Metode de dezvoltare

Produsul numerelor cu puteri diferite. Gradul și proprietățile sale. Un ghid exhaustiv (2020). Proprietățile de bază ale grade cu exponenți iraționali

În articolul anterior, am vorbit despre ce sunt monomiile. În acest material, vom analiza modul de rezolvare a exemplelor și problemelor în care sunt utilizate. Aici vom lua în considerare astfel de acțiuni precum scăderea, adunarea, înmulțirea, împărțirea monomiilor și ridicarea lor la o putere cu un exponent natural. Vom arăta cum sunt definite astfel de operațiuni, vom indica regulile de bază pentru implementarea lor și care ar trebui să fie rezultatul. Toate prevederile teoretice, ca de obicei, vor fi ilustrate prin exemple de probleme cu descrieri de soluții.

Cel mai convenabil este să lucrați cu notația standard a monomiilor, prin urmare, prezentăm toate expresiile care vor fi folosite în articol într-o formă standard. Dacă inițial sunt setate diferit, este recomandat să le aduceți mai întâi într-o formă general acceptată.

Reguli pentru adunarea și scăderea monomiilor

Cele mai simple operații care pot fi efectuate cu monomii sunt scăderea și adunarea. În cazul general, rezultatul acestor acțiuni va fi un polinom (un monom este posibil în unele cazuri speciale).

Când adunăm sau scădem monomii, notăm mai întâi suma și diferența corespunzătoare în forma general acceptată, după care simplificăm expresia rezultată. Dacă există termeni similari, trebuie dați, parantezele trebuie deschise. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 1

Condiție: se adună monomiile − 3 · x și 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Soluţie

Să notăm suma expresiilor originale. Adăugați paranteze și puneți un semn plus între ele. Vom obține următoarele:

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

Când extindem parantezele, obținem - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z . Acesta este un polinom, scris în formă standard, care va fi rezultatul adunării acestor monomii.

Răspuns:(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z .

Dacă avem trei, patru sau mai mulți termeni dați, efectuăm această acțiune în același mod.

Exemplul 2

Condiție: efectuați operațiile date cu polinoame în ordinea corectă

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Soluţie

Să începem prin a deschide parantezele.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vedem că expresia rezultată poate fi simplificată prin reducerea termenilor similari:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 ac + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 ac + 4 9

Avem un polinom, care va fi rezultatul acestei acțiuni.

Răspuns: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

În principiu, putem efectua adunarea și scăderea a două monomii, cu unele restricții, astfel încât să ajungem la un monom. Pentru a face acest lucru, este necesar să se respecte unele condiții privind termenii și monomiile scăzute. Vom descrie cum se face acest lucru într-un articol separat.

Reguli pentru înmulțirea monomiilor

Acțiunea de multiplicare nu impune nicio restricție asupra multiplicatorilor. Monomiile de înmulțit nu trebuie să îndeplinească nicio condiție suplimentară pentru ca rezultatul să fie un monom.

Pentru a efectua înmulțirea monomiilor, trebuie să efectuați următorii pași:

Înregistrați corect piesa.
Extindeți parantezele din expresia rezultată.
Grupați, dacă este posibil, factorii cu aceleași variabile și factori numerici separat.
Efectuați acțiunile necesare cu numere și aplicați la factorii rămași proprietatea înmulțirii puterilor cu aceleași baze.

Să vedem cum se face acest lucru în practică.

Exemplul 3

Condiție:înmulţiţi monomiile 2 · x 4 · y · z şi - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Soluţie

Să începem cu compoziția lucrării.

Deschidem parantezele din el și obținem următoarele:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Tot ce trebuie să facem este să înmulțim numerele din primele paranteze și să aplicăm proprietatea puterii celui de-al doilea. Ca rezultat, obținem următoarele:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Răspuns: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Dacă avem trei sau mai multe polinoame în condiție, le înmulțim folosind exact același algoritm. Vom analiza mai detaliat problema înmulțirii monomiilor într-un material separat.

Reguli pentru ridicarea unui monom la putere

Știm că produsul unui anumit număr de factori identici se numește grad cu exponent natural. Numărul lor este indicat de numărul din indicator. Conform acestei definiții, ridicarea unui monom la o putere echivalează cu înmulțirea numărului indicat de monomii identice. Să vedem cum se face.

Exemplul 4

Condiție: ridică monomul − 2 · a · b 4 la puterea lui 3 .

Soluţie

Putem înlocui exponentiația cu înmulțirea a 3 monomii − 2 · a · b 4 . Să scriem și să obținem răspunsul dorit:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (aaa) (b 4 b 4) b 4) = − 8 a 3 b 12

Răspuns:(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

Dar ce zici când gradul are un exponent mare? Înregistrarea unui număr mare de multiplicatori este incomod. Apoi, pentru a rezolva o astfel de problemă, trebuie să aplicăm proprietățile gradului, și anume proprietatea gradului produsului și proprietatea gradului în grad.

Să rezolvăm problema pe care am citat-o mai sus în modul indicat.

Exemplul 5

Condiție: ridică − 2 · a · b 4 la a treia putere.

Soluţie

Cunoscând proprietatea gradului în grad, se poate trece la o expresie de următoarea formă:

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

După aceea, ridicăm la puterea - 2 și aplicăm proprietatea exponentului:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

Răspuns:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

De asemenea, am dedicat un articol separat ridicării unui monom la o putere.

Reguli pentru împărțirea monomiilor

Ultima acțiune cu monomii pe care o vom analiza în acest material este împărțirea unui monom cu un monom. Ca rezultat, ar trebui să obținem o fracție rațională (algebrică) (în unele cazuri, este posibil să obținem un monom). Să clarificăm imediat că împărțirea la zero nu este definită, deoarece împărțirea cu 0 nu este definită.

Pentru a efectua împărțirea, trebuie să scriem monomiile indicate sub forma unei fracții și să o reducem, dacă este posibil.

Exemplul 6

Condiție:împărțiți monomul − 9 x 4 y 3 z 7 la − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 .

Soluţie

Să începem prin a scrie monomiile sub formă de fracție.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Această fracție poate fi redusă. După ce facem asta, obținem:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Răspuns:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Condițiile în care, ca urmare a împărțirii monomiilor, obținem un monom sunt prezentate într-un articol separat.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Formule de putere utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este o n-a-a putere a unui număr A când:

Operații cu grade.

1. Înmulțind grade cu aceeași bază, indicatorii lor se adună:

a ma n = a m + n .

2. În împărțirea gradelor cu aceeași bază, indicatorii acestora se scad:

3. Gradul produsului a 2 sau mai mulți factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ridicarea unei puteri la o putere, exponenții se înmulțesc:

(am) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este corectă în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina raportului este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere:

4. Dacă creștem gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp ridică la n Puterea este un număr de rădăcină, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă scădem gradul rădăcinii în n rădăcină în același timp n gradul de la numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Gradul cu exponent negativ. Gradul unui număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definit ca unul împărțit la gradul aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n = a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și la m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n = a m - n a devenit corect la m=n, aveți nevoie de prezența gradului zero.

Gradul cu exponent zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Un grad cu un exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real darîntr-o măsură m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m puterea acestui număr dar.

Conceptul de diplomă în matematică este introdus încă din clasa a VII-a într-o lecție de algebră. Și în viitor, pe parcursul studierii matematicii, acest concept este utilizat în mod activ în diferitele sale forme. Gradele sunt un subiect destul de dificil, care necesită memorarea valorilor și capacitatea de a număra corect și rapid. Pentru a lucra mai rapid și mai bine cu diplomele de matematică, au venit cu proprietățile unei diplome. Ele ajută la reducerea calculelor mari, la transformarea unui exemplu uriaș într-un singur număr într-o anumită măsură. Nu există atât de multe proprietăți și toate sunt ușor de reținut și de aplicat în practică. Prin urmare, articolul discută principalele proprietăți ale gradului, precum și unde sunt aplicate.

proprietăți de grad

Vom lua în considerare 12 proprietăți ale unui grad, inclusiv proprietățile puterilor cu aceeași bază, și vom da un exemplu pentru fiecare proprietate. Fiecare dintre aceste proprietăți vă va ajuta să rezolvați mai rapid problemele cu grade, precum și să vă salvați de numeroase erori de calcul.

Prima proprietate.

Mulți oameni uită foarte des de această proprietate, fac greșeli, reprezentând un număr la gradul zero ca zero.

a 2-a proprietate.

a 3-a proprietate.

Trebuie reținut că această proprietate poate fi folosită doar la înmulțirea numerelor, nu funcționează cu suma! Și nu trebuie să uităm că aceasta și următoarele proprietăți se aplică numai puterilor cu aceeași bază.

a 4-a proprietate.

Dacă numărul din numitor este ridicat la o putere negativă, atunci când se scade, gradul numitorului este luat între paranteze pentru a înlocui corect semnul în calcule ulterioare.

Proprietatea funcționează doar la împărțire, nu la scădere!

a 5-a proprietate.

a 6-a proprietate.

Această proprietate poate fi aplicată și invers. O unitate împărțită la un număr într-o anumită măsură este acel număr la o putere negativă.

a 7-a proprietate.

Această proprietate nu poate fi aplicată la sumă și diferență! Când se ridică o sumă sau o diferență la o putere, se folosesc formule de înmulțire abreviate, nu proprietățile puterii.

a 8-a proprietate.

a 9-a proprietate.

Această proprietate funcționează pentru orice grad fracționar cu numărător egal cu unu, formula va fi aceeași, doar gradul rădăcinii se va schimba în funcție de numitorul gradului.

De asemenea, această proprietate este adesea folosită în ordine inversă. Rădăcina oricărei puteri a unui număr poate fi reprezentată ca acel număr la puterea unuia împărțită la puterea rădăcinii. Această proprietate este foarte utilă în cazurile în care rădăcina numărului nu este extrasă.

a 10-a proprietate.

Această proprietate funcționează nu numai cu rădăcina pătrată și gradul doi. Dacă gradul rădăcinii și gradul în care această rădăcină este ridicată sunt aceleași, atunci răspunsul va fi o expresie radicală.

a 11-a proprietate.

Trebuie să puteți vedea această proprietate la timp atunci când o rezolvați pentru a vă salva de calcule uriașe.

a 12-a proprietate.

Fiecare dintre aceste proprietăți vă va întâlni de mai multe ori în sarcini, poate fi dată în forma sa pură sau poate necesita unele transformări și utilizarea altor formule. Prin urmare, pentru soluția corectă, nu este suficient să cunoașteți numai proprietățile, trebuie să exersați și să conectați restul cunoștințelor matematice.

Aplicarea gradelor și proprietățile acestora

Ele sunt utilizate în mod activ în algebră și geometrie. Gradele în matematică au un loc separat, important. Cu ajutorul lor, ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt rezolvate, precum și puterile complică adesea ecuațiile și exemplele legate de alte secțiuni ale matematicii. Exponenții ajută la evitarea calculelor mari și lungi, este mai ușor să reduceți și să calculați exponenții. Dar pentru a lucra cu puteri mari sau cu puteri de numere mari, trebuie să cunoașteți nu numai proprietățile gradului, ci și să lucrați în mod competent cu bazele, să le puteți descompune pentru a vă ușura sarcina. Pentru comoditate, ar trebui să cunoașteți și semnificația numerelor ridicate la o putere. Acest lucru vă va reduce timpul de rezolvare prin eliminarea necesității unor calcule lungi.

Conceptul de grad joacă un rol special în logaritmi. Deoarece logaritmul, în esență, este puterea unui număr.

Formulele de multiplicare prescurtate sunt un alt exemplu de utilizare a puterilor. Nu pot folosi proprietățile gradelor, sunt descompuse după reguli speciale, dar în fiecare formulă de înmulțire prescurtată există invariabil grade.

De asemenea, diplomele sunt utilizate în mod activ în fizică și informatică. Toate traducerile în sistemul SI se fac folosind grade, iar în viitor, la rezolvarea problemelor, se aplică proprietățile gradului. În informatică, puterile lui doi sunt utilizate în mod activ, pentru comoditatea numărării și simplificarea percepției numerelor. Calcule suplimentare pentru conversiile unităților de măsură sau calculele problemelor, la fel ca în fizică, au loc folosind proprietățile gradului.

Gradele sunt, de asemenea, foarte utile în astronomie, unde rar puteți găsi utilizarea proprietăților unui grad, dar gradele în sine sunt utilizate în mod activ pentru a scurta înregistrarea diferitelor cantități și distanțe.

Gradele sunt folosite și în viața de zi cu zi, la calcularea suprafețelor, volumelor, distanțelor.

Cu ajutorul diplomelor, valorile foarte mari și foarte mici sunt scrise în orice domeniu al științei.

ecuații exponențiale și inegalități

Proprietățile gradului ocupă un loc special tocmai în ecuațiile și inegalitățile exponențiale. Aceste sarcini sunt foarte frecvente, atât la cursul școlar, cât și la examene. Toate sunt rezolvate prin aplicarea proprietăților gradului. Necunoscutul este întotdeauna în gradul însuși, prin urmare, cunoscând toate proprietățile, nu va fi dificil să rezolvi o astfel de ecuație sau inegalitate.

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumam:

I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu numitor par, adică expresia nu are sens.

Ce zici de exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

- numar natural;
este un număr întreg;

Exemple:

Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de practică

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

1. Nu uitați de proprietățile obișnuite ale gradelor:

2. . Aici ne amintim că am uitat să învățăm tabelul de grade:

la urma urmei – asta sau. Soluția se găsește automat: .

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...putere zero- acesta este, parcă, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar o anumită „pregătire a un număr”, și anume un număr;

...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decide pentru tine:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:

Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

În acest caz,

Se dovedește că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiile în exponenți în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Definiţia degree

Gradul este o expresie de forma: , unde:

— baza gradului;
- exponent.

Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

erecție la putere zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că este imposibil de împărțit).

Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Gradul cu exponent rațional

- numar natural;
este un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de grad

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prin definitie:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!

Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să o rearanjam astfel:

Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:!

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie indicator grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:

chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este, de asemenea, atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordinea greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit prin schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un indicator negativ întreg - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decide pentru tine:

Raspunsuri:

Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ

grad se numește expresie de forma: , unde:

Gradul cu exponent întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Gradul cu exponent rațional

grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de grad

Caracteristicile diplomelor.

Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
Zero este egal cu orice putere.
Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI UN CUVÂNT...

Cum iti place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!

Conținutul lecției

Ce este o diplomă?

grad numit produsul mai multor factori identici. De exemplu:

2×2×2

Valoarea acestei expresii este 8

2 x 2 x 2 = 8

Partea stângă a acestei ecuații poate fi scurtată - mai întâi notați factorul de repetare și indicați peste el de câte ori se repetă. Multiplicatorul care se repetă în acest caz este 2. Se repetă de trei ori. Prin urmare, peste doi, scriem triplul:

2 3 = 8

Această expresie se citește astfel: doi la a treia putere este egal cu opt sau " a treia putere a lui 2 este 8.

Forma scurtă de scriere a înmulțirii acelorași factori este folosită mai des. Prin urmare, trebuie să ne amintim că, dacă un alt număr este înscris peste un număr, atunci aceasta este înmulțirea mai multor factori identici.

De exemplu, dacă este dată expresia 5 3, atunci trebuie avut în vedere că această expresie este echivalentă cu scrierea 5 × 5 × 5.

Numărul care se repetă este numit baza gradului. În expresia 5 3 baza gradului este numărul 5 .

Și numărul care este înscris deasupra numărului 5 se numește exponent. În expresia 5 3, exponentul este numărul 3. Exponentul arată de câte ori se repetă baza gradului. În cazul nostru, baza 5 se repetă de trei ori.

Operația de multiplicare a factorilor identici se numește exponentiare.

De exemplu, dacă trebuie să găsiți produsul a patru factori identici, fiecare dintre care este egal cu 2, atunci ei spun că numărul 2 ridicat la puterea a patra:

Vedem că numărul 2 la puterea a patra este numărul 16.

Rețineți că în această lecție ne uităm grade cu un indicator natural. Acesta este un fel de grad, al cărui exponent este un număr natural. Amintiți-vă că numerele naturale sunt numere întregi mai mari decât zero. De exemplu, 1, 2, 3 și așa mai departe.

În general, definiția unui grad cu un indicator natural este următoarea:

Gradul de A cu un indicator natural n este o expresie a formei un n, care este egal cu produsul n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A

Exemple:

Aveți grijă când ridicați un număr la o putere. Adesea, prin neatenție, o persoană înmulțește baza gradului cu exponent.

De exemplu, numărul 5 la a doua putere este produsul a doi factori, fiecare dintre care este egal cu 5. Acest produs este egal cu 25

Acum imaginați-vă că am înmulțit din greșeală baza 5 cu exponentul 2

A apărut o eroare, deoarece numărul 5 la a doua putere nu este egal cu 10.

În plus, trebuie menționat că puterea unui număr cu exponentul 1 este numărul însuși:

De exemplu, numărul 5 la prima putere este numărul 5 însuși.

În consecință, dacă numărul nu are un indicator, atunci trebuie să presupunem că indicatorul este egal cu unul.

De exemplu, numerele 1, 2, 3 sunt date fără exponent, deci exponenții lor vor fi egali cu unu. Fiecare dintre aceste numere poate fi scris cu un exponent de 1

Și dacă ridici 0 la orice putere, obții 0. Într-adevăr, indiferent de câte ori nimic nu este înmulțit de la sine, nimic nu va ieși. Exemple:

Iar expresia 0 0 nu are sens. Dar în unele ramuri ale matematicii, în special analiza și teoria mulțimilor, expresia 0 0 poate avea sens.

Pentru antrenament, vom rezolva mai multe exemple de ridicare a numerelor la o putere.

Exemplul 1 Ridicați numărul 3 la a doua putere.

Numărul 3 la a doua putere este produsul a doi factori, fiecare dintre care este egal cu 3

3 2 = 3 × 3 = 9

Exemplul 2 Ridicați numărul 2 la a patra putere.

Numărul de la 2 la a patra putere este produsul a patru factori, fiecare dintre care este egal cu 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Exemplul 3 Ridicați numărul 2 la a treia putere.

Numărul 2 la a treia putere este produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal cu 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

Exponentiarea numarului 10

Pentru a ridica numărul 10 la o putere, este suficient să adăugați numărul de zerouri după unitate, egal cu exponentul.

De exemplu, să ridicăm numărul 10 la a doua putere. În primul rând, scriem însuși numărul 10 și indicăm numărul 2 ca indicator

10 2

Acum punem un semn egal, notăm unul și după acesta notăm două zerouri, deoarece numărul de zerouri ar trebui să fie egal cu exponentul

10 2 = 100

Deci, numărul 10 la a doua putere este numărul 100. Acest lucru se datorează faptului că numărul 10 la a doua putere este produsul a doi factori, fiecare dintre care este egal cu 10.

10 2 = 10 × 10 = 100

Exemplul 2. Să ridicăm numărul 10 la a treia putere.

În acest caz, vor fi trei zerouri după unul:

10 3 = 1000

Exemplul 3. Să ridicăm numărul 10 la a patra putere.

În acest caz, vor exista patru zerouri după unul:

10 4 = 10000

Exemplul 4. Să ridicăm numărul 10 la prima putere.

În acest caz, va fi un zero după unul:

10 1 = 10

Reprezentând numerele 10, 100, 1000 ca o putere cu baza 10

Pentru a reprezenta numerele 10, 100, 1000 și 10000 ca o putere cu baza 10, trebuie să scrieți baza 10 și să specificați un număr egal cu numărul de zerouri din numărul original ca exponent.

Să reprezentăm numărul 10 ca o putere cu baza 10. Vedem că are un zero. Deci, numărul 10 ca putere cu baza 10 va fi reprezentat ca 10 1

10 = 10 1

Exemplul 2. Să reprezentăm numărul 100 ca o putere cu baza 10. Vedem că numărul 100 conține două zerouri. Deci, numărul 100 ca putere cu baza 10 va fi reprezentat ca 10 2

100 = 10 2

Exemplul 3. Să reprezentăm numărul 1000 ca o putere cu baza 10.

1 000 = 10 3

Exemplul 4. Să reprezentăm numărul 10.000 ca o putere cu baza 10.

10 000 = 10 4

Exponentiarea unui numar negativ

Când ridicați un număr negativ la o putere, acesta trebuie inclus între paranteze.

De exemplu, să ridicăm numărul negativ -2 la a doua putere. Numărul −2 la a doua putere este produsul a doi factori, fiecare dintre care este egal cu (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Dacă nu am pune în paranteză numărul -2 , atunci s-ar dovedi că calculăm expresia -2 2 , care nu este egal 4 . Expresia -2² va fi egală cu -4 . Pentru a înțelege de ce, să atingem câteva puncte.

Când punem un minus în fața unui număr pozitiv, performam astfel operația de luare a valorii inverse.

Să presupunem că este dat numărul 2 și trebuie să-i găsiți numărul opus. Știm că opusul lui 2 este −2. Cu alte cuvinte, pentru a găsi numărul opus pentru 2, este suficient să puneți un minus în fața acestui număr. Introducerea unui minus în fața unui număr este deja considerată o operație cu drepturi depline în matematică. Această operație, așa cum am menționat mai sus, se numește operația de luare a valorii opuse.

În cazul expresiei -2 2 se produc două operații: operația de luare a valorii inverse și exponențiarea. Ridicarea la o putere este o operație cu prioritate mai mare decât luarea valorii opuse.

Prin urmare, expresia −2 2 se calculează în doi pași. În primul rând, se efectuează operația de exponențiere. În acest caz, numărul pozitiv 2 a fost ridicat la a doua putere.

Apoi a fost luată valoarea opusă. Această valoare opusă a fost găsită pentru valoarea 4. Și valoarea opusă pentru 4 este −4

−2 2 = −4

Parantezele au cea mai mare prioritate de execuție. Prin urmare, în cazul calculării expresiei (−2) 2, se ia mai întâi valoarea opusă, iar apoi se ridică numărul negativ −2 la a doua putere. Rezultatul este un răspuns pozitiv de 4, deoarece produsul numerelor negative este un număr pozitiv.

Exemplul 2. Ridicați numărul −2 la a treia putere.

Numărul −2 la a treia putere este produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal cu (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

Exemplul 3. Ridicați numărul −2 la a patra putere.

Numărul −2 la a patra putere este produsul a patru factori, fiecare dintre care este egal cu (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Este ușor de observat că atunci când ridicați un număr negativ la o putere, se poate obține fie un răspuns pozitiv, fie unul negativ. Semnul răspunsului depinde de exponentul gradului inițial.

Dacă exponentul este par, atunci răspunsul este da. Dacă exponentul este impar, răspunsul este negativ. Să arătăm acest lucru pe exemplul numărului −3

În primul și al treilea caz, indicatorul a fost ciudat număr, așa că răspunsul a devenit negativ.

În al doilea și al patrulea caz, indicatorul a fost chiar număr, așa că răspunsul a devenit pozitiv.

Exemplul 7 Ridicați numărul -5 la a treia putere.

Numărul -5 la a treia putere este produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal cu -5. Exponentul 3 este un număr impar, așa că putem spune în avans că răspunsul va fi negativ:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

Exemplul 8 Ridicați numărul -4 la a patra putere.

Numărul -4 la a patra putere este produsul a patru factori, fiecare dintre care este egal cu -4. În acest caz, indicatorul 4 este par, așa că putem spune în avans că răspunsul va fi pozitiv:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Găsirea valorilor expresiei

La găsirea valorilor expresiilor care nu conțin paranteze, se va efectua mai întâi exponențiarea, apoi înmulțirea și împărțirea în ordinea lor, iar apoi adunarea și scăderea în ordinea lor.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 2 + 5 2

În primul rând, se efectuează exponențiarea. În acest caz, numărul 5 este ridicat la a doua putere - se dovedește 25. Apoi acest rezultat este adăugat la numărul 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

Exemplul 10. Aflați valoarea expresiei −6 2 × (−12)

În primul rând, se efectuează exponențiarea. Rețineți că numărul −6 nu este între paranteze, deci numărul 6 va fi ridicat la a doua putere, apoi va fi plasat un minus în fața rezultatului:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Terminăm exemplul înmulțind −36 cu (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

Exemplul 11. Aflați valoarea expresiei −3 × 2 2

În primul rând, se efectuează exponențiarea. Apoi rezultatul se înmulțește cu numărul −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Dacă expresia conține paranteze, atunci mai întâi trebuie să efectuați operații în aceste paranteze, apoi exponențiarea, apoi înmulțirea și împărțirea, apoi adăugarea și scăderea.

Exemplul 12. Aflați valoarea expresiei (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

Să facem mai întâi parantezele. În interiorul parantezelor, aplicăm regulile învățate anterior, și anume, mai întâi ridicăm numărul 3 la a doua putere, apoi efectuăm înmulțirea 1 × 3, apoi adunăm rezultatele ridicării numărului 3 la putere și înmulțind 1 × 3. Apoi scăderea și adunarea se efectuează în ordinea în care apar. Să aranjam următoarea ordine de efectuare a acțiunii pe expresia originală:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

Exemplul 13. Aflați valoarea expresiei 2 × 5 3 + 5 × 2 3

Mai întâi, ridicăm numerele la o putere, apoi efectuăm înmulțirea și adunăm rezultatele:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Transformări identitare ale puterilor

Pot fi efectuate diferite transformări identice asupra puterilor, simplificându-le astfel.

Să presupunem că a fost necesar să se calculeze expresia (2 3) 2 . În acest exemplu, doi la a treia putere este ridicat la a doua putere. Cu alte cuvinte, un grad este ridicat la un alt grad.

(2 3) 2 este produsul a două puteri, fiecare dintre ele egală cu 2 3

În plus, fiecare dintre aceste puteri este produsul a trei factori, fiecare dintre care este egal cu 2

Se obține produsul 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 , care este egal cu 64. Deci valoarea expresiei (2 3) 2 sau egală cu 64

Acest exemplu poate fi foarte simplificat. Pentru aceasta, indicatorii expresiei (2 3) 2 pot fi înmulțiți și acest produs se poate scrie peste baza 2

Am 26. Doi la a șasea putere este produsul a șase factori, fiecare dintre care este egal cu 2. Acest produs este egal cu 64

Această proprietate funcționează deoarece 2 3 este produsul lui 2 × 2 × 2 , care la rândul său se repetă de două ori. Apoi se dovedește că baza 2 se repetă de șase ori. De aici putem scrie că 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 este 2 6

În general, din orice motiv A cu indicatori mȘi n, este valabilă următoarea egalitate:

(un n)m = a n × m

Această transformare identică se numește exponentiare. Se poate citi astfel: „Când ridicați o putere la o putere, baza este lăsată neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți” .

După înmulțirea indicatorilor, obțineți un alt grad, a cărui valoare poate fi găsită.

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei (3 2) 2

În acest exemplu, baza este 3, iar numerele 2 și 2 sunt exponenții. Să folosim regula exponențiației. Lăsăm baza neschimbată și înmulțim indicatorii:

Am 3 4 . Și numărul de la 3 la a patra putere este 81

Să ne uităm la restul transformărilor.

Înmulțirea puterii

Pentru a multiplica grade, trebuie să calculați separat fiecare grad și să înmulțiți rezultatele.

De exemplu, să înmulțim 2 2 cu 3 3 .

2 2 este numărul 4 și 3 3 este numărul 27 . Înmulțim numerele 4 și 27, obținem 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

În acest exemplu, bazele puterilor erau diferite. Dacă bazele sunt aceleași, atunci se poate scrie o bază și, ca indicator, scrieți suma indicatorilor gradelor inițiale.

De exemplu, înmulțiți 2 2 cu 2 3

În acest exemplu, exponenții au aceeași bază. În acest caz, puteți scrie o bază 2 și scrieți suma exponenților 2 2 și 2 3 ca indicator. Cu alte cuvinte, lăsați baza neschimbată și adăugați exponenții gradelor originale. Va arata asa:

Am 25. Numărul 2 la puterea a cincea este 32

Această proprietate funcționează deoarece 2 2 este produsul lui 2 × 2 și 2 3 este produsul lui 2 × 2 × 2 . Apoi se obține produsul a cinci factori identici, fiecare dintre care este egal cu 2. Acest produs poate fi reprezentat ca 2 5

În general, pentru orice Ași indicatori mȘi n este valabilă următoarea egalitate:

Această transformare identică se numește principala proprietate a gradului. Se poate citi astfel: PLa înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții. .

Rețineți că această transformare poate fi aplicată la orice număr de grade. Principalul lucru este că baza este aceeași.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei 2 1 × 2 2 × 2 3 . Fundația 2

În unele probleme, poate fi suficient să se efectueze transformarea corespunzătoare fără a calcula gradul final. Acest lucru este, desigur, foarte convenabil, deoarece nu este atât de ușor să calculați puteri mari.

Exemplul 1. Exprimați ca putere expresia 5 8 × 25

În această problemă, trebuie să faceți astfel încât în loc de expresia 5 8 × 25, să se obțină un grad.

Numărul 25 poate fi reprezentat ca 5 2 . Apoi obținem următoarea expresie:

În această expresie, puteți aplica proprietatea principală a gradului - lăsați baza 5 neschimbată și adăugați indicatorii 8 și 2:

Să scriem soluția pe scurt:

Exemplul 2. Exprimați ca putere expresia 2 9 × 32

Numărul 32 poate fi reprezentat ca 2 5 . Apoi obținem expresia 2 9 × 2 5 . Apoi, puteți aplica proprietatea de bază a gradului - lăsați baza 2 neschimbată și adăugați indicatorii 9 și 5. Aceasta va avea ca rezultat următoarea soluție:

Exemplul 3. Calculați produsul 3 × 3 folosind proprietatea de bază a puterii.

Toată lumea știe bine că trei ori trei este egal cu nouă, dar sarcina necesită utilizarea proprietății principale a gradului în cursul rezolvării. Cum să o facă?

Reamintim că dacă un număr este dat fără indicator, atunci indicatorul trebuie considerat egal cu unu. Deci factorii 3 și 3 pot fi scriși ca 3 1 și 3 1

3 1 × 3 1

Acum folosim proprietatea principală a gradului. Lăsăm baza 3 neschimbată și adăugăm indicatorii 1 și 1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

Exemplul 4. Calculați produsul 2 × 2 × 3 2 × 3 3 folosind proprietatea de bază a puterii.

Înlocuim produsul 2 × 2 cu 2 1 × 2 1 , apoi cu 2 1 + 1 , apoi cu 2 2 . Produsul lui 3 2 × 3 3 este înlocuit cu 3 2 + 3 și apoi cu 3 5

Exemplul 5. Efectuați înmulțirea x × x

Aceștia sunt doi factori alfabetici identici cu indicatorii 1. Pentru claritate, notăm acești indicatori. Baza mai departe X lăsați-l neschimbat și adăugați indicatorii:

Fiind la tablă, nu ar trebui să notăm multiplicarea puterilor cu aceleași baze atât de detaliat cum se face aici. Astfel de calcule trebuie făcute în minte. O intrare detaliată îl va enerva cel mai probabil pe profesor și va scădea nota pentru asta. Aici se oferă o înregistrare detaliată, astfel încât materialul să fie cât mai accesibil pentru înțelegere.

Soluția acestui exemplu ar trebui scrisă astfel:

Exemplul 6. Efectuați înmulțirea X 2 × x

Indicele celui de-al doilea factor este egal cu unu. Să-l notăm pentru claritate. Apoi, lăsăm baza neschimbată și adăugăm indicatorii:

Exemplul 7. Efectuați înmulțirea y 3 y 2 y

Indicele celui de-al treilea factor este egal cu unu. Să-l notăm pentru claritate. Apoi, lăsăm baza neschimbată și adăugăm indicatorii:

Exemplul 8. Efectuați înmulțirea aa 3 a 2 a 5

Indicele primului factor este egal cu unu. Să-l notăm pentru claritate. Apoi, lăsăm baza neschimbată și adăugăm indicatorii:

Exemplul 9. Exprimați puterea lui 3 8 ca produs de puteri cu aceeași bază.

În această problemă, trebuie să faceți un produs de puteri, ale cărui baze vor fi egale cu 3 și suma exponenților cărora va fi egală cu 8. Puteți folosi orice indicator. Reprezentăm gradul 3 8 ca produs al puterilor 3 5 și 3 3

În acest exemplu, ne-am bazat din nou pe proprietatea principală a gradului. La urma urmei, expresia 3 5 × 3 3 poate fi scrisă ca 3 5 + 3, de unde 3 8 .

Desigur, a fost posibil să se reprezinte puterea 3 8 ca un produs al altor puteri. De exemplu, sub forma 3 7 × 3 1 , deoarece acest produs este, de asemenea, 3 8

Reprezentarea unei diplome ca un produs de puteri cu aceeași bază este în mare parte muncă creativă. Așa că nu vă fie frică să experimentați.

Exemplul 10. Trimiteți gradul X 12 ca diverse produse ale puterilor cu baze X .

Să folosim proprietatea principală a gradului. Imagina X 12 ca produse cu baze X, iar suma exponenților cărora este egală cu 12

Construcțiile cu sume de indicatori au fost înregistrate pentru claritate. De cele mai multe ori ele pot fi sărite. Apoi obținem o soluție compactă:

Exponentiarea unui produs

Pentru a ridica un produs la o putere, trebuie să ridicați fiecare factor al acestui produs la puterea indicată și să înmulțiți rezultatele.

De exemplu, să ridicăm produsul 2 × 3 la a doua putere. Luăm acest produs între paranteze și indicăm 2 ca indicator

Acum să ridicăm fiecare factor al produsului 2 × 3 la a doua putere și să înmulțim rezultatele:

Principiul de funcționare al acestei reguli se bazează pe definiția gradului, care a fost dată chiar de la început.

Ridicarea produsului de 2 × 3 la a doua putere înseamnă repetarea acestui produs de două ori. Și dacă o repeți de două ori, poți obține următoarele:

2×3×2×3

Din permutarea locurilor factorilor, produsul nu se schimbă. Acest lucru vă permite să grupați aceiași multiplicatori:

2×2×3×3

Multiplicatorii repetați pot fi înlocuiți cu intrări scurte - baze cu exponenți. Produsul 2 × 2 poate fi înlocuit cu 2 2 , iar produsul 3 × 3 poate fi înlocuit cu 3 2 . Apoi expresia 2 × 2 × 3 × 3 se transformă în expresia 2 2 × 3 2 .

Lasa ab lucrare originală. Pentru a ridica acest produs la putere n, trebuie să ridicați separat factorii AȘi b la gradul specificat n

Această proprietate este valabilă pentru orice număr de factori. Sunt valabile și următoarele expresii:

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei (2 × 3 × 4) 2

În acest exemplu, trebuie să ridicați produsul 2 × 3 × 4 la a doua putere. Pentru a face acest lucru, trebuie să ridicați fiecare factor al acestui produs la a doua putere și să înmulțiți rezultatele:

Exemplul 3. Ridicați produsul la a treia putere a×b×c

Introducem acest produs între paranteze și indicăm numărul 3 ca indicator

Exemplul 4. Ridicați produsul la a treia putere 3 xyz

Anexăm acest produs între paranteze și indicăm 3 ca indicator

(3xyz) 3

Să ridicăm fiecare factor al acestui produs la a treia putere:

(3xyz) 3 = 3 3 X 3 y 3 z 3

Numărul de la 3 la a treia putere este egal cu numărul 27. Restul il lasam neschimbat:

(3xyz) 3 = 3 3 X 3 y 3 z 3 = 27X 3 y 3 z 3

În unele exemple, înmulțirea puterilor cu aceiași exponenți poate fi înlocuită cu produsul bazelor cu același exponent.

De exemplu, să calculăm valoarea expresiei 5 2 × 3 2 . Ridicați fiecare număr la a doua putere și înmulțiți rezultatele:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Dar nu puteți calcula fiecare grad separat. În schimb, acest produs de puteri poate fi înlocuit cu un produs cu un singur exponent (5 × 3) 2 . Apoi, calculați valoarea dintre paranteze și ridicați rezultatul la a doua putere:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

În acest caz, a fost folosită din nou regula exponențiării produsului. La urma urmei, dacă (a x b)n = a n × b n , apoi a n × b n = (a × b) n. Adică, părțile stânga și dreaptă ale ecuației sunt inversate.

Exponentiatie

Am considerat această transformare ca un exemplu atunci când am încercat să înțelegem esența transformărilor identice de grade.

Când ridicați o putere la o putere, baza este lăsată neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți:

(un n)m = a n × m

De exemplu, expresia (2 3) 2 este ridicarea unei puteri la o putere - doi la a treia putere este ridicat la a doua putere. Pentru a găsi valoarea acestei expresii, baza poate fi lăsată neschimbată, iar exponenții pot fi înmulțiți:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Această regulă se bazează pe regulile anterioare: exponențiarea produsului și proprietatea de bază a gradului.

Să revenim la expresia (2 3) 2 . Expresia dintre paranteze 2 3 este produsul a trei factori identici, fiecare dintre ei egal cu 2. Apoi, în expresia (2 3) 2 puterea din paranteze poate fi înlocuită cu produsul 2 × 2 × 2.

(2×2×2) 2

Și aceasta este exponențiația produsului pe care l-am studiat mai devreme. Amintiți-vă că pentru a crește un produs la o putere, trebuie să creșteți fiecare factor al acestui produs la puterea specificată și să înmulțiți rezultatele:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Acum avem de-a face cu principala proprietate a gradului. Lăsăm baza neschimbată și adăugăm indicatorii:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Ca și înainte, am primit 2 6 . Valoarea acestui grad este 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Un produs ai carui factori sunt si puteri poate fi de asemenea ridicat la o putere.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei (2 2 × 3 2) 3 . Aici, indicatorii fiecărui multiplicator trebuie înmulțiți cu indicatorul total 3. Apoi, găsiți valoarea fiecărui grad și calculați produsul:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Aproximativ același lucru se întâmplă atunci când creșteți puterea unui produs. Am spus că la ridicarea unui produs la o putere, fiecare factor al acestui produs este ridicat la puterea indicată.

De exemplu, pentru a crește produsul lui 2 × 4 la a treia putere, trebuie să scrieți următoarea expresie:

Dar mai devreme s-a spus că dacă un număr este dat fără un indicator, atunci indicatorul ar trebui considerat egal cu unul. Se pare că factorii produsului 2 × 4 au inițial exponenți egali cu 1. Aceasta înseamnă că expresia 2 1 × 4 1 a fost ridicată la a treia putere. Și aceasta este ridicarea unui grad la putere.

Să rescriem soluția folosind regula exponențiației. Ar trebui să obținem același rezultat:

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei (3 3) 2

Lăsăm baza neschimbată și înmulțim indicatorii:

Am 36. Numărul de la 3 la a șasea putere este numărul 729

Exemplul 3X y)³

Exemplul 4. Efectuați exponențierea în expresia ( abc)⁵

Să ridicăm fiecare factor al produsului la a cincea putere:

Exemplul 5topor) 3

Să ridicăm fiecare factor al produsului la a treia putere:

Deoarece numărul negativ -2 a fost ridicat la a treia putere, a fost luat între paranteze.

Exemplul 6. Efectuați exponențiarea în expresie (10 X y) 2

Exemplul 7. Efectuați exponențiarea în expresia (−5 X) 3

Exemplul 8. Efectuați exponențiarea în expresia (−3 y) 4

Exemplul 9. Efectuați exponențiarea în expresia (−2 abx)⁴

Exemplul 10. Simplificați expresia X 5×( X 2) 3

grad X 5 va rămâne neschimbat deocamdată, iar în expresia ( X 2) 3 efectuează exponențiarea la putere:

X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Acum să facem înmulțirea X 5 × x 6. Pentru a face acest lucru, folosim proprietatea principală a gradului - baza X lăsați-l neschimbat și adăugați indicatorii:

X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = X 5 + 6 = X 11

Exemplul 9. Aflați valoarea expresiei 4 3 × 2 2 folosind proprietatea de bază a gradului.

Proprietatea principală a gradului poate fi utilizată dacă bazele gradelor inițiale sunt aceleași. În acest exemplu, bazele sunt diferite, prin urmare, pentru început, expresia originală trebuie să fie ușor modificată, și anume, pentru a face ca bazele gradelor să devină aceleași.

Să ne uităm îndeaproape la puterea lui 4 3 . Baza acestui grad este numărul 4, care poate fi reprezentat ca 2 2 . Atunci expresia originală va lua forma (2 2) 3 × 2 2 . Exponențiând la o putere în expresia (2 2) 3 , obținem 2 6 . Apoi expresia originală va lua forma 2 6 × 2 2 , care poate fi calculată folosind proprietatea principală a gradului.

Să scriem soluția acestui exemplu:

Împărțirea gradelor

Pentru a efectua împărțirea puterii, trebuie să găsiți valoarea fiecărei puteri, apoi să efectuați împărțirea numerelor obișnuite.

De exemplu, să împărțim 4 3 la 2 2 .

Calculați 4 3 , obținem 64 . Calculăm 2 2 , obținem 4. Acum împărțim 64 la 4, obținem 16

Dacă, la împărțirea gradelor bazei, acestea se dovedesc a fi aceleași, atunci baza poate fi lăsată neschimbată, iar exponentul divizorului poate fi scăzut din exponentul dividendului.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei 2 3: 2 2

Lăsăm baza 2 neschimbată și scădem exponentul divizorului din exponentul dividendului:

Deci valoarea expresiei 2 3: 2 2 este 2 .

Această proprietate se bazează pe înmulțirea puterilor cu aceleași baze sau, după cum spuneam, pe proprietatea principală a gradului.

Să revenim la exemplul anterior 2 3: 2 2 . Aici dividendul este 2 3 iar divizorul este 2 2 .

A împărți un număr cu altul înseamnă a găsi un număr care, atunci când este înmulțit cu un divizor, va da dividendul ca rezultat.

În cazul nostru, împărțirea 2 3 la 2 2 înseamnă găsirea unei puteri care, atunci când este înmulțită cu divizorul 2 2, va avea ca rezultat 2 3 . Ce putere poate fi înmulțită cu 2 2 pentru a obține 2 3? Evident, doar gradul 2 1 . Din proprietatea principală a gradului avem:

Puteți verifica dacă valoarea expresiei 2 3: 2 2 este 2 1 evaluând direct expresia 2 3: 2 2 . Pentru a face acest lucru, mai întâi găsim valoarea gradului 2 3 , obținem 8 . Atunci găsim valoarea gradului 2 2 , obținem 4 . Împărțim 8 la 4, obținem 2 sau 2 1 , deoarece 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Astfel, la împărțirea puterilor cu aceeași bază, este valabilă următoarea egalitate:

De asemenea, se poate întâmpla ca nu numai bazele, ci și indicatorii să fie aceleași. În acest caz, răspunsul va fi unul.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei 2 2: 2 2 . Să calculăm valoarea fiecărui grad și să facem împărțirea numerelor rezultate:

Când rezolvați exemplul 2 2: 2 2, puteți aplica și regula împărțirii gradelor cu aceleași baze. Rezultatul este un număr la puterea zero, deoarece diferența dintre exponenții lui 2 2 și 2 2 este zero:

De ce numărul 2 la gradul zero este egal cu unu, am aflat mai sus. Dacă calculezi 2 2: 2 2 în mod obișnuit, fără a folosi regula de împărțire a gradelor, obții unul.

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 4 12: 4 10

Lăsăm 4 neschimbat și scădem exponentul divizorului din exponentul dividendului:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

Exemplul 3. Trimiteți privat X 3: X ca grad cu o bază X

Să folosim regula împărțirii gradelor. Baza X lăsați-l neschimbat și scădeți exponentul divizorului din exponentul dividendului. Exponentul divizorului este egal cu unu. Pentru claritate, să scriem:

Exemplul 4. Trimiteți privat X 3: X 2 ca putere cu o bază X

Să folosim regula împărțirii gradelor. Baza X

Împărțirea gradelor poate fi scrisă ca o fracție. Deci, exemplul anterior poate fi scris după cum urmează:

Numătorul și numitorul unei fracții pot fi scrise în formă extinsă, și anume sub formă de produse ale factorilor identici. grad X 3 poate fi scris ca x × x × x, și gradul X 2 ca x × x. Apoi construcția X 3 − 2 poate fi omis și folosește reducerea fracției. La numărător și la numitor, se vor putea reduce fiecare câte doi factori X. Rezultatul va fi un multiplicator X

Sau chiar mai scurt:

De asemenea, este util să poți reduce rapid fracțiile formate din puteri. De exemplu, o fracție poate fi redusă la X 2. Pentru a reduce o fracție cu X 2 trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul fracției cu X 2

Divizarea gradelor nu poate fi descrisă în detaliu. Abrevierea de mai sus poate fi scurtată:

Sau chiar mai scurt:

Exemplul 5. Execută diviziunea X 12 : X 3

Să folosim regula împărțirii gradelor. Baza X lăsați-l neschimbat și scădeți exponentul divizorului din exponentul dividendului:

Scriem soluția folosind reducerea fracției. Împărțirea gradelor X 12 : X 3 va fi scris ca . În continuare, reducem această fracție cu X 3 .

Exemplul 6. Găsiți valoarea unei expresii

La numărător, efectuăm înmulțirea puterilor cu aceleași baze:

Acum aplicăm regula împărțirii puterilor cu aceleași baze. Lăsăm baza 7 neschimbată și scădem exponentul divizorului din exponentul dividendului:

Completem exemplul calculând puterea lui 7 2

Exemplul 7. Găsiți valoarea unei expresii

Să efectuăm exponențiarea la numărător. Trebuie să faceți acest lucru cu expresia (2 3) 4

Acum să facem înmulțirea puterilor cu aceleași baze în numărător.