សិប្បកម្ម

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយប្រើវិធីសាស្រ្តប្រតិបត្តិការ? វិធីសាស្រ្តប្រតិបត្តិការសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ និងប្រព័ន្ធរបស់ពួកគេ ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយវិធីសាស្ត្រ Laplace

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តប្រតិបត្តិការសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃសមីការលំដាប់ទីបី។

ឧបមាថាយើងត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីបីជាមួយនឹងមេគុណថេរ

ការបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង៖

c 0, c 1, c 2 - លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃភាពខុសគ្នានៃដើមយើងសរសេរ:

នៅក្នុងសមីការ (6.4.1) ចូរយើងផ្លាស់ទីពីរូបភាពដើមទៅរូបភាព

សមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា ប្រតិបត្តិករឬសមីការនៅក្នុងរូបភាព។ ដោះស្រាយវាទាក់ទងនឹង Y.

ពហុនាមពិជគណិតក្នុងអថេរ រ.

សមភាពត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (6.4.1) ។

ការស្វែងរកដើម y(t)ដែលត្រូវគ្នានឹងរូបភាពដែលបានរកឃើញ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ឧទាហរណ៍៖ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាប្រតិបត្តិការ ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ

តោះផ្លាស់ទីពីដើមទៅរូបភាព

ចូរសរសេរសមីការដើមនៅក្នុងរូបភាព ហើយដោះស្រាយវាសម្រាប់ យ

ដើម្បីស្វែងរកដើមនៃរូបភាពលទ្ធផល យើងបែងចែកភាគបែងនៃប្រភាគ ហើយសរសេរប្រភាគលទ្ធផលជាផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញ។

ចូរយើងស្វែងរកមេគុណ ក, ខ,និង ជាមួយ.

ដោយប្រើតារាងយើងកត់ត្រាដើមនៃរូបភាពលទ្ធផល

ដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការដើម។

វិធីសាស្រ្តប្រតិបត្តិការត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ

មុខងារមិនស្គាល់។

តោះបន្តទៅរូបភាព

យើងទទួលបានប្រព័ន្ធតំណាងឱ្យសមីការ

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer ។ យើងរកឃើញកត្តាកំណត់៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធរូបភាព X(p), Y(p), Z(p)។

យើងទទួលបានដំណោះស្រាយដែលត្រូវការនៃប្រព័ន្ធ

ដោយប្រើការគណនាប្រតិបត្តិការ អ្នកអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណអថេរ និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។ គណនាអាំងតេក្រាល។ ទន្ទឹមនឹងនេះការដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញយ៉ាងខ្លាំង។ វាត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃសមីការរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា។

សំណួរសម្រាប់ការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង។

1. តើមុខងារមួយណាដែលហៅថាដើម?

2. មុខងារអ្វីដែលហៅថារូបដើម?

3. មុខងារ Heaviside និងរូបភាពរបស់វា។

4. ទទួលបានរូបភាពសម្រាប់មុខងារនៃប្រភពដើមដោយប្រើនិយមន័យរូបភាព៖ f (t) = t , .

5. ទទួលបានរូបភាពសម្រាប់មុខងារដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ Laplace transforms ។

6. ស្វែងរកមុខងាររបស់ដើមដោយប្រើតារាងរូបភាព៖ ;

7. ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាប្រតិបត្តិការ។

អក្សរសិល្ប៍: ទំព័រ 411-439 ទំព័រ 572-594 ។

ឧទាហរណ៍៖ ទំព័រ ៣០៥-៣១៦។

អក្សរសាស្ត្រ

1. Danko P.E. គណិតវិទ្យាខ្ពស់ក្នុងលំហាត់ និងបញ្ហា។ ផ្នែកទី ១៖ សៀវភៅសិក្សា។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់មហាវិទ្យាល័យ / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M. : ខ្ពស់ជាង។ សាលាឆ្នាំ ១៩៩៧–៣០៤ ទំ។

2. Danko P.E. គណិតវិទ្យាខ្ពស់ក្នុងលំហាត់ និងបញ្ហា។ ជា ២ ផ្នែក៖ សៀវភៅសិក្សា។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់មហាវិទ្យាល័យ / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikova - M. : ខ្ពស់ជាង។ សាលា ឆ្នាំ ១៩៩៧–៤១៦ ទំ។

3. Kaplan I.A. ថ្នាក់អនុវត្តក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ផ្នែកទី 4./ I.A. Kaplan - គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋ Kharkov ឆ្នាំ 1966 ទំព័រ 236 ។

4. Piskunov N.S. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនិងអាំងតេក្រាល។ នៅក្នុង 2 ភាគ ភាគ 1: សៀវភៅសិក្សា។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់មហាវិទ្យាល័យ / N.S. Piskunov - M.: ed ។ "វិទ្យាសាស្ត្រ" ឆ្នាំ ១៩៧២ - ៤៥៦ ទំ។

5. Piskunov N.S. ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាលសម្រាប់មហាវិទ្យាល័យ។ នៅក្នុង 2 ភាគ ភាគ 2: សៀវភៅសិក្សា។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់មហាវិទ្យាល័យ../ N.S. Piskunov - M.: ed ។ "វិទ្យាសាស្ត្រ" ឆ្នាំ ១៩៧២ - ៤៥៦ ទំ។

6. សរសេរ D.T. កំណត់ចំណាំការបង្រៀនអំពីគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់៖ វគ្គសិក្សាពេញលេញ។–ទី៤ ed./ D.T. សរសេរ – M.: Iris-press, 2006.–608 ទំ។ - (ការសិក្សាខ្ពស់)។

7. Slobodskaya V.A. វគ្គសិក្សាខ្លីនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ អេដ។ ទី 2 ដំណើរការឡើងវិញ និងបន្ថែម សៀវភៅសិក្សា សៀវភៅណែនាំសម្រាប់មហាវិទ្យាល័យ / V.A. Slobodskaya - M. : ខ្ពស់ជាង។ សាលា ឆ្នាំ ១៩៦៩–៥៤៤ ទំ.

កំណត់ចំណាំការបង្រៀនគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់

សម្រាប់សិស្សនៃទិសដៅ 6.070104 "ការដឹកជញ្ជូនតាមសមុទ្រនិងទន្លេ"

ជំនាញ "ប្រតិបត្តិការរោងចក្រថាមពលកប៉ាល់"

វគ្គសិក្សាពេញម៉ោង និងក្រៅម៉ោង ឆ្នាំទី២

ច្បាប់ចម្លង ______ ចុះហត្ថលេខាលើការបោះពុម្ពផ្សាយ ______________

លំដាប់លេខ __________ ។ កម្រិតសំឡេង__2.78__p.l.

គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយ "សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកវិទ្យាសមុទ្រ Kerch"

98309 Kerch, Ordzhonikidze, 82

វាជាពេលវេលាដ៏ក្តៅនៅខាងក្រៅ ផ្កាផ្ការីកកំពុងហោះ ហើយអាកាសធាតុនេះអំណោយផលដល់ការសម្រាកកាយ។ ក្នុងអំឡុងឆ្នាំសិក្សា មនុស្សគ្រប់គ្នាមានការនឿយហត់ច្រើន ប៉ុន្តែការទន្ទឹងរង់ចាំនៃវិស្សមកាល/វិស្សមកាលរដូវក្តៅគួរតែជំរុញពួកគេឱ្យឆ្លងកាត់ការប្រឡង និងតេស្តដោយជោគជ័យ។ និយាយអីញ្ចឹង គ្រូក៏រិលក្នុងរដូវដែរ ដូច្នេះឆាប់ៗនេះ ខ្ញុំក៏ឆ្លៀតពេលសម្រាកខួរក្បាលរបស់ខ្ញុំដែរ។ ហើយឥឡូវនេះមានកាហ្វេ សម្លេងចង្វាក់នៃអង្គភាពប្រព័ន្ធ មូសងាប់ពីរបីនៅលើ windowsill និងលក្ខខណ្ឌការងារទាំងស្រុង ... ... អូ៎ damn វា ... កំណាព្យ fucking ។

ដល់ចំណុច។ អ្នកណាខ្វល់ ប៉ុន្តែថ្ងៃនេះជាថ្ងៃទី 1 ខែមិថុនាសម្រាប់ខ្ញុំ ហើយយើងនឹងពិនិត្យមើលបញ្ហាធម្មតាមួយទៀតនៃការវិភាគស្មុគស្មាញ - ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាប្រតិបត្តិការ. តើអ្នកត្រូវដឹងនិងអាចធ្វើអ្វីដើម្បីរៀនពីវិធីដោះស្រាយវា? ជាដំបូងបង្អស់, សូមផ្តល់អនុសាសន៍យ៉ាងខ្លាំងយោងទៅមេរៀន។ សូមអានផ្នែកណែនាំ ស្វែងយល់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅនៃប្រធានបទ ពាក្យវាក្យសព្ទ សញ្ញាណ និងឧទាហរណ៍យ៉ាងហោចណាស់ពីរ ឬបី។ ការពិតគឺថាជាមួយនឹងប្រព័ន្ធ diffuser អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងស្ទើរតែដូចគ្នានិងសូម្បីតែសាមញ្ញជាងនេះ!

ជាការពិតណាស់អ្នកត្រូវតែយល់ថាវាជាអ្វី ប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានន័យថាការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះប្រព័ន្ធ និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះប្រព័ន្ធ។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធី "ប្រពៃណី"៖ ដោយការលុបបំបាត់ឬ ដោយប្រើសមីការលក្ខណៈ. វិធីសាស្រ្តនៃការគណនាប្រតិបត្តិការដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សាគឺអាចអនុវត្តបានចំពោះប្រព័ន្ធបញ្ជាពីចម្ងាយ នៅពេលដែលកិច្ចការត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូង .

ម៉្យាងទៀតប្រព័ន្ធអាចមានលក្ខណៈខុសគ្នា - ជាមួយ "ទម្ងន់បន្ថែម" ក្នុងទម្រង់នៃមុខងារនិងនៅខាងស្តាំ៖

ប៉ុន្តែក្នុងករណីទាំងពីរ អ្នកត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើចំណុចសំខាន់ពីរនៃលក្ខខណ្ឌ៖

1) វាអំពី អំពីដំណោះស្រាយឯកជនប៉ុណ្ណោះ។.
2) នៅក្នុងវង់ក្រចកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូង គឺ សូន្យយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនិងគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតទេ។

វគ្គសិក្សាទូទៅ និងក្បួនដោះស្រាយនឹងស្រដៀងទៅនឹង ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រប្រតិបត្តិការ. ពីឯកសារយោងអ្នកនឹងត្រូវការដូចគ្នា។ តារាងដើមនិងរូបភាព.

ឧទាហរណ៍ ១

, ,

ដំណោះស្រាយ៖ការចាប់ផ្តើមគឺតូចតាច: ការប្រើប្រាស់ Laplace ផ្លាស់ប្តូរតារាងចូរបន្តពីរូបភាពដើមទៅរូបភាពដែលត្រូវគ្នា។ នៅក្នុងបញ្ហាជាមួយប្រព័ន្ធបញ្ជាពីចម្ងាយ ការផ្លាស់ប្តូរនេះជាធម្មតាសាមញ្ញ៖

ដោយប្រើរូបមន្តតារាងលេខ 1, 2 ដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌដំបូងយើងទទួលបាន:

អ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយ "ហ្គេម"? ផ្លាស់ប្តូរ "X's" ផ្លូវចិត្តនៅក្នុងតារាងទៅជា "ខ្ញុំ" ។ ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាលេខ 1, 2 ដោយគិតគូរពីលក្ខខណ្ឌដំបូងយើងរកឃើញ:

ចូរជំនួសរូបភាពដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម :

ឥឡូវនេះ នៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេងសមីការចាំបាច់ត្រូវប្រមូល ទាំងអស់។លក្ខខណ្ឌដែលឬមានវត្តមាន។ ទៅផ្នែកត្រឹមត្រូវ។សមីការត្រូវតែត្រូវបាន "ផ្លូវការ" ផ្សេងទៀតលក្ខខណ្ឌ៖

បន្ទាប់មក នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗ យើងអនុវត្តការតង្កៀប៖

ក្នុងករណីនេះ គួរដាក់នៅមុខតំណែងទីមួយ និងមុខតំណែងទីពីរដូចខាងក្រោម៖

ប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការដែលមិនស្គាល់ពីរត្រូវបានដោះស្រាយជាធម្មតា នេះបើយោងតាមរូបមន្តរបស់ Cramer. ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

ជាលទ្ធផលនៃការគណនាកត្តាកំណត់ ពហុធាត្រូវបានទទួល។

បច្ចេកទេសសំខាន់!ពហុនាមនេះគឺប្រសើរជាង ក្នុងពេលតែមួយព្យាយាមកំណត់វា។ សម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ គេគួរតែព្យាយាមដោះស្រាយសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែអ្នកអានជាច្រើនដែលមានភ្នែកឆ្នាំទី 2 ដែលបានទទួលការបណ្តុះបណ្តាលនឹងកត់សម្គាល់នោះ។ .

ដូច្នេះ កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ៖

ការផ្តាច់ប្រព័ន្ធបន្ថែមទៀត សូមអរគុណ Kramer គឺជាស្តង់ដារ៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធ:

អត្ថប្រយោជន៍នៃកិច្ចការនៅក្នុងសំណួរគឺថាប្រភាគជាធម្មតាប្រែទៅជាសាមញ្ញ ហើយការដោះស្រាយជាមួយពួកគេគឺងាយស្រួលជាងប្រភាគនៅក្នុងបញ្ហា។ ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះ DE ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រប្រតិបត្តិការ. បុព្វហេតុរបស់អ្នកមិនបានបញ្ឆោតអ្នកទេ - អ្នកចាស់ល្អ។ វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនច្បាស់លាស់ដោយមានជំនួយពីការដែលយើងបំបែកប្រភាគនីមួយៗទៅជាប្រភាគបឋម៖

១) ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយប្រភាគទីមួយ៖

ដូចនេះ៖

2) យើងបំបែកប្រភាគទីពីរតាមគ្រោងការណ៍ស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែវាជាការត្រឹមត្រូវជាងក្នុងការប្រើប្រាស់ថេរផ្សេងទៀត (មេគុណដែលមិនបានកំណត់)៖

ដូចនេះ៖

ខ្ញុំណែនាំអ្នកអត់ចេះសោះឱ្យសរសេរដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករដែលខូចនៅក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
- នេះនឹងធ្វើឱ្យដំណាក់កាលចុងក្រោយកាន់តែច្បាស់ - ការផ្លាស់ប្តូរ Laplace បញ្ច្រាស។

ដោយប្រើជួរឈរខាងស្ដាំនៃតារាង ចូរផ្លាស់ទីពីរូបភាពទៅដើមដែលត្រូវគ្នា៖

យោងទៅតាមច្បាប់នៃសុជីវធម៌គណិតវិទ្យា យើងនឹងរៀបចំលទ្ធផលបន្តិចបន្តួច៖

ចម្លើយ៖

ចម្លើយត្រូវបានពិនិត្យតាមគ្រោងការណ៍ស្ដង់ដារដែលត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតក្នុងមេរៀន។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល?ព្យាយាមបំពេញវាជានិច្ច ដើម្បីបន្ថែមការបូកធំដល់កិច្ចការ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោយប្រើការគណនាប្រតិបត្តិការ ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
, ,

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ គំរូប្រហាក់ប្រហែលនៃទម្រង់ចុងក្រោយនៃបញ្ហា និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធមិនដូចគ្នានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺមិនខុសគ្នាទេ លើកលែងតែបច្ចេកទេសវានឹងមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ដំណោះស្រាយ៖ដោយប្រើតារាងបំលែង Laplace ដោយគិតគូរពីលក្ខខណ្ឌដំបូង ចូរផ្លាស់ទីពីរូបភាពដើមទៅរូបភាពដែលត្រូវគ្នា៖

ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ មានអថេរឯកកោនៅខាងស្តាំដៃនៃសមីការ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើក្នុងករណីដែលថេរទាំងស្រុងតែម្នាក់ឯងដោយខ្លួនឯង? នេះត្រូវបានពិភាក្សារួចហើយនៅក្នុងថ្នាក់។ វិធីដោះស្រាយ DE ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រប្រតិបត្តិការ. ចូរយើងនិយាយឡើងវិញ៖ ថេរតែមួយគួរតែគុណនឹងផ្លូវចិត្តមួយ ហើយការផ្លាស់ប្តូរ Laplace ខាងក្រោមគួរតែត្រូវបានអនុវត្តចំពោះឯកតា៖

ចូរជំនួសរូបភាពដែលបានរកឃើញទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម៖

ចូរយើងផ្លាស់ទីពាក្យដែលមាន ទៅខាងឆ្វេង ហើយដាក់លក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់នៅជ្រុងខាងស្តាំ៖

នៅផ្នែកខាងឆ្វេង យើងនឹងអនុវត្តការតង្កៀប លើសពីនេះទៀត យើងនឹងនាំយកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរទៅជាភាគបែងរួមមួយ៖

ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ ដោយមិនភ្លេចថា គួរតែព្យាយាមធ្វើកត្តាលទ្ធផលភ្លាមៗ៖
ដែលមានន័យថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

តោះបន្តទៅមុខទៀត៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធគឺ:

ពេលខ្លះប្រភាគមួយ ឬសូម្បីតែទាំងពីរអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ ហើយពេលខ្លះដោយជោគជ័យ ដែលអ្នកមិនចាំបាច់ពង្រីកអ្វីទាំងអស់! ហើយក្នុងករណីខ្លះ អ្នកទទួលបាន freebie ភ្លាមៗ ដោយវិធីនេះ ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមនៃមេរៀននឹងជាឧទាហរណ៍ចង្អុលបង្ហាញ។

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ យើងទទួលបានផលបូកនៃប្រភាគបឋម។

ចូរបំបែកប្រភាគទីមួយ៖

ហើយយើងសម្រេចបានទីពីរ៖

ជាលទ្ធផល ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករយកទម្រង់ដែលយើងត្រូវការ៖

ដោយប្រើជួរឈរខាងស្តាំ តារាងដើមនិងរូបភាពយើងអនុវត្តការបំប្លែង Laplace បញ្ច្រាស៖

ចូរយើងជំនួសរូបភាពលទ្ធផលទៅក្នុងដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធ៖

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយឯកជន៖

ដូចដែលអ្នកបានឃើញហើយថានៅក្នុងប្រព័ន្ធខុសគ្នា វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តការគណនាដែលពឹងផ្អែកលើកម្លាំងពលកម្មច្រើនជាងបើប្រៀបធៀបទៅនឹងប្រព័ន្ធដូចគ្នា។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ពីរបីទៀតជាមួយនឹងស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ហើយនោះជាការគ្រប់គ្រាន់ហើយ ព្រោះស្ទើរតែគ្រប់ប្រភេទនៃបញ្ហា និងភាគច្រើននៃដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានពិចារណា។

ឧទាហរណ៍ 4

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាប្រតិបត្តិការ ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយ៖ខ្ញុំក៏នឹងវិភាគឧទាហរណ៍នេះដោយខ្លួនឯងដែរ ប៉ុន្តែការបញ្ចេញមតិនឹងខ្វល់ខ្វាយតែពេលពិសេសប៉ុណ្ណោះ។ ខ្ញុំសន្មត់ថាអ្នកបានយល់ច្បាស់រួចហើយនៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ។

ចូរបន្តពីរូបភាពដើមទៅរូបភាពដែលត្រូវគ្នា៖

ចូរជំនួសរូបភាពដែលបានរកឃើញទៅក្នុងប្រព័ន្ធបញ្ជាពីចម្ងាយដើម៖

តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer៖
ដែលមានន័យថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ពហុធាលទ្ធផលមិនអាចត្រូវបានធ្វើជាកត្តាទេ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើក្នុងករណីបែបនេះ? គ្មានអ្វីសោះ។ មួយនេះក៏នឹងធ្វើដែរ។

ជាលទ្ធផលដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធគឺ:

នេះជាសំបុត្រសំណាង! មិនចាំបាច់ប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់ទាល់តែសោះ! រឿងតែមួយគត់គឺ ដើម្បីអនុវត្តការបំប្លែងតារាង យើងសរសេរដំណោះស្រាយឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

ចូរបន្តពីរូបភាពទៅប្រភពដើមដែលត្រូវគ្នា៖

ចូរយើងជំនួសរូបភាពលទ្ធផលទៅក្នុងដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធ៖

រូបមន្តពង្រីកធំ

អនុញ្ញាតឱ្យរូបភាពនៃអនុគមន៍ជាអនុគមន៍សមហេតុផលប្រភាគ។

ទ្រឹស្តីបទ។អនុញ្ញាតឱ្យ, កន្លែងនិងមុខងារផ្សេងគ្នា។ ចូរយើងណែនាំបង្គោលទាំងពីរនៃមុខងារ i.e. ឫស (សូន្យ) នៃភាគបែងរបស់វា។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើយើងទទួលបានរូបមន្ត Heaviside៖

យើងអនុវត្តភស្តុតាងសម្រាប់ករណីនៅពេលដែល និងជាពហុធានៃដឺក្រេ ធនិង ទំស្របពេល ធ ទំ. បន្ទាប់មកវាគឺជាប្រភាគសមហេតុផល។ សូមបង្ហាញវាជាផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញ៖

ពីទីនេះយើងរកឃើញមេគុណពីអត្តសញ្ញាណ (17.2) ដោយសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់

ចូរគុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាពចុងក្រោយដោយ ហើយទៅដែនកំណត់នៅ។ ពិចារណាវាហើយយើងទទួលបាន

មកពីណា (១៧.១)។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាំ ១.ប្រសិនបើមេគុណនៃពហុធាគឺពិតប្រាកដ នោះឫសស្មុគ្រស្មាញនៃពហុនាមគឺត្រូវបានភ្ជាប់ជាគូ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ក្នុងរូបមន្ត (17.1) បរិមាណផ្សំស្មុគ្រស្មាញនឹងជាពាក្យដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងឫសផ្សំស្មុគស្មាញនៃពហុនាម ហើយរូបមន្ត Heaviside នឹងយកទម្រង់

ដែលជាកន្លែងដែលផលបូកទីមួយត្រូវបានពង្រីកទៅឫសពិតទាំងអស់នៃពហុធា ទីពីរ - ទៅឫសស្មុគស្មាញទាំងអស់របស់វាជាមួយនឹងផ្នែកស្រមើលស្រមៃវិជ្ជមាន។

ចំណាំ ២.ពាក្យនីមួយៗនៃរូបមន្ត (17.1) តំណាងឱ្យលំយោលដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ ដែលជាកន្លែងដែល។ ដូច្នេះ ឫសពិត () ត្រូវគ្នាទៅនឹងលំយោលតាមអាកាស ឫសស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងផ្នែកពិតអវិជ្ជមានត្រូវគ្នាទៅនឹងលំយោលដែលសើម ហើយឫសស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធត្រូវគ្នាទៅនឹងលំយោលអាម៉ូនិកដែលមិនមានការរំខាន។

ប្រសិនបើភាគបែងមិនមានឫសជាមួយនឹងផ្នែកពិតវិជ្ជមាន នោះសម្រាប់តម្លៃធំគ្រប់គ្រាន់ យើងទទួលបានស្ថានភាពស្ថិរភាព៖

ឫសស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធនៃពហុនាមដែលមានផ្នែកស្រមើលស្រមៃវិជ្ជមាន។

Oscillations ដែលត្រូវគ្នានឹងឫសជាមួយនឹងផ្នែកពិតអវិជ្ជមាន ពុកផុយដោយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ហើយដូច្នេះមិនចូលទៅក្នុងស្ថានភាពស្ថិរភាពទេ។

ឧទាហរណ៍ ១.ស្វែងរករូបភាពដើម

ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន។ ចូរយើងសរសេរឫសនៃពហុនាម៖ .

យោងតាមរូបមន្ត (១៧.១)

នៅទីនេះ ចាប់តាំងពីលេខគឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ អាស្រ័យហេតុនេះ

ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរករូបភាពដើម

កន្លែងណា ក 0; .

ដំណោះស្រាយ។ នៅទីនេះមុខងារ បន្ថែមពីលើឫសជាក់ស្តែង មានឫសជាច្រើនគ្មានកំណត់ ដែលជាមុខងារសូន្យ។ ការដោះស្រាយសមីការយើងទទួលបានកន្លែងណា

ដូច្នេះឫសនៃភាគបែងមានទម្រង់និងកន្លែងណា

ដោយប្រើរូបមន្ត (17.3) យើងរកឃើញដើម

វិធីសាស្រ្តប្រតិបត្តិករសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ពិចារណាបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

(នៅទីនេះ) ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូង

ឆ្លងកាត់ទៅរូបភាពនៅក្នុង (18.1) ដោយសារតែលីនេអ៊ែរនៃការផ្លាស់ប្តូរ Laplace យើងនឹងមាន

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 3 នៃ§ 16 និងលក្ខខណ្ឌដំបូង (18.2) យើងសរសេររូបភាពនៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងទម្រង់

ការជំនួស (18.4) ទៅជា (18.3) បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរសាមញ្ញ យើងទទួលបានសមីការប្រតិបត្តិករ

កន្លែង (ពហុនាមលក្ខណៈ); .

ពីសមីការ (18.5) យើងរកឃើញដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករ

ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy (18.1), (18.2) គឺជាដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករដើម (18.6):

ចំពោះបញ្ហា Cauchy នៅក្នុងសញ្ញាណដែលទទួលយកយើងអាចសរសេរបាន។

សមីការប្រតិបត្តិករមានទម្រង់

ចូរយើងបំបែកដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករទៅជាប្រភាគសាមញ្ញ៖

ដោយប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានក្នុង§ 15 យើងទទួលបានប្រភពដើម៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy នឹងមានទម្រង់

ឧទាហរណ៍ ១.ដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូង កន្លែងណា។

ដំណោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយរបស់វាមានទម្រង់

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ 2 នៃ § 16 យើងរកឃើញជាប់លាប់៖

ឧទាហរណ៍ ២.ដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងសូន្យ ដែលជាមុខងារជំរុញជំហាន។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសរសេរសមីការប្រតិបត្តិករ

និងការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់។

ពីទ្រឹស្តីបទ 2 នៃ§ 16 វាដូចខាងក្រោម

អនុលោមតាមទ្រឹស្តីបទពន្យាពេល (§ ១៥)

ទីបំផុត

ឧទាហរណ៍ ៣.ក្នុងមួយពិន្ទុ ធជាប់នឹងនិទាឃរដូវដោយភាពរឹង ជាមួយនិងមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះផ្ដេករលូន កម្លាំងផ្លាស់ប្តូរតាមកាលកំណត់។ ក្នុងពេលមួយស្របក់ ចំណុចនេះត្រូវបានទទួលរងនូវផលប៉ះពាល់ដែលផ្ទុកនូវកម្លាំងរុញច្រាន។ ការធ្វេសប្រហែសការតស៊ូ ស្វែងរកច្បាប់នៃចលនានៃចំណុចមួយ ប្រសិនបើនៅដំណាក់កាលដំបូងនៃពេលវេលា វាសម្រាកនៅប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។

ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរសមីការនៃចលនាក្នុងទម្រង់

កន្លែងដែលកម្លាំងបត់បែន; - មុខងារ Dirac ។ តោះដោះស្រាយសមីការប្រតិបត្តិករ

ប្រសិនបើ (ករណីនៃការអនុលោម) បន្ទាប់មក

ដោយទ្រឹស្តីបទពន្យាពេល

ទីបំផុត

អាំងតេក្រាលរបស់ Duhamel (រូបមន្ត) ។ ចូរយើងពិចារណាបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការ (18.1) ក្រោមលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករក្នុងករណីនេះមានទម្រង់

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារទំងន់មានលក្ខណៈដើមសម្រាប់។ បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទ 1 នៃ § 16 យើងទទួលបាន

ទំនាក់ទំនង (18.7) ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលរបស់ Duhamel (រូបមន្ត) ។

មតិយោបល់។សម្រាប់លក្ខខណ្ឌដំបូងដែលមិនសូន្យ រូបមន្តរបស់ Duhamel មិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់បានទេ។ ក្នុងករណីនេះ ចាំបាច់ត្រូវបំប្លែងបញ្ហាដើមទៅជាបញ្ហាដែលមានលក្ខខណ្ឌដំបូងដូចគ្នា (សូន្យ)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងណែនាំមុខងារថ្មីដោយសន្មត់

តើតម្លៃដំបូងនៃដំណោះស្រាយដែលចង់បាននៅឯណា។

តើវាងាយស្រួលប៉ុណ្ណាក្នុងការមើល ដូច្នេះហើយ .

ដូច្នេះ មុខងារគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (18.1) ជាមួយនឹងផ្នែកខាងស្តាំដែលទទួលបានដោយការជំនួស (18.8) ទៅជា (18.1) ជាមួយនឹងទិន្នន័យដំបូងសូន្យ។

ដោយប្រើ (18.7) យើងរកឃើញនិង។

ឧទាហរណ៍ 4 ។ដោយប្រើអាំងតេក្រាល Duhamel ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy

ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូង។

ដំណោះស្រាយ។ ទិន្នន័យដំបូងគឺមិនមែនសូន្យទេ។ យើងសន្មតថាស្របតាម (18.8) ។ បន្ទាប់មក សម្រាប់និយមន័យ យើងទទួលបានសមីការដែលមានលក្ខខណ្ឌដំបូងដូចគ្នា។

ចំពោះបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា ពហុនាមលក្ខណៈ មុខងារទម្ងន់។ យោងតាមរូបមន្តរបស់ Duhamel

ទីបំផុត

ប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។បញ្ហា Cauchy សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរក្នុងការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសមានទម្រង់

កន្លែងណាជាវ៉ិចទ័រនៃមុខងារដែលត្រូវការ; - វ៉ិចទ័រនៃជ្រុងខាងស្តាំ; - ម៉ាទ្រីសមេគុណ; - វ៉ិចទ័រនៃទិន្នន័យដំបូង។

ឧទាហរណ៍ ១

, ,

ដោយប្រើរូបមន្តតារាងលេខ 1, 2 ដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌដំបូងយើងទទួលបាន:

ចូរជំនួសរូបភាពដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម :

ជាលទ្ធផលនៃការគណនាកត្តាកំណត់ ពហុធាត្រូវបានទទួល។

ដូច្នេះ កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ៖

ការផ្តាច់ប្រព័ន្ធបន្ថែមទៀត សូមអរគុណ Kramer គឺជាស្តង់ដារ៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធ:

១) ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយប្រភាគទីមួយ៖

ដូចនេះ៖

ដោយប្រើជួរឈរខាងស្ដាំនៃតារាង ចូរផ្លាស់ទីពីរូបភាពទៅដើមដែលត្រូវគ្នា៖

យោងទៅតាមច្បាប់នៃសុជីវធម៌គណិតវិទ្យា យើងនឹងរៀបចំលទ្ធផលបន្តិចបន្តួច៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ឧទាហរណ៍ ៣

ចូរជំនួសរូបភាពដែលបានរកឃើញទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម៖

តោះបន្តទៅមុខទៀត៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធគឺ:

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណមិនកំណត់ យើងទទួលបានផលបូកនៃប្រភាគបឋម។

ចូរបំបែកប្រភាគទីមួយ៖

ហើយយើងសម្រេចបានទីពីរ៖

ជាលទ្ធផល ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករយកទម្រង់ដែលយើងត្រូវការ៖

ចូរយើងជំនួសរូបភាពលទ្ធផលទៅក្នុងដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធ៖

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយឯកជន៖

ឧទាហរណ៍ 4

ចូរបន្តពីរូបភាពដើមទៅរូបភាពដែលត្រូវគ្នា៖

ចូរជំនួសរូបភាពដែលបានរកឃើញទៅក្នុងប្រព័ន្ធបញ្ជាពីចម្ងាយដើម៖

ជាលទ្ធផលដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធគឺ:

ចូរបន្តពីរូបភាពទៅប្រភពដើមដែលត្រូវគ្នា៖

ចូរយើងជំនួសរូបភាពលទ្ធផលទៅក្នុងដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃប្រព័ន្ធ៖

របៀបដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
វិធីសាស្រ្តគណនាប្រតិបត្តិការ?

នៅក្នុងមេរៀននេះ កិច្ចការធម្មតា និងទូលំទូលាយនៃការវិភាគស្មុគស្មាញ នឹងត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិត - ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះលំដាប់ទី 2 DE ជាមួយនឹងមេគុណថេរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាប្រតិបត្តិការ. ម្តងហើយម្តងទៀត ខ្ញុំបំបាត់អ្នកពីការយល់ឃើញជាមុនថា សម្ភារៈគឺស្មុគស្មាញ និងមិនអាចចូលដំណើរការបាន។ វាគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់ ប៉ុន្តែដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើឧទាហរណ៍ អ្នកប្រហែលជាមិនអាចបែងចែក បញ្ចូល និងមិនដឹងថាវាជាអ្វី លេខស្មុគស្មាញ. ត្រូវការជំនាញកម្មវិធី វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនច្បាស់លាស់ដែលត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទ ការរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ប្រភាគ-សនិទាន. តាមពិត មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃកិច្ចការគឺប្រតិបត្តិការពិជគណិតដ៏សាមញ្ញ ហើយខ្ញុំជឿជាក់ថា សម្ភារៈអាចចូលប្រើបាន សូម្បីតែសិស្សវិទ្យាល័យក៏ដោយ។

ទីមួយ ព័ត៌មានទ្រឹស្តីសង្ខេបអំពីផ្នែកនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដែលកំពុងពិចារណា។ ចំណុចសំខាន់ ការគណនាប្រតិបត្តិការមានដូចខាងក្រោម៖ មុខងារ ត្រឹមត្រូវ។អថេរដោយប្រើអ្វីដែលគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរ Laplaceបានបង្ហាញនៅក្នុង មុខងារ ទូលំទូលាយអថេរ :

វាក្យសព្ទ និងនិយមន័យ៖
មុខងារត្រូវបានគេហៅថា ដើម;
មុខងារត្រូវបានគេហៅថា រូបភាព;
អក្សរធំតំណាងឱ្យ ការផ្លាស់ប្តូរ Laplace.

នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ មុខងារពិត (ដើម) យោងតាមច្បាប់មួយចំនួនត្រូវតែបំប្លែងទៅជាមុខងារស្មុគស្មាញ (រូបភាព)។ ព្រួញបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់អំពីការផ្លាស់ប្តូរនេះ។ ហើយ "ច្បាប់ជាក់លាក់" ខ្លួនឯងគឺ ការផ្លាស់ប្តូរ Laplaceដែលយើងនឹងពិចារណាជាផ្លូវការ ដែលនឹងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។

ការបំប្លែង Laplace បញ្ច្រាសក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ នៅពេលដែលរូបភាពត្រូវបានបំប្លែងទៅជារូបដើម៖

ហេតុអ្វីចាំបាច់ទាំងអស់នេះ? នៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់មួយចំនួន វាអាចមានអត្ថប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការប្តូរពីរូបភាពដើមទៅជារូបភាព ព្រោះក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាគឺមានភាពសាមញ្ញខ្លាំង (គ្រាន់តែនិយាយលេង)។ ហើយយើងនឹងពិចារណាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនេះ។ ប្រសិនបើអ្នកបានរស់នៅដើម្បីមើលការគណនាប្រតិបត្តិការ នោះរូបមន្តគួរតែស្គាល់អ្នកច្បាស់៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ inhomogeneous លំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរសម្រាប់លក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ៖ ពេលខ្លះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចមានលក្ខណៈដូចគ្នា៖ សម្រាប់វានៅក្នុងរូបមន្តខាងលើ វិធីសាស្ត្រនៃការគណនាប្រតិបត្តិការក៏អាចអនុវត្តបានដែរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង DE ដូចគ្នានៃលំដាប់ទី 2គឺកម្រណាស់ ហើយយើងនឹងនិយាយអំពីសមីការមិនដូចគ្នា

ហើយឥឡូវនេះវិធីសាស្ត្រទីបីនឹងត្រូវបានពិភាក្សា - ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយប្រើការគណនាប្រតិបត្តិការ។ ជាថ្មីម្តងទៀតខ្ញុំសង្កត់ធ្ងន់លើការពិតដែលថា យើងកំពុងនិយាយអំពីការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។, ក្រៅពីនេះ លក្ខខណ្ឌដំបូងមានទម្រង់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង("X's" ស្មើសូន្យ)។

និយាយអញ្ចឹងអំពី "X's" ។ សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោមៈ
ដែល “x” គឺជាអថេរឯករាជ្យ ហើយ “y” គឺជាអនុគមន៍។ វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលខ្ញុំកំពុងនិយាយអំពីរឿងនេះ ចាប់តាំងពីក្នុងបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា អក្សរផ្សេងទៀតត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត៖

នោះគឺតួនាទីនៃអថេរឯករាជ្យត្រូវបានលេងដោយអថេរ "te" (ជំនួសឱ្យ "x") ហើយតួនាទីនៃមុខងារត្រូវបានលេងដោយអថេរ "x" (ជំនួសឱ្យ "y") ។

ពិតណាស់ ខ្ញុំយល់ថាវាជាការរអាក់រអួល ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការប្រកាន់ខ្ជាប់នូវសញ្ញាណដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅបញ្ហា និងសៀវភៅណែនាំបណ្តុះបណ្តាលភាគច្រើន។

ដូច្នេះបញ្ហារបស់យើងជាមួយអក្សរផ្សេងទៀតត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ inhomogeneous លំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរសម្រាប់លក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ .

អត្ថន័យនៃកិច្ចការមិនបានផ្លាស់ប្តូរអ្វីទាំងអស់មានតែអក្សរបានផ្លាស់ប្តូរ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាប្រតិបត្តិការ?

ដំបូងអ្នកនឹងត្រូវការ តារាងដើមនិងរូបភាព. នេះគឺជាឧបករណ៍ដំណោះស្រាយដ៏សំខាន់ ហើយអ្នកមិនអាចធ្វើដោយគ្មានវាបានទេ។ ដូច្នេះ បើអាច សូមព្យាយាមបោះពុម្ពឯកសារយោងដែលបានផ្តល់។ អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំពន្យល់ភ្លាមៗអំពីអត្ថន័យនៃអក្សរ "pe"៖ អថេរស្មុគស្មាញ (ជំនួសឱ្យ "z" ធម្មតា) ។ ទោះបីជាការពិតនេះមិនមានសារៈសំខាន់ជាពិសេសសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាក៏ដោយ "pe" គឺជា "pe" ។

ដោយប្រើតារាង ដើមត្រូវប្រែក្លាយទៅជារូបភាពមួយចំនួន។ អ្វីដែលបន្ទាប់មកគឺជាស៊េរីនៃសកម្មភាពធម្មតា ហើយការបំប្លែង Laplace បញ្ច្រាសត្រូវបានប្រើ (ក្នុងតារាងផងដែរ)។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយពិសេសដែលចង់បាននឹងត្រូវបានរកឃើញ។

បញ្ហាទាំងអស់ដែលល្អគឺត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដ៏តឹងរ៉ឹង។

ឧទាហរណ៍ ១

, ,

ដំណោះស្រាយ៖នៅក្នុងជំហានដំបូង យើងនឹងផ្លាស់ទីពីរូបភាពដើមទៅរូបភាពដែលត្រូវគ្នា។ យើងប្រើផ្នែកខាងឆ្វេង។

ជាដំបូង សូមក្រឡេកមើលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដើម។ សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរ Laplace យើងមាន ច្បាប់លីនេអ៊ែរដូច្នេះហើយ យើងមិនអើពើនឹងថេរទាំងអស់ ហើយធ្វើការដោយឡែកពីគ្នាជាមួយនឹងមុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។

ដោយប្រើរូបមន្តតារាងលេខ 1 យើងបំលែងមុខងារ៖

យោងតាមរូបមន្តលេខ 2 ដោយគិតគូរពីលក្ខខណ្ឌដំបូង យើងបំប្លែងនិស្សន្ទវត្ថុ៖

ដោយប្រើរូបមន្តលេខ 3 ដោយគិតគូរពីលក្ខខណ្ឌដំបូង យើងបំប្លែងដេរីវេទី 2៖

កុំច្រឡំដោយសញ្ញា!

ខ្ញុំទទួលស្គាល់ វាជាការត្រឹមត្រូវជាងក្នុងការនិយាយថាមិនមែន "រូបមន្ត" ប៉ុន្តែ "ការបំប្លែង" ប៉ុន្តែសម្រាប់ភាពសាមញ្ញ ពីពេលមួយទៅពេលមួយខ្ញុំនឹងហៅមាតិកានៃរូបមន្តតារាង។

ឥឡូវយើងមើលខាងស្ដាំដែលមានពហុធា។ ដោយសារតែដូចគ្នា។ ច្បាប់លីនេអ៊ែរការផ្លាស់ប្តូរ Laplace យើងធ្វើការជាមួយពាក្យនីមួយៗដាច់ដោយឡែក។

សូមក្រឡេកមើលពាក្យទីមួយ៖ - នេះគឺជាអថេរឯករាជ្យ “te” គុណនឹងថេរ។ យើងមិនអើពើនឹងថេរ ហើយដោយប្រើចំណុចទី 4 នៃតារាង អនុវត្តការបំប្លែង៖

សូមក្រឡេកមើលពាក្យទីពីរ៖ -៥ ។ នៅពេលរកឃើញថេរតែមួយ វាមិនអាចរំលងបានទៀតទេ។ ជាមួយនឹងថេរតែមួយ ពួកគេធ្វើដូចនេះ៖ ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់ វាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផល៖ ហើយការផ្លាស់ប្តូរអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះការរួបរួម៖

ដូច្នេះសម្រាប់ធាតុទាំងអស់ (ដើម) នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល រូបភាពដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើតារាង៖

ចូរជំនួសរូបភាពដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម៖

ភារកិច្ចបន្ទាប់គឺការបញ្ចេញមតិ ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករតាមរយៈអ្វីៗផ្សេងទៀត ពោលគឺតាមរយៈប្រភាគមួយ។ ក្នុងករណីនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រកាន់ខ្ជាប់នូវនីតិវិធីដូចខាងក្រោមៈ

ដំបូងបើកតង្កៀបនៅខាងឆ្វេង៖

យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នានៅផ្នែកខាងឆ្វេង (ប្រសិនបើមាន)។ ក្នុងករណីនេះយើងបន្ថែមលេខ -2 និង -3 ។ ខ្ញុំសូមណែនាំយ៉ាងមុតមាំថា ចានតែមិនត្រូវរំលងជំហាននេះឡើយ៖

នៅខាងឆ្វេង យើងទុកលក្ខខណ្ឌដែលមាន ហើយផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ទៅខាងស្តាំជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា៖

នៅផ្នែកខាងឆ្វេង យើងដាក់ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករចេញពីតង្កៀប ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំ យើងកាត់បន្ថយកន្សោមទៅជាភាគបែងធម្មតា៖

ពហុធានៅខាងឆ្វេងគួរតែជាកត្តា (ប្រសិនបើអាច)។ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

ដូចនេះ៖

យើងកំណត់ឡើងវិញទៅភាគបែងនៃផ្នែកខាងស្តាំ៖

គោលដៅត្រូវបានសម្រេច - ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃប្រភាគមួយ។

ធ្វើសកម្មភាពពីរ។ ការប្រើប្រាស់ វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនច្បាស់លាស់ដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃសមីការគួរតែត្រូវបានពង្រីកទៅជាផលបូកនៃប្រភាគបឋម៖

ចូរយើងគណនាមេគុណតាមអំណាចដែលត្រូវគ្នា ហើយដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖

ប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហាណាមួយជាមួយ សូមតាមដានអត្ថបទ ការរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ប្រភាគ-សនិទាននិង តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ?នេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ ពីព្រោះប្រភាគជាផ្នែកដ៏សំខាន់បំផុតនៃបញ្ហា។

ដូច្នេះ មេគុណត្រូវបានរកឃើញ៖ ហើយដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករលេចឡើងនៅចំពោះមុខយើងក្នុងទម្រង់រុះរើ៖

សូមចំណាំថាចំនួនថេរមិនត្រូវបានសរសេរជាភាគយកប្រភាគទេ។ ទម្រង់នៃការថតនេះគឺទទួលបានផលចំណេញច្រើនជាង . ហើយវាមានផលចំណេញច្រើនជាងមុន ព្រោះសកម្មភាពចុងក្រោយនឹងប្រព្រឹត្តទៅដោយគ្មានភាពច្របូកច្របល់ និងកំហុស៖

ដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃបញ្ហាគឺត្រូវប្រើការបំប្លែង Laplace បញ្ច្រាស ដើម្បីផ្លាស់ទីពីរូបភាពទៅរូបភាពដើមដែលត្រូវគ្នា។ ដោយប្រើជួរឈរខាងស្តាំ តារាងដើមនិងរូបភាព.

ប្រហែលមិនគ្រប់គ្នាយល់ពីការប្រែចិត្តជឿទេ។ រូបមន្តនៃចំណុចទី 5 នៃតារាងត្រូវបានប្រើនៅទីនេះ: . លម្អិតបន្ថែម៖ . ជាការពិតណាស់ សម្រាប់ករណីស្រដៀងគ្នា រូបមន្តអាចត្រូវបានកែប្រែ៖ . ហើយរូបមន្តតារាងទាំងអស់នៃចំណុចទី 5 គឺងាយស្រួលណាស់ក្នុងការសរសេរឡើងវិញតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសដំណោះស្រាយផ្នែកដែលចង់បាននៃ DE ត្រូវបានទទួលនៅលើចានរាងសំប៉ែតប្រាក់:

គឺ៖

បានក្លាយជា៖

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយឯកជន៖

ប្រសិនបើអ្នកមានពេល វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើការត្រួតពិនិត្យជានិច្ច។ ការត្រួតពិនិត្យត្រូវបានអនុវត្តតាមគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារដែលត្រូវបានពិភាក្សារួចហើយនៅក្នុងថ្នាក់។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលំដាប់ទី២. ចូរយើងនិយាយឡើងវិញ៖

តោះពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង៖
- រួចរាល់។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទី ១៖

ចូរយើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងទីពីរ៖
- រួចរាល់។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទីពីរ៖

ចូរជំនួស , ហើយនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការដើម៖

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដើមត្រូវបានទទួល។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ កិច្ចការត្រូវបានបញ្ចប់យ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍តូចមួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

ឧទាហរណ៍ ២

ដោយប្រើការគណនាប្រតិបត្តិការ ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្រោមលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

គំរូប្រហាក់ប្រហែលនៃកិច្ចការចុងក្រោយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ភ្ញៀវទូទៅបំផុតនៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដូចដែលមនុស្សជាច្រើនបានកត់សម្គាល់ជាយូរមកហើយគឺអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ដូច្នេះសូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយពួកគេ សាច់ញាតិរបស់ពួកគេ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

, ,

ដំណោះស្រាយ៖ដោយប្រើតារាងបំលែង Laplace (ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃតារាង) យើងផ្លាស់ទីពីរូបភាពដើមទៅរូបភាពដែលត្រូវគ្នា។

សូមក្រឡេកមើលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការជាមុនសិន។ មិនមានដេរីវេទី 1 នៅទីនោះទេ។ ដូច្នេះ អ្វី? អស្ចារ្យ។ ការងារតិច។ ដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌដំបូងដោយប្រើរូបមន្តតារាងលេខ 1, 3 យើងរកឃើញរូបភាព:

ឥឡូវមើលផ្នែកខាងស្តាំ៖ - ផលិតផលនៃមុខងារពីរ។ ដើម្បីទាញយកប្រយោជន៍ លក្ខណៈសម្បត្តិលីនេអ៊ែរ Laplace transform អ្នកត្រូវបើកតង្កៀប៖ . ដោយសារចំនួនថេរនៅក្នុងផលិតផល យើងភ្លេចអំពីពួកវា ហើយដោយប្រើក្រុមលេខ 5 នៃរូបមន្តតារាង យើងរកឃើញរូបភាព៖

ចូរជំនួសរូបភាពដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម៖

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា កិច្ចការបន្ទាប់គឺការបង្ហាញពីដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករក្នុងន័យនៃប្រភាគតែមួយ។

នៅផ្នែកខាងឆ្វេង យើងទុកលក្ខខណ្ឌដែលមាន ហើយផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ នៅផ្នែកខាងស្តាំ យើងចាប់ផ្តើមកាត់បន្ថយប្រភាគបន្តិចម្តងៗ ទៅជាភាគបែងរួម៖

នៅខាងឆ្វេងយើងយកវាចេញពីតង្កៀប ហើយនៅខាងស្តាំយើងនាំយកកន្សោមទៅជាភាគបែងរួម៖

នៅផ្នែកខាងឆ្វេង យើងទទួលបានពហុនាមដែលមិនអាចធ្វើជាកត្តាបានទេ។ ប្រសិនបើពហុនាមមិនអាចធ្វើកត្តាបានទេ នោះអ្នកក្រត្រូវបោះចោលភ្លាមៗនៅផ្នែកខាងស្តាំ ជើងរបស់គាត់បានបេតុងនៅក្នុងអាង។ ហើយនៅក្នុងភាគយក យើងបើកតង្កៀប ហើយបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា៖

ដំណាក់កាលដ៏ឈឺចាប់បំផុតបានមកដល់៖ វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។ចូរយើងពង្រីកដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករនៃសមីការទៅជាផលបូកនៃប្រភាគបឋម៖

ដូចនេះ៖

សូមកត់សម្គាល់ពីរបៀបដែលប្រភាគត្រូវបានរំលាយ៖ ខ្ញុំនឹងពន្យល់ឆាប់ៗនេះថាហេតុអ្វីបានជាដូច្នេះ។

បញ្ចប់៖ តោះផ្លាស់ទីពីរូបភាពទៅដើមដែលត្រូវគ្នា ប្រើជួរឈរខាងស្តាំនៃតារាង៖

នៅក្នុងការបំប្លែងទាបទាំងពីរ រូបមន្តលេខ 6 និង 7 នៃតារាងត្រូវបានគេប្រើ ហើយប្រភាគត្រូវបានពង្រីកជាមុនដើម្បី "សម" វាទៅនឹងការបំប្លែងតារាង។

ជាលទ្ធផលដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយពិសេសដែលត្រូវការ៖

ឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដំណោះស្រាយ DIY:

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាប្រតិបត្តិការ។

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 4 លក្ខខណ្ឌដំបូងមួយគឺសូន្យ។ នេះពិតជាជួយសម្រួលដំណោះស្រាយ ហើយជម្រើសដ៏ល្អបំផុតគឺនៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌដំបូងទាំងពីរគឺសូន្យ៖ . ក្នុងករណីនេះ និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានបំប្លែងទៅជារូបភាពដោយគ្មានកន្ទុយ៖

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយទិដ្ឋភាពបច្ចេកទេសដ៏លំបាកបំផុតនៃបញ្ហាគឺការពង្រីកប្រភាគ វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន។ហើយខ្ញុំមានឧទាហរណ៍ដែលប្រើកម្លាំងពលកម្មយ៉ាងខ្លាំងនៅពេលដែលខ្ញុំអាចធ្វើបាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងមិនបំភិតបំភ័យនរណាម្នាក់ជាមួយសត្វចម្លែកទេ ចូរយើងពិចារណាពីការប្រែប្រួលធម្មតាមួយចំនួនទៀតនៃសមីការ៖

ឧទាហរណ៍ 5

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណនាប្រតិបត្តិការ ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
, ,

ដំណោះស្រាយ៖ដោយប្រើតារាងបំលែង Laplace យើងផ្លាស់ទីពីរូបភាពដើមទៅរូបភាពដែលត្រូវគ្នា។ ពិចារណាលើលក្ខខណ្ឌដំបូង :

មិនមានបញ្ហាជាមួយផ្នែកខាងស្តាំទេ៖

(សូមចាំថាមេគុណថេរមិនត្រូវបានអើពើ)

ចូរជំនួសរូបភាពលទ្ធផលទៅជាសមីការដើម ហើយអនុវត្តសកម្មភាពស្តង់ដារ ដែលខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកបានដំណើរការល្អរួចហើយ៖

យើងយកថេរនៅក្នុងភាគបែងនៅខាងក្រៅប្រភាគ រឿងសំខាន់គឺមិនត្រូវភ្លេចអំពីវានៅពេលក្រោយ៖

ខ្ញុំបានគិតអំពីថាតើត្រូវដកពីរបន្ថែមទៀតចេញពីភាគយកឬអត់ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បន្ទាប់ពីទទួលយកភាគហ៊ុន ខ្ញុំបានសន្និដ្ឋានថា ជំហាននេះនឹងមិនធ្វើឱ្យការសម្រេចចិត្តបន្ថែមទៀតងាយស្រួលនោះទេ។

ភាពប្លែកនៃកិច្ចការគឺប្រភាគលទ្ធផល។ វាហាក់បីដូចជាការរលួយរបស់វានឹងមានរយៈពេលវែង និងពិបាក ប៉ុន្តែការលេចឡើងគឺបោកបញ្ឆោត។ តាមធម្មជាតិ មានរឿងពិបាក ប៉ុន្តែក្នុងករណីណាក៏ដោយ - ទៅមុខដោយគ្មានការភ័យខ្លាច និងការសង្ស័យ៖

ការពិតដែលថាហាងឆេងមួយចំនួនបានប្រែទៅជាប្រភាគមិនគួរមានការភ័ន្តច្រឡំទេ ស្ថានភាពនេះមិនមែនជារឿងចម្លែកទេ។ បើគ្រាន់តែបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រមិនបរាជ័យ។ លើសពីនេះទៀតវាតែងតែមានឱកាសដើម្បីពិនិត្យមើលចម្លើយ។

ជាលទ្ធផលដំណោះស្រាយប្រតិបត្តិករ៖