

Verilmiş log 2 (2x-1) = 4. Həlli:
ifadəni bir az sadələşdirərək yenidən yazaq log 2 (2x-1) = 2 2 , loqarifmin tərifindən alırıq ki, 2x-1 = 2 4 , buna görə də 2x = 17; x = 8.5.

Həll çətin və çaşdırıcı olmaması üçün bütün loqarifmləri eyni bazaya endirmək daha yaxşıdır.
Loqarifmin işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət kimi göstərilir, ona görə də loqarifmin işarəsi altında olan və əsası olan ifadənin göstəricisinin göstəricisi çıxarıldıqda loqarifmin altında qalan ifadə müsbət olmalıdır.

Riyaziyyatdan yekun imtahana hazırlıq mühüm bölməni - “Loqarifmləri” əhatə edir. Bu mövzudan tapşırıqlar mütləq imtahanda yer alır. Ötən illərin təcrübəsi göstərir ki, loqarifmik tənliklər bir çox məktəblilər üçün çətinlik yaradırdı. Buna görə də, müxtəlif səviyyəli hazırlıqlı tələbələr düzgün cavabı necə tapmalı və tez bir zamanda onların öhdəsindən gəlməlidirlər.

"Şkolkovo" təhsil portalının köməyi ilə sertifikat imtahanından uğurla keçin!

Birləşməyə hazırlıq dövlət imtahanı orta məktəb məzunlarına test məsələlərinin uğurlu həlli üçün ən dolğun və dəqiq məlumat verən etibarlı mənbə lazımdır. Bununla belə, dərslik həmişə əlinizin altında olmur və lazımi qayda və düsturları internetdə axtarmaq çox vaxt vaxt aparır.

"Şkolkovo" təhsil portalı istənilən vaxt istənilən yerdə imtahana hazırlaşmaq imkanı verir. Saytımız loqarifmlər, eləcə də bir və bir neçə naməlumlar haqqında çoxlu məlumatların təkrarlanması və mənimsənilməsi üçün ən əlverişli yanaşma təklif edir. Asan tənliklərlə başlayın. Əgər onlarla çətinlik çəkmədən öhdəsindən gəldinizsə, daha çətin olanlara keçin. Müəyyən bir bərabərsizliyi həll etməkdə çətinlik çəkirsinizsə, onu Sevimlilərinizə əlavə edə bilərsiniz ki, daha sonra ona qayıda biləsiniz.

Tapşırığı yerinə yetirmək üçün lazımi düsturları tapa bilərsiniz, xüsusi halları və standart loqarifmik tənliyin kökünü hesablamaq üçün üsulları təkrarlamaq üçün "Nəzəri arayış" bölməsinə baxa bilərsiniz. "Şkolkovo" müəllimləri ən sadə və başa düşülən formada uğurlu çatdırılma üçün lazım olan bütün materialları topladılar, sistemləşdirdilər və təqdim etdilər.

İstənilən mürəkkəblikdəki tapşırıqların öhdəsindən asanlıqla gəlmək üçün portalımızda bəzi tipik loqarifmik tənliklərin həlli ilə tanış ola bilərsiniz. Bunu etmək üçün "Kataloqlar" bölməsinə keçin. Riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanının profil səviyyəsinin tənlikləri də daxil olmaqla çox sayda nümunə təqdim etdik.

Rusiyanın hər yerindən olan məktəblilər portalımızdan istifadə edə bilərlər. Başlamaq üçün sistemdə qeydiyyatdan keçmək və tənlikləri həll etməyə başlamaq kifayətdir. Nəticələri birləşdirmək üçün sizə gündəlik olaraq Şkolkovo saytına qayıtmağı məsləhət görürük.

Loqarifmik tənlikləri həll etməzdən əvvəl loqarifmin tərifini və əsas düsturları təkrarlayaq.

Loqarifm müsbət rəqəm b səbəblə a nə dərəcədə yüksəltmək lazım olduğunun göstəricisidir a, əldə etmək b.

Bu halda, class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Loqarifmin icazə verilən dəyərlərinin sahəsinə diqqət yetirək:

class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}

Əsas loqarifmik eynilik:

Loqarifmlər üçün əsas düsturlar:

(Məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabərdir)

(Bölmənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir)
(Dərcənin loqarifmi üçün düstur)

Yeni bazaya keçmək üçün formula belədir:

Loqarifmik funksiyanın qrafikinin necə göründüyünü bilirik. Bu funksiya monotondur. Loqarifmin əsası birdən böyükdürsə, loqarifmik funksiya monoton şəkildə artır. Baza sıfırdan böyük və birdən kiçikdirsə, loqarifmik funksiya monoton şəkildə azalır. Və hər halda, hər bir dəyəri yalnız bir dəfə alır. Bu o deməkdir ki, hər hansı bir bazada iki ədədin loqarifmləri bərabərdirsə, o zaman ədədlərin özləri də bərabərdir.

Bütün bunlar loqarifmik tənliklərin həllində bizə faydalı olacaq.

Ən sadə loqarifmik tənliklər

1. Tənliyi həll edin:

Loqarifmlərin əsasları bərabərdir, loqarifmlərin özləri də bərabərdir, yəni onların alındığı ədədlər də bərabərdir.
Adətən, tələbələr bu qaydanı qısa bir jarqon tərtibində əzbərləyirlər: "Gəlin loqarifmləri buraxaq!" Təbii ki, biz onları sadəcə olaraq yox, loqarifmik funksiyanın monotonluq xassəsindən istifadə edərək “atırıq”.

Biz əldə edirik:

Loqarifmik tənlikləri həll edərkən, unutma tolerantlıq diapazonu loqarifm. Yadda saxlayın ki, ifadə class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1" ilə müəyyən edilir.">.!}

Tənliyin kökünü tapıb onu tənliyə əvəz etsəniz çox yaxşı olar. Əgər belə əvəzetmədən sonra tənliyin sol və ya sağ tərəfinin mənası yoxdursa, onda tapılan ədəd tənliyin kökü deyil və məsələnin cavabı ola bilməz. Bu imtahan üçün test etmək üçün yaxşı bir yoldur.

2. Tənliyi həll edin:

Tənliyin sol tərəfində - loqarifm, sağda - rəqəm 7. Əsas loqarifmik eyniliyi tətbiq edərək, 7 rəqəmini formada təmsil edirik. Sonra hər şey sadədir.

Cavab: -124

3. Tənliyi həll edin:

Tənliyin sağ tərəfindəki loqarifmin qarşısındakı 2 rəqəminə baxın? İndi o, "loqarifmləri atmağınıza" mane olur. Mən onunla nə edə bilərəm ki, sol və sağ tərəflər 5 bazasına loqarifm olsun? Əlbəttə ki, dərəcənin loqarifmi üçün düstur kömək edəcəkdir.

4. Tənliyi həll edin:

Etibarlı diapazon: class="tex" alt="(!LANG:4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x > -4.">!}

2-ni tənliyin sağ tərəfində - kimi təqdim edək ki, tənliyin sol və sağ tərəfləri 5-in bazasına loqarifm olsun.

Funksiya monoton şəkildə artır və hər bir dəyərini bir dəfə alır. Loqarifmlər bərabərdir, əsasları bərabərdir. Gəlin loqarifmləri buraxaq! Əlbəttə, class="tex" alt="(!LANG:x> -4">.!}

5. Tənliyi həll edin:

Həllini ekvivalent keçidlər zənciri kimi yazırıq. ODZ-ni yazırıq və loqarifmləri "çıxarırıq":

Class="tex" alt="(!LANG:\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \sağ) )\Sol sağarrow \left\(\begin(matris) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ son(matris)\sağ.\Sol sağ ox \sol\(\begin(matris) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(matris)\ sağa.\Sol sağarrow x=-4">!}
Cavab: -4.

Qeyd edək ki, loqarifmik tənliklərin həlli ən yaxşı şəkildə ekvivalent keçidlər zənciri kimi yazılır. Bu, etibarlı dəyərlər diapazonunu unutmamağa kömək edəcək.

6. Tənliyi həll edin:.

4-cü əsas loqarifmadan (eksponentdə) əsas 2-li loqarifmaya keçək.Bunu əsas çevirmə düsturundan istifadə edərək edirik:

Həllini ekvivalent keçidlər zənciri kimi yazırıq.

Class="tex" alt="(!LANG:2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Sol sağarrow \left\(\begin(matrix) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \sağ)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matris)\sağ.\Sol sağarrow \sol\(\begin(matris) \sol (2^(\log _(2)\sol (4x+5 \sağ)) \sağ)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matris)\sağ.\Sol sağ ox \sol\(\begin(matris) \sol (4x+5 \sağ)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(matris)\sağ.\Sol sağ ox \sol\(\begin(matris) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( matris)\sağ.\Sol sağ ox \sol\(\begin(matris) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matris)\sağ.\Sol sağ ox \sol\(\ başlanğıc(matris) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \son(matris)\sağ.">!}

7. Tənliyi həll edin:.

Diqqət edin: dəyişən X həm loqarifmin altında, həm də loqarifmin əsasında. Xatırlayırıq ki, loqarifmin əsası müsbət və 1-ə bərabər olmamalıdır.

ODZ:
class="tex" alt="(!LANG:\left\(\begin(matrix) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matrix)\right.">!}

İndi loqarifmləri "çıxara" bilərsiniz.

Xarici kök, çünki class="tex" alt="(!LANG:x> 0">.!}

8. Tənliyi həll edin.

ODZ tənliyi: class="tex" alt="(!LANG:x> 0">!}

Gəlin əvəz edək. Cəbri tənliklərdə olduğu kimi, mümkün olduqda dəyişəni dəyişdiririk.

Dəyişən səhifəsinə qayıt X:

9. Tənliyi həll edin:

Loqarifmin altındakı ifadə həmişə müsbətdir - çünki mənfi olmayan qiymətə 25 əlavə edirik.Sağ tərəfdəki kökün altındakı ifadə də müsbətdir. O deməkdir ki, X istənilən real ədəd ola bilər.

Sol tərəfdəki loqarifmlərin cəmini məhsulun loqarifmi kimi təqdim edirik. Sağ tərəfdə - 3-cü bazaya loqarifmə keçək. Və dərəcənin loqarifmi üçün düsturdan istifadə edin.

Loqarifmləri ləğv edirik.

Belə bir tənliyə biquadratic deyilir. Buraya ifadələr və . Gəlin əvəz edək

Dəyişən səhifəsinə qayıt X. Biz əldə edirik:

Orijinal tənliyin bütün köklərini tapdıq.

Riyaziyyatdan Profil Vahid Dövlət İmtahanının 5 nömrəli tapşırığında və 13 nömrəli tapşırıqda da loqarifmik tənliklərlə qarşılaşa bilərsiniz. Və 5 nömrəli tapşırıqda ən sadə tənliyi həll etməlisinizsə, 13-cü tapşırıqda həll iki nöqtədən ibarətdir. İkinci nöqtə, müəyyən bir seqment və ya intervalda köklərin seçilməsidir.