Jocuri

10 moduri de a rezolva pătratul. Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU „Școala secundară Sergievskaya”

Completat de: Sizikov Stanislav

Profesor:

Cu. Sergievka, 2007

1. Introducere. Ecuații cuadratice în Babilonul antic………….3

2. Ecuații cuadratice în Diaphant…………..………………………….4

3. Ecuații cuadratice în India ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

4. Ecuații cuadratice în al-Khorezmi …………………………………..6

5. Ecuații cuadratice în Europa XIII - XYII…………………………...7

6. Despre teorema Vieta ……………………………………………………………………..9

7. Zece moduri de rezolvare a ecuațiilor pătratice…………..10

8. Concluzie ……………………………………………………………………20

9. Referințe ……………………………………………………...21

Introducere

Ecuații cuadratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații pătratice, începând cu clasa a 8-a. Dar cum a apărut și s-a dezvoltat istoria rezolvării ecuațiilor pătratice?

Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II, încă din antichitate, a fost cauzată de necesitatea de a rezolva probleme legate de găsirea suprafețelor de teren; lucrări de pământ de natură militară, precum și cu dezvoltarea astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut să rezolve aproximativ 2000 î.Hr. e. babilonienii. Folosind notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme, pe lângă cele incomplete, există, de exemplu, ecuații patratice complete: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara scrie sub masca

x2- 64X = - 768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la pătrat, el adaugă 322 la ambele părți, obținând apoi: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Ecuații cuadratice în al - Khorezmi

Tratatul algebric al lui Al-Khwarizmi oferă o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul enumeră 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax2 = in.

2) „Pătratele sunt egale cu numărul”, adică ah2= Cu.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică. ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică ah2+ c = in.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică ah2+ în = s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică în+ c \u003d ax2. Pentru al-Khwarizmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt adunări, nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul stabilește metode de rezolvare a acestor ecuații. Decizia lui, desigur, nu coincide complet cu a noastră. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retorică, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip, al-Khwarizmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de zero. soluție, probabil pentru că în sarcini practice specifice, nu contează. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, al-Khwarizmi stabilește regulile pentru rezolvarea lor folosind exemple numerice particulare și apoi dovezile geometrice ale acestora.

Să luăm un exemplu.

Problema 14. „Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina "(adică rădăcina ecuației x2+ 21 = 10X).

Soluția autorului este cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, rămâne 4. Luați rădăcina lui 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5, voi obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce va da 7, aceasta este și o rădăcină.

Tratatul lui al-Khwarizmi este prima carte care a ajuns la noi, în care este prezentată sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și sunt date formule pentru rezolvarea lor.

Ecuații cuadratice în EuropaXIII- XVIIsecole

Formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice pe modelul lui al-Khwarizmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea Abacului (publicată la Roma la mijlocul secolului trecut, Cartea Fibonacci a Abacului conține 459 de pagini), scrisă în 1202 de către matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii atât din țările islamului, cât și din Grecia antică, se distinge atât prin completitudine, cât și prin claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și primul în Europa s-a apropiat de introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe sarcini din Cartea Abacului au trecut în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică x2+ în = s, pentru toate combinațiile posibile de semne ale coeficienților Înăuntru cu a fost formulată în Europa abia în 1544. M. Stiefel.

Vieta are o derivație generală a formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice, dar Vieta a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardaco, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. luați în considerare, pe lângă rădăcinile pozitive și negative. Abia în secolul al XVII-lea. datorită lucrărilor lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă un aspect modern.

Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, purtând numele de Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă LA+ D, înmulțit cu DAR minus A2, egală BD, apoi DAR egală LA si egali D».

Pentru a înțelege Vieta, trebuie să ne amintim asta DAR, ca oricare
vocală, destinată lui necunoscută (nostru X), vocale
LA,D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea lui Vieta de mai sus înseamnă: dacă

(A+ c) x - x 2 = ab, x2 - (a+ b) X + ab = 0, x1 = a, x2 = b.

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor prin formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viet a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul Vietei este încă departe de forma sa modernă. Nu a recunoscut numerele negative și, prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile sunt pozitive.

Zece moduri de a rezolva ecuații cuadratice

La cursul școlar de matematică sunt studiate formulele rădăcinilor ecuațiilor pătratice, cu ajutorul cărora puteți rezolva orice ecuații pătratice. Cu toate acestea, există și alte modalități de a rezolva ecuații pătratice care vă permit să rezolvați multe ecuații foarte rapid și rațional. Există zece moduri de a rezolva ecuații pătratice. Să luăm în considerare fiecare dintre ele.

1. Factorizarea părții stângi a ecuației

Să rezolvăm ecuația x2+ 10X- 24 = 0. Să factorizăm partea stângă a ecuației:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Prin urmare, ecuația poate fi rescrisă astfel:

( X + 12)(x - 2) = 0.

Deoarece produsul este zero, cel puțin unul dintre factorii săi este zero. Prin urmare, partea stângă a ecuației dispare când x = 2, precum și X= - 12. Aceasta înseamnă că numerele 2 și - 12 sunt rădăcinile ecuației x2 + 10x - 24 = 0.

2. Metoda de selecție a pătratului complet

Să explicăm această metodă cu un exemplu.

Să rezolvăm ecuația x2 + 6x - 7 = 0. Selectați un pătrat complet în partea stângă. Pentru a face acest lucru, scriem expresia x2 + 6x în următoarea formă:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

În expresia rezultată, primul termen este pătratul numărului x, iar al doilea este produsul dublu al lui x cu 3. Prin urmare, pentru a obține pătratul complet, trebuie să adăugați 32, deoarece

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Acum transformăm partea stângă a ecuației

x2 + 6x - 7 = 0,

adunând la ea și scăzând 32. Avem:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Astfel, această ecuație poate fi scrisă după cum urmează:

(x + = 0, adică (x + 3)2 = 16.

Prin urmare, X+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1 sau x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.

3. Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin formula

Înmulțiți ambele părți ale ecuației

ah2+ în+ c = 0, a ≠ 0, pe 4a si succesiv avem:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,

(2ax +b)2 = in2- 4ac,

2ax+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

În cazul unui discriminant pozitiv, adică cu v2 - 4ac > 0, ecuație ah2+ în + s= 0 are două rădăcini diferite.

Dacă discriminantul este zero, i.e. v2 - 4ac = 0, apoi ecuația ah2+ în+ Cu= 0 are o singură rădăcină, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Rădăcinile sale satisfac teorema Vieta, care, când A= 1 are forma

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - R.

Din aceasta putem trage următoarele concluzii (prin coeficienți Rși q semnele rădăcinii pot fi prezise).

a) Dacă un membru liber q ecuație redusă (1)
pozitiv (q> 0), atunci ecuația are două identice
de semnul rădăcinii și depinde de al doilea coeficient R
În cazul în care un R> 0, atunci ambele rădăcini sunt negative dacă R< 0, apoi amândoi
rădăcinile sunt pozitive.

De exemplu,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 și x2 = 1, deoarece q = 2 > 0 u p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 și x2 \u003d - 1, deoarece q= 7 > 0 și R = 8 > 0.

b) Dacă un membru liber q ecuație redusă (1)
negativ (q < 0), atunci ecuația are două rădăcini de semn diferit, iar rădăcina mai mare în valoare absolută va fi pozitivă dacă R< 0 sau negativ dacă p > 0.

De exemplu,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 și x2 \u003d 1, deoarece q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 și x2= - 1 deoarece q = - 9 < и R= - 8 < 0.

5. Rezolvarea ecuațiilor prin metoda „transferului”

Luați în considerare ecuația pătratică ax2 + in+ c = 0, unde a ≠ 0. Înmulțirea ambelor părți cu A, obținem ecuația a2x2 +abx+ as= 0.

Lăsa ah = y Unde X=; apoi ajungem la ecuație

y2+ de+ ac = 0,

echivalent cu acesta. rădăcinile sale y1și y2 afla cu ajutorul teoremei lui Vieta. În sfârșit, obținem x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

Cu această metodă, coeficientul A este înmulțit cu termenul liber, parcă „aruncat” la el, motiv pentru care se numește metoda de transfer. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

1. Rezolvați ecuația 2x2 - 11x + 15 = 0.

Soluţie. Să „transferăm” coeficientul 2 la termenul liber, ca rezultat obținem ecuația

y2 - 11 la+ 30 = 0.

Conform teoremei Vieta, y1 = 5, y2 = 6, deci x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

Răspuns: 2,5; 3.

6. Proprietăţile coeficienţilor pătratuluiecuații

A. Să fie dată o ecuație pătratică

ax2 + in + c= 0, unde A ≠ 0.

1. Dacă un + în + cu= 0 (adică, suma coeficienților ecuației este egală cu zero), atunci x1 = 1, x2 = .

2. Dacă a - b + c= 0, saub = A + c, atunci x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

Răspuns: 1; 184">

Sunt posibile următoarele cazuri:

O linie dreaptă și o parabolă se pot intersecta în două puncte, abscisele punctelor de intersecție sunt rădăcinile unei ecuații pătratice;

O linie dreaptă și o parabolă se pot atinge (doar un punct comun), adică ecuația are o singură soluție;

Linia dreaptă și parabola nu au puncte comune, adică ecuația pătratică nu are rădăcini.

Exemple.

1. Să rezolvăm grafic ecuația x2 - 3x - 4 = 0 (Fig. 2).

Soluţie. Scriem ecuația sub forma x2 = 3x + 4.

Să construim o parabolă y = x2 si direct y= 3x + 4. Direct la= 3x + 4 poate fi construit din două puncte M(0; 4) și N(3; 13). O dreaptă și o parabolă se intersectează în două puncte A la B cu abscisă x1= - 1 și x2 = 4.

Raspuns: x1= - 1, x, = 4.

8. Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu compas și drepte

Modul grafic de a rezolva ecuații pătratice folosind o parabolă este incomod. Dacă construiți o parabolă punct cu punct, atunci este nevoie de mult timp, iar gradul de acuratețe al rezultatelor obținute este scăzut.

Propunem următoarea metodă pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice

ah2+ în+ Cu= 0

folosind o busolă și o riglă (Fig.).

Să presupunem că cercul dorit intersectează axa absciselor în puncte B(x1; 0) și D(X2 ; 0), unde x1și x2- rădăcinile ecuației ax2 + in+Cu=0,
și trece prin punctele A(0; 1) și C(0; ) de pe axa y..gif" width="197" height="123">

Deci: 1) construiți puncte https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> cercul intersectează axa OX în punctul B(x1;0 ), și D(x1 ; 0), unde x1 și x2 - rădăcinile ecuației pătratice ax2+bx+c = 0.

2) Raza cercului este egală cu ordonata centrului , cercul atinge axa x în punctul B(x1; 0), unde xx este rădăcina ecuației pătratice.

3) Raza cercului este mai mică decât ordonata centrului stâng">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

De unde după substituţii şi

simplificări, urmează ecuația z2+pz+q=0, iar litera z înseamnă eticheta oricărui punct al scării curbilinie.

10. Metoda geometrică de rezolvare a ecuațiilor pătratice

În antichitate, când geometria era mai dezvoltată decât algebra, ecuațiile pătratice erau rezolvate nu algebric, ci geometric. Să dăm un exemplu care a devenit celebru din Algebra de al-Khwarizmi.

Și patru pătrate atașate, adică S=x2+10x+25. Înlocuind x2+10x cu 39, obținem S = 39 + 25 = 64, ceea ce înseamnă că latura pătratului ABCD, adică segment AB= 8. Pentru partea cerută X pătratul original pe care îl obținem

Concluzie

Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice, de la școală până la absolvire. Dar la cursul școlar de matematică se studiază formulele rădăcinilor ecuațiilor pătratice, cu ajutorul cărora se pot rezolva orice ecuații pătratice. Cu toate acestea, după ce am studiat această problemă mai profund, am fost convins că există și alte modalități de a rezolva ecuații pătratice care vă permit să rezolvați multe ecuații foarte rapid și rațional.

Poate că matematica este undeva în alte dimensiuni, nu este vizibilă pentru ochi - totul este scris și doar obținem toate faptele noi din gaura cu lumi? ... Dumnezeu stie; dar se dovedește că, dacă fizicienii, chimiștii, economiștii sau arheologii au nevoie de un nou model al structurii lumii, acest model poate fi oricând luat de pe raftul unde l-au pus matematicienii în urmă cu trei sute de ani, sau asamblat din părți aflate pe același raft. Poate că aceste piese vor trebui răsucite, ajustate unele cu altele, lustruite, prelucrate rapid câteva bucșe noi de teoremă; dar teoria rezultatului nu va descrie doar situația reală care a apărut, ci va prezice și consecințele! ...

Un lucru ciudat este acest joc al minții, care are întotdeauna dreptate...

Literatură

1. Alimov SHA., Ilyin VA. et al., Algebra, 6-8. Manual de probă pentru clasele 6-8 de liceu. - M., Educaţie, 1981.

2.Tabele de matematică Brads pentru liceu. Ed. al 57-lea. - M., Educaţie, 1990. S. 83.

3. Zlotsky - sarcini în predarea matematicii. Cartea pentru profesor. - M., Educaţie, 1992.

4.M., Matematică (supliment la ziarul „Primul septembrie”), Nr. 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Funcții, ecuații și inegalități Okunev. Un ghid pentru profesor. - M., Educaţie, 1972.

6. Solomnik B. C., Dulci întrebări și probleme la matematică. Ed. a 4-a, adaugă. - M., Liceul, 1973.

7.M., Matematică (supliment la ziarul „Primul septembrie”), nr. 40, 2000.

Revizuire

pentru munca unui elev din clasa a XI-a a MOU „Secundarul Sergievskaya

scoala generala"

Școala secundară rurală Kopyevskaya

10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice

Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematică

s.Kopievo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

1.2 Cum a compilat și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice în al-Khwarizmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1 .1 Ecuații pătrateceartă în Babilonul antic

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II în antichitate a fost cauzată de necesitatea rezolvării problemelor legate de găsirea zonelor de pământ și de terasamente cu caracter militar, precum și de dezvoltarea astronomiei și matematica în sine. Ecuațiile cuadratice au putut să rezolve aproximativ 2000 î.Hr. e. babilonienii.

Aplicând notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații, enunțată în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum dau doar probleme cu soluțiile enunțate sub formă de rețete, fără nicio indicație despre cum au fost găsite.

În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare al algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

1.2 Cum a compilat și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

Aritmetica lui Diofant nu conține o expunere sistematică a algebrei, ci conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin întocmirea de ecuații de diferite grade.

La compilarea ecuațiilor, Diophantus alege cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Sarcina 11.„Găsiți două numere știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”

Diophantus argumentează astfel: din condiția problemei rezultă că numerele dorite nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor nu ar fi 96, ci 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mult de jumătate din numărul lor. suma, adica . 10+x, celălalt este mai mic, adică. anii 10. Diferența dintre ele 2x.

De aici rezultă ecuația:

(10 + x)(10 - x) = 96

anii 100 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2. Unul dintre numerele dorite este 12 , alte 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele dorite ca necunoscut, atunci vom ajunge la soluția ecuației

y(20 - y) = 96,

la 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Este clar că Diophantus simplifică soluția alegând jumătate de diferență a numerelor dorite ca necunoscută; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).

1.3 Ecuații cuadratice în India

Probleme pentru ecuațiile pătratice se găsesc deja în tractul astronomic „Aryabhattam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a subliniat regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

Oh 2 + bx = c, a > 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția A, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta coincide în esență cu a noastră.

În India antică, competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Într-una dintre cărțile vechi indiene, despre astfel de competiții se spune următoarele: „Așa cum soarele strălucește stelele cu strălucirea sa, tot așa o persoană învățată va eclipsa gloria altuia în adunările publice, propunând și rezolvând probleme algebrice”. Sarcinile erau adesea îmbrăcate în formă poetică.

Iată una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskara.

Sarcina 13.

„O turmă plină de maimuțe și douăsprezece în viță de vie...

După ce am mâncat putere, m-am distrat. Au început să sară, atârnând...

Partea a opta dintre ei într-un pătrat Câte maimuțe erau acolo,

Să te distrezi pe pajiște. Îmi spui, în turma asta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa despre două valori ale rădăcinilor ecuațiilor pătratice (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrie sub pretextul:

X 2 - 64x = -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la un pătrat, el adaugă la ambele părți 32 2 , obtinand atunci:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Ecuații pătrateal-Khorezmi

Tratatul de algebric al lui Al-Khorezmi oferă o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul enumeră 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică Oh 2 + cu =bX.

2) „Pătratele sunt egale cu numărul”, adică Oh 2 = s.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică. ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică. Oh 2 + cu =bX.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, i.e. Oh 2 + bx= s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx+ c = ax 2 .

Pentru al-Khwarizmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt adunări, nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul conturează metodele de rezolvare a acestor ecuații, folosind metodele lui al-jabr și al-muqabala. Deciziile lui, desigur, nu coincid complet cu ale noastre. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip

al-Khorezmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că nu contează în probleme practice specifice. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, al-Khorezmi stabilește regulile de rezolvare și apoi dovezi geometrice, folosind exemple numerice particulare.

Sarcina 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (presupunând rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Tratatul al - Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, în care se enunță sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și se dau formule pentru rezolvarea lor.

1.5 Ecuații cuadratice în EuropaXIII - XVIIsecole

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice pe modelul lui al - Khorezmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în „Cartea Abacului”, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât în țările islamului, cât și în Grecia antică, se distinge atât prin completitudine, cât și prin claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe sarcini din „Cartea Abacului” au trecut în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

X 2 + bx= cu,

pentru toate combinațiile posibile de semne ale coeficienților b, Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Vieta are o derivație generală a formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice, dar Vieta a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Luați în considerare, pe lângă rădăcinile pozitive și negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și a altor oameni de știință, modul de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă un aspect modern.

1.6 Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, purtând numele de Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + Dînmulțit cu A - A 2 , egal BD, apoi A egală LA si egali D».

Pentru a înțelege Vieta, trebuie să ne amintim asta DAR, ca orice vocală, a însemnat pentru el necunoscutul (nostru X), vocalele LA,D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea lui Vieta de mai sus înseamnă: dacă

(a +b)x - x 2 = ab,

X 2 - (a +b)x + ab = 0,

X 1 = a, X 2 = b.

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor prin formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viet a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. În același timp, simbolismul Vietei este încă departe de aspectul său modern. El nu a recunoscut numerele negative și, prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile sunt pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a 8-a) până la absolvire.

La cursul școlar de matematică sunt studiate formulele rădăcinilor ecuațiilor pătratice, cu ajutorul cărora puteți rezolva orice ecuații pătratice. În același timp, există și alte modalități de a rezolva ecuații pătratice, care vă permit să rezolvați multe ecuații foarte rapid și rațional. Există zece moduri de a rezolva ecuații pătratice. În munca mea, am analizat fiecare dintre ele în detaliu.

1. METODĂ : Factorizarea părții stângi a ecuației.

Să rezolvăm ecuația

X 2 + 10x - 24 = 0.

Să factorizăm partea stângă:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Prin urmare, ecuația poate fi rescrisă astfel:

(x + 12)(x - 2) = 0

Deoarece produsul este zero, atunci cel puțin unul dintre factorii săi este zero. Prin urmare, partea stângă a ecuației dispare la x = 2, precum și la x = - 12. Aceasta înseamnă că numărul 2 și - 12 sunt rădăcinile ecuației X 2 + 10x - 24 = 0.

2. METODĂ : Metoda de selecție a pătratului complet.

Să rezolvăm ecuația X 2 + 6x - 7 = 0.

Să selectăm un pătrat complet în partea stângă.

Pentru a face acest lucru, scriem expresia x 2 + 6x în următoarea formă:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Acum transformăm partea stângă a ecuației

X 2 + 6x - 7 = 0,

adunând la acesta și scăzând 3 2 . Avem:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Astfel, această ecuație poate fi scrisă după cum urmează:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Prin urmare, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 sau x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METODĂ :Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin formulă.

Înmulțiți ambele părți ale ecuației

Oh 2 + bx + c = 0, nu? 0

pe 4a și succesiv avem:

4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ah) 2 + 2 ax *b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax+b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Exemple.

A) Să rezolvăm ecuația: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, două rădăcini diferite;

Astfel, în cazul unui discriminant pozitiv, i.e. la

b 2 - 4 ac >0 , ecuația Oh 2 + bx + c = 0 are două rădăcini diferite.

b) Să rezolvăm ecuația: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, o rădăcină;

Deci, dacă discriminantul este zero, i.e. b 2 - 4 ac = 0 , apoi ecuația

Oh 2 + bx + c = 0 are o singură rădăcină

în) Să rezolvăm ecuația: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Această ecuație nu are rădăcini.

Deci, dacă discriminantul este negativ, i.e. b 2 - 4 ac < 0 ,

ecuația Oh 2 + bx + c = 0 nu are rădăcini.

Formula (1) a rădăcinilor ecuației pătratice Oh 2 + bx + c = 0 vă permite să găsiți rădăcinile orice ecuație pătratică (dacă există), inclusiv redusă și incompletă. Formula (1) se exprimă verbal după cum urmează: rădăcinile unei ecuații pătratice sunt egale cu o fracție al cărei numărător este egal cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, plus minus rădăcina pătrată a pătratului acestui coeficient fără a dubla de patru ori produsul primului coeficient cu termenul liber, iar numitorul este de două ori primul coeficient.

4. METODA: Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta.

După cum se știe, ecuația pătratică dată are forma

X 2 + px + c = 0. (1)

Rădăcinile sale satisfac teorema Vieta, care, când a = 1 are forma

X 1 X 2 = q,

X 1 + X 2 = - p

Din aceasta putem trage următoarele concluzii (semnele rădăcinilor pot fi prezise din coeficienții p și q).

a) Dacă termenul sumar q a ecuației reduse (1) este pozitivă ( q > 0 ), atunci ecuația are două rădăcini de același semn și aceasta este invidia celui de-al doilea coeficient p. În cazul în care un R< 0 , atunci ambele rădăcini sunt negative dacă R< 0 , atunci ambele rădăcini sunt pozitive.

De exemplu,

X 2 - 3 X + 2 = 0; X 1 = 2 și X 2 = 1, deoarece q = 2 > 0 și p = - 3 < 0;

X 2 + 8 X + 7 = 0; X 1 = - 7 și X 2 = - 1, deoarece q = 7 > 0 și p= 8 > 0.

b) Dacă un membru liber q a ecuației reduse (1) este negativă ( q < 0 ), atunci ecuația are două rădăcini de semn diferit, iar rădăcina mai mare în valoare absolută va fi pozitivă dacă p < 0 , sau negativ dacă p > 0 .

De exemplu,

X 2 + 4 X - 5 = 0; X 1 = - 5 și X 2 = 1, deoarece q= - 5 < 0 și p = 4 > 0;

X 2 - 8 X - 9 = 0; X 1 = 9 și X 2 = - 1, deoarece q = - 9 < 0 și p = - 8 < 0.

5. METODA: Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda „transferului”.

Luați în considerare ecuația pătratică

Oh 2 + bx + c = 0, Unde A? 0.

Înmulțind ambele părți ale sale cu a, obținem ecuația

A 2 X 2 + abx + ac = 0.

Lăsa ah = y, Unde x = y/a; apoi ajungem la ecuație

la 2 + de+ ac = 0,

echivalent cu acesta. rădăcinile sale la 1 și la 2 poate fi găsit folosind teorema lui Vieta.

În sfârșit, obținem

X 1 = y 1 /A și X 1 = y 2 /A.

Cu această metodă, coeficientul A este înmulțit cu termenul liber, ca și cum ar fi „aruncat” la el, de aceea este numit metoda de transfer. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

Exemplu.

Să rezolvăm ecuația 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Soluţie. Să „transferăm” coeficientul 2 la termenul liber, ca rezultat obținem ecuația

la 2 - 11y + 30 = 0.

Conform teoremei lui Vieta

la 1 = 5 X 1 = 5/2 X 1 = 2,5

la 2 = 6 X 2 = 6/2 X 2 = 3.

Răspuns: 2,5; 3.

6. METODA: Proprietăţile coeficienţilor unei ecuaţii pătratice.

DAR. Fie ecuația pătratică

Oh 2 + bx + c = 0, Unde A? 0.

1) Dacă, a+b+ c = 0 (adică suma coeficienților este zero), atunci x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Dovada.Împărțiți ambele părți ale ecuației cu a? 0, obținem ecuația pătratică redusă

X 2 + b/ A * X + c/ A = 0.

Conform teoremei lui Vieta

X 1 + X 2 = - b/ A,

X 1 X 2 = 1* c/ A.

După condiție A -b + c = 0, Unde b= a + c.În acest fel,

X 1 + x 2 = - A+ b / a \u003d -1 - c / a,

X 1 X 2 = - 1* (-c/a),

acestea. X 1 = -1 și X 2 = c/ A, pe care trebuia să-l dovedim.

Exemple.

1) Rezolvați ecuația 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Soluţie. pentru că un +b+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), apoi

X 1 = 1, X 2 = c/ A = -208/345.

Raspunsul 1; -208/345.

2) Rezolvați ecuația 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Soluţie. pentru că un +b+ c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), apoi

X 1 = 1, X 2 = c/ A = 115/132.

Raspunsul 1; 115/132.

B. Dacă al doilea coeficient b = 2 k este un număr par, apoi formula rădăcinilor

Exemplu.

Să rezolvăm ecuația 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Soluţie. Avem: a = 3,b= -- 14, c = 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, două rădăcini diferite;

Răspuns: 2; 8/3

LA. Ecuație redusă

X 2 +px+q= 0

coincide cu ecuația generală, în care a = 1, b= pși c =q. Prin urmare, pentru ecuația pătratică redusă, formula rădăcinilor

ia forma:

Formula (3) este deosebit de convenabilă de utilizat atunci când R-- număr par.

Exemplu. Să rezolvăm ecuația X 2 - 14x - 15 = 0.

Soluţie. Avem: X 1,2 =7±

Raspuns: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METODA: Rezolvarea grafică a unei ecuații pătratice.

Dacă în ecuație

X 2 + px + q = 0

mutați al doilea și al treilea termen în partea dreaptă, obținem

X 2 = - px - q.

Să construim grafice de dependență y \u003d x 2 și y \u003d - px - q.

Graficul primei dependențe este o parabolă care trece prin origine. Graficul celei de-a doua dependențe -

linie dreaptă (fig. 1). Sunt posibile următoarele cazuri:

O linie dreaptă și o parabolă se pot intersecta în două puncte, abscisele punctelor de intersecție sunt rădăcinile unei ecuații pătratice;

Linia și parabola se pot atinge (doar un punct comun), adică. ecuația are o singură soluție;

Linia dreaptă și parabola nu au puncte comune, adică. o ecuație pătratică nu are rădăcini.

Exemple.

1) Să rezolvăm ecuația grafic X 2 - 3x - 4 = 0(Fig. 2).

Soluţie. Scriem ecuația sub forma X 2 = 3x + 4.

Să construim o parabolă y = x 2 si direct y = 3x + 4. direct

y = 3x + 4 poate fi construit din două puncte M (0; 4)și

N (3; 13) . O dreaptă și o parabolă se intersectează în două puncte

DARși LA cu abscisă X 1 = - 1 și X 2 = 4 . Răspuns: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Să rezolvăm ecuația grafic (Fig. 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Soluţie. Scriem ecuația sub forma X 2 = 2x - 1.

Să construim o parabolă y = x 2 si direct y = 2x - 1.

direct y = 2x - 1 construiți pe două puncte M (0; - 1)

și N(1/2; 0) . Linia și parabola se intersectează într-un punct DAR Cu

abscisă x = 1. Răspuns:x = 1.

3) Să rezolvăm ecuația grafic X 2 - 2x + 5 = 0(Fig. 4).

Soluţie. Scriem ecuația sub forma X 2 = 5x - 5. Să construim o parabolă y = x 2 si direct y = 2x - 5. direct y = 2x - 5 construiți prin două puncte M(0; - 5) și N(2,5; 0). Linia dreaptă și parabola nu au puncte de intersecție, adică. Această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns. Ecuația X 2 - 2x + 5 = 0 nu are rădăcini.

8. METODA: Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu compasul și conducători.

Modul grafic de a rezolva ecuații pătratice folosind o parabolă este incomod. Dacă construiți o parabolă punct cu punct, atunci este nevoie de mult timp și, cu toate acestea, gradul de acuratețe al rezultatelor obținute este scăzut.

Propun următoarea metodă pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice Oh 2 + bx + c = 0 folosind o busolă și o riglă (Fig. 5).

Să presupunem că cercul dorit intersectează axa

abscisă în puncte B(x 1 ; 0) și D(X 2 ; 0), Unde X 1 și X 2 - rădăcinile ecuației Oh 2 + bx + c = 0, și trece prin puncte

A(0; 1)și C(0;c/ A) pe axa y. Apoi, după teorema secantei, avem OB * OD = OA * OC, Unde OC = OB * OD/ OA= x 1 X 2 / 1 = c/ A.

Centrul cercului se află în punctul de intersecție al perpendicularelor SFși SK, restaurat la mijlocul acordurilor ACși BD, de aceea

1) construiți puncte (centrul cercului) și A(0; 1) ;

2) desenați un cerc cu o rază SA;

3) abscisele punctelor de intersecție ale acestui cerc cu axa Oh sunt rădăcinile ecuației pătratice originale.

În acest caz, sunt posibile trei cazuri.

1) Raza cercului este mai mare decât ordonata centrului (LA FEL DE > SK, sau R > A + c/2 A) , cercul intersectează axa x în două puncte (Fig. 6,a) B(x 1 ; 0) și D(X 2 ; 0) , Unde X 1 și X 2 - rădăcinile ecuaţiei pătratice Oh 2 + bx + c = 0.

2) Raza cercului este egală cu ordonata centrului (LA FEL DE = SB, sauR = A + c/2 A) , cercul atinge axa Ox (Fig. 6,b) în punct B(x 1 ; 0) , unde x 1 este rădăcina ecuației pătratice.

3) Raza cercului este mai mică decât ordonata centrului, cercul nu are puncte comune cu axa absciselor (Fig. 6, c), în acest caz ecuația nu are soluție.

Exemplu.

Să rezolvăm ecuația X 2 - 2x - 3 = 0 (Fig. 7).

Soluţie. Determinați coordonatele punctului centrului cercului cu formulele:

Să desenăm un cerc cu raza SA, unde A (0; 1).

Răspuns: X 1 = - 1; X 2 = 3.

9. METODA: Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu nomograme.

Aceasta este o metodă veche și nemeritat uitată de rezolvare a ecuațiilor pătratice, plasată la p. 83 (vezi Bradis V.M. Tabele matematice cu patru valori. - M., Enlightenment, 1990).

Tabelul XXII. Nomograma pentru rezolvarea ecuațiilor z 2 + pz + q = 0 . Această nomogramă permite, fără a rezolva ecuația pătratică, să se determine rădăcinile ecuației prin coeficienții ei.

Scara curbilinie a nomogramei este construită după formulele (Fig. 11):

Presupunând OS = p,ED = q, OE = a(toate în cm), din asemănarea triunghiurilor SANși CDF obținem proporția

de unde, după substituții și simplificări, urmează ecuația

z 2 + pz + q = 0,

iar scrisoarea zînseamnă eticheta oricărui punct de pe scara curbă.

Exemple.

1) Pentru ecuație z 2 - 9 z + 8 = 0 nomograma dă rădăcini

z 1 = 8,0 și z 2 = 1,0 (Fig. 12).

2) Rezolvăm ecuația folosind nomograma

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Împărțim coeficienții acestei ecuații la 2, obținem ecuația

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomograma dă rădăcini z 1 = 4 și z 2 = 0,5.

3) Pentru ecuație

z 2 - 25 z + 66 = 0

coeficienții p și q sunt depășiți, vom efectua înlocuirea z = 5 t, obținem ecuația

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

pe care o rezolvam prin intermediul unei nomograme si obtinem t 1 = 0,6 și t 2 = 4,4, Unde z 1 = 5 t 1 = 3,0 și z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METODA: Mod geometric de rezolvare a pătratului ecuații.

În antichitate, când geometria era mai dezvoltată decât algebra, ecuațiile pătratice erau rezolvate nu algebric, ci geometric. Voi da un exemplu care a devenit celebru din „Algebra” lui al-Khwarizmi.

Exemple.

1) Rezolvați ecuația X 2 + 10x = 39.

În original, această problemă este formulată după cum urmează: „Pătratul și zece rădăcini sunt egale cu 39” (Fig. 15).

Soluţie. Luați în considerare un pătrat cu latura x, dreptunghiuri sunt construite pe laturile sale, astfel încât cealaltă parte a fiecăruia dintre ele să fie de 2,5, prin urmare, aria plajei este de 2,5x. Cifra rezultată este apoi completată cu un nou pătrat ABCD, completând patru pătrate egale în colțuri, latura fiecăruia dintre ele este 2,5 și aria este 6,25.

Pătrat S pătrat ABCD poate fi reprezentat ca suma ariilor: pătratul original X 2 , patru dreptunghiuri (4* 2,5x = 10x)și patru pătrate atașate (6,25* 4 = 25) , adică S = X 2 + 10x + 25.Înlocuirea

X 2 + 10x număr 39 , înțelegem asta S = 39 + 25 = 64 , de unde rezultă că latura pătratului ABCD, adică segment de linie AB = 8. Pentru partea dorită X pătratul original pe care îl obținem

2) Dar, de exemplu, cum au rezolvat grecii antici ecuația la 2 + 6y - 16 = 0.

Soluţie prezentată în fig. 16, unde

la 2 + 6y = 16 sau la 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Soluţie. Expresii la 2 + 6 ani + 9și 16 + 9 reprezintă geometric același pătrat și ecuația originală la 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0 este aceeași ecuație. De unde obținem asta y + 3 = ± 5, sau la 1 = 2, y 2 = - 8 (Fig. 16).

3) Rezolvați ecuația geometrică la 2 - 6y - 16 = 0.

Transformând ecuația, obținem

la 2 - 6y = 16.

Pe fig. 17 găsiți „imaginile” expresiei la 2 - 6 ani, acestea. din aria unui pătrat cu latura y scade de două ori aria unui pătrat cu latura egală cu 3 . Deci, dacă expresia la 2 - 6 ani adăuga 9 , apoi obținem aria unui pătrat cu o latură la - 3 . Înlocuirea expresiei la 2 - 6 ani numărul său egal 16,

primim: (y - 3) 2 = 16 + 9, acestea. y - 3 = ± v25, sau y - 3 = ± 5, unde la 1 = 8 și la 2 = - 2.

Concluzie

Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale.

În același timp, valoarea ecuațiilor pătratice constă nu numai în eleganța și concizia rezolvării problemelor, deși acest lucru este foarte semnificativ. Nu mai puțin important este faptul că, ca urmare a utilizării ecuațiilor pătratice în rezolvarea problemelor, de multe ori se descoperă noi detalii, se pot face generalizări interesante și perfecționări, care sunt determinate de o analiză a formulelor și relațiilor obținute.

De asemenea, aș dori să remarc faptul că subiectul prezentat în această lucrare este încă puțin studiat, pur și simplu nu se ocupă de el, prin urmare este plin de multe lucruri ascunse și necunoscute, ceea ce oferă o oportunitate excelentă pentru a lucra în continuare la el. .

Aici m-am hotărât pe problema rezolvării ecuațiilor pătratice și ce,

daca exista si alte modalitati de a le rezolva?! Din nou, găsiți modele frumoase, câteva fapte, clarificări, faceți generalizări, descoperiți totul nou și nou. Dar acestea sunt întrebări pentru lucrări viitoare.

Rezumând, putem concluziona: ecuațiile pătratice joacă un rol imens în dezvoltarea matematicii. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a 8-a) până la absolvire. Aceste cunoștințe ne pot fi utile pe tot parcursul vieții.

Deoarece aceste metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice sunt ușor de utilizat, cu siguranță ar trebui să fie de interes pentru studenții pasionați de matematică. Munca mea face posibil să aruncăm o privire diferită asupra problemelor pe care matematica ni le pune înainte.

Literatură:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. et al., Algebra, 6-8. Manual de probă pentru clasele 6-8. - M., Educaţie, 1981.

2. Bradis V.M. Tabele matematice din patru cifre pentru liceu.Ed. al 57-lea. - M., Educaţie, 1990. S. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Cartea cu probleme de algebră și funcții elementare. Manual pentru instituţiile de învăţământ secundar de specialitate. - M., liceu, 1969.

4. Okunev A.K. Funcții cuadratice, ecuații și inegalități. Un ghid pentru profesor. - M., Educaţie, 1972.

5. Presman A.A. Rezolvarea unei ecuații pătratice cu compas și drepte. - M., Kvant, nr. 4/72. S. 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Culegere de întrebări și sarcini la matematică. Ed. - a 4-a, adaugă. - M., Liceul, 1973.

7. Khudobin A.I. Culegere de probleme de algebră și funcții elementare. Un ghid pentru profesor. Ed. al 2-lea. - M., Educaţie, 1970.

Shapovalova L.A. (stația Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr. 11)

1. Mordkovich A.G. Algebra.8 clasa. Manual pentru instituții de învățământ / A.G. Mordkovici. Nr. 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Nr. 8622 / 0790 - 260 p.

2. Mordkovich A.G. Algebra.8 clasa. Caiet de sarcini pentru instituțiile de învățământ / A.G. Mordkovici. Nr. 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Nr. 8622 / 0790 - 270 p.

3. Glazer G.I. Istoria matematicii in scoala Nr 8622 / 0790 / G.I. Glaser. Nr. 8622 / 0790 - M .: Învăţământ, 1982. Nr. 8622 / 0790 - 340 p.

4. Gusev V.A. Matematica. Materiale de referință / V.A. Gusev, A.G. Mordkovici. Nr. 8622 / 0790 - M .: Prosveshchenie, 1988. Nr. 8622 / 0790 - 372 p.

5. Bradis V.M. Tabele matematice din patru cifre pentru gimnaziu / V.M. Bradis. Nr. 8622 / 0790 - M .: Învăţământ, 1990. Nr. 8622 / 0790 - 83 p.

6. Teorema lui Vieta. Nr 8622 / 0790 - Mod de acces: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Teorema lui Vieta (resurse de acces la distanta (Internet) ). 20.01.2016.

7. Ecuații cuadratice. Nr. 8622 / 0790 - Mod de acces: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (resurse de acces la distanță (Internet)). 20.01.2016.

Teoria ecuațiilor ocupă un loc de frunte în algebră și matematică în general. Semnificația sa constă nu numai în semnificația sa teoretică pentru cunoașterea legilor naturale, ci servește și scopurilor practice. Majoritatea problemelor vieții se rezumă la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații și, de cele mai multe ori, acestea sunt ecuații de formă pătratică.

Programa școlară are în vedere doar 3 moduri de rezolvare a acestora. În pregătirea pentru examenele viitoare, am devenit interesat de alte moduri ale acestor ecuații. Prin urmare, am ales subiectul „10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice”.

Relevanța acestui subiect constă în faptul că la lecțiile de algebră, geometrie, fizică ne întâlnim foarte des cu soluția ecuațiilor pătratice. Prin urmare, fiecare elev ar trebui să fie capabil să rezolve corect și rațional ecuații pătratice, ceea ce este util și în rezolvarea unor probleme mai complexe, inclusiv la promovarea examenelor.

Scopul lucrării: studierea diferitelor modalități de rezolvare a ecuațiilor pătratice, să învețe cum să rezolve ecuațiile pătratice.

Luați în considerare metode standard și nestandard pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice;

Identificați cele mai convenabile modalități de rezolvare a ecuațiilor pătratice;

Învață să rezolvi ecuații pătratice în diferite moduri.

Obiect de studiu: ecuații pătratice.

Obiectul de studiu: modalități de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

Metode de cercetare:

Teoretic: studiul literaturii pe tema de cercetare, studiul resurselor tematice ale Internetului;

Analiza informatiilor primite;

Compararea metodelor de rezolvare a ecuațiilor pătratice pentru comoditate și raționalitate.

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c \u003d 0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt unele numere, în timp ce a? 0. Rădăcina unei astfel de ecuații este valoarea variabilei care transformă trinomul pătrat la zero, adică valoarea care transformă ecuația pătratică într-o identitate. Coeficienții ecuației pătratice au nume proprii: coeficientul a se numește primul sau senior, coeficientul b este numit al doilea sau coeficientul de la x, c este numit membru liber al acestei ecuații.

O ecuație pătratică completă este una ai cărei coeficienți sunt toți nenuli (a, b, c - 0).

Se numește o ecuație pătratică redusă, în care coeficientul principal este egal cu unu. O astfel de ecuație poate fi obținută prin împărțirea întregii expresii la coeficientul principal a: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a.

Ecuațiile patratice incomplete sunt de trei tipuri:

1) ax 2 + c = 0, unde c este 0;

2) ax 2 + bx = 0, unde b - 0;

În cadrul acestei lucrări, vom lua în considerare metode pentru rezolvarea numai a ecuațiilor pătratice complete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin formula generală

Pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice se folosește metoda găsirii rădăcinilor prin discriminant. Pentru a găsi discriminantul se folosește următoarea formulă: D = b 2 - 4ac. După ce găsim D, folosim formula pentru a găsi rădăcinile ecuației

Este de remarcat faptul că dacă:

D > 0 - ecuația are două rădăcini;

D \u003d 0 - ecuația are o rădăcină;

D< 0 - уравнение не имеет корней.

Un exemplu de rezolvare a ecuației în acest mod este prezentat în fig. 1(1.1).

Orez. 1. Partea practică

Factorizarea părții stângi

Pentru a demonstra metoda, rezolvăm ecuația x 2 + 10x - 24 = 0.

Să factorizăm partea stângă:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Prin urmare, ecuația poate fi rescrisă astfel:

(x + 12) (x - 2) = 0

Deoarece produsul este zero, atunci cel puțin unul dintre factorii săi este zero. Prin urmare, partea stângă a ecuației dispare la x = 2 și, de asemenea, la x = -12.

Un exemplu de rezolvare a ecuației în acest mod este prezentat în fig. 1(1.2).

Selectarea pătratului complet este o astfel de transformare de identitate în care trinomul dat este reprezentat ca (a ± b) 2 suma sau diferența pătratului binomului și o expresie numerică sau literală.

Să rezolvăm ecuația x 2 + 14x + 40 = 0.

Să descompunăm polinomul în factori folosind metoda pătratului complet.

Pentru a aplica prima formulă, trebuie să obțineți expresia

x2 + 14x + 49 = 0.

Prin urmare, adunăm și scădem numărul 9 din polinomul x 2 + 14x + 40 pentru a selecta pătratul complet

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Să aplicăm formula „diferența de pătrate” a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3)(x + 7 + 3) = 0

(x + 4)(x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Răspuns: -4; - zece.

Un exemplu de rezolvare a ecuației în acest mod este prezentat în fig. 1(1.3).

Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta

Pentru a rezolva ecuația pătratică completă conform teoremei Vieta, trebuie să împărțiți întreaga ecuație la coeficientul a. Pentru ecuația x 2 + px + q = 0, dacă x1 și x2 sunt rădăcinile sale, formulele sunt valabile:

Un exemplu de rezolvare a ecuației în acest mod este prezentat în fig. 1(1.4).

Rezolvarea ecuațiilor folosind proprietățile coeficienților

Dacă este îndeplinită următoarea condiție: a + c = b, atunci x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Dacă este îndeplinită următoarea condiție:

a + b + c = 0, atunci x1 = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Un exemplu de imposibilitate de rezolvare a ecuației în acest mod este prezentat în fig. 1(1.5).

Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda „transferului”.

Așa-numita metodă „transfer” face posibilă reducerea soluției ecuațiilor nereduse și netransformabile la forma celor reduse cu coeficienți întregi prin împărțirea acestora la coeficientul principal al ecuațiilor la soluția ecuațiilor reduse cu întreg coeficienți. Este astfel: înmulțiți ecuația ax 2 + bx + c = 0 cu a.

Se obține: a 2 x2 + abx + aс = 0. Să introducem o nouă variabilă y = ax. Se obține y 2 +by+ac = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt y1 și y2. Prin urmare, x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Un exemplu de rezolvare a ecuației în acest mod este prezentat în fig. 1(1.6).

Să rezolvăm ecuația x 2 - 4x - 12 = 0.

Să o reprezentăm ca x 2 - 4x = 12.

Pe fig. 2 „înfățișează” expresia x - 4x, adică. aria unui pătrat cu latura x se scade de două ori din aria unui pătrat cu latura 2. Deci x 2 - 4x + 4 este aria unui pătrat cu latura x - 2.

După înlocuirea x 2 - 4x = 12, obținem

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Răspuns: x1 = 6, x1 = - 2.

Un exemplu de rezolvare a ecuației în acest mod este prezentat în fig. 1(1.7).

În ecuația x 2 + px + q = 0, mutăm al doilea și al treilea termen în partea dreaptă a ecuației. Obținem: x 2 \u003d - px - q. Să construim grafice ale funcțiilor

y = x 2 (parabola);

y = - qx - p (linie dreaptă).

Trebuie remarcat faptul că:

Dacă o dreaptă și o parabolă se pot intersecta în două puncte, abscisele punctelor de intersecție sunt rădăcinile unei ecuații pătratice;

Dacă linia atinge parabola (doar un punct comun), atunci ecuația are o rădăcină;

Dacă linia și parabola nu au puncte comune, i.e. o ecuație pătratică nu are rădăcini.

Rezolvarea unei ecuații cu un compas și o linie dreaptă

Să rezolvăm ecuația ax 2 + bx + c = 0:

1) construiți puncte pe planul de coordonate:

A(- b/2a; (a + c)/2a) este centrul cercului și B(0; 1)

2) Desenați un cerc r = AB

3) Abcisele punctelor de intersecție cu axa Ox sunt rădăcinile ecuației inițiale

Trebuie remarcat faptul că:

Dacă raza cercului este mai mare decât ordonata centrului (AB > AC, sau R > (a + c) / 2a), cercul.

Încrucișează axa x în două puncte K(x1; 0) și N(x2; 0), unde x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației pătratice x2 + bx + c = 0.

Dacă raza cercului este egală cu ordonata centrului (AB \u003d AC, sau R \u003d (a + c) / 2a), cercul atinge axa absciselor în punctul C (x; 0), unde x1 este rădăcina ecuației pătratice.

Dacă raza cercului este mai mică decât ordonata centrului (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Un exemplu de rezolvare a ecuației în acest mod este prezentat în fig. 1(1.9).

Acesta este un mod vechi și acum uitat de a rezolva ecuații patratice.

Nomograma oferă valorile rădăcinilor pozitive ale ecuației z 2 + pz + q \u003d 0. Dacă ecuația are rădăcini de semne diferite, atunci, după ce a găsit o rădăcină pozitivă din nomogramă, una negativă este găsit prin scăderea pozitivului din - p.

Orez. 6. Tip de monogramă pentru rezolvarea ecuației z 2 + pz + q = 0

În cazul în care ambele rădăcini sunt negative, ele iau z = - t și găsesc două rădăcini pozitive t1 din nomogramă; t 2 ecuații t 2 + - pt + z = 0 și apoi z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Dacă coeficienții p și q sunt depășiți, efectuați înlocuirea z = kt și rezolvați ecuația folosind nomograma

unde k este luat în aşa fel încât inegalităţile

Forma monogramei pentru rezolvarea ecuației z 2 + pz + q = 0 se găsește în fig. 6.

„Pro” și „contra” diferitelor soluții

Denumirea metodei de rezolvare a ecuațiilor pătratice
Rezolvarea ecuațiilor pătratice prin formulă	Poate fi aplicat tuturor ecuațiilor pătratice.	Trebuie să înveți formulele.
Factorizarea părții stângi a ecuației	Face posibilă vizualizarea imediată a rădăcinilor ecuației.	Este necesar să se calculeze corect termenii de grupare.
Metoda de selecție a pătratului complet	Pentru numărul minim de acțiuni, puteți găsi rădăcinile ecuațiilor	Este necesar să găsiți corect toți termenii pentru a selecta pătratul complet.
Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta	O modalitate destul de ușoară, face posibilă vizualizarea imediată a rădăcinilor ecuației.	doar rădăcini întregi sunt ușor de găsit.
Proprietăţile coeficienţilor unei ecuaţii pătratice	Nu necesită mult efort	Se potrivește doar unor ecuații
Rezolvarea ecuațiilor prin metoda transferului	Pentru numărul minim de acțiuni, puteți găsi rădăcinile ecuației, este folosită împreună cu metoda teoremei lui Vieta.	este ușor să găsești doar rădăcini întregi.
Mod geometric de rezolvare a ecuațiilor pătratice	Mod vizual.	similar cu modul de a selecta un pătrat complet
Rezolvarea grafică a unei ecuații pătratice	mod vizual	Pot exista inexactități în programare
Rezolvarea ecuațiilor pătratice cu compas și drepte	mod vizual	Poate să nu fie exact
Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind o nomogramă	Intuitiv, ușor de utilizat.	Nu întotdeauna la îndemână există o nomogramă.

Concluzie

Pe parcursul acestei lucrări de cercetare am reușit să generalizez și să sistematizez materialul studiat pe tema aleasă, să studiez diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor pătratice, să învăț cum să rezolv ecuațiile pătratice în 10 moduri. Trebuie remarcat faptul că nu toate sunt convenabile pentru rezolvare, dar fiecare dintre ele este interesantă în felul său. Din punctul meu de vedere, metodele studiate la școală vor fi cele mai raționale de utilizare: 1.1. (după formula); 1.4. (conform teoremei Vieta); precum și metoda 1.5. (folosind proprietățile coeficienților).

Rezumând, putem concluziona: ecuațiile pătratice joacă un rol imens în matematică. Aceste cunoștințe ne pot fi utile nu numai la școală și la universitate, ci și pe tot parcursul vieții noastre.

Link bibliografic

Ulevsky S.A. ZECE MODALITĂȚI DE REZOLVAREA ECUAȚILOR CADRATICE // Începeți în știință. - 2016. - Nr. 1. - P. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (data accesului: 30/12/2019).

slide 1

slide 2

Obiectivele cursului: Cunoașterea noilor metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice Aprofundarea cunoștințelor pe tema „Ecuații quadrice” Dezvoltarea abilităților matematice, intelectuale, a abilităților de cercetare Crearea condițiilor pentru autorealizarea individului

slide 3

Obiectivele cursului: Introducerea elevilor în noi modalități de rezolvare a ecuațiilor pătratice Întărirea capacității de a rezolva ecuații folosind metode cunoscute Introducerea teoremelor care permit rezolvarea ecuațiilor în moduri nestandardizate Continuarea formării deprinderilor educaționale generale, cultura matematică Promovarea formării de interes pentru activitățile de cercetare Crearea condițiilor pentru ca elevii să realizeze și să dezvolte interesul pentru disciplina matematică Pregătirea elevilor pentru alegerea corectă a direcției de profil

slide 4

Conținutul programului Tema 1. Introducere. 1 oră. Definiția unei ecuații pătratice. Mp complet și incomplet. ecuații. Metode de rezolvare a acestora. Întrebarea. Subiectul 2. Rezolvarea mp. ecuații. Metoda de factorizare Metoda de selecție a pătratului complet Soluția mp. ecuații prin formule Pătrat soluție. ecuații prin metoda de transfer Soluție mp. ecuații folosind t. Vieta Soluție sq. ecuații folosind coeficientul Soluție sq. ecuații în mod grafic Soluție mp. ecuații folosind un compas și o riglă Soluție mp. ecuații într-un mod geometric Soluție mp. ecuații folosind „nomograme”

slide 5

Un pic de istorie... Ecuațiile cuadratice sunt temelia pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Ecuații cuadratice în Babilonul antic. Ecuații cuadratice în India. Ecuații cuadratice în al-Khorezmi. Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII.

slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

slide 10

Celebrul om de știință francez Francois Viet (1540-1603) a fost avocat de profesie. Și-a dedicat timpul liber astronomiei. Orele de astronomie au necesitat cunoștințe de trigonometrie și algebră. Viet a preluat aceste științe și în curând a ajuns la concluzia că este necesar să le îmbunătățească, la care a lucrat câțiva ani. Datorită muncii sale, algebra devine știința generală a ecuațiilor algebrice bazate pe calcul literal. Prin urmare, a devenit posibilă exprimarea proprietăților ecuațiilor și rădăcinilor lor prin formule generale.

slide 11

La efectuarea lucrării s-au remarcat următoarele: Metodele pe care le voi folosi: Teorema lui Vieta Proprietățile coeficienților Metoda „transferului” Factorizarea părții stângi în factori Metoda grafică Metodele sunt interesante, dar necesită mult timp și nu sunt întotdeauna convenabile. Metoda grafică Cu ajutorul unei nomograme Rigle și busole Selectarea unui pătrat complet Mă înclin în fața oamenilor de știință care au descoperit aceste metode și au dat științei un impuls pentru dezvoltare în tema „Rezolvarea ecuațiilor pătratice”

slide 12

Factorizarea părții stângi a ecuației Să rezolvăm ecuația x2 + 10x - 24=0. Factorizarea părții stângi: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 sau x - 2=0 x= -12 x= 2 Răspuns: x1= -12, x2 = 2. Rezolvați ecuațiile: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

slide 13

Metoda de selecție a pătratului complet Rezolvați ecuația x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 sau x-3=-4 x=1 x=-7 Răspuns: x1=1, x2=-7. Rezolvați ecuații: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

slide 14

Rezolvarea ecuațiilor pătratice după formula Formule de bază: Dacă b este impar, atunci D= b2-4ac și x 1.2=, (dacă D> 0) Dacă b este par, atunci D1= și x1.2=, (dacă D> 0) >0) Rezolvați ecuațiile: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

slide 15

Rezolvarea ecuațiilor prin metoda transferului Să rezolvăm ecuația ax2 +bx+c=0. Înmulțind ambele părți ale ecuației cu a, obținem a2 x2 +abx+ac=0. Fie ax = y, de unde x = y/a. Atunci U2 +buy+ac=0. Rădăcinile sale sunt y1 și y2. În cele din urmă x1 = y1/a, x1 = y2/a. Să rezolvăm ecuația 2x2 -11x + 15=0. Să transferăm coeficientul 2 la termenul liber: Y2 -11y+30=0. Conform teoremei Vieta, y1 =5 și y2 =6. x1 = 5/2 și x2 = 6/2 x1 = 2,5 și x2 = 3 Răspuns: x1 = 2,5, x2 = 3 Rezolvați ecuația: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

slide 16

Rezolvarea ecuațiilor folosind teorema lui Vieta Să rezolvăm ecuația x2 +10x-24=0. Deoarece x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, apoi 24 \u003d 2 * 12, dar -10 \u003d -12 + 2, apoi x1 \u003d -12 x2 \u003d 2 Răspuns: x1 \u003d 2 , x2 \u003d -12. Rezolvați ecuații: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

diapozitivul 17

Proprietățile coeficienților unei ecuații pătratice Dacă a+b+c=0, atunci x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Să rezolvăm ecuația 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, deci x1 =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, deci x1= - 1, x2 = -1/2 Răspuns: x1=1, x2 = -7. Răspuns: x1=-1, x2=-1/2. Rezolvați ecuații: 5x2 - 7x +2 =0 Rezolvați ecuații: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2 +=0 3x2 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

Școala secundară rurală Kopyevskaya

10 moduri de a rezolva ecuații cuadratice

Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematică

s.Kopievo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

1.2 Cum a compilat și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice în al-Khwarizmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Aplicând notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme există, pe lângă cele incomplete, precum, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

În ciuda nivelului ridicat de dezvoltare al algebrei în Babilon, textelor cuneiforme le lipsește conceptul de număr negativ și metode generale de rezolvare a ecuațiilor pătratice.

1.2 Cum a compilat și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

La compilarea ecuațiilor, Diophantus alege cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Sarcina 11.„Găsiți două numere știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”

De aici rezultă ecuația:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2. Unul dintre numerele dorite este 12 , alte 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele dorite ca necunoscut, atunci vom ajunge la soluția ecuației

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 Ecuații cuadratice în India

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția A, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta coincide în esență cu a noastră.

Iată una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskara.

Sarcina 13.

„O turmă plină de maimuțe și douăsprezece în viță de vie...

După ce am mâncat putere, m-am distrat. Au început să sară, atârnând...

Partea a opta dintre ei într-un pătrat Câte maimuțe erau acolo,

Să te distrezi pe pajiște. Îmi spui, în turma asta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa despre două valori ale rădăcinilor ecuațiilor pătratice (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x = -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la un pătrat, el adaugă la ambele părți 32 2 , obtinand atunci:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ecuații cuadratice în al-Khorezmi

Tratatul de algebric al lui Al-Khorezmi oferă o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul enumeră 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c =bX.

2) „Pătratele sunt egale cu numărul”, adică ax 2 = s.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică. ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică. ax 2 + c =bX.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, i.e. ah 2+bx= s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adicăbx+ c \u003d ax 2.

Sarcina 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (presupunând rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Tratatul al - Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, în care se enunță sistematic clasificarea ecuațiilor pătratice și se dau formule pentru rezolvarea lor.

1.5 Ecuații cuadratice în EuropaXIII - XVIIsecole

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

x 2+bx= cu,

pentru toate combinațiile posibile de semne ale coeficienților b, Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

1.6 Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, purtând numele de Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + Dînmulțit cu A - A 2 , egal BD, apoi A egală LA si egali D».

(a +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Exprimând relația dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor prin formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viet a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul Vietei este încă departe de forma sa modernă. El nu a recunoscut numerele negative și, prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile sunt pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice