Ուղղանկյուն կոորդինատների փոխակերպումը հարթության վրա. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատների փոխակերպումը հարթության վրա և տարածության մեջ: Ի. Պրիվալով «Անալիտիկ երկրաչափություն»

Գլուխ I. Վեկտորները հարթության վրա և տարածության մեջ

§ 13. Անցում մեկ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգից մյուսին

Այս թեմանԱռաջարկում ենք դիտարկել երկու տարբերակ.

1) Ըստ Ի.Ի.Պրիվալովի «Անալիտիկ երկրաչափություն» դասագրքի (դասագիրք բարձրագույն տեխնիկական ուսումնական հաստատություններ 1966)

Պրիվալով «Անալիտիկ երկրաչափություն»

§ 1. Կոորդինացնել փոխակերպման խնդիրը.

Հարթության վրա կետի դիրքը որոշվում է որոշ կոորդինատային համակարգի նկատմամբ երկու կոորդինատներով: Կետի կոորդինատները կփոխվեն, եթե ընտրենք այլ կոորդինատային համակարգ։

Կոորդինատների փոխակերպման խնդիրն է այնպես որ, իմանալով կոորդինատային համակարգի մի կետի կոորդինատները, գտնենք դրա կոորդինատները մեկ այլ համակարգում.

Այս խնդիրը կլուծվի, եթե սահմանենք երկու համակարգերում կամայական կետի կոորդինատները միացնող բանաձևեր, և այդ բանաձևերի գործակիցները ներառեն հաստատուն մեծություններ, որոնք որոշում են համակարգերի հարաբերական դիրքը:

Թող տրվի երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգ xOyԵվ XO 1 Յ(նկ. 68):

Նոր համակարգի դիրքորոշումը XO 1 Յհամեմատ հին համակարգի xOyկորոշվի, եթե հայտնի լինեն կոորդինատները Ա Եվ բ Նոր սկիզբ O 1ըստ հին համակարգի և անկյունի α առանցքների միջև Օ՜Եվ O 1 X. Նշենք ըստ XԵվ ժամը M կամայական M կետի կոորդինատները՝ համեմատած հին համակարգի, նոր համակարգի նկատմամբ նույն կետի X և Y կոորդինատների միջոցով: Մեր խնդիրն է ապահովել, որ հին կոորդինատները XԵվ ժամըարտահայտված նոր X-ով և Y-ով: Ստացված փոխակերպման բանաձևերը պետք է ակնհայտորեն ներառեն հաստատուններ ա, բ Եվ α .

Սրա լուծումը ընդհանուր առաջադրանքմենք ստանում ենք երկու հատուկ դեպք դիտարկելուց:

1. Կոորդինատների ծագումը փոխվում է, բայց առանցքների ուղղությունները մնում են անփոփոխ ( α = 0).

2. Առանցքների ուղղությունները փոխվում են, բայց կոորդինատների սկզբնաղբյուրը մնում է անփոփոխ ( ա = բ = 0).

§ 2. Կոորդինատների սկզբնաղբյուրի փոխանցում.

Թող տրվեն տարբեր ծագում ունեցող դեկարտյան կոորդինատների երկու համակարգեր ՕԵվ O 1և առանցքների նույն ուղղությունները (նկ. 69):

Նշենք ըստ Ա Եվ բ նոր սկզբի կոորդինատները O 1հին համակարգում և միջոցով x, yԵվ X, Յ- կամայական M կետի կոորդինատները հին և նոր համակարգերում համապատասխանաբար: M կետի նախագծում առանցքի վրա O 1 XԵվ Օ՜, ինչպես նաև մի կետ O 1մեկ առանցքի Օ՜, մենք անցնում ենք առանցքի Օ՜երեք կետ Օ, ԱհԵվ Ռ. Սեգմենտի չափերը ՕԱ, ԱՌԵվ ԿԱՄկապված են հետևյալ հարաբերություններով.

| ՕԱ| + | ԱՌ | = | ԿԱՄ |. (1)

Նկատելով, որ | ՕԱ| = Ա , | ԿԱՄ | = X , | ԱՌ | = | O 1 R 1 | = X, մենք վերագրում ենք հավասարությունը (1) ձևով.

Ա + X = x կամ x = X + Ա . (2)

Նմանապես, նախագծելով Մ և O 1Օրինատների առանցքի վրա մենք ստանում ենք.

y = Յ + բ (3)

Այսպիսով, հին կոորդինատը հավասար է նորին գումարած նոր ծագման կոորդինատը՝ ըստ հին համակարգի։

(2) և (3) բանաձևերից նոր կոորդինատները կարող են արտահայտվել հների միջոցով.

X = x - ա , (2")

Յ = y - բ . (3")

§ 3. Կոորդինատային առանցքների պտույտ:

Թող տրվեն նույն ծագմամբ երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգեր ՄԱՍԻՆև առանցքների տարբեր ուղղություններ (նկ. 70):

Թող α առանցքների միջև կա անկյուն Օ՜Եվ Օհ. Նշենք ըստ x, y Եվ X, Yկամայական M կետի կոորդինատները, համապատասխանաբար, հին և նոր համակարգերում.

X = | ԿԱՄ | , ժամը = | վարչապետ | ,

X= | ԿԱՄ 1 |, Յ= | Պ 1 Մ |.

Դիտարկենք կոտրված գիծ ԿԱՄ 1 պատգամավորև վերցրեք դրա պրոյեկցիան առանցքի վրա Օ՜. Նկատի ունենալով, որ ճեղքված գծի պրոյեկցիան հավասար է փակվող հատվածի պրոյեկցիայի (Գլուխ I, § 8) մենք ունենք.

ԿԱՄ 1 պատգամավոր = | ԿԱՄ |. (4)

Մյուս կողմից, կոտրված գծի պրոյեկցիան հավասար է նրա կապերի պրոյեկցիաների գումարին (Գլուխ I, § 8); հետևաբար, հավասարությունը (4) կգրվի հետևյալ կերպ.

և այլն ԿԱՄ 1+ պր Պ 1 Մ+ պր պատգամավոր= | ԿԱՄ | (4")

Քանի որ ուղղորդված հատվածի պրոյեկցիան հավասար է դրա մեծությանը` բազմապատկված պրոյեկցիաների առանցքի և այն առանցքի միջև անկյան կոսինուսով, որի վրա ընկած է հատվածը (Գլուխ I, § 8), ապա.

և այլն ԿԱՄ 1 = X cos α

և այլն Պ 1 Մ = Յ cos (90° + α ) = - Յմեղք α ,

պր պատգամավոր= 0.

Հետևաբար հավասարությունը (4") տալիս է մեզ.

x = X cos α - Յմեղք α . (5)

Նմանապես, նույն պոլիգիծը նախագծելով առանցքի վրա OU, մենք ստանում ենք արտահայտություն ժամը. Փաստորեն, մենք ունենք.

և այլն ԿԱՄ 1+ պր Պ 1 Մ+ պր պատգամավոր= pp ԿԱՄ = 0.

Նկատելով դա

և այլն ԿԱՄ 1 = X cos( α - 90 °) = Xմեղք α ,

և այլն Պ 1 Մ = Յ cos α ,

պր պատգամավոր = - y ,

Կունենա:

Xմեղք α + Յ cos α - y = 0,

y = Xմեղք α + Յ cos α . (6)

(5) և (6) բանաձևերից մենք ստանում ենք նոր կոորդինատներ XԵվ Յարտահայտված հին միջոցով X Եվ ժամը , եթե լուծենք (5) և (6) հավասարումները XԵվ Յ.

Մեկնաբանություն.Բանաձևերը (5) և (6) կարելի է տարբեր կերպ ձեռք բերել:

Սկսած Նկ. 71 մենք ունենք.

X = ԿԱՄ = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ -ՕՄ մեղք α մեղք φ ,

ժամը = RM = OM մեղք ( α + φ ) = OM մեղք α cos φ + OM cos α մեղք φ .

Քանի որ (Գլուխ I, § 11) OM cos φ = X, ՕՄ մեղք φ =Յ, Դա

x = X cos α - Յմեղք α , (5)

y = Xմեղք α + Յ cos α . (6)

§ 4. Ընդհանուր գործ.

Թող բերվեն երկու դեկարտյան կոորդինատային համակարգեր՝ տարբեր սկզբնավորմամբ և առանցքների տարբեր ուղղություններով (նկ. 72):

Նշենք ըստ Ա Եվ բ նոր սկզբի կոորդինատները ՄԱՍԻՆ, ըստ հին համակարգի, միջոցով α - կոորդինատային առանցքների պտտման անկյունը և, վերջապես, միջով x, y Եվ X, Y- կամայական M կետի կոորդինատները ըստ հին և նոր համակարգերի համապատասխանաբար.

Արտահայտել X Եվ ժամը միջոցով XԵվ Յ, ներկայացնենք օժանդակ կոորդինատային համակարգ x 1 Օ 1 y 1, որի սկիզբը կտեղադրվի նոր սկզբում ՄԱՍԻՆ 1, և վերցրեք առանցքների ուղղությունները, որպեսզի համընկնեն հին առանցքների ուղղությունների հետ: Թող x 1 և y 1-ում նշվում են M կետի կոորդինատները այս օժանդակ համակարգի նկատմամբ: Անցնելով հին կոորդինատային համակարգից օժանդակ համակարգին, մենք ունենք (§ 2).

X = X 1 + ա , y = y 1 +b .

X 1 = X cos α - Յմեղք α , y 1 = Xմեղք α + Յ cos α .

Փոխարինելով X 1 և y 1-ը նախորդ բանաձևերում վերջին բանաձևերից իրենց արտահայտություններով վերջապես գտնում ենք.

x = X cos α - Յմեղք α + ա

y = Xմեղք α + Յ cos α + բ (ես)

Բանաձևերը (I) պարունակում են երկուսն էլ հատուկ դեպքբանաձեւերը §§ 2 եւ 3. Այսպիսով, հետ α = 0 բանաձևեր (I) վերածվում են

x = X + Ա , y = Յ + բ ,

եւ երբ ա = բ = 0 մենք ունենք.

x = X cos α - Յմեղք α , y = Xմեղք α + Յ cos α .

Բանաձևերից (I) մենք ստանում ենք նոր կոորդինատներ XԵվ Յարտահայտված հին միջոցով X Եվ ժամը , եթե (I) հավասարումները լուծելի են նկատմամբ XԵվ Յ.

Նկատենք բանաձևերի (I) մի շատ կարևոր հատկություն. դրանք գծային են XԵվ Յ, այսինքն՝ ձևի.

x = AX + BY + C, y = Ա 1 X+B 1 Y+C 1 .

Հեշտ է ստուգել, ​​որ նոր կոորդինատներն են XԵվ Յկարտահայտվի հին միջոցով X Եվ ժամը նաև առնչվող առաջին աստիճանի բանաձևերով X Եվ u.

Գ.Ն.Յակովլև «Երկրաչափություն»

§ 13. Անցում մեկ ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգից մյուսին

Ընտրելով ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ՝ հաստատվում է մեկ առ մեկ համապատասխանություն հարթության կետերի և իրական թվերի դասավորված զույգերի միջև։ Սա նշանակում է, որ հարթության յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ զույգ թվերի, իսկ իրական թվերի յուրաքանչյուր դասավորված զույգ համապատասխանում է մեկ կետի։

Այս կամ այն ​​կոորդինատային համակարգի ընտրությունը որևէ կերպ սահմանափակված չէ և յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում որոշվում է միայն հարմարության նկատառումներով: Հաճախ նույն հավաքածուն պետք է դիտարկել տարբեր կոորդինատային համակարգերում: Տարբեր համակարգերում նույն կետն ակնհայտորեն տարբեր կոորդինատներ ունի: Տարբեր կոորդինատային համակարգերում կետերի բազմությունը (մասնավորապես՝ շրջան, պարաբոլա, ուղիղ գիծ) տրված է տարբեր հավասարումներով։

Եկեք պարզենք, թե ինչպես են փոխակերպվում հարթության վրա գտնվող կետերի կոորդինատները մի կոորդինատային համակարգից մյուսը անցնելիս:

Թող հարթության վրա տրվեն երկու ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր՝ O, ես, ժ և մոտ», ես», ժ» (նկ. 41):

Առաջին համակարգը, որի սկիզբն է O կետը և հիմքի վեկտորները ես Եվ ժ եկեք պայմանավորվենք անվանել այն հինը, երկրորդը` սկիզբը O կետից և հիմքի վեկտորները ես" Եվ ժ» - նոր.

Մենք հայտնի կհամարենք նոր համակարգի դիրքը հին համակարգի նկատմամբ. թող հին համակարգում O կետը ունենա կոորդինատներ ( ա;բ ), վեկտոր ես" ձևեր վեկտորով ես անկյուն α . Անկյուն α Մենք հաշվում ենք ժամացույցի սլաքի շարժմանը հակառակ ուղղությամբ:

Դիտարկենք կամայական M կետը: Նշենք դրա կոորդինատները հին համակարգում (( x;y ), նորում - միջոցով ( x";y" ) Մեր խնդիրն է հաստատել M կետի հին և նոր կոորդինատների հարաբերությունները։

Եկեք զույգերով միացնենք O և O, O, O և M, O և M կետերը: Օգտագործելով եռանկյունի կանոնը՝ ստանում ենք.

Օ.Մ > = OO" > + Օ"Մ > . (1)

Ընդլայնենք վեկտորները Օ.Մ> և OO"> ըստ հիմքի վեկտորների ես Եվ ժ , և վեկտորը Օ"Մ> ըստ հիմքի վեկտորների ես" Եվ ժ» :

Օ.Մ > = x ես+ y ժ , OO" > = ա ես+b ժ , Օ"Մ > = x" ես«+ y» ժ "

Այժմ հավասարությունը (1) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

x ես+ y ժ = (ա ես+b ժ ) + (x" ես«+ y» ժ "). (2)

Նոր հիմքի վեկտորներ ես" Եվ ժ» ընդլայնվում են ըստ հին հիմքի վեկտորների ես Եվ ժ հետևյալ կերպ.

ես" =cos α ես + մեղք α ժ ,

ժ» =cos( π / 2 + α ) ես + մեղք ( π / 2 + α ) ժ = - մեղք α ես + cos α ժ .

Գտնված արտահայտությունների փոխարինում ես" Եվ ժ» բանաձևով (2) մենք ստանում ենք վեկտորի հավասարություն

x ես+ y ժ = ա ես+b ժ + X"(cos α ես + մեղք α ժ ) + y"(- մեղք α ես + cos α ժ )

համարժեք է երկու թվային հավասարության.

x = a + X" cos α - y"մեղք α , ժամը = բ+ X"մեղք α + y" cos α

Բանաձևերը (3) տալիս են հին կոորդինատների պահանջվող արտահայտությունները XԵվ ժամըմատնանշում է իր նոր կոորդինատները X"Եվ y". Հների առումով նոր կոորդինատների արտահայտություններ գտնելու համար բավական է լուծել (3) հավասարման համակարգը անհայտների նկատմամբ. X"Եվ y".

Այսպիսով, այն կետերի կոորդինատները, երբ կոորդինատների սկզբնաղբյուրը փոխանցվում է կետին ( Ա; բ ) և առանցքները շրջել անկյան տակ α փոխակերպվում են ըստ (3) բանաձևերի։

Եթե ​​փոխվում է միայն կոորդինատների սկզբնաղբյուրը, և առանցքների ուղղությունները մնում են նույնը, ապա, ենթադրելով (3) բանաձևով. α = 0, մենք ստանում ենք

Բանաձևերը (5) կոչվում են ռոտացիայի բանաձևեր.

Առաջադրանք 1.Հին համակարգում նոր սկզբի կոորդինատները թող լինեն (2; 3), իսկ A կետի կոորդինատները հին համակարգում (4; -1): Գտե՛ք նոր համակարգում A կետի կոորդինատները, եթե առանցքների ուղղությունները մնում են նույնը:

Ըստ (4) բանաձևերի ունենք

Պատասխանել. A(2;-4)

Առաջադրանք 2.Հին համակարգում P կետի կոորդինատները թող լինեն (-2; 1), իսկ նոր համակարգում, որի առանցքների ուղղությունները նույնն են, այս կետի կոորդինատները (5; 3): Գտե՛ք նոր սկզբի կոորդինատները հին համակարգում:

A (4) բանաձևերից մենք ստանում ենք

- 2= ա + 5 1 = բ + 3

որտեղ Ա = - 7, բ = - 2.

Պատասխանել. (-7; -2):

Առաջադրանք 3.Ա կետի կոորդինատները նոր համակարգում (4; 2). Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները հին համակարգում, եթե սկզբնաղբյուրը մնում է նույնը, և հին համակարգի կոորդինատային առանցքները պտտվում են անկյան տակ։ α = 45 °:

Օգտագործելով (5) բանաձևերը՝ գտնում ենք

Առաջադրանք 4.Ա կետի կոորդինատները հին համակարգում (2 √3 ; - √3 ). Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները նոր համակարգում, եթե հին համակարգի սկզբնաղբյուրը տեղափոխվում է (-1;-2) կետ և առանցքները պտտվում են անկյան տակ։ α = 30 °:

Ըստ (3) բանաձևերի ունենք

Լուծելով այս հավասարումների համակարգը X"Եվ y", մենք գտնում ենք. X" = 4, y" = -2.

Պատասխանել. Ա (4; -2):

Առաջադրանք 5.Տրված է գծի հավասարումը ժամը = 2X - 6. Նոր կոորդինատային համակարգում գտե՛ք նույն ուղիղի հավասարումը, որը ստացվում է հին համակարգից՝ առանցքները անկյան տակ պտտելով. α = 45 °:

Պտտման բանաձևերը այս դեպքում ունեն ձևը

Հավասարման մեջ ուղիղ գիծը փոխարինելը ժամը = 2X - 6 հին փոփոխականներ X Եվ ժամը նոր, մենք ստանում ենք հավասարումը

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

որը պարզեցումներից հետո ստանում է ձև y" = x" / 3 - 2√2

Գլուխ 1. Լրացում. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատների փոխակերպումը հարթության վրա և տարածության մեջ: Հատուկ կոորդինատային համակարգեր հարթության վրա և տիեզերքում:

Հարթության վրա և տարածության մեջ կոորդինատային համակարգերի կառուցման կանոնները քննարկվում են 1-ին գլխի հիմնական մասում: Նշվել է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգերի օգտագործման հարմարությունը: Վերլուծական երկրաչափության գործիքների գործնական կիրառման ժամանակ հաճախ անհրաժեշտություն է առաջանում վերափոխելու ընդունված կոորդինատային համակարգը: Սա սովորաբար թելադրվում է հարմարության նկատառումներով. երկրաչափական պատկերները պարզեցվում են, վերլուծական մոդելները և հաշվարկներում օգտագործվող հանրահաշվական արտահայտությունները դառնում են ավելի պարզ:

Հատուկ կոորդինատային համակարգերի կառուցումն ու օգտագործումը՝ բևեռային, գլանաձև և գնդաձև, թելադրվում է երկրաչափական իմաստխնդիրը լուծվում է. Հատուկ կոորդինատային համակարգերի օգտագործմամբ մոդելավորումը հաճախ հեշտացնում է վերլուծական մոդելների մշակումն ու օգտագործումը գործնական խնդիրների լուծման համար:

Գլուխ 1-ի Հավելվածում ստացված արդյունքները կօգտագործվեն գծային հանրահաշիվում, որոնցից շատերը մաթեմատիկական վերլուծությունև ֆիզիկայում։

Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատների փոխակերպումը հարթության վրա և տարածության մեջ:

Հարթության վրա և տարածության մեջ կոորդինատային համակարգի կառուցման խնդիրը դիտարկելիս նշվեց, որ կոորդինատային համակարգը ձևավորվում է մի կետում հատվող թվային առանցքներով. հարթության վրա պահանջվում է երկու առանցք, երեքը՝ տարածության մեջ։ Վեկտորների վերլուծական մոդելների կառուցման, վեկտորների շահագործման սկալյար արտադրյալի ներդրման և երկրաչափական բովանդակության խնդիրների լուծման հետ կապված, ցույց է տրվել, որ առավել նախընտրելի է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգերի օգտագործումը։

Եթե ​​վերացականորեն դիտարկենք կոնկրետ կոորդինատային համակարգի վերափոխման խնդիրը, ապա ընդհանուր դեպքում հնարավոր կլինի թույլ տալ կոորդինատային առանցքների կամայական տեղաշարժը տվյալ տարածքում՝ առանցքները կամայականորեն անվանափոխելու իրավունքով։

Մենք սկսելու ենք առաջնային հայեցակարգից տեղեկատու համակարգեր , ընդունված ֆիզիկայում։ Դիտարկելով մարմինների շարժումը՝ պարզվեց, որ մեկուսացված մարմնի շարժումն ինքնին չի կարող որոշվել։ Պետք է ունենալ առնվազն ևս մեկ մարմին, որի նկատմամբ նկատվում է շարժում, այսինքն՝ դրա փոփոխություն ազգական դրույթները։ Վերլուծական մոդելներ, օրենքներ և շարժում ստանալու համար կոորդինատային համակարգը կապված էր այս երկրորդ մարմնի հետ՝ որպես հղման համակարգ, և այնպես, որ կոորդինատային համակարգը ամուր !

Քանի որ կամայական շարժում ամուրՏիեզերքի մի կետից մյուսը կարող է ներկայացվել երկու անկախ շարժումներով՝ թարգմանական և պտտվող, այնուհետև կոորդինատային համակարգը փոխակերպելու տարբերակները սահմանափակվեցին երկու շարժումով.

1). Զուգահեռ փոխանցում. մենք հետևում ենք միայն մեկ կետի` կետին:

2). Կոորդինատային համակարգի առանցքների պտույտը կետի նկատմամբ՝ որպես կոշտ մարմին:

Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատների փոխակերպում հարթության վրա.

Եկեք հարթության վրա ունենանք կոորդինատային համակարգեր՝ , և . Կոորդինատային համակարգը ստացվում է համակարգի զուգահեռ թարգմանությամբ։ Կոորդինատային համակարգը ստացվում է համակարգը պտտելով անկյան միջով, իսկ պտույտի դրական ուղղությունը ընդունվում է որպես առանցքի ժամացույցի սլաքի հակառակ պտույտ:

Եկեք որոշենք ընդունված կոորդինատային համակարգերի հիմքային վեկտորները: Քանի որ համակարգը ստացվել է համակարգի զուգահեռ փոխանցման արդյունքում, ապա այս երկու համակարգերի համար էլ մենք ընդունում ենք բազային վեկտորները՝ , և միավորները և համապատասխանաբար համընկնում են կոորդինատային առանցքների ուղղությամբ: Համակարգի համար, որպես հիմքի վեկտորներ, մենք կվերցնենք միավոր վեկտորները, որոնք ուղղված են առանցքների, .

Թող տրվի կոորդինատային համակարգ և դրանում սահմանվի կետ =: Մենք կենթադրենք, որ մինչև փոխակերպումը մենք ունենք համընկնող կոորդինատային համակարգեր և . Եկեք կիրառենք զուգահեռ թարգմանություն վեկտորով սահմանված կոորդինատային համակարգին: Պահանջվում է սահմանել կետի կոորդինատային փոխակերպումը: Եկեք օգտագործենք վեկտորի հավասարությունը՝ = + , կամ.

Եկեք պատկերացնենք զուգահեռ թարգմանության փոխակերպումը տարրական հանրահաշիվում հայտնի օրինակով:

Օրինակ Դ–1 Տրված է պարաբոլայի հավասարումը. = = . Այս պարաբոլայի հավասարումը հասցրե՛ք նրա ամենապարզ ձևին:

Լուծում:

1). Եկեք օգտագործենք տեխնիկան ընդգծելով ամբողջական քառակուսի : = , որը հեշտությամբ կարելի է ներկայացնել որպես՝ –3 = .

2). Եկեք կիրառենք կոորդինատների փոխակերպումը - զուգահեռ փոխանցում :=. Դրանից հետո պարաբոլայի հավասարումը ստանում է ձև. Այս փոխակերպումը հանրահաշիվում սահմանվում է հետևյալ կերպ. պարաբոլա = ստացվում է ամենապարզ պարաբոլը 2-ով դեպի աջ տեղափոխելով և 3 միավորով վերև:

Պատասխան. Պարաբոլայի ամենապարզ ձևն է.

Թող տրվի կոորդինատային համակարգ և դրանում սահմանվի կետ =: Մենք կենթադրենք, որ մինչև փոխակերպումը մենք ունենք համընկնող կոորդինատային համակարգեր և . Եկեք կիրառենք պտտման փոխակերպում կոորդինատային համակարգին, որպեսզի իր սկզբնական դիրքի համեմատ, այսինքն՝ համակարգի համեմատ, ստացվի, որ այն պտտվում է անկյան տակ: Պահանջվում է սահմանել = կետի կոորդինատային փոխակերպումը: Գրենք վեկտորը կոորդինատային համակարգերում և : = . (2) =1. Երկրորդ կարգի տողերի տեսությունից հետևում է, որ ստացվել է էլիպսի ամենապարզ (կանոնական!) հավասարումը։

Պատասխան՝ տրված ուղիղի ամենապարզ ձևը՝ =1 էլիպսի կանոնական հավասարումն է։

Թեմա 5. Գծային փոխակերպումներ.

Կոորդինատների համակարգանվանեք մի մեթոդ, որը թույլ է տալիս միանշանակորեն որոշել կետի դիրքը որոշ թվերի նկատմամբ երկրաչափական պատկեր. Օրինակները ներառում են կոորդինատային համակարգ ուղիղ գծի վրա՝ կոորդինատային առանցք և ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգեր, համապատասխանաբար, հարթության վրա և տարածության մեջ:

Եկեք հարթության վրա մեկ xy կոորդինատային համակարգից անցնենք մեկ այլ համակարգի, այսինքն. Եկեք պարզենք, թե ինչպես են դրանք կապված Դեկարտյան կոորդինատներընույն կետը այս երկու համակարգերում:

Եկեք նախ դիտարկենք զուգահեռ փոխանցումուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգ xy, այսինքն՝ այն դեպքը, երբ առանցքները և նոր համակարգի առանցքները զուգահեռ են հին համակարգի համապատասխան x և y առանցքներին և ունեն նույն ուղղությունները։

Եթե ​​հայտնի են xy համակարգում M (x; y) և (a; b) կետերի կոորդինատները, ապա (նկ. 15) համակարգում M կետն ունի կոորդինատներ.

Թող ρ երկարությամբ OM հատվածը անկյուն կազմի և. Այնուհետև (նկ. 16) OM հատվածը x առանցքի հետ անկյուն է կազմում և xy համակարգում M կետի կոորդինատները հավասար են. , .

Հաշվի առնելով, որ համակարգում M կետի կոորդինատները հավասար են և -ին, ստանում ենք

«Ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ» անկյան տակ պտտվելիս համապատասխանաբար ստանում ենք.

Խնդիր 0.54. Որոշե՛ք M(-3; 7) կետի կոորդինատները նոր x/y/ կոորդինատային համակարգում, որի սկզբնաղբյուրը 0/ գտնվում է (3; -4) կետում, իսկ առանցքները զուգահեռ են հնի առանցքներին։ կոորդինատային համակարգ և ունեն նույն ուղղությունները, ինչ իրենց:

Լուծում. Եկեք փոխարինենք հայտնի կոորդինատներ M և O / կետերը բանաձևի մեջ են. x / = x-a, y / = y-b:
Ստանում ենք՝ x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11: ՊատասխանելՄ / (-6; 11):

§2. Գծային փոխակերպման հայեցակարգը, դրա մատրիցը:

Եթե ​​X բազմության յուրաքանչյուր x տարր, ըստ f կանոնի, համապատասխանում է Y բազմության մեկ և միայն մեկ տարր y, ապա ասում ենք, որ տրվածը. ցուցադրել X բազմության f-ը մտնում է Y բազմություն, և X բազմությունը կոչվում է սահմանման տիրույթցուցադրել զ . Եթե, մասնավորապես, x 0 Î X տարրը համապատասխանում է y 0 Î Y տարրին, ապա գրեք y 0 = f (x 0): Այս դեպքում կոչվում է y 0 տարրը ճանապարհտարր x 0 և տարր x 0 - նախատիպըտարրը 0-ում: Բոլոր պատկերներից բաղկացած Y բազմության Y 0 ենթաբազմությունը կոչվում է իմաստների հավաքածուցուցադրել զ.

Եթե ​​f քարտեզագրման ժամանակ X բազմության տարբեր տարրեր համապատասխանում են Y բազմության տարբեր տարրերին, ապա f-ի քարտեզագրումը կոչվում է. շրջելի.

Եթե ​​Y 0 = Y, ապա f-ի քարտեզագրումը կոչվում է X բազմության քարտեզագրում վրա setY.

X բազմության անշրջելի քարտեզագրումը Y բազմության վրա կոչվում է մեկ առ մեկ.

Բազմությունը բազմության մեջ քարտեզագրելու հայեցակարգի հատուկ դեպքերը հասկացությունն են թվային ֆունկցիաև հայեցակարգ երկրաչափական քարտեզագրում.

Եթե ​​f-ի քարտեզագրումը X բազմության յուրաքանչյուր տարրի հետ կապում է նույն X բազմության մեկ տարրը, ապա այդպիսի քարտեզագրումը կոչվում է. վերափոխումսահմանում է X.

Թող տրվի L n գծային տարածության n-չափ վեկտորների բազմություն։

n-չափ գծային L n տարածության f փոխակերպումը կոչվում է գծայինփոխակերպումը, եթե

L n-ից ցանկացած վեկտորի և α և β իրական թվերի համար: Այլ կերպ ասած, փոխակերպումը կոչվում է գծային, եթե վեկտորների գծային համակցությունը վերածվում է նրանց պատկերների գծային համակցության: նույնի հետգործակիցները։

Եթե ​​վեկտորը տրված է որոշակի հիմքով, և f փոխակերպումը գծային է, ապա ըստ սահմանման որտեղ են գտնվում հիմքի վեկտորների պատկերները:

Հետևաբար, գծային փոխակերպումն ամբողջությամբ սահմանված է, եթե տրված են դիտարկվող գծային տարածության հիմքային վեկտորների պատկերները.

(12)

Մատրիցա որում k-րդ սյունակը վեկտորի կոորդինատային սյունն է հիմքում, կոչ մատրիցագծային վերափոխումզ այս հիմքում.

Det L որոշիչը կոչվում է f փոխակերպման որոշիչ, իսկ Rg L՝ գծային փոխակերպման աստիճանը f:

Եթե ​​գծային փոխակերպման մատրիցը ոչ եզակի է, ապա փոխակերպումն ինքնին ոչ եզակի է: Այն փոխակերպում է L n մեկ-մեկ տարածությունը իր մեջ, այսինքն. L n-ից յուրաքանչյուր վեկտոր իր յուրահատուկ վեկտորի պատկերն է:

Եթե ​​գծային փոխակերպման մատրիցը եզակի է, ապա փոխակերպումն ինքնին եզակի է: Այն փոխակերպում է L n գծային տարածությունը դրա որոշ մասի։

Թեորեմ.L մատրիցով f գծային փոխակերպումը վեկտորին կիրառելու արդյունքում դա վեկտոր է ստացվում այնպիսին է, որ .

Փակագծերում գրված թվերը վեկտորի կոորդինատներն են ըստ հիմքի.

(13)

Մատրիցային բազմապատկման գործողության սահմանմամբ (13) համակարգը կարող է փոխարինվել մատրիցով

հավասարություն , ինչը ապացուցման կարիք ուներ։

Օրինակներգծային փոխակերպումներ.

1. x առանցքի երկայնքով ձգվածությունը k 1 անգամ, իսկ y առանցքի երկայնքով k 2 անգամ xy հարթության վրա որոշվում է մատրիցով և կոորդինատների փոխակերպման բանաձևերն ունեն ձև՝ x / = k 1 x; y / = k 2 y.

2. xy հարթության վրա y առանցքի նկատմամբ հայելային արտացոլումը որոշվում է մատրիցով և կոորդինատների փոխակերպման բանաձևերն ունեն ձև՝ x / = -x, y / = y:

Թող հարթության վրա տրվեն երկու կամայական դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր: Առաջինը որոշվում է O-ի սկզբով և հիմքի վեկտորներով ես ժ , երկրորդը՝ կենտրոն ՄԱՍԻՆ'և հիմքի վեկտորները ես ’ ժ ’ .

Նպատակ դնենք M ինչ-որ կետի x y կոորդինատներն արտահայտելու առաջին կոորդինատային համակարգի միջոցով x’ Եվ y’ – նույն կետի կոորդինատները երկրորդ համակարգի նկատմամբ:

նկատել, որ

Առաջին համակարգի նկատմամբ O’ կետի կոորդինատները նշանակենք a և b-ով.

Ընդլայնենք վեկտորները ես ’ Եվ ժ ’ հիմքով ես ժ :

(*)

Բացի այդ, մենք ունենք.
. Այստեղ ներկայացնենք վեկտորների ընդլայնումը հիմքի նկատմամբ ես ’ ժ ’ :

այստեղից

Մենք կարող ենք եզրակացնել. անկախ երկու կամայական դեկարտյան համակարգերից, հարթության վրա, հարթության ցանկացած կետի կոորդինատները առաջին համակարգի համեմատ նույն կետի կոորդինատների գծային ֆունկցիաներն են երկրորդ համակարգի նկատմամբ:

Եկեք նախ բազմապատկենք հավասարումները (*) մասշտաբով ես , ապա շարունակել ժ :

Նշենք  վեկտորների միջև եղած անկյունը ես Եվ ես ’ . Կոորդինատների համակարգ ես ժ կարող է համակցվել համակարգի հետ ես ’ ժ ’ զուգահեռ թարգմանությամբ և հետագա պտույտով  անկյան միջով: Բայց այստեղ հնարավոր է նաև աղեղային տարբերակ՝ հիմքի վեկտորների միջև ընկած անկյունը ես ես ’ նաև , և անկյունը հիմքի վեկտորների միջև ժ ’ ժ ’ հավասար է  - : Այս համակարգերը չեն կարող համակցվել զուգահեռ թարգմանության և ռոտացիայի հետ: Անհրաժեշտ է նաև փոխել առանցքի ուղղությունը ժամըդեպի հակառակը.

Բանաձևից (**) առաջին դեպքում ստանում ենք.

Երկրորդ դեպքում

Փոխակերպման բանաձևերն են.

Երկրորդ դեպքը չենք քննարկի։ Եկեք համաձայնենք երկու համակարգերն էլ ճիշտ համարել:

Նրանք. Եզրակացություն. ինչ էլ որ լինեն երկու ճիշտ կոորդինատային համակարգերը, դրանցից առաջինը կարող է զուգակցվել երկրորդի հետ զուգահեռ թարգմանության և հետագա պտտման միջոցով սկզբնաղբյուրի շուրջ որոշակի անկյան տակ :

Զուգահեռ փոխանցման բանաձևեր.

Առանցքների պտտման բանաձևեր.

Հակադարձ փոխարկումներ.

Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատների փոխակերպումը տարածության մեջ.

Տիեզերքում, նման կերպ պատճառաբանելով, կարող ենք գրել.

(***)

Իսկ կոորդինատների համար ստացեք.

(****)

Այսպիսով, ինչ երկու կամայական կոորդինատային համակարգեր էլ լինեն տարածության մեջ, առաջին համակարգի համեմատ որոշ կետի x y z կոորդինատները կոորդինատների գծային ֆունկցիաներ են։ x’ y’ զ’ նույն կետը երկրորդ կոորդինատային համակարգի նկատմամբ:

Հավասարություններից յուրաքանչյուրը (***) բազմապատկելով աստիճանաբար ես ’ ժ ’ կ ’ մենք ստանում ենք.

IN Պարզաբանենք փոխակերպման բանաձևերի երկրաչափական նշանակությունը (****): Դա անելու համար ենթադրենք, որ երկու համակարգերն էլ ունեն ընդհանուր սկիզբ. ա = բ = գ = 0 .

Դիտարկենք երեք անկյուն, որոնք լիովին բնութագրում են երկրորդ համակարգի առանցքների դիրքը առաջինի նկատմամբ։

Առաջին անկյունը ձևավորվում է x առանցքով և u առանցքով, որը xOy և x’Oy հարթությունների հատումն է։ Անկյունի ուղղությունը ամենակարճ պտույտն է x-ից y առանցքից: Անկյունը նշանակենք -ով։ Երկրորդ անկյունը  Օզի և Օզի առանցքների միջև -ից չգերազանցող անկյունն է: Վերջապես, երրորդ անկյունը  անկյունն է u-առանցքի և Ox'-ի միջև, որը չափվում է u-առանցքից Ox'-ից Oy' ամենակարճ շրջադարձի ուղղությամբ: Այս անկյունները կոչվում են Էյլերի անկյուններ։

Առաջին համակարգի փոխակերպումը երկրորդի կարող է ներկայացվել որպես երեք պտույտների հաջորդականություն. Oz-ի առանցքի նկատմամբ  անկյան տակ; Ox-ի առանցքի նկատմամբ  անկյունով; և Օզի առանցքի նկատմամբ  անկյունով:

 ij թվերը կարելի է արտահայտել Էյլերի անկյուններով։ Մենք չենք գրի այս բանաձևերը, քանի որ դրանք ծանր են:

Փոխակերպումն ինքնին զուգահեռ թարգմանության և Էյլերի անկյուններով երեք հաջորդական պտույտների սուպերպոզիցիա է։

Այս բոլոր փաստարկները կարող են իրականացվել այն դեպքում, երբ երկու համակարգերն էլ ձախակողմյան են, կամ ունեն տարբեր կողմնորոշումներ։

Եթե ​​մենք ունենք երկու կամայական համակարգ, ապա, ընդհանուր առմամբ, մենք կարող ենք դրանք համատեղել զուգահեռ թարգմանությամբ և մեկ պտույտով տարածության մեջ որոշակի առանցքի շուրջ: Մենք նրան չենք փնտրի:

1) Դեկեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգից անցում հարթության վրա մեկ այլ դեկարտյան ուղղանկյուն համակարգի՝ նույն կողմնորոշմամբ և նույն ծագմամբ:

Ենթադրենք, որ հարթության վրա մտցված են երկու դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր xOyև ընդհանուր ծագմամբ ՄԱՍԻՆ, ունենալով նույն ուղղվածությունը (նկ. 145)։ Նշանակենք առանցքների միավոր վեկտորները Օ՜Եվ OUհամապատասխանաբար միջով և , և առանցքների միավորի վեկտորները և միջով և . Վերջապես, թող լինի անկյունը առանցքից Օ՜դեպի առանցքը. Թող XԵվ ժամը- կամայական կետի կոորդինատները Մհամակարգում xOy, և և նույն կետի կոորդինատներն են Մհամակարգում։

Քանի որ անկյունը առանցքից Օ՜դեպի վեկտորը հավասար է , ապա վեկտորի կոորդինատները

Անկյուն առանցքից Օ՜վեկտորը հավասար է; հետևաբար վեկտորի կոորդինատները հավասար են։

Բանաձևերը (3) § 97 ընդունում են ձևը

Անցումային մատրիցա մեկ դեկարտյանից xOyուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը նույն ուղղվածությամբ մեկ այլ ուղղանկյուն համակարգին ունի ձև

Մատրիցը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե յուրաքանչյուր սյունակում տեղակայված տարրերի քառակուսիների գումարը հավասար է 1-ի, իսկ տարբեր սյունակների համապատասխան տարրերի արտադրյալների գումարը հավասար է զրոյի, այսինքն. Եթե

Այսպիսով, անցումային մատրիցը (2) մի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգից միևնույն ուղղվածությամբ մեկ այլ ուղղանկյուն համակարգին ուղղանկյուն է։ Նկատի ունեցեք նաև, որ այս մատրիցի որոշիչը +1 է.

Ընդհակառակը, եթե տրված է ուղղանկյուն մատրիցա (3), որի որոշիչը հավասար է +1-ին, և հարթության վրա ներմուծվում է դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ։ xOy, ապա (4) հարաբերությունների ուժով վեկտորները և՛ միավոր են, և՛ փոխադարձաբար ուղղահայաց, հետևաբար՝ վեկտորի կոորդինատները համակարգում. xOyհավասար են և-ի, որտեղ է վեկտորից վեկտոր անկյունը, և քանի որ վեկտորը միավոր է, և մենք վեկտորից ստանում ենք պտտվելով , ապա կամ , կամ .

Երկրորդ հնարավորությունը բացառվում է, քանի որ եթե ունեցել ենք, ուրեմն մեզ տրված է, որ։

Սա նշանակում է, և մատրիցան Անման է

դրանք. մեկ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգից անցումային մատրիցն է xOyմեկ այլ ուղղանկյուն համակարգի, որն ունի նույն կողմնորոշումը, և անկյունը .

2. Դեկեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգից հարթության վրա անցում դեպի հակառակ կողմնորոշում ունեցող և միևնույն ծագմամբ դեկարտյան ուղղանկյուն համակարգին:

Թող հարթության վրա մտցվեն երկու դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր xOyև ընդհանուր ծագմամբ ՄԱՍԻՆ, բայց ունենալով հակառակ կողմնորոշում, անկյունը նշենք առանցքից Օ՜դեպի առանցքի միջով (ինքնաթիռի կողմնորոշումը սահմանվում է համակարգի կողմից xOy).

Քանի որ անկյունը առանցքից Օ՜վեկտորին հավասար է, ապա վեկտորի կոորդինատները հավասար են.

Այժմ վեկտորից վեկտոր անկյունը հավասար է (նկ. 146), ուստի անկյունը առանցքից Օ՜վեկտորին հավասար է (անկյունների համար Չասլսի թեորեմով) և, հետևաբար, վեկտորի կոորդինատները հավասար են.

Եվ բանաձևերը (3) § 97 ընդունում են ձևը

Անցումային մատրիցա

ուղղանկյուն, բայց դրա որոշիչը –1 է: (7)

Ընդհակառակը, ցանկացած ուղղանկյուն մատրիցա, որի որոշիչը հավասար է –1-ին, սահմանում է հարթության վրա մեկ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի փոխակերպումը նույն սկզբնավորմամբ, բայց հակառակ կողմնորոշմամբ մեկ այլ ուղղանկյուն համակարգի: Այսպիսով, եթե երկու դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր xOyև ունեն ընդհանուր սկիզբ, ուրեմն

Որտեղ X, ժամը- համակարգի ցանկացած կետի կոորդինատները xOy; և համակարգի նույն կետի կոորդինատներն են, և

ուղղանկյուն մատրիցա.

Վերադառնալ, եթե

կամայական ուղղանկյուն մատրիցա, ապա հարաբերությունները

արտահայտում է դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի փոխակերպումը դեկարտյան ուղղանկյունի համակարգ նույն ծագմամբ; - կոորդինատները համակարգում xOyմիավորի վեկտոր, որը տալիս է առանցքի դրական ուղղությունը. - կոորդինատները համակարգում xOyմիավորի վեկտորը, որը տալիս է առանցքի դրական ուղղությունը:

կոորդինատային համակարգեր xOyեւ ունեն նույն կողմնորոշումը, իսկ այս դեպքում՝ հակառակը։

3. Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի ընդհանուր փոխակերպումը հարթության վրա մեկ այլ ուղղանկյուն համակարգի:

Ելնելով սույն պարբերության 1) և 2) կետերից, ինչպես նաև 96-րդ կետի հիման վրա, մենք եզրակացնում ենք, որ եթե հարթության վրա մտցվեն ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր. xOyև , ապա կոորդինատները XԵվ ժամըկամայական կետ Մինքնաթիռները համակարգում xOyնույն կետի կոորդինատներով Մհամակարգում կապված են հարաբերություններով՝ համակարգում կոորդինատային համակարգի ծագման կոորդինատները xOy.

Նշենք, որ հին և նոր կոորդինատները X, ժամըև դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի ընդհանուր փոխակերպման տակ գտնվող վեկտորները կապված են հարաբերություններով

համակարգերի դեպքում xOyև ունեն նույն կողմնորոշումն ու հարաբերությունները

այն դեպքում, երբ այդ համակարգերը ունեն հակառակ կողմնորոշում, կամ ձևով

ուղղանկյուն մատրիցա. Փոխակերպումները (10) և (11) կոչվում են ուղղանկյուն: