Ո՞վ է ներմուծել ածանցյալը: Ի՞նչ է ածանցյալը Ածանցյալ ֆունկցիայի սահմանումը և նշանակությունը. Կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

B9 խնդիրը տալիս է ֆունկցիայի կամ ածանցյալի գրաֆիկ, որից դուք պետք է որոշեք հետևյալ մեծություններից մեկը.

1. Ածանցյալի արժեքը ինչ-որ կետում x 0,
2. Առավելագույն կամ նվազագույն միավորներ (ծայրահեղ միավորներ),
3. Աճող և նվազող ֆունկցիաների ինտերվալներ (միապաղաղության ինտերվալներ):

Այս խնդրի մեջ ներկայացված գործառույթներն ու ածանցյալները միշտ շարունակական են՝ շատ ավելի հեշտացնելով լուծումը։ Չնայած այն հանգամանքին, որ առաջադրանքը պատկանում է հատվածին մաթեմատիկական վերլուծություն, դա բավական է նույնիսկ ամենաթույլ ուսանողների հնարավորությունների սահմաններում, քանի որ այստեղ խորը տեսական գիտելիքներ չեն պահանջվում։

Ածանցյալի, ծայրահեղ կետերի և միապաղաղության ինտերվալների արժեքը գտնելու համար կան պարզ և ունիվերսալ ալգորիթմներ. դրանք բոլորը կքննարկվեն ստորև:

Ուշադիր կարդացեք B9 խնդրի պայմանները՝ հիմար սխալներ թույլ չտալու համար. երբեմն հանդիպում եք բավականին երկար տեքստերի, բայց կան մի քանի կարևոր պայմաններ, որոնք ազդում են լուծման ընթացքի վրա:

Ածանցյալ արժեքի հաշվարկ. Երկու կետի մեթոդ

Եթե ​​խնդրին տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը շոշափում է այս գրաֆիկին ինչ-որ կետում x 0, և պահանջվում է գտնել ածանցյալի արժեքը այս կետում, ապա կիրառվում է հետևյալ ալգորիթմը.

1. Գտեք շոշափող գրաֆիկի երկու «համարժեք» կետ. դրանց կոորդինատները պետք է լինեն ամբողջ թվեր: Նշենք այս կետերը որպես A (x 1 ; y 1) և B (x 2 ; y 2): Գրեք կոորդինատները ճիշտ. սա լուծման առանցքային կետն է, և այստեղ ցանկացած սխալ կհանգեցնի սխալ պատասխանի:
2. Իմանալով կոորդինատները՝ հեշտ է հաշվարկել Δx = x 2 − x 1 փաստարկի աճը և Δy = y 2 − y 1 ֆունկցիայի աճը։
3. Ի վերջո, մենք գտնում ենք D = Δy/Δx ածանցյալի արժեքը: Այլ կերպ ասած, դուք պետք է բաժանեք ֆունկցիայի աճը փաստարկի աճի վրա, և սա կլինի պատասխանը:

Եվս մեկ անգամ նշենք. A և B կետերը պետք է փնտրել հենց շոշափողի վրա, այլ ոչ թե f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա, ինչպես հաճախ է պատահում։ Շոշափող գիծը անպայման կպարունակի առնվազն երկու այդպիսի կետ, հակառակ դեպքում խնդիրը ճիշտ չի ձևակերպվի:

Դիտարկենք A (−3; 2) և B (−1; 6) կետերը և գտե՛ք ավելացումները.
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4:

Գտնենք ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = 4/2 = 2։

Առաջադրանք. Նկարը ցույց է տալիս y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և դրան շոշափողը x 0 աբսցիսա ունեցող կետում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x 0 կետում:

Դիտարկենք A (0; 3) և B (3; 0) կետերը, գտե՛ք ավելացումները.
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3:

Այժմ գտնում ենք ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = −3/3 = −1:

Առաջադրանք. Նկարը ցույց է տալիս y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը և դրան շոշափողը x 0 աբսցիսա ունեցող կետում: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x 0 կետում:

Դիտարկենք A (0; 2) և B (5; 2) կետերը և գտե՛ք ավելացումները.
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0:

Մնում է գտնել ածանցյալի արժեքը՝ D = Δy/Δx = 0/5 = 0։

Վերջին օրինակից կարող ենք կանոն ձևակերպել՝ եթե շոշափողը զուգահեռ է OX առանցքին, ապա շոշափման կետում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է։ Այս դեպքում դուք նույնիսկ կարիք չունեք որևէ բան հաշվել, պարզապես նայեք գրաֆիկին:

Առավելագույն և նվազագույն միավորների հաշվարկ

Երբեմն, ֆունկցիայի գրաֆիկի փոխարեն, B9 խնդիրը տալիս է ածանցյալի գրաֆիկը և պահանջում է գտնել ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույն կետը: Այս իրավիճակում երկու կետանոց մեթոդն անօգուտ է, բայց կա մեկ այլ, նույնիսկ ավելի պարզ ալգորիթմ։ Նախ, եկեք սահմանենք տերմինաբանությունը.

1. x 0 կետը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետ, եթե այս կետի ինչ-որ հարևանությամբ գործում է հետևյալ անհավասարությունը. f(x 0) ≥ f(x):
2. x 0 կետը կոչվում է f(x) ֆունկցիայի նվազագույն կետ, եթե այս կետի ինչ-որ հարևանությամբ գործում է հետևյալ անհավասարությունը. f(x 0) ≤ f(x):

Ածանցյալ գրաֆիկից առավելագույն և նվազագույն միավորները գտնելու համար պարզապես հետևեք հետևյալ քայլերին.

1. Վերագծեք ածանցյալ գրաֆիկը՝ հեռացնելով բոլոր ավելորդ տեղեկությունները: Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, անհարկի տվյալները միայն խանգարում են որոշմանը: Հետևաբար, մենք նշում ենք ածանցյալի զրոները կոորդինատային առանցքի վրա, և վերջ:
2. Գտի՛ր ածանցյալի նշանները զրոների միջև ընկած միջակայքերի վրա: Եթե ​​x 0 կետի համար հայտնի է, որ f'(x 0) ≠ 0, ապա հնարավոր է միայն երկու տարբերակ. f'(x 0) ≥ 0 կամ f'(x 0) ≤ 0: Ածանցյալի նշանն է. հեշտ է որոշել սկզբնական գծագրից. եթե ածանցյալ գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքից վեր, ապա f'(x) ≥ 0: Եվ հակառակը, եթե ածանցյալ գրաֆիկը գտնվում է OX առանցքի տակ, ապա f'(x) ≤ 0:
3. Կրկին ստուգում ենք ածանցյալի զրոներն ու նշանները։ Այնտեղ, որտեղ նշանը փոխվում է մինուսից դեպի գումարած, նվազագույն կետն է: Եվ հակառակը, եթե ածանցյալի նշանը գումարածից մինուս է փոխվում, սա առավելագույն կետն է: Հաշվելը միշտ կատարվում է ձախից աջ:

Այս սխեման աշխատում է միայն շարունակական գործառույթների համար. B9-ում ուրիշներ չկան:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−5; 5]։ Գտե՛ք այս հատվածի f(x) ֆունկցիայի նվազագույն կետը:

Ազատվենք ավելորդ տեղեկատվությունից և թողնենք միայն սահմանները [−5; 5] և x = −3 և x = 2,5 ածանցյալի զրոները։ Մենք նաև նշում ենք նշանները.

Ակնհայտորեն, x = −3 կետում ածանցյալի նշանը մինուսից փոխվում է գումարածի։ Սա նվազագույն կետն է։

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−3; 7]։ Գտե՛ք այս հատվածի f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետը:

Եկեք վերագծենք գրաֆիկը՝ թողնելով միայն սահմանները [−3; 7] և x = −1.7 ածանցյալի զրոները և x = 5. Ստացված գրաֆիկի վրա նշենք ածանցյալի նշանները: Մենք ունենք:

Ակնհայտ է, որ x = 5 կետում ածանցյալի նշանը փոխվում է գումարածից մինուս - սա առավելագույն կետն է:

Առաջադրանք. Նկարը ցույց է տալիս f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−6; 4]։ Գտե՛ք [−4; հատվածին պատկանող f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետերի քանակը։ 3]։

Խնդրի պայմաններից հետևում է, որ բավական է դիտարկել գրաֆիկի միայն հատվածով սահմանափակված մասը [−4; 3]։ Հետևաբար, մենք կառուցում ենք նոր գրաֆիկ, որի վրա նշում ենք միայն սահմանները [−4; 3] և դրա ներսում գտնվող ածանցյալի զրոները: Մասնավորապես, կետերը x = −3,5 և x = 2: Ստանում ենք.

Այս գրաֆիկի վրա կա միայն մեկ առավելագույն կետ x = 2: Հենց այս կետում է, որ ածանցյալի նշանը գումարածից փոխվում է մինուսի:

Փոքր նշում ոչ ամբողջ թվային կոորդինատներով կետերի մասին: Օրինակ՝ վերջին խնդիրում դիտարկվել է x = −3,5 կետը, բայց նույն հաջողությամբ կարող ենք վերցնել x = −3,4։ Եթե ​​խնդիրը ճիշտ է կազմված, ապա նման փոփոխությունները չպետք է ազդեն պատասխանի վրա, քանի որ «առանց ֆիքսված բնակության վայրի» կետերն ուղղակիորեն չեն մասնակցում խնդրի լուծմանը։ Իհարկե, այս հնարքը չի աշխատի ամբողջ միավորներով:

Աճող և նվազող ֆունկցիաների ինտերվալների հայտնաբերում

Նման խնդրի դեպքում, ինչպես առավելագույն և նվազագույն կետերը, առաջարկվում է օգտագործել ածանցյալ գրաֆիկը՝ գտնելու այն տարածքները, որտեղ ֆունկցիան ինքնին մեծանում կամ նվազում է։ Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ է աճողն ու նվազումը.

1. f(x) ֆունկցիան ասում են, որ մեծանում է հատվածի վրա, եթե այս հատվածի x 1 և x 2 կետերի համար ճիշտ է հետևյալ պնդումը. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Այլ կերպ ասած, որքան մեծ է արգումենտի արժեքը, այնքան մեծ է ֆունկցիայի արժեքը:
2. f(x) ֆունկցիան ասվում է, որ նվազող է հատվածի վրա, եթե այս հատվածի x 1 և x 2 կետերի համար ճիշտ է հետևյալ պնդումը. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Նրանք. Ավելի մեծ արգումենտի արժեքը համապատասխանում է ավելի փոքր ֆունկցիայի արժեքին:

Ձևակերպենք բավարար պայմաններ մեծացման և նվազման համար.

1. Որպեսզի շարունակական գործառույթ f(x) հատվածի վրա մեծանում է, բավական է, որ հատվածի ներսում դրա ածանցյալը դրական լինի, այսինքն. f'(x) ≥ 0.
2. Որպեսզի f(x) շարունակական ֆունկցիան նվազի հատվածի վրա, բավական է, որ դրա ածանցյալը հատվածի ներսում լինի բացասական, այսինքն. f’(x) ≤ 0.

Եկեք այս հայտարարություններն ընդունենք առանց ապացույցների։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք աճման և նվազման միջակայքերը գտնելու սխեմա, որը շատ առումներով նման է ծայրահեղ կետերի հաշվարկման ալգորիթմին.

1. Հեռացրեք բոլոր ավելորդ տեղեկությունները: Ածանցյալի սկզբնական գրաֆիկում մեզ հիմնականում հետաքրքրում են ֆունկցիայի զրոները, ուստի մենք կթողնենք միայն դրանք։
2. Նշի՛ր ածանցյալի նշանները զրոների միջև ընկած միջակայքում: Այնտեղ, որտեղ f'(x) ≥ 0, ֆունկցիան մեծանում է, իսկ որտեղ f'(x) ≤ 0, այն նվազում է: Եթե ​​խնդիրը սահմանափակումներ է սահմանում x փոփոխականի վրա, մենք լրացուցիչ նշում ենք դրանք նոր գրաֆիկի վրա:
3. Այժմ, երբ մենք գիտենք ֆունկցիայի վարքագիծը և սահմանափակումները, մնում է հաշվարկել խնդրի մեջ պահանջվող քանակը:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−3; 7.5]: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի նվազման միջակայքերը։ Ձեր պատասխանում նշեք այս միջակայքում ներառված ամբողջ թվերի գումարը։

Ինչպես միշտ, եկեք վերագծենք գրաֆիկը և նշենք սահմանները [−3; 7.5], ինչպես նաև x = −1.5 և x = 5.3 ածանցյալի զրոները։ Այնուհետև մենք նշում ենք ածանցյալի նշանները. Մենք ունենք:

Քանի որ ածանցյալը (− 1.5) միջակայքի վրա բացասական է, սա նվազող ֆունկցիայի միջակայքն է։ Մնում է գումարել բոլոր այն ամբողջ թվերը, որոնք գտնվում են այս միջակայքում.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−10; 4]։ Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի մեծացման միջակայքերը։ Ձեր պատասխանում նշեք դրանցից ամենամեծի երկարությունը։

Ազատվենք ավելորդ տեղեկություններից. Թողնենք միայն սահմանները [−10; 4] և ածանցյալի զրոները, որոնցից այս անգամ չորսն էին. x = −8, x = −6, x = −3 և x = 2: Նշենք ածանցյալի նշանները և ստացենք հետևյալ պատկերը.

Մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի աճի միջակայքերը, այսինքն. այնպիսին, որտեղ f’(x) ≥ 0: Գրաֆիկի վրա կա երկու այդպիսի միջակայք՝ (−8; −6) և (−3; 2): Հաշվենք դրանց երկարությունները.
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5:

Քանի որ մենք պետք է գտնենք միջակայքներից ամենամեծի երկարությունը, որպես պատասխան գրում ենք l 2 = 5 արժեքը:

Թույլ տվեք, որ ֆունկցիան սահմանվի մի կետում և դրա հարևանությամբ: Եկեք արգումենտին տանք այնպիսի աճ, որ կետը ընկնի ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում: Այնուհետև ֆունկցիան կավելանա:

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Գործառույթի ածանցյալը կետում կոչվում է այս պահին ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը արգումենտի աճին, ժամը (եթե այս սահմանը գոյություն ունի և վերջավոր է), այսինքն.

Նշանակել: ,,,.

Աջ (ձախ) կետում ֆունկցիայի ածանցյալ կանչեց

(եթե այս սահմանը գոյություն ունի և վերջավոր է):

Նշանակվում է՝ , – ածանցյալ աջ կողմում գտնվող կետում,

, ածանցյալն է ձախ կողմում գտնվող կետում:

Ակնհայտ է, որ հետևյալ թեորեմը ճիշտ է.

ԹԵՈՐԵՄ. Ֆունկցիան մի կետում ունի ածանցյալ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս պահին աջ և ձախ ֆունկցիայի ածանցյալները գոյություն ունեն և հավասար են միմյանց: Ավելին

Հետևյալ թեորեմը կապ է հաստատում տվյալ կետում ֆունկցիայի ածանցյալի առկայության և այդ կետում ֆունկցիայի շարունակականության միջև։

ԹԵՈՐԵՄ (կետում ֆունկցիայի ածանցյալի առկայության անհրաժեշտ պայման)։ Եթե ​​ֆունկցիան մի կետում ունի ածանցյալ, ապա այդ կետի ֆունկցիան շարունակական է:

ԱՊԱՑՈՒՑԻՉ

Թող գոյություն ունենա: Հետո

,

որտեղ է անսահման փոքրը:

Մեկնաբանություն

ֆունկցիայի ածանցյալ և նշել

ֆունկցիայի տարբերակում .

ԵՐԿՐԱԶԳԱՅԻՆ ԵՎ ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ ԻՄԱՍՏԱԿԱՆ

1) Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. Եթե ​​ֆունկցիան և նրա արգումենտներն են ֆիզիկական մեծություններ, ապա ածանցյալը փոփոխականի փոփոխության արագությունն է տվյալ կետում գտնվող փոփոխականի նկատմամբ։ Օրինակ, եթե ժամանակի մի կետով անցած տարածությունը, ապա դրա ածանցյալը ժամանակի պահին արագությունն է: Եթե ​​մի ակնթարթում հաղորդիչի խաչմերուկով հոսող էլեկտրաէներգիայի քանակն է, ապա մի ակնթարթում էլեկտրաէներգիայի քանակի փոփոխության արագությունն է, այսինքն. ընթացիկ ուժը տվյալ պահին:

2) Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.

Թող լինի ինչ-որ կոր, լինի մի կետ կորի վրա:

Առնվազն երկու կետ հատող ցանկացած ուղիղ կոչվում է հատված .

Շոշափում է կորին մի կետում կոչվում է սեկանտի սահմանային դիրք, եթե կետը հակված է դեպի՝ շարժվելով կորի երկայնքով:

Սահմանումից ակնհայտ է, որ եթե մի կետում գոյություն ունի կորի շոշափող, ապա դա միակն է.

Դիտարկենք կորը (այսինքն՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը): Թող այն ունենա ոչ ուղղահայաց շոշափող մի կետում: Դրա հավասարումը (կետով անցնող և անկյունային գործակից ունեցող ուղիղ գծի հավասարում):

Լանջի սահմանմամբ

որտեղ է ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի առանցքը:

Թող լինի հատվածի թեքության անկյունը դեպի առանցքը, որտեղ. Քանի որ շոշափող է, ապա երբ

Հետևաբար,

Այսպիսով, մենք ստացանք դա – կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի անկյունային գործակիցը(կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը): Հետևաբար, մի կետում կորի շոշափողի հավասարումը կարելի է գրել ձևով

Մեկնաբանություն . Ուղիղ գիծը, որն անցնում է տվյալ կետի կորին գծված շոշափողին ուղղահայաց կետով, կոչվում է. նորմալ է կետի կորին . Քանի որ ուղղահայաց ուղիղ գծերի անկյունային գործակիցները կապված են հարաբերության հետ, մի կետում նորմալի և կորի հավասարումը կունենա ձև.

, Եթե .

Եթե ​​, ապա կետում կորի շոշափողը կունենա ձև

և նորմալ:

ՏԱՆԳԵՆՍ ԵՎ ՆՈՐՄԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ

Շոշափող հավասարում

Թող ֆունկցիան տրվի հավասարման միջոցով y=զ(x), պետք է գրել հավասարումը շոշափողկետում x 0. Ածանցյալի սահմանումից.

y/(x)=limΔ x→0Δ yΔ x

Δ y=զ(x+Δ x)−զ(x).

Հավասարումը շոշափողֆունկցիայի գրաֆիկին. y=kx+բ (կ,բ=հաստատ) Ածանցյալի երկրաչափական իմաստից. զ/(x 0)=tgα= կՈրովհետեւ x 0 և զ(x 0)∈ ուղիղ, ապա հավասարումը շոշափողգրված է այսպես. y−զ(x 0)=զ/(x 0)(x−x 0), կամ

y=զ/(x 0)· x+զ(x 0)−զ/(x 0)· x 0.

Նորմալ հավասարում

Նորմալ- ուղղահայաց է շոշափող(տես նկարը): Սրա հիման վրա.

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 զ/(x 0)

Որովհետեւ նորմալի թեքության անկյունը β1 անկյունն է, ապա ունենք.

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 զ/(x).

Կետ ( x 0,զ(x 0))∈ նորմալ, հավասարումը ստանում է ձև.

y−զ(x 0)=−1զ/(x 0)(x−x 0).

ԱՊԱՑՈՒՑԻՉ

Թող գոյություն ունենա: Հետո

,

որտեղ է անսահման փոքրը:

Բայց սա նշանակում է, որ այն շարունակական է մի կետում (տե՛ս շարունակականության երկրաչափական սահմանումը): ∎

Մեկնաբանություն . Մի կետում ֆունկցիայի շարունակականությունը բավարար պայման չէ տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալի առկայության համար։ Օրինակ՝ ֆունկցիան շարունակական է, բայց մի կետում չունի ածանցյալ։ Իսկապես,

և հետևաբար գոյություն չունի:

Ակնհայտ է, որ նամակագրությունը որոշ հավաքածուի վրա սահմանված գործառույթ է: Նրան կանչում են ֆունկցիայի ածանցյալ և նշել

Ֆունկցիայի համար նրա ածանցյալ ֆունկցիան գտնելու գործողությունը կոչվում է ֆունկցիայի տարբերակում .

Գումարի և տարբերության ածանցյալ

Տրված լինեն f(x) և g(x) ֆունկցիաները, որոնց ածանցյալները մեզ հայտնի են։ Օրինակ, կարող եք վերցնել վերը քննարկված տարրական գործառույթները: Այնուհետև կարող եք գտնել այս ֆունկցիաների գումարի և տարբերության ածանցյալը.

(f + g)' = f ' + g'

(f − g)’ = f ’ −g’

Այսպիսով, երկու ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) ածանցյալը հավասար է ածանցյալների գումարին (տարբերությանը): Կարող են լինել ավելի շատ ժամկետներ: Օրինակ՝ (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’:

Խիստ ասած, հանրահաշվում «հանում» հասկացություն չկա: Գոյություն ունի «բացասական տարր» հասկացություն։ Հետևաբար, f − g տարբերությունը կարելի է վերաշարադրել որպես f + (−1) g գումար, ապա մնում է միայն մեկ բանաձև՝ գումարի ածանցյալը։

Հոդվածի բովանդակությունը

ածանցյալ- ֆունկցիայի ածանցյալ y = զ(x), տրված որոշակի ընդմիջումով ( ա, բ) կետում xԱյս միջակայքը կոչվում է այն սահմանը, որին ձգտում է ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը զայս պահին արգումենտի համապատասխան աճին, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի:

Ածանցյալը սովորաբար նշվում է հետևյալ կերպ.

Լայնորեն օգտագործվում են նաև այլ նշանակումներ.

Ակնթարթային արագություն.

Թող կետը Մշարժվում է ուղիղ գծով. Հեռավորությունը սշարժվող կետ՝ հաշվված ինչ-որ սկզբնական դիրքից Մ 0 , կախված է ժամանակից տ, այսինքն. սժամանակի ֆունկցիա կա տ: ս= զ(տ). Թող ժամանակի ինչ-որ պահի տշարժվող կետ Մհեռավորության վրա էր սմեկնարկային դիրքից Մ 0, իսկ հաջորդ պահին տ+D տհայտնվել է մի դիրքում Մ 1 - հեռավորության վրա ս+D սսկզբնական դիրքից ( տես նկարը.).

Այսպիսով, որոշակի ժամանակահատվածում Դ տհեռավորությունը սչափով փոխվել է Դ ս. Այս դեպքում ասում են, որ ժամանակային միջակայքում Դ տմեծությունը սստացել է հավելավճար Դ ս.

Միջին արագությունը բոլոր դեպքերում չի կարող ճշգրիտ բնութագրել կետի շարժման արագությունը Մժամանակի մի կետում տ. Եթե, օրինակ, մարմինը ինտերվալի սկզբում Դ տշարժվել է շատ արագ, իսկ վերջում՝ շատ դանդաղ, այդ դեպքում միջին արագությունը չի կարողանա արտացոլել կետի շարժման նշված հատկանիշները և պատկերացում տալ տվյալ պահին դրա շարժման իրական արագության մասին։ տ. Միջին արագության միջոցով իրական արագությունն ավելի ճշգրիտ արտահայտելու համար հարկավոր է ավելի կարճ ժամանակ հատկացնել D տ. Առավել լիովին բնութագրում է տվյալ պահին կետի շարժման արագությունը տայն սահմանը, որին միջին արագությունը ձգտում է D տ® 0. Այս սահմանը կոչվում է ընթացիկ արագություն.

Այսպիսով, շարժման արագությունը տվյալ պահին կոչվում է ուղու ավելացման հարաբերակցության սահման D սժամանակի ավելացում Դ տ, երբ ժամանակի աճը ձգտում է զրոյի: Որովհետեւ

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը. Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող:

Շոշափող գծերի կառուցումն այն խնդիրներից է, որը հանգեցրեց դիֆերենցիալ հաշվարկի ծնունդին: Լայբնիցի կողմից գրված դիֆերենցիալ հաշվարկի հետ կապված առաջին հրատարակված աշխատանքը վերնագրված էր Մաքսիմայի և նվազագույնի, ինչպես նաև շոշափողների նոր մեթոդ, որի համար ոչ կոտորակային, ոչ էլ իռացիոնալ մեծությունները խոչընդոտ չեն, և դրա համար հաշվարկի հատուկ տեսակ.

Թող կորը լինի ֆունկցիայի գրաֆիկը y =զ(x) ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ( սմ. բրինձ.):

Որոշակի արժեքով xգործառույթը կարևոր է y =զ(x) Այս արժեքները xԵվ yկորի կետը համապատասխանում է Մ 0(x, y) Եթե ​​փաստարկը xտալ ավելացում Դ x, ապա փաստարկի նոր արժեքը x+D xհամապատասխանում է նոր ֆունկցիայի արժեքին y+Դ y = զ(x + Դ x) Կորի համապատասխան կետը կլինի կետը Մ 1(x+D x,y+D y) Եթե ​​սեկանտ եք նկարում Մ 0Մ 1 և նշվում է j-ով առանցքի դրական ուղղությամբ լայնակի ձևավորված անկյունը Եզ, նկարից անմիջապես պարզ է դառնում, որ.

Եթե ​​հիմա Դ xձգտում է զրոյի, ապա կետը Մ 1-ը շարժվում է կորի երկայնքով՝ մոտենալով կետին Մ 0 և անկյուն ժ փոխվում է Դ x. ժամը Dx® 0 j անկյունը ձգտում է որոշակի սահմանի a և կետով անցնող ուղիղ գիծ Մ 0, իսկ x առանցքի դրական ուղղություն ունեցող բաղադրիչը՝ a անկյունը, կլինի ցանկալի շոշափողը։ Նրա թեքությունը հետևյալն է.

Հետևաբար, զ´( x) = տգա

դրանք. ածանցյալ արժեք զ´( x) տրված արգումենտի արժեքի համար xհավասար է ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող անկյան շոշափողին զ(x) համապատասխան կետում Մ 0(x,y) դրական առանցքի ուղղությամբ Եզ.

Գործառույթների տարբերակելիություն.

Սահմանում. Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) կետում ունի ածանցյալ x = x 0, ապա ֆունկցիան այս պահին տարբերելի է:

Ածանցյալ ունեցող ֆունկցիայի շարունակականությունը: Թեորեմ.

Եթե ​​ֆունկցիան y = զ(x) ինչ-որ պահի տարբերակելի է x = x 0, ապա այս պահին այն շարունակական է:

Այսպիսով, ֆունկցիան չի կարող ածանցյալ ունենալ ընդհատման կետերում։ Հակառակ եզրակացությունը սխալ է, այսինքն. նրանից, որ ինչ-որ պահի x = x 0 ֆունկցիա y = զ(x) շարունակական է, չի նշանակում, որ այն տարբերակելի է այս պահին: Օրինակ՝ ֆունկցիան y = |x| շարունակական բոլորի համար x(–Ґ x x = 0-ը չունի ածանցյալ: Այս պահին գրաֆիկին շոշափող չկա: Կա աջ և ձախ շոշափող, բայց դրանք չեն համընկնում:

Որոշ թեորեմներ տարբերվող ֆունկցիաների վերաբերյալ. Թեորեմ ածանցյալի արմատների մասին (Ռոլի թեորեմ).Եթե ​​ֆունկցիան զ(x) հատվածի վրա շարունակական է [ա,բ], տարբերելի է այս հատվածի բոլոր ներքին կետերում և ծայրերում x = աԵվ x = բգնում է զրոյի ( զ(ա) = զ(բ) = 0), ապա հատվածի ներսում [ ա,բ] կա առնվազն մեկ կետ x= Հետ, ագ բ, որում ածանցյալը զў( x) գնում է զրոյի, այսինքն. զў( գ) = 0.

Վերջավոր աճի թեորեմ (Լագրանժի թեորեմ).Եթե ​​ֆունկցիան զ(x) շարունակական է [ ա, բ] և տարբերակելի է այս հատվածի ներքին բոլոր կետերում, այնուհետև հատվածի ներսում [ ա, բ] կա առնվազն մեկ կետ Հետ, ագ բ որ

զ(բ) – զ(ա) = զў( գ)(բ– ա).

Թեորեմ երկու ֆունկցիաների հավելումների հարաբերակցության մասին (Կոշիի թեորեմ).Եթե զ(x) Եվ է(x) – հատվածի վրա շարունակական երկու ֆունկցիա [ա, բ] և տարբերվող այս հատվածի բոլոր ներքին կետերում, և էў( x) այս հատվածի ներսում ոչ մի տեղ չի անհետանում, այնուհետև հատվածի ներսում [ ա, բ] կա այդպիսի կետ x = Հետ, ագ բ որ

Տարբեր պատվերների ածանցյալներ:

Թող գործառույթը y =զ(x) տարբերվում է որոշակի ընդմիջումով [ ա, բ]։ Ածանցյալ արժեքներ զ ў( x), ընդհանուր առմամբ, կախված է x, այսինքն. ածանցյալ զ ў( x) նաև ֆունկցիա է x. Այս ֆունկցիան տարբերակելիս ստանում ենք ֆունկցիայի այսպես կոչված երկրորդ ածանցյալը զ(x), որը նշվում է զ ўў ( x).

Ածանցյալ n-Գործառույթի րդ կարգը զ(x) կոչվում է ածանցյալի (առաջին կարգի) ածանցյալ n- 1- th-ը և նշվում է նշանով y(n) = (y(n– 1))ў.

Տարբեր պատվերների դիֆերենցիալներ:

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ y = զ(x), որտեղ x– անկախ փոփոխական, այո դի = զ ў( x)dx, որոշ գործառույթներ x, բայց սկսած xմիայն առաջին գործոնը կարող է կախված լինել զ ў( x), երկրորդ գործոնը ( dx) անկախ փոփոխականի աճն է xև կախված չէ այս փոփոխականի արժեքից: Որովհետեւ դիկա մի ֆունկցիա ից x, ապա մենք կարող ենք որոշել այս ֆունկցիայի դիֆերենցիալը։ Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը կոչվում է այս ֆունկցիայի երկրորդ դիֆերենցիալ կամ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ և նշվում է. դ 2y:

դ(dx) = դ 2y = զ ўў( x)(dx) 2 .

Դիֆերենցիալ n-առաջին կարգի կոչվում է դիֆերենցիալ առաջին դիֆերենցիալ n- 1- րդ կարգը:

d n y = դ(d n–1y) = զ(n)(x)dx(n).

Մասնակի ածանցյալ.

Եթե ​​ֆունկցիան կախված է ոչ թե մեկ, այլ մի քանի արգումենտից x i(եստատանվում է 1-ից մինչև n,ես= 1, 2,… n),զ(x 1,x 2,… x n), այնուհետև դիֆերենցիալ հաշվարկում ներմուծվում է մասնակի ածանցյալ հասկացությունը, որը բնութագրում է մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, երբ փոխվում է միայն մեկ արգումենտ, օրինակ. x i. 1-ին կարգի մասնակի ածանցյալի նկատմամբ x iսահմանվում է որպես սովորական ածանցյալ, և ենթադրվում է, որ բոլոր արգումենտները բացառությամբ x i, պահպանել մշտական ​​արժեքներ։ Մասնակի ածանցյալների համար նշվում է նշումը

Այս կերպ սահմանված 1-ին կարգի մասնակի ածանցյալները (որպես նույն արգումենտների ֆունկցիաներ) կարող են իրենց հերթին ունենալ նաև մասնակի ածանցյալներ, դրանք երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ են և այլն։ Տարբեր փաստարկներից վերցված նման ածանցյալները կոչվում են խառը: Նույն կարգի շարունակական խառը ածանցյալները կախված չեն տարբերակման կարգից և հավասար են միմյանց։

Աննա Չուգայնովա

(\large\bf ֆունկցիայի ածանցյալ)

Դիտարկենք գործառույթը y=f(x), նշված միջակայքում (ա, բ). Թող x- միջակայքի ցանկացած ֆիքսված կետ (ա, բ), Ա Δx- կամայական այնպիսի թիվ, որ արժեքը x+Δxնույնպես պատկանում է միջակայքին (ա, բ). Այս թիվը Δxկոչվում է արգումենտի ավելացում:

Սահմանում. Ֆունկցիայի ավելացում y=f(x)կետում x, որը համապատասխանում է արգումենտի ավելացմանը Δx, զանգենք համարով

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Մենք հավատում ենք դրան Δx ≠ 0. Դիտարկենք տվյալ ֆիքսված կետում xայս պահին ֆունկցիայի աճի հարաբերակցությունը համապատասխան արգումենտի աճին Δx

Մենք այս հարաբերությունը կանվանենք տարբերություն հարաբերություն: Քանի որ արժեքը xմենք համարում ենք ֆիքսված, տարբերությունների հարաբերակցությունը փաստարկի ֆունկցիա է Δx. Այս ֆունկցիան սահմանված է բոլոր արգումենտների արժեքների համար Δx, որը պատկանում է կետի բավական փոքր թաղամասին Δx=0, բացառությամբ բուն կետի Δx=0. Այսպիսով, մենք իրավունք ունենք դիտարկել նշված ֆունկցիայի սահմանաչափի առկայության հարցը Δx → 0.

Սահմանում. Ֆունկցիայի ածանցյալ y=f(x)տվյալ ֆիքսված կետում xկոչվում է սահմանը ժամը Δx → 0տարբերության հարաբերակցությունը, այսինքն

Պայմանով, որ այս սահմանը գոյություն ունի:

Նշանակում. y'(x)կամ f′(x).

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունըՖունկցիայի ածանցյալ f(x)այս պահին xհավասար է առանցքի միջև անկյան շոշափմանը Եզև համապատասխան կետում այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող.

f′(x 0) = \tgα.

Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունըՃանապարհի ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է կետի ուղղագիծ շարժման արագությանը.

Ուղղի շոշափողի հավասարումը y=f(x)կետում M 0 (x 0 ,y 0)վերցնում է ձևը

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Ինչ-որ կետում կորի նորմալը նույն կետում շոշափողին ուղղահայացն է: Եթե f′(x 0)≠ 0, ապա նորմայի հավասարումը ուղիղին y=f(x)կետում M 0 (x 0 ,y 0)գրված է այսպես.

Ֆունկցիայի տարբերակելիության հայեցակարգը

Թող գործառույթը y=f(x)սահմանվում է որոշակի ընդմիջումով (ա, բ), x- որոշ ֆիքսված արգումենտ արժեք այս միջակայքից, Δx- արգումենտի ցանկացած ավելացում, որը հավասար է փաստարկի արժեքին x+Δx ∈ (a, b).

Սահմանում. Գործառույթ y=f(x)տրված կետում կոչվում է դիֆերենցիալ x, եթե ավելանում է Δyայս գործառույթը կետում x, որը համապատասխանում է արգումենտի ավելացմանը Δx, կարող է ներկայացվել ձևով

Δy = A Δx +αΔx,

Որտեղ Ա- անկախ որոշ թվերից Δx, Ա α - փաստարկի գործառույթ Δx, որը անսահման փոքր է ժամը Δx→ 0.

Քանի որ երկու անվերջ փոքր ֆունկցիաների արտադրյալը αΔxավելի անսահման փոքր է բարձր կարգ, ինչպես Δx(3 անվերջ փոքր ֆունկցիայի հատկություն), ապա կարող ենք գրել.

Δy = A Δx +o(Δx).

Թեորեմ. Գործառույթի համար y=f(x)տարբերվում էր տվյալ կետում x, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այն այս կետում ունենա վերջավոր ածանցյալ։ Որտեղ A=f′(x), այն է

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Ածանցյալը գտնելու գործողությունը սովորաբար կոչվում է տարբերակում։

Թեորեմ. Եթե ​​ֆունկցիան y=f(x) x, ապա այս պահին այն շարունակական է։

Մեկնաբանություն. Գործառույթի շարունակականությունից y=f(x)այս պահին x, ընդհանուր առմամբ, ֆունկցիայի տարբերակելիությունը չի հետևում f(x)այս պահին: Օրինակ՝ ֆունկցիան y=|x|- շարունակական մի կետում x=0, բայց չունի ածանցյալ։

Դիֆերենցիալ ֆունկցիայի հայեցակարգ

Սահմանում. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ y=f(x)կոչվում է այս ֆունկցիայի ածանցյալի և անկախ փոփոխականի աճի արտադրյալը x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Գործառույթի համար y=xմենք ստանում ենք dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, այն է dx=Δx- անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը հավասար է այս փոփոխականի աճին:

Այսպիսով, մենք կարող ենք գրել

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Դիֆերենցիալ դիև ավելացում Δyգործառույթները y=f(x)այս պահին x, երկուսն էլ համապատասխանում են նույն արգումենտի ավելացմանը Δx, ընդհանուր առմամբ, իրար հավասար չեն։

Դիֆերենցիալի երկրաչափական նշանակությունըՖունկցիայի դիֆերենցիալը հավասար է այս ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի օրդինատի աճին, երբ արգումենտն ավելանում է։ Δx.

Տարբերակման կանոններ

Թեորեմ. Եթե ​​ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրը u(x)Եվ v(x)տարբերվող տվյալ կետում x, ապա այս ֆունկցիաների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և քանորդը (քանակը պայմանով v(x)≠ 0) այս պահին նույնպես տարբերելի են, և բանաձևերը գործում են.

Դիտարկենք բարդ ֆունկցիան y=f(φ(x))≡ F(x), Որտեղ y=f(u), u=φ(x). Այս դեպքում uկանչեց միջանկյալ փաստարկ, x - անկախ փոփոխական.

Թեորեմ. Եթե y=f(u)Եվ u=φ(x)իրենց արգումենտների տարբերվող ֆունկցիաներն են, ապա բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ y=f(φ(x))գոյություն ունի և հավասար է այս ֆունկցիայի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի և միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ, այսինքն.

Մեկնաբանություն. Բարդ ֆունկցիայի համար, որը երեք ֆունկցիաների սուպերպոզիցիա է y=F(f(φ(x))), տարբերակման կանոնն ունի ձևը

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

որտեղ են գործառույթները v=φ(x), u=f(v)Եվ y=F(u)- նրանց արգումենտների տարբերակելի գործառույթները:

Թեորեմ. Թող գործառույթը y=f(x)մեծանում է (կամ նվազում) և շարունակական է կետի որոշ հարևանությամբ x 0. Բացի այդ, թող այս ֆունկցիան դիֆերենցիալ լինի նշված կետում x 0և դրա ածանցյալն այս պահին f′(x 0) ≠ 0. Հետո համապատասխան կետի ինչ-որ հարեւանությամբ y 0 =f(x0)համար սահմանված է հակադարձ y=f(x)ֆունկցիան x=f -1 (y), իսկ նշված հակադարձ ֆունկցիան համապատասխան կետում տարբերելի է y 0 =f(x0)և դրա ածանցյալի համար այս պահին yբանաձևը վավեր է

Ածանցյալների աղյուսակ

Առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխություն

Դիտարկենք բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը։ Եթե y=f(x), x=φ(t)- նրանց արգումենտների ֆունկցիաները տարբերելի են, ապա ֆունկցիայի ածանցյալը y=f(φ(t))արտահայտված բանաձևով

y′ t = y′ x x′ t.

A-priory dy=y′ t dt, ապա մենք ստանում ենք

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Այսպիսով, մենք ապացուցել ենք

Ֆունկցիայի առաջին դիֆերենցիալի ձևի անփոփոխության հատկությունըինչպես այն դեպքում, երբ փաստարկը xանկախ փոփոխական է, և այն դեպքում, երբ փաստարկը xինքնին նոր փոփոխականի՝ դիֆերենցիալի դիֆերենցիալ ֆունկցիան է դիգործառույթները y=f(x)հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալին` բազմապատկված փաստարկի դիֆերենցիալով dx.

Դիֆերենցիալի կիրառումը մոտավոր հաշվարկներում

Մենք ցույց ենք տվել, որ դիֆերենցիալը դիգործառույթները y=f(x), ընդհանուր առմամբ, հավասար չէ աճին Δyայս գործառույթը: Այնուամենայնիվ, մինչև անսահման ճշգրտությամբ փոքր գործառույթփոքրության ավելի բարձր կարգ, քան Δx, մոտավոր հավասարությունը վավեր է

Δy ≈ dy.

Հարաբերակցությունը կոչվում է այս հավասարության հավասարության հարաբերական սխալ։ Որովհետեւ Δy-dy=o(Δx), ապա այս հավասարության հարաբերական սխալը նվազումով դառնում է այնքան փոքր, որքան ցանկալի է |Դհ|.

Հաշվի առնելով դա Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, ստանում ենք f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxկամ

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Այս մոտավոր հավասարությունը թույլ է տալիս սխալմամբ o (Δx)փոխարինել գործառույթը f(x)կետի փոքրիկ թաղամասում x(այսինքն փոքր արժեքների համար Δx) փաստարկի գծային ֆունկցիա Δx, կանգնած աջ կողմում։

Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ

Սահմանում. Ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալ (կամ երկրորդ կարգի ածանցյալ): y=f(x)կոչվում է նրա առաջին ածանցյալի ածանցյալ։

Նշում ֆունկցիայի երկրորդ ածանցյալի համար y=f(x):

Երկրորդ ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը. Եթե ​​ֆունկցիան y=f(x)նկարագրում է նյութական կետի շարժման օրենքը ուղիղ գծով, ապա երկրորդ ածանցյալը f″(x)հավասար է շարժվող կետի արագացմանը ժամանակի պահին x.

Երրորդ և չորրորդ ածանցյալները որոշվում են նույն կերպ:

Սահմանում. nածանցյալ (կամ ածանցյալ n-րդ կարգը) ֆունկցիաները y=f(x)կոչվում է դրա ածանցյալ n-1ածանցյալ:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Նշումներ: y″′, y IV, y Վև այլն:

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

ԿՈՐԻՆ շոշափողի սահմանում Շոշափում է կորի վրա y=ƒ(x)կետում Մկոչվում է կետի միջով գծված հատվածի սահմանային դիրք Մև դրան կից կետը Մ 1կոր, պայմանով, որ կետը Մ 1մոտենում է անորոշ ժամանակով կորի երկայնքով դեպի կետը Մ. ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը Ֆունկցիայի ածանցյալ y=ƒ(x)կետում X 0-ը թվայինորեն հավասար է առանցքի թեքության անկյան շոշափմանը Օ՜շոշափում է կորի վրա y=ƒ(x)կետում M (x 0; ƒ(x 0)):

ՏԱՐԲԵՐԱԿԱՆ ԴՈՏԻԿ ԴԵՊԻ կորի Կետերով դեպի կորը y=ƒ(x)ճիշտ Մկոչվում է կետով գծված գծի սահմանային դիրք Մև հաջորդ կետը նրա հետ Մ 1ծուռ, մտքից այն կողմ, ինչ կետ Մ 1կորը անխուսափելիորեն մոտենում է կետին Մ. ԵՐԿՐԱԶՄԻՍՏ ՊՈԽԻԴՆՈՅ Նմանատիպ գործառույթներ y=ƒ(x)ճիշտ x 0թվայինորեն հավասար է առանցքի թեքության շոշափմանը Օ՜ dotic, իրականացվում է կորի y=ƒ(x)ճիշտ M (x 0; ƒ(x 0)):

Ածանցյալի գործնական նշանակությունը

Եկեք դիտարկենք, թե գործնականում ինչ է նշանակում այն ​​մեծությունը, որը մենք գտել ենք որպես որոշակի ֆունկցիայի ածանցյալ։

Նախ եւ առաջ, ածանցյալ- սա դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական հասկացությունն է, որը բնութագրում է տվյալ կետում ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը:

Ի՞նչ է «փոփոխության տեմպերը»: Եկեք պատկերացնենք գործառույթը f(x) = 5. Անկախ արգումենտի արժեքից (x), դրա արժեքը ոչ մի կերպ չի փոխվում։ Այսինքն՝ դրա փոփոխության տեմպը զրո է։

Այժմ հաշվի առեք գործառույթը f(x) = x. x-ի ածանցյալը հավասար է մեկի: Իրոք, հեշտ է նկատել, որ (x) արգումենտի յուրաքանչյուր փոփոխության դեպքում ֆունկցիայի արժեքը նույնպես մեծանում է մեկով։

Ստացված տեղեկատվության տեսանկյունից այժմ անդրադառնանք պարզ ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակին։ Դրա հիման վրա անմիջապես պարզ է դառնում ֆիզիկական իմաստգտնել ֆունկցիայի ածանցյալը. Այս ըմբռնումը պետք է հեշտացնի գործնական խնդիրների լուծումը:

Համապատասխանաբար, եթե ածանցյալը ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, ապա կրկնակի ածանցյալը ցույց է տալիս արագացում։

2080.1947