Գործառույթների մաթեմատիկական վերլուծություն. Մաթեմատիկական վերլուծություն. Տեսեք, թե ինչ է «մաթեմատիկական վերլուծությունը» այլ բառարաններում

Կազմել է Յու.Վ

Կալուգա - 2012 թ

Մաթեմատիկական վերլուծության ներածություն.

Իրական թվեր. Փոփոխականներ և հաստատուններ.

Մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից է թիվ. Դրական 1,2,3, ... թվերը, որոնք ստացվում են հաշվելիս, կոչվում են բնական. Թվերը... -3,-2,-1,0,1,2,3,... կոչվում են ամբողջ թվեր։ Թվեր, որոնք կարող են ներկայացվել որպես երկու ամբողջ թվերի վերջավոր հարաբերակցություն (
) կոչվում են ռացիոնալ. Դրանք ներառում են ամբողջ թվեր և կոտորակներ, դրական և բացասական թվեր: Այն թվերը, որոնք ներկայացված են անվերջ ոչ պարբերական կոտորակներով, կոչվում են իռացիոնալ. Իռացիոնալ թվերի օրինակներն են
,
. Իռացիոնալ թվերի բազմության մեջ կան տրանսցենդենտալ թվեր։ Սրանք թվեր են, որոնք ոչ հանրահաշվական գործողությունների արդյունք են։ Դրանցից ամենահայտնին թիվն է և Նեպերովո համարը . Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերը կոչվում են վավեր . Իրական թվերը թվային տողի վրա ներկայացված են կետերով: Թվային տողի յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ իրական թվի և, ընդհակառակը, յուրաքանչյուրին իրական թիվհամապատասխանում է թվային առանցքի մեկ կետին: Այսպիսով, իրական թվերի և թվային տողի կետերի միջև հաստատվում է մեկ առ մեկ համապատասխանություն: Սա հնարավորություն է տալիս հավասարապես օգտագործել «թիվ ա» և «կետ ա» տերմինները:

Տարբեր ֆիզիկական, տնտեսական և սոցիալական գործընթացների ուսումնասիրման գործընթացում հաճախ պետք է գործ ունենալ ուսումնասիրվող երևույթների պարամետրերի թվային արժեքները ներկայացնող մեծությունների հետ: Միևնույն ժամանակ, նրանցից ոմանք փոխվում են, իսկ մյուսները պահպանում են իրենց արժեքները:

Փոփոխական մեծություն է, որն ընդունում է տարբեր թվային արժեքներ։ Այն մեծությունը, որի թվային արժեքը չի փոխվում տվյալ խնդրի կամ փորձի ժամանակ, կոչվում է մշտական. Փոփոխական մեծությունները սովորաբար նշվում են լատինական տառերով
և հաստատուններ
.

Փոփոխական արժեք համարվում է տրված, եթե հայտնի է այն արժեքների հավաքածուն, որը կարող է վերցնել: Այս բազմությունը կոչվում է փոփոխականի տատանումների տիրույթ։

Կան թվային փոփոխականի արժեքների հավաքածուների տարբեր տեսակներ:

Ինտերվալ x-ի արժեքների բազմությունն է, որը պարունակվում է a և b թվերի միջև, մինչդեռ a և b թվերը չեն պատկանում տվյալ բազմությանը: Ինտերվալը նշանակվում է՝ (a,b);a

Ըստ հատվածի x-ի արժեքների բազմությունն է, որը պարունակվում է a և b թվերի միջև, մինչդեռ a և b թվերը պատկանում են տվյալ բազմությանը: Հատվածը նշանակվում է ,a≤x≤b-ով:

Բոլոր իրական թվերի բազմությունը բաց ինտերվալ է։ Նշվում է՝ (- ∞,+ ∞), -∞<х <+∞, R.

x կետի հարևանությունը 0 կամայական միջակայք է (a,b), որը պարունակում է x 0 կետը, այս ինտերվալի բոլոր կետերը բավարարում են անհավասարությունը

ε - ա կետի հարևանությունը a կետի կենտրոնով միջակայք է, որը բավարարում է a–ε անհավասարությունը

Գործառույթ. Հիմնական սահմանումներ և հասկացություններ.

Ֆունկցիան մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից մեկն է։ Թող X և Y լինեն իրական թվերի կամայական բազմություններ:

Եթե ​​յուրաքանչյուր x X թիվ, ըստ որևէ կանոնի կամ օրենքի, կապված է մեկ հստակ սահմանված yU իրական թվի հետ, ապա ասում են, որ տրվածը. ֆունկցիան X-ի սահմանման տիրույթով և Y-ի արժեքների բազմությամբ: Նշվում է y = f (x): x փոփոխականը կոչվում է փաստարկ գործառույթները։

Ֆունկցիան սահմանելիս երկու կետ էական է` սահմանման տիրույթի նշումը և համապատասխանության օրենքի սահմանումը:

Սահմանման տիրույթ կամ գոյության տարածքը Ֆունկցիան արգումենտների արժեքների ամբողջությունն է, որի համար գոյություն ունի ֆունկցիան, այսինքն՝ իմաստ ունի։

Փոխել տարածքը Ֆունկցիան y արժեքների բազմությունն է, որն ընդունում է x-ի ընդունելի արժեքները:

Գործառույթը նշելու մեթոդներ.

Գործառույթի որոշման վերլուծական մեթոդ:

Գործառույթը նշելու այս մեթոդով համապատասխանության օրենքը գրվում է բանաձևի (վերլուծական արտահայտություն) տեսքով, որը ցույց է տալիս, թե մաթեմատիկական ինչ փոխակերպումների միջոցով կարելի է գտնել y-ի համապատասխան արժեքը x փաստարկի հայտնի արժեքից:

Ֆունկցիան կարող է սահմանվել մեկ վերլուծական արտահայտությամբ իր ամբողջ սահմանման տիրույթում կամ ներկայացնել մի քանի վերլուծական արտահայտությունների հավաքածու:

Օրինակ՝ y = մեղք (x 2 + 1)

2. Ֆունկցիան նշելու աղյուսակային մեթոդ

Ցանկացած երևույթի կամ գործընթացի ուղղակի դիտարկման կամ փորձարարական ուսումնասիրության արդյունքում x փաստարկի և y-ի համապատասխան արժեքները դուրս են գրվում որոշակի հերթականությամբ:

Այս աղյուսակը սահմանում է x-ի y ֆունկցիան:

Ֆունկցիայի որոշման աղյուսակային մեթոդի օրինակ կարող են լինել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակները, լոգարիթմների աղյուսակները, ամսաթվերը և փոխարժեքները, օդի ջերմաստիճանը և խոնավությունը և այլն:

3. Ֆունկցիայի հստակեցման գրաֆիկական մեթոդ:

Ֆունկցիայի որոշման գրաֆիկական մեթոդը բաղկացած է կոորդինատային հարթության վրա կետերի (x, y) պատկերումից՝ տեխնիկական սարքերի միջոցով: Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ չի կիրառվում ֆունկցիայի հստակեցման գրաֆիկական մեթոդը, սակայն միշտ օգտագործվում է անալիտիկորեն սահմանված ֆունկցիաների գրաֆիկական նկարազարդումը։

Նստե՞լ ես մթության մեջ և կարդում ես իմ հոդվածները։ Պահպանեք ձեր տեսողությունը: Եթե ​​դուք ունեք սիրելի վայր, ամենայն հավանականությամբ, մահճակալ, ապա պատի ճարմանդները՝ առաքումով ամբողջ Ուկրաինայում կայքում, կարող են հարմար տարբերակ լինել: Կարդացեք լույսի ներքո և պաշտպանեք ձեր տեսողությունը:

Ամեն ինչ պետք է ասվի հնարավորինս պարզ, բայց ոչ ավելի պարզ։
Albert Einstein

Մեր ճանապարհորդությունը կսկսվի հորինված կերպարի հետ հանդիպելով, որին մենք կանվանենք Ջոն Դո: Նա միջին աշխատող է, որին հեշտությամբ կարելի է գտնել աշխարհի ցանկացած քաղաքում։ Գրեթե ամեն օր Ջոնն արթնանում է իր զարթուցիչի բարձր ձայնից և իր մեքենայով գնում աշխատանքի։ Նա վերելակով բարձրանում է իր աշխատասենյակ, որտեղ բեռնում է համակարգիչը և մուտքագրում իր օգտանունն ու գաղտնաբառը։ Ջոնն անում է այս բոլոր բաները, առանց որևէ գաղափարի, թե ինչպես են դրանք աշխատում:

Թերևս նրան կհետաքրքրի իմանալ, թե ինչպես են աշխատում և գործում այն ​​սարքերն ու գործիքները, որոնք նա օգտագործում է ամեն օր, սակայն նա ոչ ժամանակ ունի, ոչ էլ էներգիա դա անելու համար։ Նա բոլորովին տարբեր ու բարդ մեխանիզմներ է համարում մեքենաները, վերելակները, համակարգիչները, զարթուցիչները, որոնք իրար հետ ոչ մի ընդհանուր բան չունեն։ Ջոնի խոսքով՝ տարիներ է պետք ուսումնասիրել՝ հասկանալու համար, թե ինչպես է աշխատում դրանցից յուրաքանչյուրը։

Որոշ մարդիկ իրերին մի փոքր այլ կերպ են տեսնում, քան մեր Ջոն Դոյը: Նրանք գիտեն, որ վերելակների տեղադրման էլեկտրական շարժիչները շատ նման են ավտոմոբիլային փոփոխիչներին:

Նրանք գիտեն, որ ծրագրավորվող տրամաբանական կարգավորիչը, որը կառավարում է վերելակը շարժող էլեկտրական շարժիչը, շատ նման է Ջոն Դոյի աշխատանքային համակարգչին։ Նրանք գիտեն, որ հիմնարար մակարդակում ծրագրավորվող տրամաբանական կարգավորիչների, զարթուցիչների և համակարգիչների գործառնական սկզբունքը հիմնված է տրանզիստորի համեմատաբար պարզ տեսության վրա: Այն, ինչ Ջոն Դոն և սովորական մարդը համարում են աներևակայելի բարդ, հաքերի համար պարզ մեխանիկական և էլեկտրական սկզբունքների ամենատարածված օգտագործումն է: Խնդիրն այն է, թե ինչպես են կիրառվում այս սկզբունքները։ Բարդ գաղափարներից հիմնարար սկզբունքների վերացումը թույլ է տալիս մեզ հասկանալ և պարզեցնել դրանք այնպես, որ հարգանքի տուրք մատուցի Ալբերտ Էյնշտեյնի վերը նշված խորհուրդներին:

Մեզանից շատերը հաշվարկը համարում են դժվար: (Ջոն Դոուն դիտարկում է տարբեր մեխանիզմների նախագծման և գործելու նույն սկզբունքը:) Դուք տեսնում եք բարդ, շփոթեցնող իրերի կույտ: Դրանք հասկանալու համար ձեզ շատ ժամանակ և ջանք է պետք։ Բայց ի՞նչ կլիներ, եթե ասեինք, որ մաթեմատիկական վերլուծությունը (հաշվարկը) այնքան էլ դժվար չէ, որքան թվում է առաջին հայացքից, և ոչ էլ մեխանիզմների մեծ մասը: Որ կան մի քանի հիմնական սկզբունքներ, որոնք բոլորին տրված է հասկանալու համար, և երբ դուք դա անեք, դուք կունենաք նոր տեսակետ աշխարհի և ինչպես է այն աշխատում:

Տիպիկ հաշվարկի դասագիրքը պարունակում է մոտ հազար էջ: Տիպիկ Ջոն Դոուն կտեսնի դրա մեջ հազարավոր բաներ, որոնք դժվար է հասկանալ և ուսումնասիրել, իսկ հաքերը կտեսնի երկու հիմնական սկզբունք (ածանցյալ և ինտեգրալ) և այդ սկզբունքների 998 օրինակ: Միասին մենք կփորձենք պարզել, թե որոնք են այս սկզբունքները: Օսթինի Տեխասի համալսարանի պրոֆեսոր Մայքլ Սթարբիդի կատարած աշխատանքի հիման վրա մենք կօգտագործենք ամենօրյա օրինակներ, որոնք բոլորը կարող են հասկանալ: Մաթեմատիկական վերլուծությունը բացահայտում է մեր աշխարհի առանձնահատուկ գեղեցկությունը՝ գեղեցկությունը, որն առաջանում է այն ժամանակ, երբ դու կարողանում ես այն դիտարկել դինամիկ, այլ ոչ ստատիկ կերպով: Հուսով ենք, որ ամեն ինչ կստացվի ձեզ մոտ:

Նախքան սկսելը, ես կցանկանայի համառոտ անցնել մաթեմատիկական վերլուծության առաջացման պատմությանը, որի արմատները գտնվում են փոփոխության և շարժման շատ մանրակրկիտ վերլուծության մեջ:

Զենոնի պարադոքսը

Զենոն Էլեացին փիլիսոփա էր, ով ապրել է մ.թ.ա. 4-րդ դարում։ Նա առաջ քաշեց մի քանի նուրբ, բայց խորը պարադոքսներ, որոնցից երկուսը ի վերջո հանգեցրին հաշվարկի ծնունդին: Մարդկությունից ավելի քան երկու հազար տարի պահանջվեց Զենոնի պարադոքսները լուծելու համար: Ինչպես կարող եք պատկերացնել, հեշտ չէր։ Դժվարությունները հիմնականում կապված էին անսահմանության գաղափարի հետ։ Ո՞րն է անսահմանության խնդիրը մաթեմատիկական տեսանկյունից: 17-րդ դարում Իսահակ Նյուտոնին և Գոթֆրիդ Լայբնիցին հաջողվեց լուծել Զենոնի պարադոքսները և ստեղծել մաթեմատիկական վերլուծություն։ Եկեք ավելի մոտիկից նայենք այս պարադոքսներին՝ հասկանալու համար, թե ինչու այդքան մեծ աղմուկ բարձրացավ դրանց շուրջ:

Սլաք

Պատկերացրեք մի նետ, որը թռչում է օդում: Մեծ վստահությամբ կարող ենք ասել, որ սլաքը շարժման մեջ է։ Հիմա եկեք նայենք սլաքին ժամանակի որոշակի կետում: Նա այլևս չի շարժվում, այլ մնում է հանգստի վիճակում։ Բայց մենք հաստատ գիտենք, որ սլաքը շարժման մեջ է, այդ դեպքում ինչպե՞ս կարող է հանգստանալ։ Սա է այս պարադոքսի էությունը։ Դա կարող է հիմար թվալ, բայց իրականում դա շատ բարդ հասկացություն է, որը պետք է դիտարկել մաթեմատիկական տեսանկյունից:

Ավելի ուշ մենք կիմանանք, որ գործ ունենք փոփոխության ակնթարթային արագության հայեցակարգի հետ, որը մենք կապելու ենք մաթեմատիկական վերլուծության երկու սկզբունքներից մեկի՝ ածանցյալի գաղափարի հետ։ Սա թույլ կտա մեզ հաշվարկել նետի արագությունը ժամանակի որոշակի կետում, մի բան, որը մարդկությունը չի կարողացել անել ավելի քան երկու հազարամյակ:

Դիխոտոմիա

Եկեք նորից նայենք նույն սլաքին։ Այս անգամ պատկերացնենք, որ այն թռչում է մեր ուղղությամբ։ Զենոնը պնդում էր, որ մենք չպետք է շարժվենք, քանի որ նետը երբեք չի կարող մեզ դիպչել: Պատկերացրեք, որ երբ նետը օդում է, այն պետք է անցնի աղեղի և թիրախի միջև տարածության կեսը: Հենց նա հասնի որոշակի կես կետի, նա կրկին պետք է անցնի տարածության կեսը` այս անգամ այս կետի և նպատակի միջև: Պատկերացրեք, եթե մենք շարունակենք դա անել: Այսպիսով, սլաքը մշտապես ծածկում է հենակետի և թիրախի միջև եղած հեռավորության կեսը: Հաշվի առնելով դա՝ կարող ենք եզրակացնել, որ նետը երբեք չի կարող մեզ խոցել։ Իրական կյանքում սլաքն ի վերջո կհասնի իր թիրախին՝ թողնելով մեզ կռահել պարադոքսի իմաստը:

Ինչպես առաջին պարադոքսի դեպքում, մենք հետագայում կանդրադառնանք, թե ինչպես լուծել այս խնդիրը՝ օգտագործելով մաթեմատիկական վերլուծության սկզբունքներից մեկը՝ ինտեգրալը: Ինտեգրալը մեզ թույլ է տալիս անսահմանության հասկացությունը դիտարկել որպես մաթեմատիկական ֆունկցիա։ Դա չափազանց հզոր գործիք է, ըստ գիտնականների և ինժեներների:

Մաթեմատիկական վերլուծության երկու հիմնական սկզբունքներ

Մաթեմատիկական վերլուծության երկու հիմնարար սկզբունքների էությունը կարելի է ցույց տալ՝ դրանք կիրառելով Զենոնի պարադոքսները լուծելու համար։

Ածանցյալ.Ածանցյալը մեթոդ է, որը թույլ կտա մեզ հաշվարկել սլաքի արագությունը Սլաքների պարադոքսում: Մենք դա կանենք՝ վերլուծելով սլաքի դիրքը ժամանակի հաջորդաբար փոքր ընդմիջումներով: Սլաքի ճշգրիտ արագությունը հայտնի կդառնա, երբ չափումների միջև ընկած ժամանակը լինի անսահման փոքր:

Անբաժանելի.Ինտեգրալը մի մեթոդ է, որը թույլ կտա մեզ հաշվարկել սլաքի դիրքը Դիխոտոմիա պարադոքսում։ Մենք դա կանենք՝ վերլուծելով սլաքի արագությունը ժամանակի հաջորդաբար նվազող ընդմիջումներով: Սլաքի ճշգրիտ դիրքը մեզ հայտնի կդառնա, երբ չափումների միջև ընկած ժամանակն անսահման փոքր լինի:

Հեշտ է նկատել որոշ նմանություններ ածանցյալի և ինտեգրալի միջև։ Երկու քանակներն էլ հաշվարկվում են՝ վերլուծելով բումի դիրքը կամ արագությունը աստիճանաբար նվազող ժամանակային ընդմիջումներով: Մենք ավելի ուշ կիմանանք, որ ինտեգրալը և ածանցյալը, ըստ էության, նույն կերամիկական կոնդենսատորի երկու կողմերն են:

Ինչու՞ պետք է սովորենք հաշվարկի հիմունքները:

Մենք բոլորս գիտենք Օհմի օրենքը, որը կապում է հոսանքը, լարումը և դիմադրությունը մեկ պարզ հավասարման մեջ: Այժմ եկեք նայենք Օհմի օրենքին՝ օգտագործելով կոնդենսատորի օրինակը: Կոնդենսատորի հոսանքը կախված է լարումից և ժամանակից: Ժամանակն այս դեպքում կրիտիկական փոփոխական է և պետք է հաշվի առնել ցանկացած դինամիկ իրադարձության ժամանակ: Մաթեմատիկական վերլուծությունը թույլ է տալիս մեզ հասկանալ և գնահատել, թե ինչպես են իրերը փոխվում ժամանակի ընթացքում: Կոնդենսատորի դեպքում հոսանքը հավասար է հզորությանը, որը բազմապատկվում է վայրկյանում վոլտով, կամ i = C(dv/dt), որտեղ.

i – ընթացիկ ուժ (ակնթարթային);
C - հզորություն, որը չափվում է ֆարադներով.
dv - լարման փոփոխություն;
dt - ժամանակի փոփոխություն:

Այս շղթայում կոնդենսատորում էլեկտրական հոսանք չկա: Վոլտմետրը ցույց կտա մարտկոցի լարումը, բայց ամպաչափը ոչինչ ցույց չի տա: Լարումը չի փոխվի, քանի դեռ պոտենցիոմետրը մնում է անփոփոխ: Այս դեպքում i = C(0/dt) = 0 amp: Բայց ի՞նչ կլինի, եթե սկսենք կարգավորել պոտենցիոմետրը: Դատելով հավասարումից, ստացված հոսանքը կհայտնվի կոնդենսատորում: Այս հոսանքը կախված կլինի լարման փոփոխությունից, որը կապված է պոտենցիոմետրի արագ շարժման հետ:

Այս գրաֆիկները ցույց են տալիս կապը կոնդենսատորի լարման, հոսանքի և արագության միջև, որով մենք պտտում ենք պոտենցիոմետրը: Մենք դա անում ենք սկզբում դանդաղ: Արագության բարձրացումը հանգեցնում է լարման փոփոխության, որն իր հերթին հրահրում է հոսանքի կտրուկ աճ։ Բոլոր փուլերում կոնդենսատորի հոսանքը համաչափ է դրանում լարման փոփոխության արագությանը:

Մաթեմատիկական վերլուծությունը, ավելի ճիշտ՝ ածանցյալը, թույլ է տալիս որոշել փոփոխության արագությունը, որպեսզի մենք հստակ իմանանք կոնդենսատորի հոսանքի արժեքը ժամանակի որոշակի պահին: Նման կերպ մենք կարող ենք հաշվարկել Զենոնի նետի ակնթարթային արագությունը։ Սա աներևակայելի հզոր գործիք է, որը պետք է լինի ձեր զինանոցում:

Նյութը պատրաստվել է հատուկ կայքի համար՝ հիմնվելով hackaday.com-ի հոդվածի վրա

P.S. Իմ անունը Ալեքսանդր է։ Սա իմ անձնական, անկախ նախագիծն է։ Ես շատ ուրախ եմ, եթե հոդվածը ձեզ դուր եկավ: Ցանկանու՞մ եք օգնել կայքին: Պարզապես նայեք ստորև ներկայացված գովազդին, թե ինչ էիք փնտրում վերջերս:

Հեղինակային իրավունքի կայք © - Այս նորությունը պատկանում է կայքին և հանդիսանում է բլոգի մտավոր սեփականությունը, պաշտպանված է հեղինակային իրավունքի մասին օրենքով և չի կարող օգտագործվել որևէ վայրում՝ առանց աղբյուրի ակտիվ հղումի: Կարդալ ավելին - «Հեղինակության մասին»

Սա՞ էիք փնտրում: Միգուցե սա այն է, ինչ այդքան ժամանակ չէիք կարողանում գտնել:

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ

մաթեմատիկայի մի մասը, որում գործառույթներըև մեթոդով ուսումնասիրվում են դրանց ընդհանրացումները սահմանները.Սահման հասկացությունը սերտորեն կապված է անվերջ փոքր մեծություն հասկացության հետ, ուստի կարող ենք նաև ասել, որ Մ. ա. ուսումնասիրում է ֆունկցիաները և դրանց ընդհանրացումները անվերջ փոքր մեթոդով:

Անունը «Մ.ա. - մաթեմատիկայի այս մասի հին անվան կրճատ ձևափոխում - «Անվերջ փոքրերի վերլուծություն». վերջինս ավելի լիարժեք է բացահայտում բովանդակությունը, բայց նաև կրճատվում է («Վերլուծություն անվերջ փոքրերի միջոցով» վերնագիրը ավելի ճշգրիտ կբնութագրեր թեմային): Դասական Մ.ա. ուսումնասիրության (վերլուծության) օբյեկտները հիմնականում գործառույթներն են։ «Առաջին հերթին», քանի որ զարգացումը Մ. ա. հանգեցրեց իր մեթոդներով ավելի բարդ կազմավորումների ուսումնասիրության հնարավորությանը, քան , - ֆունկցիոնալները, օպերատորները և այլն:

Բնության և տեխնիկայի մեջ ամենուր հանդիպում են շարժումներ և գործընթացներ, որոնք նկարագրվում են գործառույթներով. բնական երևույթների օրենքները սովորաբար նկարագրվում են նաև ֆունկցիաներով։ Այստեղից էլ Մ.ա.-ի օբյեկտիվ նշանակությունը. որպես ֆունկցիաների ուսումնասիրման միջոց։

Մ.ա. տերմինի լայն իմաստով այն ընդգրկում է մաթեմատիկայի շատ մեծ մասը։ Այն ներառում է դիֆերենցիալ, ինտեգրալ հաշվարկ, բարդ փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն,տեսություն սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ,տեսություն մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ,տեսություն ինտեգրալ հավասարումներ, տատանումների հաշվարկ, ֆունկցիոնալ վերլուծությունև մի քանի այլ մաթեմատիկական առարկաներ. Ժամանակակից թվերի տեսությունԵվ հավանականությունների տեսությունկիրառել և մշակել Մ. ա.

Այդուհանդերձ, տերմինը M. a. հաճախ օգտագործվում է անվանելու միայն մաթեմատիկական վերլուծության հիմքերը, որոնք միավորում են տեսությունը իրական թիվսահմանների տեսություն, տեսություն շարքեր,դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկը և դրանց ուղղակի կիրառությունները, ինչպիսիք են առավելագույնի և նվազագույնի տեսությունը, տեսությունը իմպլիցիտ ֆունկցիաներ, Ֆուրիեի շարք, Ֆուրիեի ինտեգրալներ:

Գործառույթ.Մ-ում Ա. սկսել ֆունկցիայի սահմանումից՝ ըստ Լոբաչևսկու և Դիրիխլեի։ Եթե ​​F թվերի որոշակի բազմության յուրաքանչյուր xy թիվը, k.-l-ի ուժով: օրենքը ներառված է թվի մեջ y,ապա սա սահմանում է գործառույթը

մեկ փոփոխականից X.Գործառույթը սահմանվում է նույն կերպ

փոփոխականներից, որտեղ x=(x 1 , ..., x p) - կետ n-չափ տարածության մեջ; հաշվի առեք նաև գործառույթները

կետերից x=(x 1 , X 2 , ...) որոշակի անսահմանաչափ տարածության, որոնք, սակայն, ավելի հաճախ կոչվում են ֆունկցիոնալներ։

Տարրական գործառույթներ.Հիմնարար նշանակությունը Մ.ա. խաղալ տարրական գործառույթներ.Գործնականում դրանք հիմնականում գործում են տարրական գործառույթներով, դրանք օգտագործվում են ավելի բարդ բնույթի գործառույթների մոտավորության համար։ Տարրական ֆունկցիաները կարելի է համարել ոչ միայն իրական, այլև բարդ x-ի համար, այնուհետև այդ ֆունկցիաների մասին պատկերացումները դառնում են որոշակի իմաստով: Սրա կապակցությամբ առաջացել է Մ–ի մի կարեւոր ճյուղ՝ կոչված. բարդ փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն կամ տեսություն վերլուծական գործառույթներ.

Իրական թիվ.Գործառույթ հասկացությունն էապես հիմնված է իրական (ռացիոնալ և իռացիոնալ) թվի հասկացության վրա։ Այն վերջնականապես ձևավորվել է միայն 19-րդ դարի վերջին։ Մասնավորապես, թվերի և երկրաչափական կետերի միջև տրամաբանորեն անթերի կապ է հաստատվել։ ուղիղ գիծ, ​​որը հանգեցրեց Ռ.Դեկարտի (Ռ. Դեկարտ, 17-րդ դարի կես) գաղափարների ֆորմալ հիմնավորմանը, ով մաթեմատիկա ներմուծեց ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր և դրանցում ֆունկցիաների ներկայացումը գրաֆիկներով։

Սահման.Մ-ում Ա. Ֆունկցիաների ուսումնասիրման մեթոդն է. Տարբերակվում է հաջորդականության սահմանը և ֆունկցիայի սահմանը։ Այս հասկացությունները վերջնականապես ձևավորվեցին միայն 19-րդ դարում, թեև հին հույները պատկերացում ունեին դրանց մասին։ գիտնականներ. Բավական է ասել, որ Արքիմեդը (մ.թ.ա. III դար) կարողացել է հաշվարկել պարաբոլայի հատվածը, օգտագործելով մի գործընթաց, որը մենք կկոչենք անցումը դեպի սահման (տես. Հյուծման մեթոդ).

Շարունակական գործառույթներ.Մաթեմատիկական ձևով ուսումնասիրված կարևոր գործառույթներ շարունակական գործառույթներ.Այս հայեցակարգի հնարավոր սահմանումներից մեկը՝ ֆունկցիա y=f(x) մեկ փոփոխականից X,տրված ընդմիջումով ( ա, բ), կանչեց շարունակական մի կետում X,Եթե

Ֆունկցիան շարունակական է միջակայքում ( ա, բ), եթե այն շարունակական է իր բոլոր կետերում. ապա դա կոր է, շարունակական բառի առօրյա ըմբռնման մեջ։

Ածանցյալ և.Շարունակական ֆունկցիաների շարքում պետք է առանձնացնել գործառույթները, որոնք ունեն ածանցյալ.Ֆունկցիայի ածանցյալ

մի կետում այս կետում փոփոխության արագությունն է, այսինքն՝ սահմանը

Եթե ​​ունեք ժամանակի ընթացքում օրդինատների առանցքի երկայնքով շարժվող կետի կոորդինատը X,ապա f" (x) կետի ակնթարթային արագությունն է ժամանակի պահին X.

f» (x) ածանցյալի նշանով. . դատեք f(x) փոփոխության բնույթը. եթե f"(z)>0 ( զ"(x) <0 ). ընդմիջումով ( ս, դ), ապա այս միջակայքում / ֆունկցիան մեծանում (նվազում է): Եթե ​​/ ֆունկցիան x կետում հասնում է տեղական ծայրահեղության (առավելագույն կամ նվազագույն) և այս կետում ունի ածանցյալ, ապա վերջինս այս կետում հավասար է զրոյի f "(x 0) = 0:

Հավասարությունը (1) կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարությամբ

որտեղ է անվերջ փոքր, երբ, այսինքն, եթե f ֆունկցիան կետում ունի ածանցյալ X,այնուհետև դրա աճն այս պահին բաժանվում է երկու անդամի: Դրանցից առաջինը

-ից է (համամասնական), երկրորդը - ավելի արագ է հակված զրոյի, քան

Արժեքը (2) կանչված է: դիֆերենցիալԳործառույթները, որոնք համապատասխանում են աճին At small-ին, կարելի է մոտավորապես հավասար համարել դի:

Դիֆերենցիալի վերաբերյալ վերը նշված նկատառումները բնորոշ են MA-ին: Դրանք տարածվում են բազմաթիվ փոփոխականների ֆունկցիաների և ֆունկցիոնալների վրա:

Օրինակ, եթե ֆունկցիան

փոփոխականներից ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներկետում x=(x 1 , ... , x n), ապա դրա աճը անկախ փոփոխականների հավելումներին համապատասխան, կարելի է գրել ձևով

որտեղ է, եթե բոլորը

Այստեղ (3)-ի աջ կողմի առաջին անդամը դիֆերենցիալն է ձգործառույթները զ. Այն գծայինորեն կախված է, և երկրորդ անդամը ձգտում է զրոյի՝ ավելի արագ, քան

Թող տրվի (տես արվեստ. Վարիացիաների հաշվարկ)

ընդարձակվել է ֆունկցիայի դասերին x(t) , հատվածի վրա ունենալով շարունակական ածանցյալ և բավարարում է սահմանային պայմանները x( t 0)= x 0, x( t 1)=x լ,Որտեղ x 0, x 1 -տվյալների համարներ; թող լինի h(t) ֆունկցիայի դասը. , ունենալով շարունակական ածանցյալ և այնպիսին, որ h( t 0)=ժ(t 1)=0. Ակնհայտորեն, եթե

Վարիացիաների հաշվում ապացուցված է, որ L-ի որոշակի պայմաններում J(x) ֆունկցիոնալ աճը կարող է գրվել ձևով.

որտեղ

և, հետևաբար, (4)-ի աջ կողմի երկրորդ անդամը զրոյի ավելի արագ է ձգտում, քան ||h||-ը, և առաջին անդամը գծայինորեն կախված է (4)-ի առաջին անդամից, որը կոչվում է: ֆունկցիոնալների փոփոխություն և նշվում է dJ ( x, h).

Անբաժանելի. Ածանցյալի հետ մեկտեղ հիմնարար նշանակություն ունի մաթեմատիկայի մեջ։ Կան անորոշ և որոշակի ինտեգրալներ։

Անորոշ ինտեգրալը սերտորեն կապված է հակաածանցյալ ֆունկցիայի հետ։ F(x) ֆունկցիան կոչվում է: f ֆունկցիայի հակաածանցյալը ընդմիջման վրա ( ա, բ), եթե այս միջակայքում Զ»(x) = զ(x).

Ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալ (Ռիման) / ինտերվալի վրա [ ա,բ] կա սահման

Եթե ​​f ֆունկցիան դրական է և շարունակական [ինտերվալի վրա] ա, բ], ապա դրա ինտեգրալը այս հատվածի վրա հավասար է կորով սահմանափակված գործչի մակերեսին y=f(x), առանցք Օ՜և ուղիղ x=a, x=b.

Ռիմանի ինտեգրելի ֆունկցիաների դասը պարունակում է բոլոր շարունակական ֆունկցիաները [ ա, բ]ֆունկցիաներ և որոշակի ընդհատվող ֆունկցիաներ։ Բայց դրանք բոլորն էլ պարտադիր սահմանափակ են։ Անսահմանափակ գործառույթների համար, որոնք շատ արագ չեն աճում, ինչպես նաև անսահման ընդմիջումներով սահմանված որոշակի գործառույթների համար, այսպես կոչված. ոչ պատշաճ ինտեգրալներ,պահանջելով կրկնակի անցում դեպի սահմանը դրանց սահմանման համար:

Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համար Ռիմանի ինտեգրալի հայեցակարգը տարածվում է բազմաթիվ փոփոխականների ֆունկցիաների վրա (տես. Բազմակի ինտեգրալ).

Մյուս կողմից, կարիքները Մ. ա. հանգեցրել է ինտեգրալի ընդհանրացմանը բոլորովին այլ ուղղությամբ, իմաստով Լեբեգի ինտեգրալկամ ավելի ընդհանուր Lebesgue-Stieltjes ինտեգրալ.Այս ինտեգրալների սահմանման մեջ էական է որոշակի բազմությունների համար, որոնք կոչվում են չափելի, դրանց չափման հայեցակարգը և դրա հիման վրա չափելի ֆունկցիա հասկացությունը: Չափելի ֆունկցիաների համար ներդրվում է Lebesgue - Stieltjes ինտեգրալը։ Այս դեպքում դիտարկվում են տարբեր չափումների լայն շրջանակ և չափելի բազմությունների ու ֆունկցիաների համապատասխան դասեր: Սա հնարավորություն է տալիս այս կամ այն ​​ինտեգրալը հարմարեցնել կոնկրետ կոնկրետ խնդրին:

Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը. Կա կապ ածանցյալի և ինտեգրալի միջև՝ արտահայտված Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով (թեորեմ)

Այստեղ f(x).շարունակական է [ ա, բ]ֆունկցիա, a F(x) - դրա նախատիպը։

Ֆորմուլա և Թեյլոր. Ածանցյալի և ինտեգրալի հետ մեկտեղ մաթեմատիկական մաթեմատիկայի կարևորագույն հայեցակարգը (հետազոտության գործիք): են Թեյլոր p Taylor շարք.Եթե ​​f(x) ֆունկցիան , ա ունի շարունակական ածանցյալներ մինչև n կարգի ներառյալ x 0 կետի հարևանությամբ, ապա այն կարող է մոտավորվել այս հարևանությամբ բազմանդամով

կանչեց իր Թեյլորի բազմանդամով (n աստիճան) ըստ հզորությունների x-x 0:

(Թեյլորի բանաձեւ); այս դեպքում մոտավոր սխալ

ձգտում է զրոյի, քանի որ

ավելի արագ քան

Այսպիսով, x 0 կետի հարևանությամբ f(x) ֆունկցիան կարող է մոտավորվել ցանկացած աստիճանի ճշգրտությամբ շատ պարզ ֆունկցիայով (բազմանդամ), որի հաշվարկի համար պահանջվում է միայն թվաբանություն։ գործողություններ - գումարում, հանում և բազմապատկում:

Հատկապես կարևոր են այսպես կոչված. ֆունկցիաներ, որոնք վերլուծական են x 0-ի որոշակի հարևանությամբ և ունեն անսահման թվով ածանցյալներ, այնպիսին, որ նրանց համար այս հարևանությամբ ժամը դրանք կարող են ներկայացվել անսահման Թեյլորի հզորության շարքի տեսքով.

Որոշակի պայմաններում Թեյլորի ընդլայնումները հնարավոր են նաև բազմաթիվ փոփոխականների, ինչպես նաև ֆունկցիոնալների և օպերատորների ֆունկցիաների համար:

Պատմական անդրադարձ.Մինչև 17-րդ դ Մ.ա. առանձին առանձին խնդիրների լուծումների մի շարք էր. Օրինակ, ինտեգրալ հաշվարկում սրանք թվերի մակերեսների, կոր սահմաններով մարմինների ծավալների, փոփոխական ուժի աշխատանքի և այլնի հաշվարկի խնդիրներ են: Յուրաքանչյուր խնդիր կամ որոշակի խնդիր լուծվել է իր մեթոդով, երբեմն բարդ և ծանր ( Մաթեմատիկայի նախապատմության համար տե՛ս հոդվածը Անսահման փոքր հաշվարկ), Մ.ա. որպես միասնական և համակարգված ամբողջը ձևավորվել է 17-18-րդ դարերի Ի.Նյուտոնի, Գ.Լայբնիցի, Լ.Էյլերի, Ջ.Լագրանժի և այլ գիտնականների աշխատություններում, իսկ նրա սահմանների տեսությունը մշակել է Օ. սկիզբը. 19 - րդ դար MA-ի սկզբնական հասկացությունների խորը վերլուծություն: կապված էր 19-20-րդ դարերի զարգացման հետ։ բազմությունների տեսություն, չափումների տեսություն, իրական փոփոխականի ֆունկցիաների տեսություն և հանգեցրեց տարբեր ընդհանրացումների։

Լայթ.՝ La Valle - P u s e n Sh.-J. դ ե, Անվերջ փոքրերի վերլուծության դասընթաց, թարգմ. ֆրանսերենից, հատոր 1-2, Մ., 1933; Ilyin V. A., Poznyak E. G., Մաթեմատիկական վերլուծության հիմունքներ, 3-րդ հրատ., մաս 1, Մ., 1971; 2-րդ հրատ., մաս 2, Մ., 1980; Il and N V. A., Sadovnichy V. A., Seidov B. X., Mathematical Analysis, M., 1979; K u d r i v c e v L. D., Mathematical analysis, 2nd ed., vol., 1973; Նիկոլսկի Ս. Մ., Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց, 2-րդ հրատ., 1-2, Մ., 1975; U i t t e k e r E. T., V a t s o n D J. Ն., Ժամանակակից վերլուծության դասընթաց, թարգմ. անգլերենից, մասեր 1-2, 2-րդ հրտ., Մ., 1962-63; F ikhtengolts G.M., Course of differential and integral calculus, 7th ed., vol 1-2, M., 1970; 5-րդ հրատ., հատոր 3, Մ., 1970։ S. M. Nikolsky.

Մաթեմատիկական հանրագիտարան. - Մ.: Սովետական ​​հանրագիտարան. Ի.Մ.Վինոգրադով. 1977-1985 թթ.

Տեսեք, թե ինչ է «ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ»-ը այլ բառարաններում.

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ, մաթեմատիկայի ճյուղերի ամբողջություն, որը նվիրված է ֆունկցիաների ուսումնասիրությանը դիֆերենցիալ հաշվարկի և ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդներով... Ժամանակակից հանրագիտարան

Մաթեմատիկայի մի շարք ճյուղեր, որոնք նվիրված են ֆունկցիաների ուսումնասիրությանը դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդներով։ Տերմինն ավելի շատ մանկավարժական է, քան գիտական՝ բուհերում և տեխնիկումներում դասավանդվում են մաթեմատիկական վերլուծության դասընթացներ... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Անգլերեն մաթեմատիկական վերլուծություն գերմաներեն մաթեմատիկական վերլուծություն. Մաթեմատիկայի ճյուղ, որը նվիրված է ֆունկցիաների ուսումնասիրությանը դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդներով։ Անտինազի. Սոցիոլոգիայի հանրագիտարան, 2009 ... Սոցիոլոգիայի հանրագիտարան

Առկա, հոմանիշների թիվը՝ 2 մատան (2) մաթեմատիկական վերլուծություն (2) Հոմանիշների բառարան ASIS. Վ.Ն. Տրիշին. 2013… Հոմանիշների բառարան

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ- ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ. Մաթեմատիկայի մի շարք ճյուղեր, որոնք նվիրված են մաթեմատիկական ֆունկցիաների ուսումնասիրությանը դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդներով։ Մեթոդների օգտագործումը. ամենակարևորը լուծելու արդյունավետ միջոց է... Մեթոդական տերմինների և հասկացությունների նոր բառարան (լեզուների ուսուցման տեսություն և պրակտիկա)

մաթեմատիկական վերլուծություն- — EN մաթեմատիկական վերլուծություն Մաթեմատիկայի ճյուղը, որն առավել հստակորեն վերաբերում է սահմանային գործընթացին կամ կոնվերգենցիայի հայեցակարգին. ներառում է տարբերակման տեսությունները, …… Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

Մաթեմատիկական վերլուծություն- ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ, մաթեմատիկայի ճյուղերի ամբողջություն, որը նվիրված է ֆունկցիաների ուսումնասիրությանը դիֆերենցիալ հաշվարկի և ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդներով։ ... Պատկերազարդ հանրագիտարանային բառարան

«...եթե ես ստիպված լինեի ստեղծել մի մեխանիզմ, որի նպատակն էր միայն ոչնչացնել երեխայի բնական հետաքրքրասիրությունը և նրա սերը դեպի մոդելավորում, ապա դժվար թե ես ավելի լավ անեի, քան սա արդեն գիտակցված է, ես պարզապես չէի ունենա: բավականաչափ երևակայություն՝ մրցելու այնպիսի անզգայուն, ձանձրալի գաղափարների հետ, որոնք մարմնավորված են մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ժամանակակից մեթոդներում»։

Պատկերացրեք, որ սովորում եք արվեստ այսպես. Երեխաներ, մանկապարտեզում ոչ մի նկարչություն: Փոխարենը, եկեք ուսումնասիրենք ներկերի արտադրանքի քիմիան, լույսի ֆիզիկան և աչքի անատոմիան: Այս ասպեկտները 12 տարի ուսումնասիրելուց հետո, եթե երեխաները (ավելի ճիշտ՝ դեռահասները) դեռ չեն ատում արվեստը, նրանք կարող են ինքնուրույն սկսել նկարել: Ի վերջո, նրանք այժմ ունեն ամբողջական հիմք, որպեսզի սկսեն հարգել արվեստը: Ճիշտ?

Նույնը պոեզիայի դեպքում: Պատկերացրեք՝ ուսումնասիրեք այս մեջբերումը (բանաձև).

«Բայց գլխավորն այն է. եղիր հավատարիմ ինքդ քեզ. Այնուհետև, ինչպես գիշերը հաջորդում է ցերեկին, դու ուրիշներին չես դավաճանի»։ -Ուիլյամ Շեքսպիր, Համլետ

Դա «եղիր ինքդ քեզ» ասելու էլեգանտ ձև է (և եթե դա նշանակում է մաթեմատիկայի մասին անպատվաբեր գրել, այդպես էլ լինի): Բայց եթե մաթեմատիկայի դասաժամին պոեզիա ուսումնասիրեինք, իմաստ փնտրելու փոխարեն, կհաշվեինք վանկերի քանակը, կվերլուծեինք այամբիկ հնգաչափը, նշելով գոյականները, բայերը և ածականները:

Մաթեմատիկան և պոեզիան նման են նույն բանը բացատրելու և բնութագրելու տարբեր եղանակների: Բանաձևերը նպատակին հասնելու միջոցներ են, մաթեմատիկական ճշմարտությունն արտահայտելու միջոց:

Մենք մոռացել ենք, որ մաթեմատիկան գործում է գաղափարներով.

Դե, այս ամենը պարզ է, ուրեմն ո՞րն է ձեր հիանալի գաղափարը:

Ահա թե ինչ չեմ անի. ես չեմ կրկնի արդեն գրված դասագրքերը: Եթե ​​պատասխանների կարիք ունեք այստեղ և հիմա, կան բազմաթիվ կայքեր, վիդեո ձեռնարկներ և 20 րոպեօգնել.

Փոխարենը, եկեք սովորենք մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական սկզբունքները: Հավասարումները բավարար չեն. ես ուզում եմ էվրիկա պահեր, որպեսզի դուք իրականում տեսնեք դրանց իմաստը և հասկանաք մաթեմատիկայի լեզուն:

Ֆորմալ մաթեմատիկական լեզուն պարզապես հաղորդակցման միջոց է։ Գրաֆիկները, տեղեկատվական անիմացիոն մոդելները և պարզ լեզուն կարող են ավելի շատ պատկերացում կազմել, քան անհասկանալի ապացույցների էջը:

Բայց մաթեմատիկական վերլուծությունը դժվար է:

Կարծում եմ, որ յուրաքանչյուրը կարող է հասկանալ մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական սկզբունքները։ Պարտադիր չէ, որ բանաստեղծ լինենք, որպեսզի վայելենք Շեքսպիրի ստեղծագործությունները:

Ձեզ համար շատ ավելի հեշտ կլինի, եթե գիտեք հանրահաշիվը և հետաքրքրված եք մաթեմատիկայով։ Ոչ վաղ անցյալում կարդալն ու գրելը հատուկ պատրաստված դպիրների գործն էր։ Եվ այսօր ցանկացած 10 տարեկան երեխա կարող է դա անել։ Ինչո՞ւ։

Որովհետև մենք դա ակնկալում ենք: Սպասումները հսկայական դեր են խաղում կարողությունների զարգացման գործում։ Այսպիսով, ակնկալեք, որ հաշվարկը լինի մեկ այլ առարկա: Որոշ մարդիկ հասնում են ամենափոքր մանրամասներին (գրողներ/մաթեմատիկոսներ): Բայց մեզանից մնացածը կարող է պարզապես հիանալ տեղի ունեցողով և փորձել հասկանալ դա: Ես կցանկանայի, որ բոլորը տիրապետեն հաշվարկի հիմնական հասկացություններին և ասեն «Wow!»:

Այսպիսով, ինչի՞ մասին է հաշվարկը:

Սա պարզ օրինակ էր, բայց հասկանու՞մ եք գաղափարը: Մենք վերցրեցինք սկավառակը, բաժանեցինք այն և կտորները մի փոքր այլ կերպ հավաքեցինք։ Մաթեմատիկական վերլուծությունը ցույց է տվել, որ սկավառակը և օղակը սերտորեն կապված են միմյանց հետ. սկավառակն իսկապես օղակների մի շարք է: Սա շատ տարածված թեմա է հաշվարկի մեջ. մեծ առարկաները կազմված են ավելի փոքր առարկաներից: Եվ երբեմն հենց այս փոքր առարկաների հետ է ավելի հեշտ և պարզ աշխատել:

Մի փոքր օրինակների մասին

Մաթեմատիկական վերլուծության բազմաթիվ օրինակներ հիմնված են ֆիզիկայի վրա: Սա, իհարկե, հրաշալի է, բայց դրանք կարող է դժվար լինել ընկալելը. անկեղծ ասած, միշտ չէ, որ հնարավոր է նկատի ունենալ տարբեր ֆիզիկական բանաձևեր, օրինակ՝ առարկայի արագության բանաձևը:

Ես սիրում եմ սկսել պարզ տեսողական օրինակներից, քանի որ մեր ուղեղն այդպես է աշխատում: Օղակը/շրջանակը, որը մենք ուսումնասիրեցինք. դուք կարող եք նույն բանը նմանակել՝ օգտագործելով տարբեր տրամագծերի խողովակի մի քանի կտոր. առանձնացնել դրանք, շարել դրանք և դնել կոպիտ եռանկյունու մեջ՝ տեսնելու, թե արդյոք մաթեմատիկան իրականում աշխատում է: Պարզ ֆիզիկական բանաձեւով դա դժվար թե հնարավոր լինի:

Մի քիչ մաթեմատիկական խստության մասին (այս գիտության ֆանատիկոսների համար)

Ինձ թվում է, թե մանկավարժ մաթեմատիկոսներն այրում են իրենց ստեղնաշարերը: Ուստի ես ընդամենը մի քանի բառ մտցնեմ «խստության» մասին։ Գիտեի՞ք, որ մենք չենք սովորեցնում հաշվարկն այնպես, ինչպես այն հայտնաբերել են Նյուտոնը կամ Լայբնիցը: Նրանք կիրառեցին «հոսքի» և «անվերջականների» ինտուիտիվ գաղափարները, որոնք փոխարինվեցին սահմաններով, քանի որ «Իհարկե այն գործում է գործնականում. Բայց արդյո՞ք սա տեսականորեն աշխատում է:

Մենք ստեղծել ենք բարդ մեխանիկական մոդելներ՝ հաշվարկը «ճշգրիտ» ապացուցելու համար, բայց մենք կորցրել ենք առարկայի մեր ինտուիտիվ ընկալումը նման ապացույցների գործընթացում:

Շաքարի քաղցրությունը մենք դիտարկում ենք ուղեղի քիմիայի տեսանկյունից՝ գիտական ​​տերմիններով բացատրելու փոխարեն. «Շաքարը շատ էներգիա ունի։ Կերեք այն»:

Ես չեմ ուզում (և չեմ կարող) հաշվարկ սովորեցնել ուսանողներին կամ պատրաստել գիտնականներ: Բայց արդյո՞ք վատ կլինի, եթե բոլորը կարողանան հասկանալ հաշվարկը «անճշգրիտ» մակարդակի վրա, որով այն հասկացավ Նյուտոնը: Որպեսզի դա նույնպես ձեզ համար փոխի աշխարհը, ինչպես մի ժամանակ փոխվեց նրա համար:

Ճշգրտության վրա վաղաժամ կենտրոնացումը ցրում է ուսանողներին և դժվարացնում մաթեմատիկան սովորելը: Ահա լավ օրինակ. e թիվը տեխնիկապես սահմանվում է որպես սահման, բայց այն հայտնաբերվել է հենց ինտուիտիվ գուշակության օգնությամբ .-ի աճի մասին: Բնական լոգարիթմը կարող է նմանվել ինտեգրալի կամ ժամանակի, որը պետք է աճի: Ո՞ր բացատրություններն են լավագույնը սկսնակների համար:

Եկեք մի քիչ ձեռքով նկարենք և ճանապարհին սուզվենք քիմիայի մեջ: Ուրախ հաշվարկ:

(P.S. Մի բարի ընթերցող ստեղծեց անիմացիոն Powerpoint սլայդ-շոու, որն օգնում է ավելի հստակ ներկայացնել այս գաղափարը (ավելի լավ է այն դիտել PowerPoint-ում, դուք կտեսնեք անիմացիաները): Շնորհակալություն:)

9 հոկտեմբերի, 2015թ

Ըստ ռուսաց լեզվի բառարանի վերլուծությունգիտական ​​հետազոտության մեթոդ է՝ հաշվի առնելով որևէ բանի առանձին ասպեկտները, հատկությունները և բաղադրիչները։ Մաթեմատիկայի ամենակարեւոր ճյուղերից մեկը կոչվում է մաթեմատիկական վերլուծություն, և հաճախ նույնիսկ պարզապես վերլուծություն: Անմիջապես հարց է ծագում. թե կոնկրետ ինչ է վերլուծվում մաթեմատիկական վերլուծությամբ? Պատասխանը պարզ է. գործառույթները վերլուծվում են. Գործառույթ(լատիներեն «functionio» - իրականացում) ներկայացնում է փոփոխական թվային արժեքների փոխհարաբերությունները.

Քանի որ վերլուծությունը հետազոտության մեթոդ է, առաջանում է երկրորդ հարցը. ինչ է այս մեթոդը? Պատասխանը տրվում է մաթեմատիկական վերլուծության երկրորդ անունով. դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկ. Հաշվարկը մաթեմատիկայի այն ճյուղն է, որը սահմանում է հաշվարկի կանոնները։ Խոսք» դիֆերենցիալ«Գալիս է լատիներեն «տարբերակում» բառից, այսինքն. տարբերությունը. Խոսք» անբաժանելի«Այնքան հստակ ծագում չունի («ամբողջ թիվ» - ամբողջություն; «ինտեգրա» - վերականգնում), բայց այն իմաստ ունի միավորել մասերը մի ամբողջության մեջ, վերականգնել այն, ինչ կոտրվել է տարբերությունների: Այս վերականգնումը ձեռք է բերվում օգտագործելով ամփոփում.

Եկեք ամփոփենք առաջին արդյունքները.

· Հիմնական օբյեկտները, ուսումնասիրված մաթեմատիկական վերլուծության մեջ ֆունկցիաներ են.

· Ֆունկցիաները տարբեր տեսակի կախվածություններ են փոփոխական թվային արժեքների միջև.

· Մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդը տարբերակումն է– աշխատել ֆունկցիաների արժեքների տարբերությունների հետ, և ինտեգրում- գումարների հաշվարկ.

Այսպիսով, մաթեմատիկական վերլուծությանը տիրապետելու համար, առաջին հերթին, պետք է հասկանալ ֆունկցիա հասկացությունը։ Ֆունկցիան մաթեմատիկական կարևոր հասկացություն է, քանի որ ֆունկցիաները շարժումը և փոփոխությունը նկարագրելու մաթեմատիկական միջոց են: Ֆունկցիան գործընթաց է.

Շարժման ամենակարևոր տեսակը մեխանիկական շարժումն է ուղիղ գծով: Շարժվելիս չափվում են օբյեկտի անցած տարածությունները, բայց դա ակնհայտորեն բավարար չէ շարժումն ամբողջությամբ նկարագրելու համար: Ե՛վ Աքիլեսը, և՛ կրիան կարող են նույն հեռավորությունը շարժվել ելակետից, սակայն նրանց շարժումը տարբերվում է արագությամբ, և արագությունը հնարավոր չէ չափել առանց ժամանակը չափելու։

Արդեն այս օրինակը դիտարկելուց պարզ է դառնում, որ մեկ փոփոխականը բավարար չէ շարժումն ու փոփոխությունը նկարագրելու համար: Ինտուիտիվորեն պարզ է, որ ժամանակը փոխվում է միատեսակ, բայց հեռավորությունը կարող է փոխվել կամ ավելի արագ կամ դանդաղ: Շարժումն ամբողջությամբ նկարագրվում է, եթե ժամանակի յուրաքանչյուր պահի հայտնի է, թե օբյեկտը որքան հեռու է շարժվել սկզբնակետից։ Այսպիսով, մեխանիկական շարժման հետ համապատասխանություն է առաջանում երկու փոփոխական մեծությունների արժեքների միջև՝ ժամանակ, որը փոխվում է անկախ ամեն ինչից, և հեռավորություն, որը կախված է ժամանակից: Այս փաստը հիմք է հանդիսանում ֆունկցիայի սահմանման համար։ Այս դեպքում երկու փոփոխականներն այլևս չեն կոչվում ժամանակ և հեռավորություն։

Ֆունկցիայի սահմանում. ֆունկցիան – սա օրենք է, թե օրենք, վերագրելով անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքին X կախված փոփոխականի հատուկ արժեքը ժամը . Անկախ փոփոխական X կոչվում է փաստարկ, իսկ կախյալը ժամը - գործառույթ: Երբեմն ասում են, որ ֆունկցիան հարաբերություն է երկու փոփոխականների միջև:

Ինչպե՞ս պատկերացնել, թե ինչ է փոփոխականը: Փոփոխականը թվային գիծ է (քանոն կամ սանդղակ), որի երկայնքով շարժվում է կետը (ջերմաչափ կամ տրիկոտաժե ասեղ ուլունքով): Ֆունկցիան երկու x և y պատուհաններով շարժակների մեխանիզմ է: Այս մեխանիզմը թույլ է տալիս տեղադրել պատուհանում X ցանկացած արժեք, և պատուհանում ժամը Գործառույթի արժեքը ավտոմատ կերպով կհայտնվի շարժակների միջոցով:

Խնդիր 1. Հիվանդի ջերմաստիճանը չափվում է ամեն ժամը մեկ։ Գործառույթ կա՝ ջերմաստիճանի կախվածությունը ժամանակից։ Ինչպե՞ս ներկայացնել այս գործառույթը: Պատասխանելաղյուսակ և գրաֆիկ:

Ֆունկցիան շարունակական է, ինչպես շարժումը շարունակական է, բայց գործնականում անհնար է ֆիքսել այդ շարունակականությունը։ Դուք կարող եք որսալ միայն առանձին արգումենտ և ֆունկցիայի արժեքներ: Այնուամենայնիվ, տեսականորեն դեռ հնարավոր է նկարագրել շարունակականությունը:

Խնդիր 2. Գալիլեո Գալիլեյը հայտնաբերել է, որ ազատ վայր ընկնող մարմինը առաջին վայրկյանին անցնում է մեկ միավոր հեռավորություն, երկրորդում՝ 3 միավոր, երրորդում՝ 5 միավոր և այլն։ Որոշեք ժամանակի կախվածությունը տարածությունից։ ՆշումՍտացեք ընդհանուր բանաձև՝ անցած տարածության կախվածության համար հեռավորության թվից:

Գործառույթների հստակեցման մեթոդներ:

Մաթեմատիկական վերլուծության խնդիրներ.

Անցում ֆունկցիայի մի ներկայացումից մյուսին (ֆունկցիայի արժեքների հաշվարկ, փորձարարական թվային և գրաֆիկական տվյալներից մոտավոր անալիտիկ ֆունկցիաների կառուցում, ֆունկցիաների ուսումնասիրում և գրաֆիկների կառուցում):

Գործառույթի հատկությունների մաթեմատիկական ուսումնասիրություն՝ որպես գործընթաց։ Օրինակ 1. արագության որոնում՝ օգտագործելով ուղու ժամանակի (տարբերակման) հայտնի ֆունկցիան: Օրինակ 2. գտնել ճանապարհ՝ օգտագործելով արագության համեմատ ժամանակի հայտնի ֆունկցիան (ինտեգրում):

	|	հաջորդ դասախոսություն ==>
Ստեղծագործական նյութ. Նոթատետրերը ստուգվում են X (ով?) ուսուցչի կողմից	|