Xətti vektor fəzası və onun aksiom xassələri. Xətti vektor fəzası: tərifi, xassələri. Vektorların xətti kombinasiyası nədir?

Vikipediyadan material - pulsuz ensiklopediya

Vektor(və ya xətti) boşluq- vektor adlanan elementlər toplusundan ibarət olan, bir-biri ilə toplama və ədədə vurma əməliyyatlarının təyin olunduğu riyazi struktur - skalyar. Bu əməliyyatlar səkkiz aksioma tabedir. Skalar həqiqi, mürəkkəb və ya hər hansı digər ədəd sahəsinin elementləri ola bilər. Belə bir məkanın xüsusi halı, vektorları, məsələn, fiziki qüvvələri təmsil etmək üçün istifadə olunan adi üçölçülü Evklid fəzasıdır. Qeyd etmək lazımdır ki, vektor fəzasının elementi kimi bir vektorun yönləndirilmiş seqment şəklində göstərilməsinə ehtiyac yoxdur. “Vektor” anlayışının istənilən təbiətli vektor fəzasının elementinə ümumiləşdirilməsi nəinki terminlərin çaşqınlığına səbəb olmur, həm də ixtiyari xarakterli fəzalar üçün etibarlı olan bir sıra nəticələri başa düşməyə və ya hətta proqnozlaşdırmağa imkan verir.

Vektor fəzaları xətti cəbrin mövzusudur. Vektor fəzasının əsas xüsusiyyətlərindən biri onun ölçüsüdür. Ölçü fəzanın xətti müstəqil elementlərinin maksimum sayını, yəni kobud həndəsi təsvirə müraciət edərək, bir-biri ilə yalnız toplama və vurma əməliyyatları ilə skalyar ilə ifadə edilə bilməyən istiqamətlərin sayını ifadə edir. Vektor məkanına norma və ya daxili məhsul kimi əlavə strukturlar verilə bilər. Belə fəzalar təbii olaraq riyazi analizdə, ilk növbədə sonsuz ölçülü funksiya fəzaları şəklində görünür ( İngilis dili), burada funksiyalar vektor kimi istifadə olunur. Bir çox analiz problemləri vektorlar ardıcıllığının verilmiş vektora yaxınlaşıb yaxınlaşmadığını öyrənməyi tələb edir. Belə suallara baxılması əlavə strukturlu vektor fəzalarında, əksər hallarda uyğun topologiya ilə mümkündür ki, bu da bizə yaxınlıq və davamlılıq anlayışlarını müəyyən etməyə imkan verir. Belə topoloji vektor fəzaları, xüsusən Banax və Hilbert fəzaları daha dərindən öyrənməyə imkan verir.

Vektorlardan əlavə, xətti cəbr daha yüksək dərəcəli tensorları da öyrənir (skaler 0 dərəcə tensor, vektor 1 dərəcə tensor hesab olunur).

Vektor fəzası anlayışının tətbiqini nəzərdə tutan ilk əsərlər 17-ci əsrə aiddir. Məhz o zaman analitik həndəsə, matrislər doktrinası, xətti tənliklər sistemləri və Evklid vektorları inkişaf etməyə başladı.

Tərif

Xətti, və ya vektor sahəsi $V\backslash sol(F\backslash sağ)$ sahənin üstündə $F$- bu sifarişli dördlükdür $(V,F,+,\backslash cdot)$, Harada

• $V$- adlanan ixtiyari xarakterli elementlərin boş olmayan çoxluğu vektorlar;
• $F$- elementləri adlanan (cəbri) sahə skalyarlar;
• Əməliyyat müəyyən edildi əlavə vektorlar $V\; \backslash \; dəfə\; V\backslash \; -\; V$, hər bir element cütünü birləşdirən $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ dəstləri $V$ $V$ onları çağırdı məbləğ və təyin edilmişdir $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Əməliyyat müəyyən edildi vektorların skalyarlara vurulması $F\; \backslash \; dəfə\; V\backslash \; -\; V$, hər bir elementə uyğundur $\backslash lambda$ sahələr $F$ və hər bir element $\backslash mathbf(x)$ dəstləri $V$ dəstin yeganə elementi $V$, işarələnmişdir $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ və ya $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Eyni elementlər toplusunda, lakin müxtəlif sahələr üzərində müəyyən edilmiş vektor boşluqları fərqli vektor fəzaları olacaq (məsələn, həqiqi ədədlər cütləri dəsti) $\backslash mathbb(R)^2$ həqiqi ədədlər sahəsi üzərində iki ölçülü vektor fəzası və ya birölçülü - kompleks ədədlər sahəsi üzərində ola bilər).

Ən sadə xüsusiyyətlər

1. Vektor fəzası əlavə olunan Abel qrupudur.
2. Neytral element $\backslash mathbf(0)\; \backslash V-də$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ hər kəs üçün $\backslash mathbf(x)\; \backslash V-də$.
4. Hər kəs üçün $\backslash mathbf(x)\; \backslash V-də$əks element $-\backslash mathbf(x)\backslash in\; V$ qrup xassələrindən irəli gələn yeganə şeydir.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ hər kəs üçün $\backslash mathbf(x)\; \backslash V-də$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ hər hansı üçün $F-də\; \backslash alfa\; \backslash$ Və $\backslash mathbf(x)\; \backslash V-də$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ hər kəs üçün $F-də\; \backslash alfa\; \backslash$.

Əlaqədar təriflər və xüsusiyyətlər

Alt kosmos

Cəbr tərifi: Xətti alt fəza və ya vektor alt fəzası- boş olmayan alt çoxluq $K$ xətti fəza $V$ belə $K$ ilə müəyyən edilənlərə münasibətdə özü xətti fəzadır $V$ skaler ilə toplama və vurma əməliyyatları. Bütün alt fəzaların çoxluğu adətən kimi işarələnir $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Alt çoxluğun alt fəza olması üçün bu zəruri və kifayətdir

1. hər hansı bir vektor üçün $\backslash mathbf(x)\backslash K-də$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ də aid idi $K$, istənilən üçün $F-də\; \backslash alfa$;
2. bütün vektorlar üçün $K-də\; \backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ də aid idi $K$.

Son iki ifadə aşağıdakılara bərabərdir:

Bütün vektorlar üçün $K-də\; \backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ də aid idi $K$ hər hansı üçün $F-də\; \backslash alfa,\; \backslash beta\; \backslash$.

Xüsusilə, yalnız bir sıfır vektorundan ibarət vektor fəzası istənilən fəzanın alt fəzasıdır; hər fəza özünün alt fəzasıdır. Bu ikisi ilə üst-üstə düşməyən alt fəzalar adlanır sahibi və ya qeyri-trivial.

Alt fəzaların xassələri

• İstənilən alt fəza ailəsinin kəsişməsi yenə alt fəzadır;
• Alt fəzaların cəmi $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ elementlərin bütün mümkün cəmlərini ehtiva edən çoxluq kimi müəyyən edilir $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Sonlu alt fəzalar ailəsinin cəmi yenə alt fəzadır.

Xətti birləşmələr

Formanın son məbləği

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Xətti birləşmə deyilir:

Əsas. Ölçü

Vektorlar $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ adlandırılır xətti asılı, əgər onların sıfıra bərabər qeyri-trivial xətti kombinasiyası varsa:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Əks halda bu vektorlar deyilir xətti müstəqil.

Bu tərif aşağıdakı ümumiləşdirməyə imkan verir: sonsuz vektor dəsti $V$çağırdı xətti asılı, bəziləri xətti asılı olarsa final onun alt çoxluğu və xətti müstəqil, əgər varsa final alt çoxluq xətti müstəqildir.

Bazanın xüsusiyyətləri:

• Hər hansı $n$ xətti müstəqil elementlər $n$-ölçülü fəza forması əsas bu boşluq.
• İstənilən vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash V-də$əsas elementlərin sonlu xətti kombinasiyası kimi (unikal olaraq) təmsil oluna bilər:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Xətti qabıq

Xətti qabıq $\backslash mathcal\; V(X)$ alt çoxluqlar $X$ xətti fəza $V$- bütün alt fəzaların kəsişməsi $V$ ehtiva edir $X$.

Xətti aralıq bir alt fəzadır $V$.

Xətti qabıq da deyilir yaradılan alt fəzadır $X$. Xətti qabığın olduğu da deyilir $\backslash mathcal\; V(X)$- boşluq, uzadılıb bir dəstə $X$.

Xətti qabıq $\backslash mathcal\; V(X)$ elementlərinin müxtəlif sonlu alt sistemlərinin bütün mümkün xətti birləşmələrindən ibarətdir $X$. Xüsusilə, əgər $X$ deməli, sonlu çoxluqdur $\backslash mathcal\; V(X)$ elementlərin bütün xətti birləşmələrindən ibarətdir $X$. Beləliklə, sıfır vektoru həmişə xətti gövdəyə aiddir.

Əgər $X$ xətti müstəqil çoxluqdur, onda bazisdir $\backslash mathcal\; V(X)$ və bununla da onun ölçüsünü müəyyən edir.

Nümunələr

• Yeganə elementi sıfır olan boş boşluq.
• Bütün funksiyaların sahəsi $X\backslash -dən\; F$ sonlu dəstəyi ilə kardinallığa bərabər ölçüdə vektor fəzasını təşkil edir $X$.
• Həqiqi ədədlər sahəsini rasional ədədlər sahəsi üzərində kontinuum ölçülü vektor fəzası kimi qəbul etmək olar.
• İstənilən sahə özündən yuxarı bir ölçülü fəzadır.

Əlavə strukturlar

həmçinin bax

"Vektor məkanı" məqaləsi haqqında rəy yazın

Qeydlər

Ədəbiyyat

• Gelfand I. M. Xətti cəbr üzrə mühazirələr. - 5-ci. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 s. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Xətti cəbr üzrə mühazirələr. 5-ci nəşr. - M .: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 320 s. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu. Xətti cəbr və həndəsə. 2-ci nəşr. - M.: Nauka, 1986. - 304 s.
• Kostrikin A.I. Cəbrə giriş. 2-ci hissə: Xətti cəbr. - 3-cü. - M.: Nauka., 2004. - 368 s. - (Universitet dərsliyi).
• Maltsev A.I. Xətti cəbrin əsasları. - 3-cü. - M.: Nauka, 1970. - 400 s.

• Postnikov M.M. Xətti cəbr (Həndəsədən mühazirələr. II semestr). - 2-ci. - M.: Nauka, 1986. - 400 s.
• Strang G. Xətti cəbr və onun tətbiqləri. - M.: Mir, 1980. - 454 s.
• İlyin V. A., Poznyak E. G. Xətti cəbr. 6-cı nəşr. - M.: Fizmətlit, 2010. - 280 s. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmos P. Sonlu-ölçülü vektor fəzaları. - M.: Fizmətqız, 1963. - 263 s.
• Faddeev D.K. Cəbr üzrə mühazirələr. - 5-ci. - Sankt-Peterburq. : Lan, 2007. - 416 s.
• Şafareviç I. R., Remizov A. O. Xətti cəbr və həndəsə. - 1-ci. - M.: Fizmətlit, 2009. - 511 s.
• Schreyer O., Sperner G. Həndəsi təqdimatda xətti cəbrə giriş = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (Alman dilindən tərcümə). - M.–L.: ONTİ, 1934. - 210 s.

Vektorlar və matrislər Vektorlar Əsas anlayışlar Vektorların növləri Vektorlar üzərində əməliyyatlar Məkan növləri Matrislər Əsas anlayışlar Digər

Vektor Məkanını xarakterizə edən bir parça

Kutuzov sıralarda gəzir, arabir dayanıb türk müharibəsindən tanıdığı zabitlərə, bəzən də əsgərlərə bir neçə xoş sözlər deyirdi. Ayaqqabılara baxaraq, kədərlə bir neçə dəfə başını buladı və Avstriya generalına elə bir ifadə ilə işarə etdi ki, bunda heç kimi günahlandırmırdı, amma bunun nə qədər pis olduğunu görməyə bilməzdi. Hər dəfə alay komandiri baş komandirin alayla bağlı sözünü qaçırmaqdan qorxaraq qabağa qaçırdı. Kutuzovun arxasında, hər hansı bir zəif söz eşidiləcək qədər məsafədə, 20-yə yaxın adam yoldaşları ilə getdi. Yoldaşların bəyləri öz aralarında danışır, bəzən gülürdülər. Yaraşıqlı adyutant baş komandirə ən yaxın yeridi. Şahzadə Bolkonski idi. Onun yanında hündürboylu kadr zabiti, həddindən artıq kök, mehriban və gülərüz yaraşıqlı siması, nəmli gözləri olan yoldaşı Nesvitski gedirdi; Yanında gedən qara hussar zabitindən həyəcanlanan Nesvitski gülməkdən çətinliklə özünü saxlaya bildi. Hussar zabiti təbəssüm etmədən, bərkidilmiş gözlərinin ifadəsini dəyişmədən ciddi sifətlə alay komandirinin arxasına baxır, onun hər hərəkətini təkrarlayırdı. Alay komandiri hər dəfə tərpənib irəli əyiləndə, tam eyni şəkildə, eyni şəkildə, hussar zabiti də tərpənib irəli əyilirdi. Nesvitski güldü və başqalarını gülməli adama baxmağa itələdi.
Kutuzov yavaş-yavaş və ləng addımlarla yuvalarından çıxan minlərlə gözün yanından keçdi, müdirinə baxdı. 3-cü şirkətə yetişib qəfil dayandı. Bu dayanacağı gözləməyən yoldaşlar istər-istəməz ona tərəf irəlilədilər.
- Ah, Timoxin! – deyə baş komandan göy paltosuna görə əziyyət çəkən qırmızı burunlu kapitanı tanıdı.
Görünürdü ki, alay komandiri onu töhmət edərkən Timoxinin uzandığından daha çox uzanmaq mümkün deyil. Amma bu zaman baş komandan ona müraciət etdi, kapitan dik durdu ki, deyəsən, baş komandan bir az da ona baxsaydı, kapitan buna dözə bilməyəcəkdi; və buna görə də Kutuzov, yəqin ki, mövqeyini başa düşdü və əksinə, kapitan üçün ən yaxşısını arzulayaraq tələsik üz çevirdi. Kutuzovun dolğun, yarası eybəcər sifətində az nəzərə çarpan bir təbəssüm yayıldı.
"Başqa bir izmailovo yoldaş" dedi. - Cəsur zabit! Bundan razısınızmı? – Kutuzov alay komandirindən soruşdu.
Güzgüdəki kimi, özünə görünməyən, hussar zabitində əks olunan alay komandiri titrəyərək irəli çıxdı və cavab verdi:
– Mən çox məmnunam, Zati-aliləri.
"Hamımızın zəif tərəfimiz yoxdur" dedi Kutuzov gülümsəyərək ondan uzaqlaşdı. “Onun Bakxa bağlılığı var idi.
Alay komandiri bunun günahkar olmasından qorxdu və heç nə cavab vermədi. Bu zaman zabit kapitanın qırmızı burunlu və qarnı bükülmüş sifətini gördü və onun üzünü və pozasını elə yaxından təqlid etdi ki, Nesvitski gülməkdən saxlaya bilmədi.
Kutuzov çevrildi. Aydın idi ki, zabit üzünü istədiyi kimi idarə edə bilər: Kutuzov arxaya çevrilən anda zabit üzünü buruşdurmağı bacardı və bundan sonra ən ciddi, hörmətli və məsum ifadəni aldı.
Üçüncü şirkət sonuncu idi və Kutuzov fikirləşdi, görünür, nəyisə xatırladı. Şahzadə Andrey müttəfiqlərindən çıxdı və sakitcə fransızca dedi:
– Siz bu alayda rütbəsi aşağı salınmış Doloxov haqqında xatırlatma əmri verdiniz.
- Doloxov haradadır? – Kutuzov soruşdu.
Artıq boz əsgər paltosunu geyinmiş Doloxov çağırılmağı gözləmədi. Öndən açıq mavi gözlü sarışın əsgərin zərif fiquru çıxdı. Baş komandirə yaxınlaşıb onu keşik çəkdi.
- İddia? – Kutuzov bir az qaşqabağını çəkərək soruşdu.
"Bu Doloxovdur" dedi Şahzadə Andrey.
- A! - Kutuzov dedi. "Ümid edirəm ki, bu dərs sizi düzəldəcək, yaxşı xidmət edəcək." Rəbb mərhəmətlidir. Əgər buna layiqsənsə, səni unutmayacağam.
Göy, aydın gözlər baş komandana alay komandirinə olduğu kimi meydan oxuyaraq baxırdılar, sanki öz ifadələri ilə indiyə qədər baş komandanı əsgərdən ayıran konvensiya pərdəsini qoparırdılar.
"Bir şey xahiş edirəm, Zati-aliləri" dedi o, gur, qəti, tələsməz səsi ilə. "Xahiş edirəm, günahımı düzəltmək və İmperator və Rusiyaya sədaqətimi sübut etmək üçün mənə şans verin."
Kutuzov üz çevirdi. Gözlərindəki təbəssüm kapitan Timoxindən üz döndərdiyi kimi üzündə parıldadı. O, üzünü çevirdi və gözünü qamaşdırdı, sanki Doloxovun ona söylədiyi hər şeyin və ona deyə biləcəyi hər şeyin çoxdan, çoxdan bildiyini, bütün bunların artıq onu darıxdırdığını və bütün bunların olmadığını ifadə etmək istəyirdi. ona lazım olan hər şey. Dönüb uşaq arabasına tərəf getdi.
Alay şirkətlərdə dağıldı və çətin yürüşlərdən sonra ayaqqabı geyinməyə, geyinməyə və dincəlməyə ümid etdikləri Braunaudan çox uzaq olmayan təyinatlı məhəllələrə getdi.
- Proxor İqnatiç, siz mənə iddia etmirsiniz? - deyə alay komandiri 3-cü rotanın ətrafında sürərək yerə doğru irəliləyir və qabağında gedən kapitan Timoxinə yaxınlaşır. Alay komandirinin üzü sevinclə tamamlanan baxışdan sonra idarəolunmaz sevinc ifadə etdi. - Kral xidməti... mümkün deyil... başqa vaxt cəbhədə bitirəcəksən... Əvvəl üzr istəyəcəm, məni tanıyırsan... Çox sağ ol! - Və o, rota komandirinə əl uzatdı.
-Rəhmət olsun, general, cəsarət edirəm! - kapitan cavab verdi, burnu ilə qırmızıya çevrildi, gülümsədi və İsmayılın altındakı iki ön dişin olmadığını təbəssümlə ortaya qoydu.
- Bəli, cənab Doloxova deyin ki, mən onu unutmayacağam, sakitləşsin. Hə, zəhmət olmasa deyin, məndən soruşmaq istəyirdim ki, necədir, özünü necə aparır? Və hamısı budur...
“O, öz xidmətində çox yararlıdır, Zati-aliləri... amma kirayəçi...” Timoxin dedi.
- Nə, hansı xarakter? – alay komandiri soruşdu.
"Zati-aliləri günlərlə onun ağıllı, savadlı və xeyirxah olduğunu görür" dedi kapitan. Bu heyvandır. Polşada bir yəhudi öldürdü, xahiş etsəniz...
"Yaxşı, bəli, yaxşı" dedi alay komandiri, "biz hələ də bədbəxtlik içində olan gəncə təəssüflənməliyik." Axı, əla əlaqələr... Beləliklə, siz...
"Dinləyirəm, Zati-aliləri" dedi Timoxin gülümsəyərək, müdirin istəklərini başa düşdüyünü hiss etdirdi.
- Hə hə.
Alay komandiri Doloxovu sıralarında tapdı və atının cilovunu tutdu.
"İlk tapşırıqdan əvvəl, epauletlər" dedi ona.
Doloxov ətrafa baxdı, heç nə demədi və istehza ilə gülümsəyən ağzının ifadəsini dəyişmədi.
"Yaxşı, bu yaxşıdır" deyə alay komandiri davam etdi. "İnsanların hər biri məndən bir stəkan araq alır" deyə əlavə etdi ki, əsgərlər eşitsin. - Hər kəsə təşəkkürlər! Allah qorusun! - Və o, şirkəti ötərək başqa birinə getdi.
“Yaxşı, o, həqiqətən də yaxşı insandır; "Onunla xidmət edə bilərsiniz" dedi subalter Timoxin yanında gedən zabitə.
“Bir söz, könüllərin padşahı!... (alay komandiri ürəklərin şahı ləqəbini alırdı)”, - tabeçi zabit gülərək dedi.
Baxışdan sonra səlahiyyətlilərin şən əhval-ruhiyyəsi əsgərlərə keçdi. Şirkət şən gəzirdi. Hər tərəfdən əsgərlərin səsi gəlirdi.
- Nə dedilər, əyri Kutuzov, bir göz haqqında?
- Əks halda, yox! Tamamilə əyri.
- Yox... qardaş, onun səndən böyük gözləri var. Çəkmələr və çəkmələr - hər şeyə baxdım ...
- O, ay qardaş, ayağıma necə baxsın... yaxşı! Düşünün...
- Və digər avstriyalı, onunla birlikdə sanki təbaşirlə bulaşmışdı. Un kimi, ağ. Mən çay, sursatları necə təmizləyirlər!
- Nə, Fedeşou!... dedi ki, döyüş başlayanda daha yaxın dayanmısan? Hamısı dedi ki, Bunaparte özü Brunovoda dayanır.
- Bunaparte buna dəyər! yalan deyir, axmaq! Nəyi bilmir! İndi prussiyalılar üsyan edir. Avstriyalı ona görə də onu sakitləşdirir. Sülh bağlayan kimi Bunaparte ilə müharibə başlayacaq. Əks halda, deyir, Bunaparte Brunowda dayanır! Bu onun axmaq olduğunu göstərir. Daha çox qulaq asın.
- Baxın, lənət olsun kirayəçilərə! Beşinci şirkət, bax, artıq kəndə dönür, sıyıq bişirəcəklər, biz hələ yerə çatmayacağıq.
- Mənə bir az kraker ver, lənətə gəlsin.
- Dünən mənə tütün verdin? Budur, qardaş. Buyurun, Allah sizinlə olsun.
"Heç olmasa dayandılar, əks halda daha beş mil yemərik."
– Almanların bizə uşaq arabası verməsi gözəl idi. Getdiyiniz zaman bilin: vacibdir!
"Və burada, qardaş, insanlar tamamilə quduz olublar." Orada hər şey qütb kimi görünürdü, hər şey rus tacından idi; indi, qardaş, o, tamamilə alman olub.
- Mahnı müəllifləri irəli! – kapitanın qışqırtısı eşidildi.
Və iyirmi nəfər müxtəlif cərgələrdən şirkətin qarşısına qaçdı. Nağaraçı oxumağa başladı və üzünü bəstəkarlara çevirdi və əlini yelləyərək “Sübh açılmadı, günəş söndü...” sözləri ilə başlayan uzunsov əsgər mahnısına başladı. : “Beləliklə, qardaşlar, bizim və Kamenskinin atasının şöhrəti olacaq...” Bu mahnı Türkiyədə bəstələnib və indi Avstriyada oxunur, ancaq dəyişikliklə “Kamenskinin atası” sözünün yerinə bu sözlər daxil edilib: “ Kutuzovun atası."
Əsgər kimi bu son sözləri qoparıb əllərini yelləyən, sanki yerə nəsə atırmış kimi qırx yaşlarında quru və yaraşıqlı əsgər olan nağaraçı əsgər mahnı müəlliflərinə sərt şəkildə baxıb gözlərini yumdu. Sonra bütün gözlərin ona dikildiyinə əmin olub, deyəsən, hər iki əli ilə ehtiyatla hansısa gözəgörünməz, qiymətli şeyi başının üstündən qaldırdı, onu bir neçə saniyə belə tutdu və birdən ümidsizcəsinə atdı:
Oh, sən, mənim kölgəm, örtüm!
“Mənim yeni örtüm...” iyirmi səsin əks-sədası eşidildi və qaşıqçı sursatının ağırlığına baxmayaraq cəld irəli atılıb geriyə doğru şirkətin qabağında getdi, çiyinlərini hərəkət etdirərək qaşıqları ilə kimisə hədələdi. Mahnının ritminə qollarını yelləyən əsgərlər qeyri-ixtiyari ayaqlarını vuraraq uzun addımlarla yeriyirdilər. Şirkətin arxasından təkərlərin səsləri, bulaqların xırıltısı və atların tapdalanması eşidilirdi.
Kutuzov və yoldaşları şəhərə qayıdırdılar. Baş komandan xalqın sərbəst yeriməyə davam etməsi üçün işarə verdi, mahnının sədaları altında rəqs edən əsgəri və əsgərləri gördükdə onun üzündə və bütün sifətində həzz ifadə olundu. şirkət şən və sürətli addımlayır. İkinci cərgədə vaqonun şirkətləri ötdüyü sağ cinahdan biri istər-istəməz mavi gözlü əsgər Doloxovun gözünə tuş gəldi, o, mahnının ritminə xüsusilə cəld və zərif addımlarla gedir və onların üzünə baxırdı. belə bir ifadə ilə keçənlər, sanki bu anda şirkətlə getməyən hər kəsə yazığı gəlirdi. Kutuzovun yoldaşlarından bir hussar korneti alay komandirini təqlid edərək vaqonun arxasına düşdü və Doloxova tərəf getdi.
Bir vaxtlar Sankt-Peterburqda Zherkov hussar korneti Doloxovun rəhbərlik etdiyi zorakı cəmiyyətə mənsub idi. Xaricdə Jerkov Doloxovla bir əsgər kimi görüşdü, lakin onu tanımağa ehtiyac duymadı. İndi Kutuzovun rütbəsi aşağı salınmış adamla söhbətindən sonra köhnə dostunun sevinci ilə ona tərəf döndü:
- Əziz dostum, necəsən? – mahnının sədası ilə atının addımını şirkətin addımı ilə uyğunlaşdırdı.
- Mən beləyəm? - Doloxov soyuq cavab verdi, - gördüyünüz kimi.
Canlı mahnı, Jerkovun danışdığı arsız şən tonuna və Doloxovun cavablarının qəsdən soyuqluğuna xüsusi əhəmiyyət verdi.
- Yaxşı, müdirinlə necə anlaşırsan? – Jerkov soruşdu.
- Heç nə, yaxşı insanlar. Qərargaha necə daxil oldunuz?
- Ezam olunmuş, növbətçi.
Onlar susdular.
"O, sağ qolundan bir şahin buraxdı" dedi mahnı, istər-istəməz şən, şən bir hiss oyatdı. Mahnının sədaları altında danışmasaydılar, yəqin ki, söhbətləri başqa cür olardı.
– Avstriyalıların döyüldüyü doğrudurmu? – Doloxov soruşdu.
“Şeytan onları tanıyır” deyirlər.
"Mən şadam" Doloxov mahnının tələb etdiyi kimi qısa və aydın cavab verdi.
"Yaxşı, axşam bizə gəl, fironu girov qoyacaqsan" dedi Jerkov.
– Yoxsa pulun çoxdur?
- Gəl.
- Qadağandır. and içdim. Onlar bunu edənə qədər nə içmirəm, nə də qumar oynayıram.
- Yaxşı, keçək birinci şeyə...
- Orda baxarıq.
Yenə susdular.
"Bir şeyə ehtiyacınız varsa, içəri girin, qərargahdakı hamı kömək edəcək ..." dedi Zherkov.
Doloxov gülümsədi.
- Narahat olmasanız yaxşı olar. Ehtiyacım olan heç nə istəməyəcəyəm, özüm alacam.
- Yaxşı, mən çox...
- Yaxşı, mən də.
- Sağol.
-Sağ ol...
... və yüksək və uzaq,
Ev tərəfində...
Jerkov, həyəcanlanaraq üç dəfə təpik atan, hansından başlayacağını bilmədən, idarə edib çaparaq, şirkəti ötüb arabaya çatan ata, həm də mahnının döyüntüsünə toxundu.

Baxışdan qayıdan Kutuzov, Avstriya generalının müşayiəti ilə kabinetinə girdi və adyutantı çağıraraq, gələn qoşunların vəziyyəti ilə bağlı bəzi sənədləri və qabaqcıl orduya komandanlıq edən Archduke Ferdinanddan alınan məktubları verməyi əmr etdi. . Şahzadə Andrey Bolkonski tələb olunan sənədlərlə baş komandanın kabinetinə daxil olub. Kutuzov və Gofkriegsratın bir avstriyalı üzvü masanın üzərinə qoyulmuş planın qarşısında oturdular.
"Ah..." Kutuzov Bolkonskiyə baxaraq dedi, sanki bu sözlə adyutantı gözləməyə dəvət etdi və fransızca başladığı söhbətə davam etdi.
"Mən yalnız bir şeyi deyirəm, general" dedi Kutuzov xoş bir ifadə və intonasiya lütfü ilə, sizi hər bir rahat danışılan sözü diqqətlə dinləməyə məcbur etdi. Kutuzovun özünü dinləməkdən həzz aldığı aydın idi. "Mən yalnız bir şeyi deyirəm, general, əgər məsələ mənim şəxsi istəyimdən asılı olsaydı, Əlahəzrət İmperator Fransın vəsiyyəti çoxdan yerinə yetirilərdi." Archduke-ə çoxdan qoşulmuşdum. Və şərəfimə inanın, ordunun ali komandanlığını məndən daha bilikli və bacarıqlı, Avstriyanın bu qədər bol olduğu generala təhvil vermək və bütün bu ağır məsuliyyətdən əl çəkmək şəxsən mənim üçün sevinc olardı. Amma şərait bizdən güclüdür, general.
Kutuzov isə sanki deyirmiş kimi gülümsədi: “Mənə inanmamağa haqqın var, hətta mənə inanıb inanmamağın heç vecinə də deyil, amma bunu mənə söyləmək üçün heç bir səbəbin yoxdur. Və bütün məqam budur."
Avstriyalı general narazı görünsə də, Kutuzova eyni tonda cavab verməyə bilməzdi.
“Əksinə, – o, dediyi sözlərin yaltaq mənasının əksinə olaraq, qəzəbli və qəzəbli tonda dedi, – əksinə, Zati-alilərinin ümumi işdə iştirakını Əlahəzrət yüksək qiymətləndirir; lakin biz inanırıq ki, indiki ləngimə şanlı rus qoşunlarını və onların baş komandanlarını döyüşlərdə qazanmağa adət etdikləri dəfnələrdən məhrum edir”, - deyə o, zahirən hazırlanmış ifadəsini tamamladı.
Kutuzov təbəssümünü dəyişmədən əyildi.
“Və mən o qədər əminəm ki, Əlahəzrət Archduke Ferdinandın məni şərəfləndirdiyi son məktubuna əsasən, güman edirəm ki, general Mak kimi bacarıqlı köməkçinin komandanlığı altında Avstriya qoşunları indi qəti qələbə qazanıblar və artıq qələbə qazana bilməyiblər. bizim köməyimizə ehtiyacımız var” dedi Kutuzov.
General qaşlarını çatdı. Avstriyalıların məğlubiyyəti ilə bağlı heç bir müsbət xəbər olmasa da, ümumi xoşagəlməz şayiələri təsdiqləyən çoxlu hallar var idi; və buna görə də Kutuzovun avstriyalıların qələbəsi ilə bağlı fərziyyəsi istehza ilə çox oxşar idi. Ancaq Kutuzov hələ də eyni ifadə ilə təvazökarlıqla gülümsədi və bu, bunu qəbul etmək hüququna sahib olduğunu söylədi. Həqiqətən də Mac ordusundan aldığı son məktub ona qələbədən və ordunun ən əlverişli strateji mövqeyindən xəbər verirdi.
"Bu məktubu mənə burada ver" dedi Kutuzov knyaz Andreyə müraciət etdi. - Zəhmət olmasa baxın. - Və Kutuzov dodaqlarının ucunda istehzalı təbəssümlə Avstriya generalına archduke Ferdinandın məktubundan aşağıdakı parçanı alman dilində oxudu: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er. den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; Mithin auch jeden Augenblick, Wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit wolf ganzer ve Machtlite wenn. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, and sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, yəni.” [Bizim kifayət qədər cəmləşmiş qüvvələrimiz var, təxminən 70.000 nəfər, belə ki, düşmən Lexdən keçərsə, ona hücum edib onu məğlub edə bilək. Artıq Ulm-a sahib olduğumuz üçün Dunayın hər iki sahilinin komandanlıq üstünlüklərini saxlaya bilərik, buna görə də hər dəqiqə, əgər düşmən Lexdən keçməsə, Dunaydan keçib, onun rabitə xəttinə tələsmək və aşağıda Dunaydan geri keçmək. düşmənə, əgər bütün gücünü bizim sadiq müttəfiqlərimizə yönəltmək qərarına gəlsə, onun niyyətinin həyata keçməsinə mane ol. Beləliklə, biz imperiya rus ordusunun tam hazır olacağı vaxtı sevinclə gözləyəcəyik və sonra birlikdə düşmənə layiq olduğu taleyi hazırlamaq fürsətini asanlıqla tapacağıq.”]

VEKTOR SPACE, K sahəsinin üzərində xətti fəza, elementlərin skalyarlarla vurulmasının müəyyən edildiyi, əlavə olaraq yazılmış Abel qrup E qrupudur, yəni.

K × E → E: (λ, x) → λx,

aşağıdakı aksiomları ödəməklə (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

(0 ∈ E) vektor fəzasının aşağıdakı mühüm xassələri 1)-4 aksiomlarından irəli gəlir:

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Elementləri V. p. V.p.-nin nöqtələri və ya vektorlar və K sahəsinin elementləri skalerdir.

Riyaziyyatda və tətbiqlərdə ən böyük tətbiq kompleks ədədlərin ℂ sahəsi və ya həqiqi ədədlərin ℝ sahəsi üzərində edilir; çağırırlar müvafiq olaraq, kompleks v. p. və ya real v. p.

v. p-nin aksiomaları müəyyən cəbri aşkar edir. analizdə tez-tez rast gəlinən bir çox funksiya siniflərinin xassələri. Şaquli fəza nümunələrindən ən əsası və ən erkəni n-ölçülü Evklid fəzalarıdır. Demək olar ki, eyni dərəcədə vacib nümunələr çoxlu funksiya fəzalarıdır: davamlı funksiyalar fəzası, ölçülə bilən funksiyalar fəzası, cəmlənən funksiyalar fəzası, analitik funksiyalar məkanı. funksiyalar, məhdud dəyişkən funksiyalar məkanı.

V. fəza anlayışı halqa üzərində modul anlayışının xüsusi halıdır, yəni v. fəza sahə üzərində vahid moduldur. Qeyri-kommutativ əyilmə sahəsi üzərində unitar modul da adlanır. bədən üzərində vektor sahəsi; belə dalğa formalarının nəzəriyyəsi bir çox cəhətdən sahə üzərində dalğa formaları nəzəriyyəsindən daha mürəkkəbdir.

Vektor fəzaları ilə bağlı mühüm problemlərdən biri vektor fəzalarının həndəsəsinin, yəni vektor fəzalarında xətlərin, vektor fəzalarında düz və qabarıq çoxluqların, vektor fəzalarının alt fəzalarının, V vektor fəzalarında əsasların öyrənilməsidir s.

Vektor alt fəzası və ya sadəcə alt fəza, V. p sahəsi K adlanır. bir alt çoxluq F ⊂ E skalyar ilə toplama və vurma hərəkətləri altında bağlandı. Onu ehtiva edən fəzadan ayrı hesab edilən alt fəza eyni sahənin üzərindəki boşluqdur.

İki x və y B nöqtəsindən keçən düz xəttə E deyilir. z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K şəklində olan z ∈ E elementlər çoxluğu. G ∈ E çoxluğu adlanır. düz çoxluq, əgər hər hansı iki nöqtə ilə birlikdə bu nöqtələrdən keçən bir xətt varsa. Hər bir düz dəst bir yerdəyişmə (paralel tərcümə) istifadə edərək müəyyən bir alt fəzadan əldə edilir: G = x + F; bu o deməkdir ki, hər bir z ∈ G elementi z = x + y, y ∈ F formasında unikal şəkildə təmsil oluna bilər və bu bərabərlik F və G arasında bir-bir uyğunluğu təmin edir.

Verilmiş F alt fəzasının bütün F x = x + F yerdəyişmələri çoxluğu K üzərində V. fəzasını təşkil edir, adlanır. E/F faktor sahəsi, əgər əməliyyatları aşağıdakı kimi təyin etsək:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

M = (x α) α∈A E-dən ixtiyari vektorlar çoxluğu olsun; x α ∈ E vektorlarının xətti kombinasiyası adlanır. düsturla təyin olunan x vektoru

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

burada yalnız sonlu sayda əmsallar sıfırdan fərqlidir. Verilmiş M çoxluğunun vektorlarının bütün xətti kombinasiyalarının çoxluğu M olan ən kiçik alt fəzadır və adlanır. çoxluğun xətti span M. Xətti birləşmə deyilir. bütün λ α əmsalları sıfıra bərabər olduqda əhəmiyyətsizdir. M çoxluğu adlanır. M-dən vektorların bütün qeyri-trivial xətti birləşmələri sıfırdan fərqli olduqda xətti müstəqil çoxluq.

İstənilən xətti müstəqil çoxluq müəyyən bir maksimum xətti müstəqil M0 çoxluğunda, yəni E-dən hər hansı bir element əlavə edildikdən sonra xətti müstəqilliyini dayandıran çoxluqda olur.

Hər bir x ∈ E elementi maksimum xətti müstəqil çoxluğun elementlərinin xətti birləşməsi kimi unikal şəkildə təmsil oluna bilər:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

Bununla əlaqədar olaraq maksimum xətti müstəqil çoxluq deyilir. əsası V. s. (cəbri əsas). Verilmiş VP-nin bütün əsasları eyni kardinallığa malikdir, sözdə. ölçü V. p. Bu güc sonludursa, fəza deyilir. sonlu ölçülü V. p.; əks halda adlanır sonsuz ölçülü V. s.

K sahəsini K sahəsi üzərində birölçülü şaquli fəza kimi qəbul etmək olar; bu V. bəndin əsası bir elementdən ibarətdir; sıfırdan başqa istənilən element ola bilər. Əsası n elementdən ibarət son ölçülü vektor deyilir. n ölçülü fəza.

Həqiqi və mürəkkəb qabarıq çoxluqlar nəzəriyyəsində qabarıq çoxluqlar nəzəriyyəsi mühüm rol oynayır. Həqiqi V.p-də M çoxluğu deyilir. qabarıq çoxluqdur, əgər onun x, y nöqtələrindən hər hansı ikisi ilə birlikdə tx + (1 - t)y, t ∈ seqmenti də M-ə aiddir.

Şaquli fəzalar nəzəriyyəsində böyük yeri şaquli fəzalarda xətti funksionallar nəzəriyyəsi və əlaqəli ikilik nəzəriyyəsi tutur. Qoy E V. K sahəsi üzərində fəza olsun. E üzərində xətti funksional deyilir. əlavə və homojen xəritələşdirmə f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

E-dəki bütün xətti funksionalların E* çoxluğu əməliyyatlara münasibətdə K sahəsi üzərində boşluq yaradır.

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Bu V.p adlanır. konjugat (və ya ikili) məkan (E-yə). Bir sıra həndəsi nəzəriyyələr konjugat fəza anlayışı ilə əlaqələndirilir. şərtlər. Qoy D ⊂ E (müvafiq olaraq Г ⊂ E*); D çoxluğunun annihilatoru və ya D çoxluğunun ortoqonal tamamlayıcısı (müvafiq olaraq Г çoxluğu) adlanır. bir dəstə

D ⊥ = (f ∈ E*: bütün x ∈ D üçün f(x) = 0)

(müvafiq olaraq Г ⊥ = (x ∈ E: bütün f ∈ Г) üçün f(x) = 0); burada D ⊥ və Г ⊥ müvafiq olaraq E* və E fəzalarının alt fəzalarıdır, əgər f E*-nin sıfırdan fərqli elementidirsə, onda (f) E-nin maksimal uyğun xətti alt fəzasıdır. bəzən hiper alt kosmos; belə alt fəzanın yerdəyişməsi deyilir. E-də hiperplan; hər hiperplanın bir forması var

(x: f(x) = λ), burada f ≠ 0, f ∈ E*, λ ∈ K.

Əgər F bir B. p-nin alt fəzasıdırsa, onda F* və arasında təbii izomorfizmlər var

E*/F ⊥ və (E/F)* ilə F ⊥ arasında.

Г ⊂ E* alt çoxluğu adlanır Əgər onun məhvedicisi yalnız sıfır elementi ehtiva edirsə, E üzərində ümumi alt çoxluq: Г ⊥ = (0).

Hər bir xətti müstəqil çoxluq (x α ) α∈A ⊂ E birləşmiş çoxluq (f α ) α∈A ⊂ E* ilə əlaqələndirilə bilər, yəni. elə bir çoxluq ki, bütün α, β ∈ A üçün f α (x β) = δ αβ (Kronecker simvolu) olsun. Cütlər çoxluğu (x α, f α) adlanır. biortoqonal sistemlə. Əgər (x α) çoxluğu E-də bazisdirsə, (f α) tam E-dən çoxdur.

Xətti çevrilmələr nəzəriyyəsində əhəmiyyətli yeri xətti çevrilmələrin xətti çevrilmələri nəzəriyyəsi tutur. E 1 və E 2 eyni K sahəsində iki xətti çevrilmə olsun. E 1-dən V-ə çevrilməsi. s. E 1 - E 2 fəzasının əlavə və homojen xəritələşdirilməsi:

T(x + y) = Tx + Ty; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1.

Bu konsepsiyanın xüsusi halı xətti funksional və ya E 1-dən K-ə qədər olan xətti operatordur. Xətti xəritəçəkmə, məsələn, B. p-nin E/F ilə assosiasiya olunan bölünmə fəzasına təbii xəritələşdirilməsidir hər bir element x ∈ E düz çoxluq F x ∈ E/ F. Bütün xətti operatorların T: E 1 → E 2 çoxluğu ℒ(E 1, E 2) əməliyyatlara münasibətdə V. p təşkil edir

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1; λ ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ(E 1, E 2).

İki V. elementi E 1 və E 2 adlanır. izomorf v. maddələr, əgər onların elementləri arasında bir-bir uyğunluğu həyata keçirən xətti operator (“izomorfizm”) varsa. E 1 və E 2 izomorfdur, o halda ki, onların əsasları eyni kardinallığa malikdir.

Qoy T, E 1-dən E 2-yə uyğun olan xətti operator olsun. T-yə münasibətdə birləşdirici xətti operator və ya ikili xətti operator adlanır. bərabərliklə müəyyən edilmiş E* 2-dən E* 1-ə qədər xətti operator T*

(T*φ)x = φ(Tx) bütün x ∈ E 1, φ ∈ E* 2 üçün.

T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ münasibətləri saxlanılır ki, bu da T*-nin yalnız və yalnız T izomorfizm olduğu halda izomorfizm olduğunu nəzərdə tutur.

Şaquli fəzaların ikixətli xəritələşdirilməsi və çoxxətti xəritələşdirilməsi nəzəriyyəsi şaquli fəzaların xətti xəritələşdirilməsi nəzəriyyəsi ilə sıx bağlıdır.

Xətti xəritələşdirmə nəzəriyyəsində problemlərin mühüm qrupunu xətti xəritələrin davamı məsələləri təşkil edir. F V-nin alt fəzası olsun. p E 1, E 2 E 1 ilə eyni sahə üzərində xətti fəza olsun, T 0 isə F-nin E 2-yə xətti xəritəsi olsun; bütün E 1-də müəyyən edilmiş və E 1-dən E 2-yə qədər xətti olan xəritənin T 0 uzantısını tapmaq tələb olunur. Belə bir davam həmişə mövcuddur, lakin funksiyalara əlavə məhdudiyyətlər (VP-də əlavə strukturlarla, məsələn, topologiya və ya sifariş münasibətləri ilə əlaqəli) problemi həll olunmaz edə bilər. Davam məsələsinin həllinə misal olaraq Han-Banax teoremini və konuslu fəzalarda müsbət funksionalların davamı haqqında teoremləri göstərmək olar.

Virtual əməliyyatlar nəzəriyyəsinin mühüm bölməsi vektorlar üzərində əməliyyatlar nəzəriyyəsi, yəni məlum olanlardan istifadə edərək yeni vektorların qurulması üsullarıdır. Bu cür əməliyyatlara misal olaraq, alt fəzanın götürülməsi və alt fəzadan bölünmə fəzasının yaradılması kimi məşhur əməliyyatları göstərmək olar. Digər mühüm əməliyyatlar VP-nin birbaşa cəminin, birbaşa hasilinin və tensor məhsulunun qurulmasıdır.

Qoy (E α ) α∈I K sahəsi üzərində dəyişən fəzalar ailəsi olsun. E çoxluğu – E α çoxluqlarının məhsulu – əməliyyatları tətbiq etməklə K sahəsi üzərində şaquli fəzalar ailəsinə çevrilə bilər.

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

qəbul etdi V. p. V. p E α-nın birbaşa hasilatı və P α∈I E α ilə işarələnir. Hər biri üçün (α: x α ≠ 0) sonlu olan bütün çoxluqlardan (x α) ibarət olan V. p E-nin alt fəzası adlanır. birbaşa cəmi V. p E α və Σ α E α və ya Σ α + E α ilə işarələnir; Sonlu sayda termin üçün bu təriflər üst-üstə düşür; bu halda aşağıdakı qeyd istifadə olunur:

E 1, E 2 K sahəsi üzərində iki V. mövqe olsun; E" 1, E" 2 V. s. E* 1, E* 2 və E 1 □ E 2 -B-nin ümumi alt fəzalarıdır. E 1 × E 2 məkanının bütün elementlərinin məcmusunu əsas götürən n. Hər bir x □ y ∈ E 1 □ E 2 elementi b(f, g) = f(x)g(y) düsturuna əsasən E" 1 × E 2 üzərində ikixətli b = T(x, y) funksiyası ilə əlaqələndirilir. ), f ∈ E " 1 , g ∈ E " 2 x □ y ∈ E 1 □ E 2 bazis vektorlarının bu xəritələşdirilməsi T V. s. E 1 □ E 2-yə qədər genişləndirilə bilər. E " 1 × E" 2 üzərindəki bütün ikixətli funksionalların. E 0 = T -1 (0) olsun. V. E 1 və E 2 fəzasının tenzor hasilinə E 1 ○ E 2 = (E) faktoru deyilir. 1 □ E 2)/E 0 x □ y elementinin təsviri x ○ y ilə işarələnir E 1 ○ E 2 vektor fəzası E 1 × E 2 üzərindəki ikixətli funksionalların vektor fəzasına izomorfdur (bax. Tensor hasilatı). vektor fəzaları).

Lit.: Bourbaki N., Cəbr. Cəbri strukturlar. Xətti və çoxxətti cəbr, trans. fransız dilindən, M., 1962; Raikov D. A., Vektor fəzaları, M., 1962; Day M. M., Normallaşdırılmış xətti fəzalar, trans. İngilis dilindən, M., 1961; , Edvard R., Funksional Analiz, trans. İngilis dilindən, M., 1969; Halmos P., Sonlu ölçülü vektor fəzaları, trans. İngilis dilindən, M., 1963; Qlazman İ.M., Lyubiç Yu.İ., Problemlərdə sonlu ölçülü xətti analiz, M., 1969.

M.I. Kadets.

Mənbələr:

1. Riyaziyyat ensiklopediyası. T. 1 (A - D). Ed. şura: İ. M. Vinoqradov (baş redaktor) [və başqaları] - M., “Sovet Ensiklopediyası”, 1977, 1152 stb. xəstədən.

Qoy P sahə olsun. a, b, ... О elementləri R zəng edəcəyik skalyarlar.

Tərif 1. Sinif V ixtiyari xarakterli obyektlər (elementlər) , , , ... deyilir P sahəsinin üzərindəki vektor fəzası, və V sinfinin elementləri adlanır vektorlar, əgər V “+” əməliyyatı və P-dən skalerlərə vurma əməliyyatı altında bağlanırsa (yəni hər hansı , ОV +О üçün) V;"aО Р aОV) və aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilir:

A 1: cəbr - Abel qrupu;

A 2: hər hansı a, bОР, istənilən ОV üçün a(b)=(ab) ümumiləşdirilmiş assosiativ qanundur;

A 3: hər hansı a, bОР, istənilən ОV üçün, (a+b)= a+ b;

A 4: P-dən istənilən a üçün, hər hansı , V-dən a(+)=a+a (ümumiləşdirilmiş paylayıcı qanunlar) üçün uyğundur;

A 5: V-dən hər hansı biri üçün 1 = təmin edilir, burada 1 P sahəsinin vahididir - unitarlıq xassəsidir.

P sahəsinin elementlərini skalyarlar, çoxluğun elementlərini isə V vektorları adlandıracağıq.

Şərh. Vektorun skalyaya vurulması V çoxluğunda ikili əməliyyat deyil, çünki bu, P´V®V xəritələşdirilməsidir.

Vektor fəzalarının nümunələrinə baxaq.

Misal 1. Null (sıfır ölçülü) vektor fəzası - fəza V 0 =() - bir null vektordan ibarətdir.

Və istənilən aОР a= üçün. Vektor fəzasının aksiomalarının təmin olunmasını yoxlayaq.

Qeyd edək ki, sıfır vektor fəzası mahiyyətcə P sahəsindən asılıdır. Beləliklə, rasional ədədlər sahəsi üzərində və həqiqi ədədlər sahəsi üzərindəki sıfır ölçülü fəzalar tək sıfır vektorundan ibarət olsa da, fərqli hesab olunur.

Misal 2. P sahəsinin özü P sahəsi üzərində vektor fəzasıdır. V=P olsun. Vektor fəzasının aksiomalarının təmin olunmasını yoxlayaq. P sahə olduğundan, P əlavə Abel qrupudur və A 1-ə malikdir. P-də vurmanın təmin edilməsinə görə, A2 təmin edilir. A 3 və A 4 aksiomları toplama ilə bağlı vurmanın paylanmasının P-də mümkünlüyünə görə ödənilir. P sahəsində vahid element 1 olduğundan A 5 vahidlik xassəsi ödənilir. Beləliklə, P sahəsi P sahəsi üzərində vektor fəzasıdır.

Misal 3. Arifmetik n ölçülü vektor fəzası.

Qoy P sahə olsun. V= P n =((a 1 , a 2 , … , a n) ½ a i О P, i=1,…, n) çoxluğunu nəzərdən keçirək. V çoxluğuna vektorların toplanması və vektorun skalyaya vurulması əməliyyatlarını aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq təqdim edək:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + bn) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

V dəstinin elementləri çağırılacaq n-ölçülü vektorlar. İki n-ölçülü vektorun uyğun komponentləri (koordinatları) bərabərdirsə, ona bərabər deyilir. Göstərək ki, V P sahəsi üzərində vektor fəzasıdır. Vektorların toplanması və vektorun skalyaya vurulması əməliyyatlarının tərifindən belə çıxır ki, bu əməliyyatlar altında V qapalıdır. V elementlərinin əlavə edilməsi P sahəsinin elementlərinin toplanmasına qədər azaldığına və P aşqar Abel qrupu olduğuna görə V əlavə Abel qrupudur. Üstəlik, =, burada 0 P sahəsinin sıfırıdır, -= (-a 1, -a 2, …, -a n). Beləliklə, A 1 təmin edilir. V-dən bir elementi P-dən bir elementə vurmaq P sahəsinin elementlərini çoxaltmaq üçün azalır, onda:

P-yə vurmanın assosiativliyinə görə A 2 təmin edilir;

A 3 və A 4, P ilə toplamaya görə vurmanın paylanmasına görə ödənilir;

A 5 təmin edilir, çünki 1 Î P P-yə vurmağa görə neytral elementdir.

Tərif 2.(1) və (2) düsturları ilə müəyyən edilmiş əməliyyatları olan V= P n çoxluğuna P sahəsi üzərində arifmetik n ölçülü vektor fəzası deyilir.

Mühazirə 6. Vektor fəzası.

Əsas suallar.

1. Vektor xətti fəza.

2. Məkanın əsası və ölçüsü.

3. Kosmos oriyentasiyası.

4. Vektorun bazis üzrə parçalanması.

5. Vektor koordinatları.

1. Vektor xətti fəza.

Xətti əməliyyatların təyin olunduğu hər hansı xarakterli elementlərdən ibarət çoxluğa iki elementin əlavə edilməsi və bir elementin ədədə vurulması deyilir. boşluqlar, və onların elementləri vektorlar bu fəza və həndəsədə vektor kəmiyyətləri ilə eyni şəkildə işarələnir: . Vektorlar Belə abstrakt fəzaların, bir qayda olaraq, adi həndəsi vektorlarla heç bir ortaqlığı yoxdur. Abstrakt fəzaların elementləri funksiyalar, ədədlər sistemi, matrislər və s., konkret halda isə adi vektorlar ola bilər. Buna görə də belə boşluqlar adətən adlanır vektor boşluqları .

Vektor boşluqları, Misal üçün, işarələnmiş kollinear vektorlar toplusu V1 , koplanar vektorlar çoxluğu V2 , adi (real məkan) vektorlar toplusu V3 .

Bu konkret hal üçün vektor fəzasının aşağıdakı tərifini verə bilərik.

Tərif 1. Vektorlar çoxluğu adlanır vektor sahəsi, əgər çoxluğun hər hansı vektorlarının xətti kombinasiyası da bu çoxluğun vektorudursa. Vektorların özləri adlanır elementləri vektor sahəsi.

Həm nəzəri, həm də tətbiqi baxımdan daha vacib vektor fəzasının ümumi (mücərrəd) anlayışıdır.

Tərif 2. Bir dəstə R hər hansı iki element və hər hansı element üçün cəminin müəyyən edildiyi elementlər https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20">adlı vektor(və ya xətti) boşluq vektorların toplanması və vektorun ədədə vurulması əməliyyatları aşağıdakı şərtləri ödəyirsə, və onun elementləri vektordur ( aksiomalar) :

1) əlavə kommutativdir, yəni.gif" eni="184" hündürlük="25">;

3) elə bir element (sıfır vektor) var ki, istənilən https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" hündürlük="27">;

5) hər hansı vektor və istənilən λ ədədi üçün bərabərlik yerinə yetirilir;

6) istənilən vektorlar və istənilən ədədlər üçün λ Və µ bərabərlik doğrudur: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> və istənilən rəqəmlər λ Və µ ədalətli ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.

Vektor fəzasını təyin edən ən sadə aksiomalar aşağıdakılardır: nəticələri :

1. Vektor fəzasında yalnız bir sıfır var - element - sıfır vektor.

2. Vektor fəzasında hər bir vektorun tək əks vektoru var.

3. Hər bir element üçün bərabərlik təmin edilir.

4. İstənilən real ədəd üçün λ və sıfır vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" eni="145" hündürlük="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> bərabərliyi təmin edən vektordur https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" eni="73" hündürlük="24">.

Beləliklə, həqiqətən də bütün həndəsi vektorların çoxluğu xətti (vektor) fəzadır, çünki bu çoxluğun elementləri üçün tərtib edilmiş aksiomaları təmin edən ədədə toplama və vurma hərəkətləri müəyyən edilmişdir.

2. Məkanın əsası və ölçüsü.

Vektor fəzasının əsas anlayışları əsas və ölçü anlayışlarıdır.

Tərif. Müəyyən ardıcıllıqla götürülmüş, istənilən fəza vektorunun xətti olaraq ifadə oluna biləcəyi xətti müstəqil vektorlar toplusu adlanır. əsas bu boşluq. Vektorlar. Kosmosun əsasını təşkil edən komponentlər adlanır əsas .

İxtiyari bir xətt üzərində yerləşən vektorlar toplusunun əsasını bu xəttə bir kollinear vektor hesab etmək olar.

Təyyarə əsasında bu müstəvidə müəyyən ardıcıllıqla götürülmüş iki qeyri-kollinear vektoru adlandıraq https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.

Əgər bazis vektorları cüt-cüt perpendikulyardırsa (ortoqonal), onda bazis deyilir ortoqonal, və əgər bu vektorların uzunluğu birə bərabərdirsə, onda bazis deyilir ortonormal .

Kosmosda xətti müstəqil vektorların ən çox sayı deyilir ölçü bu fəzanın, yəni fəzanın ölçüsü bu fəzanın əsas vektorlarının sayı ilə üst-üstə düşür.

Beləliklə, bu təriflərə görə:

1. Birölçülü fəza V1 düz xəttdir və əsas ibarətdir bir kollinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Adi fəza üçölçülü fəzadır V3 , onun əsasını təşkil edir üç qeyri-müqayisəli vektorlar

Buradan görürük ki, düz xəttdə, müstəvidə, real fəzada əsas vektorların sayı həndəsədə adətən düz xəttin, müstəvinin, fəzanın ölçülərinin (ölçüsü) sayı adlanan şeylə üst-üstə düşür. Ona görə də daha ümumi tərifin təqdim edilməsi təbiidir.

Tərif. Vektor məkanı Rçağırdı n– daha çox olmadıqda ölçülü n xətti müstəqil vektorlar və işarə olunur R n. Nömrə nçağırdı ölçü boşluq.

Məkan ölçüsünə uyğun olaraq bölünür sonlu ölçülü Və sonsuz ölçülü. Null fəzasının ölçüsü tərifə görə sıfıra bərabər hesab olunur.

Qeyd 1. Hər fəzada istədiyiniz qədər baza təyin edə bilərsiniz, lakin verilmiş fəzanın bütün əsasları eyni sayda vektordan ibarətdir.

Qeyd 2. IN n– ölçülü vektor fəzasında baza istənilən sifarişli kolleksiyadır n xətti müstəqil vektorlar.

3. Kosmos oriyentasiyası.

Kosmosda əsas vektorlar olsun V3 var ümumi başlanğıc Və əmr etdi, yəni hansı vektorun birinci, hansının ikinci, hansının üçüncü hesab edildiyi göstərilir. Məsələn, əsasda vektorlar indeksləşdirməyə uyğun olaraq sıralanır.

Onun üçün kosmosu istiqamətləndirmək üçün müəyyən əsaslar qoymaq və onu müsbət elan etmək lazımdır .

Göstərilə bilər ki, fəzanın bütün əsaslarının çoxluğu iki sinfə, yəni iki ayrı-ayrı alt çoxluğa düşür.

a) bir alt çoxluğa (sinfə) aid olan bütün əsaslar var eyni oriyentasiya (eyni adlı əsaslar);

b) aid olan hər hansı iki əsas müxtəlif alt çoxluqlar (siniflər), var əksinə oriyentasiya, ( müxtəlif adlarəsaslar).

Fəzanın iki əsas sinfindən biri müsbət, digəri isə mənfi elan edilirsə, bu fəzanın yönümlü .

Tez-tez məkanı istiqamətləndirərkən bəzi əsaslar çağırılır sağ, və qeyriləri - sol .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> adlanır sağ, əgər üçüncü vektorun sonundan müşahidə edildikdə, birinci vektorun ən qısa fırlanması https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > həyata keçirilir saat əqrəbinin əksinə(Şəkil 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" eni="16" hündürlük="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" eni="15" hündürlük="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" eni="13" hündürlük="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" eni="16" hündürlük="23">

düyü. 1.8. Sağ əsas (a) və sol əsas (b)

Adətən məkanın düzgün əsası müsbət əsas elan edilir

Məkanın sağ (sol) əsasını "sağ" ("sol") vida və ya gimlet qaydasından istifadə etməklə də müəyyən etmək olar.

Bununla analoji olaraq sağ və sol anlayışı təqdim olunur üçlük sifariş edilməli olan qeyri-komplanar vektorlar (şək. 1.8).

Beləliklə, ümumi halda, koplanar olmayan vektorların iki sifarişli üçlüyü fəzada eyni oriyentasiyaya (eyni ad) malikdir. V3 əgər onların hər ikisi sağda və ya hər ikisi soldadırsa və - əgər onlardan biri sağ, digəri isə soldursa, əks istiqamət (əks).

Eyni şey kosmosda da edilir V2 (təyyarə).

4. Vektorun bazis üzrə parçalanması.

Əsaslandırmanın sadəliyi üçün üçölçülü vektor fəzasının nümunəsindən istifadə edərək bu sualı nəzərdən keçirək R3 .

Qoy https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> bu fəzanın ixtiyari vektoru olsun.

N-ölçülü vektorlar haqqında məqalədə biz n-ölçülü vektorlar toplusunun yaratdığı xətti fəza anlayışına gəldik. İndi vektor fəzasının ölçüsü və əsası kimi eyni dərəcədə vacib anlayışları nəzərdən keçirməliyik. Onlar birbaşa vektorların xətti müstəqil sistemi konsepsiyası ilə bağlıdır, buna görə də bu mövzunun əsaslarını özünüzə xatırlatmaq əlavə olaraq tövsiyə olunur.

Bəzi tərifləri təqdim edək.

Tərif 1

Vektor fəzasının ölçüsü– bu fəzada xətti müstəqil vektorların maksimum sayına uyğun gələn ədəd.

Tərif 2

Vektor fəzasının əsası– sıralı və sayca fəzanın ölçüsünə bərabər olan xətti müstəqil vektorlar toplusu.

n -vektorların müəyyən fəzasını nəzərdən keçirək. Onun ölçüsü müvafiq olaraq n-ə bərabərdir. N-vahid vektorlar sistemini götürək:

e (1) = (1, 0, ... 0) e (2) = (0, 1, .., 0) e (n) = (0, 0, .. , 1)

Bu vektorlardan A matrisinin komponentləri kimi istifadə edirik: o, n-dən n ölçüsünə malik vahid matris olacaq. Bu matrisin dərəcəsi n-dir. Buna görə də vektor sistemi e (1) , e (2) , . . . , e(n) xətti müstəqildir. Bu halda sistemin xətti müstəqilliyini pozmadan bir vektor əlavə etmək mümkün deyil.

Sistemdəki vektorların sayı n olduğundan, n ölçülü vektorların fəzasının ölçüsü n, vahid vektorları isə e (1), e (2), . . . , e (n) göstərilən fəzanın əsasını təşkil edir.

Alınan tərifdən belə nəticəyə gələ bilərik: vektorlarının sayı n-dən az olan hər hansı n ölçülü vektor sistemi fəzanın əsası deyil.

Birinci və ikinci vektorları dəyişdirsək, e (2) , e (1) , vektorlar sistemi alarıq. . . , e (n) . O, həmçinin n ölçülü vektor fəzasının əsasını təşkil edəcəkdir. Nəticədə sistemin vektorlarını onun sətirləri kimi götürərək matris yaradaq. Matris eynilik matrisindən ilk iki cərgəni dəyişdirməklə əldə edilə bilər, onun dərəcəsi n olacaqdır. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) xətti müstəqildir və n ölçülü vektor fəzasının əsasını təşkil edir.

Orijinal sistemdə digər vektorları yenidən təşkil etməklə, başqa bir əsas əldə edirik.

Biz vahid olmayan vektorların xətti müstəqil sistemini götürə bilərik və o, həmçinin n ölçülü vektor fəzasının əsasını təmsil edəcəkdir.

Tərif 3

Ölçüsü n olan vektor fəzasının n ədədinin n ölçülü vektorlarının xətti müstəqil sistemləri qədər bazası var.

Təyyarə iki ölçülü fəzadır - onun əsasını istənilən iki qeyri-kollinear vektor təşkil edəcəkdir. Üçölçülü fəzanın əsasını hər hansı üç paralel olmayan vektor təşkil edəcəkdir.

Konkret nümunələrdən istifadə edərək bu nəzəriyyənin tətbiqini nəzərdən keçirək.

Misal 1

İlkin məlumatlar: vektorlar

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Göstərilən vektorların üçölçülü vektor fəzasının əsası olub-olmadığını müəyyən etmək lazımdır.

Həll

Problemi həll etmək üçün xətti asılılıq üçün verilmiş vektorlar sistemini öyrənirik. Gəlin bir matris yaradaq, burada sətirlər vektorların koordinatlarıdır. Matrisin dərəcəsini təyin edək.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Deməli, məsələnin şərti ilə göstərilən vektorlar xətti müstəqildir və onların sayı vektor fəzasının ölçüsünə bərabərdir - onlar vektor fəzasının əsasını təşkil edirlər.

Cavab: göstərilən vektorlar vektor fəzasının əsasını təşkil edir.

Misal 2

İlkin məlumatlar: vektorlar

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Göstərilən vektorlar sisteminin üçölçülü fəzanın əsası ola biləcəyini müəyyən etmək lazımdır.

Həll

Problemin ifadəsində göstərilən vektorlar sistemi xətti asılıdır, çünki xətti müstəqil vektorların maksimum sayı 3-dür. Beləliklə, göstərilən vektorlar sistemi üçölçülü vektor fəzası üçün əsas ola bilməz. Ancaq qeyd etmək lazımdır ki, orijinal sistemin alt sistemi a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) əsasdır.

Cavab: göstərilən vektorlar sistemi əsas deyil.

Misal 3

İlkin məlumatlar: vektorlar

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Onlar dördölçülü məkanın əsası ola bilərmi?

Həll

Verilmiş vektorların koordinatlarından sətir kimi istifadə edərək matris yaradaq

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Qauss metodundan istifadə edərək, matrisin dərəcəsini təyin edirik:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Nəticə etibarilə, verilmiş vektorlar sistemi xətti müstəqildir və onların sayı vektor fəzasının ölçüsünə bərabərdir - onlar dördölçülü vektor fəzasının əsasını təşkil edirlər.

Cavab: verilmiş vektorlar dördölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.

Misal 4

İlkin məlumatlar: vektorlar

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Onlar 4 ölçülü məkanın əsasını təşkil edirmi?

Həll

İlkin vektorlar sistemi xətti müstəqildir, lakin içindəki vektorların sayı dördölçülü fəzanın əsası olmaq üçün kifayət deyil.

Cavab: yox, etmirlər.

Vektorun bazisə parçalanması

Fərz edək ki, ixtiyari vektorlar e (1) , e (2) , . . . , e (n) n ölçülü vektor fəzasının əsasıdır. Onlara müəyyən n-ölçülü vektor x → əlavə edək: nəticədə vektorlar sistemi xətti asılı olacaq. Xətti asılılığın xassələri bildirir ki, belə bir sistemin vektorlarından ən azı biri digərləri vasitəsilə xətti şəkildə ifadə edilə bilər. Bu ifadəni yenidən tərtib edərək deyə bilərik ki, xətti asılı sistemin vektorlarından ən azı biri qalan vektorlara genişləndirilə bilər.

Beləliklə, ən vacib teoremin formalaşmasına gəldik:

Tərif 4

n-ölçülü vektor fəzasının istənilən vektoru unikal şəkildə bazaya parçalana bilər.

Sübut 1

Bu teoremi sübut edək:

n ölçülü vektor fəzasının əsasını təyin edək - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Ona n ölçülü vektor x → əlavə edərək sistemi xətti asılı edək. Bu vektor e orijinal vektorları ilə xətti olaraq ifadə edilə bilər:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , burada x 1 , x 2 , . . . , x n - bəzi ədədlər.

İndi belə bir parçalanmanın unikal olduğunu sübut edirik. Fərz edək ki, bu belə deyil və başqa bir oxşar parçalanma var:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , burada x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - bəzi ədədlər.

Bu bərabərliyin sol və sağ tərəflərindən müvafiq olaraq x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + bərabərliyinin sol və sağ tərəflərini çıxaraq. . . + x n · e (n) . Biz əldə edirik:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Bazis vektorlar sistemi e (1) , e (2) , . . . , e (n) xətti müstəqildir; vektorlar sisteminin xətti müstəqilliyinin tərifi ilə yuxarıdakı bərabərlik yalnız bütün əmsallar (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , olduqda mümkündür. . . , (x ~ n - x n) sıfıra bərabər olacaq. Hansı ədalətli olacaq: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Və bu vektoru bazaya parçalamaq üçün yeganə variantı sübut edir.

Bu halda x 1, x 2, əmsalları. . . , x n e (1) , e (2) , əsasında x → vektorunun koordinatları adlanır. . . , e (n) .

Sübut olunmuş nəzəriyyə “x = (x 1 , x 2 , . . , x n) n ölçülü vektoru verilmişdir” ifadəsini aydınlaşdırır: vektor x → n ölçülü vektor fəzasına baxılır və onun koordinatları müəyyən edilir. müəyyən əsas. O da aydındır ki, n ölçülü fəzanın başqa bir əsasındakı eyni vektor müxtəlif koordinatlara malik olacaqdır.

Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək: fərz edək ki, n ölçülü vektor fəzasının hansısa əsasında n xətti müstəqil vektordan ibarət sistem verilmişdir.

və həmçinin x = (x 1 , x 2 , . . , x n) vektoru verilir.

Vektorlar e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) bu halda da bu vektor fəzasının əsasını təşkil edir.

Tutaq ki, e 1 (1) , e 2 (2) , , əsasında x → vektorunun koordinatlarını təyin etmək lazımdır. . . , e n (n) , x ~ 1 , x ~ 2 , kimi işarələnir. . . , x ~ n.

X → vektoru aşağıdakı kimi göstəriləcək:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Bu ifadəni koordinat şəklində yazaq:

(x 1 , x 2 , . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + + x ~ n e 2 (n) , e n (1) + x ~ 2 e n (2) + .

Alınan bərabərlik n naməlum xətti dəyişəni x ~ 1, x ~ 2, n xətti cəbri ifadələr sisteminə ekvivalentdir. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Bu sistemin matrisi aşağıdakı formada olacaq:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Qoy bu A matrisi olsun və onun sütunları e 1 (1), e 2 (2), , xətti müstəqil vektorlar sisteminin vektorları olsun. . . , e n (n) . Matrisin dərəcəsi n, determinantı isə sıfırdan fərqlidir. Bu onu göstərir ki, tənliklər sisteminin istənilən rahat üsulla təyin olunan unikal həlli var: məsələn, Kramer üsulu və ya matris üsulu. Bu yolla x ~ 1, x ~ 2, koordinatlarını təyin edə bilərik. . . , x ~ n vektoru x → əsasda e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Nəzərdən keçirilən nəzəriyyəni konkret misalda tətbiq edək.

Misal 6

İlkin məlumatlar: vektorlar üçölçülü fəza əsasında müəyyən edilir

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

e (1), e (2), e (3) vektorlar sisteminin həm də verilmiş fəzanın əsası kimi xidmət etməsi faktını təsdiq etmək, həmçinin verilmiş əsasda x vektorunun koordinatlarını təyin etmək lazımdır.

Həll

e (1), e (2), e (3) vektorlar sistemi xətti müstəqildirsə, üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edəcəkdir. Sətirləri verilmiş e (1), e (2), e (3) vektorları olan A matrisinin ranqını təyin edərək bu imkanı öyrənək.

Qauss metodundan istifadə edirik:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Beləliklə, e (1), e (2), e (3) vektorlar sistemi xətti müstəqildir və əsasdır.

X → vektorunun bazisdə x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatları olsun. Bu koordinatlar arasındakı əlaqə tənliklə müəyyən edilir:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Problemin şərtlərinə uyğun olaraq dəyərləri tətbiq edək:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Kramer metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edək:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Beləliklə, e (1), e (2), e (3) bazisindəki x → vektoru x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 koordinatlarına malikdir.

Cavab: x = (1 , 1 , 1)

Bazalar arasında əlaqə

Fərz edək ki, n ölçülü vektor fəzasının hansısa əsasında iki xətti müstəqil vektor sistemi verilmişdir:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , .. , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

Bu sistemlər də verilmiş məkanın əsaslarıdır.

Qoy c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , bazisindəki c (1) vektorunun koordinatları. . . , e (3) , onda koordinat əlaqəsi xətti tənliklər sistemi ilə veriləcəkdir:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistem matris şəklində aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Analoji olaraq c (2) vektoru üçün eyni qeydi edək:

(c 1 (2) , c 2 (2) , .. , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Matris bərabərliklərini bir ifadədə birləşdirək:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

İki fərqli əsasın vektorları arasındakı əlaqəni təyin edəcəkdir.

Eyni prinsipdən istifadə edərək bütün əsas vektorları e(1) , e(2) , ifadə etmək olar. . . , e (3) əsas vasitəsilə c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Aşağıdakı tərifləri verək:

Tərif 5

Matris c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e (1) , e (2) , əsasından keçid matrisidir. . . , e (3)

əsasına c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Tərif 6

Matris e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c (1) , c (2) , bazasından keçid matrisidir. . . , c(n)

əsasına e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Bu bərabərliklərdən aydın olur ki

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1 ) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

olanlar. keçid matrisləri qarşılıqlıdır.

Konkret bir nümunədən istifadə edərək nəzəriyyəyə baxaq.

Misal 7

İlkin məlumatlar: bazisdən keçid matrisini tapmaq lazımdır

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Verilmiş əsaslarda ixtiyari x → vektorunun koordinatları arasındakı əlaqəni də göstərmək lazımdır.

Həll

1. Keçid matrisi T olsun, onda bərabərlik doğru olacaq:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Bərabərliyin hər iki tərəfini ilə çarpın

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

və alırıq:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Keçid matrisini təyin edin:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. X → vektorunun koordinatları arasındakı əlaqəni təyin edək:

Fərz edək ki, əsasda c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektoru x → x 1 , x 2 , x 3 koordinatlarına malikdir, onda:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

və əsasda e (1) , e (2) , . . . , e (3) x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatlarına malikdir, onda:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Çünki Bu bərabərliklərin sol tərəfləri bərabər olarsa, sağ tərəfləri də bərabərləşdirə bilərik:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Sağdakı hər iki tərəfi çarpın

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

və alırıq:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Digər tərəfdə

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Son bərabərliklər hər iki əsasda x → vektorunun koordinatları arasındakı əlaqəni göstərir.

Cavab: keçid matrisi

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Verilmiş əsaslarda x → vektorunun koordinatları aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın