द्विघात और अन्य समीकरणों के लिए विएटा का प्रमेय। विएटा का प्रमेय. द्विघात समीकरणों को हल करने के उपयोग के उदाहरण वियतनाम सूत्र

द्विघात समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक का उपयोग करना है VIET सूत्र, जिसका नाम फ्रेंकोइस वियत के नाम पर रखा गया था।

वह एक प्रसिद्ध वकील थे जिन्होंने 16वीं शताब्दी में फ्रांसीसी राजा की सेवा की थी। अपने खाली समय में उन्होंने खगोल विज्ञान और गणित का अध्ययन किया। उन्होंने द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित किया।

सूत्र के लाभ:

1 . सूत्र को लागू करके, आप जल्दी से समाधान पा सकते हैं। क्योंकि वर्ग में दूसरे गुणांक को दर्ज करने की कोई आवश्यकता नहीं है, फिर इसमें से 4ac घटाएं, विवेचक ढूंढें, और मूल खोजने के लिए सूत्र में इसके मान को प्रतिस्थापित करें।

2 . समाधान के बिना, आप जड़ों के लक्षण निर्धारित कर सकते हैं और जड़ों के मूल्यों का चयन कर सकते हैं।

3 . दो अभिलेखों की प्रणाली को हल करने के बाद, जड़ों को स्वयं खोजना मुश्किल नहीं है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में, मूलों का योग ऋण चिह्न वाले दूसरे गुणांक के मान के बराबर है। उपरोक्त द्विघात समीकरण में मूलों का गुणनफल तीसरे गुणांक के मान के बराबर है।

4 . इन मूलों का प्रयोग करके एक द्विघात समीकरण लिखिए अर्थात् व्युत्क्रम समस्या को हल कीजिए। उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक यांत्रिकी में समस्याओं को हल करते समय इस पद्धति का उपयोग किया जाता है।

5 . जब अग्रणी गुणांक एक के बराबर हो तो सूत्र का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

कमियां:

1 . सूत्र सार्वभौमिक नहीं है.

विएटा का प्रमेय 8वीं कक्षा

FORMULA
यदि x 1 और x 2 घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं, तो:

उदाहरण
एक्स 1 = -1; x 2 = 3 - समीकरण के मूल x 2 - 2x - 3 = 0.

पी = -2, क्यू = -3.

एक्स 1 + एक्स 2 = -1 + 3 = 2 = -पी,

एक्स 1 एक्स 2 = -1 3 = -3 = क्यू।

व्युत्क्रम प्रमेय

FORMULA
यदि संख्याएँ x 1, x 2, p, q शर्तों से संबंधित हैं:

तब x 1 और x 2 समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं।

उदाहरण
आइए इसके मूलों का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण बनाएं:

एक्स 1 = 2 - ? 3 और x 2 = 2 + ? 3.

पी = एक्स 1 + एक्स 2 = 4; पी = -4; क्यू = एक्स 1 एक्स 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

आवश्यक समीकरण का रूप है: x 2 - 4x + 1 = 0.

विएटा के प्रमेय का निरूपण और प्रमाण द्विघातीय समीकरण. विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय। घन समीकरणों और मनमाने क्रम के समीकरणों के लिए विएटा का प्रमेय।

सामग्री

यह सभी देखें: द्विघात समीकरण की जड़ें

द्विघातीय समीकरण

विएटा का प्रमेय

मान लीजिए और घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों को निरूपित करते हैं
(1) .
तब मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए गुणांक के बराबर होता है। मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है:
;
.

एकाधिक जड़ों के बारे में एक नोट

यदि समीकरण (1) का विभेदक शून्य है, तो इस समीकरण का एक मूल है। लेकिन, बोझिल फॉर्मूलेशन से बचने के लिए, यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि इस मामले में, समीकरण (1) में दो एकाधिक, या बराबर, जड़ें हैं:
.

प्रमाण एक

आइए समीकरण (1) के मूल ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र लागू करें:
;
;
.

मूलों का योग ज्ञात कीजिए:
.

उत्पाद ढूंढने के लिए, सूत्र लागू करें:
.
तब

.

प्रमेय सिद्ध है.

प्रमाण दो

यदि संख्याएँ द्विघात समीकरण (1) के मूल हैं, तो
.
कोष्ठक खोलना.

.
इस प्रकार, समीकरण (1) इस प्रकार बनेगा:
.
(1) से तुलना करने पर हम पाते हैं:
;
.

प्रमेय सिद्ध है.

विएटा का व्युत्क्रम प्रमेय

मनमानी संख्याएँ हों। तब और द्विघात समीकरण के मूल हैं
,
कहाँ
(2) ;
(3) .

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय का प्रमाण

द्विघात समीकरण पर विचार करें
(1) .
हमें यह सिद्ध करना होगा कि यदि और, तब और समीकरण (1) के मूल हैं।

आइए (2) और (3) को (1) में प्रतिस्थापित करें:
.
हम समीकरण के बाईं ओर पदों को समूहित करते हैं:
;
;
(4) .

आइए (4) में स्थानापन्न करें:
;
.

आइए (4) में स्थानापन्न करें:
;
.
समीकरण कायम है. अर्थात्, संख्या समीकरण (1) का मूल है।

प्रमेय सिद्ध है.

संपूर्ण द्विघात समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

अब संपूर्ण द्विघात समीकरण पर विचार करें
(5) ,
कहाँ, और कुछ संख्याएँ हैं। इसके अतिरिक्त।

आइए समीकरण (5) को इससे विभाजित करें:
.
यानी हमें दिया गया समीकरण मिल गया
,
कहाँ ; .

फिर पूर्ण द्विघात समीकरण के लिए विएटा के प्रमेय का निम्नलिखित रूप है।

आइए और संपूर्ण द्विघात समीकरण के मूलों को निरूपित करें
.
फिर मूलों का योग और गुणनफल सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
;
.

घन समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

इसी प्रकार, हम घन समीकरण की जड़ों के बीच संबंध स्थापित कर सकते हैं। घन समीकरण पर विचार करें
(6) ,
जहाँ , , , कुछ संख्याएँ हैं। इसके अतिरिक्त।
आइए इस समीकरण को इस प्रकार विभाजित करें:
(7) ,
कहाँ , , ।
मान लीजिए , , समीकरण (7) (और समीकरण (6)) के मूल हैं। तब

.

समीकरण (7) से तुलना करने पर हम पाते हैं:
;
;
.

nवीं डिग्री के समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय

उसी तरह, आप जड़ों के बीच संबंध पा सकते हैं , , ... , , के लिए nवें समीकरणडिग्री
.

समीकरण के लिए विएटा का प्रमेय नौवीं डिग्रीनिम्नलिखित रूप है:
;
;
;

.

इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए, हम समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:
.
फिर हम , , , ... के गुणांकों की बराबरी करते हैं और मुक्त पद की तुलना करते हैं।

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
सेमी। निकोल्स्की, एम.के. पोटापोव एट अल., बीजगणित: सामान्य शिक्षा संस्थानों में ग्रेड 8 के लिए एक पाठ्यपुस्तक, मॉस्को, शिक्षा, 2006।

यह सभी देखें:

इस व्याख्यान में हम द्विघात समीकरण के मूलों और उसके गुणांकों के बीच के विचित्र संबंधों से परिचित होंगे। इन संबंधों की खोज सबसे पहले फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रांकोइस विएते (1540-1603) ने की थी।

उदाहरण के लिए, समीकरण 3x 2 - 8x - 6 = 0 के लिए, इसके मूल ज्ञात किए बिना, आप विएटा के प्रमेय का उपयोग करके तुरंत कह सकते हैं कि मूलों का योग बराबर है, और मूलों का गुणनफल बराबर है
यानी - 2. और समीकरण x 2 - 6x + 8 = 0 के लिए हम निष्कर्ष निकालते हैं: मूलों का योग 6 है, मूलों का गुणनफल 8 है; वैसे, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि मूल किसके बराबर हैं: 4 और 2।
विएटा के प्रमेय का प्रमाण। द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के मूल x 1 और x 2 सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं

जहाँ D = b 2 - 4ac समीकरण का विवेचक है। इन जड़ों को एक साथ जोड़कर,
हम पाते हैं

आइए अब मूल x 1 और x 2 के गुणनफल की गणना करें

दूसरा संबंध सिद्ध हो चुका है:
टिप्पणी। विएटा का प्रमेय उस स्थिति में भी मान्य है जब द्विघात समीकरण का एक मूल होता है (अर्थात, जब डी = 0), तो इस मामले में बस यह मान लिया जाता है कि समीकरण के दो समान मूल हैं, जिन पर उपरोक्त संबंध लागू होते हैं।
घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के लिए सिद्ध संबंध एक विशेष रूप से सरल रूप लेते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = एक्स 2 = -पी, एक्स 1 एक्स 2 =क्यू
वे। घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है।
विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि x 1 और x 2 घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 के मूल हैं।

हालाँकि, विएटा के प्रमेय का मुख्य उद्देश्य यह नहीं है कि यह द्विघात समीकरण की जड़ों और गुणांकों के बीच कुछ संबंधों को व्यक्त करता है। इससे भी अधिक महत्वपूर्ण यह है कि, विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करने का एक सूत्र प्राप्त किया जाता है, जिसे हम भविष्य में बिना नहीं कर पाएंगे।

सबूत। हमारे पास है

उदाहरण 1. द्विघात त्रिपद 3x 2 - 10x + 3 का गुणनखंड करें।
समाधान। समीकरण 3x 2 - 10x + 3 = 0 को हल करने के बाद, हम वर्ग त्रिपद 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = के मूल ज्ञात करते हैं।
प्रमेय 2 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

इसके बजाय 3x - 1 लिखना समझ में आता है, फिर अंततः हमें 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1) मिलता है।
ध्यान दें कि किसी दिए गए द्विघात त्रिपद को समूहीकरण विधि का उपयोग करके प्रमेय 2 को लागू किए बिना गुणनखंडित किया जा सकता है:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, इस विधि से सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि हम एक सफल समूह ढूंढने में सक्षम हैं या नहीं, जबकि पहली विधि से सफलता की गारंटी है।
उदाहरण 1. अंश कम करें

समाधान। समीकरण 2x 2 + 5x + 2 = 0 से हम x 1 = - 2 पाते हैं,

समीकरण x2 - 4x - 12 = 0 से हम x 1 = 6, x 2 = -2 पाते हैं। इसीलिए
एक्स 2 - 4एक्स - 12 = (एक्स - 6) (एक्स - (- 2)) = (एक्स - 6) (एक्स + 2)।
अब दिए गए भिन्न को कम करते हैं:

उदाहरण 3. भावों का गुणनखंड करें:
ए)x4 + 5x 2 +6; बी)2x+-3
समाधान। क) आइए एक नया चर y = x2 प्रस्तुत करें। यह आपको दी गई अभिव्यक्ति को चर y के संबंध में द्विघात त्रिपद के रूप में, अर्थात् y 2 + bу + 6 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा।
समीकरण y 2 + bу + 6 = 0 को हल करने के बाद, हम द्विघात त्रिपद y 2 + 5у + 6 की जड़ें पाते हैं: y 1 = - 2, y 2 = -3। आइए अब प्रमेय 2 का उपयोग करें; हम पाते हैं

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
यह याद रखना बाकी है कि y = x 2, अर्थात दिए गए व्यंजक पर लौटें। इसलिए,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
बी) आइए एक नया वेरिएबल y = प्रस्तुत करें। यह आपको दिए गए व्यंजक को चर y के संबंध में द्विघात त्रिपद के रूप में, अर्थात् 2y 2 + y - 3 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देगा। समीकरण को हल करने के बाद
2y 2 + y - 3 = 0, वर्ग त्रिपद 2y 2 + y - 3 के मूल ज्ञात कीजिए:
आप 1 = 1, आप 2 = . आगे, प्रमेय 2 का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

यह याद रखना बाकी है कि y = , अर्थात दिए गए व्यंजक पर लौटें। इसलिए,

अनुभाग के अंत में - कुछ तर्क, फिर से विएटा के प्रमेय से संबंधित, या बल्कि, इसके विपरीत कथन से:
यदि संख्याएँ x 1, x 2 ऐसी हैं कि x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, तो ये संख्याएँ समीकरण के मूल हैं
इस कथन का उपयोग करके, आप बोझिल मूल सूत्रों का उपयोग किए बिना, कई द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से हल कर सकते हैं, और दिए गए मूलों के साथ द्विघात समीकरण भी बना सकते हैं। चलिए उदाहरण देते हैं.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24। यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = 8, x 2 = 3।

2) x 2 + 11x + 30 = 0। यहाँ x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30। यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = -5, x 2 = -6।
ध्यान दें कि यदि समीकरण का डमी पद एक धनात्मक संख्या है, तो दोनों मूल या तो धनात्मक या ऋणात्मक होते हैं; जड़ों का चयन करते समय इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

3) x 2 + x - 12 = 0. यहाँ x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. यह अनुमान लगाना आसान है कि x 1 = 3, x2 = -4.
कृपया ध्यान दें: यदि समीकरण का मुक्त पद है एक ऋणात्मक संख्या, तो जड़ों के अलग-अलग लक्षण होते हैं; जड़ों का चयन करते समय इस पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0। यह देखना आसान है कि x = 1 समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात। x 1 = 1 समीकरण का मूल है. चूँकि x 1 x 2 = -, और x 1 = 1, हम पाते हैं कि x 2 = -।

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. यहां x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. यदि आप इस तथ्य पर ध्यान दें कि 2830 = 283. 10, और 293 = 283 + 10, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि x 1 = 283, x 2 = 10 (अब कल्पना करें कि मानक सूत्रों का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए क्या गणना करनी होगी)।

6) आइए एक द्विघात समीकरण बनाएं ताकि इसकी जड़ें संख्याएं x 1 = 8, x 2 = - 4 हों। आमतौर पर ऐसे मामलों में हम कम द्विघात समीकरण x 2 + px + q = 0 बनाते हैं।
हमारे पास x 1 + x 2 = -p है, इसलिए 8 - 4 = -p, यानी p = -4। इसके अलावा, x 1 x 2 = q, अर्थात। 8 «(-4) = q, जहाँ से हमें q = -32 प्राप्त होता है। तो, p = -4, q = -32, जिसका अर्थ है कि आवश्यक द्विघात समीकरण का रूप x 2 -4x-32 = 0 है।

सबसे पहले, आइए स्वयं प्रमेय तैयार करें: आइए हमारे पास x^2+b*x + c = 0 के रूप का एक छोटा द्विघात समीकरण है। मान लें कि इस समीकरण में मूल x1 और x2 हैं। फिर, प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित कथन मान्य हैं:

1) मूल x1 और x2 का योग गुणांक b के ऋणात्मक मान के बराबर होगा।

2) इन्हीं मूलों का गुणनफल हमें गुणांक c देगा।

लेकिन दिया गया समीकरण क्या है?

एक घटा हुआ द्विघात समीकरण एक द्विघात समीकरण है जिसका उच्चतम डिग्री का गुणांक एक के बराबर है, अर्थात। यह x^2 + b*x + c = 0 के रूप का एक समीकरण है। (और समीकरण a*x^2 + b*x + c = 0 कम नहीं है)। दूसरे शब्दों में, समीकरण को दिए गए रूप में लाने के लिए, हमें इस समीकरण को उच्चतम शक्ति के गुणांक (ए) से विभाजित करना होगा। कार्य नेतृत्व करना है दिया गया समीकरणदिए गए फॉर्म में:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

प्रत्येक समीकरण को उच्चतम डिग्री के गुणांक से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

एक्स^2 4*x + 6 = 0; एक्स^2 8*एक्स − 4 = 0; एक्स^2 + 5*एक्स + 2 = 0;

एक्स^2 + 3.5*x − 5.5 = 0.

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, भिन्न वाले समीकरणों को भी दिए गए रूप में घटाया जा सकता है।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करना

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

हमें मूल मिलते हैं: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

परिणामस्वरूप हमें मूल प्राप्त होते हैं: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

हमें मूल मिलते हैं: x1 = −1; x2 = −4.

विएटा के प्रमेय का अर्थ

विएटा का प्रमेय हमें किसी भी द्विघात समीकरण को लगभग सेकंड में हल करने की अनुमति देता है। पहली नज़र में, यह एक कठिन काम लगता है, लेकिन 5-10 समीकरणों के बाद, आप तुरंत जड़ों को देखना सीख सकते हैं।

दिए गए उदाहरणों से, और प्रमेय का उपयोग करके, यह स्पष्ट है कि आप कैसे द्विघात समीकरणों के समाधान को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना सकते हैं, क्योंकि इस प्रमेय का उपयोग करके, आप व्यावहारिक रूप से जटिल गणनाओं और विवेचक की गणना के बिना एक द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं, और जैसा कि आप जानते हैं, जितनी कम गणनाएँ होंगी, गलती करना उतना ही कठिन होगा, जो महत्वपूर्ण है।

सभी उदाहरणों में, हमने दो महत्वपूर्ण मान्यताओं के आधार पर इस नियम का उपयोग किया:

दिया गया समीकरण, अर्थात उच्चतम डिग्री का गुणांक एक के बराबर है (इस स्थिति से बचना आसान है। आप समीकरण के अपरिवर्तित रूप का उपयोग कर सकते हैं, तो निम्नलिखित कथन मान्य होंगे x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ ए, लेकिन इसे हल करना आमतौर पर अधिक कठिन होता है :))

जब किसी समीकरण के दो अलग-अलग मूल हों. हम मानते हैं कि असमानता सत्य है और विभेदक शून्य से अधिक है।

इसलिए, हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करके एक सामान्य समाधान एल्गोरिदम बना सकते हैं।

विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए सामान्य समाधान एल्गोरिदम

यदि समीकरण हमें अघटीकृत रूप में दिया जाता है तो हम एक द्विघात समीकरण को लघुकृत रूप में बदल देते हैं। जब द्विघात समीकरण में गुणांक, जिसे हमने पहले दिए गए रूप में प्रस्तुत किया था, भिन्नात्मक (दशमलव नहीं) हो जाता है, तो इस स्थिति में हमारे समीकरण को विवेचक के माध्यम से हल किया जाना चाहिए।

ऐसे भी मामले हैं जब प्रारंभिक समीकरण पर लौटने से हमें "सुविधाजनक" संख्याओं के साथ काम करने की अनुमति मिलती है।

स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन करते समय, परिणामी जड़ों के गुणों पर विचार किया जाता है। वे वर्तमान में विएटा के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं। इस आलेख में इसके उपयोग के उदाहरण दिये गये हैं।

द्विघात समीकरण

दूसरे क्रम का समीकरण नीचे दी गई तस्वीर में दिखाई गई समानता है।

यहां प्रतीक ए, बी, सी कुछ संख्याएं हैं जिन्हें विचाराधीन समीकरण के गुणांक कहा जाता है। किसी समानता को हल करने के लिए, आपको x के मान खोजने होंगे जो इसे सत्य बनाते हैं।

ध्यान दें कि चूँकि x को जिस अधिकतम शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है वह दो है, तो सामान्य स्थिति में जड़ों की संख्या भी दो है।

इस प्रकार की समानताओं को हल करने के कई तरीके हैं। इस लेख में हम उनमें से एक पर विचार करेंगे, जिसमें तथाकथित विएटा प्रमेय का उपयोग शामिल है।

विएटा के प्रमेय का निरूपण

16वीं शताब्दी के अंत में, प्रसिद्ध गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएते (फ्रांसीसी) ने विभिन्न द्विघात समीकरणों की जड़ों के गुणों का विश्लेषण करते हुए देखा कि उनमें से कुछ संयोजन विशिष्ट संबंधों को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से, ये संयोजन उनके उत्पाद और योग हैं।

विएटा का प्रमेय निम्नलिखित स्थापित करता है: एक द्विघात समीकरण की जड़ें, जब संक्षेपित होती हैं, तो विपरीत चिह्न के साथ लिए गए रैखिक और द्विघात गुणांक का अनुपात देती हैं, और जब उन्हें गुणा किया जाता है, तो वे मुक्त पद और द्विघात गुणांक के अनुपात की ओर ले जाते हैं। .

अगर सामान्य फ़ॉर्मसमीकरण को लेख के पिछले भाग में फोटो में दिखाए अनुसार लिखा गया है, तो गणितीय रूप से इस प्रमेय को दो समानताओं के रूप में लिखा जा सकता है:

• आर 2 + आर 1 = -बी/ए;
• आर 1 एक्स आर 2 = सी/ए.

जहाँ r 1, r 2 प्रश्नगत समीकरण के मूलों का मान है।

उपरोक्त दो समानताओं का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। समाधान के साथ उदाहरणों में विएटा के प्रमेय का उपयोग लेख के निम्नलिखित अनुभागों में दिया गया है।