Dil Twisters

Loqarifmik ifadələrə nümunələr. Loqarifmlərin əsas xassələri. Loqarifmlər üçün düsturlar. Loqarifmlərin həlli nümunələri

Problem B7 sadələşdirilməsi lazım olan bəzi ifadələri təqdim edir. Nəticədə, cavab vərəqinə yaza biləcəyiniz adi nömrə almalısınız. Bütün ifadələr şərti olaraq üç növə bölünür:

Loqarifmik,
Göstərici,
Birləşdirilmiş.

Təmiz formada nümayiş etdirici və loqarifmik ifadələr praktiki olaraq baş vermir. Bununla belə, onların necə hesablandığını bilmək vacibdir.

Ümumiyyətlə, B7 problemi olduqca sadə şəkildə həll edilə bilər və orta məzunun səlahiyyətindədir. Aydın alqoritmlərin olmaması standart və monotonluqla kompensasiya olunur. Bu cür problemlərin həlli yollarını öyrənmək sadəcə bir çox təlim vasitəsilə həyata keçirilə bilər.

Loqarifmik ifadələr

B7 problemlərinin böyük əksəriyyətində bu və ya digər formada loqarifmlər var. Bu mövzu ənənəvi olaraq çətin hesab olunur, çünki onun öyrənilməsi, bir qayda olaraq, 11-ci sinifə - buraxılış imtahanlarına kütləvi hazırlıq dövrünə düşür. Nəticədə, bir çox məzun loqarifmlər haqqında çox qeyri-müəyyən bir anlayışa malikdir.

Amma bu vəzifədə heç kim dərin nəzəri bilik tələb etmir. Biz yalnız mürəkkəb olmayan əsaslandırma tələb edən və özümüz yaxşı mənimsəyə biləcəyimiz ən sadə ifadələrlə qarşılaşacağıq. Aşağıda loqarifmlərlə məşğul olmaq üçün bilməli olduğunuz əsas düsturlar verilmişdir:

Bundan əlavə, kökləri və kəsrləri rasional göstərici ilə güclərlə əvəz etmək lazımdır, əks halda bəzi ifadələrdə loqarifmin işarəsindən çıxarmaq üçün heç bir şey olmayacaqdır. Əvəzedici düsturlar:

Tapşırıq. İfadə dəyərlərini tapın:
log 6 270 - log 6 7.5
log 5 775 - log 5 6.2

İlk iki ifadə loqarifmlərin fərqi kimi çevrilir:
log 6 270 - log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 - log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

Üçüncü ifadəni hesablamaq üçün həm əsasda, həm də arqumentdə səlahiyyətləri seçməli olacaqsınız. Əvvəlcə daxili loqarifmanı tapaq:

Sonra - xarici:

log a log b x formasının konstruksiyaları çoxları üçün mürəkkəb və anlaşılmaz görünür. Bu arada, bu, yalnız loqarifmin loqarifmidir, yəni. log a (log b x). Əvvəlcə daxili loqarifm hesablanır (log b x = c qoyun), sonra isə xarici: log a c.

İllüstrativ ifadələr

Eksponensial ifadəni a və k ədədlərinin ixtiyari sabitlər olduğu və a> 0 olan a k formasının istənilən konstruksiyası adlandıracağıq. Belə ifadələrlə işləmə üsulları kifayət qədər sadədir və 8-ci sinif cəbr dərslərində nəzərdən keçirilir.

Aşağıda bilməli olduğunuz əsas düsturlar verilmişdir. Bu düsturların praktikada tətbiqi, bir qayda olaraq, problem yaratmır.

a n a m = a n + m;
a n / a m = a n - m;
(a n) m = a n m;
(a b) n = a n b n;
(a: b) n = a n: b n.

Gücləri olan mürəkkəb bir ifadə ilə qarşılaşsanız və ona necə yanaşmaq aydın deyilsə, universal bir texnika istifadə olunur - faktorizasiya. Nəticədə dərəcələr bazasındakı böyük rəqəmlər sadə və başa düşülən elementlərlə əvəz olunur. Sonra yalnız yuxarıdakı düsturları tətbiq etmək qalır - və problem həll olunacaq.

Tapşırıq. İfadələrin qiymətlərini tapın: 7 9 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Həll. Güclərin bütün əsaslarını əsas amillərə parçalayaq:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Qarışıq vəzifələr

Əgər düsturları bilirsinizsə, onda bütün eksponensial və loqarifmik ifadələr hərfi mənada bir sətirdə həll olunur. Bununla belə, B7 məsələsində dərəcələr və loqarifmlər birləşdirilə və kifayət qədər güclü birləşmələr yarada bilər.

Bölmələr: Riyaziyyat

Dərs növü: biliklərin ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi dərsi

Məqsədlər:

ümumiləşdirilmiş təkrar və imtahana hazırlıq çərçivəsində tələbələrin loqarifmlər və onların xassələri haqqında biliklərini yeniləmək;
tələbələrin zehni fəaliyyətinin, məşqləri yerinə yetirərkən nəzəri biliklərin tətbiqi bacarıqlarının inkişafına kömək etmək;
tələbələrin şəxsi keyfiyyətlərinin, özünü idarə etmə bacarıqlarının və fəaliyyətlərinin özünüqiymətləndirilməsinin inkişafına kömək etmək; əməksevərlik, səbir, əzmkarlıq, müstəqillik tərbiyə etmək.

Avadanlıq: kompüter, proyektor, təqdimat (Əlavə 1), ev tapşırığı kartları (elektron gündəlikdə tapşırığı olan bir fayl əlavə edə bilərsiniz).

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam. Salam, dərs üçün əhval-ruhiyyə.

II. Ev tapşırığının müzakirəsi.

III. Dərsin mövzusunun və məqsədinin ünsiyyəti. Motivasiya.(Slayd 1) Təqdimat.

İmtahana hazırlaşarkən riyaziyyat kursunun ümumiləşdirilmiş təkrarını davam etdiririk. Bu gün dərsdə loqarifmlər və onların xassələri haqqında danışacağıq.

Loqarifmlərin hesablanması və loqarifmik ifadələrin çevrilməsi üçün tapşırıqlar həm əsas, həm də profil səviyyəsinin nəzarət və ölçü materiallarında mütləq mövcuddur. Buna görə də dərsimizin məqsədi "loqarifm" anlayışının mənası haqqında fikirləri bərpa etmək və loqarifmik ifadələri çevirmək bacarıqlarını aktuallaşdırmaqdır. Dərsin mövzusunu dəftərlərinizə yazın.

IV. Bilik yeniləməsi.

1. / Şifahi /Əvvəlcə loqarifmin nə olduğunu xatırlayaq. (Slayd 2)

(Müsbət b ədədinin a əsası üçün loqarifmi (burada a> 0 və? 1) b ədədini almaq üçün a ədədinin qaldırılmalı olduğu göstəricidir)

a b = n qeyd edin<->a n = b, (a> 0, a 1, b> 0)

Deməli, “LOQARİFM” “DƏRƏCƏ GÖSTƏRİCİSİ”dir!

(Slayd 3) Sonra a n = b kimi yenidən yazmaq olar = b - əsas loqarifmik eynilik.

Əgər əsas a = 10 olarsa, onda loqarifma onluq adlanır və lgb ilə işarələnir.

Əgər a = e olarsa, onda loqarifm natural adlanır və lnb ilə işarələnir.

2. / Yazılı / (Slayd 4) Düzgün bərabərlikləri əldə etmək üçün boşluqları doldurun:

Daxil olun? x + Daxil ol? = Giriş? (? y)

Daxil ol? - Gündəlik? y = Giriş? (x /?)

X daxil olun? = pLog? (?)

İmtahan:

1; 1; a, y, x; x, a, a, y; p, a, x.

Bunlar loqarifmlərin xassələridir. Və başqa bir xüsusiyyət qrupu: (Slayd 5)

İmtahan:

a, 1, n, x; n, x, p, a; x, b, a, y; a, x, b; a, 1, b.

V. Şifahi iş

(Slayd 6) # 1. Hesablayın:

a B C D) ; e).

Cavablar : a) 4; b) - 2; 2-də; d) 7; e) 27.

(Slayd 7) # 2. X tapın:

a) ; b) (Cavablar: a) 1/4; b) 9).

№ 3. Belə bir loqarifmanı nəzərdən keçirməyin mənası varmı:

a) ; b); v) ? (Yox)

Vi. Müstəqil iş qruplarda, güclü öyrənənlər - məsləhətçilər. (Slayd 8)

№ 1. Hesablayın: .

# 2. Sadələşdirin:

№ 3. Əgər ifadəsinin mənasını tapın

# 4. İfadəni sadələşdirin:

№ 5. Hesablayın:

№ 6. Hesablayın:

№ 7. Hesablayın:

№ 8. Hesablayın:

Tamamlandıqdan sonra - hazırlanmış həll və ya sənəd kamerasının köməyi ilə yoxlayın və müzakirə edin.

Vii. Artan mürəkkəb bir vəzifənin həlli(güclü şagird lövhədə, qalanları dəftərlərdə) (Slayd 9)

İfadənin mənasını tapın:

VIII. Ev tapşırığı(kartlarda) fərqləndirilir.(Slayd 10)

# 1. Hesablayın:

# 2. İfadənin mənasını tapın:

FF Lysenko və başqaları Riyaziyyat. Tematik testlər 10-11 sinif. 1-ci hissə / Rostov-na-Donu: "Legion", 2008

VV Koçagin İntensiv təlim. Vahid Dövlət İmtahan Riyaziyyat. / M: "Eksmo", 2008

İNTERNET RESURSLARI:

L.V.Artamonova, riyaziyyat müəllimi, MOU "Moskalensk Liseyi" Təqdimat "Loqarifmlər ölkəsində"
A.A.Kuksheva, MOU "Egorievskaya orta məktəbi" Təqdimat "Loqarifmlər və onların xassələri"

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydaları bilmək mütləqdir - onlarsız heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - hər şeyi bir gündə öyrənmək olar. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni bazaya malik iki loqarifmi nəzərdən keçirin: log a x və qeyd edin a y... Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

log a x+ log a y= log a (x · y);
log a x- log a y= log a (x : y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə bərabərdir, fərq isə hissənin loqarifmidir. Nəzərə alın ki, burada əsas məqam - eyni əsaslar... Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar loqarifmik ifadəni hətta onun ayrı-ayrı hissələri hesablanmadıqda belə hesablamağa kömək edəcək (dərsə baxın " Loqarifm nədir"). Nümunələrə nəzər salın - və baxın:

Log 6 4 + log 6 9.

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 2 48 - log 2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 3 135 - log 3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrı-ayrılıqda sayılmayan "pis" loqarifmlərdən ibarətdir. Lakin transformasiyalardan sonra kifayət qədər normal ədədlər alınır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəs nə nəzarət - imtahanda belə ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən - praktiki olaraq dəyişməz) təklif olunur.

Göstəricinin loqarifmdən çıxarılması

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti dərəcəyə əsaslanırsa? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hamısını eyni şəkildə xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Əlbəttə ki, loqarifmin ODV-si müşahidə edilərsə, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin, yəni. loqarifmin işarəsinin qarşısındakı rəqəmləri loqarifmin özünə daxil edə bilərsiniz. Bu, ən çox tələb olunan şeydir.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 7 49 6.

Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
[Şəkil başlığı]

Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Bizdə:

[Şəkil başlığı]

Düşünürəm ki, sonuncu misal bir qədər aydınlığa ehtiyac duyur. Loqarifmlər harada itdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada dayanan loqarifmin əsasını və arqumentini dərəcələr şəklində təqdim etdik və göstəriciləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.

İndi əsas kəsrə baxaq. Say və məxrəc eyni ədədi ehtiva edir: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan, kəsri ləğv edə bilərik - məxrəc 2/4 olaraq qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü hesaba köçürmək olar, bu da edildi. Nəticə belə oldu: 2.

Yeni bir təmələ keçmək

Loqarifmlərin toplama və çıxma qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslar üçün işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:

Loqarifm log verilsin a x... Sonra istənilən nömrə üçün c belə c> 0 və c≠ 1, bərabərlik doğrudur:
[Şəkil başlığı]
Xüsusilə qoysaq c = x, alırıq:
[Şəkil başlığı]

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsasını və arqumentini dəyişdirmək mümkündür, lakin bu halda bütün ifadə "əksinə çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.

Bu düsturlar adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda olur. Onların nə qədər rahat olduğunu yalnız qərar verərkən qiymətləndirmək olar loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər.

Bununla belə, yeni təmələ keçid istisna olmaqla, ümumiyyətlə həll edilməyən vəzifələr var. Bunlardan bir neçəsini nəzərdən keçirin:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 5 16 log 2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentləri dəqiq dərəcələri ehtiva edir. Göstəriciləri çıxaraq: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

İndi ikinci loqarifmanı "çevirək":

[Şəkil başlığı]

Məhsul faktorların dəyişdirilməsindən dəyişmədiyi üçün dörd və ikini sakitcə vurduq və sonra loqarifmlərlə məşğul olduq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 9 100 · lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq dərəcələrdir. Gəlin bunu yazaq və metriklərdən xilas olaq:

[Şəkil başlığı]

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

[Şəkil başlığı]

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək tələb olunur. Bu vəziyyətdə düsturlar bizə kömək edəcək:

Birinci halda, nömrə n arqumentdə dayanan dərəcənin göstəricisinə çevrilir. Nömrə n tamamilə hər hansı bir şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifmin dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Bu adlanır: əsas loqarifmik eynilik.

Həqiqətən, sayı olsa nə olar b elə bir gücə ki, sayı b bu dərəcədə rəqəm verir a? Düzdür: bu nömrəni alırsınız a... Bu paraqrafı yenidən diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona "asılır".

Yeni bazaya keçid üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
[Şəkil başlığı]

Qeyd edək ki, log 25 64 = log 5 8 - sadəcə olaraq kvadratı bazadan və loqarifm arqumentindən kənara köçürün. Dərəcələri eyni əsasla vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

[Şəkil başlığı]

Kiminsə xəbəri yoxdursa, bu, imtahandan əsl problem idi :)

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə qarşılaşırlar və təəccüblü şəkildə hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

log a a= 1 loqarifmik vahiddir. Birdəfəlik xatırlayın: istənilən bazaya loqarifm a bu əsasdan birə bərabərdir.
log a 1 = 0 loqarifmik sıfırdır. Baza a hər şey ola bilər, amma arqument birdirsə, loqarifm sıfırdır! çünki a 0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Loqarifmin etibarlı dəyərlərinin diapazonu (ODZ).

İndi məhdudiyyətlər haqqında danışaq (ODZ dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonudur).

Biz xatırlayırıq ki, məsələn, kvadrat kök mənfi ədədlərdən çıxarıla bilməz; və ya kəsrimiz varsa, məxrəc sıfır ola bilməz. Loqarifmlərin oxşar məhdudiyyətləri var:

Yəni həm arqument, həm də əsas sıfırdan böyük olmalıdır və əsas da bərabər ola bilməz.

Niyə belədir?

Sadə başlayaq: bunu deyək. Sonra, məsələn, nömrə yoxdur, çünki hansı dərəcəni qaldırsaq da, həmişə çıxır. Üstəlik, heç biri üçün mövcud deyil. Amma eyni zamanda, hər şeyə bərabər ola bilər (eyni səbəbdən, istənilən dərəcəyə bərabərdir). Buna görə də obyekt heç bir maraq kəsb etmir və o, sadəcə olaraq riyaziyyatdan atılıb.

Bizdə də oxşar problem var: hər hansı müsbət dərəcədə belədir, lakin onu ümumiyyətlə mənfi dərəcəyə qaldırmaq olmaz, çünki sıfıra bölmək nəticə verəcək (bunu unutmayın).

Biz bir kəsr hakimiyyəti qaldırmaq problemi ilə qarşılaşdıqda (kök kimi təmsil olunur:. Məsələn, (yəni), lakin mövcud deyil.

Buna görə də, mənfi əsasları atmaq onlarla məşğul olmaqdan daha asandır.

Yaxşı, a bazası bizdə yalnız müsbət olduğundan, onu nə dərəcədə qaldırsaq da, həmişə ciddi müsbət bir nömrə alırıq. Buna görə də arqument müsbət olmalıdır. Məsələn, o, mövcud deyil, çünki heç bir şəkildə mənfi bir rəqəm olmayacaq (və hətta sıfırdır, buna görə də yoxdur).

Loqarifmlərlə bağlı məsələlərdə ilk addım ODV-ni yazmaqdır. Sizə bir misal verim:

Gəlin tənliyi həll edək.

Tərifi xatırlayaq: loqarifm arqumenti əldə etmək üçün bazanın qaldırılmalı olduğu dərəcədir. Və şərtlə bu dərəcə bərabərdir:.

Adi kvadrat tənliyi alırıq:. Gəlin bunu Vyeta teoremindən istifadə edərək həll edək: köklərin cəmi bərabərdir və hasil. Seçmək asandır, bunlar rəqəmlər və.

Amma bu rəqəmlərin hər ikisini dərhal götürüb cavabda qeyd etsəniz, məsələyə görə 0 xal əldə edə bilərsiniz. Niyə? Gəlin düşünək, bu kökləri ilkin tənliyə əvəz etsək nə olar?

Bu, açıq-aydın yanlışdır, çünki əsas mənfi ola bilməz, yəni kök "kənardadır".

Bu cür xoşagəlməz fəndlərdən qaçmaq üçün tənliyi həll etməyə başlamazdan əvvəl ODV-ni yazmalısınız:

Sonra kökləri aldıqdan sonra dərhal kökü atırıq və düzgün cavabı yazırıq.

Misal 1(özünüz həll etməyə çalışın) :

Tənliyin kökünü tapın. Əgər bir neçə kök varsa, cavabınızda onlardan ən kiçiyini göstərin.

Həll:

Əvvəlcə ODZ-ni yazaq:

İndi loqarifmin nə olduğunu xatırlayaq: arqument əldə etmək üçün bazanı nə dərəcədə qaldırmaq lazımdır? İkinci. Yəni:

Kiçik kökün bərabər olduğu görünür. Amma bu belə deyil: ODZ-yə görə kök xaricidir, yəni verilmiş tənliyin kökü ümumiyyətlə deyil. Beləliklə, tənliyin yalnız bir kökü var:.

Cavab: .

Əsas loqarifmik eynilik

Ümumilikdə loqarifmin tərifini xatırlayaq:

Loqarifm əvəzinə ikinci bərabərliyi əvəz edin:

Bu bərabərlik adlanır əsas loqarifmik eynilik... Baxmayaraq ki, mahiyyət etibarilə bu bərabərlik sadəcə olaraq başqa cür yazılır loqarifmin tərifi:

Bu, almaq üçün yüksəltməli olduğunuz dərəcədir.

Misal üçün:

Aşağıdakı misalları həll edin:

Misal 2.

İfadənin mənasını tapın.

Həll:

Bölmədən qaydanı xatırlayaq: yəni bir gücü bir gücə qaldırarkən göstəricilər çoxalır. Gəlin tətbiq edək:

Misal 3.

Bunu sübut et.

Həll:

Loqarifmlərin xassələri

Təəssüf ki, tapşırıqlar həmişə belə sadə deyil - tez-tez ilk növbədə ifadəni sadələşdirmək, onu adi formaya gətirmək lazımdır və yalnız bundan sonra dəyəri hesablamaq mümkün olacaq. Bunun ən asan yolu bilməkdir loqarifmlərin xassələri... Beləliklə, loqarifmlərin əsas xüsusiyyətlərini öyrənək. Onların hər birini sübut edəcəyəm, çünki hər hansı bir qaydanın haradan gəldiyini bilsəniz, yadda saxlamaq daha asandır.

Bütün bu xassələri xatırlamaq lazımdır, onsuz loqarifmlərlə bağlı problemlərin əksəriyyəti həll edilə bilməz.

İndi loqarifmlərin bütün xassələri haqqında daha ətraflı.

Mülk 1:

Sübut:

Qoy o zaman.

Bizdə: və s.

Xüsusiyyət 2: Loqarifmlərin cəmi

Eyni əsaslara malik loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə bərabərdir: .

Sübut:

Qoy o zaman. Qoy o zaman.

Misal:İfadənin mənasını tapın:.

Həll: .

İndicə öyrəndiyiniz düstur fərqi deyil, loqarifmlərin cəmini sadələşdirməyə kömək edir, ona görə də bu loqarifmləri dərhal birləşdirə bilməzsiniz. Ancaq bunun əksini edə bilərsiniz - ilk loqarifmanı ikiyə "parçalayın": Və budur vəd edilmiş sadələşdirmə:
.
Bu niyə lazımdır? Yaxşı, məsələn: bunun nə əhəmiyyəti var?

İndi bəlli olur ki.

İndi özünüzü sadələşdirin:

Tapşırıqlar:

Cavablar:

Xüsusiyyət 3: Loqarifmlərin fərqi:

Sübut:

Hər şey 2-ci bənddəki kimidir:

Qoy o zaman.

Qoy o zaman. Bizdə:

Son abzasdakı nümunə indi daha da sadələşir:

Daha mürəkkəb bir nümunə:. Necə qərar verəcəyinizi təxmin edə bilərsinizmi?

Burada qeyd etmək lazımdır ki, kvadratdakı loqarifmlərlə bağlı vahid bir düsturumuz yoxdur. Bu ifadəyə yaxın bir şeydir - bunu dərhal sadələşdirmək olmaz.

Odur ki, gəlin loqarifmlərlə bağlı düsturlardan kənara çıxaq və düşünək ki, riyaziyyatda ən çox hansı düsturlardan istifadə edirik? Hətta 7-ci sinifdən başlayaraq!

O - . Onların hər yerdə olduğuna alışmaq lazımdır! Onlara eksponensial, triqonometrik və irrasional məsələlərdə rast gəlinir. Buna görə də onları xatırlamaq lazımdır.

İlk iki terminə diqqətlə baxsanız, bunun aydın olduğu aydın olar kvadratlar fərqi:

Doğrulama üçün cavab:

Özünüzü sadələşdirin.

Nümunələr

Cavablar.