Heterojen sistemin ümumi həlli. Xətti tənliklərin homojen sistemləri Bircins sistemlərin həlli 0
Xətti tənlik deyilir homojen, əgər onun sərbəst müddəti sıfıra bərabərdirsə, əks halda qeyri-bərabərdirsə. Homojen tənliklərdən ibarət sistemə homojen deyilir və malikdir ümumi forma:
Aydındır ki, hər bir homojen sistem ardıcıldır və sıfır (xırda) həllə malikdir. Buna görə də homojen sistemlərə münasibətdə xətti tənliklərçox vaxt sıfırdan fərqli həllərin mövcudluğu sualına cavab axtarmaq lazımdır. Bu sualın cavabını aşağıdakı teorem kimi formalaşdırmaq olar.
Teorem . Homojen xətti tənliklər sisteminin rütbəsi naməlumların sayından az olduqda sıfırdan fərqli həlli olur. .
Sübut: Fərz edək ki, dərəcəsi bərabər olan sistemin sıfırdan fərqli həlli var. Aydındır ki, aşmır. Sistemdə unikal bir həll varsa. Homojen xətti tənliklər sisteminin həmişə sıfır həlli olduğundan, sıfır həlli bu unikal həll olacaqdır. Beləliklə, sıfırdan fərqli həllər yalnız üçün mümkündür.
Nəticə 1 : Tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayından az olan homojen tənliklər sisteminin həmişə sıfırdan fərqli həlli olur.
Sübut: Əgər tənliklər sistemi varsa, o zaman sistemin dərəcəsi tənliklərin sayından çox deyil, yəni. . Beləliklə, şərt ödənilir və buna görə də sistemin sıfırdan fərqli həlli var.
Nəticə 2 : Naməlum olan homojen tənliklər sisteminin determinantı sıfır olduqda sıfırdan fərqli həlli olur.
Sübut: Fərz edək ki, matrisi determinantı olan xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli var. Sonra, sübut edilmiş teoremə görə və bu, matrisin tək olması deməkdir, yəni. .
Kroneker-Kapelli teoremi: SLU o zaman uyğundur ki, sistem matrisinin dərəcəsi bu sistemin genişləndirilmiş matrisinin dərəcəsinə bərabər olsun. Ən azı bir həlli varsa, sistem ur ardıcıl adlanır.Xətti homojen sistem cəbri tənliklər .
n dəyişəni olan m xətti tənliklər sistemi, bütün sərbəst şərtlər 0-a bərabər olarsa, xətti bircinsli tənliklər sistemi adlanır. Xətti bircins tənliklər sistemi həmişə ardıcıldır, çünki onun həmişə ən azı sıfır həlli var. Xətti homojen tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli o halda olur ki, onun dəyişənlər üçün əmsallar matrisinin dərəcəsi dəyişənlərin sayından az olsun, yəni. A dərəcəsi üçün (n. İstənilən xətti birləşmə
Lin sistem həlləri. homojen. ur-ii də bu sistemin həllidir.
e1, e2,...,еk xətti müstəqil həllər sistemi o zaman fundamental adlanır ki, sistemin hər bir həlli həllərin xətti kombinasiyasıdır. Teorem: əgər xətti homojen tənliklər sisteminin dəyişənləri üçün əmsallar matrisinin r dərəcəsi dəyişənlərin sayı n-dən azdırsa, sistemin hər bir fundamental həlli sistemi aşağıdakılardan ibarətdir. n-r həlləri. Buna görə də ümumi qərar Lin sistemləri bir gün ur-th formasına malikdir: c1e1+c2e2+...+skek, burada e1, e2,..., ek hər hansı fundamental həllər sistemi, c1, c2,...,ck ixtiyari ədədlər və k=n-r. n dəyişəni olan m xətti tənliklər sisteminin ümumi həlli cəminə bərabərdir
ona uyğun gələn sistemin ümumi həllinin homojendir. xətti tənliklər və bu sistemin ixtiyari xüsusi həlli.
7. Xətti fəzalar. Alt fəzalar. Əsas, ölçü. Xətti qabıq. Xətti fəza adlanır n-ölçülü, əgər o, xətti sistemdən ibarətdirsə müstəqil vektorlar, və hər hansı bir sistem daha çox vektorlar xətti asılıdır. Nömrə çağırılır ölçü (ölçülərin sayı) xətti fəzadır və ilə işarələnir. Başqa sözlə, fəzanın ölçüsü bu fəzanın xətti müstəqil vektorlarının maksimum sayıdır. Əgər belə bir ədəd varsa, o zaman fəza son ölçülü adlanır. Əgər kimsə üçün natural ədəd n fəzada xətti müstəqil vektorlardan ibarət sistem var, onda belə fəza sonsuz ölçülü adlanır (yazılı: ). Bundan sonra, başqa cür qeyd edilmədiyi təqdirdə, sonlu ölçülü fəzalar nəzərə alınacaqdır.
N-ölçülü xətti fəzanın əsasını xətti müstəqil vektorların sifarişli toplusu təşkil edir ( əsas vektorlar).
Teorem 8.1 vektorun bazis baxımından genişlənməsi. Əgər n-ölçülü xətti fəzanın əsasıdırsa, onda istənilən vektor əsas vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+az
və üstəlik, yeganə şəkildə, yəni. əmsallar unikal şəkildə müəyyən edilir. Başqa sözlə, məkanın istənilən vektoru bazaya və üstəlik, özünəməxsus şəkildə genişləndirilə bilər.
Həqiqətən də məkanın ölçüsü . Vektorlar sistemi xətti müstəqildir (bu əsasdır). Baza hər hansı vektor əlavə etdikdən sonra xətti asılı sistem əldə edirik (çünki bu sistem n ölçülü fəzanın vektorlarından ibarətdir). 7 xətti asılı və xətti müstəqil vektorun xassəsindən istifadə edərək teoremin nəticəsini alırıq.
Ali peşə təhsili federal dövlət büdcə təhsil müəssisəsinin Kaluqa filialı
"N.E. adına Moskva Dövlət Texniki Universiteti. Bauman"
(N.E.Bauman adına Moskva Dövlət Texniki Universitetinin Xarkov filialı)
Vlaykov N.D.
Homojen SLAE-lərin həlli
Təlimlərin aparılması üçün göstərişlər
analitik həndəsə kursu üzrə
Kaluqa 2011
Dərsin məqsədləri səhifə 4
Dərs planı səhifə 4
Zəruri nəzəri məlumatlar səh.5
Praktiki hissə səh.10
Təqdim olunan materialın mənimsənilməsinə nəzarət 13
Ev tapşırığı səh.14
Saatların sayı: 2
Dərsin məqsədləri:
SLAE növləri və onların həlli üsulları haqqında əldə edilmiş nəzəri bilikləri sistemləşdirin.
Homojen SLAE-lərin həllində bacarıqlar əldə edin.
Dərs planı:
Nəzəri materialı qısaca təsvir edin.
Homojen bir SLAE həll edin.
Homojen SLAE-nin əsas həllər sistemini tapın.
Homojen SLAE-nin xüsusi həllini tapın.
Homojen SLAE-nin həlli üçün alqoritm tərtib edin.
Cari ev tapşırığınızı yoxlayın.
Yoxlama işləri aparın.
Növbəti seminarın mövzusunu təqdim edin.
Cari ev tapşırığını təqdim edin.
Lazımi nəzəri məlumat.
Matris dərəcəsi.
Def. Matrisin rütbəsi onun sıfırdan fərqli kiçikləri arasında maksimum sıraya bərabər olan ədəddir. Matrisin dərəcəsi ilə işarələnir.
Kvadrat matris tək deyilsə, onun rütbəsi sırasına bərabərdir. Kvadrat matris təkdirsə, onun rütbəsi sırasından kiçikdir.
Diaqonal matrisin dərəcəsi onun sıfırdan fərqli diaqonal elementlərinin sayına bərabərdir.
Teor. Bir matris köçürüldükdə onun dərəcəsi dəyişmir, yəni. 
.
Teor. Matrisin rütbəsi onun sətir və sütunlarının elementar çevrilməsi ilə dəyişmir.
Minor əsasında teorem.
Def. Kiçik 
matrislər 
iki şərt yerinə yetirildikdə əsas adlanır:
a) sıfıra bərabər deyil;
b) onun sırası matrisin dərəcəsinə bərabərdir 
.
Matris 
bir neçə əsas yetkinlik yaşına çatmayanlar ola bilər.
Matris sətirləri və sütunları 
seçilmiş əsas minorun yerləşdiyi , əsas adlanır.
Teor. Minor əsasında teorem. Matrisin əsas sətirləri (sütunları). 
, onun əsas yetkinlik yaşına çatmayanların hər hansı birinə uyğundur 
, xətti müstəqildir. Matrisin istənilən sətirləri (sütunları). 
, daxil deyil 
, əsas sətirlərin (sütunların) xətti birləşmələridir.
Teor.İstənilən matris üçün onun dərəcəsi xətti müstəqil sətirlərin (sütunların) maksimum sayına bərabərdir.
Matrisin dərəcəsinin hesablanması. Elementar çevrilmələr üsulu.
Elementar cərgə çevrilmələrindən istifadə edərək istənilən matrisi eşelon formaya endirmək olar. Addım matrisinin dərəcəsi sıfırdan fərqli cərgələrin sayına bərabərdir. Ondakı əsas, hər bir sətirdə soldan ilk sıfır olmayan elementlərə uyğun sütunlarla sıfırdan fərqli cərgələrin kəsişməsində yerləşən kiçikdir.
SLAU. Əsas təriflər.
Def. Sistem 
(15.1)
Nömrələri 
SLAE əmsalları adlanır. Nömrələri 
tənliklərin sərbəst şərtləri adlanır.
(15.1) formasındakı SLAE girişi koordinat adlanır.
Def. SLAE əgər homojen adlanır 
. Əks təqdirdə heterojen adlanır.
Def. SLAE-nin həlli naməlum dəyərlər toplusudur ki, əvəz edildikdə sistemin hər bir tənliyi eyniliyə çevrilir. SLAE-nin hər hansı xüsusi həlli də onun xüsusi həlli adlanır.
SLAE-nin həlli iki problemin həlli deməkdir:
SLAE-nin həlləri olub olmadığını öyrənin;
Əgər varsa, bütün həll yollarını tapın.
Def.Ən azı bir həlli varsa, SLAE birləşmə adlanır. Əks halda, uyğunsuz adlanır.
Def.Əgər SLAE (15.1)-in bir həlli və unikalı varsa, o, müəyyən adlanır və həll unikal deyilsə, qeyri-müəyyən adlanır.
Def.(15.1) tənliyindədirsə 
,SLAE kvadrat adlanır.
SLAU qeyd formaları.
Koordinat formasına (15.1) əlavə olaraq, SLAE qeydləri tez-tez digər təsvirlərdə istifadə olunur.
(15.2)
Münasibət SLAE qeydinin vektor forması adlanır.
Əgər matrislərin hasilini əsas götürsək, SLAE (15.1) aşağıdakı kimi yazıla bilər:
(15.3)
və ya 
.
(15.3) şəklində SLAE (15.1) qeydinə matris deyilir.
Homojen SLAE-lər.
Homojen sistem 
ilə xətti cəbri tənliklər 
naməlumlar forma sistemidir
Homojen SLAE-lər həmişə ardıcıldır, çünki həmişə sıfır həll var.
Sıfırdan fərqli həllin mövcudluğu meyarı. Homojen kvadrat SLAE üçün sıfırdan fərqli bir həllin mövcud olması üçün onun matrisinin tək olması zəruri və kifayətdir.
Teor.Əgər sütunlar 
,
,
…,
- homojen SLAE-nin məhlulları, onda onların istənilən xətti kombinasiyası da bu sistemin həllidir.
Nəticə. Bircins SLAE-nin sıfırdan fərqli həlli varsa, onun sonsuz sayda həlli var.
Bu cür həll yollarını tapmağa çalışmaq təbiidir 
,
,
…,
sistemlər belə ki, hər hansı digər həll onların xətti kombinasiyası kimi və üstəlik özünəməxsus şəkildə təmsil olunsun.
Def.İstənilən dəst 
xətti müstəqil sütunlar 
,
,
…,
, homojen SLAE-nin məhlullarıdır 
, Harada 
- naməlumların sayı və 
- onun matrisinin dərəcəsi 
, bu homojen SLAE-nin əsas həllər sistemi adlanır.
Xətti tənliklərin homojen sistemlərini öyrənərkən və həll edərkən, sistemin matrisində kiçik əsası təyin edəcəyik. Əsas minor əsas sütunlara və buna görə də əsas naməlumlara uyğun olacaq. Qalan naməlumları pulsuz adlandıracağıq.
Teor. Homojen SLAE-nin ümumi məhlulunun quruluşu haqqında. Əgər 
,
,
…,
- homojen SLAE-nin ixtiyari əsas həllər sistemi 
, onda onun hər hansı bir həlli formada təmsil oluna bilər
Harada 
,
…,
- bəziləri daimidir.
Bu. homojen SLAE-nin ümumi həlli formaya malikdir
Praktik hissə.
Aşağıdakı SLAE növlərinin mümkün həllər dəstlərini və onların qrafik şərhini nəzərdən keçirin.
;
;
.
Bu sistemlərin Cramer düsturlarından və matris metodundan istifadə edərək həllinin mümkünlüyünü nəzərdən keçirin.
Qauss metodunun mahiyyətini izah edin.
Aşağıdakı problemləri həll edin.
Misal 1. Homojen SLAE həll edin. FSR tapın.
.
Sistemin matrisini yazaq və onu pilləli formaya endirək.
.
sistemin sonsuz sayda həlli olacaq. FSR-dən ibarət olacaq 
sütunlar.
Gəlin sıfır sətirləri atıb sistemi yenidən yazaq:
.
Əsas minorun yuxarı sol küncdə olmasını nəzərə alacağıq. Bu. 
- əsas bilinməyənlər və 
- pulsuz. ifadə edək 
pulsuz vasitəsilə 
:
;
qoyaq 
.
Nəhayət bizdə:
- cavabın koordinat forması və ya
- cavabın matris forması və ya
- cavabın vektor forması (vektor - sütunlar FSR sütunlarıdır).
Homojen SLAE-nin həlli alqoritmi.
Aşağıdakı sistemlərin FSR və ümumi həllini tapın:
№2.225(4.39)
. Cavab: 
№2.223(2.37)
. Cavab:
№2.227(2.41)
. Cavab: 
Homojen SLAE həll edin:
. Cavab: 
Homojen SLAE həll edin:
. Cavab: 
Növbəti seminarın mövzusunun təqdimatı.
Xətti qeyri-homogen tənliklərin sistemlərinin həlli.
Öyrənilən materialın mənimsənilməsinə nəzarət.
Test işi 3-5 dəqiqə. Jurnalda 10-dan başlayaraq tək rəqəmlərlə 4 şagird iştirak edir
|
Bu addımları izləyin:
|
Bu addımları izləyin:
|
|
|
Determinantı hesablayın:
|
;
;
|
Bu addımları izləyin:
|
Bu addımları izləyin:
|
|
Bunun tərs matrisini tapın:
|
Determinantı hesablayın:
|
müəyyən edilməmiş
Ev tapşırığı:
1. Problemləri həll edin:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2. Aşağıdakı mövzularda mühazirələrlə işləyin:
Xətti cəbri tənliklər sistemləri (SLAE). Qeydin koordinat, matris və vektor formaları. SLAE-lərin uyğunluğu üçün Kronecker-Capelli meyarı. Heterojen SLAE-lər. Homojen SLAE-nin sıfırdan fərqli həllinin mövcudluğu meyarı. Homojen SLAE məhlullarının xassələri. Homojen SLAE-nin əsas həllər sistemi, onun mövcudluğu haqqında teorem. Normal əsas həllər sistemi. Bircins SLAE-nin ümumi həllinin strukturu haqqında teorem. Qeyri-bircins SLAE-nin ümumi həllinin strukturu haqqında teorem.
Bütün sərbəst şərtlərin sıfıra bərabər olduğu xətti tənliklər sistemi adlanır homojen :
İstənilən homojen sistem həmişə ardıcıl olduğu üçün həmişə ardıcıldır sıfır (əhəmiyyətsiz ) həll. Sual yaranır ki, homojen bir sistemin hansı şərtlər altında qeyri-trivial həlli olacaq.
Teorem 5.2.Homojen bir sistemin qeyri-trivial həlli yalnız və yalnız əsas matrisin rütbəsi onun naməlumlarının sayından az olduqda olur.
Nəticə. Kvadrat homojen sistemin qeyri-trivial həlli o halda olur ki, sistemin əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər deyil.
Misal 5.6. Sistemdə qeyri-trivial həllərin olduğu l parametrinin dəyərlərini təyin edin və bu həlləri tapın:
Həll. Əsas matrisin determinantı sıfıra bərabər olduqda bu sistem qeyri-trivial həllə sahib olacaq:
Beləliklə, l=3 və ya l=2 olduqda sistem qeyri-trivialdır. l=3 üçün sistemin əsas matrisasının rütbəsi 1-dir. Onda yalnız bir tənlik qalıb və fərz etsək ki, y=a Və z=b, alırıq x=b-a, yəni.
l=2 üçün sistemin əsas matrisasının rütbəsi 2-dir. Sonra minoru əsas seçərək:
sadələşdirilmiş sistem əldə edirik
Buradan biz bunu tapırıq x=z/4, y=z/2. İnanmaq z=4a, alırıq
Homojen bir sistemin bütün həlləri çox əhəmiyyətlidir xətti xassə : X sütunları varsa 1 və X 2 - homojen sistem üçün həllər AX = 0, sonra onların istənilən xətti kombinasiyası a X 1 + b X 2 həm də bu sistemin həlli olacaq. Həqiqətən, o vaxtdan bəri AX 1 = 0 Və AX 2 = 0 , Bu A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Məhz bu xassəyə görədir ki, xətti sistemin birdən çox həlli varsa, onda bu həllər sonsuz sayda olacaqdır.
Xətti müstəqil sütunlar E 1 , E 2 , Ek homogen sistemin məhlulları adlanır əsas həllər sistemi homojen xətti tənliklər sistemi, əgər bu sistemin ümumi həlli bu sütunların xətti birləşməsi kimi yazıla bilərsə:
Homojen bir sistem varsa n dəyişənlərdir və sistemin əsas matrisinin rütbəsi bərabərdir r, Bu k = n-r.
Misal 5.7. Aşağıdakı xətti tənliklər sisteminin əsas həllər sistemini tapın:
Həll. Sistemin əsas matrisinin dərəcəsini tapaq:
Beləliklə, bu tənliklər sisteminin həllər toplusu ölçünün xətti alt fəzasını təşkil edir n-r= 5 - 2 = 3. Əsas olaraq minoru seçək
Sonra, yalnız əsas tənlikləri (qalanları bu tənliklərin xətti birləşməsi olacaq) və əsas dəyişənləri (qalanları, sözdə sərbəst dəyişənləri sağa köçürürük) tərk edərək, sadələşdirilmiş tənliklər sistemini əldə edirik:
İnanmaq x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, Biz tapdıq
İnanmaq a= 1, b = c= 0, biz birinci əsas həlli əldə edirik; inanan b= 1, a = c= 0, ikinci əsas həlli alırıq; inanan c= 1, a = b= 0, üçüncü əsas həlli əldə edirik. Nəticədə, normal əsas həllər sistemi formasını alacaq
Fundamental sistemdən istifadə edərək homojen sistemin ümumi həlli kimi yazmaq olar
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Qeyri-homogen xətti tənliklər sisteminin həllərinin bəzi xassələrini qeyd edək AX=B və onların müvafiq homojen tənliklər sistemi ilə əlaqəsi AX = 0.
Qeyri-homogen sistemin ümumi həllimüvafiq homojen sistemin ümumi həlli AX = 0 və qeyri-homogen sistemin ixtiyari xüsusi həllinin cəminə bərabərdir. Doğrudan da, qoy Y 0 qeyri-homogen sistemin ixtiyari xüsusi həllidir, yəni. AY 0 = B, Və Y- heterojen sistemin ümumi həlli, yəni. AY=B. Bir bərabərliyi digərindən çıxarsaq, alırıq
A(Y-Y 0) = 0, yəni. Y-Y 0 müvafiq homojen sistemin ümumi həllidir AX=0. Beləliklə, Y-Y 0 = X, və ya Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Qeyri-homogen sistem AX = B formasına sahib olsun 1 + B 2 . Onda belə bir sistemin ümumi həllini X = X kimi yazmaq olar 1 + X 2 , harada AX 1 = B 1 və AX 2 = B 2. Bu xassə hər hansı birinin universal xassəsini ifadə edir xətti sistemlər(cəbri, diferensial, funksional və s.). Fizikada bu xassə deyilir superpozisiya prinsipi, elektrik və radiotexnika üzrə - superpozisiya prinsipi. Məsələn, xətti elektrik dövrələri nəzəriyyəsində hər hansı bir dövrədə cərəyanı ayrı-ayrılıqda hər bir enerji mənbəyinin yaratdığı cərəyanların cəbri cəmi kimi almaq olar.
Xətti tənliklərin homojen sistemi AX = 0 həmişə birgə. Onun qeyri-trivial (sıfır olmayan) həlləri var, əgər r= dərəcə A< n .
Homojen sistemlər üçün əsas dəyişənlər (əmsalları əsas minoru təşkil edən) sərbəst dəyişənlər vasitəsilə forma münasibətləri ilə ifadə edilir:
Sonra n-r Xətti müstəqil vektor həlləri:
və hər hansı digər həll onların xətti birləşməsidir. Vektor həlləri 
normallaşdırılmış fundamental sistem təşkil edir.
Xətti fəzada homojen xətti tənliklər sisteminin həllər toplusu ölçü alt fəzasını təşkil edir. n-r; 
- bu alt kosmosun əsası.
Sistem m ilə xətti tənliklər n naməlum(və ya, xətti sistem
 |
Budur x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, a mn- sistem əmsalları - və b 1 , b 2 , … b m a iji) və naməlum ( j
Sistem (1) çağırılır homojenb 1 = b 2 = … = b m= 0), əks halda - heterojen.
Sistem (1) çağırılır kvadrat, əgər nömrə mədədə bərabər olan tənliklər n naməlum.
Həll sistemlər (1) - dəst n nömrələri c 1 , c 2 , …, c n, hər birinin əvəzlənməsi c iəvəzinə x i sistemə (1) bütün tənliklərini eyniliyə çevirir.
Sistem (1) çağırılır birgə birgə olmayan
Həll yolları c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) və c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n müxtəlif
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
müəyyən qeyri-müəyyən. Naməlumlardan çox tənlik varsa, ona deyilir yenidən müəyyən edilmişdir.
Xətti tənliklər sistemlərinin həlli
Matris tənliklərinin həlli ~ Qauss üsulu
Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üsulları iki qrupa bölünür:
1. dəqiq üsullar, sistemin köklərini hesablamaq üçün sonlu alqoritmlər (əks matrisdən istifadə edərək sistemlərin həlli, Kramer qaydası, Qauss metodu və s.),
2. iterativ üsullar, bu da konvergent iterativ proseslər (iterasiya üsulu, Zaydel üsulu və s.) vasitəsilə sistemin verilmiş dəqiqliklə həllini əldə etməyə imkan verir.
Qaçılmaz yuvarlaqlaşdırmaya görə, hətta dəqiq metodların nəticələri təxmini olur. İterativ üsullardan istifadə edərkən, əlavə olaraq, metodun xətası əlavə olunur.
İterativ üsullardan səmərəli istifadə əhəmiyyətli dərəcədə ilkin yaxınlaşmanın uğurlu seçilməsindən və prosesin yaxınlaşma sürətindən asılıdır.
Matris tənliklərinin həlli
Sistemi nəzərdən keçirin n ilə əlaqədar xətti cəbri tənliklər n naməlum X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matris A sütunları müvafiq naməlumlar üçün əmsallar, sıraları isə müvafiq tənlikdə naməlumlar üçün əmsal olanlar adlanır. sistemin matrisi; matris-sütun b, elementləri sistemin tənliklərinin sağ tərəfləri adlanır sağ tərəfdəki matris və ya sadəcə sağ tərəf sistemləri. Sütun matrisi X elementləri naməlum bilinməyənlər adlanır sistem həlli.
Əgər matris A- qeyri-xüsusi, yəni det A n e 0-a bərabərdir, onda sistem (13) və ya ona ekvivalent olan (14) matris tənliyinin unikal həlli var.
Əslində, det təmin A bərabər deyil 0 mövcuddur tərs matris A-1. (14) tənliyinin hər iki tərəfinin matrisə vurulması A-1 alırıq:
| (16) |
Formula (16) (14) tənliyinin həllini verir və unikaldır.
Funksiyadan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərini həll etmək rahatdır həll et.
həll et( A, b)
Həll vektoru qaytarılır x belə Oh= b.
Arqumentlər:
A- kvadrat, tək olmayan matris.
b- matrisdə sətirlərin sayı ilə eyni sayda cərgəyə malik vektor A .
Şəkil 8-də üç naməlumda üç xətti tənlik sisteminin həlli göstərilir.
Gauss üsulu
Qauss eliminasiya metodu da adlandırılan Qauss metodu ondan ibarətdir ki, sistem (13) üçbucaqlı matrisi olan ekvivalent sistemə naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması ilə azaldılır:
Matris notasiyasında bu o deməkdir ki, əvvəlcə (Qauss metodunun birbaşa yanaşması), sətirlər üzərində elementar əməliyyatlar vasitəsilə sistemin genişləndirilmiş matrisi pilləli formaya endirilir:
və sonra (Qauss metodunun tərsi) bu addım matrisi elə çevrilir ki, birincidə n sütunlarda vahid matrisi alırıq:
.
Sonuncu, ( n+ 1) bu matrisin sütununda (13) sistemin həlli var.
Mathcad-da Gauss metodunun irəli və geri hərəkətləri funksiya ilə yerinə yetirilir rref(A).
Şəkil 9-da xətti tənliklər sisteminin Qauss metodu ilə həlli göstərilmişdir aşağıdakı funksiyalar:
rref( A)
Matrisin addım forması qaytarılır A.
artırmaq ( A, IN)
Məkan tərəfindən yaradılmış massivi qaytarır A Və IN yan-yana. Massivlər A Və IN eyni sayda sətir olmalıdır.
submatris( A, ir, jr, ic, jc)
Bütün elementlərdən ibarət alt matrisi qaytarır ir By jr və sütunlarla i c By jc. Buna əmin olun ir jr Və
i c jc,əks halda sətirlərin və/yaxud sütunların sırası dəyişdiriləcək.
Şəkil 9.
Metodun təsviri
n naməlumlu n xətti tənlik sistemi üçün (ixtiyari sahə üzərində)
sistem matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olan Δ ilə həll şəklində yazılır
(sistem matrisinin i-ci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz olunur).
Başqa bir formada, Kramer qaydası aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: istənilən c1, c2, ..., cn əmsalları üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:
Bu formada Cramer düsturu Δ-nin sıfırdan fərqli olduğu fərziyyəsi olmadan etibarlıdır, hətta sistemin əmsallarının inteqral halqanın elementləri olmasına ehtiyac yoxdur (sistemin müəyyənedicisi hətta sıfırın bölücü ola bilər; əmsal halqası). Biz həmçinin güman edə bilərik ki, ya b1,b2,...,bn çoxluqları və x1,x2,...,xn çoxluğu, ya da c1,c2,...,cn çoxluğu əmsal halqasının elementlərindən ibarət deyildir. sistemin, lakin bu halqanın üstündəki bəzi modul. Bu formada Kramer düsturu, məsələn, Qram determinantı və Nakayama Lemması üçün düsturun isbatında istifadə olunur.
| 35) Kroneker-Kapelli teoremi |
n naməlumda m qeyri-bircins xətti tənliklər sisteminin ardıcıl olması üçün zəruri və kifayətdir ki, Zərurətin sübutu. (1.13) sistemi ardıcıl olsun, yəni belə ədədlər var X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n, Nə  (1.15) Genişləndirilmiş matrisin sonuncu sütunundan onun α 1-ə vurulan birinci sütununu, α 2-yə, …, n-ci sütununu α n-ə vuran, yəni matrisin sonuncu sütunundan (1.14) çıxaq. ) bərabərliklərin sol tərəflərini çıxmalıyıq (1.15). Sonra matrisi alırıq  elementar çevrilmələr nəticəsində rütbəsi dəyişməyəcək və . Ancaq bu, göz qabağındadır və buna görə də kifayət qədər sübutdur. Müəyyənlik üçün matrisin yuxarı sol küncündə r sırasının sıfırdan fərqli minoru yerləşsin:  Bu o deməkdir ki, matrisin qalan sətirləri kimi əldə edilə bilər xətti birləşmələr ilk r sətirləri, yəni m-r xətləri matrislər ilk r sətirlərinin bəzi ədədlərə vurulan cəmi kimi təqdim oluna bilər. Lakin onda (1.13) sisteminin birinci r tənlikləri müstəqildir, qalanları isə onların nəticələridir, yəni birinci r tənliklər sisteminin həlli avtomatik olaraq qalan tənliklərin həlli olur. İki mümkün hal var. 1. r=n. Onda birinci r tənliklərdən ibarət sistem eyni sayda tənlik və naməlumlara malikdir və ardıcıldır və onun həlli unikaldır. 2.r |
36) əminlik, qeyri-müəyyənlik
Sistem m ilə xətti tənliklər n naməlum(və ya, xətti sistem) xətti cəbrdə formalı tənliklər sistemidir
 |
Budur x 1 , x 2 , …, x n- müəyyən edilməli olan naməlumlar. a 11 , a 12 , …, a mn- sistem əmsalları - və b 1 , b 2 , … b m- azad üzvlər - məlum hesab edilir. Əmsal indeksləri ( a ij) sistemlər tənlik nömrələrini ( i) və naməlum ( j), müvafiq olaraq bu əmsalın dayandığı.
Sistem (1) çağırılır homojen, əgər onun bütün sərbəst şərtləri sıfıra bərabərdirsə ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), əks halda - heterojen.
Sistem (1) çağırılır birgə, ən azı bir həlli varsa və birgə olmayan, əgər onun tək bir həlli yoxdursa.
(1) tipli birgə sistemin bir və ya bir neçə həlli ola bilər.
Həll yolları c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) və c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) (1) formasının birgə sistemləri deyilir müxtəlif bərabərliklərdən ən azı biri pozulduqda:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
(1) formasının birgə sistemi adlanır müəyyən, onun unikal həlli varsa; ən azı iki fərqli həlli varsa, o zaman deyilir qeyri-müəyyən
37) Qauss üsulu ilə xətti tənliklər sistemlərinin həlli
Orijinal sistem belə görünsün
Matris A sistemin əsas matrisi adlanır, b- pulsuz üzvlərin sütunu.
Sonra, sətirlər üzərində elementar çevrilmələrin xassəsinə görə, bu sistemin əsas matrisi eşelon formasına endirilə bilər (eyni çevrilmələr sərbəst şərtlər sütununa da tətbiq edilməlidir):
Sonra dəyişənlər çağırılır əsas dəyişənlər. Qalanların hamısı çağırılır pulsuz.
[redaktə]Uyğunluq vəziyyəti
Hamı üçün yuxarıda göstərilən şərt uyğunluq üçün zəruri və kifayət qədər şərt kimi formalaşdırıla bilər:
Xatırladaq ki, birgə sistemin dərəcəsi onun əsas matrisinin (və ya uzadılmış matrisin, çünki onlar bərabərdir) dərəcəsidir.
Alqoritm
Təsvir
Qauss metodundan istifadə edərək SLAE-lərin həlli alqoritmi iki mərhələyə bölünür.
§ Birinci mərhələdə, cərgələr üzərində elementar çevrilmələr vasitəsilə sistem pilləli və ya üçbucaqlı formaya gətirildikdə və ya sistemin uyğunsuzluğu müəyyən edildikdə, sözdə birbaşa hərəkət həyata keçirilir. Məhz, matrisin birinci sütununun elementləri arasından sıfırdan fərqli birini seçin, cərgələri yenidən yerləşdirməklə onu ən yuxarı mövqeyə aparın və nəticədə yaranan birinci sətiri yenidən təşkil edildikdən sonra qalan sətirlərdən çıxarın, onu dəyərə vurun. bu sətirlərin hər birinin birinci elementinin birinci cərgənin birinci elementinə nisbətinə bərabərdir, beləliklə onun altındakı sütun sıfırlanır. Bu çevrilmələr tamamlandıqdan sonra, birinci sətir və birinci sütun əqli olaraq kəsilir və sıfır ölçülü matris qalana qədər davam etdirilir. Hər hansı iterasiyada birinci sütunun elementləri arasında sıfırdan fərqli element yoxdursa, növbəti sütuna keçin və oxşar əməliyyatı yerinə yetirin.
§ İkinci mərhələdə tərs hərəkət deyilən hərəkət həyata keçirilir ki, onun mahiyyəti nəticədə yaranan bütün əsas dəyişənləri qeyri-əsaslar baxımından ifadə etmək və əsas həllər sistemini qurmaqdan ibarətdir və ya əgər bütün dəyişənlər əsas, sonra xətti tənliklər sisteminin yeganə həllini ədədi olaraq ifadə edin. Bu prosedur sonuncu tənlikdən başlayır, ondan müvafiq əsas dəyişən ifadə olunur (və yalnız bir var) və əvvəlki tənliklərə əvəz olunur və s. "addımlar" qalxır. Hər bir sətir tam olaraq bir əsas dəyişənə uyğundur, buna görə də sonuncu (ən yuxarı) istisna olmaqla, hər addımda vəziyyət sonuncu sətrin vəziyyətini tam olaraq təkrarlayır.
Qauss metodu nizam tələb edir O(n 3) hərəkətlər.
Bu üsul aşağıdakılara əsaslanır:
38)Kroneker-Kapelli teoremi.
Sistem o zaman ardıcıl olur ki, onun əsas matrisinin dərəcəsi onun genişləndirilmiş matrisinin dərəcəsinə bərabər olsun.
Xidmətin məqsədi. Onlayn kalkulyator SLAE üçün qeyri-trivial və fundamental həll tapmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur. Nəticə həlli Word faylında saxlanılır (məsələn, həllə baxın).
Təlimatlar. Matris ölçüsünü seçin:
Xətti bircins tənliklər sistemlərinin xassələri
Sistemin olması üçün qeyri-trivial həllər, onun matrisinin dərəcəsinin naməlumların sayından az olması zəruri və kifayətdir.Teorem. m=n vəziyyətində olan sistemin qeyri-trivial həlli o halda olur ki, bu sistemin determinantı sıfıra bərabər olsun.
Teorem. Sistem üçün həllərin istənilən xətti kombinasiyası da həmin sistemin həllidir.
Tərif. Xətti homojen tənliklər sisteminin həllər toplusu adlanır əsas həllər sistemi, əgər bu çoxluq xətti müstəqil həllərdən ibarətdirsə və sistemin istənilən həlli bu həllərin xətti kombinasiyasıdırsa.
Teorem. Əgər sistem matrisinin r dərəcəsi n naməlumların sayından azdırsa, (n-r) həllərdən ibarət əsas həllər sistemi mövcuddur.
Xətti bircins tənliklər sistemlərinin həlli alqoritmi
- Matrisin dərəcəsinin tapılması.
- Əsas minoru seçirik. Biz asılı (əsas) və sərbəst naməlumları ayırırıq.
- Sistemin əmsalları bazis minora daxil olmayan tənliklərini kəsirik, çünki onlar digərlərinin nəticələridir (minor əsası üzrə teoremə görə).
- Sərbəst bilinməyənləri ehtiva edən tənliklərin şərtlərini sağ tərəfə keçiririk. Nəticə olaraq, determinantı sıfırdan fərqli, verilənə ekvivalent r naməlum olan r tənliklər sistemini alırıq.
- Yaranan sistemi naməlumları aradan qaldıraraq həll edirik. Sərbəst dəyişənlər vasitəsilə asılı dəyişənləri ifadə edən əlaqələri tapırıq.
- Əgər matrisin dərəcəsi dəyişənlərin sayına bərabər deyilsə, sistemin əsas həllini tapırıq.
- Rəng = n vəziyyətində bizim əhəmiyyətsiz bir həllimiz var.
Misal. Vektorlar sisteminin (a 1, a 2,...,a m) əsasını tapın, baza əsasında vektorları sıralayın və ifadə edin. Əgər a 1 =(0,0,1,-1) və 2 =(1,1,2,0) və 3 =(1,1,1,1) və 4 =(3,2,1) olarsa ,4) və 5 =(2,1,0,3).
Sistemin əsas matrisini yazaq:
3-cü sətri (-3) ilə vurun. 3-cü sıraya 4-cü sətri əlavə edək:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
4-cü sətri (-2) ilə vurun. 5-ci sətri (3) ilə vuraq. 4-cü sətirə 5-ci sətri əlavə edək:
1-ci sətirə 2-ci sətri əlavə edək:
Matrisin dərəcəsini tapaq.
Bu matrisin əmsalları olan sistem orijinal sistemə bərabərdir və formaya malikdir:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Naməlumların aradan qaldırılması metodundan istifadə edərək qeyri-trivial bir həll tapırıq:
Sərbəst x 4 vasitəsilə x 1 , x 2 , x 3 asılı dəyişənləri ifadə edən əlaqələri əldə etdik, yəni ümumi həll yolu tapdıq:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
