Konštrukcia sekcií v štvorstene. Tetrahedron a jeho rez Konštrukcia rezu štvorstena z troch bodov

Lekcia na tému:

„Konštrukcia častí štvorstenu a rovnobežnostena“

Ciele lekcie

1. Oboznámte sa so základmi riešenia úloh zahŕňajúcich konštrukciu rezov štvorstena a rovnobežnostena rovinou.

2. Identifikujte typy problémov pre konštrukciu sekcií.

3. Rozvíjať zručnosti pri riešení problémov týkajúcich sa konštrukcie častí štvorstenu a hranola.

4. Formovanie priestorovej predstavivosti.

Počas vyučovania.

ja Organizovanie času.

II Kontrola domácich úloh.

Chlapci, aké geometrické telesá sme študovali na našich posledných lekciách? (tetrahedron, rovnobežnosten).

Ako sa nazýva štvorsten?

Ako sa nazýva rovnobežnosten?

Teraz sa pozrime na orál domáca úloha.

V učebnici na strane 31 čítame a odpovedáme na otázky 14,15.

14. Existuje štvorsten s piatimi rovnými rohmi?

(Nie, pretože v štyroch tvoriacich trojuholníky môžu byť iba štyri pravé uhly, v každom najviac jeden).

15. Existuje rovnobežnosten, ktorý má:

A) Len jedna plocha je obdĺžnik. (Nie, pretože protiľahlé strany kvádra sú rovnaké).

b) Iba dve susedné plochy sú kosoštvorcové. (Nie, len protiľahlé strany môžu byť diamanty).

V) Všetky hrany sú ostré. (Nie, rovnobežník má ostrý aj tupý uhol a každá plocha je rovnobežník).

G) Všetky uhly tváre sú správne. (Áno, v pravouhlom rovnobežnostene).

d) Počet všetkých ostrých uhlov tváre sa nerovná počtu všetkých tupých uhlov tváre. (Nie, na každej tvári je rovnaký počet ostrých a tupých uhlov).

III Vysvetlenie Nová téma.

Teraz prejdime k novej téme. Zapíšte si tému lekcie. Cieľ dnešnej lekcie:

1. Oboznámte sa so základmi riešenia úloh zahŕňajúcich konštrukciu rezov štvorstena a rovnobežnostena rovinou.

2. Identifikujte typy problémov pre konštrukciu sekcií.

3. Rozvíjať zručnosti pri riešení problémov týkajúcich sa konštrukcie častí štvorstenu a hranola.

4. Formovanie priestorovej predstavivosti.

Takže vyriešiť mnohé geometrické problémy spojené s štvorstenom a rovnobežnostěnom, je užitočné mať možnosť nakresliť ich rezy v rôznych rovinách na výkrese.

Čo tým myslíme rovina rezu ? V učebnici na strane 27 nájdeme odpoveď na túto otázku.

Rovina rezu nazývame ľubovoľnú rovinu, na ktorej oboch stranách sú body daného mnohostenu.

Ďalší koncept je oddiele. A opäť sa obraciame na pomoc v učebnici. Teraz sa pozrite, ako vyzerá presná definícia sekcie.

v Kde sú strany mnohouholníka, ktorý je rezom?

v Kde sú vrcholy mnohouholníka, ktorý je sekciou?

Teraz odpovedzme na otázku. Čo znamená zostrojiť rez mnohostenom s rovinou. V každej ploche teda zostrojíme segmenty, pozdĺž ktorých rovina rezu pretína plochy.

Aby ste správne vytvorili prierez, musíte byť schopní aplikovať rôzne vety a vlastnosti. Odpovedzme na otázku.

Ktoré z týchto tvrdení môže byť užitočné pri konštrukcii sekcií?

1. Ak majú dve roviny spoločný bod, potom sa pretínajú pozdĺž priamky obsahujúcej tento bod.

2. Ak priamka ležiaca v jednej z pretínajúcich sa rovín pretína inú rovinu, potom pretína priamku priesečníka rovín.

3. Ak dve rovnobežné roviny pretína tretia, potom sú priesečníky rovín rovnobežné.

4. Sečná rovina pretína plochu mnohostenu pozdĺž prerušovanej čiary.

5. V reze rovnobežnostenu rovinou sa môže ukázať:

v úsečka

v trojuholník

v štvoruholník

v päťuholník

v šesťuholník

v sedemuholník

Teraz si spomeňme, ako definovať rovinu:

Pri konštrukcii sekcií je dôležité vedieť:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Teraz v učebnici zvážime hlavné úlohy konštrukcie sekcií. A tak prvá úloha, kde je potrebné zostrojiť rez štvorstenom pomocou troch bodov patriacich do sečnej roviny, z ktorých dva ležia v jednej rovine a tretí v inej rovine.
.jpg" width="588" height="359 src=">

Riešenie problémov. Kontrola správnosti riešenia pomocou diapozitívov.

V Zhrnutie vyučovacej hodiny.

Predstavte si situáciu:

Váš spolužiak ochorel a vynechal hodiny, na ktorých sa venovali téme „Konštrukcia sekcií mnohostenov“. Túto tému musíte vysvetliť telefonicky. Vytvorte krok za krokom algoritmus.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

Teraz urobím nejaké testy. Do troch minút musíte splniť tri úlohy. Vyberte a zapíšte si počet výkresov, ktoré zobrazujú správne časti štvorstenu a rovnobežnostena, ako aj správny výkres.

VI Domáca úloha . č.14, otázka 16, č. Vymyslite a vyriešte jeden problém zostrojenia prierezu štvorstenu alebo rovnobežnostena.

Dnes sa opäť pozrieme na to, ako zostrojte rez štvorstenom s rovinou.
Uvažujme o najjednoduchšom prípade (povinná úroveň), keď 2 body roviny rezu patria jednej ploche a tretí bod patrí inej ploche.

Dovoľte nám pripomenúť Algoritmus na vytváranie sekcií tohto typu (prípad: 2 body patria tej istej tvári).

1. Hľadáme plochu, ktorá obsahuje 2 body roviny rezu. Nakreslite priamku cez dva body ležiace na tej istej ploche. Nájdeme body jeho priesečníka s okrajmi štvorstenu. Časť priamky, ktorá končí v tvári, je strana sekcie.

2. Ak je možné polygón uzavrieť, sekcia je skonštruovaná. Ak nie je možné zavrieť, nájdeme priesečník zostrojenej čiary a roviny obsahujúcej tretí bod.

1. Vidíme, že body E a F ležia na rovnakej ploche (BCD), nakreslite priamku EF v rovine (BCD).
2. Nájdite priesečník priamky EF s hranou štvorstenu BD, toto je bod H.
3. Teraz treba nájsť priesečník priamky EF a roviny obsahujúcej tretí bod G, t.j. rovina (ADC).
Priamka CD leží v rovinách (ADC) a (BDC), čo znamená, že pretína priamku EF a bod K je priesečníkom priamky EF a roviny (ADC).
4. Ďalej nájdeme ďalšie dva body ležiace v rovnakej rovine. Ide o body G a K, oba ležia v rovine ľavého bočného čela. Nakreslíme priamku GK a označíme body, v ktorých táto priamka pretína hrany štvorstenu. Sú to body M a L.
4. Zostáva sekciu „uzavrieť“, t.j. spojiť body ležiace na tej istej ploche. Sú to body M a H a tiež L a F. Oba tieto segmenty sú neviditeľné, nakreslíme ich bodkovanou čiarou.

Prierez sa ukázal ako štvoruholník MHFL. Všetky jeho vrcholy ležia na okrajoch štvorstenu. Vyberieme výslednú sekciu.

Teraz poďme formulovať "vlastnosti" správne postavenej sekcie:

1. Všetky vrcholy mnohouholníka, ktorý je rezom, ležia na hranách štvorstenu (rovnobežník, mnohouholník).

2. Všetky strany rezu ležia na plochách mnohostenu.
3. Každá plocha mnohouholníka nemôže obsahovať viac ako jednu (jednu alebo žiadnu!) stranu rezu

Vývoj lekcie

na tému „Konštrukcia rezov štvorstena a rovnobežnostena“ v ročníku 10 „A“

Účel lekcie:

naučiť, ako postaviť časti štvorstenu a rovnobežnostenu s rovinou;

rozvíjať schopnosť analyzovať, porovnávať, zovšeobecňovať a vyvodzovať závery;

rozvíjať zručnosti samostatnej činnosti žiakov a schopnosť pracovať v skupine.

Vybavenie: projektor, interaktívna tabuľa, Pracovný list.

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.

Metódy a techniky použité v lekcii: vizuálne, praktické, problémové, skupinové, prvky výskumnej činnosti.

ja . Organizovanie času.

Učiteľ oznámi tému a účel hodiny (snímka č.1 ).

II . Aktualizácia vedomostí.

učiteľ: Počas domácej úlohy ste museli nájsť miesta, kde sa stretávajú priame čiary a roviny, stopu roviny rezu na rovine plochy mnohostenu. Komentujte, čo je pre to potrebné urobiť.

(Žiaci komentujú domácu úlohu (snímky č.2-3 ).

učiteľ: Ak chcete prejsť k štúdiu novej témy, zopakujte si teoretický materiál zodpovedaním otázok:

Čo sa nazýva rovina rezu (snímka číslo 4 )? (Študenti uvádzajú definíciu.)

Čo sa nazýva časť mnohostenu (snímka číslo 5 )? (Definícia je formulovaná.)

Čo je potrebné urobiť, aby sme zostrojili rez mnohostenu rovinou?

Zostrojenie rezu spočíva v zostrojení priesečníkov roviny rezu a rovín plôch mnohostenu.)

Je potrebné, aby rovina rezu pretínala roviny všetkých plôch mnohostenu?

učiteľ: Urobme si malý prieskum a odpovedzme na otázku: „Aký obrazec možno získať v reze štvorstena alebo rovnobežnostena rovinou?

(Študenti pracujúci v skupinách hľadajú odpoveď na položenú otázku.)

(Po niekoľkých minútach sformulujú svoje predpoklady a začne sa demonštráciasnímky 6-7 .)

učiteľ: Zopakujme si pravidlá, ktoré je potrebné mať na pamäti pri konštrukcii úsekov mnohostenu (študenti si zapamätajú a sformulujú potrebné axiómy, vety, vlastnosti):

Ak dva body patria do roviny rezu a roviny niektorej plochy mnohostenu, potom priamka prechádzajúca týmito bodmi bude stopou roviny rezu na rovine plochy.

Ak je rovina rezu rovnobežná s priamkou ležiacou v určitej rovine a túto rovinu pretína, potom je priesečník týchto rovín rovnobežný s touto priamkou.

Keď sú dve rovnobežné roviny pretínané rovinou rezu, získajú sa rovnobežné čiary.

Ak je rovina rezu rovnobežná s určitou rovinou, potom tieto dve roviny pretínajú tretiu rovinu pozdĺž priamok navzájom rovnobežných.

Ak rovina rezu a roviny dvoch pretínajúcich sa plôch majú spoločný bod, potom leží na priamke obsahujúcej spoločnú hranu týchto plôch.

učiteľ: Nájdite chyby v týchto výkresoch, zdôvodnite svoje tvrdenie (snímky8-9 ).

učiteľ: Takže, chlapci, pripravili sme teoretický základ na to, aby sme sa naučili zostrojiť rezy mnohostenov rovinou, najmä rezy štvorstena a kvádra. Väčšinu úloh budete plniť samostatne, pracovať v skupinách, takže každý z vás má pracovné listy s prázdnymi nákresmi mnohostenov, na ktorých budete stavať rezy. V prípade potreby môžete požiadať o radu učiteľa alebo staršieho v skupine.

Takže uvádzame do vašej pozornostiprvá úloha : ( snímka číslo 10 ) zostrojte rez štvorstenom s rovinou prechádzajúcou danými bodmiM, N, K. (Prierez sa ukáže ako trojuholník, skontrolujte -snímka číslo 11 .)

učiteľ: Uvažujmedruhá úloha : Daný štvorstenDABC. Zostrojte rez štvorstenom s rovinouMNK, AkMDC, NAD, KAB. ( Snímka č.12 )

(Vyriešte problém s triedou, komentujte stavbu.)

( Úloha č.3 - samostatná práca v skupinách (snímka číslo 14 ). Skúška -snímka číslo 15 .)

Úloha č.4 : Zostrojte rez štvorstenom s rovinouMNK, KdeMAN- stred rebierABAB.C. ( snímka číslo 16 ). (Skontrolovaťsnímka č.17 .)

učiteľ : Prejdime k ďalšej časti lekcie. Uvažujme o probléme konštrukcie rezov rovnobežnostena rovinou. Zistili sme, že keď je rovnobežnosten prerezaný rovinou, výsledkom môže byť trojuholník, štvoruholník, päťuholník alebo šesťuholník. Pravidlá pre konštrukciu sekcií sú rovnaké. Navrhujem prejsť na ďalší problém, ktorý vyriešite sami.

(Preukázanésnímka č.18 )

Problém #5

Zostrojte prierez rovnobežnostenaABCDA 1 B 1 C 1 D 1 lietadloMNK, AkMA.A. 1 , NBB 1 , KCC 1 . (Skontrolovaťsnímka číslo 19 ).

Problém č.6 : ( Snímka číslo 20 ) Zostrojte časť rovnobežnostenaABCDA 1 B 1 C 1 D 1 lietadloPTO, Ak P, T, Opatria k okrajom AA 1, BB 1, RS 1.

(Riešenie je prediskutované, študenti zostrojia rez na jednotlivých listoch a zaznamenajú postup stavby (snímka číslo 21 ).)

DO ∩ BC = M

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL– požadovaný úsek.

Úloha č. 7: (snímka č. 22) Zostrojte rez rovnobežnostena s rovinouKMN, AkKA 1 D 1 , N, MAB.

Riešenie: (snímka číslo 23)

MN∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

POPOLUDNIE;

NE II PK; KF II MN;

F.E.

MPKFENpožadovaný úsek.

Kreatívne úlohy (karty podľa možností):

V pravidelnej trojuholníkovej pyramídeSABC cez vrchol C astred rebraSNakreslite časť pyramídy rovnobežne sS.B.. Na hrane AB sa vezme bodFtakže AF: FB = 3:1. Cez bodFAstred rebraSZ C je nakreslená priamka. Bude tento riadokrovnobežne s rovinou rezu?

AB 1 S -rez pravouhlého rovnobežnostena ABCDA 1 IN 1 S 1 D 1. Cez body E,F, K, ktoré sú respstred rebierDD 1 , A 1 D 1 , D 1 C 1 bola vykonaná druhá sekcia.Dokážte, že trojuholníky EFK a AB 1 Cpodobné a nainštalujteaké uhly týchto trojuholníkov sú rovnaké?

Zhrnutie lekcie: Zoznámili sme sa teda s pravidlami konštrukcie sekcií štvorstenu a rovnobežnostena, preskúmali sme typy sekcií a vyriešili najjednoduchšie problémy pri zostavovaní sekcií. V ďalšej lekcii budeme pokračovať v štúdiu témy a pozrieť sa na zložitejšie problémy.

Teraz zhrňme lekciu zodpovedaním našich tradičných otázok (snímka číslo 24 ):

“Lekcia sa mi páčila (nepáčila sa mi), pretože...”

“Dnes som sa v triede naučil...”

"Chcem..."

(Hodnotenie za lekciu.)

Domáca úloha: odsek 14 číslo 105, 106. (snímka číslo 25 )

Dodatočná úloha na č. 105 : Nájdite pomer, v akom je rovinaMNKrozdeľuje okrajAB, AkCN : ND = 2:1, B.M. = M.D.a bodkaK– stred mediánuALtrojuholníkABC.

(Dokončite kreatívnu úlohu.)

Snímka 2

Informácie pre učiteľov. Účelom vytvorenia tejto prezentácie je názorne demonštrovať algoritmy na konštrukciu priesečníka priamky a roviny, priesečníka rovín a rezov štvorstena. Učiteľ môže prezentáciu použiť pri vyučovaní na túto tému, prípadne ju odporučiť samoštúdium pre študentov, ktorí jej štúdium z nejakého dôvodu vynechali, alebo aby si zopakovali určité otázky. Študenti sprevádzajú štúdium prezentácie vyplnením krátkeho zhrnutia.

Snímka 3

Informácie pre študenta. Účelom vytvorenia tejto prezentácie je názorne demonštrovať algoritmy na riešenie problémov týkajúcich sa konštrukcie v priestore. Skúste si pozorne a pomaly preštudovať komentáre k popisom a porovnať ich s nákresom. Vyplňte všetky prázdne miesta v súhrne. o nezávislé rozhodnutie problémov, musíte najprv sami premyslieť riešenie a potom sa pozrieť na to, ktoré navrhol autor. Zapíšte si otázky pre učiteľa a pýtajte sa ich v triede.

Snímka 4

I. Priama a pretína rovinu α. Vytvorte priesečník.

α β P m a Odpoveď: I. Na zostrojenie priesečníka priamky a a roviny α je potrebné: 1) nakresliť (nájsť) rovinu β prechádzajúcu priamkou a a pretínajúcu rovinu α pozdĺž priamky m 2) zostrojiť bod P priesečníka priamok a a m. Priamkou a vedieme rovinu β pretínajúcu rovinu α pozdĺž priamky t Priamku a pretíname s priesečnicou rovín α a β: priamka t je spoločným bodom priamky a rovina α, pretože priamka m leží v rovine α. Zapíšte si algoritmus v krátkom zhrnutí.

Snímka 5

1) Zostrojte priesečník priamky MN a roviny BDC.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Odpoveď: Rovina ABC prechádza priamkou MN a pretína rovinu BDC pozdĺž priamky BC. Priamka MN pretína priamku BC v bode P. Priamka BC leží v rovine BDC, čo znamená, že priamka MN pretína rovinu BDC v bode P.

Snímka 6

2) Zostrojte priesečník priamky MN a roviny ABD.

D B A C M N P Odpoveď: Zobraziť riešenie Priamka MN patrí rovine ВDC, ktorá pretína rovinu АВD pozdĺž priamky DB Pretínajme priamky MN a DB. Ďalej

Snímka 7

II. Nech priamka AB nie je rovnobežná s rovinou α. Zostrojte priesečník rovín α a ABC, ak bod C patrí rovine α

B C A α β P m Zostrojme priesečník priamky AB s rovinou α. Podľa podmienok a konštrukcie sú body C a P spoločné s rovinami ABC a α. Podľa podmienok a konštrukcie sú body C a P spoločné s rovinami ABC a α. To znamená, že priamka CP je požadovaná priamka priesečníka rovín ABC a α. II. Na zostrojenie priesečníka roviny α a roviny ABC (C α, (A, B) α, AB || α) je potrebné: zostrojiť priesečník priamky AB a roviny. α - bod P; 2) bod P a C sú spoločné body rovín (ABC) a α, čo znamená (ABC) α = CP Napíšte algoritmus v krátkom zhrnutí.

Snímka 8

3). Zostrojte priamku priesečníka rovín MNP a ADB.

Zostrojte priesečník roviny MNP a plochy ADB. M D B A C N P X Q R Odpoveď: Zostrojme priesečník priamky MR s rovinou ADB (bod X). Priamka MR leží v rovine ADC, ktorá pretína rovinu ADB pozdĺž priamky AD. Priamka MR leží v rovine ADC, ktorá pretína rovinu ADB pozdĺž priamky AD. Body X a N sú spoločné body rovín ADB a MNP. To znamená, že sa pretínajú pozdĺž priamky XN. Zaznamenajte postup výstavby v krátkom zhrnutí.

Snímka 9

Úsek štvorstenu.

C D B A M N P α Mnohouholník tvorený segmentmi, pozdĺž ktorých rovina rezu pretína plochy mnohostena, sa nazýva rez mnohostenom. Segmenty, ktoré tvoria rez, sa nazývajú stopy roviny rezu na plochách. ∆ MNP – úsek. Nech rovina pretína štvorsten, potom sa nazýva rezná rovina Rovina pretína hrany štvorstenu v body M,N,P, a steny - pozdĺž úsečiek MN, MP, NP... Trojuholník MNP sa nazýva rez štvorstenom touto rovinou... Zapíšte si to do krátkej poznámky.

Snímka 10

Prierezom štvorstenu môže byť aj štvoruholník.

A C D B M N P Q α MNPQ – sekcia.

Snímka 11

Algoritmus na zostrojenie rezu štvorstena s rovinou prechádzajúcou tromi danými bodmi M, N, P.

MNPQ je povinná sekcia. D B A C M N P Q X Zostrojte stopy roviny rezu v tých plochách, ktoré s ňou majú 2 spoločné body. 3) Nakreslite priamku cez zostrojené body, pozdĺž ktorých rovina rezu pretína rovinu vybranej plochy ABC. 4) Označte a označte body, v ktorých táto čiara pretína okraje plochy ABC a dokončite zostávajúce stopy. 2) Vyberte tvár, ktorá ešte nemá stopu. Zostrojte priesečníky priamok obsahujúcich už zostrojené stopy s rovinou vybranej plochy: ABC.

Snímka 12

Zostrojte rez metódou štvorstennej roviny MNP.2.

D B A C M N P Q X MNPQ – požadovaný úsek.

Snímka 13

č. 1. (Vyriešte problém sami). Zostrojte rez štvorstenom pomocou roviny MNP.

Q D A C M N P X B X Zobraziť riešenie Druhý spôsob: Ďalej

Snímka 14

č. 2. (Rozhodnite sa sami). Zostrojte rez štvorstenom pomocou roviny MNP, ak P patrí k ploche ADC.

Snímka 15

č. 3. Zostrojte rez pomocou štvorstennej roviny α, rovnobežnej s hranou CD a prechádzajúcej bodom F ležiacim v rovine DBC a bodom M.

3) a (ADB) = MN, a (ABC) = QP. Q D B A M N P F C Dané: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. Zostrojte časť štvorstenu DABC. α||DC, potom (DBC) α=FP a FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Pretože α||DC, potom (DAC) α=MQ a MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP a NP α, znamená DC||α, preto je MNPQ požadovaný úsek. Pokračujte vo vete: Ak je daná priamka a rovnobežná s určitou rovinou α, potom každá rovina prechádzajúca touto priamkou a, ktorá nie je rovnobežná s rovinou α, pretína rovinu α pozdĺž priamky b………………… ………………… rovnobežne s priamkou A. Pokračujte... α||DC, potom rovina BDC pretína α pozdĺž priamky rovnobežnej s DC a prechádzajúcej bodom F α||DC, potom rovina ADC pretína α pozdĺž priamky rovnobežnej s DC a prechádzajúcej cez bod M

Snímka 16

2)α||DВC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)α=MN MP||CD. P#4. Zostrojte rez štvorstennou rovinou α rovnobežnou s čelnou plochou BDC a prechádzajúcou bodom M. B A C M N D Dané: α||DBC, M α, M AD. Zostrojte rez štvorstenom DABC rovinou α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)a=MN3)a(ABC)=NP. ∆ MNP je požadovaná sekcia, pretože………. Pokračujte vo vete: Ak dve rovnobežné roviny pretína tretia rovina, potom sú priamky ich priesečníka……………………… rovnobežné. dve pretínajúce sa priamky MN a MP roviny α sú v tomto poradí rovnobežné s dvomi pretínajúcimi sa priamkami DB a DC roviny (DBC), čo znamená α||(DBC). α||DВC, potom roviny AВ a ADC pretínajú roviny α a (ВДС) pozdĺž priamych čiar MN a МР, rovnobežných s DB a DC, a prechádzajú bodom M.

Snímka 17

Ďalej M R B A C N č.5. Vyriešte svojpomocne a zapíšte si priebeh riešenia. Zostrojte rez štvorstenom rovinou α prechádzajúcou bodom M a úsečkou PN, ak PN||AB a M patria do roviny (ABC). P Q D 1)NP||AB NP||(ABC) NP α, α (ABC)=MQ MQ||NP. 2) MQ AC=R. a (ADC) = NR, a (BDC) = PQ. RNPQ-požadovaný prierez. Pozrite si riešenie NP||(ABC), čo znamená, že rovina MNP pretína rovinu ABC pozdĺž priamky MQ rovnobežnej s NP a prechádzajúcej bodom M.

Snímka 18

Nezabudnite sformulovať otázky pre učiteľa, ak niečo nebolo jasné, ako aj vaše odporúčania na zlepšenie tejto prezentácie.

Snímka 19

Pri tvorbe prezentácie boli použité učebnice a manuály: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov a iní 10-11. M. „Osvietenie“ 2008. 2.B.G. Živ, V.M. Mailer, A.G. Bakhanskij Úlohy z geometrie 7-11.M. "Osvietenie" 2000

Zobraziť všetky snímky

, snímky 1-2)

naučiť sa aplikovať axiómy stereometrie pri riešení úloh;

naučiť sa nájsť polohu priesečníkov roviny rezu s hranami štvorstenu;

osvojiť si metódy konštrukcie týchto sekcií

formovať kognitívnu činnosť, schopnosť logicky myslieť;

vytvárať podmienky na sebakontrolu získavania vedomostí a zručností.

Typ lekcie: Formovanie nových poznatkov.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment

II. Aktualizácia vedomostí žiakov

Frontálny prieskum. (Axiómy stereometrie, vlastnosti rovnobežných rovín)

Slovo učiteľa

Na vyriešenie mnohých geometrických problémov týkajúcich sa štvorstenu je užitočné vedieť ich nakresliťoddielov rôzne lietadlá. (snímka 3). Zavolajmerovina rezu štvorsten je ľubovoľná rovina, na ktorej oboch stranách sú body daného štvorstenu. Rovina rezu pretína plochy štvorstenu pozdĺž segmentov. Polygón, ktorého strany sú tieto segmenty, sa nazývaprierez štvorstena . Keďže štvorsten má štyri steny, jeho časti môžu byť iba trojuholníky a štvoruholníky. Všimnite si tiež, že na zostrojenie rezu stačí zostrojiť priesečníky roviny rezu s hranami štvorstenu, potom zostáva nakresliť segmenty spájajúce dva zostrojené body ležiace na tej istej ploche.

V tejto lekcii budete môcť podrobne študovať sekcie štvorstenu a ovládať metódy konštrukcie týchto sekcií. Naučíte sa päť pravidiel pre konštrukciu rezov mnohostenov, naučíte sa nájsť polohu priesečníkov roviny rezu s hranami štvorstenu.

Aktualizácia podporných konceptov

Prvé pravidlo. Ak dva body patria rovine rezu aj rovine niektorej plochy mnohostenu, potom priamka prechádzajúca týmito dvoma bodmi je priesečníkom roviny rezu s rovinou tejto plochy (dôsledok axiómy na priesečník rovín).

Druhé pravidlo . Ak je rovina rezu rovnobežná s určitou rovinou, potom sa tieto dve roviny pretínajú s ľubovoľnou plochou pozdĺž rovnobežných čiar (vlastnosť dvoch rovnobežných rovín pretínaných treťou).

Tretie pravidlo. Ak je rovina rezu rovnobežná s priamkou ležiacou v určitej rovine (napríklad rovina nejakej plochy), potom je priesečník roviny rezu s touto rovinou (plochou) rovnobežný s touto priamkou (vlastnosť a priamka rovnobežná s rovinou).

Štvrté pravidlo. Rovina rezu pretína rovnobežné plochy pozdĺž rovnobežných línií (vlastnosť rovnobežných rovín, ktoré pretína tretina).

Piate pravidlo . Nech dva body A a B patria do roviny rezu a body A 1 a B 1 sú paralelné projekcie týchto bodov na nejakú tvár. Ak sú priamky AB a A 1 B 1 sú rovnobežné, potom rovina rezu pretína túto plochu pozdĺž priamky rovnobežnej s A 1 B 1 . Ak sú priamky AB a A 1 B 1 pretínajú v určitom bode, potom tento bod patrí do roviny rezu aj do roviny tejto plochy (prvá časť tejto vety vyplýva z vlastnosti priamky rovnobežnej s rovinou a druhá z ďalších vlastností rovnobežky projekcia).

III. Učenie sa nového materiálu (tvorba vedomostí, zručností)

Kolektívne riešenie problémov s vysvetlením (snímka 4)

Úloha 1. Zostrojte rez štvorstenom DABC rovinou prechádzajúcou bodmi K → AD, M → DS, E → BC.

Pozrime sa pozorne na výkres. Keďže body K a M patria do tej istej roviny, nájdeme priesečník roviny rezu s plochou ADS - toto je segment KM. Body M a E tiež ležia v rovnakej rovine, čo znamená, že priesečníkom roviny rezu a plochy VDS je segment ME. Nájdeme priesečník priamok KM a AC, ktoré ležia v rovnakej rovine ADS. Teraz bod X leží v čelnej ploche ABC, potom sa môže pripojiť k bodu E. Nakreslíme priamku XE, ktorá sa pretína s AB v bode P. Úsečka PE je priesečníkom roviny rezu s čelnou plochou ABC a segment KP je priesečník roviny rezu s plochou ABC. Preto je štvoruholník KMER naším želaným úsekom. Zaznamenajte si riešenie do notebooku:

Riešenie.

KM = α ∩ ADS

ME = α ∩ VDS

X = KM ∩ AC

P = XE ∩ AB

PE = α ∩ ABC

KR = α ∩ ADV

KMER – požadovaný prierez

Úloha 2. (snímka 5)

Zostrojte rez štvorstenom DABC rovinou prechádzajúcou bodmi K = ABC, M = VDS, N = AD

Zoberme si projekcie niektorých dvoch bodov. V štvorstene sa priemety bodov nachádzajú z vrcholu do základnej roviny, t.j. M→M 1 , N→A. Nájdenie priesečníka čiar NM a AM 1 bod X. Tento bod patrí do roviny rezu, keďže leží na priamke NM, patrí do roviny ABC, keďže leží na priamke AM 1 . To znamená, že teraz v rovine ABC máme dva body, ktoré sa dajú spojiť, dostaneme priamku KX. Priamka pretína stranu BC v bode L a stranu AB v bode H. V čelnej časti ABC nájdeme priesečník, prechádza bodmi H a K - to je NL. Na stene ABP je priesečník НN, na stene VDS nakreslíme priesečník cez body L a M - to je LQ a na stene ADS získame segment NQ. Požadovaný rez je štvoruholník HNQL.

Riešenie

M → M 1 N → A

X = NM ∩ AM 1

L = KX ∩ BC

H = KX ∩ AB

НL = α ∩ АВС, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ VDS, М є LQ

NQ = α ∩ ADS

HNQL – povinná sekcia

IV. Upevnenie vedomostí

Riešenie problému s následným overením

Úloha 3. (snímka 6)

Zostrojte rez štvorstenom DAWS s rovinou prechádzajúcou bodmi K є BC, M є ADV, N є VDS.

Riešenie

1. M → M 1 , N → N 1

X = NM ∩ N 1 M 1

R = KX ∩ AB

RL = α ∩ АВД, М є RL

KR = α ∩ VDS, N є KR

LP = α ∩ ADS

RLPK – povinná sekcia

V. Samostatná práca(podľa možností)

(snímka 7)

Úloha 4. Zostrojte rez štvorstenom DABC rovinou prechádzajúcou bodmi M = AB, N = AC, K = AD.

Riešenie

KM = α ∩ AVD,

МN = α ∩ АВС,

KN = α ∩ ADS

KMN – požadovaný úsek

Úloha 5. Zostrojte rez štvorstenom DABC rovinou prechádzajúcou bodmi M = AB, K = DS, N = DV.

Riešenie

MN = α ∩ AVD

NK = α ∩ VDS

X = NK ∩ BC

P = AC ∩ MX

RK = α ∩ ADS

MNKP – povinná sekcia

Úloha 6. Zostrojte rez štvorstenom DABC rovinou prechádzajúcou bodmi M = ABC, K = VD, N = DS

Riešenie

KN = α ∩ ICE

Х = КN ∩ ВС

T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC

RT = α ∩ ABC, M є RT

PN = α ∩ ADS

TP N K – požadovaný úsek

VI. Zhrnutie lekcie.

(snímka 8)

Dnes sme sa teda naučili, ako zostaviť najjednoduchšie úlohy na úsekoch štvorstena. Dovoľte mi pripomenúť, že úsek mnohostena je mnohouholník získaný ako výsledok priesečníka mnohostena s určitou rovinou. Samotná rovina sa nazýva rezná rovina. Zostrojiť rez znamená určiť, ktoré hrany pretína rovina rezu, typ výsledného rezu a presnú polohu priesečníkov roviny rezu s týmito hranami. To znamená, že ciele, ktoré boli stanovené v lekcii, boli dosiahnuté.

VII. Domáca úloha.

(snímka 9)

Praktická práca„Postavte časti štvorstenu“ v elektronickej forme alebo v papierovej verzii. (Každý dostal individuálnu úlohu