ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនិងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។
មូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Affine

មានរទេះមួយដែលមានសូកូឡានៅក្នុងសាលប្រជុំហើយអ្នកទស្សនាគ្រប់រូបនៅថ្ងៃនេះនឹងទទួលបានគូស្វាមីភរិយាដ៏ផ្អែមល្ហែម - ធរណីមាត្រវិភាគជាមួយពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ អត្ថបទនេះនឹងគ្របដណ្តប់ពីរផ្នែកក្នុងពេលតែមួយ។ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងហើយយើងនឹងឃើញពីរបៀបដែលពួកគេរួបរួមគ្នាក្នុងកញ្ចប់តែមួយ។ សម្រាក ញ៉ាំ Twix មួយ! ... យ៉ាប់! ទោះបីជាមិនអីទេ ខ្ញុំនឹងមិនបានពិន្ទុ ប៉ុន្តែនៅទីបញ្ចប់ អ្នកគួរតែមានអាកប្បកិរិយាវិជ្ជមានចំពោះការសិក្សា។

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ, ឯករាជ្យវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ, មូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រនិងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតមិនត្រឹមតែមានទេ។ ការបកស្រាយធរណីមាត្រប៉ុន្តែ សំខាន់ជាងនេះទៅទៀត អត្ថន័យពិជគណិត។ គោលគំនិតនៃ "វ៉ិចទ័រ" តាមទស្សនៈនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ មិនមែនតែងតែជាវ៉ិចទ័រ "ធម្មតា" ដែលយើងអាចពណ៌នានៅលើយន្តហោះ ឬក្នុងលំហនោះទេ។ អ្នកមិនចាំបាច់រកមើលភស្តុតាងឆ្ងាយទេ សាកល្បងគូរវ៉ិចទ័រនៃលំហប្រាំវិមាត្រ . ឬវ៉ិចទ័រអាកាសធាតុ ដែលខ្ញុំទើបតែទៅ Gismeteo សម្រាប់៖ – សីតុណ្ហភាព និង សម្ពាធបរិយាកាសរៀងៗខ្លួន។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់​ឧទាហរណ៍​គឺ​មិន​ត្រឹម​ត្រូវ​តាម​ទស្សនៈ​នៃ​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​ទំហំ​វ៉ិចទ័រ​ ប៉ុន្តែ​ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ​ គ្មាន​នរណា​ម្នាក់​ហាម​ឃាត់​ការ​កំណត់​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ទាំង​នេះ​ជា​វ៉ិចទ័រ​ទេ។ ដង្ហើមរដូវស្លឹកឈើជ្រុះ ...

ទេ ខ្ញុំនឹងមិនធុញអ្នកជាមួយនឹងទ្រឹស្តី ចន្លោះវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរទេ ភារកិច្ចគឺដើម្បី យល់និយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទ។ ពាក្យថ្មី (ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ ឯករាជ្យ ការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរ មូលដ្ឋាន។ល។) អនុវត្តចំពោះវ៉ិចទ័រទាំងអស់តាមទស្សនៈពិជគណិត ប៉ុន្តែឧទាហរណ៍ធរណីមាត្រនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ អាចចូលដំណើរការបាន និងច្បាស់លាស់។ បន្ថែមពីលើបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ យើងក៏នឹងពិចារណាអំពីបញ្ហាពិជគណិតធម្មតាមួយចំនួនផងដែរ។ ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើសម្ភារៈ គួរតែស្វែងយល់ពីមេរៀនដោយខ្លួនឯង។ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះនិង តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់?

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រយន្តហោះ។
មូលដ្ឋាននៃយន្តហោះ និងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ

ចូរយើងពិចារណាលើយន្តហោះនៃតុកុំព្យូទ័ររបស់អ្នក (គ្រាន់តែជាតុ តុក្បែរគ្រែ ជាន់ ពិដាន អ្វីក៏ដោយដែលអ្នកចូលចិត្ត)។ ភារកិច្ចនឹងមានសកម្មភាពដូចខាងក្រោមៈ

1) ជ្រើសរើសមូលដ្ឋានយន្តហោះ. និយាយដោយប្រយោល កុំព្យូទ័របន្ទះមួយមានប្រវែង និងទទឹង ដូច្នេះវាមានលក្ខណៈវិចារណញាណដែលវ៉ិចទ័រពីរនឹងត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្កើតមូលដ្ឋាន។ វ៉ិចទ័រមួយច្បាស់មិនគ្រប់គ្រាន់ទេ វ៉ិចទ័របីគឺច្រើនពេក។

2) ផ្អែកលើមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើស កំណត់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ(សម្របសម្រួលក្រឡាចត្រង្គ) ដើម្បីផ្តល់កូអរដោនេទៅវត្ថុទាំងអស់នៅលើតុ។

កុំភ្ញាក់ផ្អើលឡើយ ដំបូងការពន្យល់នឹងមាននៅលើម្រាមដៃ។ លើសពីនេះទៀតនៅលើរបស់អ្នក។ សូមដាក់ ម្រាមដៃសន្ទស្សន៍ខាងឆ្វេងនៅលើគែមនៃកុំព្យូទ័របន្ទះ ដូច្នេះគាត់មើលម៉ូនីទ័រ។ នេះនឹងជាវ៉ិចទ័រ។ ឥឡូវនេះកន្លែង ម្រាមដៃតូច ដៃស្តាំ នៅលើគែមនៃតុតាមរបៀបដូចគ្នា - ដូច្នេះវាត្រូវបានតម្រង់ទៅអេក្រង់ម៉ូនីទ័រ។ នេះនឹងជាវ៉ិចទ័រ។ ញញឹម អ្នកមើលទៅអស្ចារ្យណាស់! តើយើងអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីវ៉ិចទ័រ? វ៉ិចទ័រទិន្នន័យ collinear, ដែលមានន័យថា លីនេអ៊ែរបានបង្ហាញតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក៖
ល្អ ឬផ្ទុយមកវិញ៖ តើលេខខ្លះខុសពីសូន្យ។

អ្នកអាចឃើញរូបភាពនៃសកម្មភាពនេះនៅក្នុងថ្នាក់។ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះដែលជាកន្លែងដែលខ្ញុំបានពន្យល់ពីច្បាប់សម្រាប់គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយ។

តើម្រាមដៃរបស់អ្នកនឹងដាក់មូលដ្ឋានលើយន្តហោះនៃតុកុំព្យូទ័រទេ? ជាក់ស្តែងមិនមែនទេ។ វ៉ិចទ័រ Collinear ធ្វើដំណើរទៅមក ឆ្លងកាត់ តែម្នាក់ឯងទិសដៅ ហើយយន្តហោះមានប្រវែង និងទទឹង។

វ៉ិចទ័របែបនេះត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ.

ឯកសារយោង៖ ពាក្យ "លីនេអ៊ែរ", "លីនេអ៊ែរ" បង្ហាញពីការពិតដែលថានៅក្នុងសមីការគណិតវិទ្យា និងកន្សោមមិនមានការេ គូប អំណាចផ្សេងទៀត លោការីត ស៊ីនុស ជាដើម។ មានតែកន្សោមលីនេអ៊ែរ (ដឺក្រេទី 1) និងភាពអាស្រ័យ។

វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ និង លុះត្រាតែពួកវាជាប់គ្នា។.

កាត់ម្រាមដៃរបស់អ្នកនៅលើតុដើម្បីឱ្យមានមុំណាមួយរវាងពួកវាក្រៅពី 0 ឬ 180 ដឺក្រេ។ វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរលីនេអ៊ែរ ទេ។អាស្រ័យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពួកវាមិនជាប់គ្នា។. ដូច្នេះមូលដ្ឋានត្រូវបានទទួល។ វាមិនចាំបាច់ខ្មាស់អៀនទេដែលមូលដ្ឋានប្រែទៅជា "ខ្វាក់" ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រមិនកាត់កែងដែលមានប្រវែងខុសៗគ្នា។ មិនយូរប៉ុន្មានយើងនឹងឃើញថាមិនត្រឹមតែមុំ 90 ដឺក្រេទេដែលសមរម្យសម្រាប់ការសាងសង់របស់វាហើយមិនត្រឹមតែវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានប្រវែងស្មើគ្នាប៉ុណ្ណោះទេ

ណាមួយ។វ៉ិចទ័រយន្តហោះ ផ្លូវ​តែមួយគត់ត្រូវបានពង្រីកដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋាន៖
តើលេខពិតនៅឯណា។ លេខត្រូវបានហៅ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

វាត្រូវបានគេនិយាយផងដែរ។ វ៉ិចទ័របានបង្ហាញជា ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន. នោះគឺការបញ្ចេញមតិត្រូវបានគេហៅថា ការបំបែកវ៉ិចទ័រដោយមូលដ្ឋានឬ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។

ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចនិយាយបានថាវ៉ិចទ័រត្រូវបាន decomposed តាមមូលដ្ឋាន orthonormal នៃយន្តហោះ ឬយើងអាចនិយាយបានថាវាត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រ។

ចូរយើងបង្កើត និយមន័យនៃមូលដ្ឋានជាផ្លូវការ៖ មូលដ្ឋាននៃយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថាជាគូនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (មិនជាប់ជួរ) , ម្ល៉ោះ ណាមួយ។វ៉ិចទ័រយន្តហោះគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។

ចំណុចសំខាន់មួយនៃនិយមន័យគឺការពិតដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេយក នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។. មូលដ្ឋាន - ទាំងនេះគឺជាមូលដ្ឋានខុសគ្នាទាំងស្រុង! ដូចដែលពួកគេនិយាយ អ្នកមិនអាចជំនួសម្រាមដៃតូចនៃដៃឆ្វេងរបស់អ្នកជំនួសម្រាមដៃតូចនៃដៃស្តាំរបស់អ្នកបានទេ។

យើង​បាន​រក​ឃើញ​មូលដ្ឋាន ប៉ុន្តែ​វា​មិន​គ្រប់​គ្រាន់​ក្នុង​ការ​កំណត់​ក្រឡា​ចត្រង្គ​កូអរដោណេ និង​កំណត់​កូអរដោនេ​ទៅ​ធាតុ​នីមួយៗ​នៅ​លើ​តុកុំព្យូទ័រ​របស់​អ្នក​ទេ។ ហេតុអ្វីបានជាវាមិនគ្រប់គ្រាន់? វ៉ិចទ័រ​មាន​សេរីភាព ហើយ​ដើរ​ពេញ​យន្តហោះ​ទាំងមូល។ ដូច្នេះតើអ្នកកំណត់កូអរដោនេទៅកន្លែងកខ្វក់តូចៗនៅលើតុដែលនៅសេសសល់ពីចុងសប្តាហ៍ដោយរបៀបណា? ត្រូវការចំណុចចាប់ផ្តើម។ ហើយទីតាំងសម្គាល់បែបនេះគឺជាចំណុចដែលស្គាល់គ្រប់គ្នា - ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។ ចូរយើងយល់ពីប្រព័ន្ធកូអរដោនេ៖

ខ្ញុំនឹងចាប់ផ្តើមជាមួយប្រព័ន្ធ "សាលា" ។ រួចហើយនៅក្នុងមេរៀនណែនាំ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះខ្ញុំបានគូសបញ្ជាក់ពីភាពខុសគ្នាមួយចំនួនរវាងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ និងមូលដ្ឋានអ័រថូនិក។ នេះជារូបភាពស្តង់ដារ៖

នៅពេលដែលពួកគេនិយាយអំពី ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណបន្ទាប់មក ភាគច្រើនពួកគេមានន័យថាប្រភពដើម អ័ក្សសំរបសំរួល និងមាត្រដ្ឋានតាមអ័ក្ស។ សាកល្បងវាយ “ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ” ទៅក្នុងម៉ាស៊ីនស្វែងរក ហើយអ្នកនឹងឃើញថាប្រភពជាច្រើននឹងប្រាប់អ្នកអំពីអ័ក្សកូអរដោនេដែលធ្លាប់ស្គាល់ពីថ្នាក់ទី 5 ដល់ទី 6 និងរបៀបគូសចំណុចនៅលើយន្តហោះ។

ម៉្យាងវិញទៀត វាហាក់បីដូចជាប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណអាចកំណត់បានទាំងស្រុងក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានអ័រថូនិក។ ហើយវាស្ទើរតែជាការពិត។ ពាក្យមានដូចខាងក្រោម៖

ប្រភពដើម, និង ធម្មតាមូលដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលយន្តហោះចតុកោណ Cartesian . នោះគឺប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ប្រាកដត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ចំណុច​មួយ​និង​ពីរ​ឯកតា​វ៉ិចទ័រ orthogonal ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលអ្នកឃើញគំនូរដែលខ្ញុំបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ - នៅក្នុង បញ្ហាធរណីមាត្រជាញឹកញាប់ (ប៉ុន្តែមិនតែងតែ) ទាំងវ៉ិចទ័រ និងអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានគូរ។

ខ្ញុំ​គិត​ថា​អ្នក​រាល់​គ្នា​យល់​ថា​ការ​ប្រើ​ចំណុច​មួយ (ដើម​) និង​មូលដ្ឋាន​អ័រថូនិក ចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះ និងវ៉ិចទ័រណាមួយនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេអាចត្រូវបានចាត់តាំង។ និយាយក្នុងន័យធៀប "អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅលើយន្តហោះអាចរាប់បាន"។

តើ​វ៉ិចទ័រ​កូអរដោណេ​តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​ឯកតា​ឬ? ទេ ពួកវាអាចមានប្រវែងមិនស្មើសូន្យ។ ពិចារណាចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័ររាងពងក្រពើពីរនៃប្រវែងមិនស្មើសូន្យ៖

មូលដ្ឋានបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា រាងមូល. ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេជាមួយវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយក្រឡាចត្រង្គកូអរដោនេ ហើយចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះ វ៉ិចទ័រណាមួយមានកូអរដោនេរបស់វានៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍ ឬ។ ភាពរអាក់រអួលជាក់ស្តែងគឺថាវ៉ិចទ័រកូអរដោនេ ជាទូទៅមានប្រវែងខុសគ្នាក្រៅពីការរួបរួម។ ប្រសិនបើប្រវែងស្មើនឹងការរួបរួម នោះមូលដ្ឋានអ័រថុនធម្មតាត្រូវបានទទួល។

! ចំណាំ ៖ នៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthogonal ក៏ដូចជាខាងក្រោមនៅក្នុងមូលដ្ឋាន affine នៃយន្តហោះ និងលំហ ឯកតានៅតាមបណ្តោយអ័ក្សត្រូវបានពិចារណា លក្ខខណ្ឌ. ឧទាហរណ៍ ឯកតាមួយនៅតាមបណ្តោយអ័ក្ស x មាន 4 សង់ទីម៉ែត្រ ឯកតាមួយនៅតាមបណ្តោយអ័ក្សតម្រៀបមាន 2 សង់ទីម៉ែត្រ។ ព័ត៌មាននេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបំប្លែងកូអរដោនេ "មិនស្តង់ដារ" ទៅជា "សង់ទីម៉ែត្រធម្មតារបស់យើង" ប្រសិនបើចាំបាច់។

ហើយ​សំណួរ​ទី​ពីរ​ដែល​ពិត​ជា​បាន​ឆ្លើយ​រួច​ហើយ​គឺ​ថា​តើ​មុំ​រវាង​វ៉ិចទ័រ​មូលដ្ឋាន​ត្រូវ​តែ​ស្មើ​នឹង ៩០ ដឺក្រេ​ឬ​ទេ? ទេ! ដូចដែលនិយមន័យបានបញ្ជាក់ វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានត្រូវតែជា មានតែ non-collinear. ដូច្នោះហើយមុំអាចជាអ្វីទាំងអស់លើកលែងតែ 0 និង 180 ដឺក្រេ។

ចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះបានហៅ ប្រភពដើម, និង non-collinearវ៉ិចទ័រ , កំណត់ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលយន្តហោះ affine :

ជួនកាលប្រព័ន្ធកូអរដោនេបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា obliqueប្រព័ន្ធ។ ជាឧទាហរណ៍ គំនូរបង្ហាញចំណុច និងវ៉ិចទ័រ៖

ដូចដែលអ្នកយល់ ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ affine គឺកាន់តែងាយស្រួល រូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ និងផ្នែកដែលយើងបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃមេរៀន មិនដំណើរការនៅក្នុងវាទេ។ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះ, រូបមន្តឆ្ងាញ់ជាច្រើនដែលទាក់ទងនឹង ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ. ប៉ុន្តែច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ រូបមន្តសម្រាប់បែងចែកផ្នែកក្នុងទំនាក់ទំនងនេះ ក៏ដូចជាប្រភេទបញ្ហាមួយចំនួនទៀតដែលយើងនឹងពិចារណាក្នុងពេលឆាប់ៗនេះគឺត្រឹមត្រូវ។

ហើយការសន្និដ្ឋានគឺថាករណីពិសេសដែលងាយស្រួលបំផុតនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ affine គឺប្រព័ន្ធចតុកោណ Cartesian ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលអ្នកតែងតែឃើញនាង ជាទីស្រឡាញ់របស់ខ្ញុំ។ ...ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងជីវិតនេះគឺទាក់ទងគ្នា - មានស្ថានភាពជាច្រើនដែលមុំ oblique (ឬមួយផ្សេងទៀតឧទាហរណ៍។ ប៉ូល) ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល។ ហើយមនុស្សអាចចូលចិត្តប្រព័ន្ធបែបនេះ =)

ចូរបន្តទៅផ្នែកជាក់ស្តែង។ បញ្ហាទាំងអស់នៅក្នុងមេរៀននេះមានសុពលភាពទាំងសម្រាប់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ និងសម្រាប់ករណីទូទៅ។ មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅទីនេះទេ សម្ភារៈទាំងអស់អាចចូលបានសូម្បីតែសិស្សសាលាក៏ដោយ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រយន្តហោះ?

រឿងធម្មតា។ ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរ មានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេមានសមាមាត្រជាការសំខាន់ នេះគឺជាការសម្របសម្រួលដោយសំរបសំរួលលម្អិតនៃទំនាក់ទំនងជាក់ស្តែង។

ឧទាហរណ៍ ១

ក) ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា។ .
ខ) តើវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានទេ? ?

ដំណោះស្រាយ៖
ក) អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកមើលថាតើមានសម្រាប់វ៉ិចទ័រ មេគុណសមាមាត្រ ដែលសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត៖

ខ្ញុំពិតជានឹងប្រាប់អ្នកអំពីកំណែ "foppish" នៃការអនុវត្តច្បាប់នេះ ដែលដំណើរការល្អក្នុងការអនុវត្ត។ គំនិតគឺបង្កើតសមាមាត្រភ្លាមៗ ហើយមើលថាតើវាត្រឹមត្រូវដែរឬទេ៖

ចូរបង្កើតសមាមាត្រពីសមាមាត្រនៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ៖

តោះខ្លី៖
ដូច្នេះ កូអរដោនេដែលត្រូវគ្នាគឺសមាមាត្រ ដូច្នេះ

ទំនាក់ទំនងអាចត្រូវបានបង្កើតតាមរបៀបផ្សេងទៀត នេះគឺជាជម្រើសសមមូល៖

សម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង អ្នកអាចប្រើការពិតដែលវ៉ិចទ័រ collinear ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីនេះសមភាពកើតឡើង . សុពលភាពរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួលតាមរយៈប្រតិបត្តិការបឋមជាមួយវ៉ិចទ័រ៖

ខ) វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរបង្កើតជាមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើវាមិនជាប់គ្នា (ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ)។ យើងពិនិត្យវ៉ិចទ័រសម្រាប់ភាពជាប់គ្នា។ . តោះបង្កើតប្រព័ន្ធ៖

ពីសមីការទីមួយ វាធ្វើតាមនោះ ពីសមីការទីពីរ វាធ្វើតាមនោះ ដែលមានន័យថា ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។(គ្មានដំណោះស្រាយ)។ ដូច្នេះ​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​មិន​សមាមាត្រ​ទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាន។

កំណែសាមញ្ញនៃដំណោះស្រាយមើលទៅដូចនេះ៖

ចូរបង្កើតសមាមាត្រពីកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រ :
ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាន។

ជា​ធម្មតា​ជម្រើស​នេះ​មិន​ត្រូវ​បាន​បដិសេធ​ដោយ​អ្នក​ពិនិត្យ​ទេ ប៉ុន្តែ​បញ្ហា​កើត​ឡើង​ក្នុង​ករណី​ដែល​កូអរដោនេ​ខ្លះ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ។ ដូចនេះ៖ . ឬដូចនេះ៖ . ឬដូចនេះ៖ . តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីធ្វើការតាមរយៈសមាមាត្រនៅទីនេះ? (ជាការពិត អ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ)។ វាគឺសម្រាប់ហេតុផលនេះដែលខ្ញុំបានហៅដំណោះស្រាយសាមញ្ញថា "foppish" ។

ចម្លើយ៖ a) b) ទម្រង់។

ឧទាហរណ៍ច្នៃប្រឌិតតិចតួចសម្រាប់ ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ:

ឧទាហរណ៍ ២

តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រគឺវ៉ិចទ័រ តើ​ពួក​គេ​នឹង​ត្រូវ​គ្នា​?

នៅក្នុងដំណោះស្រាយគំរូប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈសមាមាត្រ។

មានវិធីពិជគណិតដ៏ប្រណិតមួយដើម្បីពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រសម្រាប់ភាពជាប់គ្នា។ ចូរយើងរៀបចំចំណេះដឹងរបស់យើងជាប្រព័ន្ធ ហើយបន្ថែមវាជាចំណុចទីប្រាំ៖

សម្រាប់វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺសមមូល:

2) វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន;
3) វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា;

+ 5) កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺមិនសូន្យ.

រៀងៗខ្លួន សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយខាងក្រោមគឺសមមូល:
1) វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ;
2) វ៉ិចទ័រមិនបង្កើតជាមូលដ្ឋាន;
3) វ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា;
4) វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក;
+ 5) កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ.

ខ្ញុំ​ពិត​ជា​សង្ឃឹម​ថា​មក​ដល់​ពេល​នេះ​អ្នក​បាន​យល់​ហើយ​នូវ​លក្ខខណ្ឌ និង​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍​ទាំងអស់​ដែល​អ្នក​បាន​ជួប​ប្រទះ។

តោះ​មើល​ចំណុច​ទី ៥ ថ្មី​ឲ្យ​កាន់តែ​ច្បាស់៖ វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរ គឺ collinear ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងសូន្យ:. ដើម្បីអនុវត្តមុខងារនេះ ជាការពិត អ្នកត្រូវមានលទ្ធភាព ស្វែងរកកត្តាកំណត់.

តោះសម្រេចចិត្តឧទាហរណ៍ទី 1 នៅក្នុងវិធីទីពីរ:

ក) ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រ :
ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺជាប់គ្នា។

ខ) វ៉ិចទ័រយន្តហោះពីរបង្កើតជាមូលដ្ឋាន ប្រសិនបើវាមិនជាប់គ្នា (ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ)។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ :
ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាន។

ចម្លើយ៖ a) b) ទម្រង់។

វាមើលទៅកាន់តែបង្រួម និងស្អាតជាងដំណោះស្រាយដែលមានសមាមាត្រ។

ដោយមានជំនួយពីសម្ភារៈដែលបានពិចារណាវាអាចធ្វើទៅបានមិនត្រឹមតែបង្កើតភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងដើម្បីបញ្ជាក់ពីភាពស្របគ្នានៃផ្នែកនិងបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។ ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាមួយចំនួនជាមួយនឹងរាងធរណីមាត្រជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ ៣

ចំនុចកំពូលនៃបួនជ្រុងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បញ្ជាក់​ថា​បួនជ្រុង​គឺ​ជា​ប្រលេឡូក្រាម។

ភស្តុតាង៖ មិនចាំបាច់បង្កើតគំនូរក្នុងបញ្ហានោះទេ ព្រោះដំណោះស្រាយនឹងជាការវិភាគសុទ្ធសាធ។ ចូរយើងចងចាំនិយមន័យនៃប្រលេឡូក្រាម៖
ប៉ារ៉ាឡែល ចតុកោណ​ដែល​ភាគី​ទល់​មុខ​ស្រប​គ្នា​ជា​គូ​ត្រូវ​បាន​ហៅ។

ដូច្នេះវាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់៖
1) ភាពស្របគ្នានៃភាគីផ្ទុយនិង;
2) ភាពស្របគ្នានៃភាគីផ្ទុយនិង។

យើង​បញ្ជាក់៖

១) ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ៖

២) ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ៖

លទ្ធផលគឺវ៉ិចទ័រដូចគ្នា ("យោងទៅតាមសាលារៀន" - វ៉ិចទ័រស្មើគ្នា) ។ Collinearity គឺច្បាស់ណាស់ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការរៀបចំការសម្រេចចិត្តឱ្យបានច្បាស់លាស់ ដោយមានការរៀបចំ។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ៖
ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺជាប់គ្នា និង .

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ជ្រុងម្ខាងនៃចតុកោណគឺស្របគ្នាជាគូ ដែលមានន័យថាវាជាប្រលេឡូក្រាមតាមនិយមន័យ។ Q.E.D.

តួលេខ​ល្អ និង​ខុស​គ្នា​ច្រើន​ទៀត៖

ឧទាហរណ៍ 4

ចំនុចកំពូលនៃបួនជ្រុងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បញ្ជាក់​ថា​ចតុកោណ​ជា​ចតុកោណ។

សម្រាប់ការបង្កើតភ័ស្តុតាងយ៉ាងម៉ត់ចត់ជាងនេះ វាជាការប្រសើរជាងមុន ដើម្បីទទួលបាននិយមន័យនៃ trapezoid ប៉ុន្តែវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីចងចាំយ៉ាងសាមញ្ញថាវាមើលទៅដូចអ្វី។

នេះ​ជា​កិច្ចការ​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ហើយ​ឥឡូវ​ដល់​ពេល​ផ្លាស់ទី​យឺតៗ​ពី​យន្តហោះ​ទៅ​ក្នុង​លំហ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រអវកាស?

ក្បួនគឺស្រដៀងគ្នាខ្លាំងណាស់។ ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រលំហរទាំងពីរមានលក្ខណៈជាប់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់វាសមាមាត្រ.

ឧទាហរណ៍ 5

រកមើលថាតើវ៉ិចទ័រលំហខាងក្រោមមានជាប់គ្នាឬអត់៖

ក) ;
ខ)
វី)

ដំណោះស្រាយ៖
ក) សូមពិនិត្យមើលថាតើមានមេគុណសមាមាត្រសម្រាប់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នាឬអត់៖

ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា។

"សាមញ្ញ" ត្រូវបានធ្វើជាផ្លូវការដោយពិនិត្យមើលសមាមាត្រ។ ក្នុងករណី​នេះ:
- កូអរដោនេដែលត្រូវគ្នាមិនសមាមាត្រ ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា។

ចម្លើយ៖វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ។

b-c) ទាំងនេះគឺជាចំណុចសម្រាប់ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ។ សាកល្បងវាតាមពីរវិធី។

មានវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រលំហសម្រាប់ភាពជាប់គ្នាតាមរយៈកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានគ្របដណ្តប់នៅក្នុងអត្ថបទ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ.

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីយន្តហោះ ឧបករណ៍ដែលបានពិចារណាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាពីភាពស្របគ្នានៃផ្នែកលំហ និងបន្ទាត់ត្រង់។

សូមស្វាគមន៍មកកាន់ផ្នែកទីពីរ៖

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលំហបីវិមាត្រ។
មូលដ្ឋានលំហ និងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affine

គំរូជាច្រើនដែលយើងពិនិត្យលើយន្តហោះនឹងមានសុពលភាពសម្រាប់លំហ។ ខ្ញុំបានព្យាយាមកាត់បន្ថយកំណត់ចំណាំទ្រឹស្តី ចាប់តាំងពីចំណែករបស់សត្វតោនៃព័ត៌មានត្រូវបានទំពាររួចហើយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានផ្នែកណែនាំដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ព្រោះពាក្យ និងគោលគំនិតថ្មីៗនឹងលេចឡើង។

ឥឡូវនេះជំនួសឱ្យយន្តហោះនៃតុកុំព្យូទ័រយើងរុករកអវកាសបីវិមាត្រ។ ដំបូងយើងបង្កើតមូលដ្ឋានរបស់វា។ ឥឡូវនេះ មាននរណាម្នាក់នៅក្នុងផ្ទះ នរណាម្នាក់នៅខាងក្រៅ ប៉ុន្តែក្នុងករណីណាក៏ដោយ យើងមិនអាចគេចផុតពីវិមាត្របីគឺ ទទឹង ប្រវែង និងកម្ពស់។ ដូច្នេះដើម្បីបង្កើតមូលដ្ឋានវានឹងត្រូវការបី វ៉ិចទ័រលំហ. វ៉ិចទ័រមួយឬពីរមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ទីបួនគឺនាំអោយ។

ហើយម្តងទៀតយើងឡើងកំដៅនៅលើម្រាមដៃរបស់យើង។ សូមលើកដៃឡើង ហើយលាតវាចេញ ភាគីផ្សេងគ្នា មេដៃ លិបិក្រម និងម្រាមដៃកណ្តាល. ទាំងនេះនឹងជាវ៉ិចទ័រ ពួកគេមើលទៅក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា មានប្រវែងខុសៗគ្នា និងមានមុំខុសៗគ្នារវាងខ្លួនពួកគេ។ សូមអបអរសាទរ មូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រគឺរួចរាល់ហើយ! និយាយអីញ្ចឹង មិនចាំបាច់ធ្វើបទបង្ហាញនេះដល់គ្រូទេ ទោះអ្នកបង្វិលម្រាមដៃរបស់អ្នកខ្លាំងប៉ុណ្ណាក៏ដោយ ប៉ុន្តែវាមិនគេចចេញពីនិយមន័យទេ =)

បន្ទាប់មក យើងសួរខ្លួនយើងនូវសំណួរសំខាន់មួយ៖ ធ្វើវ៉ិចទ័រទាំងបីបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ? សូម​ចុច​ម្រាម​ដៃ​បី​យ៉ាង​តឹង​លើ​កំពូល​តុ​កុំព្យូទ័រ។ តើមានអ្វីកើតឡើង? វ៉ិចទ័រចំនួនបីមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយបើនិយាយប្រហែល យើងបានបាត់បង់វិមាត្រមួយ - កម្ពស់។ វ៉ិចទ័របែបនេះគឺ coplanarហើយវាច្បាស់ណាស់ថា មូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រមិនត្រូវបានបង្កើតទេ។

គួរកត់សំគាល់ថា វ៉ិចទ័រ coplanar មិនចាំបាច់ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយទេ ពួកវាអាចស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា (គ្រាន់តែកុំធ្វើបែបនេះដោយម្រាមដៃរបស់អ្នក មានតែ Salvador Dali ប៉ុណ្ណោះដែលបានធ្វើដូចនេះ =))។

និយមន័យ៖ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា coplanarប្រសិនបើមានយន្តហោះដែលពួកវាស្របគ្នា។ វាជាឡូជីខលក្នុងការបន្ថែមនៅទីនេះថាប្រសិនបើយន្តហោះបែបនេះមិនមានទេនោះវ៉ិចទ័រនឹងមិនមែនជា coplanar ទេ។

វ៉ិចទ័រ coplanar បីគឺតែងតែពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរនោះគឺពួកវាត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ សូមឲ្យយើងស្រមៃម្តងទៀតថា ពួកគេដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ ទីមួយ វ៉ិចទ័រមិនត្រឹមតែជា coplanar ប៉ុណ្ណោះទេ វាក៏អាចជា collinear បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រណាមួយអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រណាមួយ។ ក្នុងករណីទីពីរ ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នា នោះវ៉ិចទ័រទីបីត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវាតាមរបៀបពិសេសមួយ៖ (ហើយ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​ងាយ​ស្មាន​ពី​សម្ភារ​ក្នុង​ផ្នែក​មុន)។

ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar បីគឺតែងតែឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនោះគឺពួកគេមិនមានវិធីបង្ហាញគ្នាទៅវិញទៅមកទេ។ ហើយជាក់ស្តែង មានតែវ៉ិចទ័របែបនេះទេដែលអាចបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

និយមន័យ: មូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រត្រូវបានគេហៅថាជាបីនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (មិនមែន coplanar) យកតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។និងវ៉ិចទ័រនៃលំហ ផ្លូវ​តែមួយគត់ត្រូវ​បាន​រំលាយ​នៅ​លើ​មូលដ្ឋាន​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​ ដែល​ជា​កន្លែង​ដែល​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ក្នុង​មូលដ្ឋាន​នេះ។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងក៏អាចនិយាយបានថា វ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។

គោលគំនិតនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេត្រូវបានណែនាំតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងករណីយន្តហោះ ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរទាំងបីគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ៖

ប្រភពដើម, និង មិនមែន coplanarវ៉ិចទ័រ យកតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។, កំណត់ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affine នៃលំហរបីវិមាត្រ :

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ក្រឡា​ចត្រង្គ​កូអរដោណេ​គឺ​ជា “oblique” និង​មិន​ស្រួល ប៉ុន្តែ​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ប្រព័ន្ធ​កូអរដោនេ​ដែល​បាន​សាងសង់​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​យើង ប្រាកដកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រណាមួយ និងកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយក្នុងលំហ។ ស្រដៀងទៅនឹងយន្តហោះ រូបមន្តមួយចំនួនដែលខ្ញុំបានលើកឡើងរួចហើយ នឹងមិនដំណើរការនៅក្នុងប្រព័ន្ធ affine coordination នៃលំហ។

ករណីពិសេសដែលធ្លាប់ស្គាល់ និងងាយស្រួលបំផុតនៃប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affine ដូចដែលអ្នកគ្រប់គ្នាទាយគឺ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលលំហរចតុកោណ:

ចំណុចមួយនៅក្នុងលំហដែលហៅថា ប្រភពដើម, និង ធម្មតាមូលដ្ឋានត្រូវបានកំណត់ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian . រូបភាពដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

មុននឹងបន្តទៅកិច្ចការជាក់ស្តែង ចូរយើងរៀបចំព័ត៌មានជាប្រព័ន្ធម្តងទៀត៖

សម្រាប់វ៉ិចទ័រលំហចំនួនបី សេចក្តីថ្លែងខាងក្រោមគឺសមមូល:
1) វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ;
2) វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន;
3) វ៉ិចទ័រមិនមែនជា coplanar;
4) វ៉ិចទ័រមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈគ្នាទៅវិញទៅមក។
5) កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺខុសពីសូន្យ។

ខ្ញុំ​គិត​ថា​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ផ្ទុយ​គឺ​អាច​យល់​បាន។

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ/ឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រអវកាសត្រូវបានពិនិត្យតាមបែបប្រពៃណីដោយប្រើកត្តាកំណត់ (ចំណុចទី 5)។ កិច្ចការជាក់ស្តែងដែលនៅសល់នឹងមានលក្ខណៈពិជគណិតច្បាស់លាស់។ វាដល់ពេលហើយដើម្បីព្យួរដំបងធរណីមាត្រ ហើយកាន់ដំបងបេស្បលនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ៖

បីវ៉ិចទ័រនៃលំហគឺ coplanar ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងសូន្យ៖ .

ខ្ញុំចង់ទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះភាពខុសប្លែកគ្នានៃបច្ចេកទេសតូចមួយ៖ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានសរសេរមិនត្រឹមតែក្នុងជួរឈរប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងជាជួរផងដែរ (តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរដោយសារតែនេះ - មើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់) ។ ប៉ុន្តែវាល្អប្រសើរជាងនៅក្នុងជួរឈរព្រោះវាមានអត្ថប្រយោជន៍ជាងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួន។

សម្រាប់អ្នកអានដែលភ្លេចបន្តិចអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាកត្តាកំណត់ ឬប្រហែលជាមានការយល់ដឹងតិចតួចអំពីពួកវាទាំងអស់ ខ្ញុំសូមណែនាំមេរៀនចាស់បំផុតមួយរបស់ខ្ញុំ៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់?

ឧទាហរណ៍ ៦

ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រខាងក្រោមបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ៖

ដំណោះស្រាយ៖ ជាការពិត ដំណោះស្រាយទាំងមូលមកលើការគណនាកត្តាកំណត់។

ក) ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ (កត្តាកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងជួរទីមួយ)៖

ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (មិនមែន coplanar) និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

ចម្លើយ៖ វ៉ិចទ័រទាំងនេះបង្កើតជាមូលដ្ឋាន

ខ) នេះគឺជាចំណុចសម្រាប់ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ក៏មានការងារច្នៃប្រឌិតផងដែរ៖

ឧទាហរណ៍ ៧

តើ​វ៉ិចទ័រ​នឹង​មាន​តម្លៃ​អ្វី​នៃ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ?

ដំណោះស្រាយ៖ វ៉ិចទ័រគឺជា coplanar ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែកត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ៖

សំខាន់ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការជាមួយកត្តាកំណត់។ យើងចុះពីលើសូន្យដូចជាខ្លែងនៅលើ jerboas - វាជាការល្អបំផុតក្នុងការបើកកត្តាកំណត់នៅក្នុងជួរទីពីរ ហើយកម្ចាត់ minuses ភ្លាមៗ៖

យើងអនុវត្តភាពសាមញ្ញបន្ថែមទៀត និងកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាសាមញ្ញបំផុត។ សមីការលីនេអ៊ែរ:

ចម្លើយ៖ នៅ

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យនៅទីនេះ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅជាកត្តាកំណត់ដើម ហើយត្រូវប្រាកដថា បើកវាម្តងទៀត។

សរុបសេចក្តីមក សូមក្រឡេកមើលមួយបន្ថែមទៀត ភារកិច្ចធម្មតា។ដែលជាពិជគណិតច្រើននៅក្នុងធម្មជាតិ និងត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាប្រពៃណីនៅក្នុងវគ្គនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ វាជារឿងធម្មតាដែលវាសមនឹងប្រធានបទផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា៖

បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ 3 បង្កើតបានជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ
ហើយស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទី 4 នៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

ឧទាហរណ៍ ៨

វ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បង្ហាញថាវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានក្នុងលំហបីវិមាត្រ ហើយស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

ដំណោះស្រាយ៖ ជាដំបូង ចូរយើងដោះស្រាយលក្ខខណ្ឌ។ តាមលក្ខខណ្ឌ វ៉ិចទ័រចំនួនបួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ពួកគេមានកូអរដោនេរួចហើយនៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួន។ អ្វី​ដែល​ជា​មូលដ្ឋាន​នេះ​គឺ​មិន​មាន​ការ​ចាប់​អារម្មណ៍​សម្រាប់​យើង​។ ហើយរឿងខាងក្រោមគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍: វ៉ិចទ័របីអាចបង្កើតមូលដ្ឋានថ្មី។ ហើយដំណាក់កាលទី 1 ទាំងស្រុងស្របគ្នានឹងដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ទី 6 វាចាំបាច់ក្នុងការពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រពិតជាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរឬអត់៖

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់ដែលបង្កើតឡើងដោយកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ៖

ដែលមានន័យថា វ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

! សំខាន់ ៖ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ ចាំបាច់កត់ទុក ចូលទៅក្នុងជួរឈរកំណត់មិនមែននៅក្នុងខ្សែអក្សរទេ។ បើមិនដូច្នោះទេវានឹងមានការភ័ន្តច្រឡំនៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀត។

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានលេខដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយខុសពីសូន្យ នោះសមភាព https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">

ប្រសិនបើសមភាពនេះពេញចិត្តតែក្នុងករណីទាំងអស់ នោះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ.

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនឹង អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ និងប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយរបស់វាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ១.ពហុនាម គឺជាការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃពហុនាម https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">។ ពហុនាមបង្កើតបានជាប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពី ពហុធា https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">។

ឧទាហរណ៍ ២.ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីស, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរស្មើនឹង ម៉ាទ្រីសសូន្យតែនៅក្នុងករណីនៅពេលដែល https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21">លីនេអ៊ែរអាស្រ័យ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរ​ធ្វើ​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​លីនេអ៊ែរ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ទាំង​នេះ https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">។

ដោយស្មើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រស្មើគ្នា យើងទទួលបាន https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

ទីបំផុតយើងទទួលបាន

និង

ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់តែមួយគត់ ដូច្នេះការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺស្មើនឹងសូន្យតែក្នុងករណីដែលមេគុណទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ 4 ។វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ តើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនឹងទៅជាយ៉ាងណា?

ក);

ខ)?

ដំណោះស្រាយ។

ក)ចូរ​ធ្វើ​ការ​ផ្សំ​លីនេអ៊ែរ ហើយ​យក​វា​ទៅ​សូន្យ

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងលំហលីនេអ៊ែរ យើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពចុងក្រោយក្នុងទម្រង់

ដោយសារវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យ មេគុណនៅត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ i.e..gif" width="12" height="23 src=">

ប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់តែមួយគត់ .

ចាប់តាំងពីសមភាព (*) ប្រតិបត្តិតែនៅពេលដែល https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ;

ខ)ចូរបង្កើតសមភាព https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

ការអនុវត្តហេតុផលស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបាន

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងទទួលបាន

ឬ

ប្រព័ន្ធចុងក្រោយមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">។ ដូច្នេះហើយ វាមិនមាន សូន្យសំណុំនៃមេគុណដែលរក្សាសមភាព (**) . ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ - អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ 5ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

ក្នុងសមភាព (***) . ជាការពិត ប្រព័ន្ធនឹងពឹងផ្អែកតាមលីនេអ៊ែរ។

ពីទំនាក់ទំនង (***) យើង​ទទួល​បាន ឬ ចូរយើងសម្គាល់ .

យើង​ទទួល​បាន

បញ្ហាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (ក្នុងថ្នាក់រៀន)

1. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យគឺពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

2. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រមួយ។ កអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ a=0.

3. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រពីរគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានសមាមាត្រ (ពោលគឺមួយក្នុងចំនោមពួកវាត្រូវបានទទួលពីមួយទៀតដោយគុណនឹងលេខ)។

4. ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមវ៉ិចទ័រទៅប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ អ្នកនឹងទទួលបានប្រព័ន្ធអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

5. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

6. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធ សគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែក្លាយជាលីនេអ៊ែរអាស្រ័យនៅពេលបន្ថែមវ៉ិចទ័រ ខបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ ខបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈវ៉ិចទ័រប្រព័ន្ធ ស.

គ)ប្រព័ន្ធនៃម៉ាទ្រីស , , នៅក្នុងលំហនៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីពីរ។

10. អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ ក,ខ,គចន្លោះវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ បញ្ជាក់ភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រខាងក្រោម៖

ក)ក+b, ខ, គ។

ខ)ក+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–លេខបំពាន

គ)ក+b, a+c, b+c។

11. អនុញ្ញាតឱ្យ ក,ខ,គ- វ៉ិចទ័របីនៅលើយន្តហោះដែលត្រីកោណអាចបង្កើតបាន។ តើវ៉ិចទ័រទាំងនេះនឹងពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរទេ?

12. វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). ស្វែងរកវ៉ិចទ័របួនវិមាត្រពីរទៀត។ a3 និងក៤ដូច្នេះប្រព័ន្ធ a1,a2,a3,ក៤គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ .

និយមន័យ ១. ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ ហើយលីនេអ៊ែរឯករាជ្យ - បើមិនដូច្នេះទេ។

និយមន័យ ១. ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានលេខ ជាមួយ 1 , ជាមួយ 2 , …, ជាមួយ k មិនមែនទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យទេ ដែលការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលមានមេគុណដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ៖ = បើមិនដូច្នេះទេ ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ចូរយើងបង្ហាញថានិយមន័យទាំងនេះគឺសមមូល។

អនុញ្ញាតឱ្យនិយមន័យ 1 ពេញចិត្ត, i.e. វ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត៖

ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនមេគុណទាំងអស់នៃការរួមបញ្ចូលគ្នានេះគឺស្មើនឹងសូន្យទេ ពោលគឺឧ។ និយមន័យ 1' ពេញចិត្ត។

អនុញ្ញាតឱ្យនិយមន័យ 1' សង្កត់។ ការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹង ហើយមិនមែនមេគុណទាំងអស់នៃបន្សំគឺស្មើនឹងសូន្យទេ ឧទាហរណ៍ មេគុណនៃវ៉ិចទ័រ។

យើង​បាន​បង្ហាញ​វ៉ិចទ័រ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​វ៉ិចទ័រ​របស់​ប្រព័ន្ធ​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​ជា​លីនេអ៊ែរ​នៃ​ធាតុ​ផ្សេង​ទៀត ឧ. និយមន័យ 1 ពេញចិត្ត។

និយមន័យ ២. វ៉ិចទ័រឯកតា ឬវ៉ិចទ័រឯកតាត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រ​វិមាត្រ, មួយ​ណា ខ្ញុំកូអរដោណេ -th គឺស្មើនឹងមួយ ហើយនៅសល់គឺសូន្យ។

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

ទ្រឹស្តីបទ ១. វ៉ិចទ័រឯកតាផ្សេងៗគ្នា ន- ទំហំវិមាត្រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះជាមួយនឹងមេគុណបំពានត្រូវស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។

ពីសមភាពនេះវាដូចខាងក្រោមថាមេគុណទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។ យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នា។

វ៉ិចទ័រនីមួយៗ ន- ទំហំវិមាត្រ ā (ក 1 , ក 2 , ..., ក n) អាចត្រូវបានតំណាងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានមេគុណស្មើនឹងកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ

ទ្រឹស្តីបទ ២. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានវ៉ិចទ័រសូន្យ នោះវាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រគឺសូន្យ ឧទាហរណ៍ = . បន្ទាប់មក ជាមួយវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះ អ្នកអាចបង្កើតការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ ហើយមិនមែនមេគុណទាំងអស់នឹងសូន្យទេ៖

ដូច្នេះប្រព័ន្ធគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធរងមួយចំនួននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

ភស្តុតាង។ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធគឺពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ, i.e. មានលេខ ជាមួយ 1 , ជាមួយ 2 , …, ជាមួយ r មិនមែនទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យទេ ដូចនេះ = .បន្ទាប់មក

វាប្រែថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺស្មើនឹង ហើយមិនមែនមេគុណទាំងអស់នៃបន្សំនេះគឺស្មើនឹងសូន្យទេ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ផលវិបាក។ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធរងណាមួយរបស់វាក៏ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរដែរ។

ភស្តុតាង។

ចូរសន្មតថាផ្ទុយ, i.e. ប្រព័ន្ធរងមួយចំនួនពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។ វាធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទដែលថាប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ យើងបានមកដល់ភាពផ្ទុយគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ៤ (ទ្រឹស្តីបទ Steinitz) ។ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនីមួយៗគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ និង ម>នបន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

ផលវិបាក។នៅក្នុងប្រព័ន្ធណាមួយនៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional មិនអាចមានច្រើនជាង n ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរទេ។

ភស្តុតាង។រាល់ នវ៉ិចទ័រវិមាត្រត្រូវបានបង្ហាញជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រឯកតា n ។ ដូច្នេះប្រសិនបើប្រព័ន្ធមាន មវ៉ិចទ័រ និង ម>នបន្ទាប់មក យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ប្រព័ន្ធនេះគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ការបង្ហាញទម្រង់ ហៅ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ A 1 , A 2 , ... ,A nជាមួយនឹងហាងឆេង λ 1, λ 2,...,λ n.

ការកំណត់ភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... ,A nហៅ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ, ប្រសិនបើមានសំណុំលេខមិនសូន្យ λ 1, λ 2,...,λ n, ដែលក្នុងនោះការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យនោះ​គឺ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​: មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។
សំណុំនៃលេខ λ 1, λ 2,...,λ n គឺមិនមែនសូន្យទេ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយក្នុងចំណោមលេខ λ 1, λ 2,...,λ n ខុសពីសូន្យ។

ការកំណត់ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... ,A nហៅ ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យសម្រាប់តែសំណុំលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះ។ λ 1, λ 2,...,λ n នោះ​គឺ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θមានដំណោះស្រាយសូន្យតែមួយគត់។

ឧទាហរណ៍ 29.1

ពិនិត្យមើលថាតើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរឬអត់

ដំណោះស្រាយ:

1. យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការ:

2. យើងដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss. ការបំប្លែង Jordanano នៃប្រព័ន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង 29.1 ។ នៅពេលគណនា ជ្រុងខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធមិនត្រូវបានសរសេរចុះទេ ដោយសារវាស្មើនឹងសូន្យ និងមិនផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលបំប្លែងហ្ស៊កដានី។

3. ពីបីជួរចុងក្រោយនៃតារាង សរសេរប្រព័ន្ធដែលបានដោះស្រាយស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើមប្រព័ន្ធ៖

4. យើង​ទទួល​បាន ការសម្រេចចិត្តទូទៅប្រព័ន្ធ:

5. ដោយបានកំណត់តម្លៃនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ x 3 = 1 តាមការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នក យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមិនសូន្យជាក់លាក់ X = (-3,2,1) ។

ចម្លើយ៖ ដូច្នេះសម្រាប់សំណុំលេខមិនមែនសូន្យ (-3,2,1) ការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

អចលនទ្រព្យ (1)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានពង្រីកក្នុងន័យផ្សេងទៀត ហើយផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានពង្រីកក្នុងន័យផ្សេងទៀតនោះ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (2)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (3)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធរងណាមួយរបស់វាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (4)
ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (5)
ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ m-dimensional តែងតែពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើចំនួនវ៉ិចទ័រ n ធំជាងវិមាត្ររបស់វា (n>m)

មូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

មូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... , A n ដូចជាប្រព័ន្ធរង B 1 , B 2 ,...,B r ត្រូវបានគេហៅថា(វ៉ិចទ័រនីមួយៗ B 1,B 2,...,B r គឺជាវ៉ិចទ័រមួយ A 1, A 2,..., A n) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖
1. B 1 ,B 2 ,...,B rប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ;
2. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ច ប្រព័ន្ធ A 1 , A 2 , ... , A n ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈវ៉ិចទ័រ B 1 , B 2 , ... , B r

r- ចំនួនវ៉ិចទ័ររួមបញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន។

ទ្រឹស្តីបទ 29.1 នៅលើមូលដ្ឋានឯកតានៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ m-dimensional មាន m ឯកតាវ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា E 1 E 2 ,... , E m នោះពួកវាបង្កើតបានជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ដើម្បីស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... , A n វាចាំបាច់:

• បង្កើតប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នា។ ប្រព័ន្ធដូចគ្នា។សមីការ A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θ
• នាំយកប្រព័ន្ធនេះ។

ភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃវ៉ិចទ័រ

និយមន័យនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យ

និយមន័យ ២២

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានប្រព័ន្ធ n-vectors និងសំណុំនៃលេខ
, បន្ទាប់មក

(11)

ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងសំណុំមេគុណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ ២៣

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើមានសំណុំមេគុណបែបនេះ
ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនស្មើនឹងសូន្យ ដែលការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងសំណុំនៃមេគុណនេះគឺស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ
, បន្ទាប់មក

និយមន័យ 24 (តាមរយៈការតំណាងនៃវ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធដែលជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត)

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធនេះ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ៣

និយមន័យ 23 និង 24 គឺសមមូល។

និយមន័យ ២៥(តាមរយៈសូន្យ លីនេអ៊ែរ រួមបញ្ចូលគ្នា)

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាសូន្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនេះគឺអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា
ស្មើនឹងសូន្យ។

និយមន័យ ២៦(ដោយសារតែភាពមិនអាចទៅរួចនៃការតំណាងឱ្យវ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត)

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើមិនមានវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធនេះមិនអាចតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធនេះទេ។

លក្ខណសម្បត្តិនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យ

ទ្រឹស្តីបទ 2 (សូន្យវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ)

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានវ៉ិចទ័រសូន្យ នោះប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

 អនុញ្ញាតឱ្យ
, បន្ទាប់មក។

យើង​ទទួល​បាន
ដូច្នេះ តាមនិយមន័យនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ តាមរយៈការរួមបញ្ចូលគ្នាសូន្យលីនេអ៊ែរ (12) ប្រព័ន្ធគឺអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ។ 

ទ្រឹស្តីបទ 3 (ប្រព័ន្ធរងអាស្រ័យនៅក្នុងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ)

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានប្រព័ន្ធរងដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

 អនុញ្ញាតឱ្យ
- ប្រព័ន្ធរងអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ
ដែលយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនស្មើនឹងសូន្យ៖

នេះមានន័យថា តាមនិយមន័យ 23 ប្រព័ន្ធគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ 

ទ្រឹស្តីបទ ៤

ប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

 ពីផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងមានប្រព័ន្ធរងដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក យោងតាមទ្រឹស្តីបទទី 3 ប្រព័ន្ធទាំងមូលក៏នឹងអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរផងដែរ។ ភាពផ្ទុយគ្នា។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធរងនៃប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ មិនអាចពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរបានទេ។ 

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ទ្រឹស្តីបទ ៥

វ៉ិចទ័រពីរ និង គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ
.

 ភាព​ចាំបាច់។

និង - អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ
ថាលក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត
. បន្ទាប់មក
, i.e.
.

ភាពគ្រប់គ្រាន់។

អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ 

កូរ៉ូឡារី ៥.១

វ៉ិចទ័រសូន្យគឺជាប់នឹងវ៉ិចទ័រណាមួយ។

កូរ៉ូឡារី ៥.២

ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រពីរមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ មិនជាប់គ្នាទេ។ .

ទ្រឹស្តីបទ ៦

ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័របីមានភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវ៉ិចទ័រទាំងនេះជា coplanar .

 ភាព​ចាំបាច់។

- គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃពីរផ្សេងទៀត។

, (13)

កន្លែងណា
និង
. យោងទៅតាមច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែល មានអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមជាមួយភាគី
ប៉ុន្តែ ប្រលេឡូក្រាម គឺជារូបសំប៉ែត
coplanar
- ក៏ជា coplanar ។

ភាពគ្រប់គ្រាន់.

- coplanar ។ តោះអនុវត្តវ៉ិចទ័របីទៅចំណុច O៖

គ

ខ`

- អាស្រ័យលីនេអ៊ែរ 

កូរ៉ូឡារី ៦.១

វ៉ិចទ័រសូន្យគឺ coplanar ទៅគូវ៉ិចទ័រណាមួយ។

កូរ៉ូឡារី ៦.២

ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័រ
មានភាពឯករាជ្យជាលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាមិនមែនជា coplanar ។

កូរ៉ូឡារី ៦.៣

វ៉ិចទ័រណាមួយនៃយន្តហោះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាជួរទាំងពីរនៃយន្តហោះតែមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ៧

វ៉ិចទ័រទាំងបួននៅក្នុងលំហគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ .

 ចូរយើងពិចារណា ៤ ករណី៖

តោះគូរប្លង់តាមវ៉ិចទ័រ បន្ទាប់មកប្លង់កាត់វ៉ិចទ័រ និងយន្តហោះកាត់វ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់​មក​យើង​គូរ​ប្លង់​កាត់​តាម​ចំណុច D ស្រប​នឹង​គូ​វ៉ិចទ័រ ; ; រៀងៗខ្លួន។ យើងសាងសង់ parallelepiped នៅតាមបណ្តោយបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ O.B. 1 ឃ 1 គ 1 ABDC.

ចូរយើងពិចារណា O.B. 1 ឃ 1 គ 1 - ប៉ារ៉ាឡែល​ដោយ​ការ​សាង​សង់​ដោយ​យោង​តាម​ក្បួន​ប្រលេឡូក្រាម​
.

ពិចារណា OADD 1 - ប៉ារ៉ាឡែល (ពីទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ parallelepiped)
, បន្ទាប់មក

EMBED សមីការ.៣.

ដោយទ្រឹស្តីបទ ១
បែបនោះ។ បន្ទាប់មក
ហើយតាមនិយមន័យ 24 ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ 

កូរ៉ូឡារី ៧.១

ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar បីក្នុងលំហ គឺជាវ៉ិចទ័រដែលស្របគ្នានឹងអង្កត់ទ្រូងនៃ ប៉ារ៉ាឡែលភីព ដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះអនុវត្តចំពោះប្រភពដើមទូទៅ ហើយប្រភពដើមនៃវ៉ិចទ័រផលបូកស្របគ្នានឹងប្រភពដើមទូទៅនៃវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះ។

កូរ៉ូឡារី ៧.២

ប្រសិនបើយើងយកវ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ចំនួន 3 នៅក្នុងលំហ នោះវ៉ិចទ័រណាមួយនៃលំហនេះអាចត្រូវបាន decomposed ទៅជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងបីនេះ។