O abordare axiomatică a construirii unui sistem de numere naturale. Metode axiomatice în matematică. Concepte de bază și definiții
Polisemie
Polisemia, sau polisemia cuvintelor, apare din cauza faptului că limbajul reprezintă un sistem limitat în comparație cu varietatea infinită a realității reale, astfel încât, în cuvintele academicianului Vinogradov, „Limba este obligată să distribuie nenumărate semnificații sub unul sau o altă rubrică de concepte de bază.” (Vinogradov „Limba rusă” 1947). Este necesar să se facă distincția între diferitele utilizări ale cuvintelor dintr-o variantă lexico-semantică și diferența reală a cuvântului. Deci, de exemplu, cuvântul (das)Ol poate desemna un număr de uleiuri diferite, cu excepția celor de vacă (pentru care există un cuvânt Unt). Din aceasta nu rezultă însă că, desemnând uleiuri diferite, cuvântul Ol va avea de fiecare dată un înțeles diferit: în toate cazurile sensul său va fi același, și anume ulei (totul cu excepția celui de vacă). La fel ca, de exemplu, sensul cuvântului tabel Tisch, indiferent de tipul de tabel pe care cuvântul îl denotă în acest caz particular. Situația este diferită când cuvântul Ol înseamnă ulei. Aici, ceea ce iese în prim-plan nu mai este asemănarea uleiului din punct de vedere al uleiului cu diverse tipuri de ulei, ci calitatea deosebită a uleiului - inflamabilitate. Și, în același timp, cuvintele care indică diferite tipuri de combustibil vor fi asociate cu cuvântul Ol: Kohl, Holz etc. Acest lucru ne oferă posibilitatea de a distinge două sensuri de la cuvântul Ol (sau, cu alte cuvinte, două opțiuni lexico-semantice): 1) ulei (nu un animal) 2) ulei.
De obicei, noi semnificații apar prin transferul unuia dintre cuvintele existente la un nou obiect sau fenomen. Așa se formează semnificațiile figurate. Ele se bazează fie pe asemănarea obiectelor, fie pe legătura unui obiect cu altul. Sunt cunoscute mai multe tipuri de transfer de nume. Cele mai importante dintre ele sunt metafora sau metonimia.
În metaforă, transferul se bazează pe asemănarea lucrurilor în culoare, formă, natura mișcării și așa mai departe. Cu toate schimbările metaforice, rămâne un semn al conceptului original
Omonimie
Polisemia unui cuvânt este o problemă atât de mare și multifațetă încât o mare varietate de probleme din lexicologie sunt oarecum legate de ea. În special, problema omonimiei intră în contact cu această problemă în unele aspecte.
Omonimele sunt cuvinte care sună la fel, dar au semnificații diferite. În unele cazuri, omonimele apar din polisemia care a suferit un proces de distrugere. Dar omonimele pot apărea și ca urmare a coincidențelor aleatorii ale sunetului. Cheia care deschide ușa, iar cheia - un izvor sau o coasă - o coafură și o coasă - o unealtă agricolă - aceste cuvinte au semnificații diferite și origini diferite, dar coincid întâmplător în sunetul lor.
Omonimele se disting prin lexical (se referă la o parte a vorbirii, de exemplu, o cheie - pentru a deschide un lacăt și o cheie - un arc. sursă) morfologic (se referă la diferite părți ale vorbirii, de exemplu, trei este un număr , trei este un verb în starea de spirit imperativă), lexico-gramaticale, care sunt create ca urmare a conversiei, atunci când un anumit cuvânt trece într-o altă parte de vorbire. de exemplu în engleză uite-uite și uite-uite. Există mai ales multe omonime lexico-gramaticale în Limba engleză.
Omofonele și omografele trebuie să fie distinse de omonime. Omofonele sunt cuvinte diferite care, deși diferite prin ortografie, sunt aceleași în pronunție, de exemplu: ceapă - luncă, Seite - pagină și Saite - șir.
Omografiile sunt cuvinte atât de diferite care au aceeași ortografie, deși sunt pronunțate diferit (atât în ceea ce privește compoziția sunetului, cât și locul accentului în cuvânt), de exemplu, Castelul - castel.
Sinonimie
Sinonimele sunt cuvinte care au sens apropiat, dar sună diferit, exprimând nuanțe ale unui concept.
Există trei tipuri de sinonime:
1. Conceptual sau ideografic. Ele diferă unele de altele în sensul lexical. Această diferență este evidentă în în diferite grade atributul desemnat (ger - rece, puternic, puternic, puternic), în natura denumirii sale (jachetă matlasată - jachetă matlasată - jachetă căptușită), în sfera conceptului exprimat (banner - steag, îndrăzneț - îndrăzneț), în gradul de conexiune a sensului lexical (maro - maro, negru - negru).
2. Sinonimele sunt stilistice sau funcționale. Ele diferă unele de altele în sfera de utilizare, de exemplu, ochi - ochi, față - față, frunte - frunte. Sinonime emotional - evaluative. Aceste sinonime exprimă în mod deschis atitudinea vorbitorului față de persoana, obiectul sau fenomenul desemnat. De exemplu, un copil poate fi numit solemn copil, cu afecțiune băiețel și băiețel, cu dispreț un băiat și un fraier și, de asemenea, intensificat și disprețuitor un cățeluș, un fraier, un băiețel.
3. Antonime - combinații de cuvinte care sunt opuse în sensul lor lexical, de exemplu: sus - jos, alb - negru, vorbesc - tăcut, tare - liniștit.
Antonimie
Există trei tipuri de antonime:
1. Antonime de opoziție graduală și coordonată, de exemplu, alb - negru, liniștit - tare, aproape - îndepărtat, bine - rău și așa mai departe. Aceste antonime au ceva în comun în sensul lor, ceea ce le permite să fie contrastate. Deci conceptele alb-negru denotă concepte de culoare opuse.
2. Antonime ale contrariilor complementare și de conversie: război - pace, soț - soție, căsătorit - singur, posibil - imposibil, închis - deschis.
3. Antonime ale diviziunii dihotomice a conceptelor. Sunt adesea aceleași cuvinte rădăcină: popular - anti-național, legal - ilegal, uman - inuman.
Interesant este așa-zisul antonimie intracuvânt, atunci când semnificațiile cuvintelor care au aceeași înveliș material sunt contrastate. De exemplu, în rusă verbul a împrumuta cuiva bani înseamnă „a împrumuta”, iar a împrumuta bani de la cineva înseamnă deja a împrumuta bani de la cineva. Opoziția de semnificații intracuvânt se numește enantiosemie.
6. Construcția axiomatică a sistemului numere naturale. Metodă axiomatică de construire a unei teorii matematice. Cerințe pentru sistemul de axiome: consistență, independență, completitudine. Axiomatica lui Peano. Conceptul de număr natural dintr-o poziție axiomatică. Modele ale sistemului de axiome Peano. Adunarea și înmulțirea numerelor naturale din poziții axiomatice. Ordinea mulțimii numerelor naturale. Proprietățile mulțimii numerelor naturale. Scăderea și împărțirea unei mulțimi de numere naturale din poziții axiomatice. Metoda inducției matematice. Introducerea zero și construirea unui set de numere întregi numere nenegative. Teorema despre împărțirea cu rest.
Concepte de bază și definiții
Număr - este o expresie a unei anumite cantităţi.
Numar natural element al unei secvențe care continuă nedefinit.
Numere naturale (numere naturale) - numere care apar în mod natural la numărare (atât în sensul de enumerare, cât și în sensul de calcul).
Există două abordări pentru definirea numerelor naturale - numerele utilizate în:
enumerarea (numerotarea) articolelor (primul, al doilea, al treilea, ...);
desemnarea numărului de articole (nici un articol, un articol, două articole, ...).
Axioma - acestea sunt punctele de plecare de bază (principiile de la sine înțelese) ale unei anumite teorii, din care restul conținutului acestei teorii este extras prin deducție, adică prin mijloace pur logice.
Un număr care are doar doi divizori (numărul în sine și unul) se numește - un număr prim.
Numar compus este un număr care are mai mult de doi divizori.
§2. Axiomatica numerelor naturale
Numerele naturale se obțin prin numărarea obiectelor și măsurarea cantităților. Dar dacă, în timpul măsurării, apar alte numere decât numerele naturale, atunci numărarea duce numai la numere naturale. Pentru a număra, aveți nevoie de o succesiune de numere care să înceapă cu unul și care să vă permită să treceți de la un număr la altul de câte ori este necesar. Cu alte cuvinte, avem nevoie de un segment din seria naturală. Prin urmare, la rezolvarea problemei justificării sistemului numerelor naturale, în primul rând a fost necesar să se răspundă la întrebarea ce este un număr ca element al seriei naturale. Răspunsul la aceasta a fost dat în lucrările a doi matematicieni - germanul Grassmann și italianul Peano. Au propus o axiomatică în care numărul natural a fost justificat ca un element al unei secvențe care continuă nedefinit.
Construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale se realizează după regulile formulate.
Cele cinci axiome pot fi considerate ca o definiție axiomatică a conceptelor de bază:
1 este un număr natural;
Următorul număr natural este un număr natural;
1 nu urmează niciun număr natural;
Dacă un număr natural A urmează un număr natural bși dincolo de numărul natural Cu, Acea bȘi Cu sunt identice;
Dacă se dovedește vreo propoziție pentru 1 și dacă din ipoteza că este adevărată pentru un număr natural n, rezultă că este adevărat pentru următoarele n număr natural, atunci această propoziție este adevărată pentru toate numerele naturale.
Unitate– acesta este primul număr din seria naturală , precum și una dintre cifrele din sistemul numeric zecimal.
Se crede că desemnarea unei unități de orice categorie cu același semn (destul de apropiată de cea modernă) a apărut pentru prima dată în Babilonul antic la aproximativ 2 mii de ani î.Hr. e.
Grecii antici, care considerau ca numere doar numerele naturale, fiecare dintre ele le considerau o colecție de unități. Unității în sine i se acordă un loc special: nu a fost considerată un număr.
I. Newton scria: „... prin număr înțelegem nu atât o colecție de unități, cât o relație abstractă a unei mărimi cu o altă cantitate, acceptată convențional de noi ca unitate.” Astfel, unul și-a luat deja locul cuvenit printre alte numere.
Operațiile aritmetice pe numere au o varietate de proprietăți. Ele pot fi descrise în cuvinte, de exemplu: „Suma nu se schimbă prin schimbarea locurilor termenilor”. Îl poți scrie cu litere: a+b = b+a. Poate fi exprimat în termeni speciali.
Legile de bază ale aritmeticii le aplicăm adesea din obișnuință, fără să ne dăm seama:
1) legea comutativă (comutativitatea), – proprietatea adunării și înmulțirii numerelor, exprimată prin identități:
a+b = b+a a*b = b*a;
2) legea combinațională (asociativitatea), - proprietatea adunării și înmulțirii numerelor, exprimată prin identități:
(a+b)+c = a+(b+c) (a*b)*c = a*(b*c);
3) legea distributivă (distributivitatea), - o proprietate care leagă adunarea și înmulțirea numerelor și este exprimată prin identități:
a*(b+c) = a*b+a*c (b+c) *a = b*a+c*a.
După demonstrarea legilor comutative, combinative și distributive (în raport cu adunarea) de acțiune a înmulțirii, construcția ulterioară a teoriei operațiilor aritmetice asupra numerelor naturale nu prezintă dificultăți fundamentale.
În prezent, în mintea noastră sau pe o bucată de hârtie, facem doar cel mai mult calcule simple, încredințând din ce în ce mai mult calculatoarelor și calculatoarelor lucrări de calcul mai complexe. Cu toate acestea, funcționarea tuturor calculatoarelor - simple și complexe - se bazează pe cea mai simplă operație - adunarea numerelor naturale. Se pare că cele mai complexe calcule pot fi reduse la adunare, dar această operație trebuie făcută de multe milioane de ori.
Metode axiomatice în matematică
Unul dintre principalele motive pentru dezvoltarea logicii matematice este răspândirea metoda axiomaticaîn construirea diverselor teorii matematice, în primul rând, geometria, iar apoi aritmetica, teoria grupurilor etc. Metoda axiomatică poate fi definită ca o teorie care este construită pe un sistem preselectat de concepte nedefinite și relații dintre ele.
În construcția axiomatică a unei teorii matematice este selectat preliminar un anumit sistem de concepte nedefinite și relații dintre ele. Aceste concepte și relații sunt numite de bază. Apoi, intra axiome acestea. principalele prevederi ale teoriei luate în considerare, acceptate fără dovezi. Tot conținutul suplimentar al teoriei este derivat logic din axiome. Pentru prima dată, construcția axiomatică a unei teorii matematice a fost întreprinsă de Euclid în construcția geometriei.
Metoda axiomatică în matematică.
Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a seriei naturale. Definiția unui număr natural.
Adunarea numerelor naturale.
Înmulțirea numerelor naturale.
Proprietățile mulțimii numerelor naturale
Scăderea și împărțirea numerelor naturale.
Metoda axiomatică în matematică
În construcția axiomatică a oricărei teorii matematice, se respectă următoarele reguli: anumite reguli:
1. Unele concepte ale teoriei sunt alese ca principalși sunt acceptate fără definiție.
2. Sunt formulate axiome, care în această teorie sunt acceptate fără dovezi, ele relevă proprietățile conceptelor de bază.
3. Este dat fiecare concept al teoriei care nu este cuprins în lista celor de bază definiție, își explică sensul cu ajutorul conceptelor principale și precedente.
4. Fiecare propoziție a unei teorii care nu este cuprinsă în lista de axiome trebuie dovedită. Se numesc astfel de propuneri teoremeși demonstrați-le pe baza axiomelor și teoremelor premergătoare celei luate în considerare.
Sistemul de axiome ar trebui să fie:
a) consistent: trebuie să fim siguri că, trăgând toate concluziile posibile dintr-un sistem dat de axiome, nu vom ajunge niciodată la o contradicție;
b) independent: nicio axiomă nu ar trebui să fie o consecință a altor axiome ale acestui sistem.
V) deplin, dacă în cadrul său este întotdeauna posibil să se dovedească fie o afirmație dată, fie negația acesteia.
Prima experiență de construcție a teoriei axiomatice poate fi considerată prezentarea geometriei de către Euclid în „Elementele” sale (secolul III î.Hr.). O contribuție semnificativă la dezvoltarea metodei axiomatice de construcție a geometriei și algebrei a avut-o N.I. Lobaciovski și E. Galois. La sfârşitul secolului al XIX-lea. Matematicianul italian Peano a dezvoltat un sistem de axiome pentru aritmetică.
Concepte de bază și relații ale teoriei axiomatice a numerelor naturale. Definiția unui număr natural.
Ca un concept de bază (nedefinit) într-un anumit set N este selectat atitudine , și utilizează, de asemenea, concepte teoretice de mulțimi, precum și regulile logicii.
Elementul imediat care urmează elementului A, denota A".
Relația „urmări direct” satisface următoarele axiome:
Axiomele lui Peano:
Axioma 1. In abundenta N există un element direct nu următorul nu pentru niciun element din acest set. Să-l sunăm unitateși notat cu simbolul 1 .
Axioma 2. Pentru fiecare element A din N există un singur element A" , imediat după A .
Axioma 3. Pentru fiecare element A din N există cel mult un element care este imediat urmat de A .
Axioma 4. Orice subset M seturi N coincide cu N , dacă are următoarele proprietăți: 1) 1 cuprins în M ; 2) din faptul că A cuprins în M , rezultă că A" cuprins în M.
Definiția 1. O multime de N , pentru ale căror elemente se stabilește relația "Urmeaza direct", satisfacand axiomele 1-4, se numeste set de numere naturale, iar elementele sale sunt numere naturale.
ÎN această definiție nu se spune nimic despre natura elementelor multimii N . Deci poate fi orice. Alegerea ca set N un anumit set pe care este dată o relație specifică „urmează direct”, satisfăcând axiomele 1-4, obținem modelul acestui sistem axiomă.
Model standard Sistemul de axiome al lui Peano este unul care apare în acest proces dezvoltare istorica societate, o serie de numere: 1,2,3,4,... Seria naturală începe cu numărul 1 (axioma 1); fiecare număr natural este urmat imediat de un singur număr natural (axioma 2); fiecare număr natural urmează imediat cel mult unui număr natural (axioma 3); plecând de la numărul 1 și trecând în ordinea numerelor naturale imediat ce urmează unul altuia, obținem întreaga mulțime a acestor numere (axioma 4).
Deci, am început construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale prin alegerea de bază relație „urmărește direct”.și axiome care îi descriu proprietățile. Construirea ulterioară a teoriei implică luarea în considerare a proprietăților cunoscute ale numerelor naturale și a operațiilor asupra acestora. Ele trebuie dezvăluite în definiții și teoreme, adică sunt derivate pur logic din relația „urmează direct” și axiomele 1-4.
Primul concept pe care îl vom introduce după definirea unui număr natural este atitudine "precede imediat" , care este adesea folosit când se consideră proprietăţile seriei naturale.
Definiția 2. Dacă un număr natural b urmează direct numar natural A, acel număr A numit imediat precedent(sau anterior) numărul b .
Relația „precedează” are o serie de proprietăți.
Teorema 1. Unitatea nu are un număr natural precedent.
Teorema 2. Fiecare număr natural A, altul decât 1, are un singur număr anterior b, astfel încât b"= A.
Construcția axiomatică a teoriei numerelor naturale nu este considerată nici în inițială, nici în liceu. Cu toate acestea, acele proprietăți ale relației „urmează direct”, care sunt reflectate în axiomele lui Peano, sunt subiect de studiu în cursul inițial de matematică. Deja în clasa întâi, când luăm în considerare numerele primelor zece, devine clar cum poate fi obținut fiecare număr. Sunt folosite conceptele „urmează” și „precedează”. Fiecare număr nou acționează ca o continuare a segmentului studiat al seriei naturale de numere. Elevii sunt convinși că fiecare număr este urmat de următorul și, în plus, un singur lucru, că seria naturală a numerelor este infinită.
Adunarea numerelor naturale
Conform regulilor de construire a unei teorii axiomatice, definiția adunării numerelor naturale trebuie introdusă folosind doar relația „urmărește direct”, și concepte "numar natural"Și „numărul precedent”.
Să prefațăm definiția adunării cu următoarele considerații. Dacă la orice număr natural A adunăm 1, obținem numărul A", imediat după A, adică A+ 1= a"și, prin urmare, obținem regula pentru a adăuga 1 la orice număr natural. Dar cum să adaugi la un număr A numar natural b, diferit de 1? Să folosim următorul fapt: dacă știm că 2 + 3 = 5, atunci suma este 2 + 4 = 6, care urmează imediat după numărul 5. Acest lucru se întâmplă deoarece în suma 2 + 4 al doilea termen este numărul imediat următor. numărul 3. Astfel, 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". În întregime avem, .
Aceste fapte formează baza pentru definirea adunării numerelor naturale în teoria axiomatică.
Definiția 3. Adunarea numerelor naturale este o operație algebrică care are următoarele proprietăți:
Număr a + b numit suma de numere AȘi b , și numerele în sine AȘi b - termeni.
Ca concept de bază când
construcția axiomatică a aritmeticii
numerele naturale iau raportul
„urmare direct” dat pe
multime nevide N.
Elementul care urmează imediat
elementul a, notează a."
element care nu urmează imediat
în spatele cărui element al acestui set. Vom
numiți-o unitate.
Axioma 2. Pentru fiecare element a din N
există un singur element a",
imediat după a. Axioma 3. Pentru fiecare element a din N
există cel mult un element per
care este urmată imediat de a.
Axioma 4. Fiecare submulțime de M
multimea N, are urmatoarele proprietati:
1) unitatea aparține mulțimii M;
2) din faptul că a este cuprins în M rezultă că
că a" este conținut în M, atunci M coincide cu
set N.
Definiția natural number
O mulţime N, pentru ale cărei elemente se stabileşte relaţia„urmărește direct”, satisfăcând axiomele 1-4,
se numește mulțimea numerelor naturale, iar elementele sale sunt numere naturale.
Plus
Definiție. Adunarea numerelor naturale se numeșteoperație algebrică cu următoarele proprietăți:
1) (Ɐa ∈ N) a + 1 = a",
2) (Ɐa, b ∈ N) a + b"=(a+b)".
Numărul a+b se numește suma numerelor a și b și a numerelor a și b în sine
termeni.
Să fim de acord asupra următoarei notări:
1" = 2; 2" = 3; 3" = 4; 4" = 5 etc.
Proprietățile adăugării
Teorema 3. Adunarea numerelor naturale există și aceastanumai
Teorema 4. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) + c = a + (b + c)
Teorema 5. (Ɐ a, b ∈ N) a+b = b+a
Multiplicare
Înmulțirea numerelor naturale se numește algebricăo operație cu următoarele proprietăți:
1)(Ɐ a ∈ N) a·1 =a;
2)(Ɐ a, b ∈ N) a·b" = a·b + a.
Numărul a b se numește produsul numerelor a și b, iar numerele în sine a și
b - multiplicatori
Proprietățile înmulțirii
Teorema 7. Înmulțirea numerelor naturale există și eanumai.
Teorema 8. (Ɐ a, b, c ∈ N)(a + b) c = ac + b c - distributivitatea
la dreapta relativ la adunare.
Teorema 9. (Ɐ a, b, c ∈ N) a·(b + c) = + a·c - distributivitatea stângă
referitor la adaos.
Teorema 10. (Ɐ a, b, c ∈ N) (a b) c = a (b c) - asociativitate
multiplicare.
Teorema 11. (Ɐ a, b ∈ N) a·b = a·b - comutativitatea înmulțirii
Întrebări de autotest
1. Poate fi formulată axioma 3 astfel: „Pentru fiecare elementiar din N există un singur element urmat imediat de
ar trebui un"?
2. Continuați definiția unui număr natural: „Un număr natural
se numește un element al setului...”
3. Este adevărat că fiecare număr natural se obține din cel precedent?
prin adaugarea unuia?
4. Ce proprietăți ale înmulțirii pot fi folosite la găsirea
sensuri ale expresiei:
a) 5·(10 + 4); b) 125,15,6; c) (8·379)·125?
Literatură
Stoilova L.P.Matematică: manual pentru elevi. superior ped. manual stabilimente.
M.: Centrul de editură „Academia”. 2002. - 424 p.
GOUVPO
Statul Tula Universitatea Pedagogică
Numit după L.N. Tolstoi
SISTEME NUMERICE
Tula 2008
Sisteme numerice
Manualul este destinat studenților specialităților matematice ale unei universități pedagogice și a fost elaborat în conformitate cu standardul de stat pentru cursul „Sisteme numerice”. Este prezentat materialul teoretic. Sunt analizate soluțiile la sarcini tipice. Sunt oferite exerciții de rezolvare în timpul orelor practice.
Compilat de -
Candidat la științe fizice și matematice, profesor asociat al Departamentului de Algebră și Geometrie, TSPU numit după. L. N. Tolstoi Iu. A. Ignatov
Revizor -
Candidat la științe fizice și matematice, profesor de catedra analiză matematică TSPU numit după. L. N. Tolstoi I. V. Denisov
Ediție educațională
Sisteme numerice
Compilat de
IGNATOV Yuri Alexandrovici
© Yu Ignatov, 2008
SISTEME NUMERICE
Acest curs acoperă bazele matematicii. Oferă o construcție axiomatică strictă a sistemelor numerice de bază: natural, întreg, rațional, real, complex, precum și cuaternioni. Se bazează pe teoria sistemelor axiomatice formale, discutată în cursul logicii matematice.
În fiecare paragraf, teoremele sunt numerotate mai întâi. Dacă este necesar să se facă referire la o teoremă dintr-un alt paragraf, se folosește numerotarea în trepte: numărul paragrafului este plasat înaintea numărului teoremei. De exemplu, Teorema 1.2.3 este Teorema 3 din paragraful 1.2.
numere întregi
Teoria axiomatică a numerelor naturale
Teoria axiomatică este definită de următoarele elemente:
Un set de constante;
Un set de simboluri funcționale pentru a indica operațiuni;
Un set de simboluri predicate pentru a reprezenta relații;
O listă de axiome care leagă elementele de mai sus.
Pentru o teorie axiomatică formală sunt indicate și regulile de inferență cu ajutorul cărora se demonstrează teoreme. În acest caz, toate enunțurile sunt scrise sub formă de formule, al căror sens nu contează, iar transformările se fac pe aceste formule conform regulilor date. Într-o teorie axiomatică de fond, regulile de inferență nu sunt specificate. Demonstrațiile se realizează pe baza unor construcții logice obișnuite care țin cont de sensul afirmațiilor care se dovedesc.
Acest curs construiește teorii semnificative ale sistemelor numerice de bază.
Cea mai importantă cerință pentru o teorie axiomatică este consistența acesteia. Dovada coerenței se realizează prin construirea unui model al unei teorii într-o altă teorie. Apoi, consistența teoriei luate în considerare se reduce la consistența teoriei în care este construit modelul.
Pentru un sistem de numere întregi, modelul este construit în cadrul unui sistem de numere naturale, pentru numere raționale - în cadrul unui sistem de numere întregi etc. Rezultă un lanț de teorii axiomatice, în care fiecare teorie se bazează pe cea anterioară. Dar pentru prima teorie din acest lanț, și anume teoria numerelor naturale, nu există unde să construim un model. Prin urmare, pentru un sistem de numere naturale este necesar să se construiască o teorie pentru care existența unui model este dincolo de orice îndoială, deși este imposibil să o demonstrăm cu strictețe.
Teoria ar trebui să fie foarte simplă. În acest scop, considerăm sistemul numerelor naturale doar ca un instrument de numărare a obiectelor. Operațiile de adunare, înmulțire și relații de ordine trebuie determinate după ce teoria în forma indicată a fost construită.
Pentru nevoile numărării, sistemul numerelor naturale trebuie să fie o succesiune în care să fie definit primul element (unitate) iar pentru fiecare element să fie definit următorul. În conformitate cu aceasta, obținem următoarea teorie.
Constant: 1 unitate).
Simbolul funcției: „¢”. Denotă operația unară „urmărire”, adică A¢ – numărul următor A. Mai mult, numărul A numit anterior Pentru A¢.
Nu există caractere predicate speciale. Se utilizează relația de egalitate obișnuită și relațiile teoretice de mulțimi. Axiomele pentru ele nu vor fi indicate.
Se notează mulţimea pe care se bazează teoria N.
Axiome:
(N1) (" A) A¢ ¹ 1 (nu urmează niciun număr).
(N2) (" A)("b) (A¢ = b¢ ® a = b) (fiecare număr are cel mult un predecesor).
(N3) M Í N, 1О M, ("A)(AÎ M ® A¢Î M) Þ M = N(axioma inducției matematice).
Axiomatica de mai sus a fost propusă (cu modificări minore) de matematicianul italian Peano în sfârşitul XIX-lea secol.
Nu este dificil să derivăm unele teoreme din axiome.
Teorema 1. (Metoda inducției matematice). Lăsa R(n) – un predicat definit pe o mulțime N. Să fie adevărat R(1) și (" n)(P(n)® P(n¢)). Apoi R(n) este un predicat identic adevărat asupra N.
Dovada. Lăsa M– mulţime de numere naturale n, pentru care R(n) este adevarat. Apoi 1О M conform condiţiilor teoremei. În continuare, dacă nÎ M, Acea P(n) adevărat prin definiție M, P(n¢) este adevărată conform condițiilor teoremei și n¢Î M a-prioriu M. Toate premisele axiomei de inducție sunt satisfăcute, prin urmare, M = N. Conform definiției M, înseamnă că R(n) este valabilă pentru toate numerele de la N. Teorema a fost demonstrată.
Teorema 2. Orice număr A Nr. 1 are un antecedent și doar unul.
Dovada. Lăsa M– mulțimea numerelor naturale care conțin 1 și toate numerele care au un predecesor. Apoi 1О M. Dacă AÎ M, Acea A¢Î M, deoarece A¢ are un antecedent (condiția nici măcar nu este folosită aici AÎ M). Deci, după axioma inducției M = N. Teorema a fost demonstrată.
Teorema 3. Orice număr este diferit de următorul.
Exercițiu. După ce au determinat numerele naturale 1¢ = 2, 2¢ = 3, 3¢ = 4, 4¢ = 5, 5¢ = 6, dovediți că 2¹ 6.
Adunarea numerelor naturale
Pentru adunarea numerelor naturale, este dată următoarea definiție recursivă.
Definiție. Adunarea numerelor naturale este o operație binară care se aplică numerelor naturale AȘi b se potrivește cu numărul a+b, având următoarele proprietăți:
(S1) A + 1 = A¢ pentru oricine A;
(S2) a+b¢ = ( a+b)¢ pentru orice AȘi b.
Este necesar să se demonstreze că această definiție este corectă, adică există o operație care satisface proprietățile date. Această sarcină pare foarte simplă: este suficient să efectuați inducția b, socoteală A fix. În acest caz, este necesar să selectați un set M valorile b, pentru care operația a+b este definită și îndeplinește condițiile (S1) și (S2). Când se efectuează o tranziție inductivă, trebuie să presupunem că pt b operațiunea este efectuată și dovediți că este efectuată pentru b¢. Dar în proprietatea (S2), care trebuie satisfăcută pentru b, există deja un link către a+b¢. Aceasta înseamnă că această proprietate presupune automat existența unei operațiuni pt a+b¢, și deci pentru numerele ulterioare: la urma urmei, pentru a+b¢ proprietatea (S2) trebuie de asemenea satisfăcută. S-ar putea crede că acest lucru nu face decât să ușureze problema făcând pasul inductiv banal: afirmația care se dovedește pur și simplu repetă ipoteza inductivă. Dar dificultatea aici constă în demonstrarea bazei de inducție. Pentru valoare b= 1, proprietățile (S1) și (S2) trebuie de asemenea îndeplinite. Dar proprietatea (S2), așa cum se arată, presupune existența unei operații pentru toate valorile care urmează după 1. Aceasta înseamnă că verificarea bazei inducției presupune o demonstrație nu pentru unul, ci pentru toate numerele, iar inducția își pierde sensul: baza de inducție coincide cu afirmația care se dovedește.
Raționamentul de mai sus nu înseamnă că definițiile recursive sunt incorecte sau necesită o justificare atentă de fiecare dată. Pentru a le justifica, trebuie să utilizați proprietățile numerelor naturale, care sunt stabilite doar în această etapă. Odată ce acestea au fost stabilite, validitatea definițiilor recursive poate fi dovedită. Deocamdată, să demonstrăm existența adunării prin inducție pe A: în formulele (S1) și (S2) nu există nicio legătură între adunarea pt AȘi A¢.
Teorema 1. Adunarea numerelor naturale este întotdeauna fezabilă și în mod unic.
Dovada. a) Mai întâi dovedim unicitatea. Să o reparăm A. Apoi rezultatul operației a+b există o funcție de la b. Să presupunem că există două astfel de funcții f(b) Și g(b), având proprietăți (S1) și (S2). Să demonstrăm că sunt egali.
Lăsa M– ansamblu de sensuri b, pentru care f(b) = g(b). După proprietate (S1)
f(1) = A + 1 = A¢ și g(1) = A + 1 = A¢ înseamnă f(1) = g(1) și 1О M.
Lasă-l acum bÎ M, acesta este f(b) = g(b). După proprietate (S2)
f(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= f(b)¢, g(b¢) = a+b¢ = ( a+b)¢= g(b)¢ = f(b¢),
Mijloace, b¢Î M. Prin axioma inducției M = N. Unicitatea a fost dovedită.
b) Acum prin inducție pe A să dovedim existenţa operaţiei a+b. Lăsa M– set de acele valori A, pentru care operația a+b cu proprietăți (S1) și (S2) este definită pentru toate b.
Lăsa A= 1. Să dăm un exemplu de astfel de operație. Prin definiție presupunem 1 + b == b¢. Să arătăm că această operație satisface proprietățile (S1) și (S2). (S1) are forma 1 + 1 = 1¢, care corespunde definiției. Verificare (S2): 1 +b¢ =( b¢)¢ =
= (1+b)¢ și (S2) este satisfăcut. Deci, 1О M.
Lasă-l acum AÎ M. Să demonstrăm asta A¢Î M. Credem prin definiție
A¢ +b = (a+ b)¢. Apoi
A¢ + 1 = (a+ 1)¢ = ( A¢)¢,
A¢ +b¢ = ( a+ b¢)¢ = (( a+ b)¢)¢ = ( A¢ +b)¢,
iar proprietățile (S1) și (S2) sunt satisfăcute.
Prin urmare, M = N, iar adunarea este definită pentru toate numerele naturale. Teorema a fost demonstrată.
Teorema 2. Adunarea numerelor naturale este asociativă, adică
(a+b) + c = a + (b+c).
Dovada. Să o reparăm AȘi bși efectuează inducția pe Cu. Lăsa M- un set din acele numere Cu, pentru care egalitatea este adevărată. Pe baza proprietăților (S1) și (S2), avem:
(a+b) + 1 = (a+b)¢ = ( a+b¢) = un +(b+ 1) Þ 1О M.
Lasă-l acum CuÎ M. Apoi
(a+b) + c¢ = (( a+b) + c)¢ = ( un +(b + c))¢ = un +(b + c)¢ = un +(b + c¢),
Și c¢Î M. Conform axiomei (N3) M = N. Teorema a fost demonstrată.
Teorema 3. Adunarea numerelor naturale este comutativă, adică
a + b = b + a. (1)
Dovada. Să o reparăm Ași efectuează inducția pe b.
Lăsa b= 1, adică este necesar să se dovedească egalitatea
A + 1 = 1 + A. (2)
Demonstrăm această egalitate prin inducție pe A.
La A= 1 egalitatea este trivială. Să se facă pentru A, hai să dovedim asta pentru A¢. Avem
A¢ + 1 = ( A + 1) + 1 = (1 + A) + 1 = (1 + A)¢ = 1 + A¢.
Tranziția inductivă este completă. Prin principiul inducției matematice, egalitatea (2) este adevărată pentru toți A. Aceasta dovedește afirmația bazei de inducție pe b.
Fie acum satisfăcută formula (1) pentru b. Să dovedim asta pentru b¢. Avem
A +b¢ = ( A +b)¢ = ( b + A)¢ = b + A¢ = b + (A + 1) = b + (1 + A) = (b + 1) + A = b¢ + A.
Folosind principiul inducției matematice, teorema este dovedită.
Teorema 4.A + b ¹ b.
Dovada este un exercițiu.
Teorema 5. Pentru orice numere AȘi b apare unul și numai unul dintre următoarele cazuri:
1) a = b.
2) Există un număr k astfel încât a = b + k.
3) Există un număr l astfel încât b = a + l.
Dovada. Din teorema 4 rezultă că cel mult unul dintre aceste cazuri apare, deoarece, evident, cazurile 1) și 2), precum și 1) și 3), nu pot apărea simultan. Dacă cazurile 2) și 3) au avut loc simultan, atunci a = b + k=
= (A + l) + k = A+ (l + k),
ceea ce contrazice din nou teorema 4. Să demonstrăm că cel puţin unul dintre aceste cazuri apare întotdeauna.
Să fie ales un număr AȘi M – multe dintre acestea b, pentru fiecare dintre care, dat A apare cazul 1), 2) sau 3).
Lăsa b= 1. Dacă A= 1, atunci avem cazul 1). Dacă A¹ 1, atunci prin Teorema 1.1.2 avem
a = k" = k + 1 = 1 + k,
adică avem cazul 2) pentru b= 1. Deci 1 aparține M.
Lăsa b aparține M. Atunci sunt posibile următoarele cazuri:
- A = b, Mijloace, b" = b + 1 = A+ 1, adică avem cazul 3) pentru b";
- A = b+k, si daca k= 1, atunci A = b+ 1 = b", adică cazul 1) apare pentru b";
dacă k Nr. 1, atunci k = t"Și
a = b + t" = b + (t + 1)= b + (1+m) = (b+ 1)+ m = b¢ +m,
adică cazul 2) apare pt b";
- b = un + teren b" =(a + l)¢ = A + l¢, adică avem cazul 3) pentru b".
În toate cazurile b" aparține M. Teorema a fost demonstrată.
Exercițiu. Demonstrați, pe baza definiției sumei, că 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4, 2 + 3 = 5, 2 + 4 = 3 + 3 = 6.
Înmulțirea numerelor naturale
Definiție.Înmulțirea numerelor naturale este o operație binară care se aplică numerelor naturale AȘi b se potrivește cu numărul ab(sau a×b), având următoarele proprietăți:
(P1) A×1 = A pentru oricine A;
(P2) ab" = ab + a pentru orice AȘi b.
În ceea ce privește definiția înmulțirii, toate comentariile care s-au făcut în paragraful anterior cu privire la definiția adunării rămân valabile. În special, nu este încă clar din aceasta că există o corespondență cu proprietățile date în definiție. Prin urmare, următoarea teoremă, similară cu teorema 1.2.1, este de o mare importanță fundamentală.
Teorema 1. Există o singură înmulțire a numerelor naturale. Cu alte cuvinte, multiplicarea este întotdeauna fezabilă și lipsită de ambiguitate.
Dovada este destul de asemănătoare cu cea din Teorema 1.2.1 și este oferită ca exercițiu.
Proprietățile înmulțirii formulate în următoarele teoreme sunt ușor de demonstrat. Demonstrarea fiecărei teoreme se bazează pe cele anterioare.
Teorema 2.(Legea distributivă a dreptului): ( a+b)c = ac + bc.
Teorema 3.Înmulțirea este comutativă: ab = ba.
Teorema 4.(Legea distributivă de stânga): c(a+b)= сa + сb.
Teorema 5.Înmulțirea este asociativă: A(bc) = (ab)c.
Definiție. Un semiring este un sistem în care + și × sunt operații binare de adunare și înmulțire care satisfac axiomele:
(1) este un semigrup comutativ, adică adunarea este comutativă și asociativă;
(2) – semigrup, adică înmulțirea este asociativă;
(3) distributivitatea la dreapta și la stânga este valabilă.
Din punct de vedere algebric, sistemul numerelor naturale în raport cu adunarea și înmulțirea formează un semi-inel.
Exercițiu. Demonstrați pe baza definiției unui produs că
2×2 = 4, 2×3 = 6.
Exerciții
Demonstrați identitățile:
1.
1 2 + 2 2 + ... + n 2 = 
.
2. 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = .
Aflați suma:
3.
.
4.
.
5.
.
6. 1x1! + 2x2! + ... + n×n!.
Demonstrați inegalitățile:
7. n 2 < 2n для n > 4.
8. 2n < n! Pentru n³ 4.
9. (1 + X)n³ 1 + nx, Unde X > –1.
10. la n > 1.
11.
la n > 1.
12.
.
13.
Găsiți eroarea în demonstrația prin inducție că toate numerele sunt egale. Demonstrăm o afirmație echivalentă: în orice set de n numere, toate numerele sunt egale între ele. La n= 1 afirmație este adevărată. Să fie adevărat pentru n = k, hai să dovedim asta pentru n = k+ 1. Luați un set de arbitrare
(k+ 1) numere. Să eliminăm un număr din el A. Stânga k numerele, prin ipoteză inductivă sunt egale între ele. În special, două numere sunt egale bȘi Cu. Acum să eliminăm numărul din set Cuși pornește-l A. În setul rezultat mai există k numere, ceea ce înseamnă că sunt, de asemenea, egale între ele. În special, A = b. Mijloace, a = b = c, Și asta e tot ( k+ 1) numerele sunt egale între ele. Tranziția inductivă este finalizată și afirmația este dovedită.
14. Demonstrați principiul îmbunătățit al inducției matematice:
Lăsa A(n) este un predicat al mulțimii numerelor naturale. Lăsa A(1) adevărat și din adevăr A(k) pentru toate numerele k < m urmează adevărul A(m). Apoi A(n) adevărat pentru toată lumea n.
Seturi comandate
Să ne amintim definițiile de bază asociate relației de ordine.
Definiție. Relația f („de mai sus”) pe o mulțime M numit relație de ordine, sau pur și simplu în ordine, dacă această relație este tranzitivă și antisimetrică. Sistemul b M, fñ se numește set comandat.
Definiție. ordine strictă, dacă este antireflexiv, și ordine liberă, dacă este reflexiv.
Definiție. O relație de ordinul f se numește relație ordine liniară, dacă este conectat, adică A ¹ bÞ A f bÚ b f A. O ordine care nu este liniară se numește parțial.
Definiție. Să á M A– submult M. Element T seturi A numit cel mai mic, dacă este mai mică decât toate celelalte elemente ale setului A, acesta este
("XÎ A)(X ¹ T® X f T).
Definiție. Să á M, fñ – set ordonat, A– submult M. Element T seturi A numit minim, dacă într-un set A nu există niciun element mai mic, adică (" XÎ A)(X ¹ T® Ø T f X).
Cele mai mari și maxime elemente sunt determinate în mod similar.
Exerciții
1. Demonstrați că relația tranzitivă și antireflexivă este o relație de ordine.
2. Demonstrați că relația de divizibilitate M pe mulțime N există o relație de ordine parțială.
3. Demonstrați că o mulțime poate avea cel mult un element mai mare și cel mult un element cel mai mic.
4. Găsiți toate elementele minime, maxime, cele mai mari și cele mai mici din mulțime (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) pentru relația de divizibilitate.
5. Demonstrați că, dacă o mulțime are cel mai mic element, atunci acesta este singurul minim.
6. În câte moduri putem defini ordinea liniară pe un set de trei elemente? liniară și strictă? liniară și laxă?
7. Să á M, fñ este o mulțime ordonată liniar. Demonstrați că relația > definită de condiție
A > b Û A f b & A¹ b
este o relație de ordine liniară strictă.
8. Să á M, fñ este o mulțime ordonată liniar. Demonstrați că relația ³ definită de condiție
A ³ b Û A f b Ú A= b,
este o relație de ordin liniar nestrict.
Definiție. Mulțimea ordonată liniar b M, fñ, în care fiecare submulțime nevidă are cel mai mic element este numit destul de ordonat. Relația f în acest caz se numește relație comanda completa.
Conform teoremei 1.4.6, sistemul de numere naturale este o mulțime complet ordonată.
Definiție. Să á M Un interval separat de elementul a, numit set R a toate elementele de mai jos A si diferit de A, acesta este
R a = {X Î Mï A f X, X¹ A}.
În special, dacă A este elementul minim, atunci R a = Æ.
Teorema 1.(Principiul inducției transfinite). Să á M, fñ este un set complet ordonat și A Í M. Lasa pentru fiecare element A din M din apartenenţa la A toate elementele intervalului R a urmează că AÎ A. Apoi A = M.
Dovada.
Lăsa A" = M\A este diferența teoretică a mulțimilor MȘi A. Dacă A"= Æ, atunci A = M, iar teorema este adevărată. Dacă A"¹ Æ , atunci, din moment ce M este un set complet ordonat, apoi setul A" conţine cel mai mic element T.În acest caz, toate elementele precedente T si diferit de T, nu aparține A"și deci aparțin A. Prin urmare, Р m Í A. Prin urmare, prin condițiile teoremei T Î A, prin urmare T Ï A", contrar presupunerii.
Să á A; fñ este o mulțime ordonată. Vom presupune că A– un set finit. Cu fiecare element A seturi A hai să comparăm un punct T (A) unui plan dat astfel încât dacă un element A urmează imediat elementul b, apoi punct T (A) va fi situat deasupra punctului T(b)și leagă-le cu un segment. Ca rezultat, obținem un grafic corespunzător acestei mulțimi ordonate.
Exerciții
9. Să á M, fñ este un set complet ordonat, b Î DomnișoarăÎ M. Demonstrează că sau Pb = R s, sau P b Ì R s, sau R s Ì P b.
10.
Să á M, f 1 с și b L, f 2 ñ sunt mulțimi complet ordonate astfel încât
M Ç L=Æ .
In abundenta M È L Să definim o relație binară f prin următoarele condiții:
1) dacă a, bÎ M, Acea, A f b Û A f 1 b;
2) dacă a, bÎ L, Acea, A f b Û A f 2 b;
3) dacă AÎ M,bÎ L, Acea, A f b.
Demonstrați că sistemul b MÈ L, fñ este un set complet ordonat.
Semigrupuri ordonate
Definiție.Semigrup numită algebră á A, *ñ, unde * este o operație binară asociativă.
Definiție. Semigrup á A, *ñ se numește semigrup cu reducere dacă satisface proprietățile
A*c = b*c Þ a = b;c*a = c*b Þ a = b.
Definiție.Semigrup ordonat numit sistem b A, +, fñ, unde:
1) sistemul b A, +ñ – semigrup;
2) sistemul b A, fñ – set ordonat;
3) relația f este monotonă în raport cu operația de semigrup, adică
A f b Þ a+c f b + c, c + a f c+b.
Semigrupul ordonat á A, +, fñ sunt numite grup ordonat, dacă sistemul b A, +ñ – grup.
În conformitate cu tipurile de ordine se determină relații semigrup ordonat liniar, grup ordonat liniar, semigrup ordonat parțial, semigrup ordonat strict etc.
Teorema 1.Într-un semigrup ordonat á A, +, fñ se pot adăuga inegalități, adică A f b, c f d Þ a+c f b+d.
Dovada. Avem
A f b Þ a+c f b + c, c f d Þ b+c f b + d,
de unde prin tranzitivitate a+c f b+d. Teorema a fost demonstrată.
Exercitiul 1. Demonstrați că sistemul de numere naturale este un semigrup parțial ordonat în ceea ce privește înmulțirea și divizibilitatea.
Este ușor de observat că sistemul b N, +, >ñ – semigrup strict ordonat, b N, +, ³ñ este un semigrup neordonat strict. Putem da un exemplu de astfel de ordonare a semigrupului á N, +ñ, în care ordinea nu este nici strictă, nici nestrictă.
Exercițiul 2. Să definim ordinea f în sistemul numerelor naturale după cum urmează: A f b Û A ³ b & A¹ 1. Demonstrați că b N, +, fñ este un semigrup ordonat în care ordinea nu este nici strictă, nici nestrictă.
Exemplul 1. Lăsa A– un set de numere naturale care nu sunt egale cu unu. Să definim raportul f în A in felul urmator:
A f b Û ($ kÎ N)(A = b+k) & b Numarul 3.
Demonstrați că sistemul b A, +, fñ este un semigrup ordonat parțial și strict.
Dovada. Să verificăm tranzitivitatea:
A f b, b f c Þ a = b + k, b Numarul 3, b = c + l, c¹ 3 Þ a = c +(k+l), c¹ 3 Þ A f c.
Deoarece A f b Þ A > b, atunci antireflexivitatea este satisfăcută. Din exercițiul 2.1.1 rezultă că f este o relație de ordine strictă. Ordinea este parțială deoarece elementele 3 și 4 nu sunt în nicio relație.
Relația f este monotonă în raport cu adunarea. Într-adevăr, condiția A f b Þ a+c f b+c putea fi încălcat numai atunci când
b+c= 3. Dar suma poate fi egală cu 3, deoarece este posibil A nicio unitate.
Un grup de două elemente nu poate fi ordonat liniar și strict. De fapt, fie 0 și 1 elementele sale (0 este zeroul grupului). Să presupunem că 1 > 0. Atunci obținem 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.
Teorema 2. Fiecare semigrup anulabil ordonat liniar poate fi ordonat liniar și strict.
Dovada. Să á A, +, fñ este un semigrup ordonat. Relația de ordine strictă > este definită ca în Exercițiul 2.1.5: A > b Û A f b & A¹ b. Să arătăm că condiția 3) din definiția unui semigrup ordonat este îndeplinită.
A > b Þ A f b, A¹ bÞ a+c f b+c.
Dacă a+c = b+c apoi, reducând, obținem a = b, ceea ce contrazice condiția
A > b. Mijloace, a+c ¹ b+c, Și a+c > b+c. A doua parte a condiției 3) este verificată în mod similar, ceea ce demonstrează teorema.
Teorema 3. Dacă b A, +, fñ este un semigrup ordonat liniar și strict, atunci:
1) A + Cu = b + c Û a = b Û c + a = Cu + b;
2) A + Cu f b + c Û A f b Û Cu + A f Cu + b.
Dovada. Lăsa A + Cu = b + c. Dacă A ¹ b, apoi din cauza conexiunii A f b sau
b f A. Dar apoi în consecință A + Cu f b+ c sau b + Cu f a+ c, ceea ce contrazice condiția A + Cu = b + c. Alte cazuri sunt tratate în mod similar.
Deci, fiecare semigrup ordonat liniar și strict este un semigrup anulabil.
Definiție. Să á A, +, fñ este un semigrup ordonat. Element A seturi A numit pozitiv (negativ) dacă a + a¹ AȘi a+a f A(respectiv A f a + a).
Exemplul 2. Demonstrați că un element dintr-un semigrup comutativ ordonat cu anulare mai mare decât un element pozitiv nu este neapărat pozitiv.
Soluţie. Să folosim exemplul 1. Avem 2 + 2 f 2, ceea ce înseamnă că 2 este un element pozitiv. 3 = 2 + 1, ceea ce înseamnă 3 f 2. În același timp, relația 3 + 3 f 3 nu este valabilă, ceea ce înseamnă că 3 nu este un element pozitiv.
Teorema 4. Suma elementelor pozitive ale unui semigrup comutativ cu anulare este pozitivă.
Dovada. Dacă a + a f AȘi b+b f b, apoi prin teorema 1
a + a+ b+b f a + b Þ ( a + b)+ (a+b)f a + b.
Rămâne de verificat că ( a + b)+ (a+b)¹ a + b. Avem:
b+b f b Þ a+b+b f a+b(1)
Să ne prefacem că ( a + b)+ (a+b)=a + b.Înlocuind în (1), obținem
a+b+b f a+b+a+b Þ A f a+a.
Datorită antisimetriei a = a + a. Acest lucru contrazice faptul că elementul A pozitiv.
Teorema 5. Dacă A este un element pozitiv al unui semigrup liniar și strict ordonat, apoi pentru oricare b avem a+b f b, b + a f b.
Dovada. Avem a+ a f A Þ a+ a+ b f a+ b. Dacă nu este adevărat că a+ b f b, apoi, din cauza liniarității, se ține a+b=b sau b f a+ b. Adăugând din stânga A, primim în consecință a+ a+ b= a+ b sau a+ b f a+ a+ b. Aceste condiții contrazic antisimetria și strictețea relației de ordine.
Teorema 6. Să á A, +, fñ – semigrup ordonat liniar și strict, AÎ AȘi A+ A¹ A. Apoi elementele:
A, 2*A, 3*A, ...
fiecare e diferit. Dacă în acest caz sistemul b A, +, fñ este un grup, atunci toate elementele sunt diferite:
0, A,–A, 2*A, - 2*A, 3*A, –3*A, ...
(sub k*a, kÎ N , AÎ A, înseamnă suma a+ …+ a, conținând k termeni)
Dovada. Dacă A + A f A, Acea A + A + A f a + a, etc. Ca rezultat, obținem un lanț ... f ka f... f 4 A f3 A f2 A f A. Datorită tranzitivității și antisimetriei, toate elementele din acesta sunt diferite. Într-un grup, lanțul poate fi continuat în cealaltă direcție prin adăugarea unui element - A.
Consecinţă. Un semigrup finit cu anulare, dacă numărul elementelor sale este cel puțin 2, nu poate fi ordonat liniar.
Teorema 7. Să á A, +, fñ este un grup ordonat liniar. Apoi
A f A Û b f b.
Dovada este un exercițiu.
Astfel, fiecare grup ordonat liniar este fie strict, fie non-strict. Pentru a desemna aceste ordine vom folosi semnele > și respectiv ³.
Exerciții
3. Demonstrați că suma elementelor pozitive ale unui semigrup ordonat liniar și strict este pozitivă.
4. Demonstrați că fiecare element ordonat liniar și strict al unui semigrup mai mare decât un element pozitiv este el însuși pozitiv.
5. Demonstrați că un semigrup ordonat este ordonat liniar dacă și numai dacă orice mulțime finită a elementelor sale are un singur element cel mai mare.
6. Demonstrați că mulțimea elementelor pozitive ale unui grup ordonat liniar nu este goală.
7. Să á A, +, fñ este un grup ordonat liniar și strict. Demonstrați că elementul A sisteme A dacă și numai dacă este pozitiv dacă A > 0.
8. Demonstrați că există o singură ordine liniară și strictă în semigrupul aditiv al numerelor naturale, în care mulțimea elementelor pozitive nu este goală.
9. Demonstrați că semigrupul multiplicativ de numere întregi nu poate fi ordonat liniar.
Inele comandate
Definiție. Sistemul b A, +, ×, fñ se numește semiring comandat, Dacă
1) sistemul b A, +, ×ñ – semiring;
2) sistemul b A, +, fñ – semigrup ordonat cu mulțime nevide A+ elemente pozitive;
3) monotonitatea este valabilă în ceea ce privește înmulțirea cu elemente pozitive, adică dacă CuÎ A+ și A f b, Acea ac f bc, ca f cb.
Element pozitiv comandat semiring A este orice element pozitiv al unui semigrup ordonat á A, +, fñ.
Semiring ordonat b A, +, ×, fñ se numește inel comandat (camp), dacă semiringul b A, +, ×ñ – inel (respectiv câmp).
Definiție. Să á A, +, ×, fñ – seminel ordonat. Ordinea f a sistemului A numit Arhimede, si sistemul A - Arhimedean a ordonat, dacă, oricare ar fi elementele pozitive AȘi b sisteme A, puteți specifica un astfel de număr natural P, Ce N / A f b.
Exemplul 1. Un semiinel de numere naturale cu relația > (mai mare decât) este un semiel liniar, strict și ordonat arhimedian.
Pentru un inel ordonat liniar b A, +, ×, 0, fñ sistem b A, +, 0, fñ este un grup ordonat liniar. Aceasta implică, conform teoremei 2.2.7, că ordinea lui f este fie strictă, fie ne-strict. In abundenta A puteți introduce (exercițiile 2.1.5. și 2.1.6) un nou ordine liniară, care va fi strict dacă ordinea lui f este nestrictă și nestrict dacă ordinea lui f este strictă. În legătură cu această remarcă, într-un inel ordonat liniar A De obicei sunt luate în considerare două relații de ordin binar, dintre care una, strictă, este notă prin semn >, iar al doilea, nestrict, semn ³.
Pentru cele ce urmează, este util să ne amintim că într-un inel ordonat liniar elementul A este pozitivă dacă și numai dacă A> 0 (Exercițiul 2.2.7).
Teorema 1. Fie sistemul b A,+,×,0,>ñ – inel ordonat liniar. Apoi pentru orice element A din A sau A = 0, sau A> 0 sau – A > 0.
Dovada. Datorită liniarității și stricteței dintre elemente
a+ aȘi A una si numai una dintre relatii tine a+a>a, a+ a = a, a+ a < A. In primul caz A– element pozitiv. În a doua adăugăm la ambele părți - Ași primim A= 0. În al treilea caz, adăugăm la ambele părți – a – a – ași primim -A < -a-a, Unde -A– element pozitiv.
Teorema 2. Suma și produsul elementelor pozitive ale unui inel ordonat liniar sunt pozitive.
Dovada este un exercițiu.
Teorema 3.Într-un inel ordonat liniar, pătratul oricărui element diferit de zero este pozitiv.
Dovada este un exercițiu.
Teorema 4.Într-un câmp ordonat liniar dacă A> 0, atunci A –1 > 0.
Dovada este un exercițiu.
Teorema 5. ( Criteriul de ordine) . Sună á A, +, ×, 0ñ dacă și numai atunci pot fi ordonate liniar și strict (adică, introduceți o ordine liniară și strictă) dacă mulțimea A are un subset A+ , îndeplinind condițiile:
1) AÎ A + Þ A¹ 0 & – AÏ A + ;
A¹ 0 Þ AÎ A + Ú – AÎ A + ;
2)a, bÎ A + Þ a+ bÎ A + & abÎ A + .
Dovada. Să mai întâi á A,+,×,0,>ñ – inel ordonat liniar. Ca subsetul dorit A+ în acest caz, în virtutea teoremelor 1 și 2, pot apărea multe elemente pozitive ale sistemului A.
Lasă-l acum A+ este o submulțime a inelului b A,+,×,0ñ, îndeplinind condițiile teoremei. Să încercăm să introducem o ordine liniară > în inelul á A,+,×,0ñ. Să definim această relație după cum urmează:
A > b Û a – b Î A + .
Este ușor de verificat dacă relația pe care am introdus-o este conectată, antireflexivă, antisimetrică, tranzitivă și monotonă în ceea ce privește adunarea și înmulțirea cu orice element din A + .
O multime de A+ cu proprietățile menționate în condițiile teoremei 4 se numesc partea pozitivă a inelului á A,+,×,0ñ. În viitor, atunci când introducem ordine în orice inel, vom căuta „partea pozitivă” în acesta. Dacă o astfel de parte există în inel, atunci inelul poate fi comandat, dacă nu, atunci nu poate fi comandat în mai multe moduri;
Din cele de mai sus rezultă că atunci când se definește un inel ordonat liniar, în loc de relația binară >, se poate lua relația unară „parte pozitivă” ca relație principală.
Teorema 6. ( Criteriul de unicitate a ordinii liniare) . Lăsa A+ și A++ – părți pozitive ale inelului b A,+,×,0ñ. Apoi
A + = A ++ Û A + Í A ++ .
Cerințe pentru sistemul de axiome, axiomele Peano. La construirea axiomatic a oricărei teorii matematice se respectă anumite reguli: 1) unele concepte ale teoriei sunt alese ca fiind de bază și acceptate fără definiție; 2) fiecărui concept al teoriei care nu este cuprins în lista celor de bază i se dă o definiție. Își explică sensul cu ajutorul principalului și precedentului concepte date. 3) se formulează axiome, adică propoziții care într-o teorie dată sunt acceptate fără dovezi. Axiomele relevă proprietățile conceptelor de bază. 4) fiecare propoziție a teoriei care nu este cuprinsă în lista de axiome trebuie dovedită. Astfel de propoziții se numesc teoreme. Ele sunt dovedite pe baza axiomelor și teoremelor premergătoare acesteia.
ACEA. metoda axiomatică de construire a unei teorii matematice parcurge mai multe etape: 1) introducerea unor concepte de bază nedefinite (ex.: mulţime, element de mulţime în teoria mulţimilor). 2) introducerea relaţiilor de bază (ex: relaţia de apartenenţă în teoria mulţimilor). 3) prin indicarea conceptelor de bază și a relațiilor de bază se introduce definiția altor concepte și relații (de exemplu: în teoria mulțimilor, conceptele de unire, intersecție, diferență, complement).
În construcția axiomatică a unei teorii, toate afirmațiile sunt derivate prin demonstrații din axiome. La baza unei astfel de teorii se află un sistem de axiome, iar sistemului de axiome sunt impuse cerințe speciale: 1) sistemul de axiome trebuie să fie consistent. Un sistem de axiome se numește consistent dacă două propoziții care se exclud reciproc nu pot fi deduse logic din el. Cu alte cuvinte, este imposibil să se obțină o afirmație și negația unei afirmații date, astfel încât ambele să fie adevărate. Pentru a verifica consistența sistemului de axiome, este suficient să construim un model al acestui sistem. 2) sistemul de axiome trebuie să fie independent. Un sistem de axiome se numește independent dacă niciuna dintre axiomele acestui sistem nu este consecință a altor axiome. Cu alte cuvinte, fiecare axiomă a acestui sistem nu poate fi dedusă din celelalte axiome. Pentru a demonstra independența unui sistem de axiome, este suficient să construim un model al acestui sistem. 3) sistemul de axiome trebuie să fie complet, i.e. numărul de axiome alese într-o anumită teorie ar trebui să fie suficient pentru a introduce noi concepte, relații, a demonstra teoreme și pentru a construi întreaga teorie.
Atunci când construim aceeași teorie axiomatic, pot fi utilizate sisteme diferite de axiome, dar acestea trebuie să fie echivalente. Relația „urmează direct” este luată ca concept de bază în construcția axiomatică a unui sistem de numere naturale. Conceptele de „mulțime”, „element al unei mulțimi” și o regulă de logică sunt, de asemenea, considerate binecunoscute. Elementul imediat care urmează elementului a este desemnat a - prim.
Esența relației „urmează direct” este relevată în următoarele axiome: 1) în mulțimea numerelor naturale există un element care nu urmează direct niciun element din această mulțime, acest element 1 (unul). 2) pentru fiecare element a din mulţimea numerelor naturale (N) există un element unic a? , imediat după a. 3) pentru fiecare element a din N, există cel mult un element urmat imediat de a. 4) orice submulțime M a mulțimii N care are proprietățile: 1 M, iar din faptul că a este conținut în M, ce este a? conținută în M, coincide cu mulțimea N.
Sistemele de axiome enumerate se numesc axiome Peano. ACEA. multimea numerelor pentru care se stabileste relatia imediat urmatoare, satisfacand axiomele Peano, se numeste multimea numerelor naturale, iar elementul ei se numeste numar natural. A patra axiomă descrie infinitatea seriei naturale de numere și se numește axioma inducției. Pe baza acesteia, se realizează o demonstrație a diferitelor afirmații folosind metoda inducției matematice, care este următoarea: pentru a demonstra că o afirmație dată este adevărată pentru orice număr natural, este necesar: 1) să se demonstreze că această afirmație este adevărată pentru unul, 2) din propoziția că afirmația este adevărată pentru un număr arbitrar k, să demonstreze că este adevărată pentru următorul număr k?.
Definiția mulțimii N nu spune nimic despre natura acestei mulțimi, ceea ce înseamnă că poate fi orice. Alegând ca mulțime N orice mulțime pe care este dată relația de urmat imediat și de satisfacere a axiomelor Peano, obținem un model al acestui sistem de axiome. Între toate astfel de modele se poate stabili o corespondență unu-la-unu. Aceste modele vor diferi numai prin natura elementelor, numele și denumirea. Nr.: 1, 2, 3, 4, 5… 0,00,000,0000,00000,… Ѕ, 1/3, ј, 1/5,
