រឿងព្រេងនិទាន

រូបមន្តប្រវែងវ៉ិចទ័រ។ ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេ។ រូបមន្តសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រសម្រាប់បញ្ហាលំហ

ចូរយើងស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេរបស់វា (នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ) ដោយកូអរដោណេនៃចំនុចចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ និងដោយទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស (វ៉ិចទ័រ 2 និងមុំរវាងពួកវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ)។

វ៉ិចទ័រ គឺជាផ្នែកបន្ទាត់ដែលដឹកនាំ។ប្រវែងនៃផ្នែកនេះកំណត់តម្លៃជាលេខនៃវ៉ិចទ័រ ហើយត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងវ៉ិចទ័រ ឬម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ។

1. ការគណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រពីកូអរដោនេរបស់វា។

ប្រសិនបើកូអរដោនេវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណផ្ទះល្វែង (ពីរវិមាត្រ) ឧ. a x និង a y ត្រូវបានគេស្គាល់ បន្ទាប់មកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

ក្នុងករណីវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ កូអរដោនេទីបីត្រូវបានបន្ថែម

នៅក្នុងកន្សោម MS EXCEL =ROOT(SUMSQ(B8:B9))អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ (វាត្រូវបានសន្មត់ថាអ្នកសម្របសម្រួលវ៉ិចទ័រត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងក្រឡា។ B8:B9សូមមើលឧទាហរណ៍ឯកសារ) ។

អនុគមន៍ SUMSQ() ត្រឡប់ផលបូកនៃការ៉េនៃអាគុយម៉ង់ i.e. ក្នុងករណីនេះ ស្មើនឹងរូបមន្ត =B8*B8+B9*B9 ។

ឯកសារឧទាហរណ៍ក៏គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ។

រូបមន្តជំនួសគឺកន្សោម =ROOT(SUMPRODUCT(B8:B9,B8:B9)).

2. ការស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រតាមរយៈកូអរដោនេនៃចំនុច

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ត្រូវបានផ្តល់តាមរយៈកូអរដោណេនៃចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់របស់វា បន្ទាប់មករូបមន្តនឹងខុសគ្នា =ROOT(SUMDIFF(C28:C29,B28:B29))

រូបមន្តសន្មត់ថាកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងជួរ C28:C29 និង B28:B29 រៀងៗខ្លួន។

មុខងារ SUMMQVAR() ក្នុងត្រឡប់ផលបូកនៃភាពខុសគ្នាការ៉េនៃតម្លៃដែលត្រូវគ្នាក្នុងអារេពីរ។

តាមពិតរូបមន្តដំបូងគណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ (ភាពខុសគ្នារវាងកូអរដោនេនៃចំនុចដែលត្រូវគ្នា) បន្ទាប់មកគណនាផលបូកនៃការ៉េរបស់ពួកគេ។

3. ការស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ប្រសិនបើអ្នកចង់ស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស នោះវ៉ិចទ័រ 2 ជាធម្មតាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (ម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ និងមុំរវាងពួកវា)។

រកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយប្រើរូបមន្ត =ROOT(SUMQ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

នៅក្នុងកោសិកា B43:B43 មានប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ a និង b និងក្រឡា B45 - មុំរវាងពួកវាជារ៉ាដ្យង់ (ជាប្រភាគនៃលេខ PI()) ។

ប្រសិនបើមុំត្រូវបានផ្តល់ជាដឺក្រេនោះរូបមន្តនឹងខុសគ្នាបន្តិច។ =ROOT(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

ចំណាំ៖ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ ក្នុងក្រឡាដែលមានតម្លៃមុំគិតជាដឺក្រេ អ្នកអាចប្រើ សូមមើលឧទាហរណ៍ អត្ថបទ

អុកសុី

អំពី ក អូអេ.

កន្លែងណា អូអេ .

ដូច្នេះ .

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដំណោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖

អុកហ្សីនៅក្នុងលំហ។

ក អូអេនឹងជាអង្កត់ទ្រូង។

ក្នុងករណីនេះ (ដោយសារតែ អូអេ អូអេ .

ដូច្នេះ ប្រវែងវ៉ិចទ័រ .

ឧទាហរណ៍។

គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ

ដំណោះស្រាយ។

ដូច្នេះ,

ចម្លើយ៖

បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ

សមីការទូទៅ

អ័ក្ស + ដោយ + C (> 0) ។

វ៉ិចទ័រ = (A; B)គឺជាវ៉ិចទ័របន្ទាត់ធម្មតា។

ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ៖ + C = 0កន្លែងដែលជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចបំពាននៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ (រូបភាព 4.11) ។

ករណីពិសេស៖

1) ដោយ + C = 0- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស គោ;

2) អ័ក្ស+C=0- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ;

3) អ័ក្ស + ដោយ = 0- បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម;

4) y=0- អ័ក្ស គោ;

5) x=0- អ័ក្ស អូ.

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក

កន្លែងណា ក, ខ- ទំហំនៃផ្នែកកាត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់នៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់(រូបភាព ៤.១១)

តើមុំបង្កើតជាធម្មតាទៅបន្ទាត់ និងអ័ក្សត្រង់ណា គោ; ទំគឺជាចម្ងាយពីប្រភពដើមនៃកូអរដោនេទៅបន្ទាត់។

ការនាំយកសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាទម្រង់ធម្មតា៖

នេះគឺជាកត្តាធម្មតានៃបន្ទាត់ផ្ទាល់; សញ្ញាត្រូវបានជ្រើសរើសផ្ទុយទៅនឹងសញ្ញា គប្រសិនបើ និងតាមអំពើចិត្ត ប្រសិនបើ C=0.

ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេ។

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនឹងត្រូវបានតាងដោយ . ដោយសារសញ្ញាណនេះ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានសំដៅជាញឹកញាប់ថាជាម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ។

ចូរចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះដោយកូអរដោនេ។

យើងណែនាំនៅលើយន្តហោះនូវប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian រាងចតុកោណ អុកសុី. សូមឱ្យវ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងវាហើយវាមានកូអរដោនេ។ ចូរយើងទទួលបានរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រតាមរយៈកូអរដោណេ និង .

កំណត់ឡែកពីប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ (ពីចំណុច អំពី) វ៉ិចទ័រ។ បង្ហាញពីការព្យាករណ៍នៃចំណុច កនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ និងរៀងៗខ្លួន ហើយពិចារណាចតុកោណកែងដែលមានអង្កត់ទ្រូង អូអេ.

ដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទ Pythagorean សមភាព កន្លែងណា . ពីនិយមន័យនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ យើងអាចអះអាងបានថា និង , និងដោយការសាងសង់ ប្រវែង អូអេគឺស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ ដូច្នេះ .

ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកូអរដោនេរបស់វានៅលើយន្តហោះមានទម្រង់ .

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានតំណាងថាជា decomposition ក្នុងវ៉ិចទ័រកូអរដោណេ បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តដូចគ្នា។ ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះ មេគុណ និងជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកូអរដោនេ Cartesian ។

ដំណោះស្រាយ។

អនុវត្តរូបមន្តភ្លាមៗដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេ :

ចម្លើយ៖

ឥឡូវនេះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ ដោយកូអរដោនេរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អុកហ្សីនៅក្នុងលំហ។

ញែកវ៉ិចទ័រចេញពីប្រភពដើម ហើយបញ្ជាក់ការព្យាករនៃចំណុច កនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេក៏ដូចជា . បន្ទាប់មកយើងអាចសាងសង់នៅលើជ្រុងនិងរាងចតុកោណ parallelepiped ដែលក្នុងនោះ អូអេនឹងជាអង្កត់ទ្រូង។

ក្នុងករណីនេះ (ដោយសារតែ អូអេគឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ parallelepiped) មកពីណា . ការកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាព និងប្រវែង អូអេគឺស្មើនឹងប្រវែងដែលចង់បាននៃវ៉ិចទ័រ ដូច្នេះ .

ដូច្នេះ ប្រវែងវ៉ិចទ័រ ក្នុងលំហគឺស្មើនឹងឫសការ៉េនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោនេរបស់វា។នោះគឺត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត .

ឧទាហរណ៍។

គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ តើប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកែងស្ថិតនៅត្រង់ណា។

ដំណោះស្រាយ។

យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនូវការពង្រីកនៃវ៉ិចទ័រមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រកូអរដោណេនៃទម្រង់ ដូច្នេះ, . បន្ទាប់មក យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោណេ យើងមាន .

នៅលើអ័ក្ស abscissa និង ordinate ត្រូវបានគេហៅថា កូអរដោនេ វ៉ិចទ័រ. កូអរដោនេវ៉ិចទ័រជាធម្មតាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងទម្រង់ (x, y), និងវ៉ិចទ័រខ្លួនវាដូចជា: = (x, y) ។

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រសម្រាប់បញ្ហាពីរវិមាត្រ។

នៅក្នុងករណីនៃបញ្ហាពីរវិមាត្រ, វ៉ិចទ័រជាមួយស្គាល់ កូអរដោនេចំណុច A(x 1; y 1)និង ខ(x 2 ; y 2 ) អាចត្រូវបានគណនា:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y ១).

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រសម្រាប់បញ្ហាលំហ។

ក្នុងករណីនៃបញ្ហាលំហ វ៉ិចទ័រដែលស្គាល់ កូអរដោនេចំណុចក (x 1; y 1;z 1 ) និង ខ (x 2 ; y 2 ; z 2 ) អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

កូអរដោណេផ្តល់នូវការពិពណ៌នាដ៏ទូលំទូលាយនៃវ៉ិចទ័រ ព្រោះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតវ៉ិចទ័រដោយខ្លួនឯងពីកូអរដោនេ។ ដោយដឹងពីកូអរដោនេវាងាយស្រួលក្នុងការគណនានិង ប្រវែងវ៉ិចទ័រ. (ទ្រព្យ ៣ ខាងក្រោម)។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំរបសំរួលវ៉ិចទ័រ។

1. ណាមួយ។ វ៉ិចទ័រស្មើគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេតែមួយមាន កូអរដោណេស្មើគ្នា.

2. សំរបសំរួល វ៉ិចទ័រ collinearសមាមាត្រ។ ផ្តល់ថាគ្មានវ៉ិចទ័រណាមួយស្មើនឹងសូន្យទេ។

3. ការេនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រណាមួយគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េរបស់វា។ កូអរដោនេ.

4. នៅពេលដែលប្រតិបត្តិការ គុណវ៉ិចទ័រនៅលើ ចំនួនពិតកូអរដោណេនីមួយៗរបស់វាត្រូវបានគុណនឹងលេខនេះ។

5. កំឡុងពេលប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រយើងគណនាផលបូកដែលត្រូវគ្នា។ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ.

6. ផលិតផល Scalarនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃកូអរដោនេរៀងៗខ្លួន។

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ a → នឹងត្រូវបានតាងដោយ a → . ការសម្គាល់នេះគឺស្រដៀងទៅនឹងម៉ូឌុលនៃចំនួនមួយ ដូច្នេះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រក៏ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រផងដែរ។

ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះដោយកូអរដោណេរបស់វា វាតម្រូវឱ្យពិចារណាប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian រាងចតុកោណ O x y ។ អនុញ្ញាតឱ្យវាមានវ៉ិចទ័រមួយចំនួន a → ជាមួយកូអរដោនេ a x ; មួយ y ។ យើងណែនាំរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ a → ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេ a x និង a y ។

កំណត់វ៉ិចទ័រ O A → = a → ពីប្រភពដើម។ ចូរកំណត់ការព្យាករដែលត្រូវគ្នានៃចំណុច A ទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេជា A x និង A y ។ ឥឡូវពិចារណាចតុកោណកែង O A x A A y ជាមួយអង្កត់ទ្រូង O A ។

ពីទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ធ្វើតាមសមភាព O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , ពេលណា O A = O A x 2 + O A y 2 ។ ពីនិយមន័យដែលបានស្គាល់រួចមកហើយនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណយើងទទួលបាន O A x 2 = a x 2 និង O A y 2 = a y 2 ហើយដោយការសាងសង់ប្រវែងនៃ O A គឺស្មើនឹងប្រវែងនៃ វ៉ិចទ័រ O A → , ដូច្នេះ O A → = O A x 2 + O A y 2 ។

ដូច្នេះវាប្រែថា រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ a → = a x ; a y មានទម្រង់ដែលត្រូវគ្នា៖ a → = a x 2 + a y 2 ។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a → ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាការពង្រីកនៅក្នុងកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ a → = a x i → + a y j → នោះប្រវែងរបស់វាអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តដូចគ្នា a → = a x 2 + a y 2 ក្នុងករណីនេះមេគុណ a x និង a y គឺ ជាកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រ a → នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ a → = 7 ; e បានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ យើងនឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោណេ a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

ចម្លើយ៖ a → = 49 + អ៊ី។

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ a → = a x ; a y ; a z ដោយសំរបសំរួលរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian Oxyz ក្នុងលំហ ត្រូវបានគេយកមកស្រដៀងនឹងរូបមន្តសម្រាប់ករណីនៅលើយន្តហោះ (សូមមើលរូបខាងក្រោម)

ក្នុងករណីនេះ O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (ចាប់តាំងពី OA គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃរាងចតុកោណ parallelepiped) ដូច្នេះ O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 ។ ពីនិយមន័យនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ យើងអាចសរសេរសមភាពដូចខាងក្រោម O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; ហើយប្រវែងនៃ OA គឺស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលយើងកំពុងស្វែងរក ដូច្នេះ O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 ។

វាធ្វើតាមប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ a → = a x ; a y ; a z ស្មើនឹង a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ។

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ a → = 4 i → − 3 j → + 5 k → , ដែល i → , j → , k → គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។

ដំណោះស្រាយ

ដែលបានផ្តល់ឱ្យការរលាយនៃវ៉ិចទ័រ a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → កូអរដោនេរបស់វាគឺ a → = 4 , - 3 , 5 ។ ដោយប្រើរូបមន្តខាងលើ យើងទទួលបាន a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( − 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 ។

ចម្លើយ៖ a → = 5 ២ .

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់របស់វា។

ខាងលើ រូបមន្តត្រូវបានទាញយកដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេរបស់វា។ យើងបានពិចារណាករណីនៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ ចូរយើងប្រើពួកវាដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វា។

ដូច្នេះចំនុចដែលមានកូអរដោណេដែលបានផ្តល់ឱ្យ A (a x; a y) និង B (b x; b y) ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ A B → មានកូអរដោនេ (b x - a x; b y - a y) ដែលមានន័យថាប្រវែងរបស់វាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ A B → = ( b x − a x) 2 + ( b y − a y ) ២

ហើយប្រសិនបើពិន្ទុត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេ A (a x; a y; a z) និង B (b x; b y; b z) ក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ នោះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ A B → អាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

A B → = (b x − a x) 2 + (b y − a y) 2 + (b z − a z) 2

ឧទាហរណ៍ ៣

រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ A B → ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ A 1 , 3 , B - 3 , 1 ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រពីកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់នៅលើយន្តហោះ យើងទទួលបាន A B → = (b x − a x) 2 + ( b y − a y ) 2 : A B → = ( − 3 − 1 ) 2 + (1 − 3) 2 = 20 − 2 3 .

ដំណោះស្រាយទីពីរបង្កប់ន័យការអនុវត្តរូបមន្តទាំងនេះនៅក្នុងវេន: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3); A B → = (− 4) 2 + (1 − 3) 2 = 20 − 2 3 . -

ចម្លើយ៖ A B → = 20 − 2 3 .

ឧទាហរណ៍ 4

កំណត់តម្លៃនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រ A B → ស្មើនឹង 30 ប្រសិនបើ A (0 , 1 , 2); ខ (5 , 2 , λ 2) ។

ដំណោះស្រាយ

ដំបូងយើងសរសេរប្រវែងវ៉ិចទ័រ A B → តាមរូបមន្ត៖ A B → = (b x − a x) 2 + (b y − a y) 2 + (b z − a z) 2 = (5 − 0) 2 + (2 − 1) 2 + (λ 2 − 2) 2 = 26 + (λ 2 − 2) 2

បន្ទាប់មកយើងយកកន្សោមលទ្ធផលទៅ 30 ពីទីនេះយើងរកឃើញ λ ដែលចង់បាន៖

26 + (λ 2 − 2) 2 = 30 26 + (λ 2 − 2) 2 = 30 (λ 2 − 2) 2 = 4 λ 2 − 2 = 2 និង l និង λ 2 − 2 = − 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 ។

ចម្លើយ៖ λ 1 \u003d - 2, λ 2 \u003d 2, λ 3 \u003d 0 ។

ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយប្រើច្បាប់នៃកូស៊ីនុស

Alas កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រមិនតែងតែត្រូវបានដឹងនៅក្នុងកិច្ចការទេ ដូច្នេះសូមពិចារណាវិធីផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ A B → , A C → និងមុំរវាងពួកវា (ឬកូស៊ីនុសនៃមុំ) ហើយវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ B C → ឬ C B → ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកគួរប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណ △ A B C គណនាប្រវែងចំហៀង B C ដែលស្មើនឹងប្រវែងវ៉ិចទ័រដែលចង់បាន។

ចូរយើងពិចារណាករណីបែបនេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 5

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → ស្មើនឹង 3 និង 7 រៀងគ្នា ហើយមុំរវាងពួកវាស្មើនឹង π 3 ។ គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ B C → .

ដំណោះស្រាយ

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ B C → ក្នុងករណីនេះស្មើនឹងប្រវែងចំហៀង B C នៃត្រីកោណ △ A B C ។ ប្រវែងនៃជ្រុង A B និង A C នៃត្រីកោណត្រូវបានដឹងពីលក្ខខណ្ឌ (ពួកវាស្មើនឹងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នា) មុំរវាងពួកវាក៏ត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរ ដូច្នេះយើងអាចប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសបាន៖ B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 − 2 3 7 cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 ដូចេនះ B C → = 37 ។

ចម្លើយ៖ B C → = 37 ។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយកូអរដោណេ មានរូបមន្តដូចខាងក្រោម a → = a x 2 + a y 2 ឬ a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 យោងទៅតាមកូអរដោណេនៃចំនុចដើម និងចុង នៃវ៉ិចទ័រ A B → = (b x − a x) 2 + ( b y − a y ) 2 ឬ A B → = ( b x − a x ) 2 + ( b y - a y ) 2 + ( b z − a z ) 2 ក្នុងករណីខ្លះទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គួរតែត្រូវបានប្រើ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

៦.៤. កម្មវិធីមួយចំនួននៃផលិតផលចំនុច

11. ការបញ្ចេញមតិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេនៃកត្តា។ ទ្រឹស្តីបទ។

12. ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ ប្រវែងនៃផ្នែកមួយ មុំរវាងវ៉ិចទ័រ លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ។

13. ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាម។

14. ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ លក្ខខណ្ឌនៃការប្រៀបធៀបវ៉ិចទ័រ។ បរិមាណនៃ parallelepiped ។ បរិមាណនៃពីរ៉ាមីត។

15. វិធីសាស្រ្តកំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។

16. សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ (ដេរីវេ) ។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណ។

17. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះជាផ្នែក (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

ការកាត់បន្ថយសមីការទូទៅនៃយន្តហោះទៅជាសមីការនៃយន្តហោះជាផ្នែក។

18. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះដែលមានជម្រាល (ទិន្នផល) ។

19. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

20. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះមួយ (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

21. ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះ (ទិន្នផល)។

22. លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន)។

23. សមីការនៃយន្តហោះ។ សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ (ដេរីវេ) ។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណ។

24. សមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងផ្នែក (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន) ។

25. សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច (ទិន្នផល) ។

26. មុំរវាងយន្តហោះ (ទិន្នផល) ។

27. ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ (ទិន្នផល)។

28. លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃយន្តហោះ (សេចក្តីសន្និដ្ឋាន)។

29. សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុង r3 ។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចថេរពីរ (ដេរីវេ) ។

30. សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ (ដេរីវេ) ។

ការចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

ករណីពិសេសនៃសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ។

ការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ ទៅប្រភេទផ្សេងទៀតនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់។

31. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ (ទិន្នផល) ។

32. ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះ (ទិន្នផល) ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ - ទ្រឹស្តី, ឧទាហរណ៍, ដំណោះស្រាយ។

វិធីដំបូងដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

វិធីសាស្រ្តទីពីរដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាលើការស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ - ទ្រឹស្តី, ឧទាហរណ៍, ដំណោះស្រាយ។

វិធីដំបូងដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ក្នុងលំហ។

វិធីសាស្រ្តទីពីរដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហ។

33. លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ក្នុងលំហ។

34. ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហនិងបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយយន្តហោះ។

35. សមីការបុរាណនៃរាងពងក្រពើ (ដេរីវេ) និងការស្ថាបនារបស់វា។ សមីការ Canonical នៃពងក្រពើមានទម្រង់ តើចំនួនពិតវិជ្ជមាននៅឯណា លើសពីនេះទៅទៀត របៀបបង្កើតពងក្រពើ?

36. សមីការបុរាណនៃអ៊ីពែបូឡា (ដេរីវេ) និងការស្ថាបនារបស់វា។ រោគសញ្ញា។

37. សមីការ Canonical នៃ parabola (ដេរីវេ) និងសំណង់។

38. មុខងារ។ និយមន័យមូលដ្ឋាន។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បឋម។

39. លំដាប់លេខ។ ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ។

40. បរិមាណតិច និងច្រើនគ្មានកំណត់។ ទ្រឹស្តីបទអំពីការតភ្ជាប់រវាងពួកវា លក្ខណៈសម្បត្តិ។

41. ទ្រឹស្តីបទស្តីពីសកម្មភាពលើអថេរដែលមានដែនកំណត់កំណត់។

42. លេខ e.

មាតិកា

វិធីសាស្រ្តកំណត់

ទ្រព្យសម្បត្តិ

រឿង

ការប៉ាន់ស្មាន

43. និយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ។ ការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់។

44. ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ ការសន្និដ្ឋានរបស់ពួកគេ។ បរិមាណមិនកំណត់សមមូល។

មាតិកា

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង

ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ

45. ដែនកំណត់ម្ខាង។ ភាពជាប់គាំងនិងភាពមិនដំណើរការនៃមុខងារ។ ដែនកំណត់ម្ខាង

ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង និងស្តាំនៃមុខងារមួយ។

ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយ

ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីពីរ

ចំណុចបំបែក

46. និយមន័យនៃដេរីវេ។ អត្ថន័យធរណីមាត្រ, អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ។ សមីការតង់សង់ និងធម្មតាសម្រាប់ខ្សែកោង និងចំណុចមួយ។

47. ទ្រឹស្ដីស្តីអំពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញបញ្ច្រាស។

48. ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមដ៏សាមញ្ញបំផុត។

49. ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ប៉ារ៉ាមេទ្រិច ប្រយោគ និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

21. ភាពខុសគ្នានៃមុខងារដែលកំណត់ដោយប្រយោល និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

២១.១. មុខងារបង្កប់ន័យ

២១.២. មុខងារត្រូវបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

50. ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង។ រូបមន្ត Taylor ។

51. ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ការអនុវត្តឌីផេរ៉ង់ស្យែលទៅនឹងការគណនាប្រហាក់ប្រហែល។

52. ទ្រឹស្តីបទ Rolle, Lagrange, Cauchy ។ ច្បាប់របស់ L'Hopital ។

53. ទ្រឹស្តីបទស្តីពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ monotonicity នៃអនុគមន៍មួយ។

54. ការកំណត់អតិបរមា អប្បបរមានៃអនុគមន៍មួយ។ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរចាំបាច់)

55. ភាពប៉ោងនិង concavity នៃខ្សែកោង។ ចំណុចឆ្លង។ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃចំនុចបញ្ឆេះ។

ភស្តុតាង

57. ការកំណត់នៃលំដាប់ n-th, លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។

58. ម៉ាទ្រីសនិងសកម្មភាពលើពួកគេ។ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។

និយមន័យ

និយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ និងចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស

59. ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីអត្ថិភាពនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

60. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ដំណោះស្រាយម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ក្បួនរបស់ Cramer ។ វិធីសាស្រ្ត Gauss ។ ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។

ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍។

និយមន័យ គំនិត និយមន័យ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបឋមនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស (ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស)។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ការកត់ត្រាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធពិជគណិតលីនេអ៊ែរដូចគ្នានិងមិនដូចគ្នា ដោយប្រើវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការកាត់បន្ថយទៅជា slough ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដែលកាត់បន្ថយដល់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

12. ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ ប្រវែងនៃផ្នែកមួយ មុំរវាងវ៉ិចទ័រ លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ។

វ៉ិចទ័រ - វាគឺជាផ្នែកដឹកនាំដែលតភ្ជាប់ចំណុចពីរនៅក្នុងលំហ ឬក្នុងយន្តហោះ។ជាធម្មតា វ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរតូច ឬដោយចំណុចចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់។ ខាងលើជាធម្មតាជាសញ្ញា។

ឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រ ដឹកនាំពីចំណុចមួយ។ កដល់ចំណុច ខអាចត្រូវបានសម្គាល់ ក ,

សូន្យវ៉ិចទ័រ 0 ឬ 0 - គឺជាវ៉ិចទ័រដែលចំនុចចាប់ផ្តើម និងចុងគឺដូចគ្នា ឧ។ ក = ខ. ពីទីនេះ, 0 = – 0 .

ប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រក គឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលតំណាងឱ្យវា។ AB តំណាងដោយ |ក | . ជាពិសេស || 0 | = 0.

វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា collinearប្រសិនបើផ្នែកដឹកនាំរបស់ពួកគេស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ វ៉ិចទ័រ Collinear ក និង ខ ត្រូវបានកំណត់ ក || ខ .

វ៉ិចទ័របីឬច្រើនត្រូវបានគេហៅថា coplanarប្រសិនបើពួកគេដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ។

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ។ ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រគឺ ដឹកនាំផ្នែកបន្ទាប់មកការបន្ថែមរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានអនុវត្ត ធរណីមាត្រ. (ការបន្ថែមពិជគណិតនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោមនៅក្នុងកថាខណ្ឌ "វ៉ិចទ័រ orthogonal ឯកតា") ។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។

ក = ABនិង ខ = ស៊ីឌី

បន្ទាប់មក វ៉ិចទ័រ __ __

ក + ខ = AB+ ស៊ីឌី

គឺជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការពីរ៖

ក)ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រ ដូច្នេះចំណុចចាប់ផ្តើមរបស់វាស្របគ្នានឹងចំណុចបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីពីរ។

ខ)ការបន្ថែមធរណីមាត្រ, i.e. បង្កើតវ៉ិចទ័រលទ្ធផលដែលចេញពីចំណុចចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រថេរទៅចំណុចបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រដែលបានបកប្រែ។

ការដកវ៉ិចទ័រ។ ប្រតិបត្តិការនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅលេខមុនដោយជំនួសវ៉ិចទ័រដកជាមួយនឹងលេខផ្ទុយ៖ ក – ខ =ក + (– ខ ) .

ច្បាប់នៃការបន្ថែម។

I. ក + ខ = ខ + ក (V erable law) ។

II. (ក + ខ ) + គ = ក + (ខ + គ ) (ច្បាប់រួមបញ្ចូលគ្នា) ។

III. ក + 0 = ក .

IV. ក + (– ក ) = 0 .

ច្បាប់នៃការគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ។

I. 1 · ក = ក , 0 · ក = 0 , ម· 0 = 0 , (– 1) · ក = – ក .

II. មក = ក ម,| មក | = | ម | · | ក | .

III. m(nក ) = (m n)ក . (រួមបញ្ចូលគ្នា

ច្បាប់នៃគុណ).

IV. (m+n) ក = មក +nក , (អ្នកចែកចាយ

ម(ក + ខ ) = មក + មខ . ច្បាប់នៃគុណ).

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។ __ __

មុំរវាងវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ ABនិង ស៊ីឌីគឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ កំឡុងពេលផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលរបស់វា រហូតដល់ចំនុចត្រូវបានតម្រឹម កនិង C. ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រក និង ខ ហៅថាលេខស្មើនឹង ផលិតផលនៃប្រវែងរបស់ពួកគេដោយកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រគឺសូន្យ នោះផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេ ស្របតាមនិយមន័យគឺសូន្យ៖

(ក , 0 ) = ( 0 , ខ ) = 0 .

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រទាំងពីរមិនមែនជាសូន្យ នោះកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ផលិតផល Scalar ( ក , ក ) ស្មើនឹង | ក | 2 ត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េមាត្រដ្ឋាន។ប្រវែងវ៉ិចទ័រ ក ហើយការ៉េមាត្រដ្ឋានរបស់វាទាក់ទងដោយ៖

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រពីរ៖

- ជាវិជ្ជមានប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ហឹរ;

- អវិជ្ជមានប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ត្រង់.

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរគឺសូន្យបន្ទាប់មក ហើយលុះត្រាតែមុំរវាងពួកវាត្រឹមត្រូវ ឧ។ នៅពេលដែលវ៉ិចទ័រទាំងនេះកាត់កែង (រាងពងក្រពើ)៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។ សម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ។ ក , b, គ និងលេខណាមួយ។ មទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមានសុពលភាព៖

I. (ក , ខ ) = (b, ក ) . (ច្បាប់ដែលអាចបង្កើតបាន)

II. (មក , ខ ) = ម(ក , ខ ) .

III.(a + b , គ ) = (ក , គ ) + (ខ, គ ). (ច្បាប់ចែកចាយ)

ឯកតាវ៉ិចទ័រ orthogonal ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណណាមួយ អ្នកអាចចូលបាន។ ឯកតា វ៉ិចទ័រ orthogonal ជាគូខ្ញុំ , j និង k ភ្ជាប់ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖ ខ្ញុំ - ជាមួយអ័ក្ស X, j - ជាមួយអ័ក្ស យនិង k - ជាមួយអ័ក្ស Z. យោងតាមនិយមន័យនេះ៖

(ខ្ញុំ , ច ) = (ខ្ញុំ , ក ) = (j , ក ) = 0,

| ខ្ញុំ | =| j | =| k | = 1.

វ៉ិចទ័រណាមួយ។ ក អាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះនៅក្នុងវិធីតែមួយគត់: ក = xខ្ញុំ + yj+ zk . ទម្រង់នៃការសរសេរមួយទៀត៖ ក = (x, y, z) នៅទីនេះ x, y, z-កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ ក នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះ។ អនុលោមតាមទំនាក់ទំនងចុងក្រោយនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវ៉ិចទ័រ orthogonal ឯកតា ខ្ញុំ, ច , ក ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរអាចត្រូវបានបង្ហាញខុសគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យ ក = (x, y, z); ខ = (u, v, w) បន្ទាប់មក ( ក , ខ ) = ស៊ី +yv +zw.

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នា។

ប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ ក = (x, y, z ) ស្មើនឹង៖

លើសពីនេះទៀតឥឡូវនេះយើងអាច ពិជគណិតប្រតិបត្តិការលើវ៉ិចទ័រ ពោលគឺការបូក និងដកវ៉ិចទ័រ អាចត្រូវបានអនុវត្តដោយកូអរដោនេ៖

ក + b= (x + u , y + v , z + w) ;

ក – b= (x–អ្នក, y– v, z–វ) .

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។ សិល្បៈវ៉ិចទ័រ [ក, ខ ] វ៉ិចទ័រក និងខ (តាមលំដាប់នោះ) ហៅថា វ៉ិចទ័រ៖

មានរូបមន្តមួយទៀតសម្រាប់ប្រវែងវ៉ិចទ័រ [ ក, ខ ] :

| [ ក, ខ ] | = | ក | | ខ | អំពើបាប( ក, ខ ) ,

i.e. ប្រវែង ( ម៉ូឌុល ) ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រក និងខ គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។ក្នុងន័យផ្សេងទៀត: ប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ[ ក, ខ ] ជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតលើវ៉ិចទ័រ ក និងខ .